UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Matemática

APLICACIÓN DE LÍMITES

Medina H. Raúl C.i. 1900816321

Miercoles 5 de noviembre del 2014

El límite de una función es un punto o lugar dela misma al que no se llega directamente o no esta en la función

limx→a

¿ L

Es un punto que se deduce a través de la utilización de números aproximados a a, tanto de un lado como del otro, estos aproximados sí son reemplazados en la función y mediante el desarrollo de una tabla de valores se aprecia como los resultados se acercan a un mismo número, siendo este el límite L de la función buscada, por ejemplo:

limx→1

¿ x2

X F(x)0.8 0.640.9 0.810.99 0.981.001 1.0021.01 1.021.1 1.21

limx→1

x−2x2−x−6

Con esta función lo primeros que tenemos que hacer esfactorar la ecuación cuadrática presente, para así poder desarrollar la tabla de valores o sustituir

limx→1

x−2x2−x−6

= x−2

(x−2)(x+3) una vez desarrollada podemos empezar con la tabla de valores

o con la sustitución directa.

Se aprecia como a medida que los números se aproximan a a los valores de la función se aproximan a ¼ siendo este el límite de la función buscada, pero, sin embargo, tomamos la función factorada y sustituimos x por 1, el límite obtenido es el mismo que obtenemos con la tabla de valores.

limx→1

x−2(x−2)(x+3)

= 1−2(1−2)(1+3)

= −1−4

= 14

x f(x)0.5 1.5/6.750.99 1.1/4.290.999

1.001/4.002

1.001

0.999/3.996

1.01 0.99/3.951.5 0.5/1.75

La obtención del límite también se aplica a toda clase de función, exponencial, polinómica, trigonométrica, etc.

Ejemplo Práctico (tomado de: Soo T. Tan, Stonehill College (2012). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida)

La aplicación del límite de una función se puede usar para determinar una frecuencia de aceleración o taza de crecimiento, por ejemplo práctico:

En España, el grupo ACS se tiene planeada la construcción de una línea ferroviaria por levitación magnética, o un Maglev de una extensión de 6 Km, que pretende unir Cartuja y Blas Infante, en Sevilla.

Para aplicar los límites, se ha determinado mediante un prototipo de maglev la posición en pies desde el origen en el momento t (segundos) dado por:

s=f (t )=4 t2 (0≤ t ≤30)

La posición en medida del tiempo (t = 0, 1, 2, 3,...10) transcurrido sería la siguiente

t = 0 t=1 t=2 t=3 t=10

0 4 16 36 400 s (pies)

Podemos de aquí calcular una velocidad promedio, por ejemplo, tomemos el intervalo de tiempo (2, 4)

DistanciarecorridaTiempo transcurrido

= f (4 )−f (2 )4−2

= 4(42)−4 (22)

2 =

64−162

= 24 o simplemente

4 pies por segundo, esta NO es la velocidad del tren en t = 2 es solo una aproximación de la velocidad en ese momento, pero, ¿se puede ser más exacto?, ¡claro que sí!, con un intervalo de tiempo menor elegido, meyor será la velocidad promedio sobre dicho intervalo que se aproximara a la velocidad real del tren en t = 2, si tomamos a t=2 como punto extremo izquierdo, se deduce la ecuación siguiente en base a (2, t)

f ( t )−f (2 )t−2

= 4(t 2 )−4 (22)t−2

= 4 (t2−4)t−2

Como se a dicho al inicio, para el límte se toman los números cercanos a a, en este caso 2, tanto de izquierda como dederecha y elaboramos la tabla de valores

lim g (t)x→2

¿ limx→2

4 (t 2−4 )t−2

t

g(t)

1.5 141.99 15.961.9999 15.9996

Otro practicidad que se le puede dar a los límites es en el sector de economía, por ejemplo, se pueden usar para elaborar una gráfica para saber si el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible y así generar una mayor ganancia.

También es un ejemplo cuando se presenta un alza en costes de la materia prima generando un cambio en costo que generó anteriormente.

En fin, como se vio en el ejemplo anterior, los limites nos sirven para determinar tanto distancias, velocidades, tazas de crecimiento, etc.

Conclusiones y recomendaciones

Los limites son necesarios para el cálculo y la aplicación de este Los limites nos permiten determinar tazas de crecimiento o decrecimiento, velocidades,

distancias variables y no constantes como con la algebra elemental. Es recomendable aplicar más los límites a su uso práctico, puesto que gracias a la

aplicación, su entendimiento es más favorable. Es recomendable repasar bien todos los tipos de factoreo así como la resolución de los

distintos tipos de funciones, ya que en muchos casos hace falta factorar o desarrollar funciones antes de aplicar límites a estas.

Bibliografía

Ron Larson y Bruce H. Edwards. (2011). Cálculo novena edición. México : Mc Graw Hill. Soo. T. Tan, Stonehill College. (2012). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias

sociales y de la vida. Algarín, México, D.f. : Cengage Learning. Pablo Javier Piacente (15 de Octubre 2010). Proyectan el primen tren de levitación

magnética en España. Tendencias 21 [en linea]. Disponible en: http://es.slideshare.net/anafenech/modelo-apa-bibliografia

t g(t)2.5 182.01 16.042.0001 16.0004