Practica de Laboratorio - Abril de 2015Experimentos en Fsica Moderna

Practica de Laboratorio: El Experimento de Franck yHertzDaniel Solano1*

ResumenA partir de la medicion experimental de seis conjuntos de datos (uno para cada temperatura) se logro evidenciarla cuantizacion de los niveles de energa de los electrones en los atomos de mercurio (Hg). El montajeexperimental consto de un horno (que contena vapor de mercurio), en el que desde un catodo los electronesemitidos colisionaban elastica e inelasticamente con atomos de mercurio, permitiendo determinar la cantidadde energa que los electrones (de los electrones en los atomos de mercurio) podan perder (o absorber). Losresultados estuvieron conformes a la teora pertinente, arrojando caractersticas esenciales que permitieronevidenciar la cuantizacion de los niveles de energa de los electrones en los atomos de mercurio.

Palabras ClaveExperimento de Franck y Hertz - Cuantizacion Niveles de Energa

1Departamento de Fsica, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia.* dfsolanol@unal.edu.co

Introduccion

El Experimento de Franck y Hertz fue la primera medicionelectrica que evidencio la cuantizacion de los niveles de en-erga de los electrones en los atomos (i.e. la naturalezacuantica de los atomos). Franck y Hertz descubrieron que,cuando un electron (incidente) colisionaba con un atomo demercurio (Hg), un electron de este (de Hg) unicamente podaperder (o absorber) una determinada cantidad (4,9 eV) deenerga, y que esta perdida corresponda a la desaceleraciondel electron incidente desde una velocidad de 1,3x106 ms1hasta conseguir el estado de reposo (0 ms1).

En 1913, Niels Bohr propuso un modelo del atomo de hidrogenoque junto con el trabajo de Planck, Einstein y Rutherfordpredijo exitosamente su espectro observado. En este modelo,Bohr considero circulares las orbitas de los electrones.

Suponiendo lo anterior, tenemos que

F =kZe2

r2= mar = m

v2

r(1)

Las leyes de la electrodinamica predicen que esta carga aceler-ada irradiara luz de frecuencia igual a la de su movimientoperiodico. En este sentido, tenemos (clasicamente) que

=v

2pir=

(kZe2

rm

) 12 1

2pir=

(kZe2

4pi2m

) 12 1

r3/2

1r3/2

(2)

En consecuencia, la energa total del electron E esta dada por

E =12

mv2 +( kZe

2

r2

)(3)

Pero como (segun (1)) 12 mv2 = kZe2/2r, entonces (3) resulta

ser

E =kZe2

2r kZe

2

r=kZe

2

2r1

r(4)

De este modo, la fsica clasica predice que, en la medida quela energa se pierde por radiacion, la orbita del electron es cadavez menor, mientras que la frecuencia de la radiacion emitidaes cada vez mayor. El modelo predice que el atomo emitiraun espectro contnuo y colapsara despues de cierto tiempo(Figura 1a), lo cual es algo que no ocurre. Bohr, postulo quelos electrones podan unicamente moverse en ciertas orbitassin emitir radiacion (primer postulado), y que el atomo ir-radia cuando el electron realiza una transicion de una orbita(llamada estado estacionario) a otra (Figura 1b) en el cual lafrecuencia de la radiacion emitida se relaciona con las en-ergas de los estados inicial y final (Ei y E f , respectivamente)de acuerdo a

h = EiE f (5)

donde h es la constante de Planck.

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Figura 1. (a) En el modelo orbital clasico, el electron orbita alrededor delnucleo y se acerca a este a lo largo de una trayectoria espiral. [1](b) En el modelo de Bohr, el electron orbita sin irradiar hasta que este salta auna orbita de menor energa. [1]

En el modelo atomido de Bohr, el momento angular delelectron esta dado por L = nh/2pi , con n un entero (i.e. estacuantizado), es decir

L = mvr =nh2pi

= n}, n = 1,2, ... (6)

Por lo tanto (y solucionando para v en (1))

r =n}mv

=n}m

(rm

kZe2

) 12

(7)

r2 =n2}2

m2

(rm

kZe2

)(8)

rn =n2}2

mkZe2=

n2a0Z

(9)

donde a

a0 =}2

mke2= 0,529A = 0,0529nm (10)

se se conoce como el radio de Bohr.

La energa total del electron (sustituyendo rn en (4)) resultaser

En =kZe2

2rn=kZe

2

2

(mkZe2

n2}2

)=E0

(Zn

)2n= 1,2, ...

(11)

donde E0 = mk2e4/2}2 (i.e. la energa tambien esta cuanti-zada). Es decir, a cada estado estacionario (orbita) del electronle corresponde un valor de energa total. Por lo tanto, (segun(5)) tenemos que

h = Eni En f =E0(

Zn

)2E0

( Z

n

)2(12)

=E0Z2

h

(1n2f 1

n2i

)=

c

(13)

1

=E0Z2

hc

(1n2f 1

n2i

)= Z2R

(1n2f 1

n2i

)(14)

donde

R =E0hc

=mk2e4

4pic}3(15)

es la prediccion de Bohr para el valor de la constante de Ryd-berg, (el cual coincide con el valor obtenido en espectroscopa,el cual es 1,097107m1).

Arreglo Experimental y Procedimiento

En el experimento, se hizo uso de los siguientes elementos:

- Horno (que contiene vapor de mercurio)

- Fuente de voltaje DC

- Multmetro

- Termometro

- Bitacora y Anotador

En la Figura 2 se muestra un diagrama esquematico del arregloexperimental. Un pequeno filamento eleva la temperaturade del catodo. Los electrones se eyectan desde el catodo yson acelerados hacia una rejilla, la cual esta a un potencialpositivo V0 con respecto al catodo. Algunos electrones cruzana traves de la rejilla y alcanzan la lamina (o colector) P, lacual esta a un potencial VP =V0V . En el tubo se introducevapor de mercurio a baja presion (Por que Hg? Porque(en estado gaseoso) es monoatomico y porque su presionpuede controlarse facilmente). En el experimento, se mide lacorriente de la lamina (corriente de colector) en funcion delvoltaje V0 (voltaje de aceleracion).

Figura 2. Diagrama esquematico del experimento de Franck y Hertz. [1]

Practica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz 3/6

La explicacion de este resultado es mas sencillo de entendersi suponemos que el tubo contiene atomos de hidrogeno envez que de mercurio (Figura 3). Los electrones acelerados(debido a V0) que colisionan con los atomos de hidrogenono pueden transferir energa a estos (i.e. a los atomos dehidrogeno) a menos que hayan adquirido una energa cineticaeV0 = E2E1 = 10,2eV, ya que el electron en el atomo dehidrogeno (segun el modelo de Bohr) no puede ocupar estadosde energas intermedias entre E1 y E2 .

Figura 3. Dispersion de electrones incidentes en el atomo de hidrogeno.[1]

En este caso, la colision es elastica y, por lo tanto, la energacinetica de los electrones incidentes permanecera constante, ypor consiguiente logran vencer el potencial V , contribuyendoa la corriente I. Sin embargo, si eV0 10,2eV, el electronincidente puede transferir 10,2eV de energa (al electron dehidrogeno) en el estado base (orbita n = 1), colocandolo enla orbita n = 2 (i.e el electron incidente pierde una energa de10,2eV; este ha sido dispersado inelasticamente) (Figura 4).

Figura 4. Colision inelastica (izquierda) y elastica (derecha) de electronescon atomos de Hg. En una colision inelastica, los electrones incidentespierden energa cinetica (i.e. la reciben los atomos de Hg), mientras que enuna colision elastica, estos unicamente cambian su direccion. [6]

Con una cantidad de energa insuficiente para vencer el po-tencial de retardo VR, los electrones incidientes no puedencontribuir a la corriente de colector I, lo cual la hace decrecerconsiderablemente.

En el caso de que el horno contenga atomos de mercurio, lasituacion es mas complicada, pues cada uno de estos posee 80electrones. En definitiva, si estos son excitados a un nivel deenerga de 4,9eV por encima del estado base debe emitir luz

de longitud de onda

=c

=hch

=hceV0

= 253nm (16)

De hecho, existe una linea de esta longitud de onda en elespectro del mercurio.

El experimento de Franck y Hertz fue una importante confir-macion de la idea de que el espectro optico (discreto) se debaa la existencia de atomos de niveles discretos de energa quepodan ser excitados por metodos no opticos. La grafica IVdel experimento toma la forma de la Figura 5.

Figura 5. Relacion IV en experimento de Franck y Hertz. La corrienteI decrece porque muchos electrones incidentes pierden energa debido a lascolisiones inelasticas con los atomos de Hg, lo cual hace que no puedanvencer el potencial de retardo VR. [1]

Secuencia Experimental

En el arreglo experimental ya mencionado, se dispuso a mediry registrar la relacion entre la corriente de colector I en funciondel voltaje de aceleracion V0 (= V ) para cada uno de los 4potenciales de retardo VR(=1,5V, 2,0V, 2,5V y 3,0V). Esteprocedimiento se realizo para cada uno de los 6 valores detemperatura del horno (152 C, 164C , 170 C, 182 C, 192C y 204 C). Como veremos, la relacion IV presentaraalgunos maximos, de modo que, si los maximos ocurren enV0,V1, ..., los espaciamientos (multiplicados por e) Vk =VkVk1 (k = 1,2, ...) indicaran la cantidad de energa que pierdenlos electrones en los atomos de mercurio. En la Tabla 1 semuestran las incertidumbres de las medidas involucradas enel experimento.

Tabla 1. Incertidumbres

Medida Incertidumbre

Temperatura 1 CCorriente de Colector 0,1 mAVoltaje de Aceleracion 1 mV

En cada uno de los valores de temperatura, se calculara el es-paciamiento promedio V para cada uno de los 4 potenciales

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de retardo. Es decir, para cada temperatura se calcularan los 4valores de espaciamiento promedio V . Luego a esto, calcu-laremos el espaciamiento promedio VT (uno para cada unode los 6 valores T de temperatura) y se graficaran en funcionde la temperatura T .

Resultados y Analisis

En las figuras Figura 6, Figura 7, Figura 8, Figura 9, Figura10 y Figura 11 se muestran los resultados experimentales de larelacion Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion paravalores de temperatura (para cada voltaje de retardo) de 152C, 164C , 170 C, 182 C, 192 C y 204 C, respectiva-mente.

En la forma de la relacion Corriente de Colector - Voltajede Aceleracion se evidencia que los electrones en los atomosde mercurio unicamente pueden perder (o absorber) ciertacantidad de energa (indicada por los espaciamientos (multi-plicados por e) Vk =VkVk1 (k = 1,2, ...)).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 6. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 152C.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 7. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 164C.

0

500

1000

1500

2000

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 8. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 170C.

0

200

400

600

800

1000

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 9. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 182C.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 10. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 192C.

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0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25

Corr

ient

e de

Col

ecto

r (m

A)

Voltaje de Aceleracion (V)

1,5V2,0V2,5V3,0V

Figura 11. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleracion para unatemperatura T = 204C.

Las tablas Tabla 2, Tabla 3, Tabla 4, Tabla 5, Tabla 6 y Tabla7 resumen los resultados obtenidos en esta practica de lab-oratorio, cuya interpretacion ya se indico en la SecuenciaExperimental.

Tabla 2. T = 152CVR(V) V1(V) V2(V) V (V)

1,5 4,845 5,070 4,9572,0 4,935 4,950 4,9522,5 5,100 5,760 5,4303,0 5,040 5,070 5,055

Tabla 3. T = 164CVR(V) V1(V) V2(V) V3(V) V (V)

1,5 4,845 4,860 4,950 4,8852,0 4,560 4,890 5,025 4,8252,5 4,800 4,920 5,040 4,9203,0 4,920 5,010 5,070 5.000

Tabla 4. T = 170CVR(V) V1(V) V2(V) V3(V) V4(V) V (V)

1,5 4,680 4,770 4,920 4,875 4,8112,0 4,560 4,875 4,830 4,935 4,8002,5 4,425 4,800 4,935 4,890 4,7533,0 4,650 4,830 4,860 4,965 4,826

Tabla 5. T = 182CVR(V) V1(V) V2(V) V3(V) V4(V) V (V)

1,5 4,530 4,785 4,785 4,890 4,7482,0 4,545 4,770 4,845 4,875 4,7592,5 4,500 4,650 4,905 4,830 4,7213,0 4.715 4,740 4,890 4,830 4,794

Tabla 6. T = 192CVR(V) V1(V) V2(V) V3(V) V4(V) V (V)

1,5 5,055 4,530 4,605 4,680 4,7182,0 5,160 4,355 4,680 4,755 4,7382,5 5,175 4,440 4,650 4,785 4,7633,0 4,425 4,485 4,710 4,740 4,590

Tabla 7. T = 204CVR(V) V1(V) V2(V) V3(V) V4(V) V (V)

1,5 5,220 4,125 4,605 4,635 4,6462,0 5,520 4,320 4,515 4,770 4,7812,5 5,220 4,350 4,470 4,755 4,6993,0 4,305 4,200 4,710 4,710 4,481

En la Figura 12 se muestran los valores de los espaciamientosque (multiplicados por e) indican la cantidad de energa quelos electrones (en los atomos de mercurio) pueden perder (oabsorber).

4

4.5

5

5.5

6

150 160 170 180 190 200 210

Espa

ciam

ient

o de

Vol

taje

(V)

Temperatura (C)

Valor EstablecidoDatos Experimentales

Figura 12. Espaciamiento de Voltaje - Temperatura.

En la Tabla 8 se indican los valores de la energa eVT quecada electron en un atomo de mercurio puede perder (o ab-sorber) y su error porcentual (con respecto al valor establecido(4,9 eV)) para cada valor T de temperatura. En esta tabla, seevidencia que el valor de eVT disminuye (ligeramente) amedida que T aumenta. Adicionalmente (mirar figuras) puedeobservarse que, para cierto valor Vk de voltaje de aceleracion,su corresponiente corriente de colector disminuye a medidaque T aumenta (i.e. si I(Vk) = Ik(0) (para T0) y I(Vk) = Ik(1)(para T1), entonces Ik(0) > Ik(1), siempre que T0 < T1). Estose debe a que (causado por una energa termica de tipo vibra-cional) el filamento empuja a los electrones desde el catodo,y que, a medida que este (el catodo) aumenta en su temper-atura, estos son mas energeticos, y por lo tanto, el numerode electrones que colisionan inelasticamente (i.e. dispersa-dos inelasticamente) con los atomos de Hg va a ser mayor,produciento una disminucion en la corriente de colector.

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Tabla 8. Valores de energa

VR (C) eVT (eV) Error Porcentual (%)

152 5,099 4,061164 4,908 0,163170 4,797 2,102182 4,755 2,959192 4,702 4,041204 4,651 5,082

Conclusiones

El valor de eVT disminuye (ligeramente) a medida queT aumenta.

Para cierto valor Vk de voltaje de aceleracion, su cor-responiente corriente de colector disminuye a medidaque T aumenta.

Los valores de la energa eVT que cada electon enun atomo de mercurio puede perder (o absorber), estu-vieron cercanos (con un error porcentual de no mas de5,082 %) al valor establecido (4,9 eV).

Los resultados estuvieron conformes a la teora per-tinente, arrojando caractersticas esenciales que per-mitieron evidenciar la cuantizacion de los niveles deenerga de los electrones en los atomos de mercurio.

Referencias

[1] Tipler, P., Llewellyn, R. Modern Physics. Sixth Edition,2012.

[2] Townsend, J. Quantum Physics. A Fundamental Ap-proach to Modern Physics. 2010.

[3] Thomson, M. Modern Particle Physics. CambridgeUniversity Press, 2013.

[4] Natarajan, V. Modern Atomic Physics. CRC Press,2015.

[5] Eisberg, R., Resnick, R. Quantum Physics of Atoms,Molecules, Solids, Nuclei and Particles. Second Edi-tion, 1985.

[6] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html