Ejercicios Resueltos de Estadistica II

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RESUMEN DE EJERCICIOS DADOS EN CLASES

POR:

EILEEN JOHANA ARAGONES GENEY

DOCENTE:

JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL

CARTAGENA PRIMER SEMESTRE DE 2006

DISTRIBUCIONES

ESTIMACIÓN

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Grupo Métodos Cuantitativos de Gestión

Programa de Administración Industrial

Universidad de Cartagena

EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 2

TABLA DE CONTENIDO

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................................................................. 3

Ejercicio 1.1 ........................................................................................................... 3

2. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN

NORMAL................................................................................................................. 4

Ejercicio 2.1 ........................................................................................................... 4

3. DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES.................................................... 5

Ejercicio 3.1 ........................................................................................................... 5

Ejercicio 3.2 ........................................................................................................... 5

4. DISTRIBUCIÓN DE LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS MUESTRALES............. 6

Ejercicio 4.1 ........................................................................................................... 6

5. DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES..................................... 7

Ejercicio 5.1 ........................................................................................................... 7

6. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES .. 8

Ejercicio 6.1 ........................................................................................................... 8

7. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT ............................................................................. 9

Ejercicio 7.1 ........................................................................................................... 9

8. DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO ................................................................... 10

Ejercicio 8.1 ......................................................................................................... 10

9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ................................................................... 11

Ejercicio 9.1. ........................................................................................................ 11

Ejercicio 9.2 ......................................................................................................... 11

Ejercicio 9.3. ........................................................................................................ 12

Ejercicio 9.4. ........................................................................................................ 13

Ejercicio 9.5 ......................................................................................................... 14

Ejercicio 9.6 ......................................................................................................... 14

Ejercicio 9.7 ......................................................................................................... 15

10. PRUEBA DE HIPÓTESIS ............................................................................... 16

Ejercicio 10.1 ....................................................................................................... 16


1. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejercicio 1.1

Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C?

SOLUCIÓN

a.

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C es de 20,33%

b.

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5°C es de 10,56%.


2. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Ejercicio 2.1

De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el 50% de los productos normalmente sale defectuoso. SOLUCIÓN

P(X=20) = 3.97% n = 31 P = 50% Q = 50% Z1 = (19.5-15.5)/2.78 = 1.43 Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79 P(X=20) = P(1.43<Z<1.79) = 0.4633-0.4236 = 3.97% La probabilidad de que 20 productos salgan defectuosos es de 3.97%.


3. DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES

Ejercicio 3.1

Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio? SOLUCIÓN

)5.24( horasXP > = 4.85% µ = 30 horas de duración σ = 3 horas n = 100 pilas

La probabilidad de que el promedio de la vida útil de las pilas supere las 24.5 horas es de 4.85%.

Ejercicio 3.2

Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.01 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0.21 cm?. SOLUCIÓN

La probabilidad es de aproximadamente 0%.


4. DISTRIBUCIÓN DE LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS MUESTRALES.

Ejercicio 4.1

En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿En cuál de la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas?. SOLUCIÓN µ1= 100 libras µ2= 85 libras σ1= 14.142 libras σ2= 12.247 libras n1= 20 niños n2= 25 niñas

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 10.56%.


5. DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES

Ejercicio 5.1

Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%? SOLUCIÓN

P = 40% Q =60% N =1660

La probabilidad es de aproximadamente el 0%.


6. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES

Ejercicio 6.1

Porcentaje de Votantes

Candidato 1 30%

Candidato 2 40%

Candidato 3 30%

¿Cuál es la probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2? SOLUCIÓN

P1 = 30% ; Q1 = 70% P2 = 40% ; Q2 = 60% N = 100

La probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2 es del 6.81%


7. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

Ejercicio 7.1 Un fabricante de focos afirma que us producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 521 511 513 510 µ=500 h

513 522 500 521 495 n=25

496 488 500 502 512 %90=c

N

510 510 475 505 521 36.505=X

506 503 487 493 500 S=12.07

SOLUCIÓN

α = 1-Nc = 10% v = n-1 = 24 t = 2.22 Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de 500.


Nc = 95%

816.32/2

1=− αX 920.212/

2=αX

21.9

2.5%

97.5%

8. DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

Ejercicio 8.1 Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8-9.7-10.5-12.1-13.3-13.4-10.3-8.5-15.0-10.5-7.6-6.3. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.2 años? SOLUCIÓN

σ = 1.2 µ = 10 s = 2.53 n =12 V =11 X2 = 48.8 De acuerdo a lo anterior se puede observar que la desviación poblacional es mayor que 1.2 años (debido a que el valor de Chi Cuadrado es muy alto y por lo tanto no cae dentro del intervalo de confianza para una muestra de 12).


+176.77

-172.23

9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL CON DESVIACIÓN POBLACIONAL CONOCIDA.

Ejercicio 9.1. La lectura de una muestra aleatoria mostraron una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Determine un intervalo de confianza del 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. SOLUCIÓN

;

σ = 6.9 n = 50 Nc= 98%

µ=

ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON DESVIACIONES POBLACIONALES CONOCIDAS

Ejercicio 9.2 Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia ala tensión. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78.3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87.2 Kg. Se sabe de antemano que las


-6.56

-11.24

desviaciones poblacionales son de 6.5 Kg para la marca A y 6.3 Kg para la B. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales. SOLUCIÓN

σ1 = 5.6 Kg σ2 = 6.3 Kg n1 = n2 = 50

µ1-µ2=

La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL CON DESVIACIÓN POBLACIONAL DESCONOCIDA

Ejercicio 9.3. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son: 1.01-0.97-1.03-1.04-0.99-0.98-0.99-1.01-1.03. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina si se supone una distribución aproximadamente normal. SOLUCIÓN

n = 9 V = 8

= 1.0055 S = 0.02455


0.978

1.032

114.09

5.524

µ = e = 0.027 cm La máquina está produciendo cilindros con un diámetro entre 0.978 cm y 1.032 cm con un nivel de confianza del 99% y con un error de 0.027 cm ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON DESVIACIONES POBLACIONALES DESCONOCIDAS

Ejercicio 9.4. Los zoólogos están interesados en la distancia promedio que un cierto tipo de mamífero viaja desde su madriguera. Un equipo de vigilancia observa dos poblaciones de estos mamíferos, la información en metros de la población 1 fue: 176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144, y de la población 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de la distancia desde la madriguera de las dos poblaciones, suponga que las desviaciones poblacionales son iguales. SOLUCIÓN

S1 = 54.58 S2 = 31.39 n1 = 14 n2 = 10 Sp2 = 2163.39 m2 Sp = 46.51 m µ1-µ2 =

µ1 en ambos casos debe ser mayor.


71.02%

62.31%

ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

Ejercicio 9.5 Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores que prefieran su marca. Los agentes de la compañía observan a 450 compradores, del número total observado 300 compraron los pastelillos. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que prefieren la marca de esta compañía. SOLUCIÓN

P = La demanda del producto fluctúa entre 62.31% que sería lo mínimo y 71.02% que sería lo máximo. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES

Ejercicio 9.6 Oficiales escolares comparan el coeficiente intelectual entre niños de dos grupos. De una muestra de 159 niños del grupo 1 78 califican con más de 100 puntos, de una muestra de 250 niños del grupo 2 123 califican con más de 100 puntos. Construya un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos proporciones del grupo 1 y 2 de los niños con califican con más de 100.


Nc = 95%

X2

2/2

1α−X 2/

2αX

-10.08%

9.78%

=2

σ

2/

)1(2

2

αX

Sn −

2/

)1(2

1

2

α−

−

X

Sn

0.065

0.0028

SOLUCIÓN

q1 = 50.95% q2 = 50.8% P1 – P2= Se puede concluir que no hay un grupo mejor que el otro en ambos caso ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA O DESVIACIÓN POBLACIONAL

Ejercicio 9.7

Dada la siguiente muestra 1.02 - 0.87 -1.08 -1.09 -1.04. Determinar la estimación de la desviación poblacional.

S = 0.089

σ =

La estimación poblacional de la desviación esta entre 0.065 y 0.0025.


10. PRUEBA DE HIPÓTESIS

Ejercicio 10.1 Una encuesta revela que los 100 autos particulares, que constituyen una muestra aleatoria, se condujeron a un promedio de 12500 Km. Durante un año, con una desviación estándar de 2400 Km. Con base en esta información, docimar la hipótesis donde, en promedio, los autos particulares se condujeron a 12000 Km durante un año, frente a la alternativa de que el promedio sea superior. Utilizar el nivel de significación. SOLUCIÓN

H0: µ = 12000 Ha: µ > 12000 n = 100

S = 2400 α = 0.05 Zcalc = 2.083 Rechazamos la hipótesis de que µ es igual a 12000, luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%.

0 Zα

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