NDICE

ANLISIS Y DISEO DE EJES PARA LA TRANSMISIN DE POTENCIA

INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 1

1. ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIN ......................................................................... 3

1.1. PROCEDIMIENTO DE DISEO DE FLECHAS O EJES .............................................................. 3

1.2. FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA SOBRE FLECHAS O EJES ................ 5

1.2.1. RUEDAS DENTADAS ..................................................................................................... 6

1.2.2. ENGRANES HELICOIDALES ........................................................................................... 7

1.2.3. RUEDAS O POLEAS DE CADENA................................................................................... 7

1.2.4. POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V ................................................... 8

1.2.5. POLEAS DE BANDA PLANA ........................................................................................ 10

1.2.6. COPLES FLEXIBLES ..................................................................................................... 10

1.3. CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES .................................................. 11

1.3.1. VALORES PRELIMINARES DE DISEO Kt .................................................................... 11

1.3.2. CUEROS ................................................................................................................... 11

1.3.3. CHAFLANES DE HOMBROS ........................................................................................ 12

1.3.4. RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIN .................................................................... 14

1.4. TENSIONES DE DISEO PARA FLECHAS O EJES.................................................................. 15

1.4.1. TENSIN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEO ....................................................... 15

1.4.2. TENSIN NORMAL DE DISEO, CARGA QUE GENERA FATIGA ................................. 16

1.4.3. FACTOR DE DISEO, N............................................................................................... 18

1.5. FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIN Y TORSIN.................................................................. 19

2. ANLISIS Y DISEO POR RESISTENCIA ESTTICA ...................................................................... 21

2.1. RESISTENCIA ESTTICA...................................................................................................... 24

2.2. CONCENTRACIN DEL ESFUERZO ..................................................................................... 25

2.3. HIPTESIS DE FALLA .......................................................................................................... 29

2.3.1. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DEL EMC (TRESCA O GUEST) ............................. 32

2.3.2. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DE LA ENERGA DE DEFORMACIN .................. 34

2.3.3. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DE LA FRICCIN INTERNA ................................. 40

Ejemplo 2-1 ................................................................................................................................... 43

2.3.4. CRTICA A LAS HIPTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES DCTILES .......... 44

2.3.5. MATERIALES FRGILES: HIPTESIS DEL ESFUERZO NORMAL MXIMO (RANKINE) . 47

2.3.6. MATERIALES FRGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPTESIS DE MOHR .................. 48

2.4. CRTICA A LAS HIPTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES FRGILES .................. 51

2.5. QU NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA............................................................. 52

2.6. CARGA ESTTICA O CUASIESTTICA EN UN EJE ................................................................ 55

2.6.1. CARGA ESTTICA O CUASIESTTICA DE UN EJE: FLEXIN Y TORSIN ...................... 56

Ejemplo 2-2 ................................................................................................................................... 57

Ejemplo 2-3 DISEO PRELIMINAR DE UN EJE ............................................................................... 60

3. ANLISIS Y DISEO POR RESISTENCIA A LA FATIGA.................................................................. 65

3.1. INTRODUCCIN A LA FATIGA EN METALES....................................................................... 65

3.2. RELACIONES DEFORMACIN-VIDA ................................................................................... 67

3.3. RELACIONES ESFUERZO-VIDA............................................................................................ 72

3.4. LMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................ 75

3.5. RESISTENCIA A LA FATIGA ................................................................................................. 77

3.6. FACTORES QUE MODIFICAN EL LMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA ............................. 78

3.6.1. FACTOR DE SUPERFICIE ka ......................................................................................... 79

3.6.2. FACTOR DE TAMAO kb ............................................................................................ 80

3.6.3. FACTOR DE CARGA kC ................................................................................................ 82

3.6.4. FACTOR DE TEMPERATURA Kd................................................................................... 84

3.6.5. FACTOR DE EFECTOS DIVERSOS ke ............................................................................ 87

3.7. CONCENTRACIN DE ESFUERZO Y SENSIBILIDAD A LA MUESCA ...................................... 89

Ejemplo 3-3 ................................................................................................................................... 94

3.8. RESISTENCIA A LA FATIGA POR TORSIN BAJO ESFUERZOS PULSANTES ....................... 100

3.9. CARGAS COMBINADAS.................................................................................................... 101

Ejemplo 3-4 ................................................................................................................................. 102

4. ANLISIS Y DISEO POR COMPUTADORA ............................................................................... 107

Ejemplo 4-1 ................................................................................................................................. 107

4.1. EXPLICACIN DEL EJEMPLO ............................................................................................ 107

4.2. ARMADO DEL EJE ............................................................................................................ 109

4.3. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS............................................................................................ 111

CONCLUSIN ................................................................................................................................... 115

BIBLIOGRAFA .................................................................................................................................. 116

INTRODUCCIN

Los ejes de transmisin o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de flexin, tensin, compresin o torsin, que actan individualmente o combinadas. En este ltimo caso es de esperar que la resistencia esttica y la fatiga sean consideraciones importantes de diseo, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultnea a la accin de esfuerzos estticos, completamente invertidos en forma alternante, y repetidos sin cambio de sentido.El trmino eje abarca otras variedades, como los ejes de soporte y los husillos. Un eje de soporte es el que no transmite carga de torsin y puede ser fijo o rotatorio. Un eje de transmisin rotatorio de corta longitud se denomina husillo.Cuando la deformacin lateral o torsional de un eje debe mantenerse dentro de lmites estrechos, entonces hay que fijar sus dimensiones considerando tal deformacin antes de analizar los esfuerzos. La razn es que si un eje se hace lo bastante rgido para que esas deformaciones no sean considerables, es probable que los esfuerzos no rebasen la seguridad, pero de ninguna manera debe suponer el diseador que son seguros, casi siempre es necesario calcularlos para comprobar que estn dentro de lmites aceptables.Siempre que sea posible los elementos de transmisin de potencia, como engranes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte. Esto reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexin y el esfuerzo por flexin.

En los siguientes captulos se hablar de los antecedentes de los ejes de transmisin as como el anlisis y diseo por resistencia esttica y resistencia a la fatiga, tambin se explicar como manejar el programa Autodesk Inventor Professional 2010 para el anlisis y diseo de ejes.

CAPTULO 1

ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIN

1. ANTECEDENTES DE LOS EJES DE TRANSMISIN

Un eje, flecha o rbol es un elemento cilndrico, de seccin circular, que puede estar fijo o estar girando, adems es el componente de los dispositivos mecnicos que transmite energa rotacional y potencia, Es parte integral de dispositivos o artefactos como reductores de velocidad tipo engrane, impulsores de banda o cadena, transportadores, bombas, ventiladores, agitadores y muchos tipos de equipo para automatizacin. En el proceso de transmitir potencia a una velocidad de giro o velocidad rotacional especfica, el eje se sujeta, de manera inherente, a un momento de torsin o torque. Por consiguiente, en el eje se genera tensin por esfuerzo de corte por torsin. A su vez, por lo regular, un eje soporta componentes transmisores de potencia como engranes, poleas acanaladas para bandas o ruedas dentadas de cadena, ejercen fuerzas sobre el eje en sentido transversal, es decir perpendicular a su eje. Estas fuerzas transversales provocan que se generen momentos de flexin en el eje, ello requiere de un anlisis de tensin a la flexin.

1.1. PROCEDIMIENTO DE DISEO DE FLECHAS O EJES

Debido a la aparicin simultnea de tensiones por esfuerzo de corte por torsin y tensiones normales que se deben a la flexin, el anlisis de una flecha o eje virtualmente implica siempre el uso de un enfoque combinado para el aspecto de las tensiones. El mtodo que se sugieres para el diseo de ejes es el de la teora de la falla por distorsin de la energa. En ocasiones, se presentan tambin por esfuerzo de corte vertical y tensiones normales directas que se deben a cargas axiales, sin embargo, su efecto es, por lo regular, mnimo a tal grado que es vlido omitirlas. En ejes extremadamente cortos o en partes de ellos en los que no se generan torsin o flexin, es probable que predominen tales tensiones.

Las actividades especficas que deben realizarse en el diseo y anlisis de una flecha o eje dependen del diseo que se haya propuesto, as como de la forma en que se encargue y se soporte. Con esto en mente, se sugiere el procedimiento siguiente para el diseo de un eje.

1. Determine la velocidad de giro del eje o flecha.

2. Calcule la potencia o el torque que va a transmitir el eje.

3. Determine el diseo de los componentes transmisores de potencia u otros dispositivos que se pretenda montar en la flecha y especifique su ubicacin que se necesita dar a cada dispositivo.

4. Precise la ubicacin de los cojinetes en los que se apoyar el eje. Se supone que las reacciones en los cojinetes que soportan cargas radiales ejercen accin en el punto medio de los cojinetes. Por ejemplo, si se utiliza un cojinete de bola de hilera nica, se supone que la trayectoria de la carga pasa directamente a travs de los balines. Si en el eje existen cargas de empuje, o sea axiales, deber especificar que cojinete debe disearse para que reaccione en contra de la carga de empuje. Por consiguiente se permitir que el cojinete que no ejerce resistencia contra el empuje se desplace un poco en el sentido axial para asegurar que no se ejerza carga axial indeseable e inesperada sobre ese cojinete. Otro concepto importante es que casi siempre se utilizan dos cojinetes para dar soporte a una flecha. Deben colocarse, de ser posible, en cualquier extremo de los elementos que transmiten potencia para proporcionar soporte estable a la flecha y generar una carga razonable bien balanceada en los cojinetes; stos se deben colocar cerca de los elementos que transmiten potencia a fin de minimizar los momentos de flexin. Adems, la longitud total de la flecha debe ser mnima para mantener las deflexiones en un nivel aceptable.

5. Proponga la forma general de la geometra para el eje o flecha, considerando de qu manera se mantendr en posicin axialmente y como se llevar a cabo la transmisin de potencia a partir de cada elemento hacia el eje.

6. Calcule la magnitud del torque que se observa en todos los puntos del eje. Se sugiere elaborar una grfica de torque.

7. Calcule las fuerzas que ejercen accin sobre el eje, tanto radial como axialmente.

8. Determine las fuerzas radiales en componentes en sentidos perpendiculares, por lo regular tanto vertical como horizontalmente.

9. Calcule las reacciones en todos los cojinetes de soporte en cada plano.

10. Elabore las grficas completas de fuerza de corte y de momento de flexin para determinar la distribucin de los momentos de la flexin sobre el eje.

11. Elija el material con que se va a fabricar el eje y especifique su condicin: extruido en fro con tratamiento trmico y dems.

12. Calcule una tensin de diseo adecuada, considerando la manera en que se aplica la carga suave, de choque, sucesiva e inversa o de otro tipo

13. Analice cada punto crtico del eje para determinar el dimetro mnimo aceptable del eje para verificar la seguridad bajo aplicacin de carga en cada punto. En general, los puntos crticos son numerosos e incluyen aquellos donde tiene lugar un cambio de dimetro, donde se generan los valores ms altos de torques y de momento de flexin y donde se presentan concentraciones de tensin.

14. Especifique las dimensiones finales para cada punto en el eje. Por lo regular, se utilizan los resultados del paso 13 a manera de parmetro, despus se elijen los valores convenientes. Deben especificarse, a su vez, detalles como tolerancias, radio de los chaflanes, altura de los hombros, y dimensiones de los cueros. A veces, el tamao y la tolerancia para el dimetro de un eje son dictados por el elemento que va a montarse ah. Poe ejemplo, los catlogos de los fabricantes de cojinetes incluyen limites que se sugieren para los dimetros de los asientos de los engranes en los ejes.

1.2.FUERZAS QUE EJERCEN ELEMENTOS DE MAQUINARIA SOBRE FLECHAS O EJESLos engranes, poleas acanaladas para bandas, y otros elementos que casi siempre son soportados por ejes o flechas, ejercen fuerzas sobre los ejes que dan lugar a momentos de flexin. El siguiente es un anlisis de los mtodos que se utilizan para calcular estas fuerzas, en algunos casos. En general, tendr que utilizar los principios de la estadstica y la dinmica para determinar las fuerzas para cualquier elemento en particular.

1.2.1. RUEDAS DENTADAS

Como se ilustra en la figura 1-1, la fuerza que se ejerce sobre los dientes de perpendicular, al perfil evolvente de los dientes. En el anlisis de ejes, conviene considerar los componentes rectangulares de esta fuerza que ejercen su accin en sentido radial as como tangencial. Ms conveniente an es calcular la fuerza tangencial, Wt directamente del torque que se conoce, el cual es transmitido por el engrane. Para unidades del sistema britnico:

T = 63 000 (P)/n Ecuacin (1-1) Wt = T/(D/2) Ecuacin (1-2)Donde P es la potencia que se transmite en hp, n es la velocidad de giro enrpm, T es el torque en libras por pulgada y D es el dimetro de holgura del engrane en pulgadas.

El ngulo entre la fuerza total y el componente tangencial es igual al ngulo de presin, , de la forma de los dientes. Por consiguiente, si se conoce la fuerza tangencial, la fuerza radial puede calcularse directamente a partir de:

Wr = Wt tan Ecuacin (1-3)

No es necesario calcular la fuerza total. Para engranes, el ngulo de presin por lo regular es 14 1/2o, 20o o 25o.

Figura 1-1 Fuerzas en los dientes de engranes

1.2.2. ENGRANES HELICOIDALES

Adems de las fuerzas tangencial y radial que se presentan con las ruedas dentadas, los engranes helicoidales generan una fuerza axial. Primero, calcule la fuerza tangencial a partir de las ecuaciones (1-1) y (1-2). Despus, si el ngulo helicoidal del engrane es , y el ngulo de presin normal es n, es posible calcular la carga radial a partir de:

Wr = Wt tang n/cos Ecuacin (1-4)

La carga axial es:

Wa = Wt tan Ecuacin (1-5)

1.2.3. RUEDAS O POLEAS DE CADENA

La figura 1-2 ilustra un par de ruedas o poleas de cadena que transmiten potencia. La parte superior de la cadena se somete a una tensin y genera el torque en cualquiera de las ruedas. A la parte inferior de la cadena se le da el nombre de lado flojo, y no ejerce fuerza alguna en ninguna de las ruedas. Por tanto, la fuerza total de flexin en el eje que soporta a la rueda es igual a la tensin en el lado tenso de la cadena. Si se conoce el torque en alguna rueda,

Fc = T/(D/2) Ecuacin (1-6)

Donde D es el dimetro de la holgura de esa rueda. Observa que la fuerza, Fc, acta en el sentido del lado tenso de la banda. Debido a la diferencia de tamao entre las dos ruedas, ese sentido se encuentra a cierto ngulo respecto a la lnea del centro entre los centros del eje. Un anlisis exacto exigira que la fuerza Fc, se despejara en componentes paralelos a la lnea central, y perpendiculares a ella. Esto es,

Fcx = Fc cos y Fcy = Fc sen

Figura 1-2 Fuerzas en ruedas dentadas de cadenas

Donde el sentido x es paralelo a la lnea y el sentido y es perpendicular a ella. El ngulo es el ngulo de inclinacin del lado tenso de la cadena respecto al sentido x.

1.2.4. POLEAS ACANALADAS PARA BANDAS EN FORMA V

El aspecto general del sistema impulsor mediante una banda en V es similar al sistema impulsor por medio de cadena. No obstante, presenta una diferencia importante. Ambos lados de la banda en forma de V se encuentran en tensin, como indica la figura 1-3. La tensin en el lado tenso, F1, es de mayor magnitud que la tensin en el lado flojo, F2, por consiguiente, existe una fuerza neta de impulso en las poleas acanaladas que equivale a La magnitud de fuerza neta de impulso puede calcularse a partir del torque que se transmite

FN = F1 F2 Ecuacin (1-7) FN = T/(D/2) Ecuacin (1-8)

Observe, sin embargo, que la fuerza de flexin en el eje que soporta a la polea acanalada depende de la suma F1 + F2 = FB. Para ser ms exactos, deben utilizarse los componentes de F1 y F2 paralelos a la lnea de los centros de las dos ruedas dentadas. No obstante, a menos que las dos ruedas dentadas sean muy diferentes en el dimetro, ser mnimo el error que presente como consecuencia de FB = F1 + F2.

Para determinar la fuerza de flexin FB, se requiere de una segunda ecuacin en la que intervengan las dos fuerzas F1 y F2. Esto se obtiene al suponer que existe entre la tensin del lado tenso y la tensin del lado flojo. Para impulsores de banda en forma de V, se considera, por lo regular, que esta relacin es

F1/F2 = 5 Ecuacin (1-9)

Es conveniente obtener una relacin entre FN y FB a partir de la forma

FB = CFN Ecuacin (1-10)

Donde C es una constante a determinar

Ecuacin (1-11)

Sin embargo, a partir de la ecuacin (1-9), F1 = 5 F2. As,

Entonces, para bandas en forma de V, la ecuacin (1-10) se convierte en,

FB = 1.5 FN = 1.5T/(D/2) Ecuacin (1-12)

Se acostumbra considerar que la fuerza de flexin, FB, acta como una sola fuerza a lo largo de la lnea de los centros de las dos poleas acanaladas, como se ilustra en la figura 1-3.

Figura 1-3 Fuerzas en poleas acanaladas para bandas o poleas

1.2.5. POLEAS DE BANDA PLANA

El anlisis de la fuerza de flexin que ejercen sobre los ejes las poleas para bandas planas es idntico al de las poleas para bandas en forma de V, excepto que por lo regular se considera que la relacin entre la tensin del lado tenso y la tensin del lado flojo es de 3 en lugar de 5. Si se utiliza la misma lgica que con las poleas acanaladas para bandas en forma de V, podemos calcular que la constante C es 2.0. Por consiguiente, para impulsores de banda plana.

FB = 2.0 FN = 2.0 T/(D/2) Ecuacin (1-13)

1.2.6. COPLES FLEXIBLES

Un cople flexible se emplea para transmitir potencia entre varas flechas o ejes en tanto se subsanan desalineaciones de menor importancia en los sentidos radial, angular o axial. Por tanto, los ejes subyacentes a los coples se sujetan a torsin, pero las desalineaciones no generan cargas axiales o por flexin.

1.3. CONCENTRACIONES DE TENSIONES EN FLECHAS O EJES

Para montar y ubicar en forma correcta los distintos tipos de elementos mecnicos en los ejes, por lo regular, el diseo final incluye varios dimetros, cueros, ranuras para anillos y otras discontinuidades geomtricas que dan lugar a concentraciones de tensin o esfuerzo.

Estas concentraciones de tensin deben ser tomadas en cuenta durante el anlisis de diseo. Sin embargo, se presenta un problema debido a que cuando se inicia el proceso de diseo se desconoce los valores reales de diseo correspondientes a los factores de concentracin de tensin. La mayor parte de los valores depende de los dimetros del eje y de la geometra de los chaflanes y, las ranuras de stos, son los objetivos del diseo.

El dilema puede superarse estableciendo un conjunto de valores preliminares de diseo para factores de concentracin de tensin, los cuales pueden utilizarse para obtener estimados iniciales para los dimetros de los ejes mnimos aceptables. As, una vez que se seleccionan las dimensiones afinadas, se puede analizar la geometra final para calcular los valores reales para los factores de concentracin de tensin. Comparar los valores finales con los preliminares le permitir juzgar la aceptabilidad del diseo.

1.3.1. VALORES PRELIMINARES DE DISEO Kt

Aqu se consideran los tipos de discontinuidades geomtricas que se encuentran con ms regularidad en ejes que transmiten potencia: cueros, chaflanes de hombros y ranuras para anillos de sujecin. En cada caso, de un valor de diseo que se sugiere relativamente alto se obtiene un resultado conservador para la primera aproximacin hacia el diseo. De nuevo, se hace nfasis que en el diseo final debe verificarse la seguridad. Esto es, si el valor final es ms bajo que el valor original de diseo, el diseo an es seguro. Por el contrario, si el valor final es ms alto, habr que analizar otra vez las tensiones para el diseo.

1.3.2. CUEROS

Un cuero consiste en una ranura longitudinal que se corta en un eje o una flecha para montar una cua, ello permite transferir torque a partir del eje hacia un elemento que transmite potencia o viceversa.

Dos son los tipos de cueros que se utilizan con mayor frecuencia: el de perfil y el de corredera o rastra (figura 1-4). El cuero de perfil se fresa en el eje o flecha utilizando una punta en la fresa con dimetro igual al ancho de la cua. La ranura resultante tiene el fondo plano y en su extremo presenta una esquina aguda a escuadra. El cuero de corredera o rastra se fabrica con una cortadora circular para fresar con espesor igual al ancho de la cua. A medida que la cortadora inicia o termina el cuero, se obtiene un radio continuo. Por este motivo, el factor de concentracin de tensin para el cuero de corredera o rastra es ms bajo que el del cuero de perfil. Los valores de diseo que por lo regular se utilizan son:

Kt = 2.0 (perfil)

Kt = 1.6 (de corredera o rastra)

Cada uno de estos valores debe aplicarse al clculo de esfuerzo o tensin por flexin de la flecha o eje. Los factores consideran tanto la reduccin en seccin transversal, como el efecto de la discontinuidad. Si la tensin por esfuerzo de corte por torsin es variable en lugar de constante, el factor de concentracin de tensin tambin se aplica a ello.

Figura 1-4 Cueros

1.3.3. CHAFLANES DE HOMBROS

Cuando en un eje se presentan cambios de dimetro para producir un hombro contra el cual se coloca un elemento mecnico, se genera una concentracin de tensin que depende de la relacin entre los dimetros y el

dimetro del chafln (figura 1-5). Se sugiere que el dimetro del chafln sea lo ms grande posible para minimizar la concentracin de tensin; sin embargo, a veces el diseo del engrane, el cojinete u otro elemento afecta el radio que puede utilizarse para fines de diseo. Los chaflanes se clasificarn de acuerdo con dos categoras: con bordes cortantes y con bordes redondeados.

Figura 1-5 chaflanes en ejes

En este caso el trmino con bordes cortantes en realidad no significa eso, es decir, sin ningn radio de chafln en absoluto. Tal configuracin de hombro tendra un factor de concentracin de tensin en extremo alto y esto debe evitarse. Por el contrario, con bordes cortantes describe un hombro con un radio de chafln relativamente pequeo. Una situacin en la que es probable que se presente el

caso anterior es donde se va a colocar un cojinete de bola. El canal interno del cojinete tiene un radio que se produce en la fbrica; no obstante, es pequeo. El radio del chafln en el eje debe ser an ms pequeo para que el cojinete asiente debidamente contra el hombro. Cuando se coloca un elemento con un chafln ms grande en su dimetro interior que asienta contra el hombro.

Cuando se coloca un elemento con un chafln ms grande en su dimetro interior que asienta contra el hombro o cuando no asienta nada que se apoye en el hombro, el radio del chafln puede ser mucho ms grande, bien redondeado, y el factor de concentracin de esfuerzo es ms pequeo. Para el diseo de flexin utilizaremos los valores siguientes

Kt = 2.5 (chafln con bordes cortantes) Kt = 1.5 (chafln bien redondeado)En la grfica para factores de concentracin de tensin podr observar que estos valores corresponden a relaciones de r/d de aproximadamente 0.03 para el caso del chafln con bordes cortantes y de 0.17 para el chafln con los bordes bien redondeados para un relacin D/d de 1.50.

1.3.4. RANURAS PARA ANILLOS DE SUJECIN

Los anillos de sujecin se utilizan en muchos tipos de aplicaciones en los ejes. Los anillos se colocan en ranuras que se hacen en las flechas o ejes, despus que se ubica en su lugar el elemento que se va a sujetar. La geometra de la ranura la establece el fabricante del anillo. Su configuracin comn es una ranura hueca con los bordes de las paredes rectas al igual que su fondo y un chafln pequeo en la base de la ranura. Se puede obtener una idea aproximada del comportamiento de la flecha en el rea que circunda la ranura si se considera dos hombros con chafln de bordea cortantes colocados casi juntos. En consecuencia, el factor de concentracin de tensin o esfuerzo para una ranura es alto.

Cuando existe flexin, utilizaremos Kt =3.0 para diseo preliminar como un factor estimado que considera los chaflanes y la reduccin en dimetro para calcular el dimetro para calcular el dimetro nominal del eje o flecha antes de correr la ranura. Cuando se presenta torsin junto con la flexin o cuando slo existe torsin en una seccin que interesa, el factor de concentracin de la tensin no se aplica a la tensin por esfuerzo de corte por torsin porque es constante. Sin embargo, para considerar la disminucin de dimetro en la ranura aumente el dimetro resultante que calcul en aproximadamente 6%, un valor tpico para anillos de sujecin comerciales. Pero despus de que haya especificado el

dimetro final del eje y la geometra de la ranura, deber calcular la tensin o esfuerzo en la ranura con el factor de concentracin de tensin adecuado para la geometra de la ranura.

1.4. TENSIONES DE DISEO PARA FLECHAS O EJES

En una flecha o eje en particular puede existir al mismo tiempo condiciones distintas que generan esfuerzo o tensin. Para cualquier parte del eje que transmite potencia, habr una tensin por esfuerzo de corte por torsin, mientras la tensin por esfuerzo de flexin se presenta en esas mismas partes. Quiz haya otras partes en las que slo se genere tensiones por esfuerzos de flexin. Algunos puntos tal vez no se sujeten a flexin, tampoco a torsin pero experimentarn tensin por esfuerzo de corte vertical. Sobre las otras tensiones o esfuerzos pueden sobreponerse esfuerzos por traccin o por compresin. Entonces habr algunos puntos en los que no se genere en absoluto tensiones o esfuerzos significativos.

En consecuencia, decidir qu tensin de diseo utilizar depende de la situacin particular en el punto que interesa. En muchos proyectos de diseo y anlisis de flechas o ejes deben hacerse clculos en distintos puntos para considerar en su totalidad la variedad de condiciones de carga y de geometra que existen.

Se supone que las tensiones o esfuerzo de flexin son por completo inversos y sucesivos debido a que el eje gira. Dado que los materiales dctiles muestran un mayor desempeo bajo tales cargas, se supone que el material con que se fabrica el eje o flecha es dctil. Se supone, tambin, que la carga por esfuerzo de torsin es relativamente constante y acta en un sentido.

1.4.1. TENSIN POR ESFUERZO DE CORTE DE DISEO

El mtodo ms preciso para prever fallas en materiales dctiles debido a una tensin constante por esfuerzo de corte era la teora de la distorsin de la energa, en la cual la tensin por esfuerzo de corte de diseo se calcula a partir de

Ecuacin (1-14)

Utilizaremos este valor para tensin por esfuerzo de corte por torsin constante, tensin por esfuerzo de corte vertical o tensin por esfuerzo de corte directo en una flecha o eje.

1.4.2. TENSIN NORMAL DE DISEO, CARGA QUE GENERA FATIGA

Para la flexin inversa sucesiva en un eje provocada por cargas transversales que se aplican a un eje que gira, la tensin de diseo se relaciona con la resistencia por durabilidad del material con que se fabrica el eje. Las condiciones reales bajo las cuales se fabrica y opera el eje debern tenerse en cuenta cuando se especifique la tensin de diseo.

1. Se calcula la resistencia mxima a la traccin del material, su, a partir de los resultados de pruebas que se realizan, de las especificaciones del fabricante o de informacin publicada. Es necesario utilizar la informacin ms exacta y confiable. Cuando surjan dudas de la exactitud de la informacin tendrn que utilizarse factores de diseo mayores que el promedio.

2. Se calcula la resistencia estimada por durabilidad, su, del material, con base en la figura 1-6. Recuerde que en los datos de esta figura se considera la manera que se fabrica el objeto de estudio, adems de la relacin entre la resistencia por durabilidad bsica y la resistencia mxima. Si la resistencia mxima es mayor que el lmite que se indica en la figura 1-6, es decir, 220Ksi o 1500 MPa, utilice los valores que corresponden a su = 220 Ksi.

Figura 1-6 Tensin por durabilidad contra resistencia al esfuerzo por traccin para acero forjado para varias condiciones superficiales

3. Se aplica un factor de tamao Cs para considerar el gradiente de tensin dentro del material y la probabilidad de que una seccin particular presente una oclusin especfica que puede ser el lugar que se inicie una fractura por

fatiga. La referencia (1) sugiere lo siguiente: Para dimetros de menos de2.0 (D en pulgadas).

Cs = (D/0.3)-0.068

Para dimetros menores de 50 mm (D en mm)

Cs = (D/7.6)-0.068

Para dimetros de ms de 2.0 hasta 10 (D en pulgadas)

Cs = D-0.19

Para dimetros de ms de 50 mm hasta 250 mm (D en mm) Cs = 1.85 D-0.19La figura 1-7 muestra una grfica de estas frmulas. Los dos conjuntos defrmulas se toman de fuentes distintas y existe cierta discontinuidad mnima de la pendiente cerca de D = 2.0 (50 mm). La lnea punteada corta integra las curvas y proporciona valores ligeramente conservadores.

Figura 1-7 Factor de tamao para diseo de ejes

4.Se aplica un factor de confiabilidad CR. La informacin de la resistencia por durabilidad que se reporta, consta de valores promedio que se obtienen con base en varias pruebas, lo cual implica, una confiabilidad de 0.50 (50%).

Suponiendo que la informacin real de fallas sigue una distribucin normal, se pueden utilizar los factores siguientes de ajustes para un alto grado de confiabilidad

Observe que cualquier factor de concentracin de tensin que se presente se considerar en la ecuacin de diseo que se desarrolla ms adelante. Otros factores, que se toman en cuenta aqu, podran surtir un efecto adverso en la resistencia por durabilidad del material con que se fabrique el eje y, en consecuencia, en la tensin de diseo, son las temperaturas por arriba deaproximadamente 400o F (200o C), variacin en los niveles pico de tensin porarriba de la resistencia nominal por durabilidad durante algunos lapsos, vibracin, tensiones residuales, endurecimiento, ajustes por interferencia, corrosin, ciclaje trmico, chapas o recubrimientos superficiales y tensiones que no se consideran en el anlisis bsico de tensiones. Para tales condiciones se sugiere realizar pruebas con componentes reales.

5. Se calcula sn = snCsCR.

6. Para piezas del eje o flecha que slo ven sujetas a flexin inversa, la tensin de diseo es igual a

Ecuacin (1-15)

1.4.3. FACTOR DE DISEO, N

Bajo condiciones industriales tpicas se sugiere el factor de diseo de N = 3. Si la aplicacin es en extremo suave, tal vez se justifique un valor tan bajo como N = 2. Bajo condiciones de choque o impacto de emplearse N = 4 o ms alto y se recomienda llevar a cabo pruebas exhaustivas.

1.5. FLECHAS Y EJES SOLO EN FLEXIN Y TORSIN

Aquellos que soportan engranajes rectos o cilndricos, poleas acanaladas en forma de V o ruedas dentadas de cadena son ejemplos de flechas o ejes que slo se ven sujetos a flexin o torsin. La potencia que es transmitida genera torsin y las fuerzas transversales en los elementos originan flexin. En el caso general, no todas las fuerzas transversales actan en el mismo plano. En tales casos, primero se elabora las grficas momento de flexin para dos planos perpendiculares. Despus, se calcula el momento de flexin resultante en cada punto que interesa.

Ahora se desarrolla una ecuacin de diseo con base en el supuesto de que el esfuerzo o tensin por flexin en el eje es sucesivo e inverso conforme gira el eje, pero que la tensin por esfuerzo de corte por torsin es casi uniforme. La ecuacin de diseo se basa en el principio que se muestra de manera grfica en la figura 1-9, en la que el eje vertical es la relacin del esfuerzo por tensin inverso con la resistencia por durabilidad del material. El eje horizontal es la relacin de la tensin por esfuerzo de corte por torsin con la resistencia a punto cedente del material ante esfuerzo de corte. Los puntos que tienen valor de 1.0 en estos ejes indican falla inminente ante flexin simple o tensin simple respectivamente. La informacin basada en experimentos muestra que la falla anti combinaciones de flexin y torsin sigue, en general, la trayectoria de la curva que conecta estos dos puntos, ello obedece a la ecuacin.

Figura 1-9 base para la ecuacin de diseo de ejes para tensin por esfuerzos de flexin inversa y tensin por esfuerzos de corte por torsin

CAPTULO 2

ANLISIS Y DISEO POR RESISTENCIA ESTTICA

2. ANLISIS Y DISEO POR RESISTENCIA ESTTICA

La resistencia es una propiedad o caracterstica de un elemento mecnico. Esta propiedad resulta de la identidad del material, del tratamiento y procesamiento incidental para crear su geometra, y de la carga; asimismo, se encuentra en el punto de control crtico. Estos elementos se deben identificar y considerar antes de poder hablar de la resistencia de una parte como una caracterstica til de valor descriptivo. Las tablas de las propiedades de los materiales de ingeniera no informan sobre las resistencias de las partes. La resistencia de una parte mecnica no depende de que esa parte se someta a su carga proyectada. De hecho, esta propiedad de resistencia es una caracterstica del elemento antes de que se ensamble con otros elementos en una mquina o en un sistema. La resistencia de una parte es un indicador valioso, pero slo existe si se cumplen todas las calificaciones enumeradas antes.

Adems de considerar la resistencia de una parte individual, se debe estar consciente de que las resistencias de las partes producidas en masa, diferirn en cierto grado de las otras del conjunto o ensamble debido a variaciones en las dimensiones, el maquinado, el formado y la composicin. Los indicadores de la resistencia son por necesidad de naturaleza estocstica e involucran parmetros estadsticos (a menudo la media y la desviacin estndar) y una identificacin.

Una carga esttica es una fuerza estacionaria o un par de torsin que se aplica a un elemento. Para ser estacionaria, la fuerza o el par de torsin no deben cambiar su magnitud, ni el punto o los puntos de aplicacin, ni su direccin. Una carga esttica produce tensin o compresin axial, una carga cortante, una carga flexionante, una carga torsional o cualquier combinacin de estas. Para que se considere esttica, la carga no puede cambiar de ninguna manera.

Consideraremos las relaciones entre la resistencia y la carga esttica con objeto de tomar decisiones respecto al material y a su tratamiento, fabricacin y geometra para satisfacer los requisitos de funcionalidad, seguridad, confiabilidad, competitividad, facilidad de uso, manufacturabilidad y comercializacin. El grado de detalle de esta lista est relacionado con el alcance de los ejemplos.

La falla puede significar que una parte se ha separado en dos o ms piezas; se ha distorsionado permanentemente, arruinado de esta manera su geometra; se ha degradado su confiabilidad; o se ha comprometido su funcin, por cualquier razn. Un diseador cuando habla de falla quiz se refiera a cualquiera o todas estas posibilidades. Nuestra atencin se enfocar en la

prediccin de la distorsin o separacin permanente. En situaciones sensibles al esfuerzo el diseador debe separar el esfuerzo medio y la resistencia media en el punto crtico de manera suficiente para lograr sus propsitos.

En las figuras 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5 y 2-6 se muestran fotografas de partes que han fallado. Las fotografas ejemplifican la necesidad, por parte del diseador, de estar muy al tanto de la prevencin de fallas. Hacia este fin se considerarn estados de esfuerzos en una, dos y tres dimensiones, con y sin concentraciones de esfuerzos, para materiales tanto dctiles como frgiles.

Figura 2-1 Falla por impacto de la masa de impulsin de la cuchilla de una podadora de csped. La cuchilla impacta un tubo metlico de marcacin de cotas de topografa.

Figura 2-2 Falla de un perno de sujecin de una polea elevada en una mquina de levantamiento de pesas. Un error de fabricacin caus una separacin que provoc que el perno soportara toda la carga de momento.

Figura 2-3 Falla de una manija interior de la puerta de un automvil fundida. La falla ocurri despus de un servicio de aproximadamente 72 000 km. Las causas probables fueron el material de electrochapeado, la

concentracin del esfuerzo, el largo de brazo de palanca requerido para operar el mecanismo de apertura dela puerta pegado y las fuerzas de accionamiento elevadas.

Figura 2-4 Falla de un resorte de vlvula causada por la reaccin elstica en un motor sobre/revolucionado. La fractura presenta la falla a 45o clsica por cortante

Figura 2-5 Fractura frgil de una arandela de presin en la mitad de un ciclo. La arandela fall cuando se instal.

Figura 2-6 Falla en un engrane de un motor fuera de borda de 7 hp (5.6 kW) hecho en Estados Unidos. El engrane mayor tiene un dimetro exterior de 1 2/8 (47.6 mm) y 21 dientes de los cuales 6 se rompieron. La falla ocurri cuando la propela choco con una sonda de acero en el fondo del lago como anclaje. El propietario haba reemplazado el pasador de cortante con uno no diseado para esa funcin.

2.1. RESISTENCIA ESTTICA

Idealmente, al disear cualquier elemento de mquina el ingeniero debe tener a su disposicin los resultados de una gran cantidad de pruebas de resistencia al material elegido. Estos ensayos se deben realizar en probetas que tengan el mismo tratamiento trmico, acabado superficial y tamao que el elemento que el diseador se propone disear; adems, las pruebas se deben conducir exactamente bajo las mismas condiciones de carga a que se someter la parte en servicio. Esto significa que si la parte se va a someter a carga flexionante, se debe ensayar con una carga flexionante. Si se va a someter a flexin y torsin combinadas, se debe ensayar bajo flexin y torsin combinadas. Si se hace deacero tratado AISI 1040 estirado a 500oC con un acabado esmerilado, lasprobetas que se ensayen deben ser del mismo material preparado de la misma manera. Esos ensayos proporcionarn informacin muy til y precisa. Cuando esos datos estn disponibles para propsitos de diseo, el ingeniero puede estar seguro de que est haciendo el mejor trabajo de ingeniera.

El costo de reunir esa gran cantidad de datos antes del diseo se justifica si la falla de la parte puede poner en peligro la vida humana, o si la parte se fabrica en cantidades suficientemente grandes. Ejes para la transmisin de potencia y aparatos electrodomsticos, por ejemplo, tienen grados de confiabilidad muy altos porque las partes se hacen en grandes cantidades, de manera que se pueden ensayar por completo antes de su manufactura. El costo de realizacin de estos ensayos es muy bajo cuando se divide entre el nmero total de partes fabricadas.

Ahora se pueden apreciar las cuatro categoras de diseo siguientes:

1. La falla de la parte pondr en peligro la vida humana, o la parte se hace en cantidades extremadamente grandes; en consecuencia, se justifica un elaborado programa de ensayos durante el diseo.

2. La parte se hace en cantidades muy grandes, que es posible una serie moderada de ensayos.

3. La parte se hace en cantidades tan pequeas que los ensayos no se justifican de ninguna manera, o el diseo se debe complementar tan rpido que no hay tiempo para los ensayos.

4. La parte ya se ha diseado, fabricado y ensayado, y se ha determinado que es insatisfactoria. Se requiere un anlisis para entender porqu la parte es satisfactoria y lo que se debe hacer para mejorarla.

Con mucha frecuencia no es necesario disear empleando slo valores publicados de la resistencia de fluencia, de la resistencia ltima, del porcentaje de reduccin del rea y del porcentaje de elongacin.

2.2. CONCENTRACIN DEL ESFUERZO

La concentracin del esfuerzo es un esfuerzo muy localizado. En algunos casos puede deberse a una ralladura superficial. Si el material es dctil y la carga esttica, la carga de diseo puede causar fluencia en el punto crtico sobre la muesca. Esta fluencia puede implicar endurecimiento por deformacin del material y un incremento de la resistencia de fluencia en el punto crtico de la muesca. Como las cargas son estticas, esa parte puede soportarlas de manera satisfactoria, sin presentar una fluencia general. En estos casos el diseador establece que el factor geomtrico de la concentracin del esfuerzo (terico) Kt es igual a la unidad.

La razn se puede expresar como sigue. El escenario, en el peor de los casos, es el de un material no endurecido por deformacin, como el que se muestra en la figura 2-7. El lugar geomtrico esfuerzo-deformacin se incrementa linealmente hasta la resistencia de fluencia Sy, luego se comporta como esfuerzo de constante, que es igual a Sy. Considere una barra rectangular con muesca como se representa en la figura 2-8, donde el rea de la seccin transversal del cuerpo pequeo es 1 pulg2. Si el materiales dctil, con un punto de fluencia de40 kpsi y el factor terico de concentracin de esfuerzo (FCE) Kt es 2.

Figura 2-7 Curva esfuerzo-deformacin idealizada. La lnea discontinua representa un material endurecido por deformacin.

Figura 2-8 Barra redonda ranurada en torsin. , donde c=d/2 y

Una carga de 20 kip induce un esfuerzo de tensin de 20 kpsi en el cuerpo, como se presenta en el punto A de la figura 2-7. El FCE es Una carga de 30 kip induce un esfuerzo de tensin de 30 kpsi en el punto B. En el punto crtico del chafln, el esfuerzo es 40 kpsi y el FCE .

Con una carga de 40 kip el esfuerzo de tensin inducido (punto C) es 40 kpsi en el cuerpo. En el punto crtico del chafln, el esfuerzo (en el punto E) es 40 kpsi. El FCE .

Para materiales que se endurecen por deformacin, el punto crtico en la muesca tiene una Sy mayor. El rea del cuerpo se encuentra a un nivel de esfuerzo un poco menor que 40 kpsi, est soportando carga y est muy cerca de su condicin de falla por fluencia general. sta es la razn por la que los diseadores no aplican Kt en la carga esttica de un material dctil cargado elsticamente, en vez de eso establecen Kt = 1.

Cuando se usa esta regla para materiales dctiles sometidos a cargas estticas, se debe tener la seguridad que el material no es susceptible a la falla frgil en el entorno de uso. La definicin usual del factor geomtrico (terico) de concentracin del esfuerzo para el esfuerzo normal Kt, o el esfuerzo cortante Kts, es:

(a) (b)Como la atencin se pone sobre el factor de concentracin del esfuerzo y ladefinicin de o est dada en la leyenda de la grfica o mediante un

programa de cmputo, se debe asegurar que el esfuerzo nominal sea apropiado para la seccin que est soportando la carga, y no para lo que el dibujante de la grfica encontr conveniente presentar.

Los materiales frgiles no presentan un intervalo plstico. Un material frgilsiente el FCE Kt y el Kts, y el Kt o Kts se aplica usando la ecuacin (a) o (b).

Una excepcin a esta regla es un material frgil que contenga inherentemente una concentracin del esfuerzo en una microdiscontinuidad, peor que la macrodiscontinuidad que el diseador tiene en mente. El modelo en arena introduce partculas de arena, burgrafito (con poca resistencia), las cuales literalmente son grietas que se introducen durante el proceso de solidificacin. Cuando se realiza un en sayo de tensin de una fundicin de hierro, la resistencia que se seala incluye esta concentracin del esfuerzo. En esos casos no se necesita aplicar Kt o Kts.

Una fuente importante de factores de concentracin del esfuerzo es la obra de R.E. Peterson, quien los compil mediante su propio trabajo y el de otros. Peterson desarroll el estilo de presentacin en el que el factor de concentracin del esfuerzo Kt se multiplica por el esfuerzo nominal para estimar la magnitud del esfuerzo mayor en la localidad. Sus aproximaciones se basaron en estudios fotoelsticos de tiras bidimensionales (Hartman y Levan, 1951; Wilson y White,1973), con algunos datos limitados de los ensayos fotoelsticos tridimensionales de Hartman y Levan. En la presentacin de cada caso se incluye una grfica de contorno. Los ejes con chafln en tensin se basaron en tiras bidimensionales.

La herramienta del anlisis de elemento finito (FEA, por sus siglas en ingls) la emple Tipton, Sorem y Rolovic. No slo se ha mejorado la exactitud, sino que tambin se debe observar el cambio en el estilo de la presentacin. Tipton y sus colegas emplearon el FEA del hombro de un eje a tensin axial. Los resultados se presentaron en la forma

(c)

En la ubicacin del chafln del esfuerzo principal mximo en el punto [denotada en la ecuacin (a)] y la se presenta en forma de curva adimensional ajustada. Para una tensin axial P, se establece como

(d)

Si la situacin implica un material frgil sometido a carga axial, el esfuerzo principal mximo en el punto est dado por

(e)

Si el criterio de falla se expresa en trminos del esfuerzo principal mayor, entonces uno est listo para proceder. Si el material es dctil, entonces todos los esfuerzos de von Mises (u octadrico), en el cual el valor mayor ocurre en otro lugar y se procede como sigue:

(f) Donde el esfuerzo de von Mises est dado por

(g)

Tipton y cols., definieron un factor de concentracin del esfuerzo reemplazando los pasos implicados por las ecuaciones (f) y (g) de la forma

(h)

Relacionando el esfuerzo de von Mises, , directamente con el esfuerzo nominal , si esto es conveniente para el usuario. Para un eje con chafln sometido axial,, se estableci como

(i) Para el eje con chafln sometido a tensin axial, Tipton y otrosestablecieron un factor de concentracin del esfuerzo, para aplicarse elesfuerzo nominal , a fin de estimar el esfuerzo el esfuerzo principal mximo ordenado, y otro, , para aplicarse al esfuerzo nominal a fin deestimarel esfurzo mayor de von Mises en el punto. El mtodo produjo informacinms exacta y dos factores de concentracin del esfuerzo. No es probable que se confundan estos factores, pero se debe elegir el apropiado de acuerdo a las circunstancias. Tipton y otros tambin determinaron ecuaciones para el ngulo en el chafln, en donde aparece el esfuerzo principal mximo ordenado, y un

ngulo distinto , en donde el esfuerzo mayor de von Mises aparece. Las concentraciones de esfuerzos en el eje con chafln sometido a tensin y flexin estudiadas por Peterson y otros son bajos, especialmente en radios agudos del chafln.

2.3. HIPTESIS DE FALLA

Sucesos como la deformacin permanente, el agrietamiento, y la ruptura se encuentran entre las formas en que falla un eje o un elemento de mquina. Las mquinas de ensayo aparecieron en los aos 1700 y las probetas se jalaban, doblaban y torcan en procesos simples de carga. La experiencia al reunir estos datos fue el instrumento para establecer el concepto de deformacin. Cauchy relacion el esfuerzo, la deformacin y las constantes elsticas en lo que actualmente llamamos teora de la elasticidad. La humanidad siempre preserv en la bsqueda por un mecanismo simple y visionario de falla. Al igual que con todas las cosas, los postulados conducen predicciones, y stas se analizan mediante el uso de datos adicionales. Las ideas se modifican y el proceso contina, al igual que lo hace el proceso de comprensin. La historia de la hiptesis de falla es una recitacin de nuestra experiencia de aprendizaje.

Figura 2-9 Crculos de Mohr para el esfuerzo triaxial

Si el mecanismo de falla es simple, entonces unos ensayos simples pueden dar pistas. Pero qu es simple? El ensayo a la tensin es uniaxial (eso es simple) y las elongaciones son mayores en la direccin axial, por tanto las deformaciones se pueden medir y los esfuerzos se pueden inferir hasta que ocurra la falla. Entonces qu es importante: un esfuerzo crtico, una deformacin crtica, una energa crtica? Los crculos crecientes de Mohr, como los que se presentan en la figura 2-9, se expanden hasta que chocan con algo? Si es as, con qu? Si no, qu es lo importante?

El origen de la falla ocurre cuando un tipo particular de esfuerzo alcanza el nivel de una resistencia correspondiente del material. Se puede graficar un lugar geomtrico de falla que separa un dominioseguro de uno inseguro.Un lugar geomtrico de esfuerzos posibles, llamado lnea de carga, corre (normalmente) de manera radial desde el origen e interseca el lugar geomtrico de falla. La interseccin define el origen de la falla.Se puede identificar un factor de seguridad para el caso determinstico y se puede identificar una probabilidad de falla para el caso estocstico.

Una hiptesis de falla que explica todos los datos y contina hacindolo a medida que se aaden ms datos, se puede elevar al nivel de teora.

Cuando una parte se somete a una carga de manera que el estado de esfuerzos es uniaxial, entonces el esfuerzo y la resistencia se pueden comparar directamente para determinar el grado de seguridad, o para aprender si la parte fallar. El mtodo es simple, porque slo hay un valor del esfuerzo y slo un valor de resistencia ltima, resistencia cortante o cualquier otra; segn sea apropiado.

El problema se complica cuando el estado de esfuerzos es biaxial o triaxial. En esos casos hay una multitud de esfuerzos, pero an slo una resistencia significativa. As que, cmo aprenderemos si la parte es segura o no?, y si se es el caso, qu tan segura es?

Como un ejemplo, considere la ms antigua de las hiptesis de falla atribuida a Rankine, llamada hiptesis del esfuerzo normal mximo. Se estipula que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales iguala a la resistencia. Suponga que se ordenan los esfuerzos principales

(a) Entonces la falla ocurre cuando: (b)

Donde St y Sc son resistentes de tensin y de compresin (normalmente la resistencia de fluencia o la resistencia ltima) respectivamente. En las figuras 2-10 y 2-11 se ilustran los estados asociados con la seguridad (dentro) y la falla (fuera). El lugar geomtrico de la falla separa a estas regiones. En la figura 2-12, para estos datos de esfuerzos biaxiales, se emplean los esfuerzos principales diferentes de cero . Ya que , slo existe el lugar geomtrico de falla representada por la lnea contina. El lugar geomtrico de falla representado por la lnea discontinua realmente no es parte del diagrama. Se acostumbra retener la

imagen de espejo respecto a la lnea diagonal porque, cuando se grafican los datos de falla, la congestin de los puntos de datos se puede corregir si se grafican sobre la imagen de espejo, as se reduce la aglomeracin y se mejora la claridad. La lnea de carga 1 es el lugar geomtrico de estados de esfuerzos posibles para una circunstancia dada. El punto es la condicin del esfuerzo en el punto crtico. El punto es la resistencia correspondiente en el lugar geomtrico de falla. El factor de seguridad de Pilo se puede expresar como , o como sus proyecciones en el eje :

(c)

La pendiente de la lnea de carga es . La lnea de carga 2 es para el caso de torsin pura, por tanto , , y el factor deseguridad es . La pendiente de la lnea 3 es, y el factor de seguridad es .

Figura 2-10 Hiptesis del esfuerzo normal mximo (ENM) en tres dimensiones. El prisma rectangular de la derecha contiene todos los valores seguros de cualquier combinacin de los componentes del esfuerzo. La resistencia a la compresin SC no necesita ser igual a la resistencia a la tensin St. Para la hiptesis, estas pueden ser resistencias de fluencia o ltimas. Tambin note que las resistencias siempre son cantidades positivas, pero los esfuerzos pueden ser positivos o negativos.

Figura 2-11 Grfica de la hiptesis de falla del esfuerzo normal mximo (ENM) para estados de esfuerzos triaxiales, cuando Sc>St. Los estados de esfuerzo contenidos que se grafican dentro del lugar geomtrico de falla son seguros.

Figura 2-12 Hiptesis de falla del esfuerzo normal mximo (ENM) para estados de esfuerzos triaxiales mostrando las lneas de carga.

2.3.1. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DEL EMC (TRESCA O GUEST)La hiptesis del esfuerzo cortante mximo estipula que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante mximo de cualquier elemento iguala al esfuerzo cortante mximo en una probeta de ensayo a la tensin del mismo material cuando esa probeta comienza a fluir.

Si se ordenan los esfuerzos normales principales como , entonces la hiptesis del esfuerzo cortante mximo predice que la fluencia ocurrir cuando

Ecuacin (2-1)

Note que esta hiptesis tambin est dada por la ecuacin:

Ecuacin (2-2)

Para desarrollar un conocimiento an mejor de esta hiptesis, aqu se utiliza la siguiente ecuacin para los tres esfuerzos cortantes principales. stos son

Ecuacin (2-3)

El mayor de , y es de la ecuacin (6-1). Suponga que los esfuerzos principales normales se descomponen en las componentes (a) De tal forma que

(b)

Los esfuerzos en la ecuacin (b) se llaman componentes hidrostticos, puesto que son iguales. Si sucediera que , entonces los tres esfuerzos cortantes, dados por la ecuacin (2-3), seran iguales a cero y no podra haber influencia, sin importar las magnitudes de los esfuerzos hidrostticos. Por lo que las componentes hidrostticas no tienen efecto sobre el tamao del crculo de Mohr, sino que solamente sirven para desplazarlo a lo largo del eje del esfuerzo normal. Por esta razn el criterio de fluencia para el estado general de esfuerzos se puede representar mediante el cilindro hexagonal regular oblicuo de la figura 2-13. En la figura 2-14 se ilustra la hiptesis para los esfuerzos biaxiales.

Figura 2-13 Hiptesis del esfuerzo cortante mximo (ECM) representada grficamente en tres dimensiones. EL cilindro hexagonal contiene todos los componentes seguros (libres de fluencia) del estado de esfuerzos dado por , y . El eje de cilindro est inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones principales, y es el lugar geomtrico de los puntos descritos por la trada de componentes hidrostticas , y .

Figura 2-14 Hiptesis del esfuerzo cortante mximo (ECM) para esfuerzos biaxiales y , los cuales son esfuerzos principales diferentes de cero.

Esta hiptesis predice que los esfuerzos hidrulicos no producen fluencia. Tambin predice que la resistencia de fluencia por cortante es la mitad de la resistencia de fluencia por tensin. Esto es aproximadamente 15% menos. Es simple de aplicar y es til en la tecnologa de la soldadura porque otras consideraciones (forma geomtrica) conducen a errores an mayores. Como no predice datos existentes, no se le ha dado el rango de teora, pero no obstante tiene un uso ocasional.

Un cuerpo sometido a enormes esfuerzos hidrostticos, muy por arriba del esfuerzo usual de falla uniaxial, no fluye ni se rompe. Cuando los esfuerzos se liberan, el cuerpo se recupera elsticamente. Por tanto, los esfuerzos hidrostticos no contribuyen a la falla. Por esta razn la hiptesis del esfuerzo cortante mximo fue til hasta que se sustituy con la teora de la energa de la distorsin para materiales dctiles.

2.3.2. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DE LA ENERGA DE DEFORMACINLa hiptesis de la energa de deformacin mxima predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energa de deformacin total en un volumen unitario alcanza o excede la energa de deformacin en el mismo volumen correspondiente a la resistencia de fluencia en tensin o en compresin.

La energa de deformacin almacenada en un volumen unitario cuando se aplica axialmente hasta la resistencia de fluencia se puede determinar mediante la ecuacin:

Por tanto:

(a)

Con la ayuda de las relaciones de esfuerzo-deformacin triaxiales de la tabla 2-1, se obtiene que la energa de deformacin total en un volumen unitario, sometido a esfuerzos combinados, es:

(b)

Debido a que esta hiptesis ha dejado de emplearse, aqu no se presenta ninguna grfica y las ecuaciones del esfuerzo biaxial no se muestran. Sin embargo, quiz se desee determinar estos esfuerzos para satisfacer su propia curiosidad.

La hiptesis de la energa de distorsin se origin debido a la observacin de que los materiales dctiles sometidos a esfuerzos hidrostticos presentan resistencias de fluencia que exceden en gran medida los valores dados por el ensayo de tensin simple. Por lo tanto, se postul que la fluencia no era un fenmeno de tensin o compresin simples, sino ms bien, que estaba relacionada de alguna manera con la distorsin angular del elemento esforzado. Para desarrollar la teora, observe en la figura 2-15a, el volumen unitario sometido a cualquier estado de esfuerzos tridimensionales, designado por los esfuerzos. El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15b es de tensin hidrosttica debida a los esfuerzos que actan en cada una de las mismasdirecciones principales, como en la figura 2-15a. La frmula para es

(c)

De esta manera, el elemento de la figura 2-15b experimenta un cambio de volumen puro; es decir, sin distorsin angular. Si se considera como un componente de , entonces este componente se puede restar de ellos, dando como resultado el estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2-15c. ste est sometido a distorsin angular pura; es decir, no hay cambio de volumen.

La ecuacin (b) proporciona la energa de deformacin total para el elemento de la figura 2-15a. La energa de deformacin para producir slo un cambio de volumen se puede obtener sustituyendo para en la ecuacin (b). El resultado es

(d)

Si ahora se sustituye el cuadrado de la ecuacin (c) en la ecuacin (d) y se simplifica la expresin, se obtiene

Ecuacin (2-4)

Entonces la energa de distorsin se obtiene restando la ecuacin (2-4) de la ecuacin (b). Esto da

Ecuacin (2-5)

Observe que la energa de distorsin es cero si .

Expresada con palabras, la hiptesis de la energa de distorsin predice que la fluencia ocurrir cuando la energa de distorsin en un volumen unitario iguale la energa de distorsin en el mismo volumen cuando se someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia de fluencia. Para el ensayo de tensin simple, sea , . La energa de distorsin es:

Ecuacin (2-6)

Igualando las ecuaciones (2-5) y (2-6) se obtiene

Ecuacin (2-7)

Por lo tanto se predice que la fluencia ocurrir cuando

Ecuacin (2-8)

El esfuerzo debe tener un nombre especial porque representa el estado de esfuerzos completo . Los nombres preferidos son esfuerzo efectivo y esfuerzo de von Mises, en honor de Dr. R. von Mises, quien contribuy a la hiptesis.

Para el estado de esfuerzos biaxial, sean y los dos esfuerzos principales diferentes de cero. Entonces, de la ecuacin (2-7), se obtiene

Ecuacin (2-9)

La hiptesis de la energa de deformacin tambin se denomina:

La hiptesis de la energa cortante La hiptesis de von Mises-Hencky La hiptesis del esfuerzo cortante octadrico

Con el nombre de hiptesis del esfuerzo cortante octadrico, la falla se supone que ocurre cuando el esfuerzo cortante octadrico para cualquier estado de esfuerzos es igual o excede al esfuerzo cortante octadrico para la falla de la probeta de ensayo de tensin simple. La ecuacin es:

(e)

Usando los resultados del ensayo de tensin , como antes; mediante la ecuacin (e) se determina que

(f) Resolviendo las ecuaciones (e) y (f) para se obtiene (g)

Para los ejes coordenados xyz convenientes del esfuerzo de von Mises de la ecuacin (g) se puede escribir como:

(h) Y para el esfuerzo plano:

(i)

En la figura 2-16 se muestra la hiptesis de la energa de distorsin para estados de esfuerzos triaxiales. Note que las componentes hidrostticos , y , segn se definieron en la ecuacin (a) del tema Materiales dctiles: hiptesis del esfuerzo cortante mximo (Tresca o Guest), siempre se encuentran en el eje del cilindro, sin importar cunto se extienda desde el origen. La representacin de los estados de esfuerzos biaxiales se muestra en la figura 2-17. sta es una representacin ms fiel de la elipse, debido a la distorsin inherente de la representacin esquemtica.

La manipulacin matemtica implicada en el desarrollo de una hiptesis, a menudo tiende a oscurecer el valor real y la utilidad del resultado. Las ecuaciones (2-7) y (2-8) indican que una situacin de esfuerzo complejo se puede representar por medio de un solo valor. El esfuerzo de von Mises Hencky se puede usar para representar la situacin ms complicada del esfuerzo que se pueda imaginar! Por ejemplo, el estado de esfuerzos se puede representar por el valor individual .

Adems, la hiptesis de la energa de distorsin no predice falla bajo presin hidrosttica y concuerda con todos los datos. Se le ha dado el rango de teora y, por consiguiente, es muy empleada. Es un fino ejemplo de elegancia, una palabra que proviene del vocabulario de las matemticas, la cual significa que se introduce simplicidad donde antes haba complejidad.

Tabla 2-1 Relaciones elsticas esfuerzo-deformacin

Figura 2-15 a) Elementos con esfuerzos triaxiales, este elemento experimenta cambio de volumen y distorsin angular. b) Elemento sometido a tensin hidrosttica que slo experimenta cambio de volumen. c) Elementocon distorsin angular sin cambios de volumen.

Figura 2-16 Teora de la energa de distorsin (ED) representada grficamente en tres dimensiones. El cilindro elptico oblicuo contiene todos los valores seguros (libres de fluencia) de los componentes generales del esfuerzo , y . El eje del cilindro est inclinado igualmente hacia cada una de las tres direcciones principales, y es el lugar geomtrico de los puntos descritos por la trada de componentes hidrostticas , y.

Figura 2-17 Teora de energa de distorsin (ED) para estados de esfuerzos biaxiales. sta grfica real de puntos obtenidos mediante la ecuacin(2-9) con .

2.3.3. MATERIALES DCTILES: HIPTESIS DE LA FRICCIN INTERNA

La hiptesis de Mohr se remonta a 1900, una fecha que es relevante para su presentacin. No haba computadoras, slo reglas de clculo y curvas francesas. Los procedimientos grficos, comunes en ese tiempo, an son tiles. La idea de Mohr se basa en tres ensayos simples, tensin, compresin y cortante, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura. Es ms fcil definir la resistencia de fluencia por cortante como que realizar su ensayo.

Poniendo a un lado las dificultades prcticas, la hiptesis de Mohr era valerse de los resultados de los ensayos de tensin, compresin y cortante a fin de elaborar los tres crculos, como se muestran en la figura 2-18, con objeto de definir una envolvente falla, representada como una lnea en la figura, arriba del eje . La envolvente de falla no es necesario que sea recta. El argumento se basaba en los tres crculos de Mohr que describen el estado de esfuerzos en un cuerpo (vase figura 2-19) y que crucen durante la carga hasta que uno de ellos se hace tangente a la envolvente de falla, definiendo la falla. Era la forma de la envolvente de falla recta, circular o cuadrtica? Un comps o una curva francesa definan la envolvente de falla. Ahora se puede estipular la hiptesis de Mohr.

Ponga que el material tiene resistencias iguales de tensin y de compresin. Si la envolvente de falla es una lnea recta paralela al eje de la

figura 2-18, entonces para un estado de esfuerzos de un cuerpo, segn la figura 2-19.

Ecuacin (2-10)

Lo cual es el mismo resultado que proyecta la hiptesis del esfuerzo cortante mximo. sta es una seal de que la envolvente de falla no puede ser . Una envolvente de falla de la forma:

Donde es el esfuerzo normal en el plano del esfuerzo cortante mximo, el cual proporciona el resultado de la energa de distorsin para resistencias iguales de compresin y de tensin.

Hay una derivacin til de la envolvente de falla de lnea recta de Mohr. Dadas las resistencias de fluencia de tensin y de compresin, la resistencia de fluencia torsional se puede predecir por medio de la ecuacin

Ecuacin (2-11)

Una hiptesis de la friccin interna se puede basar en la lnea envolvente de falla de la recta de la figura 2-18. Esto an le da propiedades de esfuerzo cortante mximo. Se llama la hiptesis de Coulomb-Mohr. sta se basa en la suposicin de que la lnea BCD de la figura 2-18 es recta. Los tres esfuerzos principales se ordenan de manera que Luego para cualquier estado de esfuerzos que produzca un crculo tangente a la lnea BCD, entre los puntos B y D, se cumple que y tienen signos opuestos. Para este estado de esfuerzos se aplica la hiptesis de Mohr y los dos estados y las resistencias se relacionan por medio de la ecuacin

Ecuacin (2-12)

Figura 2-18 Tres crculos de Mohr (uno para el ensayo de compresin uniaxial, otro para el ensayo de cortante puro, y otro ms para el ensayo de tensin uniaxial) se utilizan para medir la falla mediante la hiptesis de Mohr. Las resistencias St y Sc son las resistencias de tensin y de compresin, respectivamente; se pueden usar para la resistencia de fluencia o ltima.

Figura 6-25 Grfica de la friccin interna, o hiptesis de falla de Coulomb-Mohr, para estados de esfuerzos triaxiales con .

Para estados de esfuerzos biaxiales en los cuales y tienen signos iguales, la hiptesis de la friccin interna es la misma que la hiptesis del esfuerzo normal mximo y la falla se predice mediante:

(2-13)

Se puede usar la resistencia a la fluencia o la resistencia ltima con las ecuaciones (2-12) y (2-13). Note de nuevo que las resistencias siempre se tratan como valores positivos. La hiptesis de la friccin interna se muestra en la figura2-20 para un estado de esfuerzos biaxial. Los esfuerzos diferentes de cero son

y Esta figura se grafica para un material, como una funcin gris, en donde

Ejemplo 2-1

Un eje de 25 mm de dimetro se somete a un par de torsin esttico de 230Nm. El eje esta hecho de Aluminio fundido 195-T6, con una resistencia de fluencia en tensin de 160 MPa. El eje se maquina hasta el dimetro final. Calcule el factor de seguridad en el cuerpo de 25 mm.

Solucin: Como Nm, cm Mpa forman un conjunto consistente de dimensiones, el dimetro se expresa en cm:

Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son 75 y -75 MPa, lo cual hace que los esfuerzos principales ordenados , y . De la ecuacin (2-12),

Respuesta:

En forma alterna, de la ecuacin (2-11),

Respuesta:

2.3.4. CRTICA A LAS HIPTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES DCTILESEl primer requisito para que una hiptesis obtenga el rango de teora es la habilidad para explicar los hechos conocidos en ese momento y para continuar hacindolo en el futuro. Las hiptesis estn en buen comportamiento, lo cual se puede terminar en cualquier momento. Cuando hay suficiente datos y todos se consideran explicados lo suficientemente bien por casi toda la comunidad cientfica implicada, a una hiptesis se le da el rango de teora.

EVIDENCIA

En esta seccin nos limitamos a materiales y partes que se sabe que fallan en una forma dctil. Para ayudar a decidir las hiptesis apropiadas y manejables de falla dctil del material, se reunieron datos de muchas fuentes. Algunos de los puntos de datos para materiales dctiles se muestran en la grfica de la figura 2-21. Se recolectaron muchos datos para aleaciones de cobre y nquel; si se mostraran, los puntos de datos se mezclaran con los ya representados en el diagrama. En la figura 2-21 se muestra que en el cuarto cuadrante la teora de la energa de distorsin es aceptable para el diseo y el anlisis. Puede graficar otras hiptesis usando un lpiz azul o rojo sobre la figura 2-21, para mostrar por qu no son aceptables o por qu slo se usan en dominios especficos.

En la figura 2-21 se presentan unos datos adimensionales, como la abscisa y como la ordenada. Sin recurrir a la calidad del ajuste de los programas estadsticos, se puede ver que la hiptesis del esfuerzo mximo est sesgada por debajo. El lugar geomtrico de la hiptesis de la energa de distorsin se encuentra entre los datos. La hiptesis de la energa de distorsin es la ms vlida y la ms til para predecir el origen de la fluencia. Adems, tiene el rango de teora. Esta evidencia es para fluencia esttica. Se analizar con mayor detalle la energa de distorsin en fatiga.

Figura 2-21 datos experimentales superpuestos de la hiptesis de falla.

Para materiales dctiles con resistencias de fluencia diferentes en tensin y en compresin, la hiptesis de Mohr es la ms vlida. Se puede llevar a cabo grficamente con los resultados de los ensayos de tensin, de compresin y de cortante. Considere que se requiere:

El ensayo del material implicado en tres modosUna curva francesa o un lugar geomtrico de un arco circular de falla, trazado grficamente.La superposicin del crculo de Mohr mayor asociado con el estado de esfuerzos.

Los ensayos de tensin eliminan el empate con la teora del esfuerzo cortante mximo. La alternativa a las grficas es un programa de cmputo que pueda ajustar un polinomio que se elija, u otra curva, tangente a los tres crculos. Luego se obtiene el centro del crculo de Mohr mayor del estado de esfuerzos, se encuentra el dimetro y la interseccin en la abscisa. En una situacin de aprendizaje, los cdigos de programacin de caja negra no proporcionan un significado y una visin para la experiencia del problema. Otra desventaja es la necesidad de ensayos del material.

Figura 2-22 Los modelos describen datos y los datos critican a los modelos. Este protocolo representa lo que se conoce acerca de la falla esttica. Note que slo una categora tiene teora. Cuando se usan hiptesis en su aplicabilidad angosta restringida se consideran como teoras pequeas, pero la palabra teora nos e debe usar a menos que se reciten todas las oraciones de restriccin.

Figura 2-23 Una lnea de carga, un estado de esfuerzos descrito por y y la interseccin con el lugar geomtrico de falla descritos por SA y SB. El factor de seguridad n, esta dado por o o midiendo y y escribiendo o sus proyecciones en los ejes. Los factores de escala en la ordenada y la abscisa deben concordar. a) Hiptesis de Mohr mod. ll (M2M); b) hiptesis del esfuerzo normal mximo(ENM); c) Hiptesis de Coulomb-Mohr dctil (CMD); d) Teora de la energa de distorsin (ED).

2.3.5. MATERIALES FRGILES: HIPTESIS DEL ESFUERZO NORMAL MXIMO (RANKINE)La hiptesis del esfuerzo normal mximo (ENM) estipula que la falla ocurre cuando uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia. Suponga que se disponen los tres esfuerzos principales para cualquier estado de esfuerzos en la forma ordenada.

(2-14)

Entonces la hiptesis predice que la falla ocurre cuando:

(2-15)

Donde y son resistencias a la tensin y a la compresin, normalmente la resistencia de fluencia o la resistencia ltima, respectivamente. En las figuras 2-10 y 2-11 se ilustran los estados de esfuerzos asociados con la seguridad o la falla. Las combinaciones sin prdida de la funcin de los esfuerzos principales yacen dentro de ste. La superficie del prisma define la de la falla o el lugar geomtrico de falla.

La hiptesis del esfuerzo normal mximo no puede predecir la falta de dao debida a esfuerzos hidrostticos. Hay poca informacin en segundo y tercer cuadrante del diagrama de esfuerzo biaxial. En las figuras 2-24 y 2-25 se muestran datos para el hierro fundido en el primer y segundo cuadrantes siguiendo la hiptesis del ENM en la regin fuera de los cuales la hiptesis del ENM es conservadora. La hiptesis del ENM tiene uso limitado para la falla frgil entre los datos, como se muestra en la figura 2-25.

Figura 2-24 Datos SA SB en el cuarto cuadrante para un hierro fundido grado 40, comparados con un lugar geomtrico de fractura de Mohr mod. ll.

Figura 2-25 Datos de figura biaxial de hierro fundido gris comparados con varios criterios de falla.

2.3.6. MATERIALES FRGILES: MODIFICACIONES DE LA HIPTESIS DE MOHRCuando se grafican los datos de la falla esttica de un material frgil en la grfica biaxial de Coulomb-Mohr, los datos en la parte inferior del cuarto cuadrante estn debajo del lugar geomtrico de falla (vase las figuras 2-24 y 2-25). Se hizo una modificacin cuando y la lnea de falla se dibuj, como se muestra mediante una lnea continua en la figura. Las modificaciones al esquema de Coulomb-Mohr se llama hiptesis de Mohr modificada, Mohr mod. I, Mohr mod. II, o en forma abreviada M1M o M2M.

Bajo condiciones de esfuerzo biaxial, usando esfuerzos principales y diferentes de cero, las hiptesis de Coulomb-Mohr y las modificaciones se pueden expresar cuantitativamente como sigue.

Coulomb-Mohr

(2-16a)

(2-16b)

O, en trminos de la pendiente de la lnea de carga r,

Mohr Mod. I:

(2-16c)

(2-17a)

O, en trminos de la pendiente de la lnea de carga r,

(2-17b)

Mohr mod. II:

(2-17c)

(2-18a)

O, en trminos de la pendiente de la lnea de carga

(2-18b)

Donde:

(2-18c)

(2-18d)

Vase la figura 2-24. El lugar geomtrico de la hiptesis de Mohr mod. IIpasa entre los datos.

La hiptesis de Mohr original, establecida mediante ensayos de tensin, de compresin y de torsin, con un lugar geomtrico de falla curvo, es la mejor hiptesis que se tiene, pero la dificultad para aplicarla sin una computadora propicia que los ingenieros elijan modificaciones, a saber, Coulomb-Mohr, Mohr mod. I, o Mohr mod. II. Incluso la de Mohr original an es una hiptesis, porque hay una escasez de datos en el segundo y tercer cuadrante. Las hiptesis slo se deben usar en sus dominios verificados. La Mohr mod. II ajusta mejor los datos. Vase la tabla 2-2 y la figura 2-22 para un resumen respecto a la carga esttica dematerias frgiles y dctiles, y de los mtodos efectivos de anlisis.

Tabla 2-2 Hiptesis de Mohr modificada ll esttica bajo condiciones de esfuerzo biaxial para materiales frgiles.

2.4.CRTICA A LAS HIPTESIS POR MEDIO DE DATOS EN MATERIALES FRGILESSe ha identificado la falla o la resistencia de materiales frgiles que se asemejan al significado usual de la palabra frgil, al relacionar los materiales cuya deformacin real a la fractura es 0.05 o menor. Tambin nos hemos familiarizado con materiales normalmente dctiles que por alguna razn pueden desarrollar una fractura frgil o una grieta si se usan debajo de la temperatura de transicin. En la figura 2-26 se muestran datos para una fundicin de hierro de grado 30 tomado bajo condiciones de esfuerzo biaxial y que muestra varias hiptesis de falla frgil, superpuestas. Se observa lo siguiente:

En el primer cuadrante los datos aparecen en ambos lados y a lo largo del lugar geomtrico de falla del esfuerzo normal mximo, Mohr-Coulomb, Mohr mod. I Mohr mod. II. Todos los lugares geomtricos de falla son los mismos y los datos se ajustan bien.En el cuarto cuadrante slo la hiptesis de Mohr mod. II produce un lugar geomtrico de falla, el cual est dentro y entre los lados.En el tercer cuadrante los puntos A, B, C y D son muy pocos para hacer alguna sugerencia respecto al lugar geomtrico de la fractura.Es claro que a menos que el diseador est preparado para hacer ensayos considerables, deber evitar cargas en el segundo y tercer cuadrantes en un concepto contemplado. El cambio de concepto para estar en el primer o cuarto cuadrante es el camino menos costoso.

Figura 2-26 Grfica de puntos de datos experimentales obtenidos de ensayos de hierro fundido. Tambin se muestran las grficas de tres hiptesis de falla de utilidad posible para materiales frgiles. Note los puntos A, B, C y D. Para evitar congestin en cualquier cuadrante, los puntos se han graficado para as como para el sentido opuesto.

La presin para hacer las cosas provoca que los ingenieros utilicen cargas que se entienden cuantitativamente. En cualquier momento, se debe saber qu hacer y qu no hacer, a fin de actuar como corresponde.

2.5. QU NOS DICEN NUESTROS MODELOS DE FALLA

En el caso de materiales dctiles con resistencias de fluencia iguales en tensin y compresin, la teora de la energa de distorsin es la explicacin de los datos. Esto significa que si acepta esta tesis y se acta conforme a ella, las predicciones sern congruentes con la naturaleza. En el tema Materiales dctiles: hiptesis de la energa de deformacin, las ecuaciones (2-7) y (2-8) son el punto esencial, junto con la siguiente ecuacin (h). Como la configuracin media de los datos fue la base de las relaciones, estas ecuaciones son relaciones entre medias. Un enunciado ms poderoso es la probabilidad de encontrar una prdida de funcionalidad por fluencia, es la probabilidad que un caso del esfuerzo de von Mises exceda una instancia caso de una resistencia de fluencia

Se podra aproximar la incertidumbre, usando el mtodo Pilo y escribiendo

(2-19)

Donde el factor de diseo proviene de la experiencia acumulada de los xitos y fallas de ingeniera anteriores. Otra metodologa es el factor de diseo estocstico donde:

(6-20)

Una ms es el mtodo estocstico.

Examine la figura 2-21. El diseador necesita establecer una elipse de falla que se define por Si sta es informacin histrica de todas las coladas, como en la figura 2-27b, el CDV de para aceros clasificados 1035 es 5.36/49.5=0.108 y . Si el diseador o su compaa no han ordenado todava un acero 1035 y si falla tanto tiempo para la manufactura de la parte que el acero an no se ha fundido entonces, ste es todo el conocimiento que est disponible. La habilidad para ubicar la elipse ED para la falla por fluencia est obstaculizada por el nivel de incertidumbre de nuestro conocimiento de . Si una colada particular se encuentra almacenada en el patio del distribuidor de acero, entonces se puede construir mediante ensayos. Si se suministra la poblacin real a partir de la cual se seleccionarn las piezas de trabajo, entonces est disponible. El CDV ser menor que en la figura 2-27b, pero la media puede ser mayor o menor. La contraccin del CDV de es importante.

Figura 2-27 Histograma de propiedades a la tensin del acero 1035 laminado en caliente, en la condicin como sale la laminacin. Estos ensayos se realizaron partiendo de varillas redondas, variando su dimetro de1 a 9 pulg. a) Distribucin de la resistencia a la tensin de 930 coladas: b) Histograma de la resistencia a la fluencia de 899 coladas

Es conveniente ver la elipse ED como la mitad de una dona, presionada para formar una huella elptica en las figuras 2-17 y 2-21. Las rebanadas de lnea de carga radial definen las FDP. Se podrn dibujar elipses anidadas para representar contornos de probabilidad de la resistencia de fluencia.

De manera similar, nuestro conocimiento del esfuerzo de von Mises es estocstico por razones de variabilidad en la carga y en la geometra. El factor de diseo estocstico se puede obtener a partir de nuestro conocimiento de y . A menudo se puede usar y , y proceder de manera determinstica para lograr un riesgo aceptable de falla (fluencia).

En el caso de materiales frgiles, las hiptesis del ENM, de Coulomb-Mohr, de Mohr mod. Y Mohr mod. II coinciden en el primer cuadrante para el caso de esfuerzo biaxial. En el cuarto cuadrante la hiptesis de Coulomb-Mohr es conservadora y las otras tres coinciden y estn entre los datos de la regin . En la regin la Mohr mod. I es conservadora y la Mohr mod. II se encuentra entre los datos. Para la totalidad del primer y cuartocuadrantes, slo la Mohr mod. I es congruente con los datos.

como:

En el caso de materiales frgiles, el mtodo de Pilo se puede expresar

(2-21)

Donde se fija igual a la expresin para en las ecuaciones (2-16a) o (2-216c), para (2-17a) o (6-17c), o para las expresiones (2-18a) o (2-18c).

Al abordar la incertidumbre y la probabilidad de falla slo la hiptesis de Mohr mod. II se puede usar para as que y se determinan mediante la propagacin del error por medio de la ecuacin (2-18c) y sus auxiliares, las ecuaciones (2-18d). Los efectos de la carga y la geometra sobre se manejan como se hizo con los materiales dctiles:

(2-22)

O de esta manera:

(2-23)

2.6. CARGA ESTTICA O CUASIESTTICA EN UN EJE

La construccin cinemtica fundamental de nuevo universo mecnico es la rueda y el eje. Una parte esencial de esta junta de revolucin es el eje. Es un buen ejemplo de un cuerpo cargado dinmicamente esttico o cuasiesttico.

El esfuerzo en un elemento ubicado en la superficie de un eje redondo slido de dimetro d, sometido a flexin, carga axial y torcedura es:

(a) (b)Donde la componente axial del esfuerzo normal puede ser aditiva osustractiva. Se observa que las tres cargas M, F y T ocurren en una seccin que contiene el elemento superficial especfico bajo estudio.

Usando el crculo de Mohr se puede demostrar que los dos esfuerzos principales diferentes de cero y son:

(2-24)

Estos esfuerzos principales se pueden combinar para obtener el esfuerzo de von Mises como:

(2-25)

Si es til la hiptesis del cortante mximo,

(2-26)

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en las ecuaciones (2-24) y (2-25), se obtiene:

(2-27)

Para el esfuerzo de von Mises, y mediante la ecuacin (2-26) para la aproximacin del esfuerzo cortante mximo, se obtiene:

(2-28)

Las ecuaciones (2-27) y (2-28) permiten realizar una estimacin de o cuando se da el dimetro, o una estimacin de d cuando se da un valor permisible de o . Para un factor de diseo de la teora de la energa de distorsin de falla dctil proporciona el esfuerzo permisible de:

(2-29)

Para un factor de diseo de la hiptesis del cortante mximo de falla dctil proporciona un esfuerzo cortante permisible de:

(2-30)

2.6.1. CARGA ESTTICA O CUASIESTTICA DE UN EJE: FLEXIN Y TORSINBajo muchas condiciones, la fuerza axial F en las ecuaciones (2-27) y (2-28) es cero, o tan pequea que su efecto se puede ignorar. Con F=0, las ecuaciones (2-27) y (2-28) se convierten en:

(2-31) (2-32)Es ms fcil resolver estas ecuaciones para el dimetro d que lasecuaciones (2-27) y (2-28). Sustituyendo los esfuerzos permisibles en las ecuaciones (2-29) y (2-30) se obtiene, para la teora de falla de von Mises:

(2-33) (2-34)Y para la aproximacin del esfuerzo cortante mximo:

(2-35) (2-36)

Ejemplo 2-2

El ejemplo con pin integrado que se muestra en la figura 2-28 se va a montar en cojinetes en las ubicaciones que se muestran, y tambin va a tener un engrane montado (no se muestra) en el extremo sobresaliente de la derecha. El diagrama de carga (vase figura 2-29b) muestra que la fuerza del pin A y la fuerza del engrane en C estn en el mismo plano. Los pares de torsin y opuestos TA y TB se representan como concentrados en A y C. igual que las fuerzas. El diagrama del momento flexionante de la figura 2-28c muestra un mximo en A y B. El dimetro menor en B hace que sta sea el punto crtico en el centro del cojinete de la derecha. Como el eje se usa en emergencias espordicas, su uso no sobrepasar 1000 rpm con carga total, por lo que el problema se puede tratar como cuasiesttico.

a) El material es un acero al carbono tratado trmicamente con una resistencia a la fluencia media de 66 kpsi. En esta circunstancia el ingeniero de proyecto decide usar un factor de diseo de 1.80 Cul es el dimetro menor del cojinete de la derecha determinado a partir de la energa de distorsin y por medio de la aproximacin de la hiptesis del cortante mximo?b) El material tiene una resistencia de fluencia Sy~LN(66.0, 5.3) kpsi y el momento aplicado M~LN(1925,96) lbfpulg y un par de torsin correlacionado T~LN(3 300, 765) lbfpulg. Si la confiabilidad contra la fluencia en el cojinete de la derecha, de acuerdo con la estimacin de la teora de la energa de distorsin y calculado mediante el mtodo de la hiptesis del cortante mximo?

Solucin:

a) De la ecuacin (2-33),

De la ecuacin (2-35),

El dimetro depende de la decisin para el factor de diseo.

b) La ecuacin (2-33) se puede expresar de manera estocstica como:

Ya que no hay factor de concentracin del esfuerzo para carga esttica. Puesto que T y M estn correlacionados (=1), el cociente T/M es una constante determinstica, . La variabilidad en el esfuerzo es la misma que en M. De la siguiente ecuacin:

De la ecuacin (2-33),

Y de la ecuacin (2-35)

En la respuesta del inciso b) se utiliza un conocimiento estocstico de la carga (M y T) y de la resistencia (Sy); asimismo, responde a una meta especificada de confiabilidad.

Figura 2-28 El dimetro del cojinete izquierdo es 1 pulg, el dim