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UNIVERSIDAD SAN SEBASTIÁN

FACULTAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

INGE1014 Ecuaciones Diferenciales

Primavera 2012

Guía 1

Ecuaciones diferenciales

como modelos matemáticos

1. Una taza de café se enfría obedeciendo a la ley de enfriamiento de Newton (vea ecuación 3

apuntes Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos). Con los datos del gráfico adjunto

para la temperatura ( )T t , estime los valores para 0

,m

T T y ,k en un modelo de forma de un

Problema de valor inicial (PVI): ( ) ( ) 0, 0 .m

dTk T T T T

dt= − =

2. La temperatura ambiente en la ecuación 3 de los apuntes Ecuaciones diferenciales como

modelos matemáticos podría ser una función del tiempo. Suponga que en un ambiente

controlado, ( )mT t es periódica con un período de 24 horas, como se ilustra en la figura. Diseñe un

modelo matemático para la temperatura ( )T t de un cuerpo en este ambiente.

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3. Por un agujero circular de área h

A en el fondo del estanque cúbico de la figura, sale agua.

Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua por

segundo se reduce a 2 ,hcA gh donde ( )0 1c c< < es una constante empírica. Establezca una

ecuación diferencial para la altura h del agua en el tiempo t para el tanque. El radio del agujero es

5 cm y 9,8g = m/s2.

4. Un circuito en serie contiene una resistencia R y un inductor L como se muestra en la figura.

Determine una ecuación diferencial para la corriente ( )i t y el voltaje aplicado es ( ).V t

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5. Cuando un cuerpo – como el del paracaidista de la figura – se mueve a gran rapidez en el aire, la

resistencia del mismo se describe mejor con la velocidad instantánea elevada a una cierta

potencia. Formule una ecuación diferencial que relacione la velocidad ( )v t de un cuerpo de masa

m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

6. Cuando se fija una masa m a un resorte, éste se estira s unidades y cuelga en reposo en la

posición de equilibrio que muestra la figura. Al poner en movimiento el sistema resorte-masa, sea

( )x t la distancia dirigida desde el punto de equilibrio hasta la masa. Suponga que la dirección

hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en línea recta vertical que pasa por el

centro de gravedad de la masa. También suponga que las únicas fuerzas que actúan sobre el

sistema son el peso mg de la masa y la fuerza de restitución del resorte alargado que, según la ley

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de Hooke, es porporcional as u alargamiento total. Deduzca una ecuación diferencial para el

desplazamiento ( )x t en el tiempo .t

Respuestas

1. 0

180º , 75º , 0.1m

T T k= = ≈−

2. 80 30cos , 0.12

dTk T t t

dt

π = − − >

3. 19,63600

dh ch

dt

π

=− (m/s)

4. ( )di

L Ri V tdt+ =

5. 2dv kv g

dt m+ =

6. 2

20

d x kx

dt m+ =