MAT200 GUIA EJERCICIOS N°6 FUNCIÓN EXPONENCIAL
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TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios Título Actividad: Función Exponencial. Nombre Asignatura: Álgebra Sigl a MAT200 Semana Nº: 7 Actividad Nº 6 Luga r Sala de clases APRENDIZAJES ESPERADOS: Aprendizaje 1 Resolver problemas de fenómenos modelados con funciones exponenciales en contextos de educación superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales. Aprendizaje 2 Resolver problemas de fenómenos modelados con la gráfica de funciones exponenciales en contextos de educación superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales. FUNCIÓN EXPONENCIAL; PROPIEDADES Y SUS GRÁFICAS Las funciones exponenciales son aquellas en que la variable se encuentra en el exponente. Su forma general es: , con . Donde: es un número real positivo distinto de 1, llamado base. es un número real, llamado exponente. es un número real, distinto de cero. El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales. Caso especial Si , se tiene la función , llamada Función Exponencial de base , donde es el número irracional … La función exponencial obedece a todas las reglas de operatoria de las potencias. Así: 1. ; 2. 3. Marzo 2015 / Programa de Matemática.
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Guia Algebra numero 6
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TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Ttulo Actividad:Funcin Exponencial.
Nombre Asignatura:lgebraSiglaMAT200
Semana N:7Actividad N6LugarSala de clases
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Aprendizaje 1Resolver problemas de fenmenos modelados con funciones exponenciales en contextos de educacin superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales.
Aprendizaje 2Resolver problemas de fenmenos modelados con la grfica de funciones exponenciales en contextos de educacin superior, cotidianos o simulaciones de situaciones laborales.
FUNCIN EXPONENCIAL; PROPIEDADES Y SUS GRFICASLas funciones exponenciales son aquellas en que la variable se encuentra en el exponente.Su forma general es: , con . Donde:
es un nmero real positivo distinto de 1, llamado base. es un nmero real, llamado exponente.
es un nmero real, distinto de cero. El dominio de la funcin exponencial es el conjunto de los nmeros reales.Caso especial Si , se tiene la funcin , llamada Funcin Exponencial de base , donde es el nmero irracional La funcin exponencial obedece a todas las reglas de operatoria de las potencias. As:
1. ; 2. 3.
4. ;
5.
6. ;
7. ;
8. ;
Propiedad fundamentalSi y son dos funciones exponenciales, se cumple .Ejemplo:
Si 2x = 4, entonces al igualar las bases: 2x = 22 se puede afirmar que x = 2.
Ejemplo:
La sustancia radioactiva Estroncio-90, se desintegra a medida que transcurre el tiempo en aos. Considerando que la masa , de estroncio-90, en gramos, que va quedando, est determinada por la funcin QUOTE
, determine:a) Cul es la masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90?
b) Cul es la masa aproximada que queda de Estrocio-90 al cabo de 3 aos?
DESARROLLO
Funcin exponencial: donde:
: masa de estroncio-90 en gramos.a) Determinar la masa inicial del estroncio, significa que no ha transcurrido tiempo (tiempo inicial), por lo que . Por lo tanto, se debe calcular :
Respuesta: La masa inicial de la sustancia radioactiva Estroncio-90 es 20 gramos.
b) Determinar la masa que queda de Estroncio-90 al cabo de 3 aos, significa que . Por lo tanto, se debe calcular :
Respuesta: La masa de Estroncio-90 que queda al cabo de 3 aos, es aproximadamente
18,6 gramos.I. A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.
1. Se ha proyectado que dentro de t aos, la poblacin de una ciudad del sur de nuestro pas ser de millones de habitantes. Determine:a) Cul es la poblacin actual? b) Cul ser la poblacin en 12 aos ms? 2. Una poblacin de ciervos de 1 ao de edad se introduce en una zona de caza. El nmero N(t) de los que an quedan vivos, despus de t aos, se puede predecir utilizando la siguiente funcin: . Determine:a) Cuntos ciervos se introdujeron inicialmente?
b) Estime el nmero de ciervos vivos despus de 5 aos.
3. En una empresa el costo de produccin de x artculos se modela por la funcin , donde C se mide en miles de pesos. Determine:a) Cul es el costo fijo de produccin?
b) Cul es el costo al producir 100 artculos? 4. Investigaciones mdicas recientes dicen que el porcentaje de riesgo R de tener un accidente automovilstico puede ser modelado mediante la funcin: donde x es la concentracin de alcohol en la sangre (gr/ml). a) Segn las investigaciones, qu porcentaje de riesgo tiene un conductor que tiene cero concentracin de alcohol en la sangre?
b) Un conductor, con una concentracin de alcohol en la sangre de 0,6 (gr/ml), qu porcentaje de riesgo tendr de tener un accidente?GRFICA DE UNA FUNCIN EXPONENCIALLa grfica de la funcin exponencial es una curva, cuya forma depende del valor de . Considerando la funcin , con T = 1 se obtienen las siguientes grficas:
Observaciones:
La grfica intersecta al eje Y en 1, es decir, pasa por el punto (0, 1). Si se dice que la funcin es decreciente.Si se dice que la funcin es creciente.En general para la grfica interseca al eje Y en T, es decir, en el punto (0, T).
II. DETERMINE LA GRFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL Y RESPONDA.5. En un laboratorio de biotecnologa se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador. Si al inicio haban 100 bacterias y se duplican cada tres horas, la funcin que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo x, medido en horas, es
a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.
b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de horas.c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
6. El ndice de contaminacin I, aumenta a medida que transcurren las horas del da, lo que est dado por la funcin
QUOTE
, donde es la cantidad de horas transcurridas a partir de las 6 AM. a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.
b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de horas.
c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
7 La ganancia anual por concepto de negocios con otras entidades de una empresa, en miles de dlares, despus de aos de realizados estos negocios, est dada por la funcin . a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.
b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de aos.
c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
8 Un taller se dedica a la venta de repuestos mecnicos nuevos y usados. El valor , en miles de pesos, de un repuesto est dado por la funcin
QUOTE
, donde son los aos de uso del repuesto. a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.
b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de aos.
c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
ANEXO DE EJERCICIOS
GUIA N6
FUNCION EXPONENCIAL
Con los siguientes ejercicios de funcin exponencial, podrs seguir practicando, para abordar los aprendizajes esperados de la Gua, relacionados al clculo de imagen de una funcin exponencial e identificando la grfica asociada a la funcin.
III. A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL RESPONDA.
9 En un pas de Amrica Latina el porcentaje P de familias que poseen televisor, despus de t aos de su introduccin, se puede determinar por la funcin: . Determine:a) Inicialmente, qu porcentaje de familias tenan televisor?
b) Y despus de 5 aos?
10 En el ao 2000 la poblacin de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones, y ha crecido a una razn de 0,7% cada ao. Esta poblacin N(t), t aos ms tarde, se puede aproximar mediante la funcin QUOTE
EMBED Equation.3
, en millones de habitantes. Si continuara este patrn de crecimiento, determine:
a) Cul ser la poblacin de Estados Unidos en el ao 2020?
b) Y en el ao 2027?
IV. DETERMINE LA GRFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL Y RESPONDA.11 Un estudio realizado sobre el uso de los artefactos elctricos, que en la actualidad son esenciales para nuestra vida, arroj que en el pasado la proporcin de familias que los posean, x aos despus de salir a venta, se puede representar por la expresin
QUOTE
QUOTE
.
a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.
b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de aos.
c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
12 Una constructora se dedica a la venta de casas. El valor , en millones de pesos, de una casa est dado por la funcin QUOTE
EMBED Equation.3
, donde x son los aos de antigedad de la casa.
a) Identifica las variables dependiente e independiente en la funcin.b) Con el objetivo de identificar cul es la grfica que modela a la funcin planteada. Calcula la imagen para la funcin, seleccionando de los grficos de la letra c, dos valores cualesquiera para la cantidad de aos.
c) Con los datos calculados en la letra anterior, identifica cul de los grficos modela la funcin planteada.
LISTA DE COTEJO GUA N6
A continuacin se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder completar todos los pasos del desarrollo de un ejercicio.
Esta lista, te permitir revisar si lo que ests generando como desarrollo tiene todos los pasos que sern considerados en la evaluacin.Calcular la imagen de una Funcin Exponencial:
Clasifica la variable dependiente (imagen) en la funcin exponencial. Clasifica la variable independiente (pre-imagen) en la funcin exponencial. Reemplaza los valores numricos asignados en la funcin exponencial. Obtn el valor de la imagen de la funcin exponencial para el valor dado. Interpreta el valor de la imagen de la funcin exponencial en el contexto del ejercicio. Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la imagen en el contexto de la funcin exponencial.Identifica el Grfico que modela una funcin Exponencial:
Reconoce del grfico de la funcin exponencial un valor correspondiente a la pre-imagen de esta, mirando los datos de la grfica. Remplaza el valor seleccionado anteriormente en la funcin exponencial dada. Obtn el valor de la imagen de la funcin exponencial. Contrasta el valor de la imagen obtenido con el que muestra la grfica. Identifica cul de los grficos es el que corresponde a su modelo. Redacta una respuesta verbal, que permita identificar el grfico en el modelamiento de la funcin.
SOLUCIONES
a) La poblacin actual es de 650.000 habitantes.b) En 12 aos ms la poblacin ser de 977.475 habitantes aprox.
a) Inicialmente se introdujeron 100 ciervos.b) Despus de 5 aos hay 59 ciervos.a) El costo fijo es $ 126.450.b) El costo de producir 100 artculos es de $ 127.391.a) Con una concentracin de alcohol en la sangre de 0 (gr/ml), el riesgo de tener un accidente es del 6%.b) Con una concentracin de alcohol en la sangre de 0,6 (gr/ml), el riesgo de tener un accidente es del 32,4%.a) Variable dependiente: cantidad de bacterias. Variable independiente: tiempo en horas.
b) f(0) = 100 y f(6) = 400
c) El Modelo 3 grafica dicha situacin.a) Variable dependiente: ndice de contaminacin. Variable independiente: cantidad de horas transcurridas.
b) I(0) = 2,1 y I(2) = 3,13c) El Modelo 1 grafica dicha situacin.a) Variable dependiente: ganancia anual. Variable independiente: cantidad de aos.
b) G(1) = 70, G(0) = 40
c) El Modelo 3 grafica dicha situacin.a) Variable dependiente: Precio de un repuesto. Variable independiente: cantidad de aos de uso.
b) V(0) = 60 y V(1) = 49,12 c) El Modelo 2 grafica dicha situacin.a) Inicialmente el 0% de las familias tena televisor.
b) Despus de 5 aos el 42,3% de las familias tena televisor.
a) En el ao 2020 la poblacin ser de aproximadamente 261.112.152 habitantes.
b) En el ao 2027 la poblacin ser de aproximadamente 274.225.296 habitantes.
a) Variable dependiente: proporcin de familias que posean un artefacto. Variable independiente: cantidad de aos despus de salir a la venta.
b) f(0) = 0 y f(1) = 0,095c) El Modelo 1 grafica dicha situacin.a) Variable dependiente: Precio de la casa. Variable independiente: cantidad de aos de antigedad.
b) V(0) = 50 y V(1) = 38,9c) El Modelo 1 grafica dicha situacin.Marzo 2015 / Programa de Matemtica.
Marzo 2015 / Programa de Matemtica.
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