UNIDAD II

UNIDAD IIDESARROLLO DE FORMULAS FINANCIERASEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Hay un fenmeno econmico conocido como inflacin, el cual consiste en la prdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningn pas en el mundo est exento de inflacin, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en pases desarrollados, o por arriba del 1 000 % anual, como en algunos pases de Amrica del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qu es necesaria la inflacin o por qu se origina en cualquier economa. Lo nico que se aprecia claramente es que en pases con economas fuertes y estables, la inflacin es muy baja, pero nunca de cero.

Lo nico en que se hace nfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenmeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera inflacin, el poder adquisitivo del dinero sera el mismo a travs de los aos y la evaluacin econmica probablemente se limitara a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras.

Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas tcnicas, pronosticar cierto ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere un auto por $ 20,000 Y se espera poder venderlo dentro de cinco aos en $ 60,000, en una economa de alta inflacin. El valor nominal del dinero, por la venta del auto, es mucho mayor que el valor actual, pero dadas las tasas de inflacin que se tendrn en los prximos cinco aos el valor de $ 60,000 trado o calculado a su equivalente al da de hoy, resulta mucho ms bajo que $ 20,000.

Este fenmeno de "ilusin monetaria" se presenta en mayor o menor proporcin en cualquier pas que padezca la inflacin. Es aqu donde interviene la ingeniera econmica, que intenta resolver el problema del cambio en el valor del dinero a travs del tiempo. La solucin que aporta es calcular el valor equivalente del dinero en un solo instante de tiempo. Si retornamos el ejemplo del auto, sera errneo afirmar que ste se podra vender dentro de cinco aos al triple de su valor. Aunque es cierto en trminos nominales, es decir, slo por lo que se observa en las cifras, para hacer una adecuada comparacin se debe obtener el poder adquisitivo real, tanto de los $ 20,000 como de los $ 60,000 en cierto punto en el tiempo, que puede ser el momento de adquirir el auto o el momento de venderlo. Cuando se calcula el valor real del dinero en esta situacin, se puede percibir la "ilusin monetaria" de que se ha hablado.

Parece claro que en tanto se cuente con las tcnicas analticas adecuadas y se pueda comparar el poder adquisitivo real del dinero en determinados instantes de tiempo, se estar capacitado para tomar mejores decisiones econmicas. sta es la ayuda que puede prestar la ingeniera econmica a los administradores de negocios.DESARROLLO DE FRMULAS

2.5.1 NOTACIN DE FRMULAS(F/P, i%, n)FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA

(P/F, i%, n)FACTOR DE VALOR PRESENTE DE UN PAGO NICO

(P/A, i%, n)FACTOR DE VALOR PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME

(A/F, i%, n)FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIN

(F/A, i%, n)FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA-SERIE UNIFORME

(A/P, i%, n)FACTOR DE RECUPERACIN DE CAPITAL

(A/G, i%, n)FACTOR DE GRADIENTE

Donde:F/P, P/F, P/A, A/F, F/A, A/P, A/G =Factor a calcular

i% = Tasa de inters

n = Numero de periodos

2.5.2 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA

Supngase que una cantidad dada de dinero P, gana inters a una tasa i, capitalizada anualmente. La cantidad total de dinero, F , que se habr acumulado a partir de una inversin P despus de n aos esta dada por F=P(1+i)n. La relacin

F/P=(1+i) n

(2.1)

se llama factor de cantidad compuesta de un pago nico. Los valores numricos de este factor se pueden calcular usando la formula (2.1) o pueden obtenerse en las tablas de inters compuesto.

Una notacin mas completa, (F/P, i%, n), es til al establecer la solucin de un problema de inters compuesto.

EJEMPLO 2.1 Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga inters de 6% anual, capitalizada cada ao. Si se deja que el dinero se acumule, cunto dinero tendr el estudiante despus de 12 aos?

Se quiere obtener F, dados P, i, y n. Entonces:

F=P*(F/P, i%, n)=$1,000(F/P, 6%, 12)=$1,000(2.0122)=$2,012.20[SEP92]

2.5.3 FACTOR DE VALOR PRESENTE

El factor de valor presente de un pago nico es el reciproco del factor de cantidad compuesta de un pago nico:

P/F=(F/P)-1=(1+i)-n

(2.2)

La notacin desglosada para esta cantidad es (P/F,1%, n). Los valores numricos de este factor se pueden obtener directamente de la formula (2.2) o de las tablas.

EJEMPLO Se depositara cierta suma de dinero en una cuenta de ahorros que paga inters anual a una tasa de 6% capitalizada anualmente. Si se permite que todo el dinero se acumule, cunto deber depositarse en un principio para disponer de $5,000 despus de 10 aos?

Se quiere encontrar el valor de P, dados F, i y n. Entonces,

P=F*(P/F, i%, n)=$5,000(P/F,6%, 10)=$5,000(0.5584)=$2,792.00

El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperacin de capital.

(2.7)

La notacin desglosada es (P/A, i%, n).

EJEMPLO Un ingeniero esta planeando su retiro y esta planeando retirar $10,000 cada ao de su cuenta de ahorros. Cunto dinero deber tener en el banco al principio de su retiro si su dinero gana el 6% al ao, capitalizado anualmente y esta planeando su retiro de 12 aos (es decir, 12 retiros anuales)?

P=A*(P/A, i%, n)=$10,000(P/A, 6%, 12)=$10,000(8.3839)=$83,839

[SEP92]

2.5.4 FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIN

El factor de fondo de amortizacin de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme:

(2.4)

Esta cantidad tiene la notacin desglosada (A/F, i%, n).

EJEMPLO 2.4 Supngase que se deposita una cantidad fija de dinero, A, en una cuenta de ahorros al final de cada ao durante 20 aos. Si el banco paga 6% anual, capitalizado cada ao, encuntrese A, tal que al final de los 20 aos se hayan acumulado $50,000.

A=F*(A/F, i%, n)=$50,000(A/F, 6%, 20)=$50,000(0.02718)=$1,359

2.5.5 FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA-SERIE UNIFORME

Supngase que se depositan cantidades iguales de dinero, A, en una cuenta de ahorros (o en cualquier otro tipo de inversin que da intereses) al final de cada ao, como se indica en la figura siguiente, si el dinero gana intereses a una tasa i capitalizada anualmente, cunto se habr acumulado al cabo de n aos?

Para contestar esta pregunta, ntese que despus de n aos, el deposito del primer ao habr aumentado su valor a

De igual manera el deposito hecho el segundo ao habr aumentado su valor a:

y as sucesivamente. La cantidad total acumulada ser entonces la suma de una progresin geomtrica:

La razn:

(2.3)

se llama factor de cantidad compuesta de una serie uniforme. Los valores numricos de este factor se pueden obtener usando la formula (2.3) o mediante las tablas de inters compuesto. La notacin desglosada (F/A, i%, n) resulta til cuando la solucin del problema de inters compuesto incluye series uniformes.

EJEMPLO 2.3: Un estudiante planea depositar $600 cada ao en una cuenta durante 10 aos. Si el banco paga 6% anual, capitalizado cada ao. Cunto dinero habr acumulado al final de los 10 aos?

F=A*(F/A, i%, n)=$600(F/A, 6%, 10)=$600(13.1808)=$7,908.48[SEP92]

2.5.6 FACTOR DE RECUPERACIN DE CAPITAL

Considrese una situacin un poco diferente que involucra pagos anuales uniformes. Supngase que se deposita una suma dada P, en una cuenta de ahorros en la que gana inters a una tasa i anual, capitalizada cada ao. Al final de cada ao se retira una cantidad fija A (vase la figura siguiente). A cuanto debe ascender A para que la cuenta de banco se agote justo al final de los n aos?

Para resolver este problema pueden emplearse los factores que se definieron antes, ya que

A = P * (A/F) * (F/P)

(2.5)

Sustituyendo las formulas (2.4) y (2.1) en la ecuacin (2.5) se obtiene

La razn

(2.6)

se llama factor de recuperacin de capital de una serie uniforme. Los valores numricos de este factor pueden calcularse usando la formula (2.6) o puede obtenerse de un conjunto de tablas de inters compuesto. Los smbolos para el factor de recuperacin de capital de una serie uniforme son (A/P, i%, n).

EJEMPLO 2.5 Un ingeniero que esta a punto de retirarse ha reunido $50,000 en una cuenta de ahorros que paga 6% anual, capitalizado cada ao. Supngase que quiere retirar una suma de dinero fija al final de cada ao, durante 10 aos. Cul es la cantidad mxima que puede retirar?

A=P*(A/P, i%, n)=$50,000((A/P, 6%, 10)=$50,000(0.1359)=$6,795

[BAC99]

2.5.7 FACTOR DE GRADIENTE

Las series de gradiente se basan en la suposicin terica de que una cifra, como el costo de mantenimiento de un automvil, aumentar cada ao en una cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto se mantendr durante cierto nmero de periodos. Se dice que la situacin es terica pues en la prctica es imposible que se puedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente la misma cantidad. Sin embargo, se han desarrollado frmulas especiales para resolver este tipo de problemas. A la cantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llama gradiente y se le representa con la letra G.

EJEMPLO 2.9. Una persona adquiri un auto; espera que el costo de mantenimiento sea de $ 150 al finalizar el primer ao y que en los subsecuentes aumente a razn de $ 50 anuales. Si la tasa de inters es de 8 % capitalizada cada ao, cul es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 aos?

SOLUCIN. Los datos del problema son: P ~ ?; i = 8 %; n = 6; 'primer pago ~ 150; G = 50. El diagrama de flujo del problema es el de la grfica 2.10.

Utilizando la frmula bsica 2.7 se tiene:

En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades. Por ejemplo, la grfica 2.10 se puede dividir en dos, como se muestra en la grfica 2.11

Grafica 2.11

Si; como se anot en un principio, al incremento constante se le denota por G.

Cuando se trabaja con series gradiente siempre se tiene:

l. Un nmero de A igual a n.

2. Un nmero de G en el mismo diagrama de (n-l), ya que en el periodo 1 todava no existe el incremento debido a G.

3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P", cuya suma es la P del diagrama original.

Para calcular el presente P = p' + P .., se pueden calcular p' y P" como:

2.9

2.10

La frmula para calcular p' es la 2.9; y la frmula para calcular P" s es nueva, y no se presenta su deduccin por las razones ya expuestas con anterioridad. Lo importante es entender el concepto que manejan ambas frmulas y recalcar que casi siempre existe ms de una va de solucin para un problema dado. En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partes pc1rece ms complicado que la solucin ofrecida en el ejemplo 2.9. Sin embargo, si el nmero de n es elevado, puede ser ms cmodo utilizar las frmulas 2.9 y 2.12 para resolver este tipo de problemas.

EJEMPLO 2.10. Resulvase el ejemplo 2.9 mediante el empleo de las frmulas 2.9 y 2.12.

SOLUCIN. Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo en las frmulas 2.9 y 2.12 se tiene:

El uso de las frmulas de series gradiente tambin es adecuado cuando ste es decreciente.

[BAC99]

BIBLIOGRAFIA UNIDAD II

[SIE01]SIERRA ACOSTA JORGE, APUNTES DE CLASE, 2001

[BAC99]Baca Urbana, G. Ingeniera Econmica, Mc Graw-Hill, Segunda Edicin, 1999, Mxico, 390 pp.

[BLA99]Blank, L. T. Y Tarkin, A. J. Ingeniera Econmica, Mc Graw-Hill, Cuarta Edicin, 1999, Mxico, 725 pp

[COS99]Coss, B. R. Anlisis Econmico de Proyectos de Inversin, Limusa, Octava Edicin, 1999, Mxico, 415 pp.

[RIC87]Richard I. Levin y Charles A. Kirkpatrick Enfoques Cuantitativos a la Administracin, . Continental S. A., Cuarta Edicin, 1987,.Mxico, 437 pp.

[SEP92]Jos A. Sepulveda, William E. Souder y Byron S. Gottfried Ingeniera Econmica, Mc GRAWHILL, 1992, Mxico, 190 pp....

F

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

A A A A A A A

Fig. 2-1

...

0 1 2 3 4 n-2 n-1 n

AO

P

Fig. 2-2

0

150

200

250

300

350

400

1 2 3 4 5 6

P=?

0 1 2 3 4 5 6

150 150 150 150 150 150

0 1 2 3 4 5 6

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5 6

400

350

300

250

200

150

+

=

P

P

P