Em Colab ora¸cao C. com:...

35
TEORIA DE CORDAS E QCD Henrique Boschi Filho Em Colabora¸ ao com: Nelson R. F. Braga Cristine N. Ferreira Hector L. Carrion C. Alfonso B. Bayona Instituto de F´ ısica UFRJ 1

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TEO

RIA

DE

CO

RD

AS

EQ

CD

Henriq

ue

Bosch

iFilh

o

Em

Cola

bora

cao

com

:

Nelso

nR

.F.B

raga

Cristin

eN

.Ferre

ira

Hecto

rL.C

arrio

n

C.A

lfonso

B.B

ayona

Institu

tode

Fısica

UFR

J

1

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CO

RD

AB

OSO

NIC

A(e

mD

dim

enso

es)

SP

oly

akov

=−

1

α′

∫dτdσ

√−

gg

ab∂

aX

ν∂

b Xν

onde

a,b

=1,2

=0,1,2,...,

D−

1.

6

-

3 ·

Xν(τ

,σ)

σ.

τ.Folha

dem

undo

2

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Quantiza

ndo

aco

rda:

•excita

coes

nao

massiv

as:

φdıla

ton

(spin

0);

cam

po

de

calib

re(sp

in1);

νgra

vito

n(sp

in2)

•excita

coes

massiv

as

com

spin

J∼

M2

α′

Experim

enta

lmente

,obse

rva-se

(resso

nancia

shadro

nica

s)que

M2

=J

′onde

α′∼

1(G

eV

) −2.

3

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•A

mplitu

des

de

inte

raca

o

p2

p1

p3

p4

. τ

varia

veis

de

Mandelsta

m:

s=

−(p

1+

p2 )

2

t=

−(p

2+

p3 )

2

u=

−(p

1+

p3 )

2

4

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Am

plitu

de

de

Venezia

no

(1968)

(cord

aboso

nica

aberta

)re

pro

duz

as

pro

prie

dades

das

inte

raco

es

forte

sobse

rvadas

ate

enta

o(d

ualid

ade

s↔

t,etc.)

A(s

,t)

=Γ(−

α(s

))Γ(−

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Γ(−

α(s

)−

α(t))

onde

Γ=

funca

ogam

ade

Eule

re

α(s

)=

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)+

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Genera

lizaca

o:

Am

plitu

de

de

Shapiro

-Vira

soro

(cord

as

boso

nica

sfe

chadas)

5

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Lim

ites

de

alta

senerg

ias

da

am

plitu

de

de

Venezia

no

(eShapiro

-Vira

soro

)

(1)

Lim

itede

Regge:

s→

∞,

com

tfixo

=⇒A

∼sα

(t)

Resu

ltados

experim

enta

is:O

Kpor

constru

cao

(“in

put”

disp

onıv

elna

epoca

)

Pro

ble

ma:

(2)

Esp

alh

am

ento

aalta

senerg

ias

com

angulo

sfixos:

s→

∞co

ms/t

fixo.

Venezia

no:

AV

en

. ∼exp−

α′s

f(θ

)(e

spalh

am

en

tosu

ave)

Resu

ltados

experim

enta

is(p

oste

riore

s):

Aexp. ∼

s(4−

∆)/

2(e

spalh

am

en

todu

ro)

6

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Outro

Pro

ble

ma:

•Esp

alh

am

ento

Pro

fundam

ente

Inela

stico(B

jork

en,

1969)

e −H

HH

HHH

e −

γ

Pro

ton

"!#

Hadro

ns

PP

PP

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HH

HH

HH

QQ

QQ

QQ

@@

@@@

⇒P

roto

ns

(eN

eutro

ns)

conte

mestru

tura

spuntu

ais

(quark

s)

⇒A

form

ula

cao

orig

inal

da

Teoria

de

Cord

as

(no

esp

aco

chato

)N

AO

descre

ve

corre

tam

ente

as

inte

raco

es

forte

s

7

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Depois:

Dese

nvolv

imento

da

QC

D•

liberd

ade

assin

totica

(Gro

sse

Wilcze

k;Politze

r,1973;

→N

obel2004)

•hard

scatte

ring

(Matv

eev,M

ura

dia

ne

Tavkhelid

ze1973;B

rodsk

ye

Farra

r1973),

etc.

Difi

culd

ade

da

QC

D:aco

pla

mento

forte

abaix

as

energ

ias

(nao

pertu

rbativ

o)

→ca

lculo

sna

rede

(muito

pro

gre

ssore

cente

mente

)

Por

outro

lado:

•C

ord

as

conte

mo

gra

vito

nco

mo

excita

cao

(spin

2).

Possib

ilidade

de

quantiza

cao

da

gra

vita

cao

•C

onsiste

ncia

das

cord

as:

em

26

dim

enso

es

para

oca

soboso

nico

e10

dim

enso

es

para

osu

persim

etrico

.

8

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CO

RR

ESP

ON

DEN

CIA

AD

S/C

FT

Dualid

ade

entre

Teoria

de

Cord

as

em

um

esp

aco

AdS5

×S5

eTeoria

sde

calib

reS

U(N

)(Y

ang

Mills)

com

Ngra

nde,su

persim

etrica

se

confo

rmes

(CFT

)na

fronte

iradeste

esp

aco

.

•Juan

Mald

ace

na,A

dv.

Theor.

Math

.P

hys.

98

•O

.A

haro

ny,

S.

S.

Gubse

r,J.

Mald

ace

na,

H.

Ooguri

eY

.O

z,P

hys.

Rept.

2000

9

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Imple

menta

cao

da

corre

spondencia

:

〈exp

∫d4x

φf

ron

t. (x)O

(x)

〉C

FT

=lim

φ→

φf

ron

t. exp

(I[φ

])

Teoria

de

cam

pos

Teoria

de

cord

as

confo

rmes

Ona

fronte

ira(a

pro

x.

Superg

rav.)

As

funco

es

de

corre

laca

oda

CFT

na

fronte

irado

AdS

sao

calcu

ladas

usa

ndo

os

cam

pos

do

bulk

φf

ron

t.co

mo

fonte

s.

-Gubse

r,K

lebanov

ePoly

akov,P

LB

98.

-Witte

n,A

dv.

Theor.

Math

.P

hys.

98.

10

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•R

esu

ltado

Importa

nte

Rece

nte

:

Polch

insk

ie

Stra

ssler

PR

L2002

Solu

cao

insp

irada

em

AdS/C

FT

para

opro

ble

ma

da

apare

nte

inco

mpatib

ilidade

entre

ate

oria

de

cord

as

(am

plitu

de

de

Venezia

no-S

hapiro

-Vira

soro

)e

oesp

alh

am

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hadro

nico

aangulo

sfixos

em

alta

senerg

ias,

obtid

apara

glu

eballs

(esta

dos

ligados

de

glu

ons).

Dualid

ade:

glu

eballs

da

QC

D↔

dıla

tons

no

AdS

11

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Nosso

sre

sulta

dos:

•M

apeam

ento

entre

esta

dos

de

Fock

no

AdS

ena

sua

fronte

ira(M

inkow

ski)

H.B

.F.e

N.B

raga,P

LB

2002.

•Esca

lonam

ento

da

QC

D(e

spalh

am

ento

duro

)a

partir

do

mapeam

ento

de

esta

dos

de

Fock

entre

AdS

ea

fronte

ira.

H.B

.F.e

N.B

raga,P

LB

2003.

12

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Oque

eo

esp

aco

de

anti-d

eSitte

r(A

dS)?

Podem

os

definir

oA

dS

n+

1co

mo

um

hip

erb

olo

ide

merg

ulh

ado

em

n+

2dim

enso

es:

X20

−n∑

i=1X

2i+

X2n+

1=

Λ2

=co

nsta

nte

onde

Xa

=X

0 ,X

1 ,...,

Xn,X

n+

1sa

oas

coord

enadas

do

esp

aco

de

imersa

opse

udo-E

uclid

eano

n+

2co

mm

etrica

:

ηab

=dia

g(+

,−,−

,...,−

,+

)

Dessa

form

a,o

AdS

corre

sponde

aum

esp

aco

com

curv

atu

raco

nsta

nte

negativ

a.

13

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Metrica

do

AdS

com

coord

enadas

r,

~x,

t

ds2

=R

2

r2

dr2

+r2

R2[(d

~x)2

−dt 2

]

onde

0≤

r<

∞,

R=

raio

de

curv

atu

rado

AdS.

Fro

nte

irado

AdS:M

inkow

ski(~x

,t),

para

r→

∞.

Ogru

po

de

isom

etria

sdo

AdS

n+

1e

isom

orfo

ao

gru

po

confo

rme

no

esp

aco

Euclid

eano

ndim

ensio

nal.

Obte

nca

odas

isom

etria

spara

as

coord

enadas

de

Poin

care

(H.B

.F.e

N.B

raga,C

QG

2004).

14

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•P

roble

ma:

Na

corre

spondencia

AdS/C

FT

ate

oria

na

fronte

iranao

tem

esca

lade

energ

ia(co

nfo

rme).

AQ

CD

nao

eco

nfo

rme

(massa

s,lib

erd

ade

assin

totica

etc).

•Id

eia

:busca

rnovas

dualid

ades

nas

quais

ate

oria

de

calib

re“ch

egue

om

ais

perto

possıv

elda

QC

D”.

•W

itten

98

•In

varia

ncia

Superco

nfo

rme

quebra

da

atra

ves

da

tem

pera

tura

→bura

conegro

AdS

Sch

warzsch

ildduala

um

ate

oria

Yang

Mills

nao

supersim

etrica

∼Q

CD

.

Esta

ideia

foiusa

da

para

calcu

lar

massa

sde

glu

eballs:

Ooguri,

Robin

s,Tannenhause

rP

LB

98;

Csa

ki,

Ooguri,

Oz

and

Tern

ing,JH

EP

99,

...15

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Outra

sdualid

ades

CA

LIB

RE

×C

OR

DA

S

•K

lebanov

eT

seytlin

,2000

•K

lebanov

eStra

ssler,

2000

•M

ald

ace

na

eN

unes,

2001

Neste

sca

sos

ate

oria

de

calib

rete

msu

persim

etria

N=

1(n

ao

eco

nfo

rme).

16

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AP

LIC

AC

AO

:M

ASSA

SD

OS

GLU

EB

ALLS

(Esta

dos

ligados

de

glu

ons)

QC

D4

Fatia

do

AdS5

⇒M

odos

do

dıla

ton

(funco

es

de

Besse

lJ

2 )co

mm

om

entu

maxia

lu

i⇔

massa

idos

glu

eballs

(modos

fundam

enta

le

excita

coes

)na

fronte

ira4-d

:

ui

µi

=co

nsta

nte

Mas

os

os

zero

sda

funca

ode

Besse

lJ

2 (x),

sao

dados

por

χ2

,p

de

modo

que

up

zm

ax

=χ2

,p

17

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Assim

,te

mos

que

AS

MA

SSA

SD

OS

GLU

EB

ALLS

µi

obedece

1=

χ2

,i

χ2

,1

QC

D4

Rede,

N=

3B

N-A

dS

QC

D/C

ord

as

0+

+1.6

0.1

51.6

1(d

ado)

1.6

1(d

ado)

0+

+∗

2.8

2.3

82.6

40+

+∗∗

-3.1

13.6

40+

+∗∗∗

-3.8

24.6

40+

+∗∗∗∗

-4.5

25.6

30+

+∗∗∗∗∗

-5.2

16.6

2

Rede:

Morn

ingsta

re

Peard

on;Teper

1997

BN

-AdS:C

saki,

Ooguri,

Oz

eTern

ing,JH

EP

1999

CD

Q/C

ord

as:

HB

Fe

NB

raga,JH

EP

2003,EP

JC

2004

18

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QC

D3

Dıla

ton

no

AdS4

⇔G

lueballs

na

fronte

ira3-d

Analo

gam

ente

ao

caso

ante

rior,

tem

os

µi

µ1

3/2

,i

χ3/2

,1

QC

D3

Rede,

N=

3re

de,

N→

∞B

N-A

dS

QC

D/C

ord

as

0+

+4.3

29

±0.0

41

4.0

65

±0.0

55

4.0

7(d

ado)

4.0

7(d

ado)

0+

+∗

6.5

0.0

96.1

0.1

37.0

27.0

00

++

∗∗8.2

0.1

77.9

0.2

29.9

29.8

80

++

∗∗∗-

-12.8

012.7

40

++

∗∗∗∗-

-15.6

715.6

00

++

∗∗∗∗∗-

-18.5

418.4

5

19

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Resu

ltados

Rece

nte

s:

•M

assa

spara

bario

ns

em

eso

ns

usa

ndo

afa

tiano

AdS

5 ×S

5

-B

rodsk

ye

Tera

mond,P

LB

2004

+P

RL

2005:

•H

.B.F

.,N

.B

raga

eH

.L.C

arrio

n(e

mandam

ento

)

Massa

spara

outro

sG

lueballs:

0+

−,2+

+,...

20

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AdS

eQ

CD

:O

utro

sre

sulta

dos

rece

nte

s

•Esp

alh

am

ento

pro

fundam

ente

inela

sticoe

Cord

as

no

AdS:

Polch

insk

ie

Stra

ssler,

JH

EP

2003

Mald

ace

na,N

atu

re2003

•C

.A.B

.B

ayona,H

.B.F

.e

N.B

raga

(em

andam

ento

)

21

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CO

NFIN

AM

EN

TO

ELIN

HA

SD

EW

ILSO

N

Com

porta

mento

do

fluxo

asso

ciado

ao

cam

po

de

calib

re.

Teoria

nao

confinante

(ex.

QED

)

+@

@@

@@I

@@

@@

@R

6?

-

+

i)

-

jN

*

-

1q

-

L

Energ

iade

ligaca

oqq

∼1/L

(Energ

iato

tal

→2m

quando

L→

∞)

22

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Teoria

confinante

q

q---

-

L

Energ

iade

ligaca

oqq

∼L

(Energ

iato

tal

→∞

quando

L→

∞)

23

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Para

um

cam

po

de

calib

reA

µ≡

λiA

iµ,onde

i,λ

j]

=if

ijkλ

kdefinem

ogru

po

nao

abelia

no,o

Loop

de

Wilso

ne

dado

por:

〈0

|T

rexp

ig∮λ

iAiµ(y

)dy

µ|0

No

caso

particu

lar

de

um

conto

rno

reta

ngula

r,te

rem

os:

(0,0)

(0,L

)

(T,0)

(T,L

)

-

6

?

Loop

de

Wilso

n

⇒exp−

T[E

(L)

−2m

]

24

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Dualdos

loops

de

Wilso

nna

corre

spondencia

AdS/C

FT

•S.J

.Rey

and

J.T

.Yee,Eur.

Phys.J

.C22,379

(2001).

•J.M

.M

ald

ace

na,P

hys.

Rev.Lett.

80,4859

(1998).

Mald

ace

na:

Par

quark

anti-q

uark

muito

pesa

do

(configura

cao

esta

cionaria

)em

r=

r1

(→∞

)so

bre

oeix

ox

i≡x

separa

dos

por

um

avaria

cao

Lna

coord

enada.

6x

-

0r0

r

vqvq∞

6?

L

25

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Aca

ode

Nam

bu

Goto

S=

1

α′

∫dτdσ

√√√√detG

MN

∂aX

M∂

b XN

onde

a,b,...

=τ,σ.

Am

etrica

de

fundo

GM

Ne

esco

lhid

aco

mo

sendo

ado

AdS5 ×

S5

Com

oa

aca

oda

cord

ae

pro

porcio

nala

are

avarrid

ana

folh

ade

mundo

(“w

orld

sheet”

),o

prin

cıpio

de

mın

ima

aca

ote

mco

mo

solu

cao

ageodesica

unin

do

as

duas

carg

as.

26

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Retira

ndo

as

auto

energ

ias

de

cada

quark

:

6x

-

0

r0

r

mq

∼∞

mq

∼∞

vqvq∞

6?

L

Enco

ntra

-se:

E=

−4π

2R2

Γ(1

/4)4L

Pote

ncia

ltip

oC

oulo

mb

⇒nao

confinante

.

27

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Que

tipo

de

geom

etria

seria

duala

um

ate

oria

de

calib

reco

nfinante

?

Genera

lizaca

odo

pro

cedim

ento

de

Mald

ace

na:

•B

randhuber,

Itzhaki,

Sonnensch

ein

eY

ankie

low

iczJH

EP

98

•K

inar,

Sch

reib

er

eSonnensch

ein

NP

B2000

Crite

riode

confinam

ento

(para

os

quark

sno

infinito

(r1

→∞

)):(

L→

∞)

Esta

condica

oe

satisfe

ita,p.

ex.,

pelo

esp

aco

pro

posto

por

Kle

banov

eStra

ssler

JH

EP

2000.

28

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ESPA

CO

DE

D3-B

RA

NA

S

Geom

etria

gera

da

por

um

gra

nde

num

ero

Nde

D3

bra

nas

coin

cidente

s(e

mr

=0)

em

10

dim

enso

es

:

ds2

=(1

+R

4

r4) −

1/2[(d

~x)2−

dt 2]+

(1+

R4

r4)1/2(d

r2+

r2d

Ω25 )

onde

R4

=4π

gN

,se

ndo

g≡

gcordas .

29

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Com

porta

mento

assin

totico

:

1)

Longe

das

Bra

nas:

r>

>R

ds2

=−

dt 2

+d~x

2+

dr2+

r2d

Ω25

(esp

aco

de

Min

kow

ski)

2)

Perto

das

Bra

nas:

r<

<R

ds2

=r2

R2[(d

~x)2

−dt 2

]+

R2

r2

dr2

+R

2dΩ

25 .

(AdS

S5)

30

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Loops

de

Wilso

nno

esp

aco

das

D3-b

ranas.

(H.B

.Fe

N.B

raga

JH

EP

2005)

(I)G

eodesica

sm

uito

curv

as:

E≈

2√r

40+

R4

R2

(r1

−C

r0 )

−2m

q

•Subca

so(IA

):m

ınim

oda

geodesica

perto

das

bra

nas

r0

<<

R

E=

−4

C2R

2

L≡

Mald

ace

na

Nao

confinante

,se

L→

∞⇒

E→

0.

Consiste

nte

com

ofa

tode

que

perto

das

bra

nas

oesp

aco

das

D3-b

ranas

eassin

totica

mente

AdS.

31

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•Subca

so(IB

):m

ınim

oda

geodesica

longe

das

bra

nas

r0

>>

R

E=

L2π

−2m

q

⇒C

om

porta

mento

confinante

(E∼

L),

esp

aco

chato

(Enao

depende

de

R).

32

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(II)C

ASO

:geodesica

squase

reta

s:

E=

√r40+

R4

r20

2r30

R2

√√√√√√√√

r1

r0

−1

2m

q

•Subca

so(IIA

):Q

uark

slo

nge

das

bra

nas

r1

>>

R

E=

L2π

−2m

q

Confinante

,esp

aco

chato

.

33

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•Subca

so(IIB

):Q

uark

sperto

das

bra

nas

r1

<<

R

E=

23

2/3

Lr21

R2

1−

3r21L

2

8R

4

2

−2m

q

Confinante

,pro

porcio

nalapro

xim

adam

ente

ase

para

cao

Lna

coord

enada

multip

licada

pela

metrica

do

AdS

(r/R

)2.

Tra

nsica

oC

onfinam

ento

Nao

Confinam

ento

?

34

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Lin

has

de

Wilso

nno

Modelo

Randall-S

undru

m

(Fatia

do

AdS)

H.B

.F,N

.B

raga

ec.

N.Ferre

ira(e

mandam

ento

)

35