Erika Riveros Morán

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Funciones

El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: Los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de ("depende de") los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.

El concepto de función es uno de los conceptos fundamentales más importantes de la Matemática. La parte principal de la Matemática actual se centra en torno a este concepto, que es básico para el estudio del Cálculo.

Definición de función

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una relación que a cada elemento x A

asocia uno y sólo un elemento en B.

“ es llamado el valor de en (Imagen de bajo ) y se denota por

El conjunto es llamado Dominio de definición de la función y se denota por y

corresponde al conjunto de partida para el cual tiene imagen.

El conjunto B es llamado Codominio.

Usaremos la siguiente notación para explicitar el Dominio y Codominio de la función f.

f : A B

A: Es el dominio B: Es El codominio

Ejemplo

1) tal que

Es decir, f es la función que a cada real x le asocia su cuadrado . Así tenemos que:

;

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además, , , 2 .

2) y x

g es la función que a cada real x > 0 le asocia su raíz cuadrada positiva.

En esta función además 2

No todas las funciones están definidas mediante una ecuación, pero son en éstas en las que

centraremos nuestro interés; aún más, trabajaremos con funciones

, llamadas Funciones Reales ).

Dominio de una Función.

Para funciones definidas mediante una ecuación el Dominio consta de todos aquellos valores

de x para los cuales puede computarse de modo que el resultado sea un número real. Para el

caso esto implica la exclusión de valores de x que llevan a división por cero y a las raíces de índice par

de números negativos.

Ejemplos

1) Si se da ; ( ).

2) , entonces el dominio de f es 1, 10.

3)

, llamada FUNCIÓN RACIONAL

Debemos analizar el denominador, tener cuidado que no debe ser 0 al reemplazar

Como debe ser valor real; no puede considerarse

, lo que significa , el dominio consiste de todos los números reales menos el 1

4) Sea f ( x ) = x1 llamada FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

De acuerdo a lo anterior para determinar el Dominio de esta función debemos encontrar los

valores de x para los cuales f

x1

–

] , o sea, los números reales menores o iguales que 1

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5) Una función puede expresarse por partes

11

13

12

xsix

xsi

xsix

xf

Esta función es llamada FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS

En esta función el Dominio está dado explícitamente y de acuerdo a la definición de la función f, en el

ejemplo

Rango o recorrido de una Función.

Dada una función f: A B. El conjunto de los elementos y B tales que existe (por lo

menos uno) tal que es llamado conjunto imagen de la función f o Rango de la función f

y designado por

Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el rango de una función definida por una

ecuación.

Ejemplo

1) Consideremos la función 2

1

xxf , x ≠ -2

Sea esto es, 2

1

x

Encontrar el Rango de la función f es equivalente a determinar todos los valores de que son

imágenes de

Despejando x, desde 2

1

x se tiene :

y

1

está determinado para cada valor de y, excepto el 0. Luego,

2) Sea x1

Puesto que se calcula la raíz cuadrada no negativa, entonces y 0.

Resolviendo la ecuación y = x1 para x,

x = 1 – y2

es un número real cuando y es un número real ; entonces tomando en cuenta que

y 0, para que cumpla la condición de función . Concluimos que [

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Plano cartesiano.

Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ” ” o abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “ ” u ordenadas. Formando de esta manera cuatro cuadrantes. Y( u ordenadas) II (-, +) I (+, +) X ( abscisas) III (-,-) IV (+,-) En el plano cartesiano se pueden encontrar parejas de números llamados coordenadas que se forman con un valor para “x” y un valor para “y”, el punto Ejemplo: Representar los puntos: Gráfico de una Función. Las gráficas producen un impacto visual. También suministran información que puede no ser evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas.

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La última gráfica muestra la variación en la producción industrial total de cierto país durante

un período de 4 años. Observar que el punto más alto en la gráfica se presenta cerca del final del tercer año, lo cual indica que la mayor producción ocurrió en esa época

La gráfica de una función dada, está formada por todos los puntos en que está en el

dominio de y . El gráfico de una función determina una curva en , la cual permite

ver el comportamiento analítico de la función.

El gráfico de una función se define por:

Para graficar una función usaremos el sistema cartesiano de coordenadas y como en la

mayor parte de los casos, una adecuada tabla de valores con dos columnas. En la primera se colocan

algunos valores del dominio de la función y en la segunda columna se escriben los valores

correspondientes de la función.

El número de puntos a considerar en esta tabla de valores dependerá de la precisión que se requiere para el gráfico.

Criterio de la recta vertical

Un curva es la gráfica de una función si y sólo sí ninguna recta vertical corta la curva más una vez.

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Ejemplo

Se muestran algunos gráficos de funciones con sus respectivas tablas de valores.

= x2 – 1.

-2 -1 0 1 2

3 0 -1 0 3

b) x

Para que corresponda a una función debemos considerar sólo el signo positivo de la raíz

c)

d)

11

13

12

xsix

xsi

xsix

xf

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Nota Del gráfico de una función f se puede determinar el Dominio y Rango de f

La proyección del gráfico de f sobre el eje x determina el Dominio de f.

La proyección del gráfico de f sobre el eje y determina el Rango de f.

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Ejemplos: 1) Expresar en términos de el Volumen de una caja rectangular, formada a partir de una hoja

de cartulina de dimensiones 30 cm por 20 cm, a la cual le hacemos un recorte cuadrado de x cm por lado en cada esquina. Solución:

El volumen dependerá del ancho del cuadrado

𝑽 𝒙 𝟑𝟎 𝟐𝒙 𝟐𝟎 𝟐𝒙 𝒙

2) Expresar el área de una lámina rectangular cuyo perímetro es 60 cm en término de uno de

sus lados.

El área del rectángulo es Obtenemos b a partir del perímetro ,

𝑷 𝒙 𝟑𝟎 𝒙 𝒙

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3) La siguiente gráfica corresponde a la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de un día

a) ¿Cuál es la variable independiente? La variable independiente corresponde a la hora del día

b) ¿Cuál es la variable dependiente? La variable dependiente es la temperatura

c) ¿A qué hora estaba peor? A las 20 horas

d) ¿En qué momento la temperatura fue anormalmente baja? A las 14 horas.

e) ¿Cuál es el dominio de la función? El dominio corresponde a [ ]

f) ¿Cuál es le recorrido? El recorrido corresponde a [ ]

g) Por qué aparece quebrada la línea vertical que representa la temperatura entre 0° y 35°. ¿Qué respuesta daría usted.

C las i f icac ión de funciones

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Las func iones pueden estar def in idas en forma ex pl íc i ta o impl íc i ta Func iones expl íc i ta : Son aque l las en las cua les o v iene expresado en términos de Por e jemplo :

Funciones impl íci tas : Son aquel las def in idas en términos de una ecuación

de la forma s iendo Por e jemplo

Función pol inómica Es la función que v iene def in ida por un pol inomio.

Su dominio es , es decir , cualquier número real t iene imagen.

Función constante

El c r i te r io v iene dado por un número re a l .

La g ráf ica es una rec ta hor izon ta l pa ra le la a a l e je de absc isas .

Funciones pol inómica de pr imer grado :

Función L inea l

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Es de la forma Su g rá f ica es una recta ob l icua , que queda de f in ida por dos puntos de

la func ión

La func ión l inea l es de l t ipo : Su g ráf ica es una l ínea rec ta que pasa por e l o r igen de coordenadas. E jemp lo

a ) b ) c )

x 0 1 2 3 4

0 2 4 6 8

2 4 6 8 10

Pendiente de una recta m es la pendiente de la rec ta .

La pendiente es la inc l inac ión de la rec ta con respec t o a l e je de absc isas (e je X)

Si m > 0 la func ión es crec iente y e l ángulo que fo rma la rec ta con la par te pos i t i va de l e je OX es agudo .

Si m < 0 la func ión es decrec iente y e l ángulo que fo rma la recta con la par te pos i t i va de l e je OX es obtuso .

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S i m = 0 la recta es hor izonta l , es dec i r , pa ra le la a l e je X

La pendiente de una recta L que pasa por dos puntos y se puede obtener mediante:

La ecuación de una recta que t iene pendiente y pasa por e l punto corresponde a

Al desarrol lar queda de la forma l lamada forma general

Función identidad

Es de la forma

Su gráf ica es la b isectr iz del pr imer y tercer cuadrante.

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Funciones cuadrát icas Son func iones po l inómicas de segundo g rado , s iendo su g rá f ica una

curva l lamada parábo la .

Representac ión g rá f ica de la parábo la

Podemos const ru i r una parábo la a par t i r de es tos puntos :

1 ) Vér t ice

Ob tenemos

,

(

)

Por e l vé r t i ce p asa e l e je de s imet r ía de la parábo la .

La ecuac ión de l e je de s imet r ía es:

2) In tersecc ión con e je X Puntos de cor te con e l e je OX En e l e je de absc isas la segunda coordenada es ce ro , po r lo que

tendremos: Reso lv iendo la ecuac ión podemos ob tener : Dos pun tos de co r te : y s i b ² − 4ac > 0

Un pun to de co r te : s i b ² − 4ac = 0

Ningún pun to de co r te s i b ² − 4ac < 0

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3 ) In te rsecc ión con e je Y . P un to de co r te con e l e je OY En e l e je de o rdenadas la p r imera coordenada es ce ro, po r lo que

tendremos:

E jemplo :

Gra f ica r la func ión .

Vér t i ce h= x = − (−4) / 2 = 2 k = 2² − 4 · 2 + 3 = −1 V= (2 , −1 )

In te rsecc ión con e je X (hacer y = 0 )

Nos queda reso lv iendo

√

l os pun tos son

In tersecc ión con e je Y (hacer x = 0 ) Nos queda y = 3 E l pun to es (0 , 3 ) Ub icamos esos pun tos en un p lano ca r tes iano , los un imos para fo rmar la

cu rva .

Funciones def in idas a t ramos o por par tes

Son func iones de f in idas por d is t in tos c r i te r ios , según los in te rva los que

se cons ideren.

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E l domin io lo fo rman todos los números rea les menos e l 4 y e l recor r ido todos los rea les pos i t i vos y e l ce ro .

Funciones rac ionales

E l c r i te r io v iene dado por un coc ien te en t re po l inomios :

E l domin io lo fo rman todos los números rea les excep to los va lo res d e x que anu lan e l denominador .

Algebra de Funciones Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones. Sean f y g dos funciones cuyos dominios son Dom f y Dom g , respectivamente.

La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

(

)

, considerar

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

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Ejemplo

Sea f ( x ) = x - 2 y

dos funciones

Determinar:

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x - 2 + x

1

( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ) = x - 2 - x

1

( f*g ) ( x ) = f ( x )*g ( x ) = x

x 2

xg

xfx

g

f = x ( x - 2 )

El Dominio de la función f es 2, + )

El Dominio de la función g es R - { 0 }

Luego el Dom ( f + g ) = 2, + ), al igual que el de la diferencia, producto y cuociente

La definición de suma y producto de funciones, se puede generalizar para un número

finito de funciones

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Una función " lo que hace es transformar números " " en nuevos números que

designamos por " A veces sobre un elemento actúa primero una función " " y,

después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función " ".

Dada las funciones , definiremos la COMPOSICIÓN de funciones; denotado

Por como

donde

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Ejemplo

1) Sean x y . Hallar

a) ( f o g )( 0 ) b) ( f o g )( 1 ) c) ( f o g )( 3 )

Solución

a) ( f o g )( 0 ) = f ( g ( 0 ) ) = f ( 3 ) = 3

b) ( f o g )( 1 ) = f ( g ( 1 ) ) = f ( 5 ) = 5

c) ( f o g )( 3 ) = f ( g ( 3 ) ) = f ( 9 ) = 9 = 3

2) Si

,

Obtener a) ( f o g )( x ) , b) ( g o f )( x ), c) ( go g )( x ) y d) ( f o f )( x )

Modelos funcionales

1) Analicemos la relación funcional que existe entre la venta de botellas de yogurt , y el sueldo del vendedor : (función ingreso)

Donde " " es el sueldo del vendedor, " " es la cantidad de botellas de yogurt vendidas.

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

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De la gráfica se puede observar:

Es función creciente

Al aumentar el número de botellas vendidas aumenta el sueldo del vendedor.

2) Veamos un ejemplo de función lineal aplicado al Comercio Exterior.

Según el Instituto de Comercio Exterior- ICE se exportaron (en miles de dólares), durante el período comprendido entre 1993 y 1997, los valores que se indican en la siguiente tabla:

Año (x) 1993 1994 1995 1996 1997

Exportaciones (y) 1640 1763 1875 1987 2006

Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas:

Como podrá apreciarse, la “dispersión de puntos”, o “nube de puntos”, o “diagrama de dispersión”, nos revela aparentemente una tendencia lineal, sin embargo no podemos dejar el análisis a una simple apreciación visual, por lo que necesariamente tenemos que estudiar el nivel de asociación entre estas 2 variables, para lo cual la estadística nos ofrece la herramienta llamada “coeficiente de correlación”, o polinomios de interpolación (Métodos Numéricos)