EL COMPORTAMIENTO ECONOMICO DE LA EMPRESA:

Hasta ahora se ha presentado todo lo relativo a la decisión de producir desde un punto de vista técnico, en base a unas hipótesis que han permitido llegar a la formulación de una función de producción como frontera del conjunto de producción, y que recogía la eficiencia técnica en el proceso productivo. Asimismo, a través del conjunto de requerimientos de factores para una producción determinada, se llega a la formulación de las isocuantas correspondientes a cada nivel de producción como lugar geométrico de las combinaciones de factores eficientes que permiten obtener una determinada cantidad de producto. Se establecieron , mediante las hipótesis adecuadas, las propiedades de la función de producción que permiten establecer para la misma una forma funcional con unas propiedades que muchos economistas llaman de buen comportamiento.

Corresponde ahora, una vez que se han descrito las posibilidades técnicas de la producción, estudiar el comportamiento de la empresa desde el punto de vista económico. Para ello se considera que la conducta de la empresa responde al objetivo de obtener el máximo beneficio , teniendo presente las limitaciones impuestas por la tecnología. En todo el estudio se supone que el marco institucional en que opera la empresa es la competencia perfecta. Esto supone que, tanto el precio del producto como los precios de los factores productivos, son exógenos para la empresa y por tanto independientes de sus decisiones de producción

Sea y0=f ( z1 , z2 ,……, zn )=f (z ) la función de producción de la empresa que proporciona el máximo producto obtenible y0 a partir del vector z de factores productivos. Suponemos que la tecnología disponible presenta rendimientos decrecientes de escala. El precio del producto es p , siendo q=¿,q2 ,… .. , qn ¿ el vector de precios de los factores de producción , precios que vamos a considerar estrictamente positivos. De acuerdo con el supuesto de competencia perfecta , a estos precios dados, la empresa puede adquirir cualquier cantidad de factores de producción que necesite y vender toda la cantidad de mercancía que produzca

Hay que recordar que no todos los planes de producción son posibles tecnológicamente para la empresa. Como la función de producción establece la frontera de los planes de producción tecnológicamente posibles, cualquier plan de producción ( y0 , z) ha de cumplir la restricción de factibilidad.

y0≤ f (z )

El plan de producción ( y0 , z) , le supone a la empresa hacer frente a unos

costes de ∑1

n

qi . zi=q . z para adquirir los factores productivos, y obtendrá unos

ingresos de p . y0 por la venta del producto. Por tanto, el beneficio de la empresa será la diferencia entre el ingreso obtenido por la venta del producto y el coste de los factores productivos. Como se ha supuesto que el modelo de comportamiento de la empresa es elegir un plan de producción que haga máximo su beneficio dados unos precios paramétricos, se puede expresar el objetivo de maximización del beneficio de ésta forma:

Max Π (z )=p . y0−q . z condicionado a:

y0≤ f ( z ) para ( y0 , z)∈R++¿n+1¿ y con ( p ,q)∈ R++¿n+1¿

En este problema , la función objetivo es cóncava y lineal. Como hemos supuesto rendimientos decrecientes de escala, la función de producción f(z) es estrictamente cóncava, siendo, por tanto, la función de restricción estrictamente cóncava. Por tanto , las posibles soluciones del problema vendrán determinadas por las condiciones Kuhn-Tucker para esta clase de problemas de programación cóncava.

El Lagrangiano correspondiente es el siguiente:

L ( y0 , z , λ ; p ,q )=p y0−qz+λ ( f (z )− y0 ) ,siendo las condiciones K-T:

∃ λ¿ tal que :

A) p− λ¿=0 ; y −q i+ λ¿ . f i ( z

¿)=0 parai=1,2… .. , n

B) λ¿>0

C) ( y0¿ , zx )∈R++¿n+1¿ y f ( z¿ )− y0¿ =0

Como p es estrictamente positivo y ,por la condición A) , tenemos que p= *>0λ , la condición B) resulta redundante.

Sustituyendo λ* por p resulta que, con las condiciones que hemos establecido para la función de producción f (z) , el plan de producción ( y0

¿ , z¿) será una solución del problema si y solamente si:

p . f i ( z¿ )−q i = 0 i=1,2……,n (1)

o lo que es lo mismo, si :

p . f i ( z¿ )=q i (2) y además

y0¿=f (z¿) con λ¿=p

Es decir la solución es eficiente , se encuentra en la función de producción que es la frontera eficiente de posibilidades de producción en el lugar de tangencia del hiperplano objetivo con la función de producción , que en el optimo actúa como función soporte del conjunto de posibilidades de producción que es un conjunto convexo. Esto quiere decir que para maximizar el beneficio la empresa estará produciendo en la frontera del conjunto de producción y no en el interior del mismo, pues en este caso la empresa estaría desperdiciando factores, lo que sería contradictorio con la maximización de beneficios

Las condiciones de suficiencia de K-T quedan garantizadas por la estricta concavidad de la función de restricción.

En el apéndice matemático se demuestra como el cumplimiento de las hipótesis que se establecieron para la función de producción garantizan que si existe solución al problema de maximización de beneficios , esta solución es única.

Por otra parte es de destacar la importancia de haber elegido una función de producción estrictamente cóncava que elimine los rendimientos no decrecientes de escala. Si existieran rendimientos constantes o crecientes de escala los beneficios siempre podrían aumentar (ver apéndice) , por tanto no estarían acotados y no se encontraría ninguna solución de máximo beneficio. Cuando más adelante se expongan problemas ya acotados en su formulación , podrá relajarse la exigencia de estricta concavidad para la función de producción y aceptar otro tipo de formas funcionales para ésta.

Debido a la estricta concavidad de la función de producción tenemos que f ii<0 , lo que permite confirmar el carácter decreciente de la productividad marginal f i. Igualmente , es necesario poner de manifiesto la lógica económica que subyace en las ecuaciones (2) . El valor de la productividad marginal física del factor i-esimo( es decir el ingreso que se obtendría en el mercado por la venta

del producto obtenido aplicando una unidad marginal adicional del factor i-esimo) es igual a q i que es el precio del factor. En caso de que p . f i>q i , resulta que el valor de mercado del producto obtenido con la aplicación de una unidad marginal del i-esimo factor, sería superior al coste de dicho factor, y la empresa aumentaría su beneficio aumentando la cantidad utilizada de dicho factor. Por el contrario, si el precio del factor i-esimo fuera superior al valor del producto obtenido con una unidad adicional del factor, el beneficio aumentaría disminuyendo la cantidad aplicada del factor productivo. Por tanto. Para maximizar el beneficio , habrá que utilizar los factores productivos hasta el punto en que el valor del producto marginal de los mismos iguale a su precio.

Por otra parte, si establecemos una relación por pares entre las ecuaciones deducidas en (2), obtenemos la condición de que el cociente de las productividades marginales de dos factores ha de ser igual al cociente de sus precios. Si se tiene en cuenta que el cociente de las productividades marginales de los factores es la Relación Técnica de Sustitución, y que ésta mide la relación en que deben intercambiarse los factores para que la producción se mantenga constante, ésta debe igualarse a la relación de intercambio real que el mercado establece para los factores y que es el cociente de sus precio

Funciones de demanda de factores y de oferta del producto,

La solución única del problema de maximización de beneficio permite obtener las siguientes funciones

z i¿=zi

¿ ( p ,q)(i=1,2 ,……. ,n) Funciones de demanda de factores (4)

y0¿= y0

¿ (p ,q) Función de oferta del producto (5)

Las condiciones K-T de primer orden (1) definen implícitamente a a las z i en función de los precios del producto y de los factores.

Diferenciando totalmente estas funciones definidas en las C.P.O p se obtiene:

f idp+p [ f i1d z1+…+ f ¿d zn ]−d qi=0(i=1,2 ,……,n)

Expresando el sistema en forma matricial

[F ij] [dz ]=1p

[d qi−f i . dp ]

Teniendo en cuenta la expresión (2) podemos escribir : f i=qip

y sustituyendo

este valor de f i en la expresión anterior tenemos que:

[F ij] [dz ]=[ p .d q i−q i. .dpp2 ] =[d ( qip )] Pero el determinante [F ij] es el Jacobiano correspondiente a al sistema de ecuaciones (4) y como es no nulo por la concavidad estricta de la funcíon f (z) , de acuerdo con el teorema de las funciones implícitas, existirán las funciones (4). (Apendice)

Por otra parte como y0=f ( z )=f ¿ también existirá la función (5)

Estas funciones de demanda de factores z i¿=zi

¿ ( p ,q)representan cuantas unidades del factor i utilizará la empresa cuando maximiza beneficios para unos precios ( p ,q)que son exógenos a la empresa.

Igualmente la función de oferta del producto y=p,q representa la cantidad de producto que producirá la empresa , para maximizar beneficios para unos precios dados (p.q)

Homogeneidad de las funciones de demanda de factores y de oferta del producto

La funciones de demanda de factores son homogéneas de grado cero enp,q

Al resolver el problema de maximización del beneficio obtuvimos que el plan de producción (y0*,z*) era una solución para (p,q) dados , si y solamente si, se cumplía:

p.fiz*= qi y además

y0*=f(z*)

Si multiplicamos todos los precios por un escalar l , para los nuevos precios (lp,lq) el plan de producción (y,z) es solución del problema si y solamente si:

lp.fiz= lqi y además

y0=f( z)

En la primera de las dos ecuaciones anteriores, la l puede eliminarse. De esta forma, (y0*,z*) es la solución maximizadora , no solo para (p,q) , sino también en (lp,lq) . Por tanto :

zi*lp,lq =zip,q

La función de oferta del producto y0*=y0*p.q también es homogénea de grado cero en (p.q) por serlo las funciones de demanda de factores y estos constituyen los argumentos de la función de producción. En efecto :

y0*=fz*=f(z*p,q)

La función de beneficio

Dado que existen funciones de demanda de factores y de oferta del producto, se pueden expresar ahora de forma explícita los beneficios como función de todos los precios. Basta con sustituir las funciones de demanda de factores y de oferta del producto en la ecuación que expresa el beneficio:

Π=p.y0-q.z=p.y0*p,q-q.z*p,q=Π(p,q) (6)

Esta función que resulta de sustituir en la función objetivo las cantidades de factores y de producto, por las funciones que determinan las soluciones del problema, indica para cada (p,q) , el beneficio máximo que puede obtener la empresa.

Propiedades de la función de beneficio.

ºuno en (p,q) y estrictamente convexa.

Las propiedades de crecimiento en p y decrecimiento en q son evidentes : ∂Π∂p>0 y todas las ∂Π∂zi<0

La propiedad de homogeneidad de grado uno es también evidente.