Definiciones de línea recta:

1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión

de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo

una recta pasa por esos dos puntos.

2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x.

3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia

recorrida sobre ésta figura, es la más corta.

Después de las rectas constantes, las más simples son aquellas que tienen como

ecuación y = ax. Estas rectas son inclinadas, pasan siempre por el origen (0; 0)

y la inclinación esta determinada por el valor de a.

Ejemplo

Recta y = 3x, quiere decir que el valor

de y es el triple al de x, también

vemos en la figura el desplazamiento

de y = 3x respecto a la recta y = x.

Recta con ecuación y = mx + bLa ecuación de la recta de la forma y = mx + b, es la ecuación donde se

conoce la pendiente, que es m, y la distancia dónde la recta interseca al

eje y que es b.

Si se conoce la pendiente m de la recta y un punto (x1; y1), entonces la

ecuación es:

y - y1 = m(x - x1)

La pendiente m nos dice que tipo de inclinación tiene la recta, el número b

nos dice que tanto subimos o bajamos a la recta. Así sabemos que tipo de

gráfica esEjemplo

¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la

recta con pendiente a = 1 qué pasa por el

punto (3; 3)?

La ecuación es y - 3 = 1(x - 3),

equivalentemente:

Ejemplo

¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la

recta con pendiente m = -1 qué pasa

por el punto (-5;5)?

La ecuación es y - (- 5) = - 1(x - 5),

equivalentemente:

Ejemplo

¿Cuál es la ecuación y la gráfica de la recta con

pendiente m = 5 qué pasa por el punto (1; 2)?

La ecuación es y - 2 = 5(x - 1),

equivalentemente:

Cálculo de la pendiente

Sólo es posible calcular el coeficiente angular de una recta cuando de ella se conoce:

1. Dos puntos distintos, ó

2. La ecuación general, ó

3. La dirección (por ejemplo, si se sabe que una recta es paralela a una recta dada).

Ejemplos:

1. Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2 , y2) de la figura,

De donde (por la definición de tangente en trigonometría):

cualesquiera que sean los cuadrantes en que están situados A y B

2. Vamos a calcular la pendiente de una recta cuya ecuación general está dada por:

ax + by + C = 0.

Recordemos que, dados A(x1, x2) y B(y2, y2) pertenecientes a una recta, la ecuación

general esta dada por:

Esto es:

Se observo anteriormente que la ecuación reducida de una recta es: y = mx + b,

por tanto, siempre que una recta tiene ecuación reducida (esto es b ≠ 0), estamos

expresando “y” en función de “x”, donde el coeficiente de “x” es la pendiente m.

CONDICIÓN DE PARALELISMO.

“Dos rectas L y L1 son paralelas entre sí si y solamente si sus pendientes son iguales”.

Observación:

Sabemos que dos rectas L: a1x + b1y + c1 = 0; L1: a2x + b2y + c2 = 0 son paralelas

(distintas o no) si y solamente si se tiene:

En los casos que las rectas no son verticales, probaremos que la condición de

paralelismo: D = 0 y m = m1 son equivalentes. Recordando que: b1 ≠ 0 y b2 ≠ 0,

tenemos:

En el caso en que L // L1 // OY, solo vale la condición D = 0, pues no existen los

coeficientes angulares m y m1

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.

Dos rectas L y L1, no verticales, son perpendiculares entre sí, si y solamente si, el

producto de sus coeficientes angulares (pendientes) es igual a “ -1 ”; así tenemos:

Observaciones:

1. Las rectas L: x = 3 ; y L1: y = -1, son perpendiculares, puesto que L // Y; y L1 // X.

Notemos que en este último caso no vale la relación: m×m1 = -1, dado que L es

vertical.

2. Existe la condición de perpendicularidad que vale también para el caso que una de

las rectas sea vertical, “Dos rectas L: ax + by + c = 0 y L1: a1x + b1y + c1 = 0,

son perpendiculares si y solamente si: a×a1 + b×b1 = 0” Así:

por ejemplo, las rectas, L: x = 3, y L1: = -1, son perpendiculares, pues:

a×a1 + b×b1 = 1(0) + (0)1 = 0

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.

La distancia entre dos rectas paralelas, es la longitud del segmento perpendicular a

ambas rectas. Esta longitud es igual a la distancia de un punto arbitrario P de una

de las rectas a la otra.

La distancia entre las rectas paralelas: L1 : ax + by + c1 = 0 ^ L2 : ax + by + c2 = 0

está dada por:

1. Distancia No dirigida

La distancia “d” de un punto

P1 = (x1 , y1) a una recta cuya

ecuación esta dada

por L: ax + by + c = 0; se obtiene

mediante:

2. Distancia Dirigida

La distancia dirigida “d” de un

punto P1 = (x1, y1) a una recta

cuya ecuación es,

L: ax + by + c = 0, se obtiene con:

Además:

· Si la recta no pasa por el origen “d” es positiva o negativa según que el

punto P1 y el origen estén en lados opuestos o del mismo lado de la

recta.

· Si la recta dada pasa por el origen “d” es positiva o negativa según que

el punto P1 esté arriba o abajo de la recta.

Así tenemos:

Observación:

Si el punto P1(x1 , y1) pertenece a la recta L: ax + by + c = 0, entonces la

distancia:

d = d(P1, L) = 0.

Ejemplos:

1. Hallar la distancia de la recta: 3x - 4y + 12 = 0 al punto

(3, -1). Interpretar el signo de la distancia como segmento

dirigido.

Por tanto la distancia buscada es 26/5. El signo negativo nos

indica que el punto y el origen están del mismo lado de la

recta.

2. Hallar la distancia del punto P(-2, 5) a la recta L1 de ecuación: 3x -4y - 9 = 0.

Solución

3. Determine las ecuaciones de las rectas que forman 45° con el eje X y están a

una distancia de 2 unidades del punto P(3, 4).