Distribuciones en el muestreo. - UMA

Introducción a la Inferencia Estadística.

Distribuciones en el muestreo.Introducción a la Inferencia Estadística

Ma Eugenia Cruces, Salvador J. Molina y Ma DoloresSarrión

UNIVERSIDAD DE MÁLAGADepartamento de Estadística y Econometría

Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA).

4 de julio de 2014

Cruces, Molina, Sarrión Distribuciones en el muestreo

Introducción a la Inferencia Estadística

1 Introducción a la Inferencia Estadística.Introducción.Tipos de muestreo.Muestra aleatoria simple.Conceptos básicos en Inferencia.

Introducción.Tipos de muestreo.Muestra aleatoria simple.Conceptos básicos en Inferencia.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

INTRODUCCIÓN

−→ Hemos estudiado MODELOS DE PROBABILIDAD que seutilizan en la práctica para describir el comportamientoprobabilístico de variables, X , que son aleatorias.

−→ El análisis del MODELO nos permite conocer cómo secomporta el fenómeno.

Cómo se comporta la POBLACIÓN (X )

MÉTODO DEDUCTIVO

INTRODUCCIÓN

MÉTODO DEDUCTIVO

INTRODUCCIÓN

MÉTODO DEDUCTIVO

INTRODUCCIÓN

MÉTODO DEDUCTIVO

INTRODUCCIÓN

MÉTODO DEDUCTIVO

INTRODUCCIÓN

A partir de ahora nos ocuparemos de una de las aplicacionesmás importantes de la Teoría de la Probabilidad:

INFERENCIA ESTADÍSTICA

La Inferencia estadística permite conocer:

Cómo es el fenómeno real que ha generado los datosobservadosCómo se comportarán, en general, los datos a los quedicho fenómeno podría dar lugar

INTRODUCCIÓN

Cómo es el fenómeno real que ha generado los datosobservados

Cómo se comportarán, en general, los datos a los quedicho fenómeno podría dar lugar

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

⇒ LOS DATOS OBSERVADOSOBJETIVO ⇒ Conocer la POBLACIÓN

Todos los posibles datos que la VARIABLE ALEATORIApodría generar

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

⇒ LOS DATOS OBSERVADOS

OBJETIVO ⇒ Conocer la POBLACIÓNTodos los posibles datos que la VARIABLE ALEATORIApodría generar

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)

INTRODUCCIÓN

PUNTO DE PARTIDA

INFERIR

(MÉTODO INDUCTIVO)Cruces, Molina, Sarrión Distribuciones en el muestreo

INTRODUCCIÓN

PROBLEMA DE INFERENCIA

−→ Suponemos que los datos han sido generados de acuerdocon un modelo de probabilidad que es desconocido enalguno de sus aspectos.

Basándonos en los datos y en las característicasconocidas del modelo

−→ Realizamos algún tipo de afirmación acerca de alguno(s)de los aspectos desconocidos de la distribución que losgeneró. (INFERENCIA)

−→ Acompañamos a la inferencia de alguna medida de laFIABILIDAD o el RIESGO de la misma.

INTRODUCCIÓN

PROBLEMA DE INFERENCIA−→ Suponemos que los datos han sido generados de acuerdo

con un modelo de probabilidad que es desconocido enalguno de sus aspectos.

INTRODUCCIÓN

−→ Realizamos algún tipo de afirmación acerca de alguno(s)de los aspectos desconocidos de la distribución que losgeneró.

(INFERENCIA)−→ Acompañamos a la inferencia de alguna medida de la

FIABILIDAD o el RIESGO de la misma.

INTRODUCCIÓN

Estudiaremos métodos para abordar problemas de:

Estimación de parámetrosEstimación puntualEstimación por intervalos

Verificación de hipótesis estadísticas

INTRODUCCIÓN

Estimación de parámetros

Estimación puntualEstimación por intervalos

INTRODUCCIÓN

En su forma más simple:

La población queda representada por X ∼ f (x ; θ)

f (x ; θ)−→ función de densidad de la variable en la población

f depende de un parámetro, θ, que es desconocido

El parámetro poblacional θ será, en principio, el objeto de lainferencia.

INTRODUCCIÓN

La inferencia se realiza a partir de una muestra seleccionadaaleatoriamente de la población

Existen distintos procedimientos para seleccionar muestrasaleatorias.

MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO

INTRODUCCIÓN

La inferencia se realiza a partir de una muestra seleccionadaaleatoriamente de la población

Existen distintos procedimientos para seleccionar muestrasaleatorias.

MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO

TIPOS DE MUESTREO

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

Todos los elementos de la población tienen la mismaprobabilidad de ser elegidos.

La población es idéntica en todas las extracciones.

Lo anterior garantiza que:Cada observación tiene la misma distribución deprobabilidad que la poblaciónTodas las observaciones son independientes entre sí

Lo anterior garantiza que:

Cada observación tiene la misma distribución deprobabilidad que la poblaciónTodas las observaciones son independientes entre sí

Lo anterior garantiza que:Cada observación tiene la misma distribución deprobabilidad que la población

Todas las observaciones son independientes entre sí

POBLACIÓN FINITA

La selección es con reposición.

No tiene mucho sentido.

EN POBLACIÓN FINITA SE UTILIZA:

El MUESTREO IRRESTRICTAMENTE ALEATORIO

POBLACIÓN FINITA

MUESTREO IRRESTRICTAMENTE ALEATORIO.

Se le denomina, también, muestreo aleatorio simple

Cada elemento de la población se identifica con un número(bola, tarjeta,..)

La extracción es sin reposición.

En cada extracción, todos los elementos disponiblestienen la misma probabilidad de ser elegidos

POBLACIÓN FINITA

Si N es el tamaño de la población encuestada y n el tamaño dela muestra, el número de muestras posibles es:

)Todas las muestras son igualmente probables

f = nN V Fracción de muestreo

e = 1f = N

n ⇒ Coeficiente de elevación

POBLACIÓN FINITA

Todas las muestras son igualmente probables

e = 1f = N

POBLACIÓN FINITA

e = 1f = N

POBLACIÓN FINITA

e = 1f = N

POBLACIÓN FINITA

e = 1f = N

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE EN POBLACIÓNFINITA

VENTAJAS E INCONVENIENTES

Desde un punto de vista teórico, es el método de muestreomás sencillo

Su coste es elevado si N es muy grande

Sirve de base a los demás métodos de muestreo aleatorio

POBLACIÓN FINITA

OTROS MÉTODOS DE MUESTREO

MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

Se utiliza cuando:

Los elementos están ordenados en listasEl orden no afecta a la aleatoriedad

¿Cómo se toma la muestra?

Se calcula el coeficiente de elevación: e = Nn

Se selecciona un número K ≤ E [e], (arranque aleatorio)Los elementos que forman la muestra son los que ocupanlos lugares k , k + E [e], k + 2E [e],...,k + (n − 1)E [e]Hay E [e] muestras distintas

Se utiliza cuando:Los elementos están ordenados en listas

El orden no afecta a la aleatoriedad

Se utiliza cuando:Los elementos están ordenados en listasEl orden no afecta a la aleatoriedad

Se selecciona un número K ≤ E [e], (arranque aleatorio)

Los elementos que forman la muestra son los que ocupanlos lugares k , k + E [e], k + 2E [e],...,k + (n − 1)E [e]Hay E [e] muestras distintas

Se selecciona un número K ≤ E [e], (arranque aleatorio)Los elementos que forman la muestra son los que ocupanlos lugares k , k + E [e], k + 2E [e],...,k + (n − 1)E [e]

Hay E [e] muestras distintas

Reduce costes

Garantiza que en la muestra aparezcan elementos de todas lasclases

En ocasiones, genera muestras más representativas que elmuestreo aleatorio simple

Reduce costes

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

Se utiliza cuando:

La población no es homogénea con respecto al carácterque es objeto de estudio

¿Qué son los estratos?

Los estratos son una partición de la población

De cada estrato se selecciona una muestra aleatoriasimpleLa muestra aleatoria estratificada es la unión de lasdistintas muestras aleatorias simples

Se utiliza cuando:La población no es homogénea con respecto al carácterque es objeto de estudio

De cada estrato se selecciona una muestra aleatoriasimple

La muestra aleatoria estratificada es la unión de lasdistintas muestras aleatorias simples

Presenta ventajas frente a los otros tipos de muestreo si:

La variable presenta alta variabilidadLa variable presenta poca variabilidad dentro de losestratosLa heterogeneidad de la variable en la población sepresenta en forma de variabilidad entre estratos

En ese caso:

Aumenta la precisión de las estimacionesReduce el coste en la recolección de los datosSe obtienen, sin coste adicional, de estimaciones paracada estrato

Presenta ventajas frente a los otros tipos de muestreo si:La variable presenta alta variabilidad

La variable presenta poca variabilidad dentro de losestratosLa heterogeneidad de la variable en la población sepresenta en forma de variabilidad entre estratos

En ese caso:

Presenta ventajas frente a los otros tipos de muestreo si:La variable presenta alta variabilidadLa variable presenta poca variabilidad dentro de losestratos

La heterogeneidad de la variable en la población sepresenta en forma de variabilidad entre estratos

En ese caso:

Presenta ventajas frente a los otros tipos de muestreo si:La variable presenta alta variabilidadLa variable presenta poca variabilidad dentro de losestratosLa heterogeneidad de la variable en la población sepresenta en forma de variabilidad entre estratos

En ese caso:

Aumenta la precisión de las estimaciones

Reduce el coste en la recolección de los datosSe obtienen, sin coste adicional, de estimaciones paracada estrato

En ese caso:

Aumenta la precisión de las estimacionesReduce el coste en la recolección de los datos

Se obtienen, sin coste adicional, de estimaciones paracada estrato

En ese caso:

MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS

La unidad de muestreo son grupos de elementos:

Dichos grupos se denominan conglomeradosLos conglomerados son grupos de:

personasfamiliasedificiosbarriosmunicipios,...

Se selecciona una muestra aleatoria de conglomeradosSe observa la variable en todos los elementos de losconglomerados seleccionados

La unidad de muestreo son grupos de elementos:Dichos grupos se denominan conglomerados

Los conglomerados son grupos de:personasfamiliasedificiosbarriosmunicipios,...

La unidad de muestreo son grupos de elementos:Dichos grupos se denominan conglomeradosLos conglomerados son grupos de:

Se selecciona una muestra aleatoria de conglomerados

Se observa la variable en todos los elementos de losconglomerados seleccionados

Cuando los conglomerados son zonas geográficas

Al muestreo por conglomerados se le denomina muestreopor zonas o áreas

Ventajas

Simplifica el problema de listado de toda la poblaciónSólo se necesita para los grupos seleccionados, por lo quereduce costes

Para que no implique disminución en la precisión:

Homogeneidad entre conglomeradosHeterogeneidad dentro de cada conglomerado

Cuando los conglomerados son zonas geográficasAl muestreo por conglomerados se le denomina muestreopor zonas o áreas

Ventajas

Simplifica el problema de listado de toda la población

Sólo se necesita para los grupos seleccionados, por lo quereduce costes

Ventajas

Homogeneidad entre conglomerados

Heterogeneidad dentro de cada conglomerado

Ventajas

MUESTREO ALEATORIO POR ETAPAS

Es una generalización del muestreo por conglomerados

Minimiza el coste del listado de los elementos

En cada etapa los grupos son menores que en la anterior:

1a etapa: Se seleccionan aleatoriamente conglomeradosde una clase (u. m. primarias):

p. e. provincias2a etapa: Se seleccionan aleatoriamente conglomeradosmás pequeños (u. m. secundarias):

p. e. municipios

.........................

Hasta llegar a los elementos de la población

Es una generalización del muestreo por conglomeradosMinimiza el coste del listado de los elementos

p. e. municipios

.........................

p. e. municipios

.........................

p. e. provincias

2a etapa: Se seleccionan aleatoriamente conglomeradosmás pequeños (u. m. secundarias):

p. e. municipios

.........................

p. e. municipios

.........................

p. e. municipios

.........................

p. e. municipios

.........................

Hasta llegar a los elementos de la poblaciónCruces, Molina, Sarrión Distribuciones en el muestreo

VENTAJAS

Minimiza el coste del listado de los elementosSólo se necesita la lista de los elementos de la últimaetapaEn cada etapa se puede aplicar el muestreo aleatorio :

simplesistemáticoestratificado

El que se considere más adecuado

VENTAJASMinimiza el coste del listado de los elementos

Sólo se necesita la lista de los elementos de la últimaetapaEn cada etapa se puede aplicar el muestreo aleatorio :

VENTAJASMinimiza el coste del listado de los elementosSólo se necesita la lista de los elementos de la últimaetapa

En cada etapa se puede aplicar el muestreo aleatorio :simplesistemáticoestratificado

VENTAJASMinimiza el coste del listado de los elementosSólo se necesita la lista de los elementos de la últimaetapaEn cada etapa se puede aplicar el muestreo aleatorio :

MUESTREO NO ALEATORIO

¿Cuándo se utiliza?

Cuando el muestreo aleatorio resulta excesivamentecostosoCuando el tiempo es insuficiente

Generalmente, en estudios de tipo exploratorio

. Entre los más utilizados están:

Muestreo por juicio u opinión (opinático)

Muestreo por cuotas

¿Cuándo se utiliza?Cuando el muestreo aleatorio resulta excesivamentecostoso

Cuando el tiempo es insuficienteGeneralmente, en estudios de tipo exploratorio

Muestreo por cuotas

¿Cuándo se utiliza?Cuando el muestreo aleatorio resulta excesivamentecostosoCuando el tiempo es insuficiente

Muestreo por cuotas

MUESTREO OPINÁTICO O INTENCIONAL

Se seleccionan los elementos que en nuestra opiniónpueden ser representativos de la población

Como la selección no es aleatoria

No es posible obtener la distribución de las característicasmuestralesNo puede medirse la precisión de las estimaciones

El método da lugar a un sesgo latente

MUESTREO OPINÁTICO O INTENCIONALSe seleccionan los elementos que en nuestra opiniónpueden ser representativos de la población

No es posible obtener la distribución de las característicasmuestrales

No puede medirse la precisión de las estimaciones

MUESTREO POR CUOTAS

Es una variante del muestreo opinático

Está basado en el análisis previo de la estructura de lapoblación

El objetivo es mejorar la representatividad de la muestraReplicando la estructura poblacional

¿Qué son las cuotas?

El número de individuos de cada grupo o clase que formanparte de la muestra

MUESTREO POR CUOTASEs una variante del muestreo opinático

El objetivo es mejorar la representatividad de la muestra

Replicando la estructura poblacional

MUESTRA ALEATORIA SIMPLE

En lo que sigue de la introducción:

Trabajamos en el contexto de población infinita o muestreocon reposiciónMuestra aleatoria simple (m.a.s.)

Recordemos que:

Una muestra es aleatoria simple cuando:Todos los elementos de la población tienen la mismaprobabilidad de ser elegidos.La población es idéntica en todas las extracciones.

Trabajamos en el contexto de población infinita o muestreocon reposición

Muestra aleatoria simple (m.a.s.)

Recordemos que:

Una muestra es aleatoria simple cuando:

Todos los elementos de la población tienen la mismaprobabilidad de ser elegidos.La población es idéntica en todas las extracciones.

Recordemos que:

Una muestra es aleatoria simple cuando:Todos los elementos de la población tienen la mismaprobabilidad de ser elegidos.

Recordemos que:

Cada observación tiene la misma distribución deprobabilidad que la población

Todas las observaciones son independientes entre sí

EJEMPLO

Supongamos una población...

Tamaño de la población N=4X = "Número de años en funcionamientosin reformar sus instalaciones"Valores de X :

2, 4, 9 y 11 (años)

EJEMPLO

2, 4, 9 y 11 (años)

EJEMPLO

Tamaño de la población N=4

X = "Número de años en funcionamientosin reformar sus instalaciones"Valores de X :

2, 4, 9 y 11 (años)

EJEMPLO

Tamaño de la población N=4X = "Número de años en funcionamientosin reformar sus instalaciones"

Valores de X :2, 4, 9 y 11 (años)

EJEMPLO

2, 4, 9 y 11 (años)

EJEMPLO (Cont.)

Distribución de la POBLACIÓN:

Principales características de la distribución dela población:

N∑i=1

2 + 4 + 9 + 114

= 6,5 años

√√√√√√N∑

(xi − µ)2

N= 3,64 años

EJEMPLO (Cont.)

N∑i=1

2 + 4 + 9 + 114

= 6,5 años

√√√√√√N∑

(xi − µ)2

N= 3,64 años

EJEMPLO (Cont.)

N∑i=1

2 + 4 + 9 + 114

= 6,5 años

√√√√√√N∑

(xi − µ)2

N= 3,64 años

EJEMPLO (Cont.)

Consideramos todas las posibles muestras de tamaño 2:

EJEMPLO (Cont.)

MUESTRA ALEATORIA SIMPLE. DEFINICIÓN

Formalmente,

Las variables X1, X2, · · ·, Xn son una muestra aleatoria simplede X , X ∼ f (x ; θ), si:

C.1 Xi ∼ f (x ; θ), i = 1,2, ...,n.C.2 X1, X2, · · ·, Xn son conjuntamente independientes.

Cada valor concreto−→x = (x1, x2, ..., xn) de la muestra

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

es una Muestra observada o Datos observados.

Formalmente,

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Formalmente,

C.1 Xi ∼ f (x ; θ), i = 1,2, ...,n.

C.2 X1, X2, · · ·, Xn son conjuntamente independientes.

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Formalmente,

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Formalmente,

Tamaño de muestra: n

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Formalmente,

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn) Muestra genérica de tamaño n

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Formalmente,

−→X = (X1, X2, · · ·, Xn)

Volviendo al EJEMPLO

PARÁMETRO Y ESTADÍSTICO

La información contenida en la muestra se resume mediante

ESTADÍSTICOS

EstadísticoCualquier función real de las variables que forman la muestra,siempre que en su definición no intervenga ningún "parámetropoblacional desconocido".

PARÁMETRO POBLACIONALCaracterística numérica de la distribución de probabilidad de lapoblación que permite su descripción, parcial o completa.

ESTADÍSTICOS

ESTADÍSTICO (Ejemplos)

X1, X2, · · ·, Xn una m.a.s. de X ,podemos definir los siguientes estadísticos:

X Media muestral

X =X1 + X2 + ...+ Xn

n∑i=1

S2X Varianza muestral

n∑i=1

(Xi − X )2

n∑i=1

X 2i − X

X1, X2, · · ·, Xn una m.a.s. de X ,

X Media muestral

X =X1 + X2 + ...+ Xn

n∑i=1

(Xi − X )2

n∑i=1

X 2i − X

X1, X2, · · ·, Xn una m.a.s. de X ,

X Media muestral

X =X1 + X2 + ...+ Xn

n∑i=1

(Xi − X )2

n∑i=1

X 2i − X

Estadístico (Ejemplos) Cont.

S2X Cuasivarianza muestral

n∑i=1

(Xi − X )2

n − 1=

nn − 1

PX Proporción muestral

PX =X1 + X2 + ...+ Xn

siendo X1, X2, · · ·, Xn una m.a.s. de X ∼ B(1,p).

n∑i=1

(Xi − X )2

n − 1=

nn − 1

PX =X1 + X2 + ...+ Xn

n∑i=1

(Xi − X )2

n − 1=

nn − 1

PX =X1 + X2 + ...+ Xn

ESTIMADOR Y ESTIMACIÓN

Al estadístico que se utiliza con la finalidad de estimar unparámetro desconocido se le denomina ESTIMADOR

El valor numérico que el estimador toma en una muestraobservada es la ESTIMACIÓN

NOTACIÓN: θ (PARÁMETRO) =⇒ θ (ESTIMADOR de θ)

Al estadístico que se utiliza con la finalidad de estimar unparámetro desconocido se le denomina

ESTIMADOR

El valor numérico que el estimador toma en una muestraobservada es la

ESTIMACIÓN

La media muestral, varianza muestral (o cuasivarianzamuestral) y proporción muestral se utilizan como estimadoresde la media, varianza y proporción poblacionales,respectivamente.

Con la notación anterior:

X = µ, S2X = σ2, S2

X = σ2 y PX = p

Distribución en el muestreo de un estadístico

La distribución en el muestreo de un estadísticoes la distribución de probabilidad del estadístico fijado eltamaño muestral.

Los valores que el estadístico X puede tomar en la muestraaleatoria (X1,X2) son:

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