Ejemplo:Entre dos (2) alineamientos rectos P1-P2 y P2-P3, P2 es el Punto de Interseccin de los alineamientos dados, se desea disear una Curva Vertical Simtrica, para lo cual se dan los siguientes datos:

Se pide:1.- Calcular las Progresivas y Cotas de los puntos tangente de entrada TEcv y tangente de salida TScv.2.- Progresiva y Cota del pice3.- Cota de los puntos P4 de prog (0+870) y P5 de Prog (1+150), adems se pide la pendiente de la recta tangente a la curva que pasa por esos puntos.4.- Progresivas de los puntos P6 cuya cota es: 997 y 5.- Dibujo de la Curva Vertical Simtrica

SOLUCION:1.- Clculo de las Progresivas y Cotas del TEcv y TScv.1.1.- Calculo de Progresivas. Al ser una Curva Vertical Simtrica la longitud de la Curva se divide en dos partes iguales y se reparte a partir del Punto de Interseccin. Por lo que:Prog TEcv = Prog PIcv - Lcv/2 yProg TScv = Prog PIcv + Lcv/2 No tenemos la longitud de la curva vertical (Lcv)1.1.1.- Calculo de LcvLcv = K x A1.1.1.1.- Calculo de KPara obtener K, necesitamos:Velocidad de Proyecto = 60 kph (dato del ejercicio)Visibilidad: se exige Visibilidad de PasoTipo de Curva: Cncava o Convexa (para saberlo necesitamos calcular A, si es positiva ser Cncava y si es negativa Convexa)Con estos datos voy a la grafica respectiva y obtengo el valor de KCalculo de AA = n m m y n son las pendientes de las tangentes de entrada y salida, respectivamente, de los alineamientos rectos, expresadas en porcentajeClculo de mm = (YP2 YP1) x 100_ (Prog P2 Prog P1)

m = (1.000 995) x 100 = m = 500_ => m = 1% ((1+000) (0+500)) 500

Calculo de n

n = (YP3 YP2) x 100_ (Prog P3 Prog P2)

n = (980,50 1.000) x 100 n = - 1950_ => n = - 3% ((1+650) (1+000)) 650

Con estos valores calculamos A

A = n m = -3 - (1) => A = - 4

Al ser A negativa (-), significa que la curva es Convexa, sabiendo que se exige el diseo con Distancia de Visibilidad de Paso y con la Velocidad de Proyecto, vamos a la grafica respectiva y obtenemos:K = 112

Con K y A hallo Lcv, segn (1.1.1)

Lcv = K x A = 112 x 4 => Lcv = 448 m => Lcv/2 = 224 m

Ahora si, procederemos a calcular las Progresivas del TEcv y el TScv.Progresiva del TEcvProg TEcv = Prog PIcv - Lcv/2 Prog TEcv = (1+000) - 224 => Prog TEcv = 0+776

Progresiva del TScv.Prog TScv = Prog PIcv + Lcv/2 Prog TEcv = (1+000) + 224 => Prog TEcv = 1+224

1.2.- Calculo de las Cotas de TEcv y TScv (YTEcv, YTScv)1.2.1 Calculo de YTEcv Dado que TEcv, al ser un punto de tangencia, pertenece tanto a la recta de entrada como a la curva, calcularemos su cota a travs de la formula de la pendiente de la tangente de entrada (m)..m = (YP2 - YTEcv) x 100__ ; despejando ((Prog P2) (Prog TEcv))

YTEcv = YP2 - m x ((Prog P2) (Prog TEcv)) 100

YTEcv = 1000 1 x ((1+000) (0+776)) => YTEcv = 997.76 m 100 1.2.2 Calculo de YTScv Se calcula de manera anloga al caso anterior, pero con la pendiente de salida (n)n = (YTScv - YP2) x 100__ ; despejando ((Prog TScv) - (Prog P2))

YTScv = YP2 + n x ((Prog TScv.) - (Prog P2)) 100

YTScv = 1000 + (-3) x ((1+224) (1+000)) => YTScv = 993, 28 m 100

2. - Progresiva y Cota del pice

Para que una Curva Vertical posea pice (punto ms alto o bajo de la Curva) las pendientes m y n deben tener diferentes signo, en nuestro caso es as (m = 1% y n= -4%), por lo tanto procedemos a su clculos.

2.1 Progresiva del pice. (Prog ).

(Prog ) = Prog TEcv + X

Calculo de X

X = - m x Lcv A

X = -1 x 448 => X = 112 m (-4)

(Prog ) = (0+776) +112 => Prog = 0+888 m

2.2.- Cota del pice Y

Y =

3.- Cota de los puntos P4 de prog (0+870) y P5 de Prog (1+150), adems se pide la pendiente de la recta tangente a la curva que pasa por esos puntos.Ubicamos primero los puntos para saber si estn en la recta o en la curva vertical.3.1.- Cota de P4 (YP4)Prog TEcv = 0+776Prog TScv = 1+224Prog P4 = 0+870.

Donde: Prog TEcv < Prog P4 < Prog TScv (est en la Curva)

Calcularemos la Cota con la Formula de la cota de un punto cualquiera sobre la Curva Vertical (YP)

YP = YTEcv + __m_ * X + __A * X2____ 100 200* Lcv

Es necesario conocer el valor de X, que no es ms que la diferencia de progresiva entre el punto y TEcv.XP4 = Prog P4 Prog TEcv = (0+870) (0+776) => XP4 = 94 mPor lo que:

3.2.- Cota de P5 (YP5)Igual que en caso anterior localizamos el punto,Prog TEcv = 0+776Prog TScv = 1+224Prog P4 = 1+150.

Donde: Prog TEcv < Prog P5 < Prog TScv (est en la Curva)

Calculamos por la formula de la cota de un punto sobre la curva (igual al caso anterior).

YP = YTEcv + __m_ * X + __A * X2____ 100 200* Lcv

Es necesario conocer el valor de X, que no es ms que la diferencia de progresiva entre el punto y TEcv.XP5 = Prog P5 Prog TEcv = (1+150) (0+776) => XP4 = 374 mPor lo que:

4.- Progresivas de los puntos P6 cuya cota es: 997 y P7 de cota 998,00Procedimiento de Clculo: 1. Como conocemos la cota del punto, sustitumos en la frmula general de Cota de un punto cualquiera sobre la Curva, y nos quedar X como incgnita.2. Como ya sabemos X, es el valor medido desde el TEcv, por lo que, con ese valor calculado, se lo sumamos al valor de la Progresiva del TE y as obtenemos el valor de la progresiva del Punto3. Es de hacer notar que al ser la curva de Segundo Grado, dar dos (2) resultados para X, que sern: a) Los dos (2) positivosb) Uno (1) positivo y uno Negativoc) Los (2) negativos. Nota: Los Valores positivos para que pertenezcan a la Curva deben ser menores o iguales a la Longitud de la curva. Los valores negativos no pertenecen a la curva. Dentro de una Curva Vertical, al ser de Segundo Grado, dos (2) puntos pueden tener la misma Cota.

Solucin: Punto P6Sustitumos en:

YP = YTEcv + __m_ * X + __A * X2____ 100 200* Lcv

997 = (997, 76) + _1_ * X + __(-4) * X2_ 100 200* 448

Igualando a Cero (0), para resolverla como una Ecuacin de Segundo Grado:

0 = (997, 76) (997) + _1_ * X + _(-4) * X2_ ; quedando la ecuacin: 100 200* 448

0 = _ (-4) * X2 + _1_ * X + (0,76) (200* 448) 100

Como se observa el nico valor ubicado sobre la curva es el punto X2, teniendo como progresiva:

Prog P6 = Prog TEcv + X2 = (0+776) + 283,95

Prog P6 = 1 + 059,95

Es bueno hacer ver que el valor negativo nos indica que el punto se encuentra sobre la recta, antes del TEcv.

Calculo de la Progresiva del Punto P7 de Cota 998. Procedemos igual que en el caso anterior:

Sustitumos en:

YP = YTEcv + __m_ * X + __A * X2____ 100 200* Lcv

998 = (997, 76) + _1_ * X + __(-4) * X2_ 100 200* 448

Igualando a Cero (0), para resolverla como una Ecuacin de Segundo Grado:

0 = (997, 76) (998) + _1_ * X + _(-4) * X2_ ; quedando la ecuacin: 100 200* 448

0 = _ (-4) * X2 + _1_ * X - (0,24) (200* 448) 100

Los dos (2) resultados son positivos y menores que la longitud de la Curva vertical (Lcv = 448,00), por lo que para la cota dada existirn dos puntos sobre la curva que lo verifiquen:Prog P7= Prog TEcv + X1 =>Prog P7 = (0+776) + 27,34 => Prog P7 = 0 + 803,34 y

Prog P7.1= Prog TEcv + X2 =>Prog P7.1 = (0+776) + 196,66 => Prog P7.1 = 0 + 972,66

5.- Dibujo de la Curva Vertical SimtricaBasados en los datos obtenidos procederos a dibujar la Curva Vertical

Hoja1Con:YTEcv =997.76 m =1XP4 = 94A = -4Lcv =448

YP4 = 997,76 + ( 1*94)/100 + ((-4) * (94)2)/(200*448)

=> YP4 = 998.3055357143

Hoja1Con:YTEcv =997.76 m =1XP4 = 374A = -4Lcv =448

YP4 = 997,76 + ( 1*374)/100 + ((-4) * (374)2)/(200*448)

=> YP4 = 995.2555357143

Hoja1A=-4-bb24ac2aProductoLcv=448-0.010.0001-0.0001357143-0.00008928570.0002357143m=1a=-0.0000446429raizb=0.010.0153529895c=0.76X1 = -59.95X2 = 283.95

Hoja1A=-4-bb24ac2aProductoLcv=448-0.010.00010.0000428571-0.00008928570.0000571429m=1a=-0.0000446429raizb=0.010.0075592895c=-0.24X1 = 27.34X2 = 196.66

Hoja1PuntoP1P2P3Progresiva (Prog)(0+500)(1+000)(1+650)Cota (Y)(995)(1.000)(980,50)

Hoja1Con:YTEcv =997.76 m =1X = 112A = -4Lcv =448

YP4 = 997,76 + ( 1*112)/100 + ((-4) * (112)2)/(200*448)

=> YP4 = 998.32