EL MODELO VAN HIELEEL MODELO VAN HIELE

De los educadores holandeses Dina Van De los educadores holandeses Dina Van Hiele Geldof y su esposo Pierre Marie Hiele Geldof y su esposo Pierre Marie

Van HieleVan Hiele

Ana Rodríguez ChamizoAna Rodríguez Chamizoanarchamizo@gmail.comanarchamizo@gmail.com

Presentaremos una panorámica del una panorámica del modelo y sus implicaciones en el modelo y sus implicaciones en el aulaaula

una panorámica del modelo y sus implicaciones en el una panorámica del modelo y sus implicaciones en el aulaaula

• El modelo VAN HIELE de pensamiento geométrico El modelo VAN HIELE de pensamiento geométrico ayuda a guiar la enseñanza y el aprendizaje de la ayuda a guiar la enseñanza y el aprendizaje de la geometría, así como a evaluar las habilidades de geometría, así como a evaluar las habilidades de los alumnoslos alumnos

• La enseñanza consistirá en llevar a una persona La enseñanza consistirá en llevar a una persona que se encuentra ante una actividad matemática que se encuentra ante una actividad matemática concreta en el nivel i hasta el siguiente, i+1concreta en el nivel i hasta el siguiente, i+1

• Si se consigue, ha habido aprendizajeSi se consigue, ha habido aprendizaje

EL MODELOEL MODELO

está conformado por cinco niveles de entendimiento: está conformado por cinco niveles de entendimiento:

• visualizaciónvisualización• análisisanálisis• deducción informaldeducción informal• deducción formaldeducción formal• rigor rigor

que describen características del proceso de que describen características del proceso de pensamiento, auxiliado por experiencias de pensamiento, auxiliado por experiencias de aprendizaje adecuadasaprendizaje adecuadas

NIVEL 0 o BÁSICO: VISUALIZACIÓNNIVEL 0 o BÁSICO: VISUALIZACIÓN

• En esta primera etapa, los estudiantes En esta primera etapa, los estudiantes son conscientes del espacio como algo son conscientes del espacio como algo que existe alrededor de ellos. que existe alrededor de ellos.

• Los conceptos geométricos se ven Los conceptos geométricos se ven globalmente globalmente

• Las figuras geométricas son reconocidas Las figuras geométricas son reconocidas por su forma como un todo, por su por su forma como un todo, por su apariencia física y no por sus partes o apariencia física y no por sus partes o propiedadespropiedades

Nivel 0 Nivel 0

Una persona que funciona a este nivel Una persona que funciona a este nivel puede:puede:

• Aprender vocabulario geométrico Aprender vocabulario geométrico

• identificar formas especificadasidentificar formas especificadas

• reproducir una figura dadareproducir una figura dada

Por ejemploPor ejemplo

Dados varios cuadriláteros , los alumnos pueden Dados varios cuadriláteros , los alumnos pueden reconocer si hay cuadrados en y rectángulos, reconocer si hay cuadrados en y rectángulos, porque son similares en sus formas a cuadrados y porque son similares en sus formas a cuadrados y rectángulos con los que se ha encontrado rectángulos con los que se ha encontrado previamentepreviamente

• Dado un geoplano o un papel, podrían copiar las Dado un geoplano o un papel, podrían copiar las superficiessuperficies

• No reconocerían que las figuras tienen ángulos No reconocerían que las figuras tienen ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelosrectos o que los lados opuestos son paralelos

NIVEL 1: ANÁLISISNIVEL 1: ANÁLISIS

A través de la observación y la A través de la observación y la experimentación los estudiantes empiezan experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras a discernir las características de las figuras

Las propiedades que surgen se usan para Las propiedades que surgen se usan para clasificar formasclasificar formas

Las figuras se reconocen mediante sus Las figuras se reconocen mediante sus partespartes

EJEMPLO DE ACTIVIDAD DEL NIVEL EJEMPLO DE ACTIVIDAD DEL NIVEL 11

Dada una red de paralelogramos los Dada una red de paralelogramos los estudiantes podrían, "coloreando" los estudiantes podrían, "coloreando" los ángulos iguales, " establecer" que los ángulos iguales, " establecer" que los ángulos opuestos de un paralelogramo son ángulos opuestos de un paralelogramo son igualesiguales

Después de usar varios ejemplos de este Después de usar varios ejemplos de este tipo, podrían hacer generalizaciones para tipo, podrían hacer generalizaciones para cualquier clase de paralelogramoscualquier clase de paralelogramos

Nivel 1Nivel 1

• Las relaciones entre propiedades aún no Las relaciones entre propiedades aún no pueden ser explicadas por los pueden ser explicadas por los estudiantes en este nivel estudiantes en este nivel

• No se ven las interrelaciones entre las No se ven las interrelaciones entre las figurasfiguras

• No se entienden las definiciones No se entienden las definiciones

NIVEL 2: DEDUCCIÓN INFORMALNIVEL 2: DEDUCCIÓN INFORMAL

Se pueden Se pueden

• establecer las interrelaciones en las establecer las interrelaciones en las figuras y entre figurasfiguras y entre figuras

• deducir propiedades de una figura y deducir propiedades de una figura y reconocer clases de figurasreconocer clases de figuras

Se entiende la inclusión de clasesSe entiende la inclusión de clases

Las definiciones adquieren significadoLas definiciones adquieren significado

EJEMPLO DEL NIVEL 2EJEMPLO DEL NIVEL 2

• En un cuadrilátero, para que los lados En un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos, es necesario opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales que los ángulos opuestos sean iguales

• Entre figuras: un cuadrado es un Entre figuras: un cuadrado es un rectángulo porque tienen todas sus rectángulo porque tienen todas sus propiedadespropiedades

El estudiante en el nivel 2, El estudiante en el nivel 2, no comprendeno comprende• el significado de la deducción como un el significado de la deducción como un

todo, ni el rol de los axiomas todo, ni el rol de los axiomas

• cómo podría alterarse el orden lógicocómo podría alterarse el orden lógico

• cómo articular una demostración a partir cómo articular una demostración a partir de premisas, aunque pueden seguir de premisas, aunque pueden seguir pruebas formalespruebas formales

Algunos resultados obtenidos de manera Algunos resultados obtenidos de manera empírica coexisten con técnicas de empírica coexisten con técnicas de deducción deducción

NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMALNIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL

• Se entiende el significado de la deducción como Se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer una teoría geométrica una manera de establecer una teoría geométrica mediante un sistema de axiomas, postulados, mediante un sistema de axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones definiciones, teoremas y demostraciones

• Se pueden construir, y no sólo memorizar, Se pueden construir, y no sólo memorizar, demostraciones, percibir la posibilidad del demostraciones, percibir la posibilidad del desarrollo de una prueba de varias maneras, desarrollo de una prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes y distingue entre una necesarias y suficientes y distingue entre una afirmación y su recíprocaafirmación y su recíproca

NIVEL 4: RIGORNIVEL 4: RIGOR

• Se puede trabajar en una variedad de sistemas Se puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticosaxiomáticos

• Pueden estudiarse geometrías no euclideas y Pueden estudiarse geometrías no euclideas y compararse diferentes sistemascompararse diferentes sistemas

• La geometría se capta en forma abstracta La geometría se capta en forma abstracta

Este es el nivel final que se desarrolla en los Este es el nivel final que se desarrolla en los trabajos originales y ha recibido poca atención trabajos originales y ha recibido poca atención por parte de los investigadorespor parte de los investigadores

1. SECUENCIAL1. SECUENCIAL

Como en la mayoría de las teorías sobre Como en la mayoría de las teorías sobre el desarrollo, una persona debe avanzar el desarrollo, una persona debe avanzar en orden a lo largo de los nivelesen orden a lo largo de los niveles

Para tener éxito en un nivel particular, Para tener éxito en un nivel particular, quien aprende debe haber asimilado las quien aprende debe haber asimilado las estrategias de los niveles precedentesestrategias de los niveles precedentes

2. ASCENSO2. ASCENSO

• Pasar o no de un nivel a otro depende más Pasar o no de un nivel a otro depende más del contenido y los métodos de instrucción del contenido y los métodos de instrucción recibidos que de la edad recibidos que de la edad

• Ningún método de enseñanza lleva a un Ningún método de enseñanza lleva a un estudiante a brincar un nivel, algunos estudiante a brincar un nivel, algunos incrementan los progresos, mientras que incrementan los progresos, mientras que otros retardan o incluso previenen un otros retardan o incluso previenen un movimiento entre nivelesmovimiento entre niveles

3. INTRÍNSECO Y 3. INTRÍNSECO Y EXTRÍNSECOEXTRÍNSECO• Los objetos inherentes a un nivel se Los objetos inherentes a un nivel se

convierten en objetos de estudio en el convierten en objetos de estudio en el siguientesiguiente

• Por ejemplo, en el nivel 0 sólo se percibe Por ejemplo, en el nivel 0 sólo se percibe la forma de una figurala forma de una figura

• Aunque está determinada por sus Aunque está determinada por sus propiedades, sólo puede analizarse la propiedades, sólo puede analizarse la figura y descubrir sus componentes y sus figura y descubrir sus componentes y sus propiedades cuando se alcanza el nivel 1propiedades cuando se alcanza el nivel 1

4. LINGÜÍSTICO4. LINGÜÍSTICO

• Cada nivel tiene sus propios símbolos Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones para conectar esos símbolosrelaciones para conectar esos símbolos

• Una relación "correcta" en un nivel puede Una relación "correcta" en un nivel puede ser modificada en otroser modificada en otro

Por ejemplo, inicialmente, un cuadrado Por ejemplo, inicialmente, un cuadrado puede ser un rectángulo y, puede ser un rectángulo y, posteriormente, considerarlo como un posteriormente, considerarlo como un paralelogramoparalelogramo

LINGÜÍSTICOLINGÜÍSTICO

• Un estudiante en el nivel 1 no Un estudiante en el nivel 1 no concibe que pueda darse realmente concibe que pueda darse realmente esta clase de inclusionesesta clase de inclusiones

• Este tipo de nociones y su lenguaje Este tipo de nociones y su lenguaje correspondiente, sin embrago, son correspondiente, sin embrago, son fundamentales para el nivel 2fundamentales para el nivel 2

5. FALTA DE 5. FALTA DE CONCORDANCIACONCORDANCIA• Si un estudiante está en un nivel y la Si un estudiante está en un nivel y la

instrucción que recibe en otro, puede que no instrucción que recibe en otro, puede que no ocurra el aprendizaje y el progreso deseadoocurra el aprendizaje y el progreso deseado

• En particular si el discurso del profesor, los En particular si el discurso del profesor, los materiales didácticos para la enseñanza, los materiales didácticos para la enseñanza, los contenidos, el vocabulario, etc., están en un contenidos, el vocabulario, etc., están en un nivel más alto, al estudiante no le será posible nivel más alto, al estudiante no le será posible seguir el proceso de pensamiento empleado seguir el proceso de pensamiento empleado

FASES DE APRENDIZAJEFASES DE APRENDIZAJE

• Los Van Hiele afirman que el avance a Los Van Hiele afirman que el avance a través de los niveles depende más de través de los niveles depende más de la enseñanza recibida que de la edad la enseñanza recibida que de la edad o madurezo madurez

• El método y organización de la El método y organización de la enseñanza, además del contenido y enseñanza, además del contenido y los materiales empleados, son áreas los materiales empleados, son áreas importantes de referencia pedagógica importantes de referencia pedagógica

FASES DE APRENDIZAJEFASES DE APRENDIZAJE

• Propusieron cinco fases secuenciales de Propusieron cinco fases secuenciales de aprendizaje: diagnóstico, orientación dirigida, aprendizaje: diagnóstico, orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integraciónexplicitación, orientación libre e integración

• La enseñanza desarrollada de acuerdo con La enseñanza desarrollada de acuerdo con esa secuencia promueve la adquisición de un esa secuencia promueve la adquisición de un nivel nivel

  

MUESTRA DE ACTIVIDADES DE MUESTRA DE ACTIVIDADES DE TRABAJO CON EL ROMBO DESDE EL TRABAJO CON EL ROMBO DESDE EL NIVEL 2NIVEL 2

• El profesor y los estudiantes El profesor y los estudiantes conversan y hacen actividades conversan y hacen actividades acerca de los objetivos de estudio acerca de los objetivos de estudio para ese nivel para ese nivel

• Se hacen observaciones, se plantean Se hacen observaciones, se plantean preguntas y se introduce el preguntas y se introduce el vocabulario específicovocabulario específico

• Por ejemplo, el maestro pregunta a los Por ejemplo, el maestro pregunta a los estudiantes:estudiantes:

• "¿Qué es un rombo? ¿Es un cuadrado? ¿Es "¿Qué es un rombo? ¿Es un cuadrado? ¿Es un paralelogramo? un paralelogramo?

• ¿Qué es lo que el tiene en común con un ¿Qué es lo que el tiene en común con un cuadrado (paralelogramo)?cuadrado (paralelogramo)?

• ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado (paralelogramo) y un rombo? (paralelogramo) y un rombo?

• ?...?...

FASE 1: DIAGNÓSTICOFASE 1: DIAGNÓSTICO

• ¿Es posible que un cuadrado sea un ¿Es posible que un cuadrado sea un rombo? ¿Un rombo podría ser un rombo? ¿Un rombo podría ser un cuadrado? ¿Cómo se diría eso?cuadrado? ¿Cómo se diría eso?

• El propósito de esa actividad es doble: El propósito de esa actividad es doble: el profesor observa qué conocimiento el profesor observa qué conocimiento

previo tienen los estudiantes acerca del previo tienen los estudiantes acerca del tema tema

los estudiantes aprenden en qué dirección los estudiantes aprenden en qué dirección se dará el estudio posterior del mismose dará el estudio posterior del mismo

FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDAFASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA

• Los estudiantes exploran el tema de estudio Los estudiantes exploran el tema de estudio mediante materiales que el profesor ha mediante materiales que el profesor ha ordenado cuidadosamente Esas actividades ordenado cuidadosamente Esas actividades podrían revelar gradualmente a los podrían revelar gradualmente a los estudiantes las estructuras características de estudiantes las estructuras características de este nivel este nivel

• La mayoría de los materiales serán tareas La mayoría de los materiales serán tareas breves, diseñadas para lograr respuestas breves, diseñadas para lograr respuestas específicasespecíficas

•   

FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDAFASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA

• Por ejemplo, el profesor podría pedir a los Por ejemplo, el profesor podría pedir a los estudiantes que usen un geoplano para estudiantes que usen un geoplano para construir un rombo, con diagonales construir un rombo, con diagonales iguales, para construir otro más grande, iguales, para construir otro más grande, para construir un tercero más pequeñopara construir un tercero más pequeño

• Otra actividad podría consistir en pedir la Otra actividad podría consistir en pedir la construcción sucesiva de rombos que construcción sucesiva de rombos que tengan respectivamente cuatro, tres, dos, tengan respectivamente cuatro, tres, dos, y un ángulo rectoy un ángulo recto

FASE 3: EXPLICITACIÓNFASE 3: EXPLICITACIÓN

• Al construir sobre sus experiencias previas, los Al construir sobre sus experiencias previas, los estudiantes expresan e intercambian sus estudiantes expresan e intercambian sus expresiones acerca de las estructuras que han expresiones acerca de las estructuras que han estado observando estado observando

• El papel del profesor es ayudarles en el uso de El papel del profesor es ayudarles en el uso de un lenguaje cuidadoso y apropiadoun lenguaje cuidadoso y apropiado

• Durante esa fase el sistema de relaciones del Durante esa fase el sistema de relaciones del nivel comienza a hacerse claronivel comienza a hacerse claro

FASE 3: EXPLICITACIÓNFASE 3: EXPLICITACIÓN

Continuando con el ejemplo del Continuando con el ejemplo del rombo…rombo…

los estudiantes discutirían entre ellos y los estudiantes discutirían entre ellos y con el profesor qué figuras y con el profesor qué figuras y propiedades surgieron de las propiedades surgieron de las anteriormente dichasanteriormente dichas

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBREFASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE

Los estudiantes se encuentran con tareas más Los estudiantes se encuentran con tareas más complejas: complejas:

• con muchos pasoscon muchos pasos

• que pueden ser completadas de varias maneras que pueden ser completadas de varias maneras

• de final abiertode final abierto

Ganan experiencia al constatar sus propias Ganan experiencia al constatar sus propias maneras de resolverlas maneras de resolverlas

Se hacen explícitas muchas relaciones entre los Se hacen explícitas muchas relaciones entre los objetos de estudioobjetos de estudio

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBREFASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE. . EJEMPLOEJEMPLO

Completar:Completar:

• Dobla una hoja de papel a la mitadDobla una hoja de papel a la mitad

• Haz un segundo doblez a la mitadHaz un segundo doblez a la mitad

• Trata de imaginar qué figura se obtendría si cortas Trata de imaginar qué figura se obtendría si cortas una de las esquinas una de las esquinas

• Haz una conjetura y justifícala antes de cortarHaz una conjetura y justifícala antes de cortar

• ¿Qué tipo de figuras obtiene si hace un corte en la ¿Qué tipo de figuras obtiene si hace un corte en la esquina con un ángulo de 30°? ¿Y si lo haces con uno esquina con un ángulo de 30°? ¿Y si lo haces con uno de 45°? de 45°?

• Describe los ángulos y el punto de intersección de las Describe los ángulos y el punto de intersección de las diagonalesdiagonales

FASE 4: ORIENTACIÓN LIBREFASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE

En esta fase es donde se diversifica el En esta fase es donde se diversifica el aprendizaje aprendizaje

• Unos alumnos podrán consolidar lo Unos alumnos podrán consolidar lo aprendido mediante juegos de grupo aprendido mediante juegos de grupo usando materiales: dominós, cartas, usando materiales: dominós, cartas, tableros…tableros…

• los que necesiten la ayuda directa del los que necesiten la ayuda directa del profesor harán otras actividades profesor harán otras actividades

• otros resolverán problemas...otros resolverán problemas...

FASE 5: INTEGRACIÓNFASE 5: INTEGRACIÓN

• El profesor, al final del proceso, pone El profesor, al final del proceso, pone en orden todo lo que ha ido en orden todo lo que ha ido apareciendo en las fases anteriores y apareciendo en las fases anteriores y ordena el conocimientoordena el conocimiento

• Es el momento de explicar y cerrar Es el momento de explicar y cerrar el temael tema