EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

1. Definicions Igualtat

Una igualtat o equivalència és la relació existent entre dues expressions diferents d'una mateixa quantitat

Identitat Anomenem identitat la relació existent entre dues

expressions iguals d'una mateixa quantitat. La particularitat més important d'una identitat és que

aquesta és vàlida independentment del valor que s'atribueixin a les quantitat relacionades

Equació Anomenem equació qualsevol igualtat en la que apareixin

magnituds conegudes i magnituds desconegudes i que només es verifica, normalment, per determinats valors d'aquestes magnituds

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

2.- Expressions algèbriques Incògnites

Magnituds desconegudes Expressions algèbriques

Expressions quan utilitzem els simbols pròpis de la matemàtica Membres d’una equació

Cada una de les dues expressions que formen la igualtat o equació s'anomenen membres, sent el de l'esquerra el primer membre i el de la dreta el segon membre

Termes Cada membre conté diferents termes, sent aquests les

magnituds que intervenen en l'expressió i que estan separats pels signes + o –

Termes semblants Anomenem termes semblants aquells que o bé no venen efectats

per cap magnitud desconeguda o bé estan efectats per la mateixa expressió algèbrica de la mateixa magnitud desconeguda

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

2. Expresseu en llenguatge algèbric les expressions: Dos nombres que es diferenciïn en 3 unitats; Dos nombres consecutius que sumen 21; L'edat que tindrà d'aqui a 7 anys un noi serà el doble de la que té ara; Si al preu de cost d'un MP3 li feu un descompte de 36 euros, aquest

costarà la meitat; El nombre de quilos de patates de Galicia que hem comprat amb 8

euros, si el seu preu és de 0,85 euros/kg. 3. L'entrenador d'un jugador d'escacs li ofereix, com a prima, una certa

quantitat per cada partida guanyada i 30 euros menys per cada partida que acabi en taules. Al finalitzar el campeonat la classificació del jugador reflecteix 3 partides guanyades, 4 empatades i 2 de perdudes, corresponent-li un premi de 720 euros. Quant li va oferir per cada partida guanyada?. Traduiu aquest enunciat al llenguatge algèbric.

4. Al sumar un mateix nombre al numerador i al denominador de la fracció obtenim una altra equivalent a . Quin és aquest nombre?. Traduiu aquest enunciat al llenguatge algèbric

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

5. Indiqueu de les següents igualtats si es tracta d'identitats o bé d'equacions: a·(b – c) = a·b – a·c x + y = 2x – 18 (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 3x – 4 = 2(x – 3) (x + 3)2= x2 – 6x + 9 3x + 15 = 21 7x – y = 13

6.- Doneu una possible interpretació de les expressions: 2(x + 3) = 16 x2 = 36

(x Ð 4)

3 = 7

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

Resolució d’equacions. Entenem per resoldre una equació els processos que cal fer per

determinar el valor o valors de les incògnites que transformen l'equació en una igualtat; aquests valors són les solucions o arrels de l'equació.

Equacions equivalents Direm que dues equacions són equivalents si tenen les mateixes

solucions

Exercicis 7. Comproveu si els valors de x que us donen són o no solució de l’equació

corresponent: 2x – 3 = 5 per a x = 3 x + 1 = 7 per a x = 6 2x – 3 = x per a x = –1

8. Comproveu que x = 1 és solució de l'equació 8 – 2x = 2x2 + 3x + 1

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

9. Comproveu que x = 2/3 és solució de l'equació 5x – 1 = 2x + 1

10. Les igualtats següents són equacions. Se sap que cada equació té una sola solució i que cada un d'aquests nombres: –3, 0, 3/2, 5, 3 i 2 és solució d'una de les equacions. Assigneu a cada equació la seva solució: 4x – 3 = 2x + 7;

6(x – 1) = x + 3(x – 2);

7x = 3x – 30;

3x = 15 – 2x;

2x + 1 = x + 3/2

x

2 =

x + 1

3

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

11. Escriviu, per cada cas, una equació de manera que aquests nombres en siguin una solució: –2; 1,5; 2 i 5 0,4 i –2

12.- Les equacions 3x – 1 = x + 7 i 3x + 5 = x + 13 són equivalents? Per què?. Per comprovar-ho, proveu que si x = 4 és solució de la primera,

també ho és de la segona, mentre que qualsevol altre valor de x, per exemple, x = 2, 9 o -3 no ho són de la primera no de la segona

13. Donades les equacions x + 2 = 2x + 1 i (x + 2)·(x – 3) = (2x + 1)·(x – 3) comproveu si 1 i 3 són solucions d'ambdues equacions. Són equacions equivalents?

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

14. Donades les equacions x = 1 – 2x i x2 = (1 – 2x)2 comproveu si 1 i -1 són solucions d'ambdues equacions. Són equacions equivalents?.

15. Escriviu, per cada cas, una equació de manera que aquests nombres en siguin una solució: –2; 1,5; 2 i 5 0,4 i –2

16. Trobeu entre les equacions del segon grup les que siguin equivalents a alguna de les del primer grup: a) 4 + x = 1 1) 3x + 2 = –x + 6 b) x = 2x + 1 2) 2x + 1 = 3x + 4 c) 3x = –x + 4 3) –x = –2x – 1   4) x – 4 = – 3x   5) 2.(x + 1) = 5.(3x/5 + 1)

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

PRINCIPIS GENERALS Principi general:

Una equació es transforma en una altra d'equivalent, i els valors de les seves incògnites no s'alteren, quan s'executen operacions iguals en ambdós membres

Primer principi. (Transposició de termes) Si sumem o restem als dos membres d’una equació una mateixa quantitat obtenim una equació equivalent a la primera

Segon principi. (Eliminació de denominadors)Si multipliqiuem o dividim els dos membres d’una equació per una quantitat diferent de zero obtenim una altra equació equivalent a la primera.

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

EQUACIÓ DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Entenem per Equació de Primer Grau amb Una Incògnita la

igualtat en la que: un cop hem eliminat denominadors, tret els parèntesis, feta la transposició de termes i agrupats els termes semblants

té la forma ax = b (que es coneix com a forma canònica)

en la que a i b representen nombres coneguts i x la magnitud desconeguda

Solució d’una equació de 1r grau amb una incògnita Un cop hem obtingut la forma canònica equivalent de l'equació

que ens han donat, la seva solució es troba sempre en la forma:

x =

b

a

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

17. Resoleu les següents equacions sense parèntesi: 5x = 1 – 2x 5x – 2 = 1 – 7x + 12 14 + 24x = 12 + 24x 21 – 7x = 41x – 123 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x

18. Resoleu les següents equacions amb parèntesi: 2(x – 3) = 4(1 – x) x + 5(2x – 3(x + 1)) = 21 5(x – 3) + 8x = 6(x +1) 2 – (3x – 5) = 7 – 3x 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3) 2x + 10 – 3(2x + 6) = 10x + 3(2x – 1)

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

19. Resoleu les següents equacions amb denominadors:

x2

Ð x6

+ 2x5

= -3

x Ð 5

3 +

3x

6 = 5

x7

+ 2x + 3

2= 6

5x Ð 1

6 =

x

7 +

4x Ð 2

5

x Ð 10

8 =

2 Ð x

3

2x Ð 1

3 Ð

5 Ð x

2 =

1 + x

3

x Ð

2x Ð 1

7 =

x + 5

6

EQUACIONS DE 1R GRAU AMB 1 INCÒGNITA

20. Resoleu les següents equacions amb una incògnita:

x + 1

2 Ð

x Ð 2

16 =

x Ð 1

8

2x

3 +

x Ð 5

4 Ð

2x + 1

5 = 10

3(x + 1)

2+

2(x Ð 7)

5 = 2(x Ð 2)

x + 5 =

5(x Ð 3)

4

4(3x Ð 7)

3 Ð

4x + 6

12 =

7x Ð 1

16 Ð 2

2(x Ð 3) Ð

x Ð 5

3 = 2(x Ð 1)

2x Ð 3x + 6

= 54

x Ð

x + 1

3 Ð

1 + 2x

4 =

x

12

21.- Trobeu quatre nombres enters consecutius la suma dels quals sigui 74.

  22.- Repertiu 6.000 euros entre dues persones de manera

que a una li correspon els 2/3 del que li correspon a l'altra.  23.- Una garrafa és plena de vi. Se'n treu la tercera part i

després, la meitat del que queda. Si en finalitzar la segona extracció encara en queden 24 litres a la garrafa, quina quantitat de vi hi havia al principi?

  24.- Un fill té 25 anys menys que el seu pare. Dintre de 20

anys, l'edat del pare serà el doble de la del fill. Quants anys té cada un actualment?.

  

  25.- Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra ho

fa en 6 hores. El dipòsit és buit i obrim les dues aixetes alhora. Quant trigarà a omplir-se?

  26.- Per tal de fer propaganda d'una col.lecció de cromos, es

reperteixen unes mostres entre un grup de joves. De quants cromos consta la mostra si sabem que si en repertissim 6 a cada noi ens en faltarien 8, mentre que si en donem 5 a cada un ens en sobrarien 20?. Quants joves hi havia en el grup?.

  27.- Quin és el preu de venda d'un article, sabent que si

fem un descompte del 40% hi guanyem 260 euros sobre el preu de cost, mentre que si fem un descompte del 50% hi perdem 100 euros?