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pág Reflexiones Convenciones Matemáticas, más allá de

Simple Notación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Revista del Profesor de Matemáticas 2

FISICOM

3

Los Ingenieros Premian al Talento Matemá-tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Ciencia de Culto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . 4

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Problemas con Historia

6

Los Trisectores . . . . . . . 6

La Trisección de Arquímedes 7

El Tomahawk . . . . . . . . . . . . . . . . 7

La Concoide de Nicomedes . . . . . . 8

Anécdotas de la Ciencia . . 8

ABAQUIM ¿Cómo Funcionan los Detergentes . 9

Grandes Inventos 9

Ciencia Entrete Pensamiento Lateral . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . .10

El Volumen de la Pizza . . . . . . . . .10

Hacia Dónde Tirar la Botella 11

11

Sonriendo con Estadística .11

Noticias Lamentable Muerte de John Nash . . 12

Ya Llega “Física y Berenjenas” 12

El Señor de la Ecuación Diferencial Ordinaria

y la Señora de los Anillos . . . . . . . . . . . . . . . 12

Muchos conceptos básicos de la Mate-

mática fueron creados para atender cier-

tas necesidades y resolver problemas

específicos, pero con el correr del tiem-

po se vio que tenían una utilidad mucho

más amplia de la que fue pensada ini-

cialmente.

Uno de ellos es el concepto de logarit-

mo, que fue inventado en el siglo XVII

por el escocés John Napier (1550 –

1617). Napier ideó los logaritmos como

una forma de simplificar los complica-

dos cálculos que debían realizar los as-

trónomos de esa época, con el fin de

elaborar cartas de navegación. El obser-

vó que de acuerdo a las propiedades de

los logaritmos se puede reducir una ope-

ración aritmética compleja a una mucho

más simple; así es como, usando esta

poderosa herramienta, las operaciones

de producto, cuociente, potencia y raíz,

se reducen a sumas y restas. Este uso de

los logaritmos fue empleado, en ense-

ñanza media y universitaria, hasta hace

muy poco, antes de la irrupción masiva

de las calculadoras.

La función logaritmo (ABACOM 19),

sin embargo, junto a su función inversa,

la función exponencial, permanece co-

mo una de las más importantes en Mate-

máticas, y sirve para mucho más que

simples cálculos aritméticos. Entre otras

aplicaciones, permite modelar fenóme-

nos de crecimiento o decrecimiento de

diferentes cantidades, tales como un

capital que se deposita en un banco, una

población de seres vivos o la radioacti-

vidad de una sustancia.

Muchos otros conceptos fueron ideados

para ciertos propósitos y resultaron ser

mas útiles para otros. Así fue como las

Geometrías no Euclidianas, que en prin-

cipio no se les veía utilidad, sino como

algo teórico, en que sólo se trataba de

ver qué ocurría si se cambiaban los pos-

tulados que usó Euclides, para elaborar

la Geometría Euclidiana (en particular

el postulado que se modifica, para dar

origen a las Geometrías no Euclidianas,

es el quinto). Pero esta nueva Geometría

terminó siendo fundamental para el

desarrollo de la Teoría de la Relativi-

dad, enunciada por Albert Einstein.

Podemos afirmar, como lo hacen Ed-

ward Kasner y James Newman, en el

interesante libro Matemáticas e Imagi-

nación: “El matemático es el sastre de

la clase media de la ciencia. Confeccio-

na trajes y aquellos a quienes les queden

bien, pueden usarlos. El matemático

hace las reglas del juego y quien desee

puede jugar mientras las observe. No

tiene derecho a quejarse luego alegando

que el juego no le haya dejado utilida-

des”.

Nº 54 Año 14

Julio 2015

Editorial

LA EVOLUCIÓN DE UNA IDEA MATEMÁTICA

J U L I O 2 0 1 5

2

Eduardo Carrasco Henríquez

REFLEXIONES

Muchas veces una idea matemática que nos parece sencilla es muy difícil de aprender para los estudiantes. Es un verdadero obstáculo en el cual muchos de nuestros estudiantes caen y caen cada vez, a pesar que lo explica-mos un y mil veces. Por ejemplo el exponente cero, vemos constantemen-te como estudiantes que han aprobado los cursos anteriores vuelven a señalar que a0 = 0. Cuando preguntamos a los estudiantes cuánto es, por ejemplo, 20, tendremos diversas respuestas. Martínez (2003) nos muestra las más populares: 1. Es 1, pues el profesor lo dijo. 2. Es 0, pues 20 es 2 * 0 = 0. 3. Es 0, pues 23 = 2 * 2 * 2, es decir 3 veces multiplicado el 2.

También 22 es dos veces 2, 21 es una vez el 2 y por lo tanto 20 es cero veces el 2, es decir ninguna. Si tenemos ninguna es nada, luego 0.

Las dos primeras respuestas no colocan mucha lógica. La primera, correcta, se justifica en la obediencia al profesor y a la buena me-moria. La segunda, errada, es no saber qué hacer con los números y dado que potencias se relaciona con la multiplicación, se multi-plica. Pero la tercera, que es más popular, plantea un adecuado uso de la lógica deductiva (característica central y deseada en matemá-tica). En ella el estudiante aplica dos saberes que ha aprendido muy bien: (a) La potencia es una multiplicación reiterada. El exponente indi-

ca el número de veces que se ha de multiplicar 2 por si mismo y

(b) El cero es nada. Es una deducción lógica, clara y correcta. Sin embargo, deduce un resultado que es incorrecto en la matemá-tica (siguiendo a Condorito, ¡Exijo una explicación!).

Entonces, ¿Que lógica matemática es la que justifica que un nú-mero elevado a cero sea uno y no cero? La explicación matemática más recurrida es que: 1 = 23 / 23= 23 – 3 = 20. Pero no se ha mostrado que la igualdad 23 – 3 = 20 sea cierta. Pues el cero no es número natural y la propiedad an/am = an – m sólo se

justificó para exponentes distintos de cero. Además, ¿Qué significa elevar 2 a cero?, ¿Debo multiplicar 2 con si mismo cero veces, es decir ninguna?, y ninguna ¿es uno o cero? Y si ex-tendemos a los negativo ¿Cómo en-tiendo multiplicar el 2, menos 3 ve-ces? Y peor aún como multiplico 2, π veces. Entonces a0 ¿es uno y olvida-mos la definición, o hacemos la de-ducción directa desde la definición, que nos lleva a que a0 = 0? Si miramos el desarrollo de la mate-mática, encontramos la “lógica” implícita que es más bien práctica.

Importa más la estructura, es decir las propiedades que la defini-ción. Cuando Abel, Chuquet, Wallis, Newton y otros insignes matemáticos tuvieron que enfrentar exponentes cero o negativos, su interés no era multiplicar de modo reiterado un número dado, sino buscaban graficar funciones o calcular áreas bajo curvas complejas entre otras cosas. Entonces lo que más importaba es que la propiedad base de poten-cias 2n * 2m = 2n + m se cumpliera con el cero y los número negati-vos. Así que no pensaron más en la definición y asumieron que 20 = 1, pues, y he aquí la explicación lógica: si 20 = 0, resulta que 20 * 2m = 0 * 2m = 0 y no se cumple la propiedad, más útil que la definición, de que 20 + m = 2m.

Así el saber matemático también se construye por convención, es decir, por acuerdo de conveniencia y eso no siempre se lo decimos a los estudiantes. Ellos deben “desaprender” que la potencia es una multiplicación reiterada al estudiar exponentes no naturales. En Educación Matemática a este tipo de dificultad, se le denomina Obstáculo Epistemológico pues la dificultad no es por estudio o capacidad del estudiante, tampoco por una mala explicación. Es simplemente por saber bien la definición inicial de potencia.

Bibliografía: Martínez, G(2003) Caracterización de la convención matemática como un mecanismo de construcción de conocimiento. El caso de su funcionamiento en los exponentes. Tesis Doctoral no publica-da. CICATA – IPN. México.

La Revista del Profesor de Matemáticas es una publicación de la SOMACHI (Sociedad de Matemática de Chile http://www.somachi.cl), que pretende aportar a la formación de los profeso-res, permitiéndoles mantener un estu-dio constante de esta ciencia y hacer aportes sobre todo a su espíritu, apren- diendo cosas nuevas que los motiven y de esta forma transmitan con entusias-mo a sus alumnos ideas nuevas y tam-bién desafíos.

El director ejecutivo es el Dr. Hugo Cae-rols y el comité editorial está formado por el profesor Jacinto Larenas y los doctores Víctor Cortés y Mario Ponce. En la página de la revista (http://rpmat.cl/) se pueden encontrar todas las ediciones publicadas, siendo la últi-ma la del Año 9 N° 1. Aquí también se indica cómo publicar un artículo o una foto relacionada con la matemática, la que se publica como “la foto del mes”.

REVISTA DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

3

ABACOM Boletín Matemático

Generación de Energía Eléctrica a Partir de Movimiento

Sebastián Urrutia Hohmann

Nuestra vida moderna está marcada por el uso de dispositi-vos eléctricos, desde linternas hasta computadores portátiles, es decir, herramientas que utilizan corriente eléctrica y por lo tanto energía eléctrica para su funcionamiento. ¿De dónde proviene esta energía? En la actualidad es generada principalmente en grandes cen-trales eléctricas que abastecen la demanda eléctrica de ciu-dades completas. En estas centrales se obtiene energía eléc-trica a partir de algún tipo de energía primaria existente en el ambiente. Algunos ejemplos se ven en la tabla a continua-ción.

En los ejemplos mencionados, la posibilidad de realizar esta conversión obedece a la Ley de Inducción Magnética de Fa-raday: Sin querer ahondar más en la descripción matemática, men-cionamos una consecuencia directa de esta ecuación. Al ha-cer rotar un circuito eléctrico en un campo magnético, en este se producirá una corriente eléctrica. Esta es la ley que aprovechan todas las centrales menciona-das anteriormente: El movimiento de un fluido (agua, aire, vapor de agua obtenido del calor) hace girar una gran canti-dad de espiras de cobre cerca de un imán o electroimán y de esta forma se obtiene lo que comúnmente llamamos electri-cidad.

Podemos afirmar que la Ley de Faraday es una de las leyes físicas más importantes en cuánto a sus aplicaciones técnicas.

No obstante existe otra forma de generar energía eléctrica usando directamente la radiación solar. Si pensamos en un panel solar, nos damos cuenta que no contiene ninguna par-te giratoria. Eso es precisamente porque el principio físico usado no es el de Faraday sino que el denominado efecto Fotoeléctrico. Todas las partí-culas de luz (fotones) contie-nen energía. En un panel foto-voltaico esta energía es ab-sorbida y libera cargas eléctricas obteniéndose así corriente eléctrica. Se tra-ta de un proceso complejo que será descrito en otro artículo.

Tipo de Central Energía primaria que es con-vertida en energía eléctrica.

termoeléctrica Calor obtenido de la combus-tión de carbón, gas o petróleo (combustibles fósiles)

hidroeléctrica Energía cinética del agua al bajar un desnivel (liberación de energía potencial)

eólica Energía cinética del viento

mareomotriz y undimotriz

Energía cinética de las mareas y las olas

nuclear Calor obtenido de procesos nucleares (fisión nuclear)

Fuerza Electromotriz t

LOS INGENIEROS PREMIAN AL TALENTO MATEMÁTICO

J U L I O 2 0 1 5

4

Juan Leiva Vivar

Hola amigas y amigos, estamos nueva-mente en ABACOM para hablar de la Ciencia de Culto. En el artículo anterior analizamos qué fue primero: la ciencia o la cultura. Dijimos que sus inicios son muy cercanos y paralelos, pero que ambas se encuentran en constante dialogo. Comienza el invierno y con él un nuevo año para los pueblos originarios del occidente planetario, su cultura se ha perpetuado desde antes de la coloniza-ción europea, que aún pesa en desmedro de sus tradiciones. Es difícil determinar desde hace cuánto tenían la práctica de celebrar por me-dio de diversos rituales una nueva salida del sol. Esto genera un click para preguntarnos ¿Cómo conocen los pueblos originarios o los prime-ros habitantes de Latinoamérica? ¿Cómo transmiten ese conocimien-to de generación en generación? Para tratar de responder las interrogantes nos vamos de viaje a la región de Los Lagos (Chile) porque a unos 28 kilómetros al sudoeste de Puerto Montt se encuentra el sitio arqueológico Monte Verde. Éste conservó artefactos culturales que según las pruebas de carbono 14 datan de hace unos 12.500 años. La manifestación de los primeros americanos se encuentra en el asen-tamiento humano de Monte Verde, ellos en el lugar construyeron viviendas y herramientas que les permitían adaptarse a los bosques templados del Sur de Chile. La complejidad de las mismas, demuestran un desafío para los científicos que buscan comprender sus manifesta-ciones culturales. Se especula que su organización era de tipo familiar y que eran unas 20 personas

1. No se registra un legado de esta mani-

festación hasta el momento, sólo teorías de que podrían ser antepasa-dos del pueblo mapuche. Al avanzar los años, una inmensa cantidad de pueblos originarios son identificados en Latinoamérica, entre ellos, los mayas, aztecas e incas. Los primeros, en cuanto a la ciencia, demuestran un notable desarro-llo plasmado en su arquitectura como palacios y templos construidos sobre plataformas o pirámides escalonadas. Los segundos, influencia-dos por los mayas, destacaron en la arquitectura por sus pirámides escalonadas sobre grandes plataformas. Y por último, los incas desta-caron en la ingeniería y arquitectura, ya que sus construcciones son de

enormes piedras talladas que encajan sin ser pegadas, como en Machu Pic-chu. Cabe mencionar que los incas inventaron los quipus, cuerdas de dis-tintos largos y colores, con nudos espe-cializados para contar y recordar men-sajes

2 . Sus tradiciones muchas veces

fueron impuestas a lo largo del imperio, unificando la cultura. Se aprecian distintas manifestaciones del conocer (hay más ejemplos) que ponen en la mesa la temática entre

ciencia y cultura, no obstante cabe mencionar que otros aportes de los pueblos originarios son la medicina, ya que muchos usaban vene-nos o anestesias para la caza. Por otro lado los chamanes empleaban un sinfín de plantas mágicas para conectarse con los dioses y así pre-decir el futuro o sanar a sus pacientes, dan a entender que estos son elementos interesantes al momento de repensar la medicina actual

3.

Es como que los pueblos hicieran ciencia sin saber que la hacían, sin un método científico pero con un arduo trabajo de conocimiento al respecto. En conclusión se puede decir que los primeros humanos de Latinoa-mérica y su forma de conocer depende del desarrollo de su cerebro, de cómo se relaciona con su entorno físico y espiritual para así em-plear la naturaleza en su propio beneficio, desarrollando capacidades hoy pérdidas o en proceso de perderse (por el violento progreso). Hace poco se cumplió un nuevo año de que la tierra diera una vuelta completa al sol, un hito que poco celebra la sociedad actual, pero que cada día la gente comprende y respeta. Es un nuevo año en que la diversidad de culturas convive y se encomienda a los dioses para tener energía y enfrentar los nuevos desafíos. Por ahora es tiempo de feste-jar. En el próximo ABACOM veremos cómo se desencanta el mundo mágico, así que no dejen sus delantales blancos en casa.

1 http://www.puertomontt.cl/atencion-al-vecino/oficina-del-patrimonio-cultural/ y http://fundacionmonteverde.cl/

2 http://historiadavidtrumbullsegundociclo.blogspot.com/2008/04/pueblos-precolombinos.html

3 http://encolombia.com/medicina/revistas-medicas/academedicina/va-60/academ24360-medicinaprecolombina/

Contacto entre dos Mundos Julio Morales Muñoz

Los números primos son números enteros positivos mayores que 1 y tal que sus únicos divisores son el 1 y él mismo. Para saber si un cierto número es o no es primo, se debe determinar si tiene factores menores que él y mayores que 1. Por ejemplo el número 901 no es primo pues 901 = 17 X 53, pero 911 sí lo es, pues la única factoriza-ción de él es 1 X 911. No existe un método simple que permita determinar si un número es primo o no, pero sí se puede confeccionar una lista de todos los primos hasta un cierto número, por ejem-plo, los primos menores que 100. Este méto-do fue ideado por el matemático, astrónomo y geógrafo griego Eratóstenes (275 a.C. – 194 a.C.). El método se denomina la Criba de Eratóste-nes y consiste en lo siguiente:

Se escribe una tabla con todos los números desde 1 hasta el 100 (o el número que uno elija). Se tacha el número 1. A continuación del número 2 se van tachando los números de 2 en 2 (es decir el 4, 6, 8, etc.) así se eliminan todos los múltiplos del 2. Luego a partir del 3 se borran todos los números de 3 en 3 (el 6, 9, 12, etc.), borrando así todos los múltiplos del 3. Se continúa así hasta el 50 (o la mitad del número elegido); los núme-ros que queden sin tachar son los primos menores que 100. Según la R.A.E. criba (o harnero) es un aparato que se emplea en la agricultura y sirve para separar, en las semillas, las partes menudas de las gruesas. Así los números se “pasan” por este harnero, quedando en él sólo los números primos y cayendo los que no lo son.

Los Primeros Humanos de Latinoamérica y su Forma de Conocer

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ABACOM Boletín Matemático

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcur

Problema 1: Los 1.000 puntos en el círculo Si tenemos un círculo con 1.000 puntos en su interior, entonces es posible trazar una línea recta de modo que queden exactamente 500 puntos a cada lado de ella. ¿Cómo se debe trazar esta rec-ta?

Problema 2: Los códigos del Candado Paula asegura su bicicleta con una cadena y un candado de código. El número que abre el canda-do está formado por tres cifras tal que su producto es impar y la suma de estos dígitos es un cuadra-do perfecto. ¿Cuántos códigos así existen?

de Agosto de 2015

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Publicación destinada a Estudiantes y

Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de

Ciencias de la Ingeniería UACh.

Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730 abacom@uach.cl www.uach.cl/abacom

Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M. Web Master: Edinson Contreras R. Loopy y Gráficos: Sebastián Acevedo A. Colaboraron en esta edición: Eduardo Carrasco H., Patricio Ruiz-Tagle C. y Sebastián Urrutia H.

REGLAS DEL JUEGO Se deben unir los puntos con líneas horizontales y verticales, con las si-guientes condiciones: La cantidad de líneas

que rodea un número debe coincidir con el número.

Todas las líneas deben crear una trayectoria cerrada (un loop).

Desde un punto no de-ben surgir más de dos líneas.

Las casillas que no tie-nen número dentro de ellas, permiten la canti-dad de líneas que sean necesarias.

Se

ba

sti

án

Ac

eve

do

Álv

are

z

Problema 1: El Fumador Empedernido Al fumar los 27 cigarrillos que le quedaban, estos dejan 27 colillas, con las que forma 9 cigarrillos. Al fumarlos, le quedan 9 colillas, las que le permiten formar 3 cigarrillos más. Al fumar estos, puede armar el último cigarro que fumará. Por tanto: después de fumar los 27 cigarros que le quedaban, todavía fuma 13 cigarrillos más.

Problema 2: El Área del Hexágono Del gráfico se observa que se han formado, además del triángulo equilátero y los tres cuadrados, tres triángulos isósceles. Cada cuadrado tiene área 4 cm2. El triángulo equilátero tiene área

cm2 y cada uno de los tres

triángulos isósceles tienen área

cm2.

Así: el área del hexágono mide

cm2.

2 33

2

2 3 13

2

12 3 18,9

Juan Leiva Vivar

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J U L I O 2 0 1 5

Es uno de los problemas clásicos de la antigua Grecia, que subsistió sin ser re-suelto hasta el siglo XIX, junto a la “cuadratura del círculo” y a la “duplica- ción del cubo”. Este problema es una generalización de la bisección de un ángulo que tiene una solución muy simple usando regla y compás, pero la trisección es imposible.

–

–

Problemas con Historia

Aunque la demostración dada por Wentzel de que es imposible trisecar un ángulo sólo con regla y compás, convence a cualquiera que la entienda, sigue habiendo matemáti-cos aficionados en todo el mundo que creen poder probar lo contrario, ellos son los “trisectores”, personajes con suficientes co-nocimientos de geometría plana para idear un procedimiento, pero incapaces de com-prender la demostración de imposibilidad ni de detectar el error en su propio método. En algunos casos estos métodos son de tal complejidad, que resulta difícil aún para un geómetra experto detectar dónde se encuen-tra el error, que de seguro contiene. Un famoso trisector fue un matemático ama-teur norteamericano, el reverendo Jeremiah Joseph Callahan, quien en 1931 anunció que había resuelto el problema de la trisec-ción del ángulo, cuando era presidente de la Universidad Duquesne de Pittsburgh, USA. En la revista Time se publicó un artículo que destacaba lo revolucionario de su descubri-

miento. No pasó mucho tiempo antes que se comprobara que la “demostración” de Ca-llahan era falsa, pues lo que hacía era tomar un ángulo, tripicarlo, para luego hallar el ángulo original. En 1959, Maurice Kidjel, un retratista de Honolulú y matemático aficionado publicaba el libro “Desafío y Resolución de los tres imposibles” en que aseguraba no sólo trise-car el ángulo, sino también que había conse-guido cuadrar el círculo y duplicar el cubo. Incluso una cadena de televisión anunció este “descubrimiento” y un respetado con-gresista presentó un homenaje a Kidjel por su “hazaña”. Los trisectores son una raza muy dura y no aceptan consejos de nadie. Augustus De Morgan, renombrado matemático británico, refiriéndose a un panfleto sobre la trisección del ángulo, en que se expresa que .. “es el resultado de años de intenso estudio y refle-xión” … hace el comentario directo y conci-so: “Muy probablemente, y muy triste”.

Los Trisectores

7

ABACOM Boletín Matemático

La Trisección de Arquímedes

Dos construcciones geométricas con regla y compás muy sencillas, que se aprenden desde la niñez son: trazado de la bisectriz de un ángulo y la divi-sión de un segmento en una cierta cantidad de partes iguales. Ambos problemas son tan sencillos, que a la mayoría le cuesta creer que no se pueda dividir, con estos instrumentos, un ángulo en tres partes iguales. Es común que alumnos destacados en matemáticas se tomen esto como un reto y se pongan a trabajar para de-mostrarles al profesor que está equi-vocado. Así también le ocurrió a los matemáti-cos cuando la geometría se encontraba en su “niñez”, en el siglo V a.C., pero aun-que lo intentaron no hallaron la solución al problema y sólo en el siglo XIX se pudo probar que esta construcción es imposible. Claro que si se hace una “pequeña trampita” se logra trisecar cualquier ángulo. La trampa está en hacer marcas en la regla, lo que no está permitido.

En los escritos de Arquímedes aparece una de estas construcciones, la que es muy sencilla: En la figura, el ángulo ABC es el que se desea trisecar, cuya medida la designare-mos por α. Se prolonga el lado AB hacia la derecha. Con el compás se traza una circunferencia con centro en B, la que intercepta a esta recta en un punto D. En la regla se hacen dos marcas que indican la longitud del radio de la circunferencia. Se ubica la regla de modo que pase por el punto C y las dos marcas intercepten a la circunferencia y a la recta en los puntos E y F, respectivamente.

El ángulo EFD, de medida mide exactamente la tercera parte del ángulo ABC.

La comprobación de esto es muy simple: de acuerdo a la construcción el triángulo ∆BFE es isósceles pues BE = EF (ya que ambos segmentos miden lo mismo que el

radio de la circunferencia) por tanto el ángulo EBD también mide . Además el

ángulo EFD es un ángulo externo a la circunferencia, por lo que su medida es la semidiferencia de los arcos que determina en la circunferencia, es decir: ,

de donde se obtiene que: α = 3

Arquímedes también usó una curva denominada espiral de Arquímedes para tri-secar el ángulo. Pero tampoco se consideró una solución al problema, pues esa curva no es posible trazarla usando sólo regla y compás. Ha habido muchos intentos de resolver este problema usando diferentes curvas, como la concoide de Nicomedes (ver desarrollo en página 8), pero en ningún caso se logró la resolución siguiendo las reglas impuestas de usar sólo regla y compás.

EL TOMAHAWK

Se han inventado muchos dispositivos mecánicos para dividir un ángulo en tres partes iguales (como el que aparece en la página anterior, construido con piezas de mecano). Incluso un reloj común y corriente es uno de ellos. ¿Cómo? Muy fácil: si te-nemos un ángulo α el cuál queremos trisecar, basta desplazar el minutero en un arco igual a cuatro veces este ángulo (4α). Así el horario recorre un ángulo que es la tercera parte del ángulo original. Ya que el horario recorre 1/12 de lo que lo hace el minutero, así el ángulo que describe es 4α/12 = α/3.

Un aparato muy curioso que permite trisecar un ángulo cualquiera es el Tomahawk *. Éste se puede construir en cartón o cartulina, no tiene partes mó-viles y permite trisecar en instantes y con toda pre-cisión cualquier ángulo.

En la figura, los puntos B y C dividen el borde supe-rior AD en tres partes iguales. El borde curvo es un arco de circunferencia de centro B y radio AB. El ángulo a trisecar es FED.

El Tomahawk se coloca sobre dicho ángulo de mo-do que el punto D esté sobre uno de los lados del ángulo, el arco de circunferencia sea tangente, en el punto F, al otro lado y el borde derecho del man-go pase por el vértice del ángulo. El ángulo queda trisecado por los puntos B y C.

Es muy simple verificar que la trisección ha sido exacta, pues las medidas de los ángulos FEB y BEC son iguales, ya que EF y EC son tangentes a la cir-cunferencia y EB pasa por el centro de ésta. Ade-más ∆BED es isósceles y EC es la altura (que tam-bién es bisectriz), por tanto los ángulos BEC y CED también tienen igual medida.

* Tomahawk es el nombre de un tipo de hacha que usaban ciertos indígenas norteamericanos.

2

F

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8

Poco se sabe acerca de la vida de este geómetra grie-go. Se cree que vivió entre los años 280 y 210 del siglo III a.C. y fue con-temporáneo de Eratóstenes, Apolonio y

Arquímedes. Al igual que los geómetras de esa época, Nicomedes se dedicó a la resolu-ción de los problemas clásicos de la Geome-tría, entre ellos la trisección del ángulo, lle-gando a resolverlo usando una curva de su invención: la Concoide de Nicomedes. Aun-que esta solución no es válida, puesto que en la construcción de dicha curva no bastan sólo regla y compás.

Ecuación de la Concoide: Dada una recta L (directriz), un punto O (generalmente el origen) y una constante a, la concoide se define del modo siguiente: Se traza otra recta R que pase por O, la que intersecta a la recta L en un punto P. Con centro en este punto P, se construye una circunferencia de radio a, la que intersecta a la recta R en dos puntos C1 y C2 . Al mover

el punto P, los puntos C1 y C2 describen la curva concoide, que claramente tiene dos ramas. Supongamos que la recta L es horizontal, con ecuación y = b, el punto O es el origen (0,0) y a es la medida del radio de la circun-ferencia que se construye, entonces tenemos: Si la ecuación de la recta R es y = mx, en-tonces el punto P será (b/m , b) y la ecuación de la circunferencia es

Despejando m de la ecuación de la recta R y reemplazando en la ecuación de la circunfe-rencia resulta:

que al reducir queda:

Esta es la ecuación de la Concoide de Nico-medes.

Ejemplo: Para a = 6 y b = 2 la ecuación es:

que tiene el gráfico siguiente:

Cómo la concoide de Nicomedes triseca un ángulo: El ángulo que se desea trisecar es el ángulo AOB, de la figura. Se ubica este ángulo en un sistema de coor-denadas, de modo que su vértices esté en el origen y uno de sus lados coincida con el eje Y . Se traza la concoide de directriz la recta L, que pasa por A y B y con la constante a igual al doble de la medida del segmento OB (es decir a = 2OB). Por B se traza una recta perpendicular a L, que intersecta a la concoide en un punto Q. El ángulo AOQ es un tercio del ángulo AOB. Para comprobarlo, construyamos un rectán-gulo NBQP, cuyo centro es el punto M. Como Q es punto de la concoide se cumple que QN = a = 2OB, es decir .

Así se tiene que , es decir el triángulo MBO es isósceles, y por tanto los ángulos OMB y MOB tienen igual medida.

2 2 2 2 2( ) ( ) .y b x y a y

2 2 2 2( 2) ( ) 36y x y y

2 2 2( ) ( ) .b

x y b am

2 2 2( ) ( ) ,bx

x y b ay

La Concoide de

DEMOSTRACIÓN RADICAL

12QN OB

12

MB MN QN OB

9

ABACOM Boletín Matemático

Para responder esta pregunta primero hay que recordar algunos conceptos. El agua (H2O) es una molécula polar, es decir, tiene una distribución no uniforme de carga debido a que el enlace entre Hidrógeno y Oxígeno es covalente polar. Una sustancia se disuelve en agua si es capaz de interactuar electroestáticamen-te con ella, es decir si tiene zonas carga-das que puedan atraerse con el polo ne-gativo o positivo de la molécula de agua. Estas atracciones no implican movimien-to de las moléculas, por ello se denomi-nan electroestáticas, el agua forma enla-ces puente Hidrogeno, donde el Hidro-geno del agua, que es la zona positiva, interactúa electroestáticamente con una zona negativa de otra molécula, general-

mente un Oxigeno, porque tie-ne una gran capacidad de atraer electrones. Las grasas son sustan-cias forma-das princi-palmente por cadenas

de Carbono e Hidrogeno, estos átomos forman un enlace covalente apolar, por-que tienen similar capacidad para atraer electrones (electronegatividad) y estas cadenas presentan distribución uniforme de carga, es decir, son apolares. La mayoría de los detergentes está for-mado por ácidos grasos, que son cade-nas de Hidrógeno y Carbono que en un extremo tienen un grupo carboxilo (COOH), este grupo es una zona con carga negativa porque su carbono está unido a un Oxigeno por un doble enlace y un grupo OH, a este último grupo se le ha sacado el átomo de Hidrogeno a tra-vés de un proceso llamado saponifica-ción, por lo tanto el grupo COOH actúa como una zona con gran concentración de carga negativa en la molécula de aci-do graso. Como una grasa es apolar y el agua es polar no pueden interactuar electroestá-

ticamente entre ellas, un detergente actúa como un puente entre ambas mo-léculas, con su parte apolar (cadena de Carbono e Hidrógeno) interactúa con la grasa, a través de las fuerzas de disper-sión de London y por su cabeza negativa interactúa con el agua a través de enla-ces puente Hidrógeno, de esta manera los ácidos grasos del detergente van rodeando a las moléculas de grasa y forman una estructura llamada micela, de esta manera el agua puede arrastrar a la grasa. Si es que la micela se forma pero no atrapa grasa sino aire, entonces se forma espuma.

A B A Q U I M

¿CÓMO FUNCIONAN LOS DETERGENTES?

La Maquina a Vapor En 1712 el herrero inglés Thomas Newco-men inventó una máquina movida por la presión del vapor generado por una cal-dera, la que usó para sacar el agua que se acumulaba en una mina de carbón. Esta máquina no era muy eficiente. En 1769 el escocés James Watt logró resolver los problemas de la máquina de Newcomen, al agregarle un condensador, lo que la hizo tres veces más eficiente, y comenzó rápidamente a ser usada en todo tipo de maquinarias y vehículos. Cincuenta años después Charles Avery y Carl Laval la mejoraron, cons-truyendo turbinas a vapor, las que se usan hasta el día de hoy.

El Globo Aerostático Los hermanos franceses Joseph y Etienne Montgolfier, en 1783, logra-ron elevar a 2.000 metros de altura un globo de aire caliente con una capacidad de 612 m3. En Noviembre de ese mismo año, tuvieron éxito en el experimento definitivo: elevar un globo de 2.185 m3 de aire caliente y hacerlo volar durante 26 minutos en los Bosques de Bolonia, Francia. Los pasajeros de este histórico vuelos fueron el historiador Jean Platre de Rozier y el marqués d’Arlandes, quienes aterrizaron a 8 kilómetros desde el lugar

de despegue. Durante mucho tiempo, estos globos, no pudieron ser usados para fines de trans-porte aéreo sino sólo con propósitos científicos o deportivos, debido a su ingo-bernabilidad.

El Ferrocarril Aunque desde el siglo XVI existían carros con ruedas sobre rieles cuyo movimiento dependía del empuje humano o animal, no fue hasta 1804 que el británico Ri-

chard Trevithick diseñó un motor a vapor para mover estos carros. Otro británico, George Stephenson, uso la idea para construir, en 1814, una locomotora capaz de mover varios carros, pero con poca eficien-cia. El propio Stephenson logró mejorar su invento, logrando inaugu-rar, en 1830, la línea Manchester – Liverpool, logrando una velocidad de 45 km por hora. Éste sería el primer medio de transporte más rápi-do y cómodo que el galope de un caballo. Varias décadas después la locomotora a vapor fue reemplazada por su hermana pequeña la locomotora eléctrica, hasta llegar a nuestros días, en que trenes bala súper veloces transportan miles de personas con toda comodidad de una ciudad a otra, a velocidades cercanas a los 300 km por hora.

En esta edición veremos algunos de los inventos que vieron la luz durante los siglos XVIII y XIX. Aunque la mayoría de ellos han sido perfeccionados a lo largo del tiempo, han llegado a nuestros días con la idea original de su inventor.

Patricio Ruiz-Tagle Correa

Moléculas de Jabón

Agua

Agua

Agua

PARTÍCULA DE GRASA

ESTRUCTURA DE UNA MICELA

MOLÉCULA DE AGUA

12 a 18 carbonos

Cadena Hidrofóbica (no polar)

Cabeza Hidrofílica (polar)

ÁCIDO GRASO SAPONIFICADO

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¿Sabías que?...

… el astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1564 –1642) demostró que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa y densidad. Esta aceleración es 9,75 m/s2, o sea, un cuerpo que cae incrementa su velocidad en 9,75 me-tros por segundo en cada segundo. Se cuenta que hizo sus experimentos arrojando cuerpos de distintos materiales desde la famosa torre inclinada de Pisa, su ciudad natal, que por aquellos años estaba menos inclinada.

????? … el físico escocés James Clerk Maxwell (1831 – 1879) es famoso por enunciar, en el año 1873, las llamadas Ecuaciones de Maxwell, en las que se resumen las leyes básicas de la Electricidad y el Magnetismo. Sin embargo, Maxwell también fue pionero de la fotogra-fía en color, siendo el autor de la primera fotografía en color de la historia, una fotografía de sorprendente calidad de un racimo de uvas, que formó parte de su tesis doctoral. La fotografía todavía puede verse en la Universidad de Cambridge, donde estudió.

????? … el ingeniero francés, de ascendencia griega, Iannis Xenakis (1922 – 2001) fue famoso por componer mú-sica utilizando ideas matemáticas. Su música se ha caracterizado por la interacción entre la música y las ideas procedentes de la física, la arquitectura y sobre todo de las matemáticas. Su concepto de música esto-cástica se basa en ideas matemáticas como la teoría de conjuntos, la lógica simbólica y la teoría de proba-bilidades.

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PENSAMIENTO LATERAL

El pensamiento lateral es un método de pensamiento que puede ser empleado para resolver problemas en forma imaginativa, usando procesos no estandarizados ni conocidos previamente y generalmente enfrentando, de una manera indirecta, el problema. El término fue acuñado por Edward de Bono, escritor y psicólogo nacido en 1933 en Malta. En 1967 publicó el libro New Think: The Use of Lateral Thinking, en el que expone esta técnica que permite enfrentarse a un problema de una manera indirecta y con un enfoque creativo, usando estrategias no ortodoxas, las que serían desechadas normalmente por el pensamiento lógico. El pensamiento lateral puede ser un motor de cambio, una técnica o habilidad personal que puede ser utilizada para la resolución de problemas tanto laborales como los que se nos presentan en la vida diaria.

A continuación, a modo de ejemplo presentamos 4 problemas, a los que proponemos se les encuentre una solución usando pensa-miento lateral:

1. En un edificio de departamentos, un hombre vive en el décimo quinto piso. Cada día toma el ascensor hasta el primer piso para dirigirse al trabajo. Cuando regresa, siempre sube en el ascensor hasta el décimo piso y luego sube por la escala los restantes cinco pisos hasta su departamento. ¿Por qué lo hace?

2. Un hombre entra en un bar y le pide al camarero un vaso de agua. Éste se agacha buscando algo, saca una pistola y le apun-ta. El hombre dice “gracias” y se va. ¿Por qué ocurrió esto?

3. En una pradera aislada de todo, yace un hombre muerto. A su lado hay un paquete sin abrir. No se observa ninguna persona, ni arma, ni otro objeto cerca de él. ¿Cómo murió? (Una pista: El hombre sabía que iba a morir al acercarse al lugar).

4. Una persona fallece y va al cielo. Allí se encuentra con una infinidad de otras personas, todas ellas desnudas. Mira a su alrededor para ver si reconoce a alguien. Ve a una pareja y sabe de inmediato que son Adán y Eva. ¿Cómo lo supo?

(VER SOLUCIONES EN RECUADRO ABAJO)

1. El hombre padece de enanismo y sólo alcanza el botón del piso 10.

2. El barman observa que el hombre pide agua porque tiene hipo y decide cortárselo con un buen susto.

3. El hombre había saltado en un paracaídas que no se abrió. Ese es el paquete a su lado.

4. Son los únicos que no tienen ombligo

EL VOLUMEN DE LA PIZZA

Si tenemos una pizza circular con un radio que mide z y altura de medida a, entonces – dado que la pizza es

un cilindro – su volumen es: V = π z2 a es decir: V = Pizza.

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ABACOM Boletín Matemático

¿Hacia dónde se debe lanzar una botella, desde un vagón de tren en marcha, para que sea menor el peligro de que se rompa al chocar con la tierra?

Como cuando se salta de un vagón en marcha es más seguro hacerlo hacia adelante, en el sentido del movimiento, puede parecer que la botella chocará con el suelo más suavemente si se la tira hacia ade-lante. Pero esto es un error: para que se dañe menos, hay que tirarla hacia atrás, en sentido contrario al movimiento del tren. En este caso la velocidad que se le comunica a la botella al tirarla será negativa con respecto a la que dicha botella posee por inercia; como resultado de esto, la botella llegará a tierra con menos velocidad. Si se tirase hacia adelante ocurriría lo contrario: las velocidades se sumarían y el golpe sería más fuerte.

El hecho de que para las personas sea menos peligroso saltar hacia adelante, y no hacia atrás, se explica con otras razones: al caer uno continúa corriendo para no caer, y además si caemos hacia adelante nos hacemos menos daño que si caemos de espaldas.

SONRIENDO CON

ESTADÍSTICA

Comer berenjenas es dañino para la salud. En un re-ciente estudio se comprobó que las personas que co-mieron berenjenas en 1910, están todas fallecidas.

– ¿Sabías que masticar chicle evita la artritis? – No, ¿por qué? – ¿Has visto alguna vez un viejecito artrítico masti-

cando chicle? – . . . – Y . . . ¿sabes que las zanahorias son excelentes para

la vista? – Tampoco lo sabía, ¿por qué? – ¿Alguna vez viste a algún conejo usando anteojos?

La profesora le dice a los alumnos: – ¿Saben ustedes que durante esta clase de Matemáti-

cas, cientos de niños mueren de hambre en la In-dia?

A lo que una niñita responde: – Por eso, yo, cuando grande, voy a estudiar Filoso-

fía.

Preocupantes estudios han demostrado que sólo el 70% de la población es capaz de sumar y restar co-rrectamente, . . . del otro 40%, nada se sabe . . .

Todos los adictos a la cocaína y otras drogas duras, bebieron leche cuando pequeños. Así queda demos-trado que la leche induce a la drogadicción.

Durante la Segunda Guerra Mundial, a alguien se le ocurrió la idea de mirar donde habían sido tocados los aviones al volver de sus misiones y reforzar esos puntos. Así que se empezaron a hacer estadísticas acerca de que zonas del avión estaban más expues-tas. Al analizar los resultados, se dieron cuenta de un pequeño detalle: lo que había que reforzar eran las zonas que recibían más impactos los aviones que no volvían de sus misiones.

Normalmente se piensa que los aviones con cuatro motores son más seguros que los que sólo tienen dos. Esto es totalmente falso: cuanto menos motores ten-gan, menor es la probabilidad de que alguno de ellos falle. Por tanto, los aviones más seguros son los que tienen un solo motor. En realidad, volar en avión es muy seguro . . . la tota-lidad de los fallecidos en accidentes aéreos han muer-to al llegar al suelo.

- SEGÚN LA ÚLTIMA ENCUESTA ANIMALK, QUEDÓ COMPROBADO QUE EL 33% DE LOS CHILENOS ES... CASI EXACTAMENTE UN TERCIO DE LA POBLACIÓN.

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Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

Reciente ganador del Premio Abel de Matemáticas

Lamentable Muerte de John Nash

El inspirador de la cinta “Una Mente Brillante” del Director Ron Howard, John Nash fallece a los 86 años en un accidente auto-movilístico junto a su esposa Alice, el pasado 23 de Mayo en Nueva Jersey, Estados Unidos.

El mundo de las matemáticas está de duelo, debido a la muerte de John Nash, quien hace poco había recibido el Premio Abel de Matemáticas 2015 (Noticias, ABACOM 53). Según la policía, él junto a su esposa, viajaban en un taxi, cuyo conductor perdió el control y se estrelló contra una valla de protección. Sin embargo, el legado que dejó este baluarte de la humanidad se impregna en la Teoría de Juegos, Ecuaciones no Lineales en Derivadas Parciales, entre otras del área y en la película ganado-ra del Oscar, que habla de la enfermedad que tuvo que enfren-tar a pesar de ser un genio. Que en paz descanse John Nash.

Ciencia para todas y todos

Ya llega “Física y Berenjenas”

Como una invitación a descubrir que la física y la matemática son materias cautivantes, Andrés Gomberoff presenta el libro “FÍSICA Y BERENJENAS. La Belleza Invisible del Universo”, en el que todo lector podrá compartir el placer y la pasión por la ciencia.

Con apasionantes relatos breves y anécdotas cotidianas, el físico chileno Andrés Gomberoff nutre de manera sencilla, algunas de las explicaciones complejas del mundo científico, entre ellas, la teoría de los universos paralelos o los misterios de la antimate-ria. El doctor en física usa la creatividad y entretención como escudo de batalla para enfrentarse al lenguaje especializado que tiene la ciencia y así comunicarla de manera amena. De Marconi a Einstein y de Woody Allen a Mussolini, pasando por los Beatles y Olivia Newton-John son algu-nos de los insumos que le permiten llegar a buen puerto al autor del presente libro. “No sé porque las ciencias resultan tan poco atracti-vas, incluso intimidantes para tantos. Intuyo que se trata de una reacción que nosotros hemos generado por la forma en que la ense-ñamos y comunicamos. Algo que podríamos llamar el efecto berenjena: a la mayoría parece no gustar-les, pero no podemos cul-par a la berenjena. Es claro que sólo puede deberse a la ignorancia que existe de cómo coci-narla” dice Gomberoff a los medios.

Esteban Aguilera Romero y Marcela Cardoch Reyes, son un matrimonio de matemáticos que viven hace cerca de dos años en la ciudad de Valdivia, donde se desempeñan como docentes en el Centro de Docencia de CCBB de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile. Y acaban de dar un gran paso, ambos terminaron su tesis de Magister en Matemática que ofrece la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Esteban, Licenciado y Magister en Matemáticas, para obtener su grado, realizó la tesis “Método de Euler Estocástico para Ecua-ciones Diferenciales Ordinarias”, en la que muestra una variante del Método de Euler, al cual se agrega una variable aleatoria y con esto se da una variante estocástica, demostrando que el método converge y que un teorema de límite central para las fluctuaciones de estas aproximaciones ayuda a la solución de una ecuación diferencial. Marcela, Profesora de Matemáticas, Licenciada en Educación y ahora Magister en Matemáticas, realizó la tesis “Clasificación de las k – involuciones del Anillo de Polinomios Truncado A3”, don-de logró clasificar tales involuciones según isomorfismo. El resul-tado más importante señala que el anillo A3 posee dos involucio-nes no triviales, salvo isomorfismos, las cuales están determina-dos sobre sus generadores por:

Para Esteban Aguilera es muy útil que se comuniquen los resul-tados de tesis porque “es importante hacer notar el desarrollo científico paso a paso y este trabajo es uno de los pasos de una investigación mayor, que consiste en desarrollar un artículo que aproxima la solución de una ecuación diferencial estocástica, para así seguir la idea del trabajo de tesis del Magister” explicó. Por su parte, Marcela Cardoch dijo que “tenemos que potenciar el desarrollo científico y aprovechar los espacios comunicaciona-les para mostrar a la comunidad diversos resultados científicos por más pequeños que sean” concluyó. Para más información y detalles de las tesis escribir respectiva-mente a marcela.cardoch@uach.cl y estaban.aguilera@uach.cl

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