Universidad Católica del NorteDepartamento de Matemáticas

GUIA DE ALGEBRA 1 MA � 190TERCERA UNIDAD

1 FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

1. A qué expresión corresponde el desarrollo:

1

2log a� 2 log b+ log2 4 log c

2. Desarrollar:

A = log

"a2

4pb5 c1=2

c a

#3. Encontrar x:

a) log 4p33p81 = x

b) log2 x =1

2

4. Aplicando las propiedades de la función logaritmo, simpli�que la expresión:

A = log0:5

12pz�3y6x72 z�

x3y1=2 (zx+ zy)�2!+ log0:5

ry(y + x)4z2

4 z�1=16

!

5. Si log8 3 = a y log3 5 = b: Demostrar que:

a) log 5 =3ab

3ab+ 1

b) log 6 =3a+ 1

3ab+ 1

6. Dados: log 35 = a ; log 42 = b y log 16 = c. Encontrar:

a) log 3p9

b) log (4480)

7. Demostrar: logb a � logc b � loga c = 1

8. Calcular log8 0:7; sabiendo que log 2 = 0:30103; log 5 = 0:301 03 y log 7 = 0:84510

9. Demuestre que en un triángulo rectángulo se cumple que:

logh q + logh p = 2

Donde p y q, son los segmentos que determina la altura h sobre la hipotenusa.

10. Calcular el valor de:

A =log2 16 + log2 1

log 10000 + log25 5 � log2 64

1

11. Compruébese que:

log2 7 � log3 7 + log3 7 � log5 7 + log2 7 � log5 7 =log2 7 log3 7 log5 7

log30 7

12. Calcular:

A = � log2

"log2

rq:::::::::::::::::

p2

!#(n raíces positivas)

13. Resolver las siguientes ecuaciones;

a) 5 � 2x�7 � 3x = 3:456b) x

px = (

px)x

c) 4x � 3x�(1=2) = 3x+(1=2) � 22x�1

d) 2x+2 = 4x�1

e)213x+5

7x+15= 3x+15

f) 3x+1 + 2 � 32x � 2 = 0g) 9x+2 = 240 + 9x

h) ax=2 + a�x=2 = 2

i) 5x+4 + 5x+2 + 5x = 651�54�x

�j) 2 � 32x+1 � 13 � 6x + 6 � 22x = 0k) log(x+ 2) + log(x+ 3) = log 2

l)log(35� x3)log(5� x) = 3

m) log(7x� 9)2 + log(3x� 4)2 = 2n) log

p7x+ 5 + log

p2x+ 7 = 1 + log (4:5)

ñ) 3(log 345) + (4 log 3:2)x = 1586321

14. Resuélvase los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)7(logy x+ logx y) = 50

xy = 256

�

b)(ax)log a = (by)log b

blog x = alog y

�c)

x2 + y2 = 2log x+ log y = 0

�d)

10a = x2 y3

10b = x=y

�

e)2x+y = 6y3x = 3 � 2y+1

�

f)3x+2 = 4055y�3 = 8

�g)

105�3x = 27�2x

123x�4 � 187�2x = 1:458

�

2

2 PROBLEMAS

1. Sea P el Capital invertido a una tasa de r% anual, n el número de veces al año que se acumula elinterés. El monto acumulado A, después de t años, es:

A = Ph1 +

r

n

int, (fórmula de interés compuesto)

Un bono de $3000 gana 3% de interés compuesto semestralmente. Redondear a pesos el valor delbono a su vencimiento, si esto ocurre dentro de 20 años.

2. La desintegración de cierto material radiactivo está dada por:

Q = Q010�kt ,

donde Q está en gramos y t en años: Si Q0 = 500 [gr] ;encontrar k si Q = 450 [gr]. Cuandot = 1000 años.

3. Si x es el grueso de un absorvente, k es el coe�ciente de absorción e I la intensidad de un haz deradación gamma, la intensidad del haz después de pasar a través del absorvente de espesor x estádado por

I = I010�kt

Determine el coe�ciente de absorción k de un material para el cual 9; 4 [cm] de espesor reduce unhaz de 1 millón de electrón-voltios a 100 electrón-voltios de intensidad.

4. Se sabe que el número de bacterias en un cultivo crece en forma exponencial, según la fórmula:N = N0 � 10�t, donde N0 es el número de bacerias presentes al comenzar la observación, t es eltiempo en horas transcurrido desde el comienzo de la observación, N el número de bacterias alcabo de t horas y � una constante. Se observa que al cabo de 6 horas el número de bacterias haaumentado en un 50%. ¿En cuánto tiempo la colonia de bacterias doblará su número?

5. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicasrecientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilísticopuede ser modelado mediante la ecuación:

R = 6ekx

donde x: es la concentración de alcohol en la sangre y k una constante.

a) Al suponer una concentración de 0:04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%(R = 10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?.

b) Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0:17,0:19, ...).

c) Con el mismo valor de k indique la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del100%.

d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente nodeben conducir vehículos ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductorser arrestado y multado?.

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