Ecuación característica

10/24/2012 René Játiva Espinoza

Comunicaciones Ópticas

(IEE431)



Bloque 2: Transmisión de

Seañes a través de Fibras

Ópticas

Bloque 2: Transmisión de Señales a

través de Fibras Ópticas

• 2.1: Visión General de la Propagación en medios

guiados.

• 2.2: Propagación en Fibras de Índice Escalonado

• 2.3: Solución de la Ecuación Característica para

fibras ópticas de índice escalonado.

• 2.4: Propagación en fibras de índice gradual.

• 2.5: Características Operacionales de las fibras

ópticas: Atenuación, Producto Distancia-Ancho

de Banda, Propiedades mecánicas.


Bloque 2: Transmisión de Señales a

través de Fibras Ópticas

• 2.6: Dispersión y esparcimiento de señal

• 2.7: Características no lineales de las fibras

ópticas: automodulación de fase, modulación

cruzada de fase, mezcla de cuatro ondas,

Dispersión Raman Estimulada (SRS), Dispersión

Brillouin Estimulada (SBS).

• 2.8: Solitones

• 2.9: Ruido en sistemas ópticos de comunicación.



• Bloque 2: Transmisión de señales a través

de fibras ópticas

– 2.1 Visión General de la propagación en

medios guiados.

– 2.1 Propagación en Fibras de Índice

Escalonado.

– Solución de la ecuación característica

para fibras ópticas de índice escalonado



Visión General de la

Propagación en medios guiados


Expresiones de Interés: Las

Leyes de Maxwell

• A continuación dos de ellas la Ley de Faraday y la

de Ampere-Maxwell:

. . . .

. .

C S

C S

Bf e m E dl B ds E

t t

D DH dl I dS H J

t t


Expresiones de Interés: Las

Leyes de Maxwell

• Las otras dos ecuaciones son las Leyes de Gauss

para el Campo Magnético y para el Campo

Eléctrico respectivamente:

fuente conducción

. 0 . 0

. .

S

o oS

B ds B

QE ds E

con J J J


Ecuaciones de Maxwell

• En las expresiones anteriores:

• E(r,t): vector de intensidad de campo eléctrico (V/m)

• H(r,t): vector de intensidad de campo magnético (A/m)

• D(r,t): vector de desplazamiento eléctrico (C/m2)

• B(r,t): vector de densidad de flujo magnético (Wb/m2 o T)

• J(r,t): vector de densidad de corriente (A/m2)

• (r,t): densidad volumétrica de carga (C/m3)

• r: vector de posición (m)

• t: tiempo (seg)


Otras relaciones de interés

• Los vectores de desplazamiento eléctrico y de campo

magnético D y H se relacionan con los de campo

eléctrico y de densidad de de flujo magnético E y B,

respectivamente, a través de los parámetros

constitutivos que caracterizan la naturaleza

electromagnética del material. Para medios lineales,

isotrópicos homogéneos:

( , ) ,

( , ) ,

D r t E r t

B r t H r t

: permitividad o constante

dieléctrica del material (F/m)

: permeabilidad del material

(H/m)


Otras relaciones de interés

• Recordemos las expresiones para el rotacional y

los campos, cuando se utiliza un sistema de

coordenadas rectangulares:

x y z

x y z

i j kx y z

H H i H j H k

E E i E j E k


Los Modos Transversal Eléctrico (TE)

• Las guías de onda no pueden transmitir energía electromagnética a frecuencias muy bajas y tampoco pueden guiarlas en el modo TEM.

• En el caso de las guías de onda huecas rectangulares o circulares solo pueden propagarse ondas TE y TM.

• Los modos TE (Transversal Eléctrico) tienen todo su campo eléctrico transversal a la dirección axial (Ez=0), y una componente de campo magnético en la dirección axial (Hz0). Por otro lado los modos TM (Transversal Magnético) tienen todo su campo magnético transversal a la dirección axial (Hz=0), y una componente de campo eléctrico en la dirección axial (Ez 0).


Patrones de Campo Eléctrico:

Modos TE en guía rectangular

Campo eléctrico en líneas continuas y campo magnético

en líneas punteadas para modos TE10 y TE11


Teoría General de los Modos TE

• A partir de ecuación de Maxwell para el campo

eléctrico se llega al siguiente conjunto de

ecuaciones simultáneas:

;

;y xz z

x y

y xz

BE E jw H

t

E EE Ejw H jw H

y z z x

E Ejw H

x y

a) b)

c)



• A partir de ecuación de Maxwell para el campo

magnético se llega al siguiente conjunto de

ecuaciones simultáneas :

,y xz z

x y

y xz

DH J H jw E

t

H HH Hjw E jw E

y z z x

H Hjw E

x y

d) e)

f)



• En el modo “TE” se verifica que Ez=0, y si se asume

que la dependencia de los campos Ex y Ey con relación

a la dirección z está dada por una exponencial

compleja:

';

En a) 0

En b) 0

yz z xy y x x

y x y x

xy x x y

E ESi E Ae E Si E Ae E

z z

jwE jw H E H

E jwjw H E E H

z

g)

h)



• Si en forma similar se asume que la dependencia de

los campos magnéticos con relación a la dirección z

también está dada por una exponencial compleja como

en el caso anterior:

'

2 2 2 2

; ;

En d) , En e)

( )

;

yz z xy y x y

z zy x y y

x y

z zy x

H HSi H Ce H Si H C e H

z z

H HH jw E H jw E

y x

A partir de E y E h y g

H HH H

w y w x

i) j)



• Reemplazando las expresiones de Ex, Ey y Hy en la

expresión que los relaciona (h, g, i en c), se

obtiene la ecuación a resolver:

2 2

2 2

2 20

y xz

z zz

E Ejw H

x y

H Hw H

x y

La solución se

consigue

usando las

condiciones

de contorno

pertinentes


Teoría General de los Modos TM

• El procedimiento de deducción de la ecuación de onda

para este caso es análogo al de modos TM,

considerando que ahora Hz=0 y que existe una

componente Ez distinta de cero:

2 2

2 2

2 20z z

z

E Ew E

x y


Guías Circulares

• El estudio de los campos en una guía circular se

fundamenta en la teoría general para modos TE y TM,

con la particularidad de que es conveniente el trabajar

en coordenadas cilíndricas.

• En forma similar haremos Ez=0 para modos TE y Hz=0

para modos TM.

• Finalmente la solución para los campos termina

asociada a las funciones de Bessel de primera clase, al

hacer cumplir las condiciones de contorno.


Guías Circulares

22 2

2 2

22 2

2 2

1 10

1 10

z zz

z zz

H Hw H

E Ew E

La ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, que son

adecuadas para guías de onda circulares, para modos TE

y TM se muestran a continuación:


Guías Circulares

21

2 2 2

cos sin

;

0

cos

z

m m

ff

o m

AJ h BN h C m D m e

h

B m

A J h m

Las ecuaciones de onda para guías circulares pueden

resolverse por el método de separación de variables. La

solución general contiene funciones de Bessel de primera y segunda clase, de orden m: Jm(h) y Nm(h) :

Debido a la singularidad de Nm(=0)


Funciones de Bessel de primera clase y orden variable, Jm(h)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.5

0

0.5

1

Beta [rad]

Jn

(Be

ta)

Funciones de Bessel de primera especie y orden variable

Jo(Beta)

J1(Beta)

J2(Beta)J3(Beta)

J4(Beta)


Propagación en Fibras de índice

escalonado


Propagación en una Fibra de índice

Escalonado

• Al ser la fibra una guía dieléctrica geométricamente

circular se han de utilizar coordenadas cilíndricas para su

análisis.

• En forma análoga que para las guías circulares, la

ecuación de onda para los campos eléctrico o magnético () toma la siguiente forma:

22

2 2

2 2 2

1 10h

con h



Escalonado

• La solución para el caso de fibras es más complicada que para guías circulares pues ahora ninguna componente de campo en la dirección de z puede eliminarse, salvando un caso particular.

• Esto da lugar a los modos de propagación denominados híbridos, designados como HE y EH.

• Se dice que el modo es HE cuando la componente Hz contribuye mayoritariamente al campo transversal, se dice que el modo es EH cuando a su vez es la componente Ez la que contribuye mayoritariamente al campo transversal.



Escalonado

• Si bien la solución para el núcleo es similar a la solución

para una guía circular, también debe considerarse el efecto

del revestimiento:

1

2 2 2

1 1

. 2

2 2 2

2 2

cos

cos

z

nucleo m

o

z

revest m

o

J h m e a

h

K h m e a

h

Km es una

función de

Bessel

modificada de

segunda clase.

Decrece

exponencial-

mente hacia cero al crecer


Funciones de Bessel modificadas de segunda clase y orden variable, Km(h)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410

-2

10-1

100

101

102

beta

Km

(beta

)

Funciones de Bessel modificadas de segundo orden

K1(beta)

Ko(beta)

K2(beta)

K3(beta) Note la

rápida

degradación

de la señal

en la

dirección

radial

(=h)



Escalonado

• Para conseguir que exista propagación a lo largo de la fibra

y evitar que los campos sean radiados a través del

revestimiento debe asegurarse que la constante de

propagación en el núcleo sea imaginaria pura (=j):

2 2 2

2 1

2 1

0

0 0

1

o o

r

n nSi n

c c

con c

=constante de

fase.

1: núcleo

2: revestimiento



Escalonado-Condiciones de Frontera

• En la frontera entre el núcleo y el revestimiento, debe

haber continuidad para todo valor de z en la componente

tangencial axial (z) y en la componente tangencial () de la

dirección de los campos E y H.

1 2

1 2

1 2

1 2

,0 2 , ,0 2 ,

,0 2 , ,0 2 ,

,0 2 , ,0 2 ,

,0 2 , ,0 2 ,

z z

z z

E a z E a z

H a z H a z

E a z E a z

H a z H a z



Escalonado

• Particularizando la solución general, la solución para el

campo magnético en la dirección de propagación (z) toma

la forma siguiente:

1

1

2

2

cos

cos

z

z m

m

z

z m

m

AH J h m e a

J h a

AH K h m e a

K h a



Escalonado

• Así mismo las expresiones para la componente en la

dirección de propagación del campo eléctrico es la

siguiente:

1

1

2

2

sin

sin

z

z m

m

z

z m

m

BE J h m e a

J h a

BE K h m e a

K h a

Aplicando las condiciones de frontera para las

componentes de campo en la dirección de propagación:



Escalonado

Expresiones

para las

componentes

tangenciales

de los

campos

eléctrico y

magnético

2 2

1 1

2 2

2 2

1

2 2

1 1

2

2 2

1 2

z z

z z

z z

z z

H Ej jE a

h h

H Ej jE a

h h

H j EjH a

h h

H j EjH a

h h



Escalonado

Expresiones

para las

componentes

radiales de

los campos

eléctrico y

magnético

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

z z

z z

z z

z z

H EjE a

h

H EjE a

h

H EjH a

h

H EjH a

h


Ecuación Característica en una Fibra de

índice Escalonado

• Aplicando las condiciones de contorno para las

componentes tangenciales de campo transversales a la dirección de propagación en =a. Es decir que

E1=E2 y H1=H2, se obtiene la ecuación

característica para la fibra de índice escalonado:

1 1

2 2

2 2

1 1

2 2

2 2

z z

z z

H Ej jE a

h h

H Ej j

h h



índice Escalonado

• La ecuación característica debe resolverse para

encontrar la constante de fase de cada modo de propagación. Recuerde que p y q dependen de y

a través de h1 y h2, y que fm y gm se relacionan con las

funciones de Bessel como se muestra arriba.

1 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

1 1;

; ; ;

m m

m m

m ma a

o o

J h K hh f p h g q

J p K q

p h a q h a h h


Solución de la ecuación característica

para fibras ópticas de índice escalonado



índice Escalonado

• Haciendo los reemplazos pertinentes, y despejando

A/B, tenemos:

0

2 2

2 2

1 2

1 1

1 1

m m

m m

f p g q

p qwB

A m

p q

p qB m

A w f p g q

p q

Para E1=E2

Para H1=H2



índice Escalonado

1 22

0

2

2 2

2 2

1 1

m m m mf p g q f p g qw

p q p q

mp q

EHmn y HEmn; m1

De donde por igualación se obtiene la ecuación

característica de la Fibra de Índice Escalonado:



índice Escalonado

• En forma similar al caso de guías circulares, la característica oscilatoria de la función Jm y de su derivada hacen posible la obtención de múltiples soluciones para un valor de m dado. Si se asocia a la n-ésima raíz de dichas funciones con el valor “n” para cada valor de “m” aparece el modo Hmn o Hnm según sea el caso.

• Los modos TE y TM en una fibra son un caso muy particular que aparece cuando m=0.

• Si se hace m=0 la ecuación característica se simplifica como se muestra a continuación:



índice Escalonado (m=0)

• La ecuación característica para los modos TE

y TM en la fibra son las siguientes:

0 0

0

1 0 2 0

0

0

0

m m

n

m m

n

f p g qTE

p q

f p g qTM

p q

La condición de corte se produce cuando q tiende a

cero.




• Un parámetro muy importante relacionado con la

condición de corte de la fibra se define a partir de p y

q, y se le denomina frecuencia normalizada V. El

valor de V está relacionado con el número de modos

diferentes que puede haber simultáneamente en la

fibra a una frecuencia determinada.

2 2 2 2 2

1 2

1/ 22 2

1 2

2

o

o

V p q a

aV n n




• La frecuencia de corte en una fibra define el punto en

el cual el modo ya no queda restringido a propagarse

en la región del núcleo y la zona cercana del

revestimiento, sino que los campos se extienden

mucho más allá de la geometría cilíndrica de la fibra.

Se comporta como una antena. El valor de q entonces

tiende a cero.


Apertura Numérica y Ángulo de

Aceptación de la Fibra

• Se define la apertura numérica (NA) como la diferencia de

los cuadrados de los índices de refracción. El ángulo de

aceptación es aquel que tiene por seno precisamente el

valor de la apertura numérica y se define como el ángulo

de incidencia máximo permisible de un rayo de luz con

respecto a la superficie de la fibra para el cual se obtiene

reflexión interna total en la interfaz núcleo-revestimiento.

1/ 22 2

1 2

2

; sin

2;

2

a

o

NA n n Arc NA

a VV NA Número de modos


Ejercicio 1

• La diferencia relativa entre los índices del núcleo y del

revestimiento, , para una fibra multimodo típica es del

1%. Calcule el valor del ángulo de aceptación para estas

fibras cuando el índice de refracción del núcleo es de 1,46.

2 21/ 2 1/ 22 21 2 1 2

1 2 12

1 1

1/ 2

22

1,46 0,02 0,2064

sin sin 0,2064

11,9º

a

a

n n n nNA n n n

n n

NA

Arc NA Arc


Ejercicio 2

• Una fibra multimodo de índice escalonado tiene

índices de refracción de 1,41 y 1,40, respectivamente,

en el núcleo y revestimiento. El radio del núcleo es de

50um. Diga cuántos modos se propagan

aproximadamente a una longitud de onda de 1300 nm.

1/ 2 1/ 22 2 2 2

1 2

2 2

1,41 1,40 0,1676

2 .500,1676 40,50

1,3

2 40,50 2 820

NA n n

mV

m

Número de modos V


Solución de la Ecuación Característica para una

Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado

• La solución de la ecuación característica puede hacerse

usando un método de aproximación denominado de

“conducción débil”, en el cual se considera que los índices

de refracción en el núcleo (n1) y en el revestimiento son

casi iguales (n1-n2<<1). Al aplicar estas condiciones, su

expresión entonces se simplifica como sigue:

2 2

1 2 1

2 2

2 2 2

1 1 2 2

;

1 1

o

m m

o o

f p g qm

p q p q




• Bajo este supuesto, a partir de la ecuación característica

simplificada, y aplicando las siguientes identidades para las

funciones de Bessel relacionadas con fm y gm, es posible de

conseguir un conjunto de condiciones reducidas (Eq. 2 y 3

en 1)

2 2

' '

1 1

' '

1 1

1 1

;

;

m m

m

m m m m m m

m m m m m m

f p g qF m

p q p q

m mJ p J p J p J p J p J p

p p

m mK q K q K q K q K q K q

q q




• La condiciones que deben cumplirse para el caso de signo

positivo y negativo respectivamente son:

1 1

1 1

2 2 2

1 1" "

1 1" "

Recuerde que también debe cumplirse que :

m m

m m

m m

m m

J p K qModos EH

p J p q K q

J p K qModos HE

p J p q K q

p q V




• A partir de las expresiones anteriores se puede demostrar

que:

1

2 1

2

2 2

o o

o

n n

pn

a

El primer modo en

aparecer es el modo HE11,

y después aparecen TE01 y

TM01, cuando V=2,405

Para valores de V<2,405 el

modo dominante HE11 es

el único en aparecer.




• A partir de la restricción de V<2,405 necesaria en fibras monomodo, se comprende que el radio “a” impone un límite práctico a la frecuencia más baja que puede usarse en este tipo de fibras. El rango práctico para operación en fibras monomodo se extiende en frecuencias de corte en el rango 1,8<V<2,4.

• En forma general la frecuencia de corte debe buscarse de las expresiones simplificadas de la ecuación característica.

• Para el caso de modos EH, se parte de la expresión para signo “+”, mientras que para modos HE se parte de la expresión para signo “-”. En ambos casos el orden de aparecimiento de la raíz n-ésima en Jm(p) que además verifica la condición caracteriza el modo mn.


Solución de la Ecuación Característica para

una Fibra de índice Escalonado: Modos EH

• De esta manera:

1 1

1 1

1

2 2

1 1" "

0 0

0 ; 0

m m

m m

m m

m m

m

m

m c

J p K qModos EH

p J p q K q

J p K qp q

J p K q

J pSi q p

J p

J p y V p p

Si m 0 entonces

p0 para que

Jm+1(0) 0

Si m=0 entonces

tenemos modos TE

y TM.


Solución de la Ecuación Característica para

una Fibra de índice Escalonado: Modo HE1n

• Así mismo:

1 1

1 1

1

2 2

1 1 0

1 1" "

0 0

0 0 0; ;

m m

m m

m m

m m

m

m

m m c

J p K qModos HE

p J p q K q

J p K qp q

J p K q

J pSi q p

J p

J p y J p p puede ser V p

Particularizando para m=1

determinamos que p=0

resuelve la ecuación

característica:

Vc(HE11)=0



Fibra de índice Escalonado: Modos HEmn

• Generalizando la solución de la ecuación característica:

1 1

2 2

1 1 1 1

2

1

2 2

2 1

1 1

0 0 2

0 0 0;

m m

m m

m m m m

m m m m

m

m

m m c

J p K q

p J p q K q

J p K q J p K qp q o p q

J p K q J p K q

J pSi q p m

J p

J p y J p p V p

Esta forma de la expresión

permite revelar la existencia

de modos HE que pasarían

inadvertidos


Condiciones para la frecuencia de corte

normalizada (Vc=p) de los modos de propagación

en una fibra de índice escalonado

m modo Condición Primeras raíces

n=1 n=2 n=3

0 TEon,TMon Jo(Vc)=0 2,405 5,520 8,654 Vc0

1 HE1n J1(Vc)=0 0 3,832 7,016

1 EH1n J1(Vc)=0 3,832 7,016 10,173 Vc0

>=2 HEmn Jm-2(Vc)=0

Vc0

2,405 5,520 8,654 m=2

3,832 7,016 10,173 m=3

5,136 8,417 11,620 m=4

>=2 EHmn Jm(Vc)=0

Vc0

5,136 8,417 11,620 m=2


Ejercicio 3

• El índice de refracción del núcleo de una fibra es de 1,5.

Se desea que la fibra trabaje únicamente con un modo de

propagación, transmitiendo luz en segunda ventana

(1300nm). Encuentre una relación matemática entre el

rango de radios permisibles para el núcleo y el rango del

índice de refracción permisible para el revestimiento.

Muestre la gráfica correspondiente.

2

2

0,4976

2,25a m

n


Ejercicio 4

• Una fibra óptica de índice escalonado tiene índices de

refracción de 1,470 y 1,460 en el núcleo y el

revestimiento, respectivamente. El radio del núcleo es de

8 um. Encuentre la apertura numérica de la fibra, el

ángulo de aceptación, la frecuencia de corte normalizada

Vc y la frecuencia de corte en Hz para los primeros doce

modos que se propagan en ella.

1/ 2 1/ 22 2 2 2

1 2 1,47 1,46 0,1712

sin sin 0,1712 9,86ºa

NA n n

Arc NA Arc


Ejercicio 4 (cont)

modo condición Vc fc (THz)

HE11 J1(Vc)=0 0 0

TE01, TM01, HE21 J0(Vc)=0 2,405 83,84

HE12, EH11, HE31 J1(Vc)=0 3,832 133,58

EH21, HE41 J2(Vc)=0 5,136 179,04

TE02, TM02, HE22 J0(Vc)=0 5,520 192,43


Ejercicio 5

• Demuestre que las expresiones matemáticas para las

tres componentes Ez, E y E, de campo eléctrico en el

núcleo de una fibra óptica para los modos HE1n son las

siguientes:

1 1

1 1

1 1

1 1

cos

sin

z

m

m

z

m

m

jw AE J h m e

h J h a

jw AE J h m e

h J h a


Ejercicio 5 (cont)

• Obtenga también las expresiones del campo eléctrico

para el modo dominante HE11.

1

1

sin z

z m

m

BE J h m e

J h a


Ejercicio 6

• Demuestre que el modo dominante HE11 está

linealmente polarizado.

1 1

1

cos ; sin ;

cos sin ; sin cos

sin cos ; cos sin

; 0

o o

t

x y x y

y x

y o x

j aA j aAE J p E J p

pJ p a pJ p a

E E u E u

E E E E E E

E E E E E E

j aAE J p E

pJ p a


Modo Dominante y Modos

Superiores

Modo Dominante Tres primeros Modos Superiores

HE11 TM01 HE21 TE01

Vista transversal de las líneas de campo eléctrico.


El Modo Dominante (HE11)

• Se puede demostrar que para el modo dominante todo el

campo eléctrico transversal está orientado en la dirección “y” (para toda y para todo ), y que la relación entre p y

V está dada por la expresión siguiente, de donde puede

graficarse la magnitud del campo.

1

44

; 0

2,414213

1 4

y o x

j aAE J p E

pJ p a

Vp

V


La Constante de Propagación Normalizada

• La constante de propagación normalizada se nota por “b”,

y puede demostrarse que toma la siguiente expresión:

2 222

2 2 2

1 2

2 2 1 21

1

2

2

11 244

/; 0 1

1 1

2,414213 1

1 4

o

o

nqb b b

V n n

b

VPara HE b V

VV


Ejercicio 7

• Una fibra de índice escalonado tiene índices de refracción

de 1,460 y 1,457 en el núcleo y el revestimiento, respectivamente. El radio del núcleo es de 5 m.

Encuentre la constante de fase del modo dominante a una

frecuencia de trabajo igual al 90% del valor de la

frecuencia de corte del primer modo superior.

1/ 22 2

8

6

; 1,46 1,457 0,093552

3 10 2,405245,5

2 5 10 0,09355

cc

c

cVf NA

a NA

xf THz

x x


Ejercicio 7 (cont)

8

0 14

2

1144

2 2 2

1 2 2

6 6

3 1090% 221 1,357

221 10

90% 0,9 2,405 2,16

2,4142131 1 0,5508 0,4492

1 4

1,4583

24,63 10 / 6,752 10 /

c o

o

c

o

o

o

o

c xf f THz nm

f x

V V x

Para HE bV

n n b n

x rad m x rad m


Parámetro p vs frecuencia normalizada para los

modos HE11, TE01, TM01, HE21

B/Bo es mayor

para el modo

dominante. La

velocidad de

propagación de

la señal para

este modo es

ligeramente

superior.


Parámetro p vs frecuencia normalizada para los

modos HE11, TE01, TM01, HE21

Las

características

de los tres

modos

superiores son

cuasi-

idénticas.


Modos Linealmente Polarizados

• Los modos linealmente polarizados son combinaciones lineales de los anteriores (TM, EM, HE y EH).

• En particular los modos HEm+1,n y EHm-1,n tienen características de propagación cuasi-idénticas por lo cual se consideran modos degenerados.

• Por ejemplo si se emplea la combinación HEm+1,n+EHm-1,n se llega a un campo totalmente polarizado en la dirección de y.

• En definitiva aquellas combinaciones de modos posibles que permiten obtener patrones de campo linealmente polarizados se denominan modos linealmente polarizados. La fibra monomodo opera exclusivamente en el modo LP01=HE11.



Modos LP Modos que lo

originan

LP0n HE1n

LP1n TE0n, TM0n y HE2n

LPmn(m2) HEm+1,n y EHm-1,n



Modos LP Modos que lo originan Vc

LP01 HE11 0

LP11 HE21, TE01, TM01 2,405

LP21 HE31, EH11 3,832

LP02 HE12 3,832

LP31 HE41, EH21 5,136

LP12 HE22, TE02, TM02 5,520


Ejercicio 8

• ¿Cuánto debe valer el radio de una fibra óptica

monomodo de índice escalonado que trabaje en primera ventana de propagación (=850nm) y tenga

en su núcleo un índice de refracción igual a 1,465, y

en el revestimiento uno de 1,46?

2 2

2 2

2 2

1

6

2( ) 2,405

0,12091,465 1,46 0,1209; 0,34%

2 2 1,465

2,405 2,405 0,85 102,69

2 2 0,1209

o

o

aV NA

NANA

n x

x xa m

NA


Ejercicio 8 (Cont.)

• Si el radio de la fibra es de 25um, ¿cuál debería ser el

valor de la diferencia relativa de índices para mantener

el carácter monomodo de la fibra? ¿Qué puede

concluir al respecto?

1/ 2

1

2 2

2 26

6

1

2 2( ) 2,405 2 2,405

1,465 1,46 0,1209

2,4051 1 2,405 0,85 100,0039%

2 2 2 2 .25 10 .1,465

o o

o

a aV NA n

NA

x x

an x

La diferencia de índices es demasiado pequeña para

ser físicamente realizable.


Teoría de la Óptica Radial o Geométrica

• Las longitudes de onda que se emplean en fibras se encuentran entre 0,8 y 1,6 um, mientras que el diámetro del núcleo se encuentra entre 10 y 200 um, por lo cual el núcleo es grande comparado por la longitud de onda.

• Los frentes de onda pueden aproximarse como planos por la apertura en la cual inciden, y en este caso pueden usarse los conceptos de óptica geométrica para el estudio de la fibra.

• Este método es mucho más adecuado para el estudio de fibras multimodo.

11 1 1 2 2

1

; sin sinr

cn n n

v Ley de

Snell



Reflexión y Refracción de un rayo de luz en la fibra óptica

1

2

1

o 90º-1

z

no

n1

n2

C. aceptación



• Los campos al incidir sobre el revestimiento son

reflejados y refractados debido a la variación de índice de

refracción.

• El ángulo crítico es aquel a partir del cual se produce el

fenómeno de refracción. Para valores en el ángulo de

incidencia menores se dice que se tiene reflexión total

interna. El ángulo crítico se calcula como sigue:

2

1

arcsinc

n

n



• Adicionalmente, el rayo incidente al reflejarse sufrirá un

cambio de fase.

• Si se nota por n y p a las componentes normal y paralela

al plano de incidencia de la onda incidente, puede

demostrarse que estos desfasamientos son:

2 2

1

1

2 2

1

1 2

1

cos 12arctan

sin

cos 12arctan ; /

sin

n

p

n

n

n nn n n


Propagación en fibras multimodo de índice

escalonado

• Las fibras multimodo de índice escalonado tienen un núcleo con índice de refracción n1 aproximadamente igual a 1,48. Si el índice del revestimiento se nota por n2, puede definirse una diferencia de índices como sigue:

• La diferencia de índices se encuentra entre 1% y 3% en fibras multimodo y entre 0,2% y 1% en fibras monomodo

• Cada modo de propagación puede considerarse conforma-do por un conjunto de ondas planas superpuestas y cada onda puede asociarse a un rayo de luz perpendicular al frente de onda, pudiendo analizarse el modo en cuestión por un conjunto de rayos llamado congruencia de rayos.

2 1 1 1 1n n n n



gradual

m1

v3>v2>v1

z núcleo

revestimiento m3

Trayectorias de modos diferentes en el núcleo de una

fibra de índice gradual.



gradual

• Las fibras multimodo de índice gradual varían su índice de refracción en función de la distancia al centro del núcleo:

2 1 1 1 1n n n n

22;

22

021

2

1

2/1

1

VM

anV

aa

nn

o


Ejercicio 9

• Un rayo de luz viaja con una velocidad de 2,05x108

m/s en el núcleo de una fibra de índice escalonado. Si

el ángulo crítico en la interfaz núcleo-revestimiento es

de 72º, diga cuánto valen la apertura numérica de la

fibra y el ángulo de aceptación.

2 2

1 1

8

1 1 8

1 1

1

arcsin 0,9510 0,0489

3 101,4634

2,05 10

sin cos 0,3090 1,4634 0,4522

sin 0,4522 26,9º

c

a c

a a

n n

n n

c c xv n

n v x

n

NA


Ejercicio 10

• Una fibra multimodo de índice escalonado se construye y

alimenta como se muestra en la figura. Esta se ha diseñado

para tener una Apertura Numérica de 0,25. Determine: a)

el índice de refracción requerido en el revestimiento (n2),

b) el ángulo 1 en la fibra, c) el ángulo crítico en el

interfaz núcleo-revestimiento, y d) el ángulo de aceptación

2 de los rayos que entran en el núcleo desde el aire.

1 c 1

2 1

z no

n1

n2

Fuente

de luz

n1=1,5


Ejercicio 10

1/ 22 2

1 2

1/ 22 2 2

2 2

2

1 1

2

2

1

1

sin

0,25 1,5 0,0625 2,25

1,4790 )

sin sin 0,25 14,48º )

1,479arcsin arcsin 80,40º )

1,5

90º 90º 80,40º 9,60º )

a

c

c

NA n n

n n

n a

NA d

nc

n

b


Bibliografía

• Líneas de Transmisión, Rodolfo Neri Vela, McGraw-Hill, México, 1999.

• Comunicaciones por Fibra Óptica – Manual de Ingeniería, Raimundo Díaz de la Iglesia, Marcombo-Boixareu Editores, España, 1985

• www.fiber-optics.info/fiber-history.htm

• www.bell.ac.uk

http://www.fiber-optics.info/fiber-history.htm








http://www.bell.ac.uk/


• Bloque 2: Transmisión de señales a

través de fibras ópticas

–2.5 Características operacionales

de la fibra óptica: Atenuación,

Producto Distancia-Ancho de

Banda, Propiedades mecánicas.


10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza

Características operacionales de la

Fibra Óptica


Características de la Fibra

Atenuación

Dispersión CromáticaLineales

Dispersión de los modos de Polarización

Optical Signal to Noise Ratio (OSNR)

Auto Modulación de Fase (SPM)

Modulación Cruzada de Fase (XPM)

No Lineales Mezcla

de Cuatro Ondas (FWM)

Dispersión Raman Estimulada (SRS)

Dispersión Brillouin Estimulada (SBS)


Mecanismos de Atenuación

Picos de absorción en infrarrojoPor absorción

y ultravioleta

Intrínsecos Fluctuaciones en la composición

Por esparcimiento y/o anisotropía del vidrio

Efectos Brillouin y Raman

Por

Extrínsecos

-

Difusión de hidrógeno

impurezas Impurezas en la preforma (iones

metálicos, grupos OH , etc)

MicrocurvaturasPor defectos físicos

Curvaturas localizadas


Atenuación en Fibras Ópticas

• La atenuación para cada fibra en particular depende de varios factores, tanto intrínsecos (sustancias inherentes a la fibra) como extrínsecos (fuerzas externas tales como curvaturas).

• Cuando la luz choca contra una impureza en la fibra, ésta se dispersa (Dispersión Rayleigh) o en su defecto es absorbida por el material.

• La impureza más común en la molécula hidroxilo (OH-), la cual se mantiene como un residuo a pesar de las exigentes técnicas de manofactura. Su presencia causa incrementos de atenuación en 950nm, 1380 nm y 2730nm. Contribuyen entre 3 y 5% a la atenuación total.


Atenuación y Ventanas de Operación

1º V: 850 nm

2º V: 1310 nm

3º V: 1550 nm

4º V: 1625 nm

Zero-water-

peak- fiber

(ZWPF) en

1380 nm.


La Atenuación

• El esparcimiento Rayleigh se origina por colisiones

elásticas entre la onda de luz y las moléculas de Silicio en la

fibra. Este fenómeno es el causante del 96% de la

atenuación en la fibra óptica. Parte de la señal dispersa

escapa del núcleo de la fibra, e incluso parte se refleja hacia

la fuente de luz.

• Este fenómeno se incrementa para longitudes de onda más

pequeñas, de forma que para longitudes menores a 800nm,

las fibras no pueden utilizarse para comunicaciones ópticas.

Así mismo la absorción infrarroja por sobre los 1700 nm

imposibilita las comunicaciones por este medio.


Esparcimiento Rayleigh

4

Rayleigh / 1 /

0,8 : 40 100

A B dB km

A B

Se origina en el esparcimiento ante pequeñas partículas de radio a (2a/<<1). Estas pérdidas son inversamente

proporcionales a la cuarta potencia de la longitud de onda.

La expresión se refiere a fibras con núcleo de SiO2 dopadas

con P2O5 y GeO5 respectivamente

Vidrio =1um =1,6um =4um

SiO2

ZrF4

0,8

0,4

0,12

0,06

0,003

0,0015


Absorción Ultravioleta

uv

4

uv

exp / /

1,474 4,626

, 8,5 10 exp 4,626 / /

A B dB km

A B

W x W dB km

Estas pérdidas son prácticamente despreciables a

longitudes de onda superiores a 1um (inferiores a 10-8

dB/km para el SiO2)

La expresión anterior se refiere a fibras con núcleo de

SiO2 – GeO2 y W depende de la concentración de GeO2.


Absorción Infraroja

11

ir 7,81 10 exp 48,48/ /x dB km

Estas pérdidas tienen su origen en un fenómeno de

vibración por interacción entre átomos de Silicio y

Oxígeno. Este fenómeno debe tenerse en cuenta en el

margen 1,3 – 1,6 um. La absorción se ve más acentuada

en función del óxido que se use para modelar el perfil de

índice. Para fibras dopadas con P2O5 y/o B2O3 se espera

una fuerte contribución de absorción infrarroja a las

pérdidas totales.

La expresión se refiere a fibras con núcleo de SiO2 – GeO2

y se asume independencia de la concentración de Ge.


Contribución de los mecanismos de

pérdidas en fibras ópticas

Pérdidas a 1,3um (dB/km) Pérdidas a 1,5um (dB/km)

(%) Rayleigh Absorción Totales Rayleigh Absorción Totales

0

0,18

0,27

0,39

0,22

0,29

0,33

0,38

-

0,06

0,09

0,13

0,22

0,40

0,46

0,55

0,11

0,145

0,16

0,19

-

0,035

0,05

0,07

0,13

0,25

0,27

0,32

Fibras con núcleo de SiO2 – GeO2 en fibras monomodo


Factores Extrínsecos: Pérdidas por

curvaturas y microcurvaturas

4 / : 0,8 1o oL a L mm

Puede considerarse un radio de curvatura mínimo cuya

dimensión sea diez veces el diámetro exterior de la fibra o

del cable, según se trate.

Respecto a microcurvaturas, el acoplamiento es máximo

cuando la longitud de onda perturbadora coincide con la

correspondiente al batido entre modos adyacentes. Para

una fibra ideal, con perfil de índice parabólico, la longitud

de onda de batido , Lo está dada por:

Estas pérdidas se disparan cuando es menor de 0,2 –

0,4%. El problema es más crítico en 3º ventana que en 2º.

10/24/2012


curvaturas

Se producen

cuando el radio

de curvatura es

excesivamente

pequeño (menor

a 4 o 5 cm)

10/24/2012


microcurvaturas

Corresponden a perturbaciones mecánicas complejas

en general aleatorias. Pueden originarse cuando las

fibras se curvan dentro del tubo debido al calor como

resultado de la diferencia de los coeficientes de

dilatación térmica entre las fibras y el búffer.

10/24/2012


curvaturas y microcurvaturas


Respuesta en Banda Base

22 2

modal cromática guiaondas

3 180 / Respuesta Gaussiana

Total

dB TotalB GHz ps

Los tres factores que contribuyen al ensanchamiento

de los impulsos en su propagación a través de la fibra

son:

1) Dispersión modal

2) Dispersión cromática (debida al material)

3) Dispersión del guía de ondas

Modelo de Dispersión en fibras bajo

difusión [Ref: Optical Communications; Gagliardi R. y Karp S.]


2

1

,

;

;

1;

2

zz f f

tz

f

f f

f f f f

f f

Q t z P e e

z z zz

z z z z z

NAB

cn z

Q(t,z): Respuesta

impulsional de la

fibra en la

distancia z

Pf: Potencia inicial

de la fuente.

zf, τf: Parámetros

de la fibra.

βf: dispersión

modal por unidad

de longitud.


Dispersión de los Modos de

Polarización (PMD)

• PMD es causada por asimetrías en la fibra respecto de su geometría cilíndrica perfecta.

• Las fibras monomodo soportan un modo fundamental, que consiste de dos modos polarizados ortogonales. Las asimetrías introducen pequeñas diferencias en los índices de refracción para los dos estados de polarización (birefrigencia), originando una diferencia en sus tiempos de propagación (Retardo de grupo diferencial DGD), creando un ensanchamiento en el pulso. La PMD de primer orden es la DGD, y la PMD de segundo orden (SOPMD) es la dispersión que se origina de la dependencia de la longitud de onda de la señal y la anchura espectral.


Dispersión de los Modos de

Polarización (PMD)

• PMD no es un problema en bajas tasas de transmisión, sí lo es sobre tasas de 5Gbps.

• La PMD puede compensarse introduciendo dispositivos que mantienen ciertos grados de bi-refrigencia, que se usan sobre grandes distancias de fibras y redes de área metropolitana operando con tasas de transmisión por sobre los 10Gbps.

• Es usual reservar un margen de potencia de 0,5 dB para considerar los efectos de la dispersión en los modos de polarización a altas tasas de transmisión.


Dispersión Modal

2 2

modal 1 2 1

2

modal,óptima 1 2 1

modal,óptima

óptimo

/ 2 Fibras multimodo de salto de índice

0,14 / / F. de índice gradual

=1%; 14 /

2 1 / /

n n n c

n n n us km

Si ps km

g c d d

La dispersión modal puede caracterizarse como sigue:

Alta dificultad en conseguir el perfil óptimo, y por ende en

reducir la dispersión modal a valores inferiores a 150 ps/km.

Para servicios de distribución en banda ancha se requieren

fibras con dispersiones entre 0,8 y 0,3 ns/km.

modal (SI)~20ns/km


Dispersión Modal para segmentos

concatenados de fibra

1/ 1/

modal,T modal,i

1

Dispersión para segmentos concatenadosN

i

La dispersión modal para segmentos concatenados de

fibra puede caracterizarse como sigue:

La constante de concatenación tiene relación con el grado

de trasvase energético de unos modos a otros al propagarse

por la fibra y tiene valores entre 0,5 y 1.

=0,5 para fibras multimodo de salto de índice

=0,6-0,8 para fibras de índice gradual


Dispersión Cromática

• Corresponde al ensanchamiento de los pulsos de luz conforme se propagan a lo largo de la fibra.

• Las componentes espectrales de la luz viajan a diferentes velocidades de grupo, lo cual origina Dispersión en la velocidad de Grupo (GVD). Debido a la dependencia de esta dispersión con la longitud de onda, este fenómeno toma el nombre de Dispersión Cromática, y puede corregirse dopando el núcleo de la fibra con óxido de Germanio para conseguir dispersiones negativas. Estas fibras se denominan DSF (Dispersion-Shifted Fibers).

• Es usual reservar un margen de potencia de 1dB para considerar los efectos de la dispersión cromática.


Dispersión Cromática para diversos

tipos de fibra y longitudes de onda.

Las fibras DSF

funcionan bien

para portadoras

únicas pero las

no linearidades

cercanas al punto

de mínima

dispersión

originan

problemas en

DWDM.


Dispersión Cromática para diversos

tipos de fibra y longitudes de onda.

Las fibras NZ-

DSF presentan

dispersiones

diferentes de

cero en tercera

ventana y se

utilizan para

compensación

de dispersión

en enlaces de

alta longitud.


Dispersión cromática (debida al

material)

2

1cromática 2

d nL M L

c d

Se origina en la dependencia del índice de refracción

con la longitud de onda y en la anchura espectral de las

fuentes ópticas

L: Longitud de la fibra en km.

: anchura espectral del emisor óptico en nm.

: Longitud de onda de emisión en nm.

M: coeficiente cromático de dispersión en ps/(km.nm).


Dispersión debida al guíaondas

guíaondas 2 2

14

L

n c a

Está estrechamente unida a la dispersión debida al

material y depende de las características geométricas

de la guía y del índice de refracción del núcleo.

En la práctica esta dispersión sólo tiene peso en las fibras

monomodo. En este tipo de fibras, pueden diseñarse los

perfiles de índice de forma de que la dispersión del

material y la del guíaondas se compensen o se mantengan

razonablemente acotadas en un margen amplio, por

ejemplo entre 1,3 y 1,8um.


Ejercicio

• Una ruta de 14 km está constituida por siete tramos de fibra de unos 2 km fabricados para trabajar a 1300nm. Se trata de fibras multimodo con un coeficiente de dispersión del material de 3ps/km.nm a 1300nm. Las dispersiones modales de los siete tramos de 2km, según medidas en fábrica son: 0.2; 0.3; 0,15; 0,22; 0,21; 0,18 y 0,25 ns. A) Calcule la dispersión total para la ruta en caso de que se use un láser de anchura espectral de 1nm y en caso de que se use un LED con anchura espectral de 15nm. B) Estime el ancho de Banda de la ruta.


Características No Lineales de la

Fibra Óptica

• Auto Modulación de Fase (SPM): Se debe a la automodulación de los pulsos (desplazamiento de fase y dispersión no lineal de los pulsos). Generalmente ocurre en sistemas monomodo, y se produce con altos niveles de señal de entrada. Sin embargo SPM tiende a cancelar la dispersión en altas tasas de transmisión. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en cuenta este efecto al trabajar con niveles de potencia y tasas de bits elevados.



Fibra Óptica

• Modulación Cruzada de Fase (XPM): Se presenta en sistemas multiplexados en longitud de onda (WDM). Corresponde a la modulación de una señal causada por una señal adyacente en la misma fibra. Esto significa que la fase de una portadora incluye desplazamientos relacionados con la fase de otra. La fase se induce por la presencia de dos pulsos a diferentes tasas de bit o con diferentes velocidades de grupo. El máximo desplazamiento de fase se produce cuando se tienen bits que pertenecen a canales adyacentes de alta potencia. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto.



Fibra Óptica

• Mezcla de Cuatro Ondas: Puede compararse a la

distorsión por intermodulación. Cuando tres

longitudes de onda 1, 2, y 3 interactúan en un

medio no lineal, dan origen a una cuarta longitud

de onda 4, la cual se forma por la dispersión de

los tres fotones incidentes, produciendo un cuarto

fotón. Este fenómeno afecta a sistemas

multiplexados por división en longitud de onda

(WDM).



Fibra Óptica

• Mezcla de Cuatro Ondas: Los canales 1 y 2 interfieren

produciendo un índice de refracción que oscila a la

frecuencia de la diferencia. Esta modulación en el

índice de refracción modula el canal 4, produciendo

bandas laterales en los canales 3 y 5.



Fibra Óptica

• Dispersión Raman Estimulada (SRS): Cuando la luz se propaga en el medio, los fotones interactúan con las moléculas de Silicio durante la propagación. Los fotones también interactúan entre ellos y causan efectos dispersivos, en las direcciones de avance y retroceso a lo largo de la fibra. Esto resulta en una distribución esporádica de energía en una dirección aleatoria.

• SRS se refiere a que las longitudes de onda inferiores (de bombeo) transfieren energía a las superiores, lo cual resulta en la supresión de las inferiores. SRS es pronunciado a altas tasas de bits y altos niveles de potencia. Para paliar este efecto debe reducirse la potencia de entrada. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto. Efecto pronunciado en bandas C y L (1530-1625 nm).



Fibra Óptica

• Dispersión Raman Estimulada (SRS): SRS produce un desplazamiento e frecuencia de alrededor de 400 cm-1 de la línea láser incidente. La ecuación que gobierna el crecimiento en potencia del modo desplazado Raman es la siguiente donde PR corresponde a la potencia de la luz Stokes desplazada, PP es la potencia de bombeo, es decir del modo inicialmente excitado, y ap es el área efectiva de bombeo. La ganancia Raman gr típica en fibras monomodo de Silicio es de alrededor de 10-11 cm/W.

R RR R P R

P

dP gP P P

dz a

10/24/2012


Fibra Óptica

• Dispersión Brillouin Estimulada (SBS): SBS se origina en las propiedades acústicas de la interacción del fotón con el medio. Durante la propagación de la luz en la fibra, los fotones interactúan con las moléculas de Silicio, pero también interactúan entre ellos. Cuando haces intensos de luz láser por ejemplo, se propagan a través de la fibra, las variaciones en el campo eléctrico de estos haces producen vibraciones acústicas en el medio vía electrostricción; y el haz se dispersa a partir de la interacción con estas vibraciones, en la dirección opuesta al haz incidente. Se origina una onda a baja longitud de onda (onda de Stoke) debido a la dispersión de la energía, la cual amplifica a las longitudes de onda superiores.

René Játiva Espinoza

10/24/2012


Fibra Óptica

• La electrostricción es el fenómeno por el cual un dieléctrico cambia su forma ante la aplicación de un campo eléctrico.

• El angosto pico en la ganancia de Brillouin se encuentra cerca de la banda C (1530-1570nm). SBS es pronunciado a altas tasas de bits y altos niveles de potencia. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto. Para incrementar el umbral de potencia SBS se distribuye la energía del láser sobre un espectro más amplio. Para esto se usan moduladores externos o se aplica “dithering” de baja frecuencia (10-100 kHz), consiguiendo ampliar el umbral desde menos de 50mW con un ancho espectral de alrededor de 1GHz hasta 350 mW con un ancho espectral de 10GHz.


10/24/2012


Fibra Óptica

• Umbrales de Potencia para Dispersión Raman Estimulada (SRS) y Dispersión Brillouin Estimulada (SBS): La ganancia de Brillouin, gB es mucho más alta que la de Raman en las fibras (gB =5x10-9 cm/W). Los valores de los umbrales de Potencia para estos dos tipos de dispersión estimulada se muestran a continuación.


16SRS

25SBS

PCR

R

PCR

B

aP

g

aP

g

El ancho de banda de

ganancia para SBS es

bastante angosto (100 MHz

en fibras típicas). Fuentes

láser no moduladas pueden

ser altamente susceptibles de

SBS.

10/24/2012

Compresión de Pulsos y

Propagación de Solitones

• En general, los pulsos que se propagan en la fibra producen cambios locales en el índice de refracción, originando el fenómeno conocido como automodulación de fase. Usualmente el borde anterior del pulso produce un incremento en el índice de refracción y consecuentemente un corrimiento hacia el rojo de este extremo, mientras que el borde posterior produce un decremento en el índice de refracción y un corrimiento hacia el azul. El resultado temporal final es un ensanchamiento del pulso. Cuando la fibra exhibe dispersión anómala (más allá de 1,3um para fibras monomodo), el efecto se invierte y el pulso se comprime. Cerca del mínimo de dispersión en el régimen de dispersión anómalo, la dependencia de orden superior del retardo de grupo con la longitud de onda es importante y pueden originarse fenómenos de compensación entre dispersión y compresión.


10/24/2012




10/24/2012



• En un medio dispersivo no lineal, ondas solitarias pueden existir siempre y cuando la no-linearidad y la dispersión actúen de forma de balancearse la una con la otra. En el caso de propagación de solitones, la no-linearidad es un índice de refracción que sigue a la intensidad del pulso de forma casi instantánea:

• La ecuación escalar que gobierna la propagación del pulso en tal medio dispersivo no lineal se conoce como ecuación no lineal de Schrödinger:


2on t n n I t n2=3x10-16 cm2/W en fibras

de silicio.

222

2

10

2

dU d Ui N U U

d d

10/24/2012



• Los parámetros en la ecuación se definen a continuación:


Parámetro Descripción

A

Z

T

Po

To

U

β1

β2

LD

n2

τ

ξ

N

Amplitud del pulso

Coordinada Longitudinal

Tiempo

Potencia Pico

Ancho del Pulso

Amplitud del Pulso normalizada [A/sqrt(Po)]

Constante de propagación

Dispersión (segundo orden)

Longitud de dispersión [To2/|β2|]

Índice de refracción no lineal

Tiempo normalizado para mover la ventana [(t-β1z)/To]

Distancia normalizada [z/LD]

Orden del solitón [n2β1PoTo2/|β2|]

10/24/2012



• Existen algunas soluciones de esta ecuación en las cuales el pulso se propaga sin cambiar su forma. Estas se conocen como solitones. Los solitones pueden excitarse en las fibras y propagarse grandes distancias.

• El solitón de menor orden se propaga enteramente sin cambio en su forma, mientras que los solitones de órdenes mayores (de mayor energía) experimentan una evolución periódica en la forma del pulso.

• Experimentos de laboratorio en recirculación (2002) y con inclusión de ganancia para compensar las pérdidas, han permitido la propagación de solitones en distancias tan grandes como 10 mil kilómetros.


10/24/2012



• La ganancia se introduce mediante amplificadores de fibras ópticas dopadas con tierras raras. Los solitones son excitados usando fuentes láseres de modo encadenado de bajo ciclo de trabajo con tasas de repetición inferiores a 1GHz y con el uso de moduladores externos. Los láseres de alto ciclo de trabajo y modulación directa se han mostrado inútiles para la comunicación de solitones debido al ensanchamiento espectral que ocurre bajo modulación.



Propiedades mecánicas y de

envejecimento de la fibra

• La probabilidad de ruptura en función de la tensión o

alargamiento suelen modelarse como:

1 exp

m

o

p

Sin embargo los parámetros de la expresión anterior (m y o) dependen de la longitud de la fibra e incluso de .

Además puede presentarse el fenómeno de fatiga

estática por el cual pequeñas fisuras pueden crecer ante

pequeñas tensiones y originar una fractura con el paso

del tiempo.


Propiedades mecánicas y de

envejecimento de la fibra

• A partir de los datos de prueba a plena carga pueden

estimarse la elongación permitida en el cable durante

la instalación, y la elongación residual para asegurar

una vida media de 20 años sin roturas.

1 2

2 1

n

T

T

T1, 1: condiciones a plena carga

T2, 2: condiciones de planta

n: 14-25

La prueba a plena

carga suele hacerse

sobre largos de

1km durante 0,6 s y

se producen

elongaciones del

0,6%.


Ejercicio

• Si la duración típica de la operación de tendido de una bobina de cable de 1 km aproximado de longitud es de una hora, estime el porcentaje de elongación máximo al que puede someterse a la fibra para evitar la rotura durante el tendido. También calcule la tensión residual máxima al que puede someterse a la fibra para esperar que no se produzca una rotura en 20 años. Si una elongación del 0,32% se produce con una tracción de 1200N, ¿cuál sería la tracción máxima permitida durante la instalación?, y ¿cuál la tracción residual máxima?


Producto Ancho de Banda-Distancia

• La mayor limitante para la transmisión de pulsos a altas velocidades en la fibra se debe a la dispersión, pues las pérdidas por absorción son pequeñas.

• La dispersión crece con la distancia, originando pulsos más anchos lo cual origina que sea necesario ampliar la distancia entre los pulsos, reduciendo la tasa de transmisión.

• Fibras de índice escalonado con núcleos anchos transmiten cientos de modos de propagación, originando que estas fibras tengan un límite cercano a 20MHz x Km en su producto ancho de banda-distancia.


Producto Ancho de Banda-Distancia

• En fibras de índice escalonado este límite puede alcanzar un producto de alrededor de 1GHz x km o más. También puede especificarse el producto tasa de transmisión x distancia, pero este en realidad depende del esquema de modulación y codificación, además del ancho efectivo de la fibra.

• Por ejemplo una fibra multimodo 50/125 um en primera ventana (850 nm) alcanza 3 dB/km de atenuación y un producto ancho de banda x distancia de 600 MHz-km. En segunda ventana (1300 nm) su atenuación se reduce a 1 dB/m y su producto ancho de banda x distancia aumenta hasta 800 MHz-km.


Relación entre Ancho de Banda Espectral, Respuesta

Temporal y Tasa de Transferencia de Datos


Ventana de Operación y Tasa de

Transferencia de Datos en Fibras Multimodo

Catálogo de Corning


Ventana de Operación y Tasa de

Transferencia de Datos en Fibras Monomodo

Catálogo de Corning


Origen de los mecanismos de ruido

en comunicaciones por fibra

Ampl. Excitación

Fibra: Ruido

de Partición

Detector:

Ruido cuántico

Ruido de fotomultiplicación

Fuente Óptica:

Ruido cuántico

Ruido de partición

Amplificador:

Ruido Térmico

Acoplamientos:

Ruido Modal


Mecanismos de ruido en sistemas de

comunicaciones por fibra óptica

Ruido Fuente Características

Receptor Cuántico

Térmico

Fotomultipli-

cación

Detector

Resist. de entrada

y/o realimentación

Detector

Ruido Básico

Dominante en

fotodiodos de

avalancha

Fuente Óptica y

Medio de

Transmisión

Cuántico

Partición

Modal

LED o láser

Láser y Dispersión

cromática de la fibra

Láser y fibra

multimodo

Pequeño

Importante en

sistemas por fibra

monomodo

Por conexiones

imperfectas.


Tasa de Errores y SNR en Detección

Directa

• La detección directa implica que la corriente de salida del

fotodetector es proporcional a la señal óptica incidente, y

la información se transmite modulando en intensidad la

señal óptica generada por el fotoemisor. En el caso de

modulación binaria, típicamente la relación de niveles

P1/P00,1-0,2. La Tasa de error en términos de bit (BER)

es:

2

1

2 2

1exp ; mucho mayor que 1

SBER ferc

N

ferc x x xx


Ruido Cuántico

• Se origina por el carácter aleatorio en la conversión

de fotones a electrones, que se lleva a cabo en el

fotodetector. Es un ruido intrínseco y constituye

un límite que no puede sobrellevarse. Cuando el

receptor está condicionado por este ruido, la S/N es: 2

1

4

om PS R

hvBF

Po: Potencia óptica media

m: índice de modulación de la luz

F: Ganancia de corriente

B: Banda de ruido equivalente

v: frecuencia (c/)

h: cte. de Planck

: Eficiencia cuántica fotodetector (<80%)


Ruido Térmico

• Cuando el fotodetector no presenta un proceso de

ganancia interna de corriente, la relación S/N viene

normalmente condicionada por el ruido térmico.

2 2

2

8

om P RS R

hKTB

q

R: Resistencia equivalente de

carga

T: Temperatura equivalente de

ruido

K: Constante de Boltzmann

q: carga del electrón

h=6,6260x10-34 J.s

K=1,38x10-23 J/K


Ruido de Avalancha

• En caso de que el receptor presenta ganancia interna

en la conversión fotones-electrones, la relación (S/N)

óptima se consigue cuando la contribución de ruido

cuántico (amplificado por la ganancia del APD) es

de igual magnitud a la del térmico.

2

2 1

2 4o

a

h h KBTP BF

q R

F G

R: Velocidad de transmisión en línea

a: 0,15-0,25 APD Silicio y 0,5 APD de Germanio


Ruido de Partición

• Solo tiene verdadero alcance en sistemas por fibras

monomodo por sobre 40km. La potencia óptica,

aunque se mantenga constante, se distribuye

aleatoriamente entre diversas rayas espectrales.

2

2

4 22

4

1

2

1

4

o

i i i i

i i

NP P

P PR

i: Retardo relativo entre i, y la longitud central de emisión

P(i): promedio de tiempo durante el cual la fuente emite en i.


Ruido Modal

• Se manifiesta como una modulación indeseada en la

amplitud de la señal óptica. La frecuencia puede ser

desde algunos hercios hasta varios kilohercios, e implica

variaciones de nivel que pueden sobrepasar los 10 dB.

• El ruido modal se produce cuando se realizan empalmes

o conexiones defectuosos situados a una distancia de la

fuente óptica inferior a la longitud de coherencia.

• Para solventar este problema deben evitarse empalmes y

conexiones defectuosa, deben usarse LEDs, y dejarse un

margen de fibra dentro de la tarjeta láser para que la

primera conexión se produzca a una distancia superior a

la longitud de coherencia.


Velocidad de Transmisión y Anchura

de Banda

• La degradación de los pulsos produce interferencia

entre símbolos (ISI) y por ende una limitación en el

ancho de banda de transmisión. La ISI puede

modelarse como un decremento efectivo del nivel de

señal óptica, es decir como una penalización en

potencia P (dB), que depende de la velocidad binaria

de transmisión en la línea, R, y de la frecuencia de

corte del sistema, fc.

2

4

5

0,2 3,7 10 % 0,5 1,7

c

RP C P dB

f

R ISI x P dB

C 0,4 - 1,5


Relación Señal a Ruido Óptica

(OSNR)

• Se observa ruido en sistemas que incluyen amplificación

óptica, que resulta de la presencia de emisiones

espontáneas amplificadas (ASE) que se originan en el

proceso de amplificación y que son relativamente de

banda ancha. La OSNR se mide en decibelios, es una

figura de calidad que se relaciona con la BER del sistema.

10

_

10log /

/

/ .

s n salida

entrada salida

s entrada n

n

OSNR P P

F OSNR OSNR

OSNR P F P

P hfB

h=6,6260x10-34 J.s

(constante de Planck)

f=193THz;


Relación Señal a Ruido Óptica

(OSNR)

• Para el cálculo de la OSNR en un enlace con varios

amplificadores, se calcula la Figura de Ruido equivalente

de la cascada, a partir del valor más alto de la figura de

ruido de entre todos los amplificadores en el sistema.

10

_ 1 _

_ _

. ;

10log

ampN

Sys a amp Sys i

i

Sys a ampdBdB

final s entrada S Sys n entradadBm dB dBm

s salida s entrada enlace SysdBdBm dBm dB

F F N G G

F F N

OSNR P L F P

P P L G


Ejercicio

• Considere el esquema del sistema WDM de la figura. Determine: a) la OSNR a la entrada del receptor; b) la potencia de la señal en el receptor; y c) si el sistema es viable si el margen dinámico del receptor se especifica entre -25 y -7,5 dBm. La ganancia del amplificador en cada etapa de 21 dB con una figura de ruido de 6 dB. El coeficiente de atenuación de la fibra en uso es de 0,2; y la pérdida introducida por cada conector es de 0,25 dB.

Tx Rx

10 km 100 km 89 km 99 km

G=21 dB; F=6dB PT min=5dBm

PT max=-2dBm

PR min=-7,5dBm

PR max=-25dBm


Ejercicio (continuación)

34 12 9

9

3

6,6240.10 . .193.10 .12,5.10

1,598.10

10log 5810

58

dB dB dBinsys sysout in

out

dB dBm dBm dB

sysout in in

c

dBm

in

dB dB dB

sysout in

OSNRF OSNR OSNR F

OSNR

OSNR S N F

N hf B J s Hz Hz

W

NN dBm

W

OSNR S dBm F



1

2

3

4

0,2 10 2 0,25 2,50

0,2 100 2 0,25 20,50

0,2 89 2 0,25 18,30

0,2 99 2 0,25 20,30

dB

i i ci ciSi

dB

s

dB

s

dB

s

dB

s

L l N

dBL km x dB dB

km

dBL km x dB dB

km

dBL km x dB dB

km

dBL km x dB dB

km

Atenuaciones sobre segmentos

de F.O.



10

1 2 3 4

1

1

1

10

1 2 3

10

1,78; 112,2; 67,61; 107,15

1; 1

1; 1

10 125,89

dBSi

dB

ai

L

Si

S S S S

i Si i

Si

a iSii ia i

Sia i

G

ai a a a

L

L L L L

F L G iL

GLF F G i

G L

G G G G

Figuras de Ruido y

Ganancias Equivalentes

en cada segmento

(Conjuntos F.O.+Amp)



1 2 3 4

1 1 1

1

22 1

1

12

2

3 3 4 4

1,78; 112,2; 67,61; 107,15

11,78; 0,56

1 112,2 13,98 4,86

125,89

125,891,12

112,20

4,51; 1,86; 4,82; 1,18

S S S S

S

S

Sa

a

a

S

L L L L

F L GL

LF F

G

GG

L

F G F G



32 41

1 1 2 1 2 3

11 1

3,86 3,51 3,821,78

0,56 0,56 1,12 0,56 1,12 1,86

17,54

12,44

58 2 58 12,44

43,56

sys

sys

sys

dB

sys

dB dB dB

sysout in

dB

out

FF FF F

G G G G G G

F

F

F dB

OSNR S dBm F dBm dBm dB

OSNR dB


Ejercicio (Solución alternativa)

1 2 3 4

1 2 1 2

1 2 3 4

2

1,78 112,2

1,78 4,86

0,56 1,12

3,86 3,86 3,861,78 1,78 3,86(4,80)

0,56 0,56 1,12 0,56 1,12

20,32

13,07

58 2 58

S S S S

sys

sys

dB

sys

dB dB dB

sysout in

Si L y L L L

F y F F F

G y G G G

F

F

F dB

OSNR S dBm F dBm dB

13,07

42,93dB

out

m dB

OSNR dB

Generalizando el

peor caso.


Ejercicio (Usando la expresión)

1

1

2,5 ; 6

58 10log

2 2,5 58 6 10log(3)

42,73

dB dB

S a

dB dB dB

S a aout in

dB

out

dB

out

L dB F dB

OSNR S L dBm F N

OSNR dBm dB dBm dB

OSNR dB

La expresión teórica confía en que las ganancias

equivalentes de los conjuntos amplificador y fibra

óptica son aproximadamente iguales a 1, y que el

ruido es aproximadamente igual a la entrada y a la

salida del primer segmento de fibra.


Bibliografía

• Líneas de Transmisión, Rodolfo Neri Vela, McGraw-Hill, México, 1999.

• Optical Communications, Robert M. Gagliardi, Sherman Karp, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.

• Comunicaciones por Fibra Óptica – Manual de Ingeniería, Raimundo Díaz de la Iglesia, Marcombo-Boixareu Editores, España, 1985.

• Fiber Optics Handbook – Fiber, Devices and Systems for Optical Communications, Michael Bass y Eric W. Van Stryland, McGraw-Hill TELECOM, U.S.A, 2002.

• Optical Network Design and Implementation; Cisco Systems, U.S.A, 2004.

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