REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL P.P. PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSION BARINAS

Participante: TSU. José Luis Peralta

C.I. 8.511.711

Esc: 42

MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS

El profesor de estructuras Hardy Cross inventó un método iterativo para resolver las

ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos y rotaciones de las ecuaciones

pendiente deflexión y facilitar el análisis de estructuras con varios grados de libertad.

Debido a que este método es una solución a las ecuaciones del método de pendiente

deflexión, tiene las mismas limitaciones de este:

Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos

Se desprecian las deformaciones por cortante

Estructuras construidas con materiales elásticos y que no salgan de este rango

Deformaciones pequeñas

Adicionalmente el método tiene sus propias limitaciones:

Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos

No da una solución directa cuando están involucrados grados de libertad traslacionales

Se limita a determinar cómo es la distribución de los momentos en los elementos que llegan

a un nudo

No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para grados de libertad

traslacionales

Sin embargo todas estas limitaciones el método revolucionó el análisis de estructuras en el

año 1930.

Sin embargo se realiza un repasemos un poco los pasos a seguir en el método de la rigidez

utilizando las ecuaciones pendiente deflexión:

1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad libres

2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexión: corresponden a expresar los

momentos de extremo de los elementos en función de unos momentos de

empotramiento perfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremo del

elemento. La formulación de estas ecuaciones se hace partiendo de asumir el

elemento empotrado en sus dos extremos y de ir soltando cada grado de libertad y

corrigiendo estos momentos por estos posibles movimientos.

3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexión en las ecuaciones de equilibrio

y se resuelve para los giros y desplazamientos.

4. Se encuentran los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos

hallados.

El método de solución iterativa de un sistema de ecuaciones: se asume que todas las

incógnitas menos una son iguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incógnita en

una de las ecuaciones. Este valor se reemplaza en las otras ecuaciones y se encuentra el

valor de las otras incógnitas cuando todas menos ella y la primera son iguales a cero. Los

valores encontrados representan una primera solución al sistema de ecuaciones planteado.

Estos valores vuelven a reemplazarse en la primera ecuación para encontrar un nuevo valor

de la primera incógnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incógnitas. En este

proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo en menor cantidad lo que nos indica

que nos acercamos a la respuesta que satisface todas las ecuaciones.

Teniendo presente este método iterativo podemos observar que él parte de asumir que todas

las incógnitas son cero menos una, en nuestro sistema esto indica que partiendo de

elementos empotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertad de toda la

estructura, por ejemplo para una viga de dos luces sin considerar posibles desplazamientos

relativos, podríamos liberar el giro en b, θb, y encontramos el valor de ese giro necesario

para que se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, qué momento adicional

debo agregar en b para que se produzca un giro que equilibre el nudo, siempre que θa y θc

sean iguales a cero (empotramiento a ese lado).

Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio de la ecuación de

equilibrio en B, el valor de θb. Con este valor puedo encontrar los momentos que se

generan en los extremos opuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero.

En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de equilibrio (ΣMb=0) pero las

otras dos ecuaciones no se satisfacen. Se procede a soltar otro grado de libertad, por

ejemplo θa manteniendo los otros dos valores iguales a cero. Para satisfacer su ecuación de

equilibrio se debe aplicar un momento externo igual y de sentido contrario al momento

desequilibrado en ese nudo. Se encuentra el valor del giro debido a este momento y se

halla el momento del elemento en el extremo contrario B. Otra vez se desequilibró el nudo

B. Si analizamos de nuevo la estructura pero esta vez soltando el nudo B sometido al

momento contrario al generado en la segunda iteración estaríamos equilibrando el nudo B.

Este proceso continúa hasta que los momentos que tenemos que equilibrar en cada paso se

van haciendo menores.

Note que en este proceso cada iteración es independiente de la anterior y corresponde a una

corrección de los momentos finales en los extremos, por eso y por superposición los

momentos finales corresponden a la suma de los momentos generados en cada iteración.

Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de

equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa

repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento. Mostraremos

con el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentos en un nudo.

Grado de libertad libre= θb

Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:

Ecuaciones pendiente deflexión:

Note que los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros

grados de libertad son cero.

Si llamamos al término

La rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la ecuación de

equilibrio como:

Despejando para θb, tenemos:

Reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:

Notamos que el momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la relación,

A la cual le damos el nombre de factor de distribución. Los factores de distribución de los

miembros que llegan a un nudo deben sumar uno. (Por qué?). El elemento que tenga mayor

rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento.

Para elementos con EI constantes el miembro más rígido es aquel que tiene menor longitud.

Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de

distribución en función de las longitudes:

y

Analicemos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este

caso los extremos de elemento empotrados:

Por ecuaciones pendiente deflexión

Esto nos muestra que el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se

libera es igual a la mitad del momento del lado que giró.

Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque nos da el valor del

momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento

trasladado.