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Funciones 3

Profesor: Javier Trigoso Página 1

FUNCIÓN EXPONENCIAL y

LOGARÍTMICA

INTRODUCCIÓN

Existe una multitud de fenómenos naturales que pueden ser regidos

por la función exponencial y su inversa, la denominada función

logarítmica; estas funciones también se aplican en la Química, en la

Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc.

En la figura se muestra un árbol en el cual la

formación de sus ramas se realiza de manera

exponencial, es decir, de cada rama se

genera dos ramas, de cada una de estas dos

ramas se genera otras dos ramas y así

sucesivamente.

Así, también presentan comportamiento

exponencial la reproducción de una colonia de

bacterias, la desintegración de una sustancia

radioactiva, algunos crecimientos demográficos, la capitalización de

un dinero colocado a interés compuesto, la ley que rige el

enfriamiento de un objeto en un ambiente con menor temperatura,

etc.

1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

El número de cabinas de Internet en el Perú se ha

multiplicado y la competencia entre ellas ha hecho

que las tarifas (el costo por una hora de servicio)

sean más accesibles a las grandes mayorías. Debido

a esto, el número de usuarios de Internet se ha

incrementado significativamente.

Analicemos la siguiente situación:

El número de usuarios de Internet en el distrito de

Independencia se duplica cada año. En este

momento, 10 000 usuarios utilizan la red. Si

continúa produciéndose este fenómeno, ¿cuántos

usuarios habrá dentro de tres años?

Sean:

x: el tiempo en años.

y: la cantidad de personas que utilizan los servicios de

Internet en el distrito de Independencia.

Tenemos:

El año que viene habrá: (10 000).2 =

(10 000).21 = 20 000 usuarios

El año siguiente: (20 000).2 = (10 000).22

= 40 000 usuarios

Dentro de tres años: (40 000).2 = (10

000).23 = 80 000 usuarios.

Y así sucesivamente. Por lo tanto, el número de

usuarios se puede expresar en función del tiempo mediante la fórmula

y = (10 000).2x

Este tipo de funciones en las que la variable es un exponente, se llaman

funciones exponenciales.

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Definición

Sea a R ; a 1 ; se llama función exponencial de

base a, a la función xf : R R / f(x) a

Ejemplo

Analicemos las gráficas de las funciones xf(x) 2 y x

g(x) 1 / 2

Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las

representamos gráficamente:

a > 1

x f(x)

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

Como podemos observar, las representaciones gráficas de f(x) y

g(x) son simétricas entre sí con respecto al eje Y.

La curva siempre se mantiene por encima del eje X, ya que las

funciones exponenciales siempre toman valores positivos.

El número e

Una función exponencial especialmente importante es xf(x) e , cuya

base es el número e = 2,718281………

Este número irracional se obtiene dando

valores muy grandes a n en la expresión n

11

n

. Luego, cuando la base de la función

exponencial es e, se tiene: xf : R R / f(x) e

Llamada función exponencial natural.

0 < a < 1

x g(x)

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

Y

1

X 0

g(x) = (½)x X

f(x) = 2x X

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Logarítmos

Volvamos al ejemplo sobre los usuarios del internet en el distrito de

Independencia; si queremos saber, por ejemplo, en qué tiempo se

alcanzará la cifra de 60 000 usuarios, tenemos que resolver la

ecuación:

(10 000).2x = 60 000

Es equivalente a resolver:

2x = 6

La frase: “x es el exponente al que hay que elevar

la base 2 para obtener el número 6”, se traduce al

lenguaje matemático mediante la expresión: “x es

el logaritmo en base 2 de 6”, que se escribe

abreviadamente x = log26 ( 2log 6 2,58 años

aproximadamente).

Luego, 60 000 usuarios visitan Internet durante 2 años, 6 meses y 29

días.

Definición

Sean a,N R ; a 0 ; entonces el logaritmo de N en base a

denotado por alog N , es el exponente al que hay que elevar la base

a, para obtener N. Simbólicamente: xalog N x a N

Si la base es 10, entonces log10N se escribe log N, llamado logaritmo

decimal de N.

Si la base es e = 2,718281……, entonces logeN se escribe lnN,

llamado logaritmo natural de N.

2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, esta

función es una de las de más presencia en los fenómenos observables

Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la

desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos

demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a

interés compuesto, etc.

Definición

Sea a R ; a 1 ; se llama función logarítmica

de base a, a la función af : R R / f(x) log x

Cuando la base es el número de Euler e, a la función

f : R R / f(x) ln x se le llama función logaritmo natural.

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Propiedades:

Ejemplo

Analicemos las gráficas de las funciones 2f(x) log x y

1/2g(x) log x

Elaboramos la tabla de valores de

cada una de las funciones y las

representamos gráficamente:

a > 1

x f(x)

0,25 -2

0,5 -1

1 0

2 1

4 2

Como podemos observar, las representaciones gráficas de f(x) y

g(x) son simétricas entre sí con respecto al eje X

3. APLICACIONES

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que

evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño

intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del

mismo.

A continuación se ven tres aplicaciones:

Crecimiento de poblaciones.

Interés del dinero acumulado.

Desintegración radioactiva.

CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido

como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de

tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo P0 la población inicial e i

el índice de crecimiento anual en tanto por uno,

y se considera una tasa de crecimiento

continuo, la población seguirá la ley

exponencial:

kt

0P(t) P .e

Donde:

P: Número de individuos en el momento t.

P0: número de individuos en el momento inicial.

k: constante de crecimiento.

t: Tiempo

0 < a < 1

x g(x)

0,25 2

0,5 1

1 0

2 -1

4 -2

Y

4 X X

0 1

2

-2

f(x) = log2x X

g(x) = log1/2x

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Ejemplo 1

En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan de Chota era

de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al

año, ¿cuál fue la población aproximada en el 2 006?

Solución:

Datos: P 0 = 7 000; k = 5%; t = 2 006 - 2 000 t = 6 años

P(6) = 7 000e 0,05(6) P(6) = 9 449,012

Luego, en el 2 006 la población de San Juan de Chota será de 9 449

habitantes aproximadamente.

Ejemplo 2

La población de la tierra crece aproximadamente al

2% anual (crecimiento continuo). ¿Cuánto tiempo

tardará en duplicarse la población?

Solución:

Como la población crece exponencialmente, entonces rt0P(t) P .e

Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo

t.

Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:

rt rt0 0

ln22P P .e e 2 ln2 rt t

r0,693

t 34,650,02

Entonces, tardará aproximadamente 35 años.

Ejemplo 3

La población de Chulucanas era de 3 000 habitantes en el año 1 998

y en el 2 004 fue de 4 200. Si el crecimiento se dio con una tasa

relativa constante, determina dicha tasa.

Solución:

Datos: t = 2004 – 1998 Þ t = 6 años ; P 0 = 3000; P(6) = 4200 k(6) 6k 6kP(6) 3000.e 4200 3000.e 7 5.e

Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando

propiedades de los logaritmos, tenemos:

6kln7 ln 5.e ln7 ln5 6k

1,94591 1,60943k 0,05608

6

Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproximadamente.

CRECIMIENTO NO INHIBIDO

La mitosis, o división celular, es un proceso

universal indispensable en el crecimiento de los

organismos vivos como las amibas, plantas, células

humanas y muchas otras. Con base en una

situación ideal donde no mueren células ni hay

efectos colaterales, el número de células

presentes en un instante dado obedece a la ley

del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de

cierto tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la

influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la

fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja

de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis.

Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo

después de transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del

crecimiento) es:

kt

0N(t) N .e

Funciones 3


Donde N0 y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y

constante de crecimiento.

Ejemplo 4

Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias

en cierto cultivo ha reunido los siguientes datos:

Tiempo (min) Cantidad de bacterias

0 6 000

20 9 000

Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma kt

0Q(t) Q .e que exprese el número de bacterias Q del cultivo como

una función del tiempo en minutos. ¿Cuál será el número de bacterias

después de una hora?

Solución:

Según los datos de la tabla k(0)

0 0Q(0) 6000 Q .e 6000 Q 6000

y k(20) 20kQ(20) 9000 6000.e 9000 2 3.e



20k

3ln

2 0, 4054651ln3 ln e ln3 20k k k k 0,020273

20 20

Por lo tanto: 0,020273.tQ(t) 6000.e

Además, el número de bacterias después de una hora, resulta 0,020273.60Q(60) 6000.e 20 250

Después de una hora, habrá 20 250 bacterias.

Ejemplo 5

La Escherichia coli es una bacteria común que se encuentra en el

intestino humano. La tasa de crecimiento de una población de esta

bacteria es proporcional a su tamaño. En condiciones ideales de

laboratorio, la cantidad de especímenes en un cultivo se duplica

aproximadamente cada 20 minutos.

a. Si la población inicial es de 80, determina una fórmula P(t) que

exprese el crecimiento exponencial de la cantidad de bacterias como

función del tiempo t (en minutos).

b. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 80

especímenes llegue a un millón?

Solución:

a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al

tamaño de la población, el crecimiento es

exponencial, luego, P(t) es de la forma: kt0P(t) P .e

…………(1)

Como la población se duplica cada 20 minutos,

utilizando (1), con

P0 = 80, obtenemos: 20k 20kP(20) 160 160 80.e 2 e



20k ln2ln2 ln e ln2 20k k k 0,034657

20

Por lo tanto, la fórmula es: 0,034567tP(t) 80.e

b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1 000 000.

Utilizamos el modelo exponencial hallado en (a) y tenemos:

0,034567t 0,034567t80.e 1000000 e 12500

Tomando logaritmos:

Funciones 3


ln125000,034567t ln12500 t t 272,1928

0,034567

Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben

transcurrir 272,1928 minutos.

Ejemplo 6

El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000

en 10 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es

proporcional al número de bacterias,

I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas.

II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias?

Solución:

Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias,

entonces kt0N(t) N e

Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las

bacterias en el tiempo t.

Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: ktN(t) 5000.e

y como N(10) = 15 000, entonces: t

kt 10ln315000 5000.e k N(t) 5000.(3)

10

I. Al cabo de 20 horas habrá 2N(20) 5000(3) 45000 bacterias

II. Resolvemos la ecuación: t

10 10ln1050000 5000(3) t 20,96

ln3

Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas.

DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

Por su naturaleza los elementos radioactivos

tienden a disminuir hasta agotarse completamente

conforme transcurre el tiempo. Si t representa al

tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la

cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del

elemento radioactivo, entonces kt0N(t) N .e

representa la ley de decrecimiento exponencial del elemento radioactivo

según transcurre el tiempo, donde N0 es la cantidad inicial, K es la

constante de decrecimiento.

Ejemplo 7

Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función

exponencial. La cantidad inicial es de 10 gramos, pero después de

200 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que hubo después de

100 años.

Solución:

Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10

gramos, entonces: ktC(t) 10.e

Además 200k 200k 200k1C(200) 2 10.e e 5 e ln5 200k

5

ln5 1,609437

k k k 0,00804200 200

Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración

radioactiva: 0,00804.tC(t) 10.e

Nos piden C(100) 0,00804.100 0,804C(100) 10.e C(100) 10.e

C(100) 10.0,4475 4,475

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/Radioactive.svg

Funciones 3


Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,48 gramos

aproximadamente.

Ejemplo 8

Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué

porcentaje de los 20 g se habrá desintegrado después de 100 años.

Solución:

Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20

gramos, entonces: ktC(t) 20.e , siendo k = 0,000418

Nos piden C(100) 0,000418.(100) 0,0418C(100) 20.e C(100) 20.e C(100) 19,1812

El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188

El porcentaje es: 0,8188 100

4,09420

Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%

PARA LA CASA …

01. Después que la televisión se introdujo en cierto país, la proporción

de familias que poseían televisor t años después se encontró que estaba

dado por la fórmula 0,1tT 1 e Encuentra el crecimiento de T entre

t = 3 y t = 6 0,19

02. El crecimiento de la población de un cultivo de protozoarios está

dado por el modelo 0,04t0P(t) P .e Donde P0 es la población inicial.

Si en el instante t = 2 horas hay una población de 100 protozoarios

determina P0

108,32

03. En 1 980 la población de estados Unidos era aproximadamente 227

millones y ha ido creciendo a una razón de 0,7% por año. La población

N(t), t años más tarde, se podría aproximar mediante: 0,007tN(t) 227e . A. Si continuara a este patrón de crecimiento, ¿cuál

será la población de Estados Unidos para el año 2 000?

261 millones aprox.

B. ¿ … y el año 2 007?

274 millones aprox.

04. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La

dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está

dada por tA(t) 10 * 0,8

A. Calcula la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas

después de la ingestión inicial. 1,68 mg

B. ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se

elimina cada hora? 20%

05. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos hembras

erstá relacionado con la edad t (en años) mediante:

3

0,075tW(t) 2600 1 0,5e

A. ¿Cuánto pesa un elefante recién nacido? 325 kg

B. Suponiendo que la hembra adulta pesa 1 800 kg, estima su edad.

20 años

06. Si el crecimiento de una colonia de abejas (en meses) está

determinado por la ecuación:

0,37t

230P(t)

1 56,5e

a. ¿Cuántas abejas había inicialmente? 4

b. ¿En cuánto tiempo las abejas llegarán a ser una población de 150?

12 meses

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07. Según un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no

puede soportar más de 40 000 millones de personas, la población

mundial (en miles de millones) t años después de 1 960 está dada por

una función de la forma:

kt

40P(t)

1 Ce

Donde C y k son constantes positivas. Halla la función de esta forma que

concuerde con el hecho de que la población mundial era aproximada-

mente de 3 000 millones en 1 960 y de 4 000 millones en 1 975. ¿Qué

predice su modelo con respecto a cuál será la población en el año 2 010?

7, 23 millones

08. El isótopo radiactivo 210Bi tiene una semivida (o vida media) de 5

días, es decir el número de partículas radiactivas se reducirá a la mitad

del número original en 5 días. Si existen 100 gr de 210Bi en el instante

t = 0, entonces la cantidad f(t) restante después de t días está dada

por 0,2tf(t) 100 2

A. ¿Qué cantidad resta después de 5 días? 50 gr

B. ¿10 días? 25 gr

C. ¿12,5 días? 17,7 gr

09. Un piscicultor introduce en un estanque mil truchas jóvenes. El

dueño estima que tres meses después sólo quedan alrededor de 600.

Encuentra una fórmula exponencial kt0N(t) N .e que esté de acuerdo

con esta información y úsala para estimar el número de truchas después

de un año.

10. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima

que en un determinado criadero hay 200 truchas. Transcurrido un año,

se contabilizan 360 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el

crecimiento es exponencial, calcula ¿cuántas truchas habrá cuando

transcurran tres años? 1 139, 4

11. En el 2 002, la población de cierta ciudad era de 25 000 habitantes.

Si la tasa de crecimiento anual era de 2%

a. Detremina una fórmula para estimar la población después de t años.

b. Usa la fórmula para estimar la población de la ciudad en el 2 030.

12. Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una

nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 000 ejemplares. Se estima

que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la

función BtN(t) A.e , donde A y B son dos constantes. El tiempo t se

considera expresado en años desde el momento de la repoblación.

¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200 000 ejemplares?

13. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas

después de su brote el número de personas infectadas está dado por

una función de la forma kt

Bf(t)

1 Ce

, donde B es el número de

residentes en la comunidad que son propensos a contraer la

enfermedad. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al

principio y 1/2 de ellos había sido infectado al final de la cuarta semana,

¿qué fracción de residentes propensos a la enfermedad habrá sido

infectada al final de la octava semana?

14. Los biólogos han observado que la mayoría de las bacterias, en

condiciones ideales, se reproducen mediante modelos de crecimiento

exponencial. Si la población inicial de bacterias en cierto cultivo era de

800. Si la tasa relativa de crecimiento es de 30% por hora:

a. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de un día?

b. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de dos días?

15. Se tiene dos muestras de sustancias radioactivas A y B; luego de t

años las masas en mg, de estas muestras son:

mA(t) = 120.e-0,0004t, mB(t) = 160.e-0,0006t

a. Determina la vida media de cada sustancia.

b. ¿Cuánto tiempo pasará para que ambas masas sean iguales?

Funciones 3


(Sug. Resolver: mA(t) = mB(t))

16. El poder radioactivo de una sustancia se va perdiendo a medida que

transcurre el tiempo, según la fórmula 0,05tP(t) 1,5.e , siendo t el

tiempo en años. ¿Despúes de cuánto tiempo su poder radiactivo se

reducirá a la mitad?

17. Una sustancia radiactiva se desintegra de forma que la cantidad de

masa que queda después de t días está dada por la función 0,015.tm(t) 13.e , donde m(t) se mide en kilogramos.

a. Determina la masa en el tiempo t = 0

b. ¿Cuánta masa queda después de 45 días?

18. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el

diagnóstico de ciertos desordenes de la glándula tiroides. Este tipo de

yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t dias

está dada por la función 0,087.tm(t) 6.e , donde m(t) se mide en

kilogramos.

a. Determina la masa en el tiempo t = 0

b. ¿Cuánta masa queda después de 20 días?

19. La vida media de un elemento radioactivo se define por el tiempo

que tarda en desintegrarse la mitad de ese elemento para

transformarse en un nuevo elemento. La vida media es la medida de la

estabilidad del elemento, es decir, cuanto más corta sea la vida media,

más inestable es el elemento. El modelo matemático para hallar la vida

media de un elemento radioactivo está dado por 0,000418.t0C(t) C .e

Halla la vida media del radio.

20. El trazador (o marcador) radiactivo 51Cr puede usarse para

localizar la posición de la placenta de una mujer embarazada. A menudo

se debe pedir esta sustancia a un laboratorio médico. Si se envían A0

unidades (en microcuries), entonces, debido al decrecimiento radiactivo,

el número de unidades A(t) que quedan después de t días está dado por 0,0249.t

0A(t) A .e

a) Si se envian 35 unidades del trazador y este tarda 2 días en llegar,

¿de cuántas unidades se dispone para el análisis?

b) Si se necesitan 49 unidades para la prueba, ¿ cuántas unidades se

deben enviar?

OPERACIONES BANCARIAS

Cuando realizas una operación

bancaria como, por ejemplo,

cuando solicitas algún préstamo

para solucionar algunas de tus

necesidades (gastos médicos,

adquirir artefactos, un viaje, paquetes turísticos,

etc.) o financiar la compra de bienes y/o servicios

(adquirir una vivienda, un automóvil, gastos en

educación, etc.) debes cumplir con ciertas

condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una

vez que obtienes tu préstamo (capital) debes saber

cuánto vas a pagar mensualmente, es decir, qué

cantidad amortizas del capital mensualmente y

cuánto pagas de interés mensual. Esto está en

función del capital que recibes y el tiempo en que deseas pagarlo.

Interés Compuesto

Llamado también proceso de capitalización, es decir, cuando el interés

que genera un capital prestado se acumula al capital al final de cada

intervalo de tiempo previsto. Analicemos el siguiente ejemplo:

Funciones 3


Ejemplo 1:

Préstamo Bancario

Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000

durante 3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al

finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a

pagar en la fecha de vencimiento.

Solución:

Identificamos los datos del problema: C = S/. 4 000;

t = 3 años; tasa = 10%

Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que

a anualmente los intereses se acumulan al capital.

Como: M C I M C C.r.t M C(1 r.t)

Calculamos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.

Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la

fórmula M = C (1 + r t)

Reemplazando los datos tenemos:

Primer año: M1 = 4 000(1+ 0,1 (1)) M1 = 4 000 (1,1)

M1 = 4 400

Segundo año: M2 = M1 (1+ 0,1 (1)) M2 = 4 400 (1,1)

M2 = 4 840

Tercer año: M3= M2 (1+ 0,1 (1)) M3 = 4 840 (1,1)

M3 = 5 324

Luego, Javier abona un monto de 5 324 nuevos soles.

Monto compuesto anualmente

Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten

deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final

del tiempo previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés

compuesto, así:

Primer año: M1 = C0.(1 + r)

Segundo año: M2 = M1 (1 + r) M2 = C0.(1 + r) (1 + r) M2 = C0.(1 + r)2

Tercer año: M3 = M2 (1 + r) M3 = C0.(1 + r)2.(1 + r) M3 = C0.(1 + r)3

n-ésimo año: Mn = C0.(1 + r)n

Este es el monto de un capital C0 impuesto al r % de

interés compuesto anual.

Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número

natural utilizamos la fórmula:

t

0M(t) C . 1 r

Donde:

M(t): monto o capital futuro

C0: capital inicial

r: tasa de interés anual, expresada como número decimal.

t: tiempo (en años)

Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una

función exponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el

siguiente ejemplo:

Ejemplo 2:

Si tienes ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de

ahorro te pagará un interés compuesto. Suponiendo que el banco

paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero

recibirás después de cinco años?

Funciones 3


Solución:

Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por

lo tanto, apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C0.(1 + r)t

Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 500; 0,06 y 5,

respectivamente. M(5) = 500.(1 + 0.06)5

Paso 2: Utiliza una calculadora científica para operar: M(5) = 669,11

Luego, al final del quinto año recibes $ 669,11

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS FRACCIONARIOS

En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos

n veces al año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de

interés es r/n y, si existen n.t periodos de composición en t años, el

nuevo monto después de t años es:

n.t

0

rM(t) C . 1

n

Donde:

M(t): Monto o capital después de t años.

C0: Capital inicial.

r: Tasa de interés anual expresada como un número

decimal.

n: Periodos de capitalización (en un año).

t: Tiempo (en años).

Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto

durante el año.

Ejemplo 3:

Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una

tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero

recibirá Jaime después de dos años?

Solución:

Paso 1: Los datos son C0 = 1000; r = 0,08; n = 4 (trimestral) y t = 2

Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula

n.t

0

rM(t) C . 1

n

tenemos: 4.2

0,08M(2) 1000. 1

4

Paso 3: Utilizando una calculadora científica obtenemos:

M(2) = 1000.(1,02)8 M(2) = $ 1 171,66

Después de los dos años de depósito, Jaime recibe 1 171.66 dólares

americanos.

PARA LA CASA …

01. Una pareja de novios decide colocar S/.10 000 al 8% anual.

Determina el capital acumulado al cabo de 5 años. S/.14 693,281

02. Suponga que se invirtió $1 000 a una tasa de interés compuesto del

9% mensual, calcula el monto final del capital inicial después de:

A. 5 años $1 565,68

A. 10 años $2 451,36

A. 15 años $3 838,04

Funciones 3


03. Si $1 000 se invierten al 12% anual y el interés se capitaliza

mensualmente, encuentra el capital al final de:

A. ¿1 mes? $1 010

B. ¿2 meses? $1 020,1

C. ¿6 meses? $1 061,52

D. ¿1 año? $1 126,83


mensualmente, encuentra el capital al final de:

A. ¿1 año? $1 061,68

B. ¿2 años? $1 127,16

C. ¿5 años? $1 348,85

D. ¿10 años? $1 819,40


trimestralmente, encuentra el capital al final de:

A. ¿1 año? $1 061,36

B. ¿2 años? $1 126,49

C. ¿5 años? $1 346,86

D. ¿10 años? $1 418,02


semestralmente, encuentra el tiempo requerido para que el capital

exceda a:

A. $15 000 5 años (4,61)

B. $20 000 8 años (7,87)

C. $30 000 12,5 años (12,48)

07. Pepito deposita 500 nuevos soles en una cuenta de ahorros que paga

interés a una tasa de 6% co mpuesto anual capitalizado semanalmente.

¿Cuánto tendrá en la cuenta luego de 1 año? S/.530,90

08. José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 000 a un 6%

de interés compuesto anual, con una capitalización trimestral. Dos años

después, si no se realizan depósitos ni retiros adicionales, ¿cuánto gana

o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés compuesto

anual, con una capitalización cuatrimestral?

S/. 111, 16

09. La señora Martínez invierte 6 000 € en un depósito financiero al 5%

anual durante 3 años. No retira los intereses al finalizar cada año, sino

que se añaden al capital y se vuelven a reinvertir. ¿Cuál será el capital

de la señora Martínez al finalizar el tercer año? 6 945,75 €

10. La computadora

El padre de Carlitos Peña ha obtenido un préstamo de

S/ 1 600 a 3 años con interés del 7 % capitalizable

anualmente, para poder comprar una computadora.

Calcula el monto que debe pagar en la fecha de

vencimiento. S/. 1 960,06

11. La guitarra

Pedro Morales, un joven músico deposita S/. 1 200 en una cuenta

de ahorros que paga el 11% con capitalización anual. Si él desea

comprar, en el futuro, una guitarra profesional de S/. 1 500, ¿en

qué tiempo se tendrá el monto para hacer la compra? 2 años

12. El cuarto de niños

La familia Pérez deposita S/. 15 000 en una cuenta de ahorros que paga

el 8,5 % con capitalización trimestral, para poder construir el

dormitorio de los niños, el cual se estima en S/. 18 000. ¿En qué tiempo

se tendrá el monto que permita la construcción?

13. El segundo piso

La familia Paredes deposita S/. 7 500 en una cuenta de ahorros que

paga el 9% con capitalización bimestral para poder construir el

segundo piso de la casa, el cual se estima en S/. 10 500. ¿En qué

tiempo se tendrá el monto que permita la construcción? 3,77 años

http://www.musik-produktiv.es/img-100057848l/guitarra-bajo-guitarras-acusticas-guitarra-acustica-gibson-true-vintage-southern-jumbo.jpg

Funciones 3


14. La casa

Los Rodríguez planean comprar una casa dentro de cinco años. Si se

espera que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 6%

compuesto continuamente, durante ese periodo, ¿cuánto tendrán que

pagar los Rodríguez por una casa que ahora cuesta S/. 45 000?

15. El tractor

Juan Quispe es un agricultor que ha obtenido un

préstamo de S/. 30000 a 5 años con interés del 8%

capitalizable semestralmente con el fi n de comprar un

tractor. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de

vencimiento. S/. 44 407,34

MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta

considerablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande),

cada periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier

cantidad arbitrariamente escogida (es decir, tiende a cero).

El interés continuo consiste en acumular el interés al capital,

instantáneamente. En este caso, el monto compuesto es:

r.t

0M(t) C .e

Donde:

M(t): monto en el instante t.

C0: Capital inicial.

r: Tasa instantánea, expresada como número decimal.

t: Tiempo (en años)

Ejemplo 4:

Javier invierte una suma de S/. 5 000 en 10 años, determina los

montos que recibe a:

A. La tasa efectiva del 6%.

B. La tasa del 6% con capitalización mensual.

C. La tasa del 6% instantánea (o continuo).

Solución:

A. Los datos son C0 = 5000; t = 10; r = 0,06

Reemplazamos los datos en t0M(t) C .(1 r)

10M(10) 5000.(1 0,06)

M(10) 8954,24

El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/. 8 954,24

B. Los datos son C0 = 5 000; t =10; n = 12; r = 0,06

Reemplazamos los datos en n.t

0

rM(t) C . 1

n

12(10)0,06

M(10) 5000. 112

M(10) 9096,98

El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual

es de S/. 9096,98

C. Los datos son C0 = 5 000; t =10; r = 0,06

Reemplazando en: r.t0M(t) C .e

0,06(10)M(10) 5000.e

M(10) 9110,60

El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual

es de S/. 9110,60

Funciones 3


Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua.

01. Se invierte una suma de 1 000 dólares a una tasa de interés de 4%

anual. Encuentra el tiempo para que la cantidad crezca a 4 000, si el

interés se capitaliza de forma continua. 34,66 años

02. Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después

devuelve $1 020. Determina la tasa de interés nominal anual que se le

aplicó, si el interés es:

A. Simple 5,5%

B. Capitalizado anualmente 4,979%

C. Capitalizado trimestralmente 4,889%,

D. Compuesto mensualmente 4,869%

03. Un pagaré por $1 000 vence dentro de un mes. Calcula su valor

presente al 8% compuesto continuamente. $993,36

04. La herencia

Al recibir una significativa herencia, los padres de Jacky quieren

establecer un fondo para la educación superior de su hija. Si necesitan

un estimado de S/. 9 000 dentro de 10 años, ¿cuánto dinero deben

separar si lo invierten a 8,5% compuesto continuamente?

S/. 3 846,7341

05. La casa Los Martínez planean comprar una casa dentro de

cuatro años. Los expertos de su área han estimado

que el costo de los inmuebles aumentará a razón

de 5% compuesto continuamente; durante ese

periodo, ¿cuánto tendrán que pagar los Martínez

por una casa que ahora cuesta S/. 65 000?

S/.79 401,21

21. Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en

una institución financiera la cantidad de $5 000. La

institución le abona el 2% nominal anual compuesto

trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una

niña y entonces divide el monto del depósito en dos

partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad

tendrá cada uno cuando cumplan 21 años? 5.879,48 y 2.280,55

22. La máquina

Una máquina se compra en S/.10 000 y se deprecia de manera continua

desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la

fórmula 0,2.tV(t) 10 000.e Determina el valor de la máquina después

de 8 años. S/.2 018,97

23. La mejor opción

Don Jacinto quiere invertir una cantidad de dinero; en el Banco de la

Familia le ofrecen una tasa de 7,5% compuesto anualmente y en el Banco

del Progreso le ofrecen una tasa de 7,2 % compuesto semestralmente.

¿Cuál es la mejor opción para don Jacinto?

24. Los Confeccionistas

Juan y Pedro son dos confeccionistas de prendas de

vestir y tienen sus talleres en la Av. Gamarra. En una

ocasión, Juan le dice a Pedro: “Mi banco ofrece una tasa

de 8% compuesto bimestralmente”, a lo que Pedro

responde: “el mío ofrece una tasa del 7,5 % compuesto

semestralmente”. ¿Quién recibe más por su dinero en un año?

Juan

25. Compañía de seguros

Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo

con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen

a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe

pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $100 000. El

Funciones 3


interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se

encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto

semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las edades

de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21

años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una? 54.132,11

CRÉDITOS HIPOTECARIOS

¿Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios?

Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una

vivienda, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de

Ahorros y hacer una hipoteca de la casa que

compra.

El préstamo hipotecario tiene como

característica específica que toma como

garantía real la vivienda (casa, apartamento,

edificio, terreno, etc.) a favor de la entidad

financiera que presta el dinero. Es decir, en

caso de no cumplir las condiciones acordadas

en la concesión del préstamo (por ejemplo:

impago de los recibos de amortización, de

plazos, etc.), el inmueble pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto,

usted hipoteca su casa en favor de la entidad financiera, hasta que le

haya devuelto la totalidad del préstamo.

Esta garantía, la propia vivienda, es lo que explica que el tipo de interés

sea más bajo que los préstamos generales o personales existentes en el

mercado. Usted hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en

la propia vivienda hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de

interés.

Amortización de préstamos

Amortización es el proceso financiero mediante el cual se puede

extinguir una deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario,

gradualmente, por medio de un flujo de pagos periódicos, que pueden

ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los intereses y reducir el

saldo insoluto.

Fórmula de amortización

El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará

durante n periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por:

n

P.iR(n)

1 (1 i)

El denominador es una función exponencial si se considera a n como

variable.

Ejemplo 5

La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 60 000 de un banco

para financiar la compra de una casa. El banco cobra intereses con

una tasa de 9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se

calculan al final de cada mes. La familia está de acuerdo en pagar

el préstamo mediante mensualidades iguales durante 20 años.

¿A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar

al final del término?

Solución:

Datos: P = 60 000; i = 0,09/12 = 0,0075; n = 20(12) = 240

Para calcular el pago periódico utilizamos:

i

n

PR(n)

1 (1 i)

Reemplazamos los datos:

Funciones 3


240 240

(60000).(0,0075) 450 450R(20)

1 0,1664181 (1 0,0075) 1 (1,0075)

R(20) 539,835573

Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573

Ejemplo 6

La familia Rojas ha adquirido una casa de $ 50 000, ellos han

pagado una cuota inicial de $ 20 000 y solicitan una hipoteca con

una tasa de interés de 7% por año sobre el saldo insoluto. Los

intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe

amortizarse en 30 años, ¿cuál será el monto de cada una de las

mensualidades que deben pagar los Rojas?

Solución:

Como se ha pagado una cuota inicial de $ 20 000 la deuda es de

$ 30 000.

Datos: P = 30 000; i= 0,07/12 = 0,005833; n = 30(12)

Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos:

Reemplazamos los datos en:

i

n

PR(n)

1 (1 i)

360 360

(30000).(0,005833) 175 175R(30)

1 0,123221 (1 0,005833) 1 (1,005833)

R(30) 199,594

Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de $ 199, 594

CRÉDITOS PERSONALES

Cuando una persona utiliza una tarjeta de crédito

debe pagar una cuota mensual fija durante el plazo

acordado. Este es un caso particular de amortización

de un préstamo donde los periodos son mensuales y en

donde intervienen pagos adicionales que se incluyen en

la cuota mensual.

La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para

amortizar la compra de un artículo cuyo costo es P y

que se amortizará en n meses a una tasa de interés de

i% mensual es:

C.M R portes S.D

Donde

R: Amortización

Portes: pago fijo por gastos administrativos

S.D: seguro de desgravamen

Luego:

n

P.iC.M portes S.D

1 (1 i)

Ejemplo 7

Jorge ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta

S/. 800. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco

Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el

pago por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de

S/. 0,8.

a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Jorge si

debe liquidar la deuda en 12 meses.

b. Calcula el interés total.

Funciones 3


Solución:

a. Datos: P = 800; i = 3% = 0,03; n = 12; portes = 7; S. D. = 0,8

Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula:

n

P.iC.M portes S.D

1 (1 i)

reemplazando los datos tenemos

12

(800).(0,03)C.M 7 0,8 80,37 7 0,8 88,17

1 (1 0,03)

La cuota mensual será de 88,17 nuevos soles

b. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio

utilizamos la fórmula: I = n (C.M.) – P

I = 12 (88,17) – 800 = 258,04

El interés total asciende a 258,04 nuevos soles

01. La hipoteca:

La familia Velásquez ha adquirido una casa de $ 35 000. Ellos han

pagado una cuota inicial de $. 17 000 y solicitan una hipoteca con una

tasa de interés de 6% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se

calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 20

años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben

pagar los Velásquez?

02. Máquina de coser

Miryan es una confeccionista de prendas de vestir que desea comprar a

plazos una máquina de coser que cuesta S/. 2 200. Para ello utiliza su

tarjeta de crédito del centro comercial Maquicentro, cuya tasa de

interés mensual es de 2,7%, el cobro por portes es de S/. 6 y el seguro

de desgravamen es de S/. 0,9.

a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para liquidar

la deuda en 20 meses.

b. Calcula el interés total que deberá pagar por la máquina.

03. Cámara fotográfica

Ángela es una periodista gráfica que desea comprar a plazos una cámara

fotográfica digital. Ella tiene las tarjetas de crédito de los centros

comerciales Compucentro y Cyberplaza. En Compucentro la cámara

cuesta S/. 1 200 y la tasa de interés mensual es de 1,5%; en Cyberplaza

la misma cámara cuesta S/. 1 000 y la tasa de interés es de 2,5%.

Considerando que el pago de portes, seguros de desgravamen y el plazo

de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con cuál

tarjeta de crédito Nora comprará la cámara?

04. La Refrigeradora

Nora tiene tarjetas de crédito de los centros comerciales Ecónomas y

Metroplaza y desea adquirir una refrigeradora. En Ecónomas la

refrigeradora cuesta S/. 1 400, la tasa de interés mensual es de 2,5%.

En Metroplaza la refrigeradora cuesta S/. 1 300 y la tasa de interés

mensual es de 4,2%. Considerando que el pago de porte y seguro de

desgravamen, y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros

comerciales, ¿con qué tarjeta de crédito Nora comprará la

refrigeradora? Economás

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