Ed MIR - Lyubich - Método Cinemático en Problemas Geométricos

8/3/2019 Ed MIR - Lyubich - Mtodo Cinemtico en Problemas Geomtricos

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. . . . . . . . . . . . . . ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l l e e i o n e s p o p u l a r e sde m a tem~ tlca s

M E T O D O C I N E M A T I C OE N P R O B L E M A SG E O M E T R I C O S :-------

o -Y u . l . L y u b i c hL . A . S h a r

M o s c o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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nOnymlPHblE JIEKUIi1H no MATEMAT J . 1KE

10. 11 JUOli114 Ii 11. A_ WOP

K HHE M A T I1 4E CK I1H M E T OJ l.B rE OM E T PI1 t.IE CK I1X 3A )J ,A LJA X

H 1,]A T L lbC TBO "HAYK I\"MOCKBA


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LECCIONES POPUlARES DE MATEMATlCAS

YU I. L YUBICH Y L A . SHOR

METODa CINEMA-TleOEN PROBLEMAS GEOMETRICOS

Segunda edici6n

E DITOR IA L M IRMoscD


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Traducido del ruso porG P o _ LOZHKIN

Prim era edid6n 1978S egunda edici6n 1 984

Impreso en 1 8 OR SS Io:bn.aTMbC'f80 ('Haylm.~. 1976e T raducclen III espallol. E ditorial M ir. Ins


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CONTENIDO

I. Elementos de algebra vectorial I] 2. Elementos de cinematica 26

). Metodo cinernatico en los problemasde geometria 37

Indicaciones para los ejercicios 61


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R E S ENAA veces, para resolver un problema geom etnco, es util im a-

ginar las transforrnaciones que sufriran los elem entos de la figuraa exam inar, si algunos de sus puntas ernpiezan a desplazarse.La dependencia de unos elementos en funci6n de otros puedepasara ser evidente en este caso y Ia solucion del problemasahara a la vista.Por 10 cormin, las relaciones entre las magnitudes de lossegmentos, de los angulos, ctc., en las figuras gcornetricas sonmas cornplicadas que las existentes entre las velocidades de varia-cion de estas magnitudes durante lo s procesos de deformacion delas mismas, Par eso para la solucion de los problemas geornetrrcospuede ser util la "teoria de las velocidades" - In c in ema tic a,

E n este folleto se dan algunos ejernplos para dcrnostrar comola cinernatica sc aplica a los problemas de la gcom etrla elem entaly se propone cierta cantidad de problemas para ejercicios indivi-duales, Previamente se exponen las nocioncs generales necesariasde cinematica (y de algebra vectorial)

E I Iolleto em !. cscrito basandose en las lecciones dadas en- elcirculo matematico escolar adjunto a la U niversidad Esra ta l"A. M. Gorki" de Jarkov. Se destina para Ius alumnos de 9""y 10m" grades.


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INTRODUCCION

U n dia nos encontramos en un libro de maternaucas serio !'con un problem a que nos parecio que habia llegado de las obrasde Conan D oy le a S tevenson . E n este se trataba de las busquedasde un tesoro, Cierta persona se entero de que en el lugar don de'hay enterrado un tesoro crecen solamente Ires arboles: un roble,un pino y un abedul, Para encontrar el tesoro hay que situarsedebajo del abedul (en la fig. 1 este se designa can e l punto A),volviendose de cara a la linea recta que pasa a traves del robley el p ino (en la fig . I son los puntos R y P l. E n este easeel T able ha de estar a In derecha y el pmo, a la izquierda,Luego es necesario dirigirse hacia el roble, contando lo s pasos,A l Ilegar al roble se vira en angulo recto hacia la derecha y se dala rn ism a cantidad de pasos que se dio entre el abedul y el roble,E n este punto eli necesario detenerse y clavar un jalon (en lafig . 1 es el punto JI)' Despues hay que regresar al abedul y dirigirsedesde este hacia el pine, conrando los pasos , Al llegar a t pinose vira en angulo recto bacia izquierda y se da la mismacantidadde pasos que se dio entre el abedul y el p ino . E n este punta

FIG . 1

es precise detenerse y cia vat otro jalon (en la fig . I es el pu n to j z ).E l tesoro esta enterrado precisamente en elcentro entre los jalones(en I n fig. 1 es el punto n.E n presencia de una instruccion tan detail ada las bdsquedas

del tesoro no pudieron provocar diticu ltades .. S in embargo, estasa pesar de todo surgieron, R esulto que cuando el buscador de iesoro

1\ T. Saari, Metodos matematrcos de invesugacion delas operaciones, Ed. Voenizdal. 1963, ed. en ruso.


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tollego al terrene indicado solo encontro e I roble y el p ino ,No habia ni sefial del abeduL Pero, con todo, encontro el tesoro,S urge la pregunta, ~c6mo logro hacerlo?

Puesto que el problem a se expuso en un libra de rnatematicasserio era de esperar que In causa no residiera sencillam ente en labuena suerte, En realidad, el problema tiene solucion rnatematica,a proposito, completam cnte accesible para el alum na.

D e los puntas J" Jz- A Y T bajem os perpendiculares a 1 a rectaRP (vease fig . 2 ) . Designemos sus bases can J ' " l;. A' y Trespectivamcnte. S efialemos la igualdad de pares siguientes de los

FIG. 2

tria ngulo s re cn ingu lo s (segtin un lade y un angulo agudo]ARlJ'I:= ARAA'; "'PJ2l;' = APAA.

De la igualdad de los triangulos se deduce que 1 1J \ ;>RA',RJ', = AA' y J2Ji = PA', PI; = AA', Puesto que el punta T es elcentro ..del segmento 1112, resulta que TT' es la linea media deltrapecio J\J'IJ2J; y par eso

77" =-i(J IJ'\ + J2J;) = = +(RA' + A'P) = ~RP.Lucgo el punto T es el centro del segmento ]'IJ1. y . puestoque RJ' j := P J} (= AA ,), resulta que rl centro del segmcnto RP .De este modo la posicion del punio T no dependc de la posi-

cion del punto A. Para hallar el punto T es suficiente levaruaruna perpendicular desde cl centro del segmemo RP y trazaren esta perpendicular un segmento igual a ~RP , de tal modoque e) punto R resulte a la derecha y el punta P , a la izquierda,A unque la solucidn aducida e s irre pro chab le , a pesar de tododeja dena sensacion de insatisfaccion. La idea principal de bajar


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11perpendiculares desde los puntos 1 j, J2, A Y T hacia Ia rectaRP no se Iiga de ningun modo con el planteamiento del problema' y ,desde nuestro punto de vista, results muy artificial I). Es muchoMaS natural aclareren cuanto depende la posicion del punto Tde la posicion del punto A 0, en otras palabras, com o se despla-zara el punto T en caso de movimiento del punto A. Esta ideaIa dicta, a proposito , la misma fabula del problema. E s faeilimaginar que al no encontrar el abedul el buscador de tesoroernpezara a deambular por el lugar en busca de sus rest os,' razo-nando a la par: "Si elabedul estaba aquL el tesoro tendria queencomrarse an i y si el abedul estaba aqui, entonces ...", En .aquellaocasion podria notar que la posicion del tesoro no depende de laposicion del abedul. Al notarlo tornaria 1a azada, dejando lasbusquedas de la demostracion para mejor tiempo. Pero a nosotros,a diferencia de el, nos interesa precisamente la cuestion de como,razonando de tal modo, no solo notar, Sino tambien demostrarque la posicion del punta T (tesoro) no depende de la posiciondel punta A (abedul),

Imaginemos que el punta A ernpezo a despiazarse. S ea v elvector de su veJocidad instantanea, Puesro que el segrncnto R J I seobtiene a partir del segmento RA, girando en c! angulo ~;el punta 11 se desplazara en concordancia can el punto A, de talmodo que el vector VI de su velocidad se obtendra del vector V,girando en el angulo ~. De rnodoanalogo cl vector ' 0 ' 2 de velocidaddel punta J z se obtendra del v, girando en el angulo 2) - ;.Por eso "'2 = - VI' Esio significa que el punta T . como centrodel segmento J112 , tiene la velocidadIu = 2v I + v l) = O .

') Sernejarues "aruficios' se encuentrun muy a rnenudoen las soluciones de los problemas geometricos, ES10 dio motive al conocidom atem anco frances J . Favurt para decir que para muchas personas Ill."geornetrts pertenece alarte de demostrar cuaiquier propiedad al examinerun circulo elcgido can perfidia ) uniendo con sucrtc los puntos separudoscuidadosamerue".

1) Recordemos que elangulo de giro se considerapositive si este se efectua en sell! ido antihorario, y negati vo si se elecniaen sentido horatio.


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12iPero si I t t velocidad del punto siernpre es i g u a l a cero, entonceseste punta es inmovill De este modo, en case de movim ientoarbitrario del punto A eJ punto T permanece inmovil, Por can-

siguiente, fa posicion del punto T no depende de la posicion delpunto A. 'Ahora , para hallar la posicion del punto T es suficiente elegiruna p osicion cualquiera del punta A. Es posible que 10 mas

f1C.3

simple es hacer coincidir el punta A con el punta P y usarconstruccion conocida por el bnscador de tesoro (tig. 3).Esta solucion se basa en consideraciones cinematicas y puedeparecer dificil al alumnoen virtud de S Il conocimiento insuficientesabre las propiedades de los vectores y la s velocidadesPor eso en el libro dedlcado a la aplicacion del metodocinematico a los problem as geom etricos tuvimos que relater m uchosabre los vectores y las velocidades, Estos conceptos juegan un papelim portance ell una serie de partes de las matematicas y 1a fisica.Poreso el conocimiento de los m ism os es tam bientitil.En los ( Y 2 hay muchas casas que no se demuestran,

S IDO que 8010 se explican. Pero, dirigiendose par losdibujos y razonando el lector podra per si mismo llegar singran dificultad a demostraciones suficientemente completas E I lee-tor competen te puede lim itarse al conocimiento superficial de!material de eSlOS parrafos,E l parrafo 3 es el principal de este libra. A lii se exam ina unnurnero determ inado de problem as can aplicacion del m etodocinemauco y estan enunciados los pro blemas paraejercicios indioviduales.


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ELEMENTOSDE ALGEBRA VECTORIAL

.N! 1. Los segmentos orientados se lIaman vel"tores. En el dibujolos vectores se presentan por segmentos que Ilevan saetas paraindicar 1a direccion (vease fig. 4). EI origen del vector se llamatambien su punto de aplicacion. EI vector euyo origen es A y cuyoextrem e es B se design a AB (jpero no BA! BA significa vectorcon origen en B y extreme en A). Con frecuencia para designarel vector se usa una letra, por ejemplo, AB = a. Esta admitidoimprimir esta letra en negrilla para dar a conocer de inmediatoque se trata de un vector y no de un mimero. Si un vectoresta design ado, [or ejemplo, mediante a, entonces su longitud serepresenta por a I de modo analogo al valor absolute de unmimero I). Con recuencia la longitud del vector tambien se llamavalor absoiuto .

FIG. 4 FIG. 5

La igualdad de dos vectores no se entiende como la identidadtotal, sino de modo a1go mas amplio. Y precisamente dos vectoresse l1aman igua/es si son iguales sus longitudes y sus direceionescoineiden, De este modo los vectores iguales son ob liga te riamen teparalelos 0 se hallan sobre una recta (es decir son "colineales").En la fig. 5AB "" CD , AJJ 'f: PQ , AB';' EF , AB 'f: ('H.

II La longitud del vector AB a menudo sc designasimplemenre AB


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14De 1a determinacion de igualdad se deduce que en una tras-

lacion paralela eJ vector no varia.Para el futuro Ilene import ancia considerar e l punto como unsegmento cuyo origen y extreme coinciden, Tal segment a "dege-nerado" tambien se considera vector, pero no se Ie atribuye ningunadireccion determinada I). S e llama vector nulo y se designa con O.Su longitud es igual a cera: 1 0 1 =: o .. N l I Z . La sum a de los vectores II y b se llama vector c =: a + bque parte del origen del vector II hacia el extrema del vector b(fig. 6) can 1 a condici6n de que el origen del vector b coincide

con el extreme del vector 8 [esto siempre se logra valiendosede la traslacion para lela del vector b).La suma de vectores, igual que la suma de mimeros, sesomete a las leyes conmutativa y asociativa,LA le y conmutat iva se expresa mediante la formula

a + b "" b + 8. (1 )Su validez se percibe de la fig. 7 donde los vectores 8 y bestan apJicados a un punto y sirven en calidad de lados del

FIG . 6 FIG. 7

paralelogramo. La diagonal de este paralelograrno, que va desde elorigen corm in de los vectores a y b, es igual (como vector)por una parte a la surna a + b Y por otra, a la suma b + a.L A ley a.~o ciativa se expresa mediante la f6rmula

(a + b) + C = a + (b + e), (2 )cuya validez se percibe de la fig. 8.

1\ E s decir, eualquier direccron se considera com o I ade este vector.


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l5Gracias a las leyes conmutativa y asociativa se puede, durantela suma de vectores, igual que durante la suma de numeros,

no nacer caso al orden de los surnandos, ni a su agrupacion.En particular, Sf puede escribir simplemente a + b + c, omitiendolo s p are nte sis.

~ (Q+b)+c. a+(b+C)FIG. 8

a,+ az+aJ+a~FIG . ~

La suma de varies vectores se explica en III fig. 9, en Ia que losvectores al al, 83, 84 unidos sucesivarnente uno a otro, forman lalinea quebrada (poligonal) "cerrada" poe el vector-suma a! + 82 ++ 83 + 84'Es evidente que la suma de varios vectores es igual a cero si,y solo si la linea quebrada formada por ellos esta cerrada, es decir,el extreme del ultimo vector sumando coincide con cl origen delprimero (vease fig. 10) .

Sea, por ejernplo,a + b = 0.

E n esre case I I I longitud del vector b ha de ser igual II lalongitud del vector a y su direcci6n es contraria a In del vector H.


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1 6E I vector b determ inado de tal m odo s e l lama opues to al vector ay se designa con - R.Las fo rmulas

a + I) = a, a + (- a) = 0, (3 ique se deducen direciam ente de las deterrninaciones, juegan un papelirnportan te en algebra vectorial. E n particular, con su ayuda sepuede investigar la operacion de resta deveetores que es inversa ala operacien de sum a .. N ! ! 3. Se l lama dijerenciaa - b de los veetores a y b a ta lvector c en cuy a presencia b + c "" a. (4)

E I metodo de construir la diferencia se ind ica en la fig. I 1 , a .Al m ism o tiem po la testa puedc reducirse II la adicion operando

~~Jf a J fb)

FIG. II

de modo siguiente, S umemos a ambos rniembros de la igualdad (4)el vector -b:a + (- b) = (b +c) + (- b).

De acuerdo con las le y e s asociativa y conm utativa obtenem os:a + (- b) = c + [b + f - b)],

de dande en vrrtud de las formulas (3)a + (- b) = c + 0 = c.

D e este modo,a - b = a + (- b). (5]

E sto da un metoda mils para construir la diferencia, indicado enla fig . I I, h .


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17Noiemos adernas las form ul.as

a - 0 :::0 a, 0 - a :::0 - a, a - a = O. (6)A proposito, puesto que segnn la determ inacion de la difercncialas igualdades a - b = c , a = b + csignifican 10 mismo, el vector puede transferirse de un m iembrode la igualdad al otro con signa opuesto.

, N " ~ 4. N ecesitarernos una desigualdad lmportantisim a quesellama desiquaidad de trtdnqulo. Refiramonos a la fig. 6 (pag.. 14).Seguri el teorema geometrico conocido tiene lugar la desigualdadla + b l , , : ; la ! + I b l (7 )Aqui el signa de igualdad se logra si, Y solo 5 1 los vectorestienen la misrna direccion.Pueden indicarse varias desigualdades mas que son analogas ala desigualdad de triangulo , por ejem plo ,

la - b l ~ la l + Ib l : la - b l?a l - I b l (8 ). N 1 ! 5. S e llam a producto A a del vector a por un num ero real lel vector c que se determina par las condiciones siguientes.I} I e I = 1 1 1 . 1 , ] a I ( j ) . 1 es va! or a bsol u10 de! numero A . ) ;2) c es colineal al vector a;3) cuaudo A > 0 la direccion del vector c coincide con la del

vector a )' cuando 1 \ 0 < 0, estes direcciones son contrarias, E n I I I

FIG. 1 2

~ 3fig. 12 estan prcsentados los cases: /, = 2 : Y f. = - 4 . Es cvidente queIt "" 1 3, a + 3 = 2 1 : 1 , It;. a + a '" 3 a, ..y-3""1-1) 1 1 , . ( - a ) + I - a J = I~ 2 1 a .

(- a) + (- a) + (- 0) = (- 3) i : I .2-7,2


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1 8E numeremos las leyes principales a las que se subordina lamultip licaeion de un vector por un m imero .1) La le y asociativa J , 1 ( / o . a ) = ( J . 1 ; \ , ) 9 ( 9 )

se muestra en la fig. \3 , en la que e stan p re sentado s los cases:h > 0, 11> Oy h > 0, J . 1 < O .

; .

A,>{l(0)

. 4>01 /1 '


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193) L a ley dis tr ibuuva re spec to a l [ac to r vec to r ia l

(A + Ills = A a + 1 1 K ( 11 )se muestra en la fig. I S , en la que estan presented os Ioscasos:t.> 0 , 1 1 > 0 y A > 0, !l < 0 , A + !l > 0 ,

Ademas, Ilamernos la atencion del lector sobre las igualdadesevidentes:( 12 )

S e puede introducir tarnbien la d iv is io n de l v ec to r enlre unnumero . El producto del vector a par el mimero inverse respecto

I 2a.Ja2 I /II2 / ..l a'I .I". 1 . a~.A>O , Ji-> O(a l .J.>(), .#O(b)

FIG. ]5

a A se llama cocientc de la division del vector a entre el mimero" ;0: 0: a J~=~.a. ( 13 )

Pues, vcmos que las operaciones examinadas en el algebravectorial se subordinan a las misrnas leyes principales que lasoperaciones oorrespondientes can lo s numeros. Par eso en el algebravectorial son validos todos los corolarios Iogicos de estas leyes,10 que permite operar con los vectores de igual modo que con losmimeros . Por ejemplo, en la expresion O . + jl) (s +b) pueden abrirse losparentesis como decostumbre, en cuyo result ado obtenemos> . a + / l o b + ua + ub (esto se deduce de las leyes distributivas].2'


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2 0. N ' a 6. A partir de este m em ento considerarem os que todos

los vectores se hallan en un m ismo plano I), es decir, ocupem onossola m ente de pJan im etria.S ean a y b, dos vectores no colineales y c un tercer vectorcualquiera . S i el vector c es colineal can uno de los vectores a 0 h,

por ejem plo, con el vector a , entonees se encontrara un rnim erotal A que

c = Aa . (14)lZ/') a AFlG. 16

En caso general apliquemos los tres vectores a un punto 0(fig. 16) Y despues de esto tracemos por el extrem a C del vectorc las recras paralelas a los vectores a y b. Eseas intersecaranla s rectas en que se encuentran a ' : I b en los puntas A .y B ,respectivarnente.E s evidente que

c =VA + VB.Pero , puesto que vectores m y a son colineales, se encontraraun num ero ta l A que VA =Aa .

De modo analogo se encontrara un m im ero tal )l que7 J 1 J = ~b.

Por consiguientec = A . S + j. lb. (151

La presenraeion del vector c en form a de (1 5) se llam adescomposrddn de e s te vector en los vectores a y b. Cualquier

j! E I lector que no conoce estereom etria, por 1 0 visto,1 0 co nsid era aSI desde el principio . E n tal caso no ha perd ido nadaesencial,


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2 1vector c puede descornponerse en dos vectores no colineales a y b,En este case los coeficientes A . y ~ estan determinados de modounieo.N otem os que la igualdad (J4) se escribe en form a de (1 5) cane l coeliciente 1 1 = O ..M 7. Sean A, B. C tres puntos que se encuentran en unarecta . S e dice que el punto C divide el segm ento AB en la re-lacion m:n, si I)

nAC = meB. (16)Es evidente que el valor absolute de la relacion m:n es igua\a la relacion de las longitudes AC:CB. La relacion m :n es positivesi el punto C se halla dentro del segmento AB, y negativa,si este se eneuentra tuera del segmento (fig. \7).

: W - > 0A _.-f,..--- B~ - H Z < O

A~CtJFlG. 17

A

B

FIG. 18

Teo r ema . S upongamos que el punto C divide el segm ento A Ben la relacion m :n y sea 0 el punta arbitrario del plano (fig. 18).Entonces

DC = nOA + mOB .m+n (17 )De modo inver so, s'i para cU lI/qu ie r PW ICO 0 se cumple la

lqualdad (17), e nto nc es 1 .'1p un to C div ide e l seqmenso en fa re lac io nm:n.Demast racidn . Que se cum pla (1 6). Puesto queAC = DC - OA, CB = DB - DC,

II / 1 1 , n son ndmeros reales cualesquiera, no iguales acera s imul taneamente , S i m = 0, em onces el punta C-coincide can el punto A;si /I 0: 0, en este caso C coineide con B.


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entonces2 2

n(O C - OA ) = m (O B - O C ).Resolviendo esta ecuaci6n respecto a D C llegamos a (17).De modo analogo de (1 7) se obtiene (1 6).X i 8 . Como se sabe, la recta dot ada de la direcci6n "po-sitiva" se llama e}e .S ea 1 cierto eje y AB cierto vector (fig. 19). Designemos par

A l y B, las proyecciones de los puntas A y B sabre el eje I(es decir, las bases de perpendiculares para I trazadas desde A y B).E xam inemos el m lmero igual a la longitud del segmento A! B 1

II1!

I,I! -8, t

FIe. 19

B

BFIG. 20

tomada con signa positive, si la direccion del vector A ! B I coin-eidecon la del eje I, y tomada can signa negative en caso mverso .E ste m imero se llama proyeccion del vector AB sabre c I eje ly sedesigna pr,AB.S ea III el angulo farmado entre el vector a y eI eje I que sehalla entre 0 y 1 r (fig. 20) . E s evidente que

(18)E n particular, si a es perpendicular a I. entonces pr.a = O.Notemos dos propiedades mas de las proy ecciones (figs. 2 1 ,2 2 ):

I) pr, (8 + b) = pr,a + pr,b,2 ) prj(Aa) = A.pr,a (A es un m irnero arbitrario),Por 1 0 comun estas propiedades se expresan en la forma

siguiente: "prey eeci6n del vector sobre un eje es una operClcldnl ineal con vectores". A I aplicar sucesivamente las propiedades I) Y 2 )


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2 3se puede escribir en general:pr . (A11t + A2a2 + ...+ Ana,,) == Alpr,B. + ) '2prIBl + ...+ ). . . .pr.B. ( 19 )para cualesquier vectores ai' & 2 . "., an y cualesquier mimerosA I. A 2 .. , }'n'

FIG. 21

c0\,/\ :I , \I I ,_\ ., c ' tA' fJnC.22

I'IG. 2.1

A proposito. 101rnultipucaclon del vector pur CI nurnero },tarnbien cs una operacion lineal [veanse (9), 1101i.J' 9. Un ejemplo importantc mas de opcracion lineal 1 0 da Iaoperacion de rotacion del vector en un angulo dado 0: [indife-rentemente de que sea posuivo, negative 0 cere), Designemos estaoperacion por U, y su resultado de aplicacion 31 vector a,par U.a. De tal modo el vector U~a sc obtiene del vector 8.girandolo en el angulo 0 1 : . En este caso. cvidentcrucnte,

(Iig, 23).( 2 0 ]


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2 4ESle l clare que U 03 = a. es deeir, la operacion U 0 no variael ve cto r. La operacion que no varia el vector se llam a operaeionidentica,Notemos, a d ema s , que

(211Como ya hemos dicho III operacion de rotacion U, es lineal:

1 ) V.(a + b) = U ,a + U.b (fig. 24).2 ) U Q(i.al = }.U,.a, donde }. es un rnirnero arbitrario lfig. 251 .

l G ; bFIG . 2 4

"'---- . . . . . . . . . . . . . . . . . -,. ." \\D a a \ \\Ia

FIG . 2 5 FIG. 26

Por consiguierue, de modo semejante a Ii9),ViAla, + Ala:! + ".+ A..a.) =:"" A . IU o al + ~,~U.a2+ ._.+ A.U.,&.. (22)

.M 10. S can S. T dos operaciones con vectores t po r ejemplo,S es la proyeccicn del vector sabre eierto eje I y T , la rota-cion del vector en un angulo recto). E I resultado del cumplimlento


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sucesivo de dos operaciones se llama producto de las operacioncs.Adernas, hablando en general, tiene irnportancia el orden en quese realizan las operaciones. Si en el ejemplo aducido arrrba < Iccr e,!del par de operaciones 5, T se toma cI vector a", 0 que seencuentra en el eje I, a este se aplica al principia T y luego S,enionces resu ltara 0, perc si a II se Ie apllca al principia S .en este easo se obtendra un mirnero y al numero simplementeno se la puede aplicar la operaci6n T (la operacion T se aplicasolo a los vectores).

Si al principia se cumple In operacion T y Iucgo la operacion 5,entonces el producto se escribe en forma de 5T Decstc modo.segen la determinacion

(Sna =S(Ta) (23)para cualquier vector a.La fig. 2 6 muestra que U~U~a = U~+Ba para cualquier vector a .es decir, hablando brevernente 11:

(24)De aqui se deduce que

V~U~ = V 1 1 U , . 12S.1aunque, en general, ST #- TS.

Si ST = TS, se dice que [as operaciones S y "{ son p e rmu -tables. De tal modo. cualesquier dos rotacioncs son pcrrnutahlcs.Tambien cualquier rotarian es permutable con 1


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2ELEMENTOSDE CINE M A T ICA

M 1 . T ornernos sobre cl p lano un punto cualquier 0 que serad po l o . Para un pu 'n to arbitrario M el vector r "" OM (fig . 2 7)se llam a su radio vec to r respeeto al polo O. El punto y suradio vector se determinan uno a1 otro m utuam ente.Si el punta se mueve describiendo cierta tray ectoria (fig . 2 8),entonces su radio vector varia en dependencia del tiempo; es f u n -cion del tiempo Esto se designa del modo siguiente:

r "" r(t) (t es el tiernpo), (I )Aqui la palabra "varia" no puede comprenderse al pie de late tra . U n case particular im portante .de m ovim iento es el repose.

S i un punto se encuenlra en repose , entonces su radio vector entodos los m om entos de tiem po sera eJ m ism o. Como funciondel tiempo este perm anece invariable "constante". ESID se escribeasi:

r = const (2)Cuando se dice que, por ejernplo, r es funcion de ( solose tiene en cuenta eJ hecho de que para cada valor de l el

ao

FIG. 27 FIG. 28

vector r esra com pletam ente determ inado: si testa fijado, en toncesr y a no puede variar,


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2 7N! 2. Examinemos cualquier inrervalo de tiempo [ t o , I I ]

(tl > to ) que ernpieza en el momenta '0 y term ina en cl momentot i- La duraci6n de este intervalo es igual a I)l!t = tl - 10' ( 3 )

S i en eJ rnornento to el radio vector del punto movil M esigual a to (to = r( to)) Y en el memento t 1 aquel es igual a r 1(rl = r(rdJ,entonces d vector

A r = rl - fOmuestra el desplazamiento del punto M durante el iniervalo detiempo [co, fl] (fig. 29).

o nc. 19

A hora querem os introducir e I concepto m a s im portante develocidad de movimiento. AI hablar en terminos generales, la velo-cidad es el desplazam iento en. unidad de tiempo, A demas, la velocidadriene que describir tanto e] valor absoluto de dcsplazamiento enla unidad de tiempo, como la direccion de este desplazamiento,o sea, la velocidad ha de serel vector.S! conocernos que durante un intervale de tiernpo [to. Idel punto M experimento el desplazamiento 6r, en este caso, paraobrener el desplazamienro en la unidad de tiempo es naturaldividir M entre la duracion del intervale de tiempo. En este caso

11 .1 s igno 6. s e usa pa ra designar e l f 'lc re m e nro decualquier valor, es decir, para indicar en que cantidad cambi6 este valor.


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2 8se obnene el vector que se llama v e lo c idad m edia de l p uma duran t e( lJ nuerca lo dado de tiem po :

(4)

Este vector esta orientado del mismo modo como el vector dedesplazamiento tir, pero su valor absoluto es igual a la distanciaM oM hdividida entre I1t , es decir, hablando en term inos generales,al trayecto recorrido por el punta en unidad de tiempo.i ,QUe es 10 que queremos subrayar con las palabras "ha-blando en terrninos generales"? E I heche consiste en que el puntaM durante eJ intervale de tiempo [to, 'I] s o mueve, como regia,de manera irregular, es decir durante partes iguales de esteintervale de tiempo el punto rccorre trayectos desiguales, Adernas ,csre no se muev c. por 10 cornu n, a 10 largo de la recta MoM ! >sino POT Ia CU T va que unelos m isrnos puntas. E I vector de despla-zamienro I1r solo earacteriza d total de este movimiento, perono sus etapas mterrnedias. Lo mismo Sf refiere tam bien al vectorde In velocidad media y esto se subraya mediante 1 a palabra"media".Sin embargo, es facil comprender que Ia vcJocidad media serauna caracteristica bastante precisa del movirniento si la duraciondel intervale de tiernpo es extremadamerue pequefia, Por eso,para obrener la caracterlsrica ideal y precisa es nccesario que eJtiempo tit tienda acero, es decir, rijando el inicio to del inter-vain de ticmpo, hacer que '. tienda a lo. En este caso 1a velo-cidad media vmed tendera hablando en terminos generales, baciacierto limite v:

I, I' Mv= . Iffi\'", .i = Im-.41-0 ,\,-081 (5 )En cierto grado esto se rnuestra en la fig. 30.El vector v se llama velocidad (inswnr.dnea) del mouimienro eneI momen t o '0 . S1I direccion es e l iimile para las direcciones devectorcs de las velocidades medias.EI vector de la velocidad media durante el intervale [to, tl]se halla sobre la secante MoMI ' S i tl tiende a (0, enionces elpunta M I tiende a! punta Mo, meviendose por 1a trayectoria.Al mismo tiempo, al girar la secante MoM I tiende hacia ciertaposicion limite MoT. La recta limite para la secame MoM I se llama


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2 9ta l1 ge l1 le a /e l trayectoria e n el plmto M o LI. E I vector de Ia velocidaden el momenta to se halla sobre la tangente a la trayectonaen eI punto Mo.Las palabras "tiendc", "limite" y "posicion limite' pueden con-fundir al lector que no esta suficienremente preparado, Ademas,

o FIG, 30

usam os estas palabras en Ja aplicacion a los veetores variables(e ineluso a las reetas variables) y no solo a los numeros. En 1 8aplicaci6n a los mimeros variables cl lector tiene que conocer cIsentido de estas palabras desde eJ curse escolar de m atem aticasen que se exponen los elementos de la teoria de los limites.Pero necesitarnos una teoria mas general que expongamos ahora enbreves palabras .

.Nil 3. Sea p(s) 18 funci6n del argumento numenco s que tomavalores numericos 2!, Recordamos 81 lector c J sentido precise de laigualdadlimp(s) =0.... 0 (6)

II Se recomicnda al lector comparar esta def in ic iongeneral de la tangem e eon la defin iciO n corriente "escolar" de I I I tangenrchaciu la circunferencia,II Tales rllncione~ se llarnan es, alare.~ en cOl1traposiciona las pee/or io les .


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30y de Ia frase correspondiente: "la funci6n p (s ) tiende a cera,si s tambien tiende a cera". Elias significan que cualquiera quefuera pequeflo el nurnero I'; > 0, siempre se encontrara un mimerotan pequerio I) > 0 que la desigualdad

Ip(s)1 < 8se cumplira para todos los 1 . 1 ' 1 < 6.Supongamos ahara que a(s) es la funcion vectorial del ar-gumento s. EI vector b se llama l imitea(s), cuando s tiende a cero(la anotacien: b "" lim (a(s)), 5 1 la funcion escalar

5--i1'tJ

p(.~)= l a ( . s ) - b ltiende a cero en presencia de s que tiende a cero.Losteoremas principales de la teoria de los limites para lasfu nc io ne s v ee to ria le s son analogos a los teorernas para la s funcionesescalares que 01 lector conoce,Teo rem a LU na mismtl [unc ion no puede te ne r lo s l imne sd ife r en te s \),

Demostraclon. S eab l = lim a{ s) y b2 "" lim ats],l~O s~o

E s evidente queb, - b2 = [bl - a(s)] + [a(s) - b2J .

De aqui, segun la desiguaJdad del triangulo,I b l - b2[ ~ I b l - a ( s ) 1 + 1 * ) - ~ I ,Puesro que ambos sumandosen el segundo miernbro de la ultimadesigualdad tienden a cere, cuando s _,.0, y el primer miembrode la desigualdad no depende de s, resulta que esta no puedeser positiva: I b l - b 21 . . . , ; O .Pero tampoco puede ser negativa (la longitud del vector siemprees no negativa), Por consiguiente,I b l - b2 = 0 .Esto signifiea que bl - b2 = 0, eli decir, hi = bz

11 Pero puede ser que no tenga ninguno: el limitepuede no existir, mas si este existe, entonces es unico.


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31Teorema 2 . S I'

lim SI'S) = bl !fm 82(5 ) = b1-0 s-Oen i o n c e s

Iim(sl(s) + 82(3)) = bl + bz, ~ . . . .rei l im ite de ta su tna e s igua l a la sum a de lo s lim ite s " ).T e o r ema 3. Si

lima(s) = b.,-0 en ro n ce se n p re sen c ia de cua lq llie r m im e ro fi}o i l l . sera

lim }..a(s) = ).h_ ,_ 0 .(" e l lim ite de l p ro duc to po r un numero es igua l aJ p raduc to de llim ise po r es te n t imero"J .

Dejarnos af cuidado del lector efeetuar Is demostraciea de losteoremas 2 y 3 I).Teo r ema 4. Sflima(s) = h., - 0

entonces para cualquier angulo fijo a seralim V . a(.~ ) = U " b .-0

Demos / radon . T enem os (vease 1, formula (20)):IU ~ (s) - u"hl = IU .; (a (sJ - b)1 = la (s ) - h i.

Puesto que, segun la condicionlim la(s) - h i = 0,. - a

entonces tam bien limIU ~a(s) - U~b l = 0,Jj._O" A I dernostrar el teorerna 2 es conveniente usar il l

desigualdad del rriaagulo.


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32es decir,

lim U ,afs) = V.b.,-0Xl! 4. Ahora estarnos ya en la condicion de exponer, en lalonna que necesitamos, la teoria de las velocidades,La velocidad de un punto se determina mediante la igual-

dad (5) 1\.Desde eJ punto de vista fisico es evidente el teorema siguiente,T 1 'o rema 5 . La 1Jf! /ocidud de UTI punta inm od l duran te t odo e I

fiem p (2) I'.~ igutll a cero.Demos trac ton . E n realidad, si el punto es inmovil, entoncespara cualquier intervale de tiernpo el vector de su desplazamientoes igual acero, e s decir. 6r = D.Por' consigujent,e,vm.~ = - ~ ~ '" O.Pero en este caso tambien \' = Jim V""d = = 0 en cada memento deJt-Otiempo.

Formulemos et teorema inverse.Teo r ema 5 ' . . ' I i fa ce lo cu lad de un pun to du ram e to do 1 ' , / t i empo(ell I r Imscurso de l C IIal se examinu e l m ov im ien to de este pun to )e5 igua! {/ ce ra , en tonce s e l pun to pe rmanece inmdvi l .

A pesar de toda su evidencia desde el punto de vista de laflsrca, este tcorema no resulta tan simple como desde el punta devista matematico. Para no apartarnos dernasiado, omitimos sudemostracien.

Los teorernas 5 } ' 5 hablan de que la igualdadr = cons!as equivalenie a I n igualdad " I' = O.

Teorema 6. Sewl r, = rl{t), f1= fl(t), r = r(t) lo s radios vertoresde lo s pun to : :"1 I, ,~12.M respec t iuamente . S I lo s pun tas se m ueren

J I E J lector que conoce III difereuciacion puede decir:"la vclocidud de un punto es la derivada de S II radio vector en eluempo". La difcrenciaeion es una de las operuciones mas importantes en1 < 1s matemaucas. U n a f,)l"mU laci(\n de d iferenciacion accesi ble r.llra el alurnno1;1 COn! iene el follclo de V G . Boltianski" ~Que e s 1


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3 3de cal m odo que duran te todo e l /fem po

r=',+'2 'en tonces su~ 1 :e ioL '!dades esu in l iyados m edian te la correlacion and loqa :

"'="1+"2' (7)Demos l rac ion . El vector de desplazamiento del punto M duranteel intervale de tiempo [t. / + I1t] es iguaI a

I1 r ,;,. r(1 + lu)- r(c) "" [, ,( I + 8.1 ) + .r2 (t + I1t)] -- [rl(t) + '2(t)] ::: ['1(1 + A r) - ,\(tl] +

+ [r2(1+ I1t) - '2(t)] = I1rl + 1 1 ' 2 -De aqui

At At\ A r2Vm,,-u ,>,,-0 lil-O= V, + V2

segun se queria probar.El teorema analogo es justo para la diferencia.Teo r ema 6 '. Si la s oe ioc tdade de lo s pumas At" M2, M t odo

e l tlem po estdn re lo e ionadas p or fa corre lac idn(7) , en tonce s duran teiodo e l liempo

r=rl+t2+const ( 8 )Demouracion. Examinernos el punto auxiliar P cuyo radiovector todo e1 tiernpo es igua! a

(9)

Pcro entonces la velocidad del punto P es igual, segiin ha sidodernostrado, a \' -I'l'l + 1'2), es dccir, es igual a cero, Por consi-guiente, el punto P es inm6vil , es decir, (iP = canst. De aquiy de(9) se deduce dircctamerue (8).

De modo analogo a los teorernas 6 y 6' se puede demostrar(con ayuda de los reoremas 3, 4) los pares siguientes de teorernas.Teo r emo 7. Sean ,! = fl(t), f2 = Tl(r) io radio v e c to re s de 1M/ lUnW5 M I Y M 2 respeC'f ivamf: ' IUC. S f l o s pllmo_~ . \ e tlJll(.'l)('11 d e / ( I I


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34m odo que duran te to do e l tiem po

r2 =Al"do nde Aes un num ero canstam e, em once s su s oelocidades es tanIfgadas por 1 0 correlacion ana/ago

(10)Te o r ema 7'. Si la s ce lo c idade s de lo s pun ta s M '.' M 2 duran tetodo e l tiem po es tdn ligadas m ed ian te (a correlacida (to) en tonce sdurante coda el r i empu

Te o r ema 8 . Sean r, .= [,(t), t2 = r2(t) lo s rad io s v ec to re s de lo spun tas M r Y M 2 re spec tiuom em e , Si lo s pun tas 5e muet> en de talm odo que duran te to do e l t i empo .

rz = U~tl>donde IX es un an;:c:!o constanle,entonces sus velocidades estanligadas mediante la correlacion analoga ( 1 1 )

Te o r ema & '. Si la s e loc idades de 105 puruo Mj, M t odoeltiempo e su in liqadas m edia m e 10 co rre laddn (11) , e nto nc es du ra ntetodo el tiempo

Nt . 5 . S ea r = r(l) el radio vector del punto movil M . E xarni-nemos el desplazamiento N t oM 1 ... 6.r del punto durante ciertointervale de tiempo [to, 11] (fig . 31 ). Traeemos e l arco de lacireunferencia cuyocentro e s t a en el polo 0 y el radio OMo .Este intersecara el rayo OMJ en el punro M. E s ev idente que6 .t ....MoM, = MoM" + M'fiM,. (12)

E l desplaza rn iento M o M ' " no varia la distancia del punto movilM a partir del polo 0 y esta ligado solamente con la rotaciondel rayo OM. El desplazamiento M *M 1 esta ligado solamente conla variaclon de la distaneia del punto M a partir del polo.A I dividir am bos m iem bros de la igualdad (1 2 ) entre6t:;;.= t, - fo Y pasando al lim ite, cuando 6t ~ 0, obtenemos:

v= lim M;;W + U rn ~. (13)t I , - . o 6e 4.-0 6t


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35El primero de los Hntites que figura en el segundo miembro dela igualdad (1 3) se llam a v elo cid ad tr an sv ersa l del punta M yse designs v, el segundo se llama neloctdad radial del punro My se designs "p'

IT

oFIG. 31 FIG . .32

De este modoV=V,+Vw (14)

La formula (4) da \a descomposicion del vector de velocidaden las componentes radial y transversal (Iig, 32). Estas cornponentesson rnutuam ente perpendlculares,Velocidad radial es la velocidad de variacion de la distanciadel punto M a partir del polo 0, es decir, la velocidad de variacionde la longitud del radio vector' OM. La velocidad esta dirigidaa 10 largo de este vector si OM crece, y en direccion contrar ia,si 0 M decrece,Designemos la proyeccion del vector de veiocidad del puruo !Hsobre e\ eje, definida por e I vector OM, mediante ".,. E s evidente que

' r = I v v l ,donde el signa mas se lorna en caso de crecirniento de OM y elsigno menos, en caso de decrecirniento del mismo.Si e t punto M se mueve por I I I circunterencia cuyo centroesta en el polo, entonces su velocidad total coincide con la trans-


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3 6ve rsa l :

Perc s i el punto se rnueve por eJ rayo que parte del polo,entouees su lie locidad L O I ll I coincide con la radial:

\'=vP' v,=O .. . N l ! 6. E xam inemos la ro tacion del rayo OM alrededor de supunto inicial O . S upongamos que durante el in tervalo de tiempo[I, I + 61] el rayo giro en un angulo I) 6q> . La relacion

l H P(I)",.d = 6.,

se llama ~dOl.."iflaJ angular m edia de l rayo durante e l intervalede tiem po [ t , r + l!.l]. E I lim ite de la velocidad angular media Wmed-euaado t : : . f . . . . 0, se llam a ~elodd'ld emYl/lar (illslamalleaj del ray oy se designa sim plernente con 00:

-'" ,. -I"~I) - mlWm


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3METODO CINEMATICO

EN LOS PROBLEMAS DE GEOMETRIAAnora podemos empezar, estando fuertes en conocimientos,a resolver los problemas de geometria. Ante todo recomendemosanalizar otra vez la soluci6n cinematica del "problema del buscadorde tesoro" dada en Ia introduccion. A In par con esro es necesarioobservar como se usa el material de los I Y 2, con la f ina-lidad de prepararse mejor para resolver los problemas siguientes.Prob l ema I I). 11 lo s lado s de 1111 tr itingu /o arburario ABC par[uera de esre e s tdn con s tru ido s lo s tr idngulo s equild ie ro s , ABCjBCA' Y ACB' (fig. 33) Demostrar que los centros 01 , 02 Y 0de e s ta s tr idnqu lo s so n lo s m ism os ve r tice s de l Il'idngu lo equ i ldmro .

A'

Reso iuc ion . F jjemos los vertices A y B del triangulo ABCy movamos el vertice C . Sea Vc su vclocidad. En este caso d'triangulo ABC' perrnanecera invariable y los vertices A ' y B ' de los

II Este problema, al igual que In mayorla de los pro-blemas adueidos abajo, esta tornado desde la serie de librcs "Biblioteeadel circulo matematico' de ,. M. Yagl6m y OIfOS. Algunos problemas setomaron del Iibro de Zh, Adamar "Geometria elemental", r. I,Ed. Uchped-guiz, 1948. ed. en ruso,


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38triangulo-, equilateres A'Be y AB'C se rnoveran de un mododctcrnunado Lxarmnemos los vectores A C . , - : : ; r o ; - . Es evidenteque

Ademas, el angulo entre los vectores AC ~ AO z es igual a ~.Por eso si .giramos el vector AC en el angulo ~ (de modoque con csto Sl1id Itern 0 por " - - = - _[, 3

longitud 110 varie) y multiplicamos el vector ob-enronces obtendremos el vector A02. Esto se

puedc cscribir del modo siguiente:, _ 1 7?A02=~U A L.V 3 ~

Segun el teorema 81"--U"0, - ~'3 ~ c

(yv es la velocidad del punto 02)''De modo analogo" =_I_Uo . V 3De aqui

Par consiguiente, I '_" = -~U I,3U v = U UQ, I ') ~" s 0, ",.-f & r, {) 6 (1 )

Tomemos ahoru el punto inmovil 01 por eI polo. Entonces dela igualdad I II, segun eJ teorem a g', resul ta0102 = U,0103 + R,

1


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39donde el vector R = const, es decir, R no depende de la posi-cion del punta movil C. El vector R no se conoce, pero se puedeencontrar al elegir cualquiera de las posiciones del punta C quebrevemente llamaremosen ulterior como posicion determinante.Si resulta que en la posicion determinante del punto C el vectorRes igual a _cera, entonces, siendo constante, siernpre sera igual acero, es decir, siempre

( 2 )

Pero esto precisamente significa que el triangulo 010201 siemprees equilatero 1En realidad, en (2) se dice que el segmento 0]02 se obtiene delsegmento 010 3, girando en un a ngulo ~.

c'FIG. 34

Nos queda hallar la posicion detcrminante convenicnte delpunro C. Es oportuno elegirla de tal modo que toda Ia confi-guracion sea 10 mas sencilla posible. En el problema dado laccnliguracion tendra un aspecto rnuy simple (fig. 34) si el punto Cocupa tal posicion en la que e t truingulo ABC es equilatero.Aqui tiene lugar la simetria: la configuracion coincide con si mismaal girar el triangulo ABC alrededor del centro en un angulo ~n:.


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40

Por eso el triangulo OIOP, resuita equilatero ' 1 , . por consiguiente,0 / 5 , ) ; = = U~O!03'

j"es deck, en esta posicion realmente R "'"O.Ejerc ic ios . I. Demostrar que la afirmacion del problema I. e . \'.ilida,

5.i \0 "0 triangulos ABC, SeA', ACB' so n su stitu id os par 1 .05 tri .ingulos

FIG. 3 . 5

B '

A '

FIG. 36

ABC. BCAN, ACB" , simetricos a aquellos can respecto a los la d os delItiiingulo ABC (fig. 35).2. En lo s lados de un triangulo arbitrario ABC estan construidoslosIriangulos equilateros BCA ' , ACB' , ABC de ta l modo que los vertices

FIG. 37

A' Y A, S' Y B eslio situados respectivamente par los d lle rentes lsdos deBG 'j AC, m ientras Que e ye se hallan porel lade de AB (fig. 36).D em osrrar que siel puneo M es el centro del \rilingu!o ABC, eutonees


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41el ttilingulo A' M8' es isosceles y el angulo en su vertice M es. I 219ua a"31 t.

3. S obre lo s lados de un rriangnlo arburario - ' lBC "j tuera del rmsmoestan construidos los It.h!.ngulos isOsceles Bell', AC8 ' y ABC con Ips angulos en los vertices ,01', B' )' C respectivamente iguales a a, J 3 } Y flig . 371D emostrar que si

'J: +~.+ y = 2 1 1 ,entonces t o s angu.lo5 d el trla ng ulo A'B 'C ' son iguales a ~. ~2 "!,es decir,

w , 2no dependen de 1 1 '1forma del. Iriangulo ABC'. U n caso parucular deesraafirmacidn se conoce como "el problema de Napoleon" (vease la revisra"K van!" {"CU8nlo"_1 1972, N~ 6. pag 29. cd~n ruso].

Prob l ema 2 . Sea dar io un cum lrangu l'J ABeD. P o r jue r de ~rHlado s es ta COIISI ru ido : lo s lr itingu 1 0 : 1 recldngu. los uo sce le s A B , ...i.

p

SFlG.3S

sc . CDQ r VAS (fig. 381. Deinos t rar qU I ! lo s ' 1 l !nmmto_1 MQ J SPSOli iquales J ' perp f !nd icu iares .

Reso luc io, Fijem os los vertices A, By D y comencemos a movereJ vertice C Puesto queR P = w ; ~ U~B C "V 2 r

resulta que" =_l_U ,., r I 2 : c .


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4 2De modo analogo

VQ " " l~U 1 - vcA I pasar de la corrclacion enire las velocidades a ia correlationentre los radios ..ectores obtenemos:

" S P = I)SQ +COllSl. ,Puesto que sq ""5 " , \ ; j + M Q y S 1 \ 4 = const, emonces

S f =' V n M Q -f; R,dondc R = const,

Eli jamosla posicion deterrninante del verticc C Porejempto.hagamos que coincida con el venice A Despaes de esto el cua-drangulo ABeD "c trnnsformaru en dos pares de segmentos concu-rrentes .48 = ClJ y AD = CD [fig. 39), Los triangulos ABM y CBPforman lin cuadrado construido sobre A B como en diagonal.De modo anaiogo It)5 triangulos ADS y CDQ forman el cuadradocon diagonal AD . De aqui se deduce que mediante la roracion en

sFIC.3v

. j e! Ina ngulo .1.\ '1' corncidc con el tnangulo , 1QA' f [en este casoel punto S coiucrde COli d punto Q y c.! punto Peon el puruo Nl).Por eso pnr.a b .~i tuacK)nexamjnadil del pumo C


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43De esre modo aqur, y esto signifies que siempre,

R =0,es decir, siempre

Pero esta igualdad dice de que e! segrnento SP siernpre sc obtienedel segmento MQ mediante el giro en angulo recto Por consiguiente.

SP = MQ. SP ~ A 1 QProblema 3, En los lados de un paraleloqramo arbitrarlo ABeDpo t fu e ra de este, esuiu COl1strllidoSClwdrados.Dl.mo.l.trar que $U.~

centros M, P, Q Y S 8011 los mismos certices del cuadrado (fig. 40).

s

\\ "..VP

FIG. 40

Resoillcion. Fijemos los puntos A y D )' cmpecemos a moverel segrnento Be paralelamentc it si mismo En este C,I~O los punrosBye sc desplazaran con una misma vclocidad. Esta rnisma velo-cidad tendra tarnbien e[ punto Q que es el centro del cuadrado Uconstruido sobre ei segmento B e .

II Todo el cuadrado se movera, como se dice, ell formade traslacion.


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44Caiculemos la velocidad del punto S que es el centro delcuadrado construide sobre el segmento C D . Puesto que

7 5 S = -t- {J l 5 C ,V Z ;entouces

'f := --~-:- U ".1 ~ 2 : (

De modo unalogo

Puesto que

entonces , , = _ L v v ,,=_I_U v5 1 ,2 ~Q' p l 2 : Q

Por consiguiente,lW S = - .~ U M Q + R I MP "'" ~u .MQ+ H 2 f 2 1 ~ 2 -'.i

donde R \ . . . const, R 2 = = const,En calidad de deterrninante tomemos aquella posicion del seg-

mente Be en la que eJ cuadrangulo ABeD es un cuadrado. En-tonees resultara queHI OK 0, R l = 0,

De este modo, ya no solamente en esta posicion. sino iambiensiernpre

MS =_!'" U M Q . MP = _ _ ! _ . L' MQ,~ '2 ~ liZ -~y estas igusldades signilican que el cuadrangulo M PQS es uncuadrado.

EjaCicw5 4. Demostrar que la afirmacion del problema 3 se censer-vanj si lodes los euadrados se susmuyen por los simerril:os a estos conresreceo a los L1dos del paralelogramo A . BeD .


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455. Se da eJ cuadraugulo ABCD Demosrrar que 5t los vertices P j ,~de los triangulos rectangulos isosceles ASP y C D S coinciden entre Sl,

entonces coincidiran tam bien los vertices Q y T de los triangulos rectan-gulos isosceles BeQ y D AT (rig, 41). Todos los tnangulos se conwuyendentro de! euadrangulo ABC D ,

FIG. 0 1 1

6. Se da el cuadrangulo ABeD. Sobre los lades Be y DA por fueray en los Iados AB y CD par dentro del cuadrangulo estan construidoslos triangulos rectangulos isosceles ABP . BCQ, CDS, DAT (fig, 42),Demostrar que si los vertices P y S coinciden, el segmento QT pasa porellos. siendo dividido en dos partes igua les,

fiG. 42

7. D ernostrar que en el problema I los segrnenros A 4', B8' Y CCson iguales y , al inrcrsccarse en un punto, forman , I ngulos igualcs ;r2-It,3


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Prob l ema 4. Se dan cua tro rec to s a, b C J' d; que Sf' imer seeanpor pares en se is pum os A , B , C, D, E J ' F ifig. 43). Demos i ra rqU{ ' lo s cen tre s M, P Y Q de lo s segmentos AC, 8E y DF Sf!ellcuelll ra il so bre Unil rec ta .

b

FIG. 43

Reso luc ion . Fijernos las rectas I J , c, d )" ernpecemos 3 desplazarIn recta II paralelamente a si misma E n este caso los puntos8, C Y D se moveran segun las rectas b . c y d . S u s velo cid ad eslo s des ignare rnos VB. Vc }' VD'

S ea II ' la posicion desplazada de [a recta u y 8'. C Y f Yla s posiciones desplazadas de los puntos B . C Y D (fig. 44).


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47

Los origenes y los extrernos de los vecrores '88', cc" bD'se hallan respectivamente sobre las rectas paraleias {I yd. Parconsiguiente, si hacernos coincidir los origenes de estes vectores.entonces sus extremes se hallaran en una recta paralela a (jLos vectores 88'. C C ' y D D ' son proporcionales a las velocidadesVB. V c Y VD de [as puntos B , C 'j D . Por eso, 51 los vecloresV B. V c Y V o se trazan a partir de cierto punto 0, entonces susextremes B j, elY D 1 se hallaran so bre una recta (paralela a larecta a). De aqui se deduce segun el tecrerna del ~ ! N 2 7, que existcntales mlmerosconstantes In y II para los cuales

m~'c + IIV VVlJ=----:......---=-m+,I,1 (3iE I punta M rvease fig. 43) es la m itad del segrnento AC, es decir,AM =~AC Puesto que el punto A es inmovil, de aqui se deduce que

1'M := 2" , . (41De modo analogo obtenemos las igualdades

1 1VQ"" 2 ~ l > ' V p = ' 2 \ ' ; 1 '

E n virtud de (3) _ (51(5 1

ml'~1 + IllQl' P = _.__:_.__-."._m+nTornemos ahora el punto inmovil E par un polo. Entonces,en forma sucesiva, aplicando los reorernas 6' y 7' tendremos:

- mEM +1 1EQEP = . ' + R , R : . . : , I . ' e m s !m+nSupongarnos que la red.a a en I , t posicion determmame pasa d

craves del punto E (fig. 4Sj E n esta posicion los puntos Dyecoinciden con. el punto E. Los puruos .M , Q y P resulian ser lasmitades de: los segm entos AR , FE y BE . Puesto que los puniosA, F Y B se hallan sobre una recta, results que los puntos M, Qy P tarnbien se encomraran en una recta (paraiela a 1 1 ) . Los Irian-gules PEQ y BlelO son sem ejantes OD S lades de uno son paralelosa los lados del otro PE!lllliB1CI: I 'Q' lh! IOfJ, : fQlicii 'OCd


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De modo analogo son semejantes los triangulos PEM y B1D10.De la sirnilitud de los triangutos se deduce queBIDj _ PE C 1 .81 _ PEOBI - UP' OBI - PQ '

es ueCIL Ius punios P . Y B, dividen los segmentos MQ y CIDtrespecrivameruc en una misrna relackin. Pero para el punto 81

b

C f( C , I J ) tlC~

o I T s . 1i,

F I G . 4 5---_._. ~'-~ . . ._.esta relacnin es 19ual alii: /I. Por consiguiente, tambien parael pUIlIO P scni iglll1l a I1nl, de donde

EP = . , ! r E M + nEQ .m+n (7)

A I cornparar las rgualdades 1 6) y (7) vemos que en la POS Iciondcterminante R = II. Pero pucsto que R = const, ernonces siernpreR=0 Esto significa que siempre tiene lugar la igualdad (7) y lospuntos M. P, Q siempre 5C hallan sabre una recta.

Ejerc ic io 8. Demostrar que los puntos de intersecoon de los vertices decuatro triungulos ! - JCO. ,4BE. DEF Y AC F forrnados por cuutro rectas


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49II, h. c Y d . que se intersecan por pares, se encuentran en una recta(fig. 46).

FIG .w i

Prob l ema 5 . Sunonqam o s que e l pum o P se encuen tra sabre lacircurferencia K descrita alrededor del tridngulo ABe, y que P L sPl. P3 son Ius p ro yecc io ne s de l pun ta P sob re lo s ladus defllABe

FIG. 47

(fig. 47). Dem ostrar que lo s pum as P ], Pl, P 3 se halla ll sabre unarecta (llam ada recta de Sim pson , 1 0 cuai corresponde !II pumo P y aiIridngulo ABC).4-12


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50Reso luc ton : Hagamos girar los lados AC y Be alrededor de

lo s p un tas A y 8 con una misma velo cid ad an gu lar 00 , E n este casoel punro C se desplaza por la circuntereneia I) K. Puesto quelo s an gulo s PP,A y PPzA son recto s, resu lts que el punto P 2se mueve por la circunferencia K 1 que pasa par los puntos inmovilesA, P Y PI' E n este case el rayo PPz, siendo todo el tiempoperpendicular al ray o AC , gira alrededor del punto Peon la m ismavelocidad angular (segl1 n e! teorema 1 0 2 ). Puesto que los ray asPP,. Y P,P2 giran de tal m odo que el punto P1 de su intersec-ci6n se mueve por Is circunferencia K" entonces el lingula form ado

FIG. 411

por ellos es constante, Por consiguiente, segiln el teorerna 1 0 susvelocidades angulares son iguales. Par cso la vclocidad angulardel rayo P1Pz es igual a t . De modo analogo ( J J es la velocidadangular del rayo P IP~ ,

De esta fo rm a los rayos P , P 2 Y P IP 3 giran con una m ismavelocidad angular. Por eso el Angulo farm ado por ellos es COil stante,Para detectar que el angelo es igual a eero (y can eso concluy e ladem ostracion) exam inem os la posicion en que el punta C coincide conel pun to P (fig, 48). En esta posicion P z coincide con e, (y conP y C ) y el angulo exam inado es lgual a cera . E sto significaque este siempre es igual a cera.

II E n r ea lidad , puesto que la s velocidades a ng ulare s d elos rayos AC y Be son iguales entre si, entonces, segun el teorema 10,el angulo AC B permanece todo el tiem po constante y . por con siguiente ,el punto C se mueve por el area d e la circu nfereaciu K.


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5 1Ejercicios. 9. S upongamos que los puntos P y Q S f: encuentran sabre

I ii c i rcunferencia I < descrita alrededor del [riangulo ABC. Demostrar queel punta de interseccion de las rectas correspondienres de S impson I' Y I f

IpFIG . 49

(fig. 49) describe Ia circueferencia K' durameel movim iento del punto Cpor la circunferencia K (los punros A, B, P Y Q se co nsideran inmoviles).1 0. S upongamosque el punta P se encuentra sobre la circunferencia Kdeserira alrededor de) t riangulo ABC Y que P" P 2 ' p.l son los punlo!i>;.

I1 1

FIG,5Ometrlcos COil el PU[lIO P respecto a los lades del trh'ingulo ABC. Demostrarque los puntcs P. P2 Y Pol est a n sobre la recta que pass por III puntode inrerseccon de las alturas del triangulo ABC { f i p ; . SO},


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5 2Prob l ema 6. Dem ostrar que las C[Wlro c ircun je renc ias K I, K 2

K 3 )' K 4 de scr lt as a trededo r de cua tro tr io llyu lo s ABD. BF C, C EDy A fE , f o rmado s pOl' la s cua tro rec tus 1I, b . c }' d , que se in te rsecanpor pares y pasan por un punta (fig. 51) .

Reso luc i on . Pu esto qu e las circunferendas K [ y K 2 tienen un puntocormin B, resulta que tienen adernas un punta corrn in lJ . Designe-rnoslo por A 1 . D emostremos que M pertenece tambien a K 3 Y K4-Fijem os los puntas B. C y D Y empecemos a girar alrededor deestes !as rectas b , C Y o f can una misma velocidad angular 00.Puesto que el angulo BAD en esta operacion perrnanece constan te(vease el teorem a to 2 ), resulta que el punto A d e in te rse cc io nde las rectas b y d se desplazara par la circunferencia K!. De modoanalogo punta f de inrerseccion de las rectas bye se moverapor la circunferencia K2 y el punta E d e in te rse cc io n de las rectasc ) d. por la circunferencia K J-

a

f(FIG. 51

E n cierto momento de tiempo el punlo A coincid ira can el puntoM (vease fig. 52 , I I ) y , par consiguierue, por M pasaran las recrasn y d . Puesto que M pertcnece tambien a K 2 Y la recta h seimerscca en K z con 1 < 1 recta (:, resulta que en este mornento porel punto M pasaran las (res reetas b, c 'j d. Pero el punto de

" Si el punto B Iuera el pumo de tangencia de [ascircurferencias K, y Kl entonces los triangulos ABO y BFC sedan seme-james, E n est e CiiSU las rectus AD Y F C hun de ser paralelas. 1 0 quecontradiee la condicion.


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5 3interseccion de las rectas c y d pertenece a la circunferencia K J'De aqui se deduce que la circunferencia K3 pasa por la recta M.Para demostrar que por el punto M pasa tambien la circunfe-rencia K4 fijemos los puntos B, A Y F y empecemos a giraralrededor de estes las rectas a, dye con una misma velocidadangular (fig . 52 , b). De rnanera analoga a 1 0 a nte rio r d ern osrremosque en cierto memento las tres rectas a, dye pasaran por elpunto M. Esto significa que por el punta M pasa tarnbien lacircunferencia K4 en Ia que se intersecan las rectas (' y . 1 .

s ,(0) (b)

FIG. 52

/ ( ,FIG. 53f.jercldo.~. J J. Sobre e J lade A.B del triangulo ABC se torna un puntoarbitrario M. Demosrrar que los centres 0" O2 Y 0) de las circunfe-rencias descritas alrededor de los triangulos ABC, AMC YBMC se encuenrransobre la circunferencia que pasa por el punto C (fig. 53).


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541 2 . T eorema de S teiner, D emostrar que los centres de la s eireunteren-

cias K " K1, K.l Y K4 (veanse la condicion del problema 6) se encuentranso b re una circunferencia. E sra circunferencia pasa ramble por -el puntooe imerseceion de las circu nferenc ias K I, K 2, K J )' K. (fig. 54).

FIG. . 5 4

P r o h l C I 1 W 7 Se lin dada d o s c icun je rencias K ! y K 2 (fig. 55)que S f! in tersecun e n l o s pullll)s A Y , 8 . F . : I punw M que S f! m u eve po rla c i rc lmjer (mda K 1 es tc1 Imido con lo s pu/ l tV;$ A Y R Supong~mo :sque N y P so n lo s punro de in te rsecc io n d e I U $ rec to s MA y M B

\\\ . K Z\. . . . -, . . . . . . . . . _ - - _ . . .FIG.5S

mn ta c ircm ife l"enr ia K z . Demos t rar que e l cenf ro 0 de la cif-cUl1(erenr ia Kdesa ica a/re i /edor de l Iriul1{Julo ;\If N P . descr ibe I" dr-(I! . I !rerellcia.


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55Resolucion. Durante el movimiento del punto M por la circunfe-

rencia KI los rayos ANy BP giran alrededor de los puntas A y Bcon una misma velocidad angular OJ . Las velocidades angulares delos radios OzN y 02P trazados desde el centro O2 de la circun-ferencia K2 a los puntos N y P son iguales 1 ). .3 2 0 0 . De aquise deduce que el angulo P02N es constanre y el triangulo POlNse rnueve, permaneciendo invariable. Puesto que la Iongitud de lacuerda P N y el angulo P M N son constantes, la circunfereacia Kdescrita alrededor deliria ngul0 MN P se mueve, permaneciendoinvariable. Junto con su centro 0 y 1 a cuerda PN se rnuevc,tarnbien el triangulo paN permaneciendo invariable. De aqui sededuce que rambien se mueve, permaneciendo invariable, el triangulo020N, Puesto que su venice O 2 esta inmovil, resulta que. el punto 0describe la circunferencia.

D emostrernos que e ! radio de esta circunferencia es igual alradio de la circunferecnia K!. Para esto hagamos coincidir el puntaM con el punto B (fig. 56). E n este caso In secante MBP setransforrnara en la tangente a la circunferencia K! en el punto Btvease .N~ 2, 2). La cuerda M A coincidira con 13 cuerda ABy el punic , I I , ' coincidira can e l punto B, EI triangulo M NP"se degenerara' en el segrnento BP ( dos veces cubierro), EI centro 0

"E n reulidad, supongamos que durante el intervale detiempo [1. I + 61] el rayo A N gira en cierto angulo NAN' , Durante esrem ism o im ervalo de tiem poel radio 02Ngirara en el angulo N02N 'que siendo central, es igual al angulo duplieade inscrno N A N '.Puesto quefa correlacion LNOIN'"" 2 LNAN' tiene lugas para cualqurer 61, resultaque la velocidad angular del radio O!,'I,' es igual a la velocidad angularouplicad .. del ruy o A :,~,


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56de la circunferencia descrita alrededor de aquel, se halla en elpunto de interseccion de la. perpendicular que pasa por el centrode la cuerda BP Y la perpendicular trazada por el punto B IIde la cuerda AB. De aqui se deduce que el cuadrangulo 01020Bes e I paralelograrno yO. 0 =:: R I.De tal modo el punto 0 describe la circunferencia con el centroen el punto O2 y el radio RI

Eierc ic io . 13. Demostrar que el lado P . / \ " del IrianguJo M N P (veasela eondicion de! problema 7) IDea cierta circunferencia r u a .14. Demostrar que el punto de interseccien de las alturas del trian-gulo M N P construido en el problema 7. describe una circunferencia duranteel movimiento del punto M.

En conclusion examinernos algunas propiedades de la elipse,la hiperbola y la parabola. Las definieiones de esras curvas sedaran mas abajo.

FIG. 57

Llamase el ipse la curva formada por todos los puntos cuyasuma de las distancias ados puntos dados FlY F 2 es iguala un valor constante prefijado (fig. 57). Los puntos F l Y F 2 seHaman f ocos de la elipse,

I) El lado MN del triangulo MNP se degenero en elpunto, pero la direceion de este lade degenerado se determina durante elpaso al limite y coincide con la direccion de Ja cuerda AB.


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5 7Pr o b l ema 8. Dem o s tra r que la tan gen te a fa e lip s e Jo rm a tin qu lo s

igl la les COli lo s rad io s v e ('to .r e s que panen de lo s fo cu s ( I f pun tode tan gencia y v icev ersa , s i la rangen te a fa curva f o rma en eadupunto dll9ulo s iguales con lo s radio s vee/ores que parten de dO$ putuos[ijos F l Y F 2 al pW1 to de ranyencfa, em onees es ta ('urua CS elipseco n [o co s e n lo s pun to s F J y F 2 (0 1 '1 a re a de la e lip se in d icada ).R .e so lu rid n . . S upongamos que el punta M se mueve par 1 3 elipsecon la velocidad v. Las proyecciones del vector v sobre los radios

FIG. 58

vectores I r I= F J M y r l = F 2 M (fig. 58) 50n respectivam enteiguales a

1'1= pr,,'" = - v cos o, 02 = pr"Y =rcos~, (8 )donde 0 : . y ~ son lo s angulos fonnados POf fhf2 Y la tangente,Puesto que, segun la definicion de la elipse I r d + I r 2 1 = const,entonces?'V I + 1.:2 = o .

I, Es decir, sabre los ejes dingidos a 10 largo de estesvectores. , P u e s t o q u e s u r n a I r 1 1 + I r 2! e s U II v alor c o n s t a n t c ,resuha que los mcrementos de las longit udes de vectorcs r1 y r: son

iguales por su valor absolute y tiencn signos opuestos. Por consiguiente,tarnbien las velocidades de variaeion de las longitudes de vectores fl Y r1son iguales por su valor absolute y rienen signos opuestos. S egun N l 5 ~estas vejocidades so n pree isamen te l'! Y V I'


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58A . I in troduc ir aqui las expresiones para VI Y 1)1 desde (8) obte-nemos {)COSo: - V cos ~ = 0,o

coso: = cos p ,de donde 0: = 1 3 , puesto que ex y p son los angulos agudos,AI contrario, supongarnos Que la tangente a la curva L formaangulos iguales con los radios vectores que lIegan al punta detangencia a partir de los puntas fijos F lY F l Al proyectar la

FlC. 59

velocidad l' del punta que se mueve por Ta CUTva L sabre losradios veciores r1 Y TZ de este punto obtenemos:

r, = = PT,,' = -I'CoS~ 1 . ' l = pT,' = rcos o,donde : : x es el lingula forrnado por la tangente y los radiosvectores. S umando estas igualdades obtenemos:

!'l +!'~ =0,de donde se deduce que la surna de longitudes de los radiosvectores fl Y Tl es un valor constante, es decir, la curva L es unaclipsc.

l.larnase hipi.'rilOili la curva formada par todos los puntas cuyadilerencia de distancias de los misrnos a dos puntas dados F\ y F2 ,llarnados Iocos, es lin valor constante (tig. 59).


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5 YEiercicio IS . D ernostrar que la tangenie a la hrperbola es la bisectnzdel angulo formado por los radios vectores trazados desde Ius focos al

punto de tangencia (fig, 60),

FIG. 60

Por el contrano, si la rangerue a 1 1 1curva en ,:,ad,1 punro es bisccrnzdel a ngu I0 forrnado por los radios vee: ores q ue parten de dos punrosfiJos F L Y F'z al punro de tangencia. entonces 1 , 1 curva L cs una luperbolacon los focos en los puntos FLY Fl to cl arcn de csra lupcrbolnj.

FIG. 61

Llarnuse pardbola ia curva formada por todos los puntos ('Uy.l


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60ijerCi(:iO 16. Demosuar que la tangerue a la parabola es Ie. bisectrizdel angulo Iormado por e! radio vector trazado desde e! foco F al punto

de tangencia y I n perpendicular bajada del punta de tangencia a la directrizd (fig. 6 2 ) _

d

F

FIG. 61

Y viceversa. supungamosque la rangente a la curva en cada puntoes la btsectriz del angulo formado par el radio vector que parte del puntofijo F al punto de tangencia, 'j la perpendicular bajada clesde el punto detangencia a la recta fija d _ Entonces esta curva es una parabola con elfoco F y la di reciriz paralela a. d (_oel arco de esta parabola).

En calidad de lo s ejercicios adicionales recomendemos a loslectores resolver, aplicando el metoda cinematico, los problemassiguientes de la revista "K vant" ("Cuanto") que se edits en ruso:I) 1970, N 2 4, pag. 27, problema MIS (a); 2) 1971, N 2 4, pag , 33.problema M79: 3) 1 97 J, N o 4, pag , 43, problema M J 98; 4) 1974 ,N i2 1], pag, 40, problema M291; 5) 1974. .N 9 12. pag, 44, problemaM297_


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INDICACIONES PARA LOS EJERClCIOS

I. La resolueion es analoga a la del problema I. E s necesario se-nalar que ahora para el triangulo equilatero ABC los puntos 0" OJ Y 0)coincidirdn (eJ triangulo O,OlOJ "se degenerara" en pumo], y los vectores0,01 yO,O) se reduciran a cero. Con esto de In igualdadDID) = UnOl02 + RJ

resultara que R = O.2. Fijar los puntos A, B Y mover el punto C. Observar til este casolas velocidades de los puntos A ' y B '. E n la posicion d eterm inan te h acercoincidir el punto C con el punto C'.3. La resolucion es analoga a la del problem a 1 . E n la posiciondererm inante bacer coincldir el punto C con uno de los puntos A 0 8.4. La resolucicn es analogs a la del problem a 3.S . Fijar los puntos A y 8 Y mover los puruos C y D . E n esre easeel m ovim iento de los puntos C y D ha de esrar coneordado de tal modoque el lriangulo CSD con el vert ice inmevil S perm anezca e! trianguloisOsceles. Demostrar que vQ= ~T -

6. De modo analogo al ejercicio anterior dernostrar que vQ:::: - 'p7. De modo analogo al problema 1 dernostrar que

De aqui C iS precise deducir que las rectas AA', BB' Y CC' se intersecan porpares en la circunferencia descrita alrededor del triangulo ABC,8. Fijar la s rectas b , c y d y mover la recta a paralelarnente asl m'isma con una velocidad constante, Luego demcnrer que~O,""),,~OI' vo.=~Yol

dcnde },.CI eonst, ~ = cons!' AJ examiner dos (1 ) posiciones deterrninantesestablecer que las constantes R I y R . son iguales a cera: si a pase por elpunto A , si a pasa por el punto B . Es necesario aprovechar la circuns-tancia de que el vector colineal, sim ultaneam ente lidos rectas que se in ter-secan, es igual a cero.9. D urante el m ovim ieruo del punta C la velocidad angular de rota-ci6n de las rectas de S impson p y q es igual a 1 8 velocidad angular derotacion de los rayos A C Y Be .1 0. A I usar el re su lt a do d e l p rob le m a S d emo stra r a l principio que lospuntos P I' Pl Y p] se encuentran en una recta, Luego , fijan do lo s pu nto sA, B y P s irar alrededor de 105 puntos A 'I Bias rectas AC y Bf'con una mism a velocidad angular, E xam inar las velocidades angulares de 1 1 1 5


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62rectas P , P 11 ' j Y /', G L a p osicio n deterrninanrc se elige de! m lsmo modo~QmQ en el problema ~

11. FiJaJ" I . . . .s puntos Aye y guar alrededor de estes las rectasAB. eM y CB con una mlsmavelocidad angular. Observar el movimientode los puntcs 0,. ():) 03. E xam inar Ja posicion en que las rectas A e yA M coinciden,IZ . Fijur los pumos 8, C Y D Y gzrar alrededor de esros las reCI.8SBF . Cf y D . - 1 C0,I una rlllsmn velocidad angular hasra que pasen por elpunto . \ - 1 Lucgc ulilmu el resultado de! ejercicio amerlor,

1 3. A l'ru~c~hur la cireunsrancia de que J a lcngitud de la cuerda PNperm unecc co nstan ie I . ve:ase la solucion del problema 7).

1 4. Previam erue dernostrar que la distancia del veruce del tridnguloal punto de interseccton de Ius auurases 1 1 : \ 1 1 1 1 1 a la distancia duplicadadesde elcentro de !;l cncunteecncia descrita alreikuor del Iriangulo hasra ellade correspondrente. Es faei l hacerlo sin la cmcmatica, Luego, aproveeharel h.ecllO de que durante el m ovim iento de 1 05 p um c s M, N Y P la srectas 0[M " f N l' pcrmane",(:O perpendieulares una a otra y fa distanciadesde el punto 0 hasta In recta Nt' es consiante,IS . La resolucion es analuS a a la del problema 8.1 6 . La resoluctcn es analcga II la del problema 8, perc en vez de la

velccrdud de vanaeion de longtt ud del segundo radio vector es nec esario~ X < l Q 1 J J 1 a r la vc locidad de v a r i e c i o n de la d isra ncia en l re el punta movily la directriz


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A NUESTROS LECTORES:

"Mir" edita libros sovieticos traducidos al espafiol, ingles,frances, arabe y otros idiomas. Entre dins liguran las mejoresobras de las distintas ram as de la eiencia y la lecniC

Dirijan sus opiniones a: Editorial "Mir", I Rizhski p e r "2, 129820, MoscO 1- 110, GSP, URSS


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V. UspenskiLa m6qulna de Post

E I libro narra acerca de una ma~ .m edida, habra de contribuir a laquina ca1 culadora abstracta (es de- in troducci6n de tales conceptos co-cir, inexistente en el arsenal de 1 a rna "algoritm o", "m aquina calcu-teeniea actu al), 1 a llam ad a m a - lad ora u niv ersa l". "p ra gramaci6 n"quina de Post. Los calculos en es- en la escuela de enseftanza secun-ta maquina refle ja n mu chos resgos daria, incluso en sus prim eros cur-esenciales de c6m puto en las calcu- !lOS. Hasta los escolares de los pn-ladoras e lectronicas reales. La en- meres grades y los niftos en edadse.ftanza de los princip ias de preescolar pueden efectuar sis tra-program acien en 1a m Aquina de baio operaciones en la maquina dePost 'Ila explicaci6n de las posibi- Post, segU n un program s dado .lidades de esta m6quina, se reali- E ste fo lleto se basa en las eonfe-zan en ejemplas elem entales que, rencias dictadas par el autor parapese a la extraordtnaria sencillez, los estudiantes de ensetlanza m ediaresultan bastante extensos, y de 1a U niversidad de M oscU .No es necesario que elleclor posea E l falleto esta destinado a los estu-conacimientos de matematicas que dianles de ensenanza m edia y a to-rebasen el marco de la escuela pd- des los amantes de las matemati-marla. E llibro ofrecido, en cierta cas.


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l leciones p o p u l a r e sd e m a t e m a t i c a sObras de nuestro sello editorial

N.Ya. VilenkinM~lodo de aproximaciones sucesiv asV.G. Shervatov

Fu n ci o nes hiperb61icasV.A. Uspenski

Algunas ap lieaeio n esde la mecanica a las matematicasG,E. ShiJov

Gama simpleC6mo co nstruir las graflcas

A.S. Sclo dovn ikovSistemas de desigu aldades lin eales

Ed MIR - Lyubich - Método Cinemático en Problemas Geométricos

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