Ensayo noviembre2014uc

PREUNIVERSITARIO UC

MATEMÁTICA ENSAYO M-214

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

1

PRUEBA DE MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES FORMA M-214

1.- Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- DISPONE DE 2 HORAS Y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLA.

3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

5.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

6.- NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

7.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.- Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

11.- A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

13.- El presente folleto es de su propiedad. Deberá entregar solamente la hoja de respuestas al encargado de la supervisión del desarrollo del Ensayo.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

FIRMA . . –

PREUNIVERSITARIO UC



2

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 80 preguntas.

2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede

consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.

4. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un

sistema de ejes perpendiculares.

5. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al

lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente cones mayor que ~ es semejante con

es menor o igual a es perpendicular aes mayor o igual a es dist int o de

ángulo recto // es paralelo aángulo pertenece a

log logaritmo en base 10 AB trazo ABconjunto vacío x v

< ≅>≤ ⊥≥ ≠

∈

φ

∢

c

alor absoluto de x

unión de conjuntos x! factorial de xintersección de conjuntos A complemento del conjunto A

u vector u

∪∩�

PREUNIVERSITARIO UC



3

1. ( )0,4 0,4 : 0,6− =

A) 0

B) 115

−

C) 4

135−

D) 115

E) 4

135

2. ¿En cuál de las siguientes expresiones el resultado es un número entero?

I) ( ) 10,2

−

II) −

− −

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

2 6 2

7 3

3 5 7 113 5 11

III) 0,00680,02

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en I y en II

D) Solo en I y en III

E) Solo en II y en III

PREUNIVERSITARIO UC



4

3. Al dejar rebotar una pelota, la altura que alcanza cada vez es 23

del

bote anterior. Si el quinto bote fue de 45

metros, entonces ¿cuál fue

la altura, en metros, del primer bote?

A) 4,05

B) 2815

C) 24340

D) 64405

E) 1,2

4. El valor resultante de +0,0031 7,829 :1.000 , truncado a la milésima, es

A) 0,011 B) 0,010 C) 0,0109 D) 0,007 E) 0,008

5. ¿Cuál es la relación correcta entre los números = 10a 20 , = 20b 10 y = 5c 40 ?

A) = >a c1 y 1

b b

B) = =a c1

b b

C) > >a c1 y 1

b a

D) > >b a1 y 1

a c

E) > >b c1 y 1

c a

PREUNIVERSITARIO UC



5

6. Si se tiene el número racional N, de modo que += a b

Nc

, con a, b y c

números enteros y ≠ −a b , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas?

I) Si − = −a c c b , entonces N es un número entero.

II) Si b es múltiplo de a y a es múltiplo de c, entonces N es un

número entero múltiplo de c.

III) Si N es positivo y b aumenta en 2, entonces la fracción puede ser negativa.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) − 10,42

45 resulta un número decimal finito.

II) 0,7 :0,5 resulta un número decimal infinito periódico.

III) +2,339 0,9 resulta un número decimal infinito.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

PREUNIVERSITARIO UC



6

8. Si r y s son números reales negativos, con r s≠ , entonces ¿en cuál de las siguientes alternativas el resultado es siempre positivo?

A) 2rs

B) ( )+2 r s

C) ( )−1rs

D) −2 2r s

E) −1

r s

9. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) <2 2,1

B) <10 3,2

C) <40 6,5

D) <57 6,9

E) <72 9,1

10. 55 22 2⋅ =

A) ⋅ 10 94 2

B) ⋅19 102 2

C) 10 62

D) 2

E) 10 294

PREUNIVERSITARIO UC



7

11. Para que la expresión ( )b 3 3⋅ − corresponda a un número racional,

el valor de b puede ser

I) ( )−3 3

II) +6 2 3

III) +1

3 3

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

12. − =−

2 75 3 300

24 54

A) 10 2

B) −10 2

C) 375

12

D) 225

30

E) Ninguno de los valores anteriores.

PREUNIVERSITARIO UC



8

13. − ⋅ =

325 5 1 m

3

1log t : log t log m log

9

A) 0

B) 54

C) −

5

3

log t1

log m9

D) 512

−

E) 1112

14. Sabiendo que π es aproximadamente 3,141592653… , entonces si m es igual a π aproximado por exceso a la centésima, n es igual a π aproximado por defecto a la centésima y p es igual a π aproximado por redondeo a la centésima, entonces el orden correcto entre ellos es

A) m= n = p

B) < =m p n

C) = <p n m

D) < <p m n

E) < <n p m

15. Si un microscopio electrónico tiene una resolución de 0,2 nm, sabiendo que 1 nm equivale a −910 metros, y el ojo humano tiene una resolución de 0,02 centímetros, entonces ¿cuántas veces mejor es la resolución del microscopio electrónico con respecto del ojo humano?

A) 310

B) 410

C) 510

D) 610

E) 710

PREUNIVERSITARIO UC



9

16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) − >3 2 0

B) − < −31

2

C) ( )−2

3 2 es un número entero.

D) +1

3 2 es un número irracional.

E) − <1 10

3 2

17. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones permite(n) calcular el área de la región achurada de la figura adjunta?

I) ( ) ( )ab a b b c− − −

II) ( )2b c a b+ −

III) ab bc− A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

18. Si x 1≠ ± , entonces 2

2

x 2x 1 x 1:

x 1x 1+ + + =

−−

A) x 1x 1

+−

B) x 1x 1

−+

C) 2

2

x 1x 1

−+

D) 1 E) 1−

a

b

b

c

PREUNIVERSITARIO UC



10

19. A un taller de baile con 20 participantes, asisten más mujeres que hombres. Si hubiera 3 mujeres más y 3 hombres menos, el número de mujeres sería el triple del número de hombres. ¿Cuántos hombres asisten a este taller?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

20. El sistema de ecuaciones mostrado a continuación, con a y b no nulos,

verifica que x y+ es igual a

A) 1a−

B) 1 1a b− −+

C) 0

D) 21 4a

4ab

−+

E) 1 a

1b−+

21. Sea { }T x / x 3= ∈ < −ℝ , { }V x / x 3= ∈ >ℝ y { }S x / x 3= ∈ <ℝ . El

conjunto solución del sistema siguiente es

A) T V∪

B) T V∩

C) T S∩

D) S T∪

E) V S∩

( ) ( )2 2ax by 1

ax by 1

− =

+ =

2x2

3

4 2x 2

< −

− < −

PREUNIVERSITARIO UC



11

22. Dada la ecuación 2mx – n = 2nx – m , es siempre verdadero que

I) si m = n = 1, la ecuación tiene una única solución.

II) si m = n = 0, la ecuación no tiene solución.

III) si m = n, la ecuación tiene infinitas soluciones.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

23. Sean p y q números reales no nulos y p ≠ 1, el valor de x en la

ecuación x1

pq1

xp

q1 −=− es

A) 0 B) 1 C) –q D) –pq E) pq

24. La solución de la inecuación 04x1x ≥

−+

es

A) , 1 4,−∞ − ∪ + ∞

B) , 1 4,−∞ − ∪ + ∞

C) , 1 4,−∞ − ∪ + ∞

D) , 1 4,−∞ − ∪ + ∞

E) ∅

PREUNIVERSITARIO UC



12

25. Dadas las funciones f(x) = x2 + 2x + 1 y g(x) = x2 – 2x + 1, es siempre verdadero que

I) ambas funciones cortan al eje x en el punto (1, 0). II) si ( )f a b= , entonces ( )g a b− = .

III) f(x) es simétrica de g(x) con respecto al eje x.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

26. ¿Cuál de las siguientes funciones es la que mejor representa al gráfico

de la figura?

A) ( )3f(x) x 5 3= − − +

B) ( )3f(x) x 3 5= − +

C) ( )4f(x) x 3 5= + +

D) ( )4f(x) x 5 3= − + +

E) ( )4f(x) x 3 5= − + +

27. Las edades de una pareja de matrimonio suman 62 años. Si el producto entre los años que tienen la esposa y el esposo es 960, ¿qué edad tiene el mayor de ambos? A) 34 años

B) 32 años

C) 30 años

D) 28 años

E) 26 años

y

x

5

–3

PREUNIVERSITARIO UC



13

28. El triple de un número x más otro número y es igual a S. ¿Cuánto vale el máximo producto entre x e y?

A) S3

−

B) 2S

12−

C) S6

D) 2S

12

E) 2S

6

29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la solución de la

inecuación 6x 7 5− ≤ ?

A)

B)

C)

D)

E)

0 -2 2 1 -1

0 -2 2 1 -1

0 -2 2 1 -1

0 -2 2 1 -1

0 -2 2 1 -1

PREUNIVERSITARIO UC



14

30. Al resolver x x 34 2 2 64 0+− ⋅ + = se obtiene que el valor de x es

A) 3− B) 2 C) 3 D) 8 E) 16

31. Sean f : →ℝ ℝ y g: →ℝ ℝ dos funciones reales. Se sabe que

( )f x x 7= + y ( ) ( ) 2g f x x 7x 10= + +� . ¿Cuál es la expresión que

representa a ( )g x ?

A) x 10+ B) x 49+

C) 2x 49x 10+ −

D) 2x 14x 10− +

E) 2x 7x 10− +

32. Un disco de diámetro d centímetros vale $ 1.000. Si el precio está dado por una función lineal, dependiendo del diámetro, ¿cuál de las siguientes funciones permite calcular el precio P, en pesos, de un disco de diámetro 2x centímetros?

A) ( ) 2

2.000P x x

d=

B) ( )P x 2.000 d x= ⋅ ⋅

C) ( )P x 2x 1.000d= +

D) ( ) 1.000 dP x

2x⋅=

E) ( ) 2.000P x x

d=

PREUNIVERSITARIO UC



15

33. La intersección de la gráfica de la función ( )f x x 8= + con los ejes x

e y, respectivamente, son

A) 8 y 2 2−

B) 8 y 8

C) 0 y 0

D) 0 y 8−

E) 8 y 0

34. De acuerdo a la siguiente gráfica de ( )f x :

Es posible afirmar que su dominio y recorrido son, respectivamente, A) ℝ en ambos casos.

B) 4, 7 y 2, 4− −

C) 4, 2 y 2, 5− − −

D) 4, 7 y 2, 5− −

E) 2, 5 y 4, 7− −

5

7 x

–2

–4

y

PREUNIVERSITARIO UC



16

35. ¿Cuál de las afirmaciones acerca de las funciones siguientes es FALSA?

A) = − +f(x) 3x 4 es creciente.

B) g(x) 3= es constante.

C) h(x) x= − es decreciente.

D) r(x) log(x)= es creciente.

E) s(x) x 6= − es creciente.

36. Si ABCD es un rombo, de tal manera que sobre los lados de él se construyen triángulos equiláteros como lo indica la figura y, además, A

está sobre GH, B está sobre AE, C está sobre EF y D está sobre FA . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) DBC AHB∆ ≅ ∆

II) FEA HGC∆ ≅ ∆

III) El trapecio isósceles DBEF no

es siempre congruente con el

trapecio isósceles GHBD.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

A

B

C

D

G H

EF

PREUNIVERSITARIO UC



17

37. Un punto ( )P a,b del plano se traslada verticalmente obteniéndose el

punto ( )P ' 2,b'− . Si luego P’ se traslada nuevamente con respecto al

vector ( )u 7,7=�

se obtiene el punto P '' cuya ordenada es igual a 8.

¿Cuáles son las coordenadas del punto P, sabiendo que está 3 unidades más abajo que P ''?

A) ( )3,7

B) ( )2,15−

C) ( )2,1−

D) ( )2,5−

E) Falta información para poder responder la pregunta.

38. En la figura, ABCD es un trapecio. ¿Cuál de las siguientes alternativas

permite concluir que tal trapecio es isósceles?

A) DE AB⊥ y CF AB⊥

B) EFCD es un rectángulo.

C) AED BFC∆ ≅ ∆

D) Los ángulos BAD y ADC son suplementarios; al igual que los

ángulos ABC y DCB.

E) Los ángulos DAB y CBA son complementarios.

A B

CD

E F

PREUNIVERSITARIO UC



18

39. El punto ( )A 1,3 se traslada mediante el vector v��

y se obtiene el punto

( )C 6,15 , entonces, la longitud y componentes del vector u�, que tiene

sentido opuesto a v��

son, respectivamente

A) 13 y ( )5,12

B) 13 y ( )5, 12− −

C) 13 y ( )5,12

D) 13 y ( )5, 12− −

E) 13 y ( )12, 5−

40. Una circunferencia de diámetros AB y CD y radio 1 es tangente en C al eje de abscisas, como en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Los puntos A y D tienen coordenadas ( )1,1 y ( )2,2 ,

respectivamente.

B) El centro de la circunferencia es el punto 3

,12

.

C) El punto D tiene igual abscisa que C.

D) La distancia entre los puntos A y D es igual a la distancia entre los puntos C y B.

E) CBDA es un cuadrado de lado 2 .

( )B 3,1iA

C

D

x

y

PREUNIVERSITARIO UC



19

1L

2L

3L

4L5L

1 cm

3 cm

x

y

41. Si en la figura se verifica que 1 2 3L // L // L , tal que 4L y 5L son

secantes. El valor de 3x y− es igual a

A) 1 cm B) 3 cm

C) 13

cm

D) 0 cm E) Faltan datos para responder

la pregunta.

42. En el segmento PQ de la figura adjunta se cumple que M es punto

medio de PA y N es punto medio de AQ . Sabiendo PA : AQ 4 : 5= , se

tiene que AN : MA como

A) 5 : 4 B) 4 : 5 C) 3 : 2 D) 2 : 3 E) 1 : 4

43. En el triángulo ABC de la figura de cumple que DE // FG // AB , y

además que CD : DF : FA 2 : 3 : 5= . ¿Cuál de las siguientes

alternativas es siempre verdadera?

A) ( )( )

Área CDE 15Área CAB

∆=

∆

B) CF : CA 1 : 5=

C) CFG ~ CAB∆ ∆ D) 5DE 3AB= E) DF AB CA FG⋅ = ⋅

|

P|

Q|

A|

M|

N

A B

F G

D E

C

PREUNIVERSITARIO UC



20

44. En la circunferencia de centro O de la figura se han trazado las cuerdas

AB y CD que se intersectan en P. De acuerdo a los datos métricos indicados en la figura, la suma de las longitudes de ambas cuerdas, en centímetros, es igual a

A) 15

B) 24

C) 13

D) 12

E) 11

45. En la figura adjunta los segmentos AD y FB se intersectan en C. Los

puntos H e I están sobre AD y los puntos G y E están sobre FB . Si

AB // FD , HG // EI y los ángulos FDC y CEI son congruentes.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones podría(n) ser falsa(s)?

I) ABC ~ DFC∆ ∆

II) GHC ~ EIC∆ ∆

III) CDF ~ CEI∆ ∆

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Ninguna afirmación es falsa.

A

B

C

DP

Oi6 cm3 cm

2 cm

A B

C

DF

H

I

G

E

PREUNIVERSITARIO UC



21

46. En la circunferencia de la figura adjunta se tiene que AD y CB son cuerdas que se intersectan en P, ¿cuál es la medida del ángulo CDA, sabiendo que el arco BD mide 78°?

A) 26°

B) 39°

C) 78°

D) 89°

E) 115°

47. Sobre el triángulo ABC, rectángulo en C, se traza la altura correspondiente a la hipotenusa formando un triángulo ADC como lo indica la figura adjunta. Si p 5cm y q 4cm= = , ¿cuál es la longitud

de la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa AB , en centímetros?

A) 6

B) 206

C) 456

D) 152

E) 10

PA

B

C

D115°

A

B

C

D

E

p q

PREUNIVERSITARIO UC



22

48. En la figura siguiente se verifica que los triángulos ABC y DEF son

semejantes de tal manera que el lado AB es el homólogo del lado DE y ellos están a razón 2 : 3 . ¿Cuál de las siguientes alternativas es

FALSA?

A) abc 8def 27

=

B) a b 8d e 24

+ =+

C) 1

2

h 2h 3

=

D) 1

2

c h 4f h 9

⋅=

⋅

E) a d 2b e 3

+ =+

49. Si se considera un sistema de ecuaciones lineales formado por las rectas 1L : ax by c+ = y 2L : dx ey f+ = , ninguna de ellas corresponde a

una recta vertical ni horizontal, ¿con cuál(es) de las expresiones mostradas se presenta una relación correcta entre los coeficientes de las rectas 1L y 2L ?

A) Solo con I B) Solo con I y con II C) Solo con I y con III D) Solo con II y con III E) Con I, con II y con III

BA

C

D E

F

ab1h

de

2h

c f

1L2LI)

1 2L L⊥

ad be 0+ =

II)1L

2L

ae bd 0− =

1 2L // L

III)1 2L , L

bf ce 0− =

1 2L coincidente con L

PREUNIVERSITARIO UC



23

50. Las rectas 1L y 2L son paralelas, y las rectas 3L y 4L son

perpendiculares a ellas. La ecuación de la recta 1L es 3x y 4 0− + = .

¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a posibles ecuaciones de las rectas 2L , 3L y 4L , respectivamente?

2L 3L 4L

A) x 3y 1 0+ − = , x 4y 1 0− − = y x 4y 2 0− + =

B) 3x y 1 0− − − = , x y 2 0− + − = y x y 2 0− + + =

C) 3x y 1 0− − = , x 3y 18 0+ − = y x 3y 0− − =

D) 3x y 0− = , x 3y 3 0− + − = y x 3y 21 0− − + =

E) Ningún par de rectas mostrado verifica las condiciones pedidas.

51. En el gráfico adjunto se presentan las rectas x 2= e y 3= . Si por la

intersección de tales rectas se traza una recta L de pendiente m. ¿Cuál de las siguientes alternativas podría corresponder a L?

A) y mx 5= +

B) ( )y m x 2 3= + +

C) ( )y m x 2 3= − −

D) ( )y m x 2 3= + −

E) ( )y m x 2 3= − +

x 2=

y 3=

L

x

y

PREUNIVERSITARIO UC



24

52. Al punto ( )A 1 ,1 se le aplica una rotación en 180° con respecto al

origen y se obtiene el punto B. Al punto ( )C 2 ,3− se le aplica una

simetría con respecto al origen y se obtiene el punto D. ¿Cuáles son las

intersecciones de la recta BD con los ejes x e y, respectivamente?

A) 5 5

y2 3

B) 5 5

y2 3

− −

C) 2 3

y5 5

D) 2 3

y5 5

− −

E) 5 5

y2 3

−

53. Con los puntos ( )A 10, 4− , ( )B 6,4− y ( )C 8,0− se forma un triángulo

ABC. Con respecto a él, es correcto afirmar que

I) el triángulo ABC es isósceles.

II) el triángulo ABC es rectángulo.

III) el triángulo ABC es escaleno.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

PREUNIVERSITARIO UC



25

54. El triángulo ABC, rectángulo en B, de la figura adjunta verifica que AB 3 cm= y BC 4 cm= . Se le aplica, a tal triángulo, una homotecia de

razón k 0< con centro en P y se obtiene el triángulo DEF. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Si k 1= − , entonces P es punto medio de los segmentos CF, BE y

AD. B) Si k 2= − , entonces las longitudes de los lados del triángulo DEF

podrían ser 6, 8 y 10.

C) Si k 3= − , entonces CP 3PF 1

= .

D) El ángulo DEF es recto. E) Los segmentos CB y EF son paralelos.

55. La circunferencia de radio 2 unidades del gráfico adjunto tiene su

centro en el punto ( )C 6,4,1 y es paralela al plano XY. Ella se traslada

paralelamente al eje z, quedando así el centro de la nueva circunferencia en el punto D. ¿Cuáles deben ser las coordenadas del punto D de tal manera que el volumen del sólido generado sea igual a 96π unidades al cubo?

A) ( )6,4,25

B) ( )6,4,24

C) ( )6,4,23

D) ( )6,4,96

E) No se puede determinar.

AB

C

P

DE

F

6

41

x

y

z

C

D

PREUNIVERSITARIO UC



26

56. ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta cuya base es un hexágono regular de lado 6 cm y la altura es de 10 cm?

A) 3540 3 cm

B) 3360 3 cm

C) 336 3 cm

D) 360 3 cm

E) 3180 3 cm

57. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una recta que es paralela

a ( ) ( ) ( )w t 5,8 t 1,2= +��

, para t en los números reales?

A) ( ) ( ) ( )r t 1,3 t 1,2= + −

�

B) ( ) ( ) ( )z t 3, 9 t 2, 4= − + −�

C) ( ) ( ) ( )u t 10,7 t 10,10= +�

D) ( ) ( ) ( )v t 2,5 t 2, 1= + −��

E) ( ) ( ) ( )s t 15,14 t 7,14= +�

58. Dadas las rectas 1L y 2L en el espacio, definidas por ( ) ( )m t t 1,0,2=��

y

( ) ( ) ( )n t 2,0,0 t 1, 1, 1= + − −�

, respectivamente, para cualquier valor de t

en los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Solo 1L pasa por el origen de coordenadas. II) Ambas rectas se intersectan en un único punto. III) Las rectas son perpendiculares.

A) Solo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas es correcta.

PREUNIVERSITARIO UC



27

Cantidad deDuracióntubos(en horas)

10300,400

45400,500

60500,600

75600,700

70700,800

50800,900

40900,1.000

59. La siguiente tabla muestra la duración, en horas, de 350 tubos fluorescentes encendidos de manera constante e independiente de cualquier otra cosa, ellos no fallan nunca y su duración termina cuando se consumen completamente.

De acuerdo a la tabla, NO es posible afirmar que

A) menos de 110 tubos duraron menos de 600 horas, pero más de

300 horas antes de que se apagaran debido a uso.

B) la mayor cantidad de tubos duró entre 600 y 700 horas.

C) la mediana de la muestra se encuentra en el intervalo cuya marca

de clase es de 650 horas de duración.

D) el promedio de los dos primeros intervalos es menor a 400 horas

de duración.

E) la frecuencia relativa acumulada correspondiente al quinto

intervalo es menor al 75% del total de datos de la muestra.

PREUNIVERSITARIO UC



28

60. Se lanzan al aire, simultáneamente, seis monedas no cargadas, 1.000 veces cada una, y en cada lanzamiento se registra el número de caras obtenido. En base a tales resultados se construye una ojiva de frecuencias, es decir, la gráfica de las frecuencias acumuladas de la muestra, como en el gráfico adjunto. Con respecto a tal gráfico, es posible afirmar que

I) el promedio del número de caras obtenidas podría considerarse

más cercano a tres caras obtenidas que a cuatro caras obtenidas.

II) la moda del número de caras obtenidas en el experimento es de tres caras.

III) la mediana del número de caras obtenidas en el experimento es de dos caras.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

|

0|

1|

2|

3|

4|

5|

6

38−

182−

524−

811−

975−1.000−

númerode caras

PREUNIVERSITARIO UC



29

61. Una muestra de N datos 1 2 Nx , x ,...,x ; es tal que para cualquier valor

de i natural desde 1 hasta N se cumple que ix a ib= + , siendo a y b

números reales positivos. ¿Cuál de las siguientes alternativas podría ser falsa?

A) Si N 5= , entonces el promedio aritmético de la muestra es

exactamente igual a 3x .

B) Si N 9= , entonces la mediana de la muestra es exactamente igual

a 5x .

C) La muestra, para cualquier valor de N, no tiene moda.

D) Si N 100= , entonces el percentil 99 de la muestra es exactamente

igual al promedio entre 99x y 100x .

E) Si N 1.000= , entonces el quinto decil de la muestra es igual a

500 501x x2+

.

62. El promedio aritmético de los datos { }x,y,z es X . ¿Cuál de las

siguientes alternativa es SIEMPRE verdadera?

A) La única forma de que el promedio de los datos sea igual a cero es que los tres datos sean exactamente iguales a cero.

B) El promedio de { }x y,0,z y− − es X y− .

C) El promedio de { }ax,ay,az es X3a

.

D) Si x es el antecesor de y, y además z es el sucesor de y, entonces

el promedio de la muestra es y3

.

E) Si la muestra original corresponde a tres números pares consecutivos, entonces X es siempre un número positivo.

PREUNIVERSITARIO UC



30

63. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una expresión que

permite calcular la varianza del conjunto de datos { }, ,α β γ cuyo

promedio aritmético es X ?

A) ( ) ( ) ( )1X X X

3α − + β − + γ −

B) ( ) ( ) ( )( )21X X X

3α − + β − + γ −

C) ( )1X X X

3α − + β − + γ −

D) ( ) ( ) ( )( )1X X X

3α − + β − + γ −

E) ( ) ( ) ( )2 2 21X X X

3 α − + β − + γ −

64. Se cuenta con una muestra de una cierta cantidad de datos, cuya varianza es 2σ , entonces, NO es posible afirmar que

I) si la varianza es conocida, entonces la desviación estándar de

la misma muestra es igual a ±σ .

II) si a la muestra se le agregan dos datos, entonces la varianza de esta nueva muestra será siempre distinta a 2σ .

III) si la muestra no tiene moda, entonces se tendrá una varianza mayor a que si la muestra tuviera al menos una moda, considerando que ambas muestras tienen el mismo número de datos y el mismo rango.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguna afirmación es posible hacerla.

PREUNIVERSITARIO UC



31

65. Se tienen dos monedas M y N. La moneda M está cargada de tal manera que la probabilidad de obtener cara, al lanzarla al aire, es igual a p. La moneda N es una moneda no cargada, es decir, honesta. Se lanza al aire la moneda M, si se obtiene cara se vuelve a lanzar la misma moneda; pero si sale sello, se lanza la moneda N. ¿Cuál es la probabilidad total de obtener sello en el segundo lanzamiento?

A) 2p

B) ( ) ( )11 p 1 p p

2− + −

C) ( )p 1 p−

D) 14

E) ( ) ( )1 p 1 p− +

66. Se lanza un dado normal al aire. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener un número primo en un

lanzamiento es la misma que obtener un número par.

II) Si se lanza 3 veces al aire, entonces el espacio muestral consta de 216 opciones, todas distintas.

III) Si se lanza 20 veces al aire, la probabilidad de que en los 20 lanzamientos se obtenga un dos es igual a la probabilidad de que no se obtenga un tres.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

PREUNIVERSITARIO UC



32

67. Se tienen 5 segmentos 1 2 3 4 5l , l , l , l y l de largo fijo tales que

1 2 3 4 5l l l l l< < < < . ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 de

esos segmentos, que estén siempre en orden ascendente?

A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 60

68. Se tiene una urna con 3 fichas rojas, 4 fichas azules y 2 fichas blancas,

todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae al azar una ficha roja,

entonces se elimina de la urna una ficha blanca. Si se elige al azar una

ficha blanca entonces se agrega una ficha azul. Si se extrae una ficha

azul entonces se agregan dos fichas entonces se agregan dos fichas

rojas a la urna. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar una ficha roja,

una blanca y una azul en ese orden, si el experimento es sin

reposición?

A) 24504

B) 24729

C) 15504

D) 15441

E) Ninguno de los valores anteriores.

PREUNIVERSITARIO UC



33

69. Se lanza una moneda honesta al aire una cierta cantidad de veces. Los resultados se registran en la gráfica adjunta.

De acuerdo a ella y a la Ley de los Grandes Números, es posible

afirmar que

A) si el experimento de realizó 10 veces, entonces siempre N será

igual a M. B) independientemente del número de veces que se haya realizado el

experimento se cumplirá siempre que N es igual a M. C) si el experimento se realiza una vez se tendrá que N 0= . D) nunca se tendrá que N o M sean iguales a cero. E) si el experimento se realizó 100 millones de veces, entonces, en

teoría, el valor de N debería ser igual al valor de M.

70. Sea E un espacio muestral compuesto de tres eventos A, B y C mutuamente excluyentes. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) ( ) ( )CA B C= ∩P P

B) ( ) ( ) ( )A B A B∪ = +P P P

C) ( ) ( ) ( ) ( )B C B C B C∪ = + − ∩P P P P

D) ( ) ( ) ( )A B C 1+ + =P P P

E) ( )C C CA B C 0∩ ∩ =P

cara sello

N −

M −

frecuencia

resultado

PREUNIVERSITARIO UC



34

71. Sea X una variable aleatoria con espacio muestral { }1 2 3 4E a ,a ,a ,a= . Si

P es la función de probabilidad asociada a X tal que ( )i iX a p= =P , para

i variando entre 1 y 4. ¿Cuál de las siguientes alternativas podría representar a la gráfica de la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria?

0,1 −

0,5 −

0,3 −0,2 − 0,2 −

0,6 −

0,3 −

0,1 −

0,25 −

0,3 −

0,2 −0,15 −

0,3 −

0,1 −0,2 −

0,4 −

0,35 −0,1 −

0,05 −

0,4 −

A) B)

C)D)

E)

1p 2p 3p 4p 1p 2p 3p 4p

1p 2p 3p 4p 1p 2p 3p 4p

1p 2p 3p 4p

PREUNIVERSITARIO UC



35

72. Si X es una variable aleatoria definida en los números enteros, de tal

manera que ( )3x

X x27

= =P , ¿cuál es la probabilidad de que la variable

aleatoria sea exactamente igual a 2 menos la probabilidad de que sea

exactamente igual a 1?

A) 0

B) 727

C) 127

D) 827

E) 1

73. Se cuenta con un dado normal y una moneda honesta donde a la cara se le asigna un 1 y al sello un 2. Se lanza el dado al aire y luego la moneda. Se define la variable aleatoria X como el valor obtenido en el dado elevada al valor de la moneda previamente asignado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido de la variable aleatoria X es

{ }1,2,3,4,5,6,9,16,25,36 .

II) El experimento tiene exactamente 10 respuestas posibles.

III) ( ) ( )X 1 X 20= = ≥P P .

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

PREUNIVERSITARIO UC



36

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80

En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se

sabe que

(1) La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si

x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por Px

100, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.

Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta

información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.

Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que Px

Q100

= , luego

esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).

PREUNIVERSITARIO UC



37

74. Se puede calcular el máximo común divisor entre dos números a y b,

si se sabe que:

(1) a y b son números primos relativos.

(2) a es un número par y b es divisor de 3.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

75. Se puede determinar el valor de ( ) ( )p q r s+ + si se sabe que:

(1) ( )p r s 5+ = y ( )q r s 3+ =

(2) p q r s+ = +

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




PREUNIVERSITARIO UC



38

76. Se requiere saber el valor numérico de 3 3x yx y

−−

. Para ello, es

necesario, también, conocer que

(1) xy 1=

(2) x y≠

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




77. Se puede afirmar que un triángulo ABC es obtusángulo si se sabe

que:

(1) La única altura trazada en tal triángulo que queda

completamente al interior de él es la altura relativa al lado mayor.

(2) El ortocentro del triángulo queda fuera de él.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




PREUNIVERSITARIO UC



39

78. Se tienen cuatro segmentos de largo 2 cm que forman un cuadrilátero y otros cuatro segmentos de largo 4 cm que forman otro cuadrilátero. Se puede afirmar que ambos son cuadriláteros congruentes si se sabe que:

(1) La suma de los ángulos exteriores de ambos cuadriláteros es

igual a 360°.

(2) Los cuadriláteros tienen al menos dos ejes de simetría cada uno.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

79. Se cuenta con dos muestras de datos independientes, ningún dato de cada muestra se repite en ambas. La primera muestra corresponde a los tiempos que demora cada uno de los integrantes de un grupo de atletas en correr los 100 metros planos. La segunda muestra, corresponde a los tiempos que demora cada nadador de una selección en completar los 1.000 metros en estilo libre. Es posible conocer qué muestra de datos es más dispersa si:

(1) se conocen la varianza y el promedio aritmético de cada una

de las muestras.

(2) se conoce el coeficiente de variación de cada una de las muestras.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) o (2)



PREUNIVERSITARIO UC



40

80. Se puede determinar cuántos números diferentes de 4 cifras se

pueden formar utilizando solo los 4 dígitos representados por A, B, C

y D, todos distintos, si se sabe que:

(1) Ninguno de ellos es igual a 0.

(2) Los dígitos pueden repetirse.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) o (2)



Ensayo noviembre2014uc

Documents

Transcript of Ensayo noviembre2014uc