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1º.- EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES

Coordenadas de un punto: Tomamos un punto

fijo O (origen) del espacio real de tres

dimensiones (que es en el que nos movemos).

Cada punto P del espacio determina con O un

vector único OP . De este modo, la descripción

analítica de los puntos del espacio se reducirá a

la de los vectores libres del espacio.

Sea 321 ,, eeeB = , una base del espacio de los

vectores libres. Existe una terna de números

(x1, x2, x3) tales que:

332211 ··· exexexOP ++=

Es decir, fijado un punto O y una base 321 ,, eeeB = :

A CADA PUNTO Le corresponde UN VECTOR Le corresponden UNAS

COORDENADAS

P OP (x1, x2, x3)

A cada punto le corresponderán unas coordenadas y recíprocamente.

Por todo lo anterior ( ) 321 ,,; eeeOR = se llama sistema de referencia en el espacio.

En adelante, y mientras no se diga lo contrario,

se supone que estamos utilizando una base

ortonormal.

A los ejes de coordenadas, rectas que pasan por

el origen y son paralelas a los vectores de la

base, los llamaremos X, Y, Z.

OBTENCIÓN GRÁFICA DE LAS COORDENADAS DE UN PUNTO P:

Se proyecta P sobre los planos coordenados XY, XZ, YZ, y los puntos obtenidos se proyectan sobre los

ejes coordenados X, Y, Z:

segmento PD=c (paralelo al eje z)

segmento OA=BD=a (perpendicular al eje Y)

segmento OB=AD=b ( perpendicular al eje X)

Las coordenadas del punto P serán (a, b, c).


VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS:

Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) el

vector AB tiene de coordenadas:

( )121212 ,, zzyyxxOAOBAB −−−=−=

O sea, para obtener las coordenadas del vector que va de un punto a otro, se restan: (coordenadas del

extremo)- (coordenadas del origen).

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Sean A y B dos puntos distintos, M el punto medio del segmento AB, entonces se verifica:

ABMBAM2

1== . Por tanto:

( ) ( ) =−−−+=+=+= 121212111 ,,2

1,,

2

1zzyyxxzyxABOAAMOAOM

+++=

2,

2,

2

212121 zzyyxx

Semisuma de las coordenadas de los extremos de los segmentos.


2º.- ECUACIONES DE LA RECTA

Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector u no nulo, que se llama vector

director de la recta. El vector aOA = se llama vector de posición del punto A.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Un punto cualquiera, X, de la recta cumple la condición siguiente: RtutAX = ,

Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:

Rtutax =− ,

de donde:

Rtutax += ,

Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Si en la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas se obtiene:

(x, y, z)=(x1, y1, z1) + t(a, b, c)

ECUACIÓN CONTINUA:

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

c

zz

b

yy

a

xx 111 −=

−=

−

x=x1 + ta

y=y1 + tb tR

z=z1 + tc


Si uno o dos de los tres denominadores son nulos, la expresión carece de sentido numérico. No obstante

se acostumbra a poner la igualdad en cualquier caso dándole sentido simbólico, de proporción.

Otra forma de determinar una recta r es mediante un punto A y dos vectores n y 'n perpendiculares

a r. El vector director de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de n y 'n : 'nxn .

PUNTOS ALINEADOS:

Tres o más puntos del espacio son colineales o están alineados cuando pertenecen a la misma recta.

nAAAA ,...,,, 321 están alineados rango ( ) 1,...,, 13121 =nAAAAAA .

3º.- ECUACIONES DEL PLANO

Un plano a en el espacio queda determinado mediante un punto A y dos vectores v y w no nulos y no

proporcionales (paralelos al plano), que se llaman vectores direccionales del plano.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Un punto cualquiera X pertenece al plano a, si el vector AX depende de v y w ; es decir:

RsRtwsvtAX += ,,

o también: ( ) 0,,det =wvAX

Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:


del dibujo se tiene: AXOAx += (siendo wsvtAX += )

de donde:

RsRtwsvtax ++= ,,

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Sustituyendo en la ecuación anterior los vectores por sus coordenadas se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )',',',,,,,, 111 cbascbatzyxzyx ++=

de donde:

++=

++=

++=

'

,'

'

1

1

1

sctczz

RsRtsbtbyy

sataxx

ECUACIÓN IMPLÍCITA:

Si utilizamos la expresión vectorial, se obtiene:

0

'''

111

=

−−−

cba

cba

zzyyxx

(puesto que el rango de la matriz asociada a este determinante es dos, ya que el vector ax − es

combinación lineal de los vectores wv, ).

ACLARACIÓN:

Si os fijáis en el dibujo, los vectores u , v y AP , son coplanarios, es decir, los tres están en el plano

π. Por lo que son linealmente dependientes. Por tanto, su rango es menor que 3. Es decir, su

determinante vale 0.

Desarrollando el determinante por la primera fila, se obtiene:

( ) ( ) ( ) 0''''''

111 =−+−+− zzba

bayy

ca

caxx

cb

cb

Aquí, operando y simplificando, se llega a una ecuación del tipo:

en la que A, B y C no son los tres nulos y es la ecuación implícita o general del plano.

Ax+By+Cz+D=0


CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR NORMAL A UN PLANO

' ' '

i j k

uxv a b c n

a b c

= =

( ), , , ,' ' ' ' ' '

b c a c a bn uxv A B C

b c a c a b

= = − =

Por otro lado, teníamos:

0

'''

111

=

−−−

cba

cba

zzyyxx

que es la ecuación del plano que contiene a los vectores u y v .

Es decir: ( ) ( ) ( ) 0''''''

111 =−+−+− zzba

bayy

ca

caxx

cb

cb

Osea, operando: 0' ' ' ' ' '

b c a c a bx y z D

b c a c a b+ + + = , donde D es un número que obtienes al

operar.

Y los coeficientes de x, y, z, coinciden con las componentes del vector producto vectorial uxv .

ECUACIÓN NORMAL:

Otra forma de determinar un plano a es mediante un punto A del plano y un vector n normal

(perpendicular) al plano.


Si X es cualquier punto del plano, se verifica:

0)·(0· =−= axnAXn

Si ( )CBAn ,,= , sustituyendo las coordenadas de los vectores en la expresión anterior, se tiene:

( ) ( ) ( ) 0111 =−+−+− zzCyyBxxA

o bien, operando: Ax+By+Cz+D=0

ECUACIÓN SEGMENTARIA:

Un plano “a” no paralelo a ninguno de los tres ejes, y que no pasa por el origen, corta a los ejes en tres

puntos. Sean A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c):

Sea ( )0,,baABv −== y ( )caACw ,0,−== :

0

0

0 =

−

−

−

ca

ba

zyax

Operando, se obtiene:

1=++c

z

b

y

a

x

ECUACIONES DE LOS EJES Y DE LOS PLANOS COORDENADOS:

Planos: OXY z=0

OXZ y=0

OYZ x=0

Ejes: OX

=

=

0

0

z

y; OY

=

=

0

0

z

x;

OZ

=

=

0

0

y

x


4º.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO

Las posiciones de una recta y un plano en el espacio son:

-Recta y plano secantes:

Tienen un punto en común.

-Recta y plano paralelos:

No tienen ningún punto en común.

-Recta contenida en el plano:

Todos los puntos de la recta pertenecen al

plano.

EXPRESIÓN VECTORIAL:

Consideramos la ecuación vectorial de la recta y la ecuación vectorial normal del plano:

utaxr +=: y 0: = nXA

Se presentan los siguientes casos:

0 nu Recta y plano secantes (Los vectores no son

ortogonales).

0= nu A Recta y plano paralelos (Los vectores son

ortogonales, pero no tienen puntos

comunes).

A Recta contenida en el plano (Los vectores

son ortogonales y tienen un punto en

común).


EXPRESIÓN ANALÍTICA:

Consideramos la recta y el plano dados por las ecuaciones generales (recta como intersección de dos

planos):

=+++

=+++

0

0:

1111 DzCyBxA

DCzByAxr y a: A2x+B2y+C2z+D2=0

Estudiamos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz A de los coeficientes y la matriz M

ampliada son:

=

222

111

CBA

CBA

CBA

A y

=

2222

1111

DCBA

DCBA

DCBA

M

Se tienen los siguientes casos:

Rango(A)=3 rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en

un único punto. Por tanto, la recta y el plano son secantes.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. No tienen ningún punto en común. Por

tanto, la recta y el plano son paralelos.

rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro. Por tanto, la recta está contenida

en el plano.

5º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Las posiciones de dos planos en el espacio son:

-Planos secantes:

Tienen en común los puntos de una recta.

-Planos paralelos:

No tienen ningún punto en común.

-Planos coincidentes:

Tienen todos sus puntos en común.


EXPRESIÓN VECTORIAL

Consideramos los planos y dados por las ecuaciones vectoriales normales:

0·: = nXA y 0·: = nXA


( ) 2, = nnrango Planos secantes (Los vectores normales no son paralelos).

( ) 1, = nnrango nA Planos paralelos (Los vectores normales son paralelos y un

punto no es común a los dos planos).

nA Planos coincidentes (Los vectores normales son paralelos y

tienen un punto común).

Consideramos los planos a y b dados por las ecuaciones vectoriales:

wsvtax ++= : y '': wsvtax ++=


( ) 3',',, =wvwvrango Planos secantes (Hay 3 vectores linealmente independientes).

( ) 2',',, =wvwvrango nA Planos paralelos (Sólo hay dos vectores l.i. y un

punto no es común a los dos planos).

nA Planos coincidentes (Sólo hay dos vectores l.i. y

tienen un punto común).


Consideramos los planos y dados por las ecuaciones generales:

: Ax+By+Cz+D=0

:A’x+B’y+C’z+D’=0

Estudiaremos el sistema formado por estas dos ecuaciones:

La matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada M son:

=

''' CBA

CBAA y

=

'''' DCBA

DCBAM

rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro. Por tanto, los dos planos se cortan

en una recta y son secantes.

rango(A)=1 rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado. Las dos ecuaciones son

linealmente dependientes. Por tanto, los planos tienen todos

sus puntos en común, es decir, son paralelos coincidentes.

rango(M)=2 Sistema incompatible. Los planos no tienen ningún punto en

común, por tanto, son paralelos distintos.


En la práctica es más ágil estudiar la proporcionalidad de coeficientes y términos independientes.

=='''' D

D

C

C

B

B

A

A Planos paralelos distintos.

==='''' D

D

C

C

B

B

A

A Planos paralelos coincidentes.

Coeficientes no proporcionales Planos secantes.

Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado y su ecuación es:

Ax+By+Cz+k=0, k R

6º.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Consideramos los planos , y g dados por sus ecuaciones generales:

:Ax+By+Cz+D=0

:A1x+B1y+C1z+D1=0

g:A2x+B2y+C2z+D2=0

Estudiaremos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz de los coeficientes A y la matriz

ampliada M son:

=

222

111

CBA

CBA

CBA

A y

=

2222

1111

DCBA

DCBA

DCBA

M

Rango(A)=3 rango(M)=3

Sistema compatible determinado.

Los tres planos se cortan en un

punto.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningún

punto en común.

Los planos se cortan

dos a dos formando

una superficie

prismática.

Dos de los planos son

paralelos y el otro los

corta.


Rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro.

Los tres planos son

distintos y se cortan

en una recta.

Dos planos son

coincidentes y el otro

los corta.

Rango(A)=1 rango(M)=2 Sistema incompatible. Puesto que rango(A)=1, los tres

planos son paralelos.

Los planos son

paralelos y distintos

dos a dos.

Dos de los planos son

coincidentes y el otro

paralelo a ellos y

distinto.

rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado.

El sistema se reduce

a una sola ecuación y

los planos son

coincidentes.

HAZ DE PLANOS SECANTES:

Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del

haz y su ecuación es:

t(Ax+By+Cz+D)+s(A1x+B1y+C1z+D1 )=0, t, sR


7º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Las posiciones de dos rectas en el espacio son:

-Rectas secantes:

Tienen un punto en común.

-Rectas coincidentes:

Tienen todos los puntos en común.

-Rectas paralelas:

No tienen ningún punto en común y

están en un mismo plano.

-Rectas cruzadas:

No tienen ningún punto en común y no están

en un mismo plano.

EXPRESIÓN VECTORIAL:

Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones vectoriales: utaxr +=: y vtbxs +=:


( ) 2, =vurango ( ) 3,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos y

los tres vectores son l.i.. Por tanto, se

cruzan.

( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos,

pero los tres vectores son l.d. Luego, se

cortan.

( ) 1, =vurango ( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores son paralelos, pero

las rectas no pueden coincidir. Luego son

paralelas distintas.

( ) 1,, =ABvurango Los tres vectores son paralelos, luego las

rectas son coincidentes.

En la práctica se estudia la proporcionalidad de los tres vectores:

• Si los vectores directores son proporcionales: paralelas o coincidentes. Si los tres vectores son

proporcionales, coincidentes. En caso contrario paralelas distintas.

• Si los vectores directores no son proporcionales: secantes o se cruzan. Si además el determinante

formado por los tres vectores es 0 rectas secantes. En caso contrario, se cruzan.


Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones generales (como intersección de 2 planos):

=+++

=+++

0

0:

1111 DzCyBxA

DCzByAxr y

=+++

=+++

0

0:

3333

2222

DzCyBxA

DzCyBxAs


Sea A la matriz de los coeficientes y M la matriz ampliada.


Rango(A)=3 rango(M)=4 Sistema incompatible. Los cuatro planos no tienen ningún punto

en común. Por tanto, se cruzan.

rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto. Por

tanto, secantes.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Las rectas están en el mismo plano.

Luego son paralelas distintas.

rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Sólo dos ecuaciones son

independientes. Son coincidentes.

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