ECUACIONES DE 3 INCÓGNITAS

MATEMATICASASESOR: MARCO ANTONIO ALANÍS

PRESENTA: KATIA STEFANNY COLIN TAPIA

UNIVERSIDAD CONTEMPORANEA DE LAS AMERICAS

Objetivo

Conocer, comprender y poder realizar ecuaciones con 3 incógnitas mediante el método general para ampliar nuestros conocimientos matemáticos.

Que es un sistema de ecuaciones.

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Método de Gauss o Método general

El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de reducción (para los sistemas con dos o tres incógnitas). En esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.

COMO RESOLVERSE TENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMAS DE ECUACIONES:

3x + 2y + z= 1 ecuación 1

5x + 3y + 4z= 2 ecuación 2

X + y – z = 1 ecuación 3

3x + 2y + z= 1 ecuación 15x + 3y + 4z= 2 ecuación 2 X + y – z = 1 ecuación 3

X + y – z = 1 ecuación 13x + 2y + z= 1 ecuación 25x + 3y + 4z= 2 ecuación 3

Primero empezaremos por ordenar la ecuación en todos los casos se tiene que hacer, sin mover nada de la ecuación si no se altera esta, lo haremos con el número menor en x y así sucesivamente

De esta manera ya ordenadas podemos proceder a resolver nuestras ecuaciones . Vamos a convertir esta ecuación a una matriz de coeficientes(números).

Como lo haremos?Como en la primera

ecuación solo hay letras sabemos que el

coeficiente es 1 en caso de x y (y) y en caso de z

será -1 y 1 que es el resultado de la ecuación

En esta ecuación los coeficientes

serán 3, 2 ,1y 1

En esta ecuación los coeficientes serán 5, 3 ,4 y 1

Y da resultado a lo que conocemos como matriz de coeficientes

Fila 1

Fila 2

Fila 3

De esta manera será mas fácil resolver nuestro sistema de ecuaciones

Se comienza por la diagonal de la matriz que queremos decir con esto los números de la matriz que estén fuera de la diagonal son los que se cambiaran a 0 números pivotes y los que están dentro de la diagonal serán uno a lo largo del procedimiento nos daremos cuenta de eso.

1 + 1 – 1 1

3 + 2 + 1 1

5 + 3 + 4 2  

 

Los números que están fuera de la diagonal los cambiaremos a cero es decir:

trabajaremos sobre esos números como los cambiaremos a cero mediante este procedimiento.

1 + 1 – 1 1

3 + 2 + 1 1

5 + 3 + 4 2  

 

Comenzaremos con el los números que están por debajo del uno 3 y 5 buscaremos un número que multiplicado por la fila 1 nos den el número con el signo contrario para poder cambiarlo a cero que es lo que queremos.

Pero no podemos hacer esto con este número nada mas si no con todos los demás.

1 + 1 – 1 1

3 + 2 + 1 1

5 + 3 + 4 2  

 

El numero para el caso de la fila 2 será el -3 y para el caso de la fila 3 será -5 procederemos a hacerlo

1 + 1 – 1 1

Como la fila no tiene alteraciones la pasamos . Ahora la -3 (f1) + f2 = f2 Es decir multiplicaremos por -3 la fila 1 le sumaremos la fila dos y el resultado ira en la fila 2

1 + 1 – 1 1

3 + 2 + 1 1

5 + 3 + 4 2  

 

1 + 1 – 1 1

-3(1)= -3 + 3 =0 -3(1)= -3 + 2 = -1 -3(-1) = 3 + 1 = 4

-3(1)= -3 + 1 = -2 y para el caso de la fila 3 haremos lo mismo pero con -5 y el resultado es este: -5(1)= -5 + 5 =0 -5(1)= -5 + 3 = -2 -5(-1) = 5 + 4 = 9 -5(1)= -5 + 2 = -3

1 + 1 – 1 1

0 - 1 + 4 -2

1 + 1 – 1 1

3 + 2 + 1 1

5 + 3 + 4 2  

 

1 + 1 – 1 1

0 - 1 + 4 -2

0 - 2 + 9 -3

1 + 1 – 1 1

0 - 1 + 4 -2

0 - 2 + 9 -3

Para convertir el numero en 0 solo sumaremos por que ya tenemos

negativo y positivo

Y en el caso de la fila 3 multiplicaremos la fila 2 por -2 le sumaremos la fila 3 y

el resultado ira en la fila 3

1 + 0 + 3 - 1

0 - 1 + 4 -2

0 + 0 + 1 1

1 + 0 + 3 - 1

0 - 1 + 4 2

0 + 0 + 1 1

Y ahora lo haremos con los numeros 4 y 3 .

Multiplicaremos la fila 3 x -3 y le sumaremos la fila 1 y el resultado ira en la fila 1

Multiplicaremos la fila 3 x -4 y le sumaremos la fila 2 y estos resultados irán en la fila 2

1 + 0 + 0 - 4

0 - 1 + 0 6

0 + 0 + 1 1

Y los resultados son para

x =-4

y=6

z =1

PROBLEMAS A RESOLVER

5X + 3Y - Z= -1 10X – Y + Z= 10 15X + 2Y - Z= -7

X + Y + Z = 2 2X – Y + 2Z = 7 -3X + 2Y - 2Z = -9

X + Y + Z = 6 2X – Y + Z = 5 3X + Y - 2Z = 9

2X – Y + 2Z = 6 3X + 2Y – Z = 4 4X +3Y – 3Z =1

5X – 3Y – Z = 1 X – 4Y – 6Z = -1 2X + 3Y + 4Z = 9

SUERTE AL RESOLVERLAS .

Páginas para entender mejor el tema

http://carmesimatematic.webcindario.com/SISLE.htm

http://www.hiru.com/matematicas/resolucion-de-ecuaciones-lineales-con-mas-de-dos-incognitas

http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html

Paginas interactivas http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/g_e.html#

Videos para entender el tema

http://www.youtube.com/watch?v=l6fBSH8I1o4

http://www.youtube.com/watch?v=kKK1iLzbFDw

http://www.youtube.com/watch?v=jJbhsmJUml0