Efecto resistivo en las ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo

Carlos A. Escalante Sandoval Gilberto Sotelo Ávila

Universidad Nacional Autónoma de México

Este artículo es la continuación del presentado por los mismos autores con el título: “Ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo”, que apareció publicado en esta misma revista (vol. XVI, núm. abril-junio de 2001). El propósito del trabajo es valuar e incluir el término de resistencia al flujo que quedó pendiente en las ecuaciones generales, mediante la expresión también general de la fuerza de resistencia al flujo. Se presentan asimismo las expresiones del factor de fricción para los diferentes comportamientos hidráulicos de la pared, así como la versión final de las ecuaciones generales completas, aplicables a cualquier canal de fondo curvo con cualquier forma de sección.

Palabras clave: resistencia al flujo en canales de fondo curvo, canales de fondo curvo, térmi- no resistivo en flujo curvilíneo a superficie libre.

Antecedentes

Se construyen obras hidráulicas de pequeñas y gran- des dimensiones, donde el fondo debe ser curvo por distintas razones. Es el caso de los conductos de des- carga de las obras de excedencia que utilizan curvas, a veces muy forzadas, para producir deflexiones verti- cales obligadas por el tipo de obra (canal abierto, tú- nel o cimacio) o por la topografía del terreno natural (curvas cóncavas o convexas, circulares o parabóli- cas). Dichas curvas sirven también para dirigir el flujo y producir su despegue con el ángulo adecuado en cubetas de lanzamiento. del canal.

El fondo curvo de un canal influye de manera im- portante en el comportamiento del flujo, ya que modifi- ca la forma de sus trayectorias y la manera en que se distribuyen la velocidad y la presión. Por ello también es importante que el ingeniero disponga de un método de análisis con ecuaciones que incluyan la curvatura del fondo. El sistema de ecuaciones al que se alude se expuso como la primera parte de esta serie de artícu- los, con el título: “Ecuaciones generales del flujo imper- manente en canales de fondo curvo”, de los mismos autores. De ellas se pueden derivar las obtenidas por Dressler como caso particular para el canal rectangular. También se obtienen las presentadas por Sotelo y Ruiz (1994) para el mismo canal.

Las ecuaciones de Khan y Steffler (1996) tienen un enfoque distinto y sirven para un canal de sección rectangular.

Objetivo

El propósito de esta segunda parte es el de desarrollar la expresión general de la fuerza de resistencia al flujo que quedó pendiente, y con ella el de la pendien- te de fricción, para complementar las ecuaciones ge- nerales del flujo curvilíneo y disponer así del conjunto aplicable de acuerdo con la geometría de la sección

En un artículo de publicación posterior a éste se re- suelven los términos necesarios para establecer las ecuaciones particulares para el canal trapecial (inclui- dos el rectangular y triangular). También es convenien- te establecer procedimientos alternos para otras for- mas de sección que complementen las soluciones, con el fin de extender la aplicación prácticamente a cualquier forma de sección.

Ecuaciones generales del flujo curvilíneo

Las ecuaciones del flujo en un canal de fondo curvo obtenidas en el primer artículo de los autores: “Ecua- ciones generales del flujo impermanente en canales de

fondo curvo", se presentan a continuación. La ecuación de distribución del componente u de la velocidad en dirección normal a una sección ortogonal al fondo, es:

siendo uo el componente de la velocidad tangente al fondo (para n = O), de magnitud:

donde Q es el gasto en una sección de coordenada s en el instante t, n, la coordenada en el plano de la sec- ción y normal a s; la curvatura del fondo de la sec- ción; I, es la integral dada por la ecuación:

donde B es la dimensión horizontal de la sección orto- gonal al fondo, a la distancia n de dicho fondo, como aparece en la ilustración

El mismo componente u al nivel de la superficie li- bre se obtiene de la ecuación para n = d y vale:

El componente secundario de la velocidad w se ajusta a las condiciones de frontera de que en el fondo sea w=0 O y sobre la superficie libre sea:

La forma compacta de la ecuación de continuidad es como sigue:

" Y

La distribución del componente secundario de la velocidad se obtiene del principio de continuidad, se- gún la ecuación:

donde J = es el jacobiano de la transformación de coordenadas. De esta expresión resulta el compo- nente wd (para n = d ) sobre la superficie libre y es:

donde, Jd = Otra manera de expresar la ecuación de continui-

dad, incluida la condición de frontera en la superficie libre, se obtiene sustituyendo la ecuación en la y resulta:

En las expresiones anteriores, dos de los términos son:

siendo [I,]: = I, el valor de la integral I, cuando n = d. De la misma manera, es el valor de I, cuando n = d.

La distribución de la presión en cualquier sección ortogonal al fondo se calcula con cualquiera de las formas:

La presión en el fondo de la sección se obtiene para = O y según la ecuación es:

La energía total por unidad de peso se obtiene de cualquiera de las ecuaciones:

ciso de H con los componentes al nivel de la superfi- cie libre mediante la ecuación:

La condición de frontera queda expresada por la ecuación y se debe satisfacer aun cuando se ha su- puesto que w << u. Para el flujo permanente, dd/% = O, y la ecuación mencionada se transforma en:

Bajo la hipótesis de flujo poco profundo, I I significa que wd/ud por tanto, se cumple la condición:

La ecuación del movimiento a lo largo de s es:

o bien:

I

la cual será más precisa cuando O; es decir, se es- peran mejores resultados de la teoría cuando el fondo sea convexo.

Interpretación de la línea de energía

En la ilustración se muestra el flujo que ocurre sobre un canal de fondo cóncavo-convexo y la interpretación de las distintas variables que intervienen. El compo- nente Ud de la velocidad en la superficie libre de una sección ortogonal al fondo de coordenada s, se deter- mina de la ecuación De acuerdo con la ecuación

donde es la elevación del fondo y S,, la pendiente local de fricción, cuyo valor hay que calcular.

La ecuación anterior desarrollada es como sigue:

En las dos últimas expresiones, el término S, quedó pendiente de determinar y éste es precisamente el propósito de este trabajo.

El componente w d al nivel de la superficie libre se obtiene de la ecuación Su magnitud es, en general, muy pequeña y poco afecta el valor de la carga de ve- locidad empleado en la ecuación Sin embargo, una vez conocido, se puede calcular un valor más pre-

la carga de velocidad calculada con dicho com- ponente separa verticalmente a la superficie li- bre de la línea de energía en la sección considerada. Para la sección de coordenada s ds, de la ecuación

se obtiene:

Es decir, la diferencia de niveles de energía entre dos secciones separadas, la distancia ds es igual a la suma de la pérdida de fricción y del término

el último se interpreta como el cambio de la ve- locidad en el tiempo, como se presenta en la ilustra- ción Cuando el flujo es permanente, = O y cuando la pérdida de fricción no se incluye, Sf = O.

Casos particulares de las ecuaciones

Ecuaciones para el fondo plano

Cuando el fondo del canal es plano y de inclinación se tienen los valores: = O; Jo = wo O; u, = U (ve- locidad media), ya que para n = d, p = O y la distribu- ción de la presión (ecuación 12) se convierte en la hi- drostática. El término s, de la ecuación se convierte en la pendiente local de fricción, = Sen la pen- diente del fondo y la se transforma en la ecuación dinámica del flujo rectilíneo gradualmente variado, la cual no incluye los efectos de curvatura porque no existen.

Ecuaciones del flujo curvilíneo permanente

Para obtener las ecuaciones del flujo curvilíneo per- manente es suficiente considerar que todas las varia- bles son independientes del tiempo, cancelando los términos donde aparezcan derivadas parciales res- pecto de t en las ecuaciones a

Así, la ecuación para la distribución del compo- nente principal de la velocidad en flujo no permanente se convierte para el permanente en:

La ecuación de continuidad compacta (6) se con- vierte en:

Es decir, para el flujo permanente resulta que el gasto Q es constante a lo largo de s.

Término de resistencia al flujo

Magnitud de la fuerza de resistencia

Las ecuaciones o incluyen un término de resistencia que es necesario valuar. La cuña angular de líquido mostrada en la ilustración está sujeta a es- fuerzos tangenciales friccionantes en toda la superficie de contacto del agua con el fondo y paredes. Dichos esfuerzos tangenciales se calculan mediante las ex- presiones empíricas:

donde las velocidades se toman justo fuera de la sub- capa laminar del flujo viscoso turbulento real, siendo un factor adimensional dependiente de varios paráme- tros que miden la rugosidad efectiva en la frontera.

Los valores medidos de o los factores relaciona- dos con el mismo (como el factor de fricción f de Dar- cy-Weisbach o el factor equivalente C de Chezy), se dan a través de diagramas como el de Moody. En este análisis se conserva igualmente un general, sin con- siderar la forma específica que adquiere según sea el comportamiento de la pared. En los desarrollos que se hacen a continuación, todas las variables se valúan en

la sección s = O y en el instante t = to (ilustración a menos que se indique lo contrario, por ello la depen- dencia respecto de s y t se omite por brevedad en la simbología. simbología.

La fuerza de fricción resultante F, es la ejercida por las fronteras del fondo y paredes de la SC, siendo Ffs su componente según s (en s = O). De acuerdo con la condición: de los flujos poco profundos, no es necesario considerar la contribución a Ff de otros esfuerzos tangenciales en las paredes en di- rección normal al fondo; es decir, el componente Ffn según n (en s = O) es nulo. Por tanto, Ffs es la magni- tud de la fuerza Ff

Integrando la fuerza F, con las dos expresiones an- teriores de tomando en cuenta la ecuación se usa

grar la diferencial de la fuerza Ff para una sección si- métrica se calcula como sigue:

el producto escalar de dicha fuerza con es (O) y al inte-

donde es la velocidad de fricción (o del esfuerzo cortante) y U, la velocidad media.

Para el comportamiento de pared lisa en canales se utiliza la expresión de Blasius: f = con la cual:

Valor de según el comportamiento de la pared

El valor de en las ecuaciones para flujos turbulen- tos separa tres tipos de comportamiento de una pared rugosa: a) de Prandtl von Kármán para superficies hi- dráulicamente lisas (del cual la parte lineal se conoce como de Blasius); b) de Colebrook-White para el régi- men hidráulico de transición; c) de Chezy o de Man- ning para superficies hidráulicamente rugosas.

En hidráulica se considera a la ecuación de Darcy- Weisbach como una ley universal de la fricción, en la que interviene el factor de fricción f del mismo nombre. Para dicha ecuación, la expresión empírica de es:

Sustituyendo J = y con la representación:

se obtiene:

donde el número de Reynolds es Re = URh/v, y es váli- da en el intervalo Re El símbolo v repre- senta a la viscosidad cinemática del agua.

La velocidad media U, asociada con el gasto Q, está dada por la ecuación y depende de la geome- tría de la sección, de manera que:

donde es el ancho en el fondo de la sección (para n = O).

Sustituyendo la ecuación en la se obtiene finalmente: la cual se sustituye en la ecuación 21b.

Para el régimen hidráulico de transición de una frontera rugosa, es suficiente emplear equivalencias si- milares de f, como la expresada por Colebrook-White, la cual es:

O bien, con P, el perímetro mojado de la sección, y R h , el radio hidráulico, A = resulta otra versión:

donde:

I

se convierte en un factor de amplificación de la veloci- dad, ya que mide el incremento o decremento nece- sario de para generar la misma fuerza de resisten- cia que la velocidad variable u.

donde a,, a y c son coeficientes; los dos últimos varían con la forma de la sección. Sus valores, según los au- tores de la ecuación, son: a, = 2; a = 0.6275; c = para un canal rectangular. El número de Reynolds queda definido como antes y ks es la rugosidad de la frontera.

Para el comportamiento de frontera hidráulicamen- te rugosa son comunes las ecuaciones de Chezy y Manning y el valor de para cada una resulta:

y la que resulta de la ecuación se observa que el radio hidráulico del flujo aquí tratado se interpreta como el recíproco del término dentro del paréntesis rectangular en la primera ecuación, el cual puede de- signarse como radio hidráulico efectivo en la forma: donde se ha usado la equivalencia = =

siendo C el factor de fricción de Chezy y nM el coeficiente de Manning; éste no debe confundirse con la coordenada n empleada en los desarrollos.

Pendiente local de fricción

El procedimiento consiste entonces en sustituir los va- lores de antes encontrados en el valor de la pendien- te local de fricción S, dado por la ecuación general

b, y después en las ecuaciones Por ejemplo, con la ecuación de Chezy y para el comportamiento de pared hidráulicamente rugosa se tendría:

Los mismos resultados se obtienen cuando K O. También puede verificarse que para = O, el denomi- nador de la ecuación se convierte en el perímetro mojado de la sección; es decir, el radio hidráulico efec- tivo coincide con el radio hidráulico convencional Rh cuando el fondo es plano, además, a, = y la ecua- ción a se vuelve idéntica a la

Para un canal rectangular de ancho b (constante) se tiene que = O, y según la ecuación la inte- gral

Si se adopta la ecuación de Manning y se sustituye en la ecuación b resulta:

Comparación de resultados

Conviene analizar la analogía del desarrollo presenta- do con el convencional que se sigue para obtener la ecuación de Chezy aplicable al flujo rectilíneo. El es- fuerzo tangencial medio de resistencia se considera como, = p V2, donde Ves la velocidad media del flujo, de manera que la fuerza total de resistencia es común que se escriba en la forma:

Siendo p A ds la masa del elemento y Rh = el radio hidráulico de la sección, la fuerza de resistencia por unidad de masa vale:

Además, con = p v2 = g p Rh s,, entonces: v2 = g Rh S,; y la ecuación anterior resulta:

donde S, tiene el mismo significado de antes. AI com- parar la magnitud de dada por la ecuación

Por tanto, con = b y A = en la ecuación se obtiene la expresión para el canal rectangular:

El resultado de Dressler y Yevjevich (1984) se obtu- vo para un canal rectangular, con la suposición de fuerza de cuerpo constante es decir, independiente de n. Con la simbología aquí utilizada, dichos autores obtuvieron la expresión:

que al compararla con la ecuación se observa que

contiene el factor espurio extra Por tanto, la

ecuación prueba que la suposición de fuerza de cuerpo constante empleada por los autores no se justi- ficaba y que el efecto resistivo que produce la ecua- ción se sobrestima para fondos cóncavos y se subestima para los convexos, por la presencia del fac- tor mencionado. En efecto, la fuerza resistiva dada por la ecuación aumenta con la distancia n en el caso de un fondo cóncavo O) y disminuye cuando se

AI sustituir en la ecuación b, la fuerza de resisten- cia adopta cualquiera de las formas:

De la ecuación el valor de a,, resulta:

trata de un fondo convexo O), de manera que su resultante es la misma al actuar sobre cada capa del- gada de espesor dn tomada paralela al fondo, como se muestra en la ilustración

Sivakumaran y Dressler (1 986) corrigieron los resul- tados sólo para el canal rectangular siguiendo un pro- cedimiento distinto de análisis, pero que concuerdan con los obtenidos aquí para ese caso particular.

Conclusiones

Los modelos de flujo para fondo plano, como el de Saint-Venant, utilizan la ecuación para determinar la fuerza de resistencia. El nuevo modelo utiliza la ecua- ción b con el mismo propósito. Si se comparan am- bos resultados para la misma velocidad en el fondo

= V y el mismo radio hidráulico en flujos con fronte- ras de comportamiento rugoso, se observa como úni- ca diferencia al coeficiente a, dado por la ecuación En el caso de frontera con comportamiento liso, se ten- dría que agregar la dependencia de Q y en el flujo curvilíneo, como se considera en la ecuación Para K = O (fondo plano) dichas correcciones valen uno, existiendo congruencia con las ecuaciones comúnmen- te empleadas en la hidráulica de canales.

Un cálculo sencillo para observar el comportamien- to de a,, en un fondo curvo puede hacerse para un ca- nal rectangular de diferentes anchos b, utilizando las leyes de Chezy, Manning y de Blasius. Para la sección rectangular, la ecuación permite obtener la velocidad media y se convierte en:

o bien:

Las ecuaciones y concuerdan con las obte- nidas por Sivakumaran y Dressler (1 986) para el canal rectangular.

En el canal rectangular se consideran los casos de fondo convexo, donde K d = y otro cóncavo don-

De la ecuación de Blasius al sustituir el nú- mero de Reynolds se obtiene:

de K d = + En cada caso, a, = para el pri- mero y a, = para el segundo, ambos calcula- dos con la ecuación El coeficiente depende del ancho del canal y sus valores se obtienen en el cuadro

además de los productos a,. Los valores que se muestran en el cuadro ilustran

que, en general, el efecto de resistencia en el flujo dis- minuye en fondos convexos y aumenta en los cón- cavos respecto del que tienen en los planos (excepto en canales muy anchos), como se muestra en la ilus- tración Estas diferencias son mayores en los cana- les angostos que en los anchos.

De lo anterior se concluye que es clara la necesi- dad de verificar en laboratorio las leyes de resistencia aquí presentadas, ya que ninguna de las experimenta- les obtenidas para tubos circulares ha tenido una veri- ficación adecuada en canales, aun las del modelo de Saint-Venant. Por otra parte, la mayoría se basa en ex- perimentos realizados con flujo permanente en tubos circulares rectos totalmente llenos con rugosidad artifi- cial. La curvatura apreciable en el flujo y las presiones no hidrostáticas pueden influir en dichas leyes, lo que justifica la experimentación. A esto hay que agregar la necesidad de definir una ley empírica segura que se pueda aplicar a los flujos no permanentes, ya que esto no ha ocurrido ni en el modelo de Saint-Venant, el cual emplea leyes para el flujo permanente.

Agradecimiento

A la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México por el apoyo recibido para la realización de este trabajo.

Recibido: Aprobado:

Referencias

Dressler, R.F., "New Nonlinear Shallow-Flow Equations With Curvature", Journal of Hydraulic Research, IAHR, vol. núm.

Dressler, R.F. y V. Yevjevich, "Hydraulic-Resistance Terms Modified for the Dressler Curved-Flow Equations", Jour- nal of Hydraulic Research, IAHR, vol. núm. noviem- bre de pp

Khan, y P.M. Steffler, "Vertically Averaged and Moment Equations Model for Flow Over Curved Beds", Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, vol. núm. enero de

Sivakumaran, N.S. y R.F. Dressler, "Distribution of Resistive Body-Force in Curved Free Surface Flow", Mathematical Methods in the Applied Science, núm. pp.

Sotelo, G. y R. Ruiz, "Flujo curvilíneo como un vórtice libre", Memorias del XIII Congreso Nacional de Hidráulica de la Asociación Mexicana de Hidráulica, tomo II, Puebla, Mé- xico, septiembre de

Simbología

distancia ortogonal al fondo hasta la superficie libre. aceleración de la gravedad. coordenada recta en el plano de una sección or- togonal al fondo y a s. coeficiente de Manning para la pared. presión en algún punto de la sección ortogonal al fondo y a s. presión en algún punto de la sección ortogonal al fondo y a s. coordenada curvilínea que sigue fielmente el fon- do del canal. tiempo. componente de la velocidad en la dirección de s y en dirección perpendicular a una sección ortogo- nal al fondo. componente u de la velocidad en el fondo de la sección. componente u de la velocidad al nivel de la su- perficie libre de la sección. vector velocidad en un punto. componente de la velocidad en la dirección de y y tangente al plano de la sección ortogonal al fondo. componente de la velocidad en la dirección de n, normal a u y tangente al plano de la sección orto- gonal al fondo. componente w de la velocidad en la superficie libre, en la dirección de n. eje coordenado en un plano horizontal perpendi- cular a y. coordenada recta en el plano de la sección orto- gonal a x, s y n. eje coordenado vertical. dimensión horizontal de la sección a la distancia n. factor de fricción de Chezy. fuerza resultante de las de cuerpo y de superficie. fuerza de cuerpo por unidad de masa obrando so- bre la superficie A. fuerza de cuerpo por unidad de masa. fuerza resultante. fuerza de fricción. jacobiano de la transformación del sistema coor- denado fijo al curvilíneo, de magnitud J = energía total en una sección del flujo por unidad de peso. gasto en la sección s (de tirante d) en el instante t.

radio local de curvatura en el fondo. pendiente local del gradiente de fricción. ancho de la superficie libre de una sección. velocidad media en la sección. curvatura del fondo en una sección viscosidad cinemática del líquido. densidad del líquido. ángulo de inclinación de la tangente al fondo de la sección respecto de la horizontal.

esfuerzo tangencial en el perímetro mojado de la sección. fuerza de cuerpo ficticia con los componentes (según s) y (según n). coordenada x que localiza a un punto cualquiera en el fondo. coordenada z que localiza a un punto cualquiera en el fondo.

Abstract

Escalante Sandoval, C.A. G. Sotelo Ávila, “Resistive Effect in General Equations for Unsteady Free-Surfa- ce Flow Over Curved Beds”, Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol. XVI, num. pages July-September,

This paper complements the article published in this Journal, by the same authors, with the title: ”General equations for unsteady free-surface flow over curved beds’’ (vol. XVI, num. April-June, 2001). Its purpose is to value and include the term of flow resistance, left pending in the general equations, using, too, a gene- ral expression of the flow resistance force. This paper shows the final version of the complete general equa- tions to be applied to a curved bed channel of any section and showing any hydraulic behavior of wall.

Key words: free surface flow resistance over curved beds, channel with curved bed, resistive term in curvi- linear flow.

Dirección institucional de los autores:

Carlos Escalante Sandoval

División de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México Apartado Postal

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Gilberto Sotelo Ávila

Cerro Verde Col. Pedregal de San Francisco Delegación Coyoacán

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