ENSAYO FILTROS 2

5/17/2018 ENSAYO FILTROS 2 - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA CONTRO

Elio Andrés Rojas. Págin

Abstract.- En el presente ensayo se tratara acerca de los

filtros digitales, empezando con su utilidad y ventajas

respecto a los filtros analógicos para luego analizar sus

diferentes tipos como los FIR y los IIR, con sus respectivas

variantes y implementaciones que se pueden realizar con la

herramienta matlab para luego calcular un filtro

demostrativo.

1. INTRODUCCION.

El filtro digital es cualquier procesamiento realizado en unaseñal de entrada digital y la implementación es en hardware

o software de una ecuación de diferencias.

Existen varias ventajas de los filtros digitales como alta

inmunidad al ruido, alta precisión (limitada por los errores de

redondeo en la aritmética empleada), fácil modificación de

las características del filtro, muy bajo costo.

Por estas razones, los filtros digitales están reemplazando

rápidamente a los filtros analógicos.

Existen los filtros FIR (Finite Impulse Response) y los filtros IIR

(Infinite Impulse Response).

2. FILTRO FIR.

Un filtro FIR de orden M se describe por la siguiente ecuación

diferencia:

[] [] [ ] [ ] (1)

Lo que da lugar a la función de transferencia:

[]

(2)

La secuencia son los coeficientes del filtro.

La salida depende sólo de la entrada y no de valores pasadosde la salida. La respuesta es por tanto una suma ponderada

de valores pasados y presentes de la entrada. Por eso se

denomina Media en Movimiento. La función de Transferencia

tiene un denominador constante y sólo tiene ceros.

La respuesta es de duración finita ya que si la entrada se

mantiene en cero durante M periodos consecutivos, la salida

será también cero.

Existen diversos métodos para el diseño de filtros FIR, e

ellos destacan tres. El más sencillo es el de enventanado d

respuesta impulsional. Durante mucho tiempo se

trabajado en el diseño de filtros analógicos obteniendo p

ello implementaciones caracterizadas porque al llevarla

campo digital tenían una respuesta de tipo IIR.

Desde el punto de vista frecuencial se producen una serie

deformaciones en el espectro del filtro obtenido que

llevarían a considerables errores a no ser por el uso

ventanas pensadas para este uso. Esas ventanas no son

que secuencias de longitud finita que tienen una respu

frecuencial que permite que al ser multiplicadas po

función de transferencia utilizada el error no sea muy gran

Básicamente se utilizan tres tipos de ventanas, la de Kaise

de Hamming y la de Blackman.

A continuación se pueden ver las ventanas an

mencionadas:

Figura 1. Ventanas de Kaiser, Hamming y Blackman.

FILTROS DIGITALES.Universidad Politécnica Salesiana.

Autor: Elio Andrés [email protected]

Cuenca-Ecuador





Otra metodología para el diseño de filtros la ofrece el

muestreo en frecuencia de la respuesta Ideal. El

procedimiento asegura un error nulo para la aproximación en

un conjunto finito de frecuencias, aquéllas en las que se

muestrea la respuesta frecuencial ideal. Pero no es posible

controlar directamente la amplitud del error. Tampoco se

conoce un criterio estimativo del orden del filtro.

La tercera metodología empleada es la del uso de filtros

óptimos, considerados así aquellos con rizado de amplitudconstante. La respuesta frecuencial que ofrecen los filtros

diseñados mediante la manipulación directa del

comportamiento ideal (el enventanado de la respuesta

impulsional o el muestreo de la respuesta frecuencial),

presenta un error en las bandas de paso y atenuadas cuya

amplitud crece en las proximidades de las bandas de

transición. La solución a ese problema que aporta esta

metodología es la de repartir el error por las diversas bandas

usando una función que lo permita. Se puede usar el método

de Parks-McClellan o también denominado método de

Remez.

Entre las propiedades que se puede comprobar en los

resultados del enventanado para la obtención de filtros FIR

esta el ajuste del orden del filtro por el método de Remez,

que la anchura de la banda de transición del filtro, que se

corresponde con la anchura del lóbulo principal de la

transformada de la ventana, es tanto menor cuanto mayor

sea la longitud, y en definitiva el orden, de la misma.

Sólo dos parámetros son necesarios para la obtención del

filtro y dichos parámetros (beta y N) son fácilmente

obtenibles a partir de unas fórmulas fáciles de usar.

El orden del filtro FIR obtenido por el método de Remez es

menor que el obtenido usando la ventana de Kaiser.La aproximación elíptica al tener un comportamiento de

rizado constante en ambas bandas posibilita que el error

presente alternativamente máximos y mínimos.

Para una selectividad y una discriminación dada no existe un

diseño de menor orden que el que presenta comportamiento

con rizado de amplitud constante. O de otra forma, fijados el

orden y la selectividad del filtro, no puede obtenerse un

diseño con menor discriminación, desde el punto de vista de

los filtros FIR.

2.1 Diseño de Filtros FIR con MATLAB.

Funciones de MATLAB para realizar filtros FIR:

2.1.1 Función FIR1

>> B = fir1(N,Wn,type,window); (3)

Diseña un filtro FIR pasa bajo de orden N (longitud N+1) y

frecuencia de corte Wn (normalizada con respecto a la

frecuencia de Nyquist, 0 <Wn<1). Se pueden especificar otro

tipo de filtros de la misma forma que con los filtros

mediante el parámetro type. Por ejemplo, para un f

parabanda:

>> B = fir1(N,[W1 W2],'stop'); (4)

Por defecto la función FIR usa la ventana de Hamming. O

tipo de ventanas pueden también especificarse:

>> B = fir1(N,Wn,bartlett(N+1)); (5)

>> B = fir1(N,Wn,'high',chebwin(N+1,R)); (6)

2.1.2 Función FIR2

>> B = fir2(N,F,M,window); (7)

Diseña un filtro FIR utilizando el método del muest

frecuencial. Los parámetros de entrada es el orden del f

N(longitud N+1) y dos vectores F y M que especifican

frecuencia y la magnitud, de forma que “plot(F,M)” es

gráfica de la respuesta deseada del filtro.

Se pueden indicar saltos bruscos en la respuesta frecuen

duplicando el valor de la frecuencia de corte.

F debe estar entre 0 y 1, en orden creciente, siendo el pri

elemento igual a 0 y el último 1. El parámetro window in

el tipo de ventana a utilizar. Por defecto, usa la ventana

Hamming.

>> B = fir2(N,F,M,’bartlett(N1)’); (8)

Se pueden especificar más parámetros en esta función,

>> B = fir2(N,F,M,npt,lap,window); (9)

La función fir2 interpola la respuesta frecuencial dese

(F,M) con npt puntos (por defecto, npt=512). Si dos valo

sucesivos de F son iguales, se crea una región de lap pun

alrededor de este punto (por defecto, lap=25).

2.1.3 Función FIRLS

>> B = firls(N,F,M); (10)

Diseño de filtros FIR usando la minimización del error

mínimos cuadrados. Los argumentos de entrada son el ordel filtro N, y dos vectores F y M, cuyo formato difiere de

análogos en la función fir2. El filtro obtenido es la m

aproximación a (F,M) por mínimos cuadrados.

F es un vector que indica los límites de las bandas

frecuencia en parejas (por tanto el tamaño de F debe ser p

y en orden ascendente entre 0 y 1. M es un vector del mis

tamaño que F que indica la magnitud deseada para c

banda de frecuencias.





También existe un argumento opcional que consiste en un

vector W cuyo tamaño es la mitad de F. W es un factor de

ponderación del error para cada banda de frecuencias.

>> B = firls(N,F,M,W); (11)

2.2 Algoritmo de Parks-McClellan

Hay dos funciones en MATLAB para realizar este algoritmo:

remezord y remez.

>> [N,Fo,Mo,W] = remezord(F,M,DEV,Fs) (12)

Calcula el orden N, las bandas de frecuencia normalizadas Fo,

las magnitudes en esas bandas Mo y los factores de

ponderación W que luego serán utilizados como argumentos

de entrada de la función remez. Estos valores cumplen las

especificaciones dadas por F, M, DEV. F es un vector de

frecuencias de corte en Hz, en orden ascendente entre 0 y

Fs/2. Si no se especifica Fs, Fs=2 por defecto. El primer

elemento de F es siempre 0 y el último es siempre Fs/2, perono deben ser especificados en el vector F. El vector M indica

la respuesta deseada en cada banda.

>> b = remez(N,Fo,Mo,W); (13)

Con los valores obtenidos en la función remezord, podemos

implemantar el algoritmo de Parks-McClellan.

3. FILTRO IIR

Existen dos variaciones de este tipo de filtros: AR y ARMA.

3.1 Filtros AR (Autoregresivo).

La ecuación de diferencias que describe un filtro AR es:

[] [] [ ] [ ] (14)

Lo que da lugar a una función de transferencia:

[]

(15)

La función de transferencia contiene solo polos. El filtro es

recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada

actual sino además de valores pasados de la salida (Filtros con

realimentación). El término autoregresivo tiene un sentido

estadístico en que la salida y[n] tiene una regresión hacia sus

valores pasados.

La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita,

de ahí su nombre.

3.2 Filtros ARMA (Autoregresivo y Media Movimiento).

Es el filtro más general y es una combinación de los filtros

y AR descritos anteriormente. La ecuación de diferencias

describe un filtro ARMA de orden N es:

[] [ ] [ ] [ ]

[] [ ] [ ] (16

Y la función de transferencia:

[]

(17)

Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es deci

Autoregresivo de orden N y Media en Movimiento de or

M. Su respuesta a impulso es también de duración infini

por tanto es un filtro del tipo IIR.

En el caso de los filtros con respuesta al impulso de long

infinita, la expresión de la función de transferencia en

dominio Z es en forma de cociente de polinomios. Por eso

forma de obtener en general la salida en este tipo de filtro

mediante fórmulas recursivas.

Una de las particularidades de estos filtros respecto a los

FIR es el hecho de que su comportamiento respecto a la f

es peor. Además, estos filtros proceden directamente d

aplicación de métodos que tradicionalmente se han aplic

en el desarrollo de filtros analógicos tales como eran

aproximaciones de Butterword, Chebyshev o Elíptica.

La implementación de mayor costo computacional e

Butterword mientras que la que menos (menor orden) e

elíptica. Por su parte, tanto la implementación chebysdirecta como inversa son del mismo orden y, por tanto,

igual complejidad computacional.

Por otra parte, se comprueba en las mismas gráficas que

manifiestan las características propias de cada una de

aproximaciones tratadas.

Las aproximaciones Chebychev y elíptica o de Ca

presentan rizado con amplitud constante en la banda

paso. La elíptica presenta también un rizado en la ba

atenuada, al igual que la chebyshev inversa, que sin emba

presenta una banda de paso plana.

También comprobaremos que la aproximación inversa

Chebychev proporciona filtros con menor distorsión de

que la aproximación elíptica a costa de aumentar ligerame

el orden. La aproximación de Chebychev precisa igual or

que la inversa de Chebychev, pero su fase se comp

considerablemente peor.

La aproximación de Butterworth es la que presenta una

más próxima al ideal para un orden dado, pero el orden

necesita para cumplir las especificaciones suele

notablemente mayor al que requieren las demás.





4. IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS DIGITALES

4.1 Realización de Filtros Digitales

Hay dos formas de realizar filtros digitales: Software o

Hardware. En los dos casos debemos hacer un diagrama con

las operaciones a realizar.

- En software se habla de un diagrama de flujo.

- En hardware es un diagrama de bloques, que

especifica los elementos del circuito y sus

interconexiones.

4.2 Propiedades de los diagramas de bloques.

- Conexiones en cascada: La función de Transferencia

global de una conexión en cascada es el producto de

las funciones de Transferencia individuales.

Figura 2. Conexión de dos sistemas en cascada

- Conexiones en paralelo: La función de Transferencia

global de una conexión en paralelo es la suma de las

funciones de Transferencia individuales.

Figura 3. Conexión de dos sistemas en paralelo

- Conexión en realimentación: La salida se realimenta

en la entrada directamente o a través de otros

subsistema. La función de Transferencia global viene

dada por la relación:

() ()

()()(18)

Figura 4. Conexión de un sistema conretroalimentación

Filtros FIR (MA): Son filtros no recursivos cuya función

Transferencia HMA(z) y su correspondiente ecua

diferencia y[n] son de la forma:

Figura 5. Filtro no recursivo

Filtros Autoregresivos: Son filtros recursivos cuya función

Transferencia HAR(z) y su correspondiente ecua

diferencia y[n] son de la forma:

Figura 6. Filtro autoregresivo

Filtros ARMA: Son la combinación de los dos anteriores. Su

función de Transferencia y ecuación diferencia son:





Figura 7. Filtro ARMA

4.3 Efectos de Cuantización.

Cada uno de los filtros tienen ventajas e inconvenientes por

lo cual se debe tener en cuenta los efectos de cuantización.

Los efectos de cuantización deben ser tenidos muy en cuenta

cuando el diseño se realiza en microprocesadores con

aritmética de punto fijo. En caso de utilizar micros de 32 bits

con aritmética en punto flotante, los efectos de cuantizaciónpueden ser despreciados.

El efecto de cuantizar la señal puede estudiarse como el

efecto de añadir un error o una señal de ruido e[n] a la salida

ideal del filtro digital. Este ruido se considera como el efecto

conjunto de varios errores producidos en el procesamiento:

Errores de Cuantizacion: Cuando se implementa un filtro en

hardware (DSPs o ASICs) suele ser habitual trabajar en un

punto fijo ya que es considerablemente más barato en

términos de área de silicio y complejidad en el diseño. Por

ejemplo, las variables del filtro (entradas, salidas y

coeficientes) pueden estar cuantizadas en 16 bits. Al hacer

una multiplicación necesitaremos 32 bits, que es

posteriormente cuantizado de nuevo a 16 bits. Este tipo de

error puede ser analizado mejor desde un punto de vista

estadístico.

Figura 8. Error analizado desde el punto de vista estadístico.

El error producido al cuantizar x es:

x xQ E )( (19)

El error es cero si todos los bits rechazados son cero, y será

máximo si todos los bits rechazados son 1.

El error máximo es por tanto:

222

1

bi

bi

ia

(20)

El análisis se hace sumando una señal de ruido a la seña

truncar. Esa señal de error tiene la media y varian

calculadas previamente.

Figura 9. Diagramas para analizar el efecto de cuantizacio

Utilizando formas en cascada podemos mejorar la varia

del ruido de cuantizacion, ya que puede disminu

emparejando polos y ceros de acuerdo a ciertos criterio

modificando el orden al cual se realizan las operaciones

cascada.

Una consecuencia de las operaciones aritméticas es

overflow, es decir cuando el resultado de una opera

rebasa el máximo número admitido por una ci

representación digital, ya que la señal debe mantenerse

ese nivel máximo, lo que produce fuertes distorsiones en

señales.

Cuantización de coeficientes: Trataremos de investiga

impacto de la cuantización de los coeficientes del filtro e

función de Transferencia del mismo.

Para sistemas de un mayor orden es necesario utilizar las

formas Paralelo o Cascada para tener un mayor control so

la situación de los polos al cuantizar.

Ahora tomaremos en cuenta el efecto de la cuantiza

sobre los ceros. En el caso de filtros FIR (compue

exclusivamente por ceros), sabemos que se caracterizan

ser de fase lineal. Esto es debido a que los coeficientes

simétricos (o asimétricos). Por tanto cuantizar los coeficien

no van a variar la linealidad de fase del filtro.

Lo que si variará es la magnitud de la respuesta. Se pu

demostrar que los ceros de un filtro FIR o bien están sobr

circunferencia de radio 1, o están en parejas con ra

recíprocos. Por tanto, en los filtros FIR lo normal es utilizaforma directa (I o II). También se podría utilizar la forma

cascada pero se utiliza menos.

El hecho de que los ceros en un filtro digital estén sobr

círculo unidad, hace que los coeficientes del numerador s

+1 ó -1, por lo que en las formas en cascada se pue

ahorrar desde un 25 a un 50% en multiplicaciones compar

con un diseño en paralelo.





Los ceros en un filtro IIR son más problemáticos. Aquí no

tenemos la seguridad de que los coeficientes son simétricos,

por lo que habrá que tener las mismas consideraciones que

las explicadas en el caso de los polos. Aquí además hay que

tener en cuenta el caso habitual en que varios ceros estén en

z=±1 (ver transformaciones bilineales), por lo que su

cuantización no tendría efectos graves. Lo

más normal es utilizar la forma en cascada, aunque se puede

utilizar la forma en paralelo siempre que no haya unasespecificaciones demasiado exigentes.

Figura 10. Efectos de cuantizacion sobre ceros

4.4 Implementación Hardware de Filtros Digitales.

Las estructuras más simples para sumar y restar son las

estructuras en serie. El tamaño del circuito es mínimo pero

requiere de N ciclos de reloj para producir el resultado (N es

el tamaño de los datos en bits). Sin embargo, un circuito tan

pequeño (retrasos pequeños) permite utilizar un reloj de muyalta frecuencia, lo cual compensa el hecho de necesitar N

ciclos.

Figura 11. Sumador y restador serie

Los sumadores o restadores en paralelo más sencillos son los

que propagan las llevadas (carry propagate o ripple carry ) de

un bit a otro. Como contrapartida producen los retrasos más

largos.

Figura 12. Restador en paralelo

5. APLICACIONES DE FILTROS DIGITALES.

5.1 Diferenciadores FIR.

Diseño de diferenciadores FIR

La respuesta frecuencial de un diferenciador es H(F)=j

para |F|£FC . FC es la frecuencia hasta la que quere

diferenciar. Ya que H(F) es imaginario necesitamos secuen

de los tipos 3 y 4 (simetría impar). Si N es además im

h[0]=0.

Para determinar la secuencia h[n] hacemos la transformad

inversa de H(F),

Fc

Fc

nF j

n

FcnsenFcnFcndF eF jnh

2

)2()2cos(.2.2][

Una vez obtenida la secuencia podemos aplicarle una vent

para reducir sobreimpulsos. Nótese que para secuencias c

N impar, H(0.5)=0.

Diseño de diferenciadores en MATLAB con las funciones fy remez:

Ejemplo para una frecuencia de corte de 0.3 y N=25:

Utilizando funcion firls:

>> Fc=0.3;N=25;

>> B=firls(N,[0 0.3 0.4 0.5]*2,[0 0.3 0 0]*2*pi);

>> [H,W]=freqz(B,1,500);plot(W/(2*pi),abs(H));





Figura 13. Grafica función firls.

Utilizando función remez:

>> B=remez(25,[0 0.4 0.4 0.5]*2,[0 0.3 0 0]*2*pi);


Figura 14. Grafica función remez.

5.2 Transformación de Hilbert.

Diseño de Transformaciones de Hilbert

La transformación de Hilbert ideal viene dado por:

)(.)( F signo jF H (22)

n

n

nh

cos1

][

(23)

0]0[ h (24)

La transformación de Hilbert desplaza la fase de una señal -

90º (- /2).

En aplicaciones prácticas se requerirá este desplazamiento de

fase hasta una frecuencia FC , de forma que para calcular la

secuencia h[n] hacemos la transformada inv

obteniéndose:

n

Fcnnh

cos1][

(25)

Ya que H(F) es imaginaria, las secuencias deben ser del tip

ó 4.

Ejemplo para una frecuencia de corte FC=0.05.

Utilizando comando firls:

>> B=firls(25,[0.05 0.5]*2,[1 1]);

>> *H,W+=freqz(B,1,500); plot(W/(2pi),abs(H),’r’);hold;

>> B=firls(25,[0.05 0.45 0.47 0.5]*2,[1 1 0 0]);


Figura 15. Grafica función firls.

Utilizando comando remez:

>> B=remez(20,[0.05 0.45 0.47 0.5]*2,[1 1 0 0],[100 1]);

>> [H,W]=freqz(B,1,500);

>> B=remez(25,[0.05 0.5]*2,[1 1]);

>> [H,W]=freqz(B,1,500);

Figura 16. Grafica función remez.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Frecuencia normalizda

R e

s p u e s t a a F r e c u e n c i a

Filtro diferenciador

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Frecuencia normalizada

R e s p u e s t a f r e c u e n c i a

Diferenciador

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

hilbert

frecuencia normalizada

r s p u e s t a f r e c u e n c i a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

hilbert

frecuencia normalizada

r e s p u e

s t a f r e c u e n c i a





5.3 Interpolación y Decimación.

5.3.1 Filtro de Interpolación

Para interpolar la señal de entrada no tenemos más que

aplicar un filtro pasobajo a la salida del up-sampler . De esta

forma los ceros que habíamos insertado en el up-sampler se

convierten ahora en valores interpolados.

Podemos obtener las especificaciones del filtro pasobajo

necesario. Supongamos que x[n] ha sido obtenido

muestreando una señal continua x a(t) cuyo espectro viene

dado por X a(j w ). El espectro de x[n] es X(e j Ω

). Estas dos

transformadas están relacionadas por la siguiente expresión:

k

aT

k f X

T f X

00

1)( (26)

Donde T 0 es el periodo de muestreo. Si muestreamos x a(t) a

una frecuencia mayor de forma que T=T 0 /L, obtenemos y[n],

cuya transformada de Fourier es Y(e j Ω

), tenemos:

k

a

k

aT

Lk f X

T T

k f X

T f Y

00

.11)( (27)

5.3.2 Decimación: disminución de la frecuencia de

muestreo en un factor entero.

Down-Sampler.

Hacer un down-sampling de un factor entero M>1 consiste

en guardar uno de cada M valores muestreados y eliminando

los M-1 muestreos intermedios, generando una señal de

salida x d [n] de acuerdo con la siguiente relación: x d [n]=x[nM].

Al igual que la operación de up-sampling, el downsampling es

lineal pero es variante en el tiempo. Disminuir la frecuencia

puede tener implicaciones a la hora de cumplir el teorema del

muestreo, por lo que tendremos que introducir un filtro

pasobajo antes de hacer el down-sampling.

5.3.3 Función de Transferencia del Down-Sampler

Creamos una función auxiliar x aux [n], que definimos:

otro

M M nn xn X aux

0

....2,,0][][

(28)

Relacionamos xaux[n] con x[n] por medio de:

][].[][ n xncn X aux (29)

Donde:

otroo

M M nnc

2,,01][ (30)

1

0

2

1

0

2

).(1

)(

1].[].[)(

M

k

kn j

aux

n n

M

k

kn j

aux

e z X M

z X

e M

n zn xnc z X

(31)

1

0

.(21

0

211

)(.1

)( M

k

M

t f j

d

M

k

M

kn j

M d

s

e X M

f X e z X M

z X

(32)

Esto quiere decir que la función de transferencia del do

sampler es la suma de M versiones ensancha

(multiplicación por ts) y desplazadas de la función

transferencia X(z), y multiplicadas por el factor 1/M. Debid

que se ha disminuido la frecuencia de muestreo en un fa

M.

Este filtro deberá colocarse antes del down-sampler para

efectivo. Un filtro ideal deberá tener una frecuencia de c

igual a /M. En la práctica siempre tendremos una ba

de transición por lo que las especificaciones de filtro serán

w M

M

wcw

ej H w

0

1

(33)

5.3.4 Interpolación y Decimación en MATLAB:

Interpolación:

>> N=50;n=0:N-1;L=6;M=L*N;>> x = sin(2*pi*0.14*n)+ sin(2*pi*0.21*n);

% Generar la secuencia del up-sampler

>> xu = zeros(1,M);

>> n1 = 1:M;

>> xu([1:L:M]) = x;

>> figure;stem(n,x);

>> figure;stem(n1,xu);hold;

% Frecuencia de corte del filtro pasobajo = pi/6 --> 1/12





>> Nf=30;nf=Nf/2;

>> B = fir1(Nf,1/6);

>> y = filter(6*B,1,xu);

% Desplazar a la izquierda el vector 'y'

>> y(1:M-nf) = y(nf+1:M); y(M-nf+1:M) = zeros(1,nf);

>> plot(n1,y,'r');zoom;

>> [H,F] = freqz(B,1,250,6);

Figura 17 . Señal original

Figura 18. Señal interpolada.

Decimación:

>> N=50;n=0:N-1;M=6;Nf=30;nf=Nf/2;

>> x = sin(2*pi*0.042*n) + sin(2*pi*0.033*n);

% Filtro pasobajo frecuencia de corte pi/6 --> 1/12>> B=fir1(Nf,1/6);

>> [H,F]=freqz(B,1,250,1);

>> xd = filter(B,1,x);

% Eliminar el retraso

>> xd(1:N-nf) = xd(nf+1:N);xd(N-nf+1:N)=zeros(1,nf);

% Generar la secuencia de down-sampler

>> y = xd(1:M:N-1);lxd=length(y);

>> figure;plot(n,x,'r',n,xd,'g');

>> figure;stem([1:lxd],y);

Figura 19. Señal original y filtrada

Figura 20. Señal decimada por 6.

6. CONCLUSIONES.

Hemos podido comprobar la importancia de disponer de

herramienta de cálculo potente para el diseño de siste

electrónicos complejos como pueden ser los filtros.

Dentro de esas herramientas Matlab se sitúa como una de

más empleadas y la que, por el momento, a consegu

mayor aceptación y desarrollo. Por ende, hemos vistoprincipales características de los filtros digitales que se u

hoy día para aplicaciones diversas en los siste

electrónicos. Así, podemos concluir que, cuando la fase ju

un papel fundamental en el tratamiento de la señal

ejemplo, en el caso de comunicaciones de datos) es mejo

uso de filtros FIR de mayor costo pero de fase lineal. Mien

que cuando la fase no toma gran importancia (por ejem

en aplicaciones de audio, donde el oido humano no es ca

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2




Elio Andrés Rojas. Página

de discernir pequeñas variaciones de la fase) el empleo de

filtros IIR, de menor costo, es el apropiado.

7. REFERENCIAS.

[1] “ Tratamiento de señales en tiempo discreto”

Alan V. Oppenheim Ronald W. Schafer

[2]“ Tratamiento digital de señales”, Proakis, John G

*3+ “Signals and Systems”, Ziemer Rodger E.

*4+ “Signals and Systems”, A.V. Oppenheim.

ENSAYO FILTROS 2

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