PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

GENERALIDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1) Es una distribución de probabilidad para variables aleatorias continuas (aunque también modela las variables discretas).

2) Es la más importante de todas las distribuciones por la cantidad de fenómenos que explica.

3) También conocida como Gaussiana o de Laplace-Gauss.

4) Descubierta y publicada por De Moivre (1733), continuada por Gauss (1809) y Laplace (1812).

CARACTERÍSTICAS DE SU GRÁFICA

1) Tiene forma de “campana” y un solo pico en el centro de la distribución.

2) Media = Mediana = Moda, y se localizan en el máximo.

3) Es simétrica alrededor de su media.

4) Su curva desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central.

5) Tiene dos puntos de inflexión (μ ± σ).

6) Es asintótica.

DISTRIBUCIÓN DE DENSIDAD

DISTRIBUCIÓN NORMAL CON μ =0 PARA VARIOS VALORES σ

CURVAS NORMALES CON DISTINTAS MEDIAS Y DESVIACIONES ESTÁNDAR

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

TEOREMA DE CHEBYSHEV

TABLA DE PROBABILIDADES NORMAL ESTANDAR

EJERCICIO: En el estado de Tabasco, un tecnológico oferta una de sus carreras en un horario especial. Debido a factores como el tráfico, distancia y hora de salida de sus centros de trabajo, los alumnos de éste sistema llegan con un tiempo promedio de retraso de 35 minutos y con una desviación estándar de 10 minutos. Suponga que los tiempos de retraso se distribuyen normalmente. A) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 35 y 50 minutos de demora? B) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 18 y 41 minuto de demora? C) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega con 28 o más minutos de demora? D) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega con 42.5 o más minutos de demora? E) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 15.8 y 32.4 minutos de demora?

SOLUCIONES A) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 35 y 50 minutos de demora? DATOS:

µ = 35 σ = 10

𝑋1 = 50 NORMALIZACIÓN:

𝑍 = X − μ

𝜎

GRÁFICA:

PLAN DE SOLUCIÓN: Ya que nuestra tabla nos da el área de la media hacia un valor determinado, el plan será: 1) Normalizar. 2) Buscar en la tabla de la Normal. APLICACIÓN:

𝑍 = 50 − 35

10

𝑍 = 1.5

𝑃 = 0.4332 = 43.32 %

RESPUESTA: El 43.32 % de los estudiantes llega con un retraso de entre 35 y 50 minutos.

B) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 18 y 41 minuto de demora? DATOS:

µ = 35 σ = 10

𝑋1 = 18 𝑋2 = 41

NORMALIZACIÓN:

𝑍 = X − μ

𝜎

GRÁFICA:

PLAN DE SOLUCIÓN: Ya que la gráfica es simétrica respecto de su media, podemos calcular el área que hay de la media hacia el 41 y luego de la media hacia el 18 y al final sumamos. No importan los cambios de signo, pues la tabla simplemente proporciona áreas de la media a cualquier valor. 1) Normalizar 41. 2) Buscar en la tabla de la Normal. 3) Normalizar 18. 4) buscar en la tabla de la Normal 5) Sumar el resultado de 2) y 4). APLICACIÓN:

𝑍1 = 41 − 35

10

𝑍1 = 0.6

𝑃1 = 0.2257 = 22.57 %

𝑍2 = 18 − 35

10

𝑍2 = −1.7

𝑃2 = 0.4554 = 45.54 %

𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 22.57% + 45.54% = 68.11%

RESPUESTA:

El 68.11% de los estudiantes llega con una demora de entre 18 y 41 minutos.

C) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega con 28 o más minutos de demora? DATOS:

µ = 35 σ = 10

𝑋1 = 28 NORMALIZACIÓN:

𝑍 = X − μ

𝜎

GRÁFICA:

PLAN DE SOLUCIÓN: Ya que la media, la mediana y la moda están en el centro de la distribución; se sabe que a la derecha de la media tenemos el 50% del área total. Basta entonces calcular el área que hay de la media hacia el 28 y posteriormente sumárselo al 50% para obtener el área deseada. 1) Normalizar 28. 2) Buscar en la tabla de la Normal. 3) Sumarle 50% al resultado anterior. APLICACIÓN:

𝑍 = 28 − 35

10

𝑍 = −0.7 𝑃∗ = 0.2580 = 25.80 %

𝑃 = 𝑃∗ + 50% = 25.80% + 50% = 75.80% RESPUESTA: El 75.80% de los estudiantes llega con 28 o más minutos de demora.

D) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega con 42.5 o más minutos de demora? DATOS:

µ = 35 σ = 10

𝑋1 = 42.5 NORMALIZACIÓN:

𝑍 = X − μ

𝜎

GRÁFICA:

PLAN DE SOLUCIÓN: Ya que se tiene el 50% del área total a la derecha de la media, vamos a calcular el área que hay de la media hacia 42.5 y posteriormente al 50% le restamos éste valor. 1) Normalizar 42.5. 2) Buscar en la tabla de la Normal. 3) Hacer la resta de 50% menos el resultado anterior. APLICACIÓN:

𝑍 = 42.5 − 35

10

𝑍 = 0.75

𝑃∗ = 0.2734 = 27.34 %

𝑃 = 50% − 𝑃∗ = 50% − 27.34% = 22.66%

RESPUESTA: El 22.66% de los estudiantes llega con 42.5 o más minutos de demora.

E) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega entre 15.8 y 32.4 minutos de demora? DATOS:

µ = 35 σ = 10

𝑋1 = 15.8 𝑋2 = 32.4

NORMALIZACIÓN:

𝑍 = X − μ

𝜎

GRÁFICA:

PLAN DE SOLUCIÓN: Ya que la tabla nos proporciona áreas de la media hacia un valor determinado, vamos a calcular el área de la media hacia 15.8, y posteriormente a esa área le vamos a restar la que hay de la media hacia 32.4, quedándonos así el área deseada. 1) Normalizar 15.8. 2) Buscar en la tabla de la Normal. 3) Normalizar 32.4. 4) Buscar en la tabla de la Normal. 5) Al resultado de 2) le restamos el de 4). APLICACIÓN:

𝑍1 = 15.8 − 35

10

𝑍1 = − 1.92

𝑃1 = 0.4726 = 47.26%

𝑍2 = 32.4 − 35

10

𝑍2 = −0.26

𝑃2 = 0.1026=10.26%

𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 47.26% − 10.26% = 37%

RESPUESTA: El 37% de los estudiantes llega entre 15.8 y 32.4 minutos de demora.

BIBLIOGRAFÍA

Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery y George C. Runger. Limusa Wiley, 2002. Segunda edición.