Ejercicios para calculadora, por Gemma Cid

Matemática financiera básica

Ejercicios para calculadora Enunciados Apartado 1 La base de las matemáticas financieras En el primer apartado se reflexiona sobre el valor temporal del dinero, se aprende a capitalizar y actualizar con los dos principales regímenes financieros, y se desarrollan los conceptos de VAN, TIR y TAE, y se trata el concepto de rentabilidad real (descontando el efecto de la inflación). Ejemplos: Ejercicio 1. Comparación de capitales financieros. ¿Qué valen más, 1.000 euros de hace 10 años o 1.500 euros de hoy? Suponga una inflación media del 4% y tipo de interés compuesto vencido. Ejercicio 2. Capitalización. Si hoy disponemos de 10.000 euros y los invertimos al 3% anual durante 5 años, ¿qué capital final obtendremos si capitalizamos con régimen financiero de tipo de interés simple y compuesto? Ejercicio 3. Actualización. Si queremos obtener un capital de 20.000 euros dentro de 8 años a un tipo de interés del 5%, ¿qué importe deberemos invertir hoy en un producto con capitalización simple y otro con capitalización compuesta? Ejercicio 4. VAN. Calcular el VAN de la siguiente operación financiera: inversión inicial 200.000 euros, y cash-flows de los años 1, 2 y 3: 75.000, 100.000 y 135.000 euros. Usted estima que deber exigir a dicha inversión un 12,5%. ¿Le conviene dicha inversión?, ¿Por qué? Ejercicio 5. TIR. ¿Cuál de las siguientes es la TIR del proyecto del ejercicio anterior: 8,66%, 12,5% o 22,89%? Ejercicio 6. TAE. Calcular la TAE de los dos siguientes productos: en el primero nos ofrecen una rentabilidad del 2% para un periodo de 6 meses, y en el segundo una rentabilidad del 10% en dos años.

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Apartado 2

Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de pasivo” En el segundo apartado se analizan los depósitos bancarios. Sobre la base de lo tratado en el apartado 1 se comienza a trabajar con periodicidades diferentes a la anual (ya sea en el vencimiento o bien en los periodos de capitalización), hallando la TIR y la TAE de los productos y entendiendo su significado. Ejemplos: Ejercicio 7. Capital final. Calcula el capital final de un depósito de 1.000 euros durante 3 meses al 4,5% de interés nominal anual aplicando el régimen financiero de tipo de interés simple. Ejercicio 8. TIR y TAE. Calcula la TIR y la TAE del depósito del ejercicio anterior.

Apartado 3

Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de activo” En el tercer apartado el sujeto inversor pasa a ser el banco, que cede sus disponibilidades líquidas dando crédito al cliente mediante préstamos o descuento de efectos. Siguiendo la misma forma de trabajar que en los apartados anteriores, se tratará de obtener cuáles son los flujos de la operación financiera para saber hallar la TIR y la TAE. Como las cuotas del préstamo son una renta temporal vencida, se deducirá la fórmula para obtener dichas cuotas (que también servirá para cualquier otro producto financiero que incorpore una renta de características similares). Ejemplos: Ejercicio 9. Cuota de un préstamo. Calcula la cuota mensual de un préstamo de 10.000 euros, a 4 años, y que tiene un tipo de interés nominal anual del 9%. Ejercicio 10. TAE de un préstamo. ¿Cuál será la TAE del préstamo anterior? Ejercicio 11. Descuento de efectos. Un cliente va al banco a descontar un efecto comercial a cobrar dentro de 60 días, con un valor nominal de 2.000 euros. Si se le cobra un 12% de interés nominal anticipado y una comisión del 1%, calcula el importe efectivo que recibirá, así como la TIR y la TAE de la operación. Utiliza base=360.



Apartado 4 Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los mercados financieros En el cuarto apartado se analizan los activos negociados en mercados financieros, ya sean de deuda (o renta fija), a corto y largo plazo, y de emisores públicos o privados, y también activos de renta variable. También se analizan brevemente las inversiones en fondos de inversión. Ejemplos: Ejercicio 12. Inversión en Letras del Tesoro. Calcula el precio que se pagará por una Letra del Tesoro (nominal 1.000 euros), si cotiza a una rentabilidad implícita anual del 1% y faltan 425 días para su vencimiento. Utiliza convenio act/360. Ejercicio 13. Rentabilidad de un bono. ¿Cuál de las siguientes TIR puede ofrecer un Bono del Estado, cuyo nominal es de 1.000 euros, su vencimiento es a 4 años, y su cupón es del 3,75% si se ha pagado en la subasta un precio de 1.004 euros; 4,12%, 3,75% o 3,64%? Ejercicio 14. TAE de un fondo de inversión. Si se obtiene una rentabilidad en un fondo de inversión del 0,75% en 68 días, ¿cuál es la TAE de la operación?(utilizar act/365)

Apartado 5 Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras y los productos previsionales En el quinto y último apartado se analizan los productos previsionales en su rama financiera, haciendo especial énfasis en las rentas (tanto en aportaciones como en prestaciones), aunque también se trata la capitalización de aportaciones únicas. Ejemplos: Ejercicio 15. Valor actual de una renta temporal. Si se desea percibir una renta de 350 euros mensuales durante 15 años, ¿qué importe se debe haber ahorrado para constituir la renta si el tipo de interés de valoración es del 3% nominal anual? Ejercicio 16. Valor final de una renta temporal. Si se quiere constituir un capital para la jubilación (dentro de 25 años) de 75.000 euros, ¿cuál será el importe de la cuota mensual si el tipo de interés es del 3% nominal anual?



Ejercicios para calculadora Solucionario Apartado 1 La base de las matemáticas financieras En el primer apartado se reflexiona sobre el valor temporal del dinero, se aprende a capitalizar y actualizar con los dos principales regímenes financieros, y se desarrollan los conceptos de VAN, TIR y TAE, y se trata el concepto de rentabilidad real (descontando el efecto de la inflación).

Ejemplos:

Ejercicio 1. Comparación de capitales financieros. ¿Qué valen más, 1.000 euros de hace 10 años o 1.500 euros de hoy? Suponga una inflación media del 4% y tipo de interés compuesto vencido. Solución: no podemos comparar capitales financieros de momentos diferentes en el tiempo, pero sí podemos trasladar en el tiempo uno de ellos para compararlos referidos al mismo momento temporal. Para ello necesitamos un régimen financiero y un tipo de interés, ambas cosas se nos facilitan en el enunciado.

Si capitalizamos los 1.000 euros de hace 10 años a hoy obtenemos:

Como valen más 1.500 euros de hoy que 1.480,24 euros de hoy, podemos concluir que valen más 1.500 euros de hoy que 1.000 euros de hace 10 años.

Ejercicio 2. Capitalización. Si hoy disponemos de 10.000 euros y los invertimos al 3% anual durante 5 años, ¿qué capital final obtendremos si capitalizamos con régimen financiero de tipo de interés simple y compuesto? Solución: a tipo simple obtendremos 11.500 euros:

A tipo compuesto obtendremos 11.592,74 euros:



Ejercicio 3. Actualización. Si queremos obtener un capital de 20.000 euros dentro de 8 años a un tipo de interés del 5%, ¿qué importe deberemos invertir hoy en un producto con capitalización simple y otro con capitalización compuesta? Solución: a tipo simple hemos de invertir hoy 14.285, 71 euros:

A tipo compuesto hemos de invertir hoy 13.536,79 euros:

Ejercicio 4. VAN. Calcular el VAN de la siguiente operación financiera: inversión inicial 200.000 euros, y cash-flows de los años 1, 2 y 3: 75.000, 100.000 y 135.000 euros. Usted estima que deber exigir a dicha inversión un 12,5%. ¿Le conviene dicha inversión?, ¿Por qué? Solución: calculamos el VAN:

La inversión sí le conviene, pues ha estimado que, por sus características, debe ofrecer una rentabilidad del 12,5%. Al ser el VAN positivo indica que la rentabilidad de la operación es mayor a la tasa exigida.

Ejercicio 5. TIR. ¿Cuál de las siguientes es la TIR del proyecto del ejercicio anterior: 8,66%, 12,5% o 22,89%? Solución: recordemos que la TIR será aquella tasa que haga el VAN igual a cero:

Al tener la operación más de dos flujos no podemos hallar la TIR directamente “despejándola” de la fórmula, necesitaríamos calculadora financiera o bien hoja de cálculo (éste último cálculo se explica en los vídeos del módulo)…

… o bien sustituir las opciones que tenemos en la fórmula del VAN y ver cuál de ellas da cero:



Según estos cálculos la TIR sería la tercera (no da exactamente cero por el redondeo de decimales de la tasa 22,89)

… o bien tener en cuenta que el cálculo a la tasa del 12,5 ya nos indicaba que la rentabilidad de la operación debía ser mayor del 12,5%, por tanto, entre las tres TIR propuestas, la única que podía ser es la del 22,89%.

Ejercicio 6. TAE. Calcular la TAE de los dos siguientes productos: en el primero nos ofrecen una rentabilidad del 2% para un periodo de 6 meses, y en el segundo una rentabilidad del 10% en dos años. Solución: para pasar de TIR a TAE utilizamos siempre la misma fórmula:

Donde m es el número de veces que podemos efectuar la inversión dentro de un año. En el primer producto (6 meses) en un año podríamos realizar 2 veces dicha inversión, por tanto m=2. En el segundo producto (a 2 años), en un año podríamos realizar la mitad de la inversión, por tanto m=1/2 o bien m=0,5.

Por tanto, la TAE del primer producto es del 4,04%:

¿Quiere decir que el producto nos va a dar una rentabilidad del 4,04%? No, en un principio el producto sólo ofrece un 2% para el plazo de 6 meses, nada más, pero para poder compararlo con otros productos a un mismo plazo temporal (1 año) la TAE nos ofrece una rentabilidad equivalente al 2% semestral como el 4,04% anual, y esto es así porque presupone reinversión al mismo tipo de interés (2% semestral).

Y la TAE del segundo producto es del 4,88%:

¿Quiere decir que si cancelo el producto a un año obtendré esta rentabilidad? No, seguramente no puedo obtener los intereses hasta que hayan pasado los 2 años, y estos serán del 10%, pero para poder comparar entre productos, el 10% a dos años es como si nos diera un 4,88% el primer año, que reinvertidos de nuevo al mismo tipo (4,88%) acaba dando un 10% al finalizar el segundo año.

Es importante conocer la información que nos ofrece la TAE.

…

Los ejemplos realizados en este apartado 1 también son válidos para otros apartados, pues los “productos” o “inversiones” planteadas hasta aquí, en realidad pueden instrumentarse como un depósito (apartado 2), tratarse de una inversión por parte de una entidad que da crédito a un cliente (apartado 3), como un activo de mercados financieros, por ejemplo fondos de inversión (apartado 4), o bien productos de seguros de ahorro (apartado 5).

Pues la base que hay en el fondo de todos los productos financieros es la misma.



Apartado 2

Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de pasivo” En el segundo apartado se analizan los depósitos bancarios. Sobre la base de lo tratado en el apartado 1 se comienza a trabajar con periodicidades diferentes a la anual (ya sea en el vencimiento o bien en los periodos de capitalización), hallando la TIR y la TAE de los productos y entendiendo su significado.

Ejemplos:

Ejercicio 7. Capital final. Calcula el capital final de un depósito de 1.000 euros durante 3 meses al 4,5% de interés nominal anual aplicando el régimen financiero de tipo de interés simple. Solución: el tipo de interés del 4,5% en un año equivale al 0,375% mensual (0,045/12=0,00375), este tipo aplicado 3 meses (0,375% x 3 = 1,125%) significa un capital final de 1.011,25.

Ejercicio 8. TIR y TAE. Calcula la TIR y la TAE del depósito del ejercicio anterior. Solución: la TIR la podemos calcular directamente, ya que sólo hay dos flujos: uno hoy otro dentro de 3 meses. Por tanto, la TIR que obtendremos será trimestral, y será del 1,125%:

La TIR del depósito (su rentabilidad) es igual al tipo de interés nominal para los 3 meses. Esto es así porque no existen otros flujos (por ejemplo comisiones) que afecten a la inversión.

La TAE la calcularemos como siempre (en este caso elevamos a 4, ya que hay 4 periodos trimestrales en un año), y será del 4,58%:



Apartado 3 Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de activo” En el tercer apartado el sujeto inversor pasa a ser el banco, que cede sus disponibilidades líquidas dando crédito al cliente mediante préstamos o descuento de efectos. Siguiendo la misma forma de trabajar que en los apartados anteriores, se tratará de obtener cuáles son los flujos de la operación financiera para saber hallar la TIR y la TAE. Como las cuotas del préstamo son una renta temporal vencida, se deducirá la fórmula para obtener dichas cuotas (que también servirá para cualquier otro producto financiero que incorpore una renta de características similares).

Ejemplos:

Ejercicio 9. Cuota de un préstamo. Calcula la cuota mensual de un préstamo de 10.000 euros, a 4 años, y que tiene un tipo de interés nominal anual del 9%. Solución: el préstamo tendrá 48 cuotas (4x12) idénticas, por lo que se trata de una renta temporal vencida, por ello podemos utilizar la fórmula del valor actual de una renta de estas características.

El tipo de interés mensual será del 0,75% (0,09/12=0,0075). Conocemos el valor temporal (VA=10.000 euros, el principal del préstamo) y deberemos despejar la cuota (C), que será de 248,84 euros (puede variar el segundo decimal dependiendo de los decimales que se arrastren).

Ejercicio 10. TAE de un préstamo. ¿Cuál será la TAE del préstamo anterior? Solución: para obtener la TAE siempre debemos partir de la TIR, en este caso la TIR será mensual. ¿Conocemos ya la TIR de éste préstamo? Sí, porque no tiene más flujos que los derivados del cálculo de las cuotas (no tiene comisiones ni ningún otro flujo que le afecte), por tanto la TIR mensual es igual al 0,75% (0,0075) que es el tipo de interés utilizado para calcular las cuotas.

Una vez conocemos la TIR mensual, el cálculo de la TAE es sencillo, del cual obtendremos una TAE del 9,38%:



Pero incluso antes de realizar ningún cálculo ya sabíamos cosas sobre la rentabilidad del préstamo.

Primero, que la TAE debía ser necesariamente… ¿mayor o menor al 9%, que es el tipo de interés nominal? Si hubiera comisiones claramente habría de ser superior, pero incluso sin ellas también, fijémonos que los pagos son mensuales, por tanto el cliente no paga el primer 9% al finalizar el primer año, sino que avanza capital cada mes. Esto es una ventaja (más rentabilidad) para la entidad que realiza el préstamo, y una desventaja (más coste) para el cliente. Por tanto TAE mayor.

¿Y sobre la TIR? Pues ya hemos dicho que al no haber comisiones, la TIR mensual es igual al tipo de interés mensual. ¿Y si hubiera comisiones? Sabríamos que la entonces la TIR mensual debería ser mayor al tipo de interés mensual (y la TAE también aumentaría). El cálculo exacto de la TIR lo deberíamos realizar con hoja de cálculo.

Ejercicio 11. Descuento de efectos. Un cliente va al banco a descontar un efecto comercial a cobrar dentro de 60 días, con un valor nominal de 2.000 euros. Si se le cobra un 12% de interés nominal anticipado y una comisión del 1%, calcula el importe efectivo que recibirá, así como la TIR y la TAE de la operación. Utiliza base=360. Solución: utilizando el régimen financiero de interés simple anticipado, los 2.000 euros de dentro de 60 días se transforman en:

Pero este importe no será el que reciba el cliente, pues se le cobra una comisión de 20 euros (1% sobre 2.000). Por tanto, el efectivo que recibirá será de 1.940 euros (1.960-20).

El banco invierte hoy 1.940 euros y recibirá 2.000 euros dentro de 60 días, esto supone una rentabilidad (TIR de 60 días) del 3,09%:

Para calcular la TAE necesitamos saber cuántos periodos de 60 días hay en 360 (o de dos meses dentro de un año) que son 6. También podríamos entrar directamente 360/60 en la fórmula. En cualquier caso, la TAE que obtenemos es del 20,05%

¿Por qué la TAE es tan elevada, del 20,05%, si el tipo de interés es del 12%? Por dos razones, como en el caso del préstamo, en primer lugar porque el pago no se realiza anual, sino en este caso por 90 días (recordemos que la TAE supone reinversión de los pagos realizados, ventaja para el banco y coste para el cliente), y además porque se cobra una comisión del 1%, que es independiente del plazo de la operación, por tanto más perjudicial para el cliente (y beneficiosa para el banco) cuanto menor dicho plazo.



Apartado 4 Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los mercados financieros En el cuarto apartado se analizan los activos negociados en mercados financieros, ya sean de deuda (o renta fija), a corto y largo plazo, y de emisores públicos o privados, y también activos de renta variable. También se analizan brevemente las inversiones en fondos de inversión.

Ejemplos:

Ejercicio 12. Inversión en Letras del Tesoro. Calcula el precio que se pagará por una Letra del Tesoro (nominal 1.000 euros), si cotiza a una rentabilidad implícita anual del 1% y faltan 425 días para su vencimiento. Utiliza convenio act/360. Solución: utilizando la fórmula de actualización a más de un año obtenemos un precio de 988,32 euros.

Ejercicio 13. Rentabilidad de un bono. ¿Cuál de las siguientes TIR puede ofrecer un Bono del Estado, cuyo nominal es de 1.000 euros, su vencimiento es a 4 años, y su cupón es del 3,75% si se ha pagado en la subasta un precio de 1.004 euros; 4,12%, 3,75% o 3,64%?

Solución: si queremos realizar el cálculo exacto de la TIR necesitamos hoja de cálculo (tal y como se explica en los videos del material), ya que la operación financiera tiene 5 flujos:

Pero sí podemos deducir cuál de las tres TIRs que nos proponen es la correcta. Sabemos que si el precio de subasta hubiera sido de 1.000 euros, la TIR que ofrecería este Bono sería del 3,75%, idéntica al cupón. Si hemos tenido que pagar un precio mayor, esto necesariamente implica que nuestra rentabilidad será menor; por tanto la TIR deberá ser del 3,64%.

Ejercicio 14. TAE de un fondo de inversión. Si se obtiene una rentabilidad en un fondo de inversión del 0,75% en 68 días, ¿cuál es la TAE de la operación?(utilizar act/365) Solución: la TAE o tasa anual equivalente al 0,75% en 68 días es del 4,09%



Apartado 5 Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras y los productos previsionales En el quinto y último apartado se analizan los productos previsionales en su rama financiera, haciendo especial énfasis en las rentas (tanto en aportaciones como en prestaciones), aunque también se trata la capitalización de aportaciones únicas.

Ejemplos:

Ejercicio 15. Valor actual de una renta temporal. Si se desea percibir una renta de 350 euros mensuales durante 15 años, ¿qué importe se debe haber ahorrado para constituir la renta si el tipo de interés de valoración es del 3% nominal anual? Solución: como la renta es mensual, se cobrarán 180 cuotas (15x12), y el tipo de interés mensual será del 0,25% (0,03/12=0,0025). Con estos datos ya podemos calcular el valor actual de la renta, que será de 50.681,96 euros (puede haber pequeñas diferencias según los decimales que se arrastren).

Este será el importe que se deberá tener constituido si se quiere cobrar como una renta mensual de 350 euros durante 15 años.

Ejercicio 16. Valor final de una renta temporal. Si se quiere constituir un capital para la jubilación (dentro de 25 años) de 75.000 euros, ¿cuál será el importe de la cuota mensual si el tipo de interés es del 3% nominal anual? Solución: sabemos que el número de cuotas será de 300 (25x12), y el tipo de interés mensual será del 0,25% (0,03/12=0,0025). Pero la fórmula que hemos utilizado hasta ahora permite hallar el valor inicial de la renta, por tanto deberemos hacer un primer paso y calcular los 75.000 euros de dentro de 25 años (valor final de la renta) a qué cantidad de euros de hoy equivalen (valor actual de la renta):

Ahora sí podemos despejar la cuota en el cálculo habitual que hacemos en las rentas, obteniendo una cuota mensual de 168,16 euros durante 25 años para conseguir constituir un capital de 75.000 euros al final de dicho periodo:



De la misma forma, si el enunciado nos proporcionase la cuota (168,1585 euros), el tipo de interés y el plazo, para obtener el valor final primero obtendríamos el valor inicial mediante la fórmula (hallando 35.460,665 euros), que posteriormente capitalizaríamos para hallar el valor final (75.000 euros).


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