Erregulazio-automatikoa

ERREGULAZIOAUTOMATIKOA

Arantxa Tapia Otaegi

Julian Florez Esnal

–2,25

-1,45

1 2

Ir G(s)H(s)

Er

1

2

-112°

ERREGULAZIOAUTOMATIKOA

Egileak: Arantxa Tapia Otaegi(Donostiako Industri Ingeniaritza Teknikorako Unibertsitate-Eskola)

Julian Florez Esnal(CEIT eta Donostiako Goi Mailako Ingeniaritza Eskola)

Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren dirulaguntza jaso du. (1995-IX-29)

© Elhuyar Fundazioa. Zelai Haundi, 3. Osinalde industrialdea20170 Usurbil (Gip.) (1995)[email protected] - www.elhuyar.org

ISBN: 978-84-92457-65-6

Ane Miren eta Arantzazuri

Aurkezpena

Teknologia modernoen garapenean kontrol-injinerutzak duen garrantzia handiagotuz

doa urtez urte. Azken berrogei urteotan, kontrol-injinerutzaren arloa sendotu egin da;

artea zena zientzia bihurtu da, eta injinerutzaren arlo guztietara zabaldu. Hori guztia

lortu ahal izateko elektronikaren garapenak, mikroprozesadorearen agerpenak eta

teknika matematiko berrien agerpenak izugarrizko eragina izan dute.

Kontrol-injinerutzaren eremuan sartzeko testu-liburu gisa eratu da liburu hau. Injine-

rutzako ikasleei (hainbat espezialitatetakoei) nahiz kontrol-arloan industrian lan egiten

duten profesionalei zuzenduta dago.

Liburuaren lehen zatian (1, 2 eta 3 kapituluetan) kontrol-sistemen diseinu-metodo-

logia aztertzen da kontzeptualki, prozesu fisikoen ereduztapen matematikoaren analisia

egin eta hauen portaera era errazean aztertu ahal izateko behar diren kontzeptu matema-

tikoak agertzen dira. Bigarren zatian (4, 5, 6 eta 7 kapituluetan) kontrol-sistemen

analisia egiteko dauden oinarrizko metodologia garrantzitsuenak aztertzen dira, denbora

nahiz maiztasunaren arlokoak bereziki. Azkenik (8 eta 9 kapituluetan), kontroladorerik

erabilienak diseinatzeko baliatzen diren teknikak aurkezten dira. Alde horretatik, PID

kontroladoreen diseinuaren aipamen berezia egin da aplikazio industrialetan erabiliena

delako, sendoa, sinplea eta erabilterraza baita. Aurkezten den materiala Donostiako

Industri Injineruen Goi-Mailako Eskolan nahiz Industri Ingeniaritza Teknikorako

Unibertsitate Eskolan erabili da. Izatez, liburu hau prestatzerakoan bi eskolatan euskaraz

irakatsitako gaiaren esperientziak oso lagungarri gertatu dira. Gainera, kapitulu

bakoitza hainbat adibidez hornitu da kontrol-teoriaren mamia hobetu ulertzearren;

ariketak ere prestatu dira ikasleek berek gaia ulertu duten azter dezaten.

Liburu hau prestatzeko zenbait aholku emateagatik CEITeko Automatika eta

Elektronika Saileko lagunei eskerrak eman nahi genizkieke, bereziki X. Ostolaza eta J.A.

Moralesi. Bukatzeko, Elhuyarko lagunei —apunteei liburu-itxura ematearren egindako

lanagatik— eta Eusko Jurlaritzari —liburua argitaratzeko emandako diru-

-laguntzagatik— eskerrak eman beharrean gaude.

Zumaian, 1995eko Azaroan

V

AURKIBIDEAOr.

1. SARRERA ....................................................................................................... 1

1.1. BERRELIKADURAK KONTROLA ..................................................... 1

1.2. BERRELIKADURA ERABILTZEN DUTEN KONTROL-SISTEMEN

SAILKAPENA .......................................................................................... 2

1.2.1. Eskuz eta Automatikoki egindako berrelikadurako kontrol-

-sistemak........................................................................................ 4

1.2.2. Berrelikadurako kontrol-sistema Aktibo eta Pasiboak ............ 5

1.2.3. Erreguladorea eta Serbomekanismoa ........................................ 6

1.2.4. Sarrera eta irteera bakarreko edota sarrera eta irteera anitzeko

kontrol-sistemak ........................................................................... 7

1.2.5. Datu jarraiak (kontrol analogikoa) eta lagindutako datuak

(kontrol digitala) erabiltzen dituzten sistemak.......................... 9

1.3. PORTAERAKO-ESPEZIFIKAZIOAK ETA DISEINU-METODOA 10

1.3.1. Portaerako espezifikazioak ......................................................... 10

1.3.1.1. Hardwarearen hautaketa .................................................. 11

1.3.1.2. Egonkortasun-tarte nahikoa duen portaera egonkorra..... 11

1.3.1.3. Egoera iragankorreko erantzun egokia............................ 11

1.3.1.4. Maiztasunaren arloko espezifikazioak ............................ 12

1.3.1.5. Perturbazioen arbuioa...................................................... 12

1.3.1.6. Parametroen aldaketekiko sentikortasuna ....................... 12

1.3.1.7. Portaeraren indizea .......................................................... 13

1.3.2. Diseinu-metodoa ........................................................................... 13

1.4. EREDU MATEMATIKOAK .................................................................. 14

1.4.1. Parametro banatuak eta parametro elkartuak dituzten

ereduak .......................................................................................... 14

1.4.2. Eredu linealak eta ez-linealak ..................................................... 15

1.4.3. Denboran zehar parametro aldakorrak eta finkoak dituzten .

ereduak .......................................................................................... 16

1.4.4. Eredu estokastikoak eta deterministikoak................................. 16

1.4.5. Eredu jarraiak eta diskretoak..................................................... 16

1.5. LABURPENA ........................................................................................... 17

1.6. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 17

VII

2. SISTEMAK ETA EREDUAK ................................................................. 19

2.1. SARRERA ................................................................................................. 19

2.2. SISTEMA MEKANIKO SINPLEEN DESKRIBAPENA .................... 20

2.3. EREDUZTAPEN MATEMATIKOARI BURUZ.................................. 27

2.4. ESEKIDURA-SISTEMA BATEN EREDUA......................................... 28

2.5. SISTEMA ELEKTRIKOEN EREDUZTAPENA ................................. 31

2.6. SISTEMA HIDRAULIKOEN EREDUZTAPENA ............................... 35

2.7. SISTEMA PNEUMATIKOEN EREDUZTAPENA.............................. 37

2.8. SISTEMA TERMIKOEN EREDUZTAPENA ...................................... 41

2.9. SISTEMA KIMIKOEN EREDUZTAPENA ......................................... 43

2.10. ERAGINGAILUAK ................................................................................. 46

2.10.1. Korronte zuzeneko motore elektrikoa........................................ 46

2.10.2. Korronte alternoko motore elektrikoa ....................................... 48

2.10.3. Serbomotore hidraulikoa............................................................. 50

2.10.4. Diafragma pneumatikoa erabiltzen duen eragingailua ............ 53

2.11. LINEALAK EZ DIREN EKUAZIOEN LINEALIZAZIOA................ 55

2.12. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 58

2.13. ARIKETAK............................................................................................... 59

3. MATEMATIKAREN BEHARRA ......................................................... 67

3.1. SARRERA ................................................................................................. 67

3.2. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN ERANTZUNA METODO

KLASIKOA ERABILIZ .......................................................................... 68

3.3. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN SARRERA .................... 72

3.4. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN EZAUGARRI BATZUK 73

3.5. FUNTZIO BATZUEN TRANSFORMAZIOAK................................... 76

3.5.1. Inpultsu funtzioa .......................................................................... 76

3.5.2. Maila funtzioa ............................................................................... 76

3.5.3. Arrapala-funtzioa......................................................................... 76

3.5.4. Funtzioa esponentziala................................................................. 77

3.5.5. Funtzioa sinusoidala..................................................................... 77

3.5.6. Esponentzialki murrizten den funtzio sinusoidala (e–at sin ωωt) 77

3.6. POLINOMIOEN ERROAK .................................................................... 77

3.6.1. Ekuazio algebraikoen teoria sinplea........................................... 78

3.6.2. Polinomio bakoitiak ..................................................................... 79

3.6.3. Ordena bikoitia duten polinomioak ........................................... 81

VIII

3.7. FRAKZIO PARTZIALEN ZATIKETA ................................................ 82

3.8. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN EBAZPENA LAPLACE-

REN TRANSFORMAZIOA ERABILIZ ............................................... 87

3.9. BIGARREN ORDENAKO EKUAZIO DIFERENTZIALAK ............. 90

3.9.1. Erro errealak eta desberdinak (ξξ > 1) ........................................ 91

3.9.2. Erro berdinak (ξξ = 1) ................................................................... 92

3.9.3. Erro konplexu konjugatuak (ξξ < 1) ............................................ 92

3.10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 97

3.11. ARIKETAK............................................................................................... 98

4. KONTROL-SISTEMEN AURKEZPENA......................................... 103

4.1. SARRERA ................................................................................................. 103

4.2. TRANSFERENTZIA FUNTZIOAK ...................................................... 105

4.3. BLOKE-DIAGRAMAK........................................................................... 107

4.3.1. Serbosistemen bloke-diagramak ................................................. 108

4.3.2. Aldagai anitzeko sistemen bloke-diagramak ............................. 116

4.4. EKUAZIO KARAKTERISTIKOA ........................................................ 118

4.5. LABURPENA ........................................................................................... 120

4.6. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 120

4.7. ARIKETAK............................................................................................... 121

5. SISTEMEN ERANTZUNA DENBORAN ZEHAR ....................... 125

5.1. EGOERA IRAGANKORREKO ERANTZUNAREN AZTERKETA 125

5.1.1. Lehen ordenako sistemak ............................................................ 125

5.1.1.1. Maila unitarioa................................................................. 126

5.1.1.2. Arrapala unitarioa............................................................ 127

5.1.1.3. Inpultsu unitarioa............................................................. 129

5.1.1.4. Denboran zehar aldatzen ez diren sistemen ezaugarri

garrantzitsua .................................................................... 129

5.1.2. Bigarren ordenako sistemak ....................................................... 130

5.1.2.1. Maila unitarioa................................................................. 130

5.1.2.2. Arrapala unitarioa............................................................ 133

5.1.3. Orden garaiagoa duten sistemak ................................................ 134

5.1.4. Bigarren ordenako sistemetan sarrera bezala maila erako sei-

nalea erabiltzen denean lortzen den erantzun iragankorraren

espezifikazioak .............................................................................. 137

5.1.5. Komentario batzuk ...................................................................... 138

IX

5.2. SISTEMEN EGONKORTASUNA ......................................................... 143

5.2.1. Kontrol-sistemen egonkortasuna aztertzeko metodoak ........... 144

5.2.2. Routh-Hurwitz-en metodoa......................................................... 145

5.2.3. Kasu bereziak ............................................................................... 147

5.3. EGOERA EGONKORREKO ANALISIA ETA SISTEMEN

SAILKAPENA .......................................................................................... 150

5.3.1. Sistemen sailkapena ..................................................................... 151

5.3.2. Maila sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-

korreko errorea ............................................................................ 152

5.3.3. Abiadura sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-

korreko errorea ............................................................................ 153

5.3.4. Azelerazio sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-

korreko errorea ............................................................................ 154

5.3.5. Perturbazioak agertzen direnean lortzen den errorea ............. 156

5.4. LABURPENA ........................................................................................... 157

5.5. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 157

5.6. ARIKETAK............................................................................................... 157

6. ERANTZUN FREKUENTZIALA ERABILTZEN DUTENMETODOAK.................................................................................................. 163

6.1. SARRERA ................................................................................................. 163

6.2. SISTEMA BATEN ERANTZUN FREKUENTZIALA ........................ 163

6.2.1. s planoan egindako aurkezpena .................................................. 169

6.3. FUNTZIO FREKUENTZIALAREN AURKEZPEN GRAFIKOA..... 171

6.3.1 Diagrama polarra edo Nyquist-en diagrama............................. 173

6.3.1.1. k irabazpena..................................................................... 173

6.3.1.2. 1/s integrazioa.................................................................. 173

6.3.1.3. s diferentziazio-gaia......................................................... 174

6.3.1.4. 1/(Ts+1) lehen ordenako gaia izendatzailean .................. 174

6.3.1.5. Ts+1 lehen ordenako gaia zenbakitzailean...................... 175

6.3.1.6. 1/(T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaia izendatzailean 175

6.3.1.7. T2s2+2ξTs+1 bigarren ordenako gaia zenbakitzailean.... 177

6.3.2. Fase minimoa ez duten sistemak................................................. 182

6.3.3. Bode-ren diagrama....................................................................... 182

6.3.3.1. k irabazpena..................................................................... 184

6.3.3.2. 1/s integrazio-gaia ........................................................... 184

X

6.3.3.3. s gai deribatiboa............................................................... 185

6.3.3.4. 1/(Ts+1) lehen ordenako atzerapen-gaia ......................... 185

6.3.3.5. (Ts+1) lehen ordenako aurreratze-gaia............................ 187

6.3.3.6. 1/(T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaia izendatzailean 187

6.3.3.7. (T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaiazenbakitzailean .. 188

6.3.3.87. e–Ts atzerapen-gaia .......................................................... 189

6.3.4 Nichols-en diagrama .................................................................... 193

6.4. EGONKORTASUNAREN AZTERKETA NYQUIST-EN DIAGRA-

MA ERABILIZ ......................................................................................... 194

6.4.1 Planoaren traslazioa eta zirkuluaren teorema .......................... 195

6.4.2 Nyquist-en egonkortasuna ........................................................... 197

6.4.3 Egonkortasun baldintzatua ......................................................... 200

6.5. EGONKORTASUN ERLATIBOA: FASEAREN ETA IRABAZPE-

NAREN TARTEAK ................................................................................. 204

6.6. PORTAERAKO ZEHAZTASUNAK ..................................................... 207

6.7. NYQUIST-EN ALDERANTZIZKO DIAGRAMA............................... 208

6.8. ESPERIMENTAZIO BIDEZ LORTUTAKO TRANSFERENTZI

FUNTZIOAK ............................................................................................ 209

6.8.1 Bode-ren diagrama erabiliz lortutako fase minimoa duten

transferentzi funtzioak................................................................. 209

6.8.2 Fase minimoa ez duten transferentzi funtzioak ........................ 212

6.9. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 214

6.10. ARIKETAK............................................................................................... 215

7. ERROEN KOKAERAKO METODOA .............................................. 221

7.1. SARRERA ................................................................................................. 221

7.2. POLO ETA ZEROEN KONFIGURAZIOA.......................................... 222

7.3. ERROEN KOKAERAKO METODOA ................................................. 224

7.4. ERROEN KOKAERAKO DIAGRAMA EGITEKO ERREGELAK . 226

7.5. ADIBIDEAK ............................................................................................. 235

7.6. ERANTZUN IRAGANKORRAREN KALKULUA ............................. 240

7.7. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 245

7.8. ARIKETAK............................................................................................... 245

XI

8. KONTROLADOREEN DISEINUA ..................................................... 251

8.1. SARRERA ................................................................................................. 251

8.1.1. Funtzionamendu-espezifikazioak ............................................... 251

8.1.2. Proba eta aldaketak erabiltzen dituzten metodoak .................. 251

8.1.3. Prozesuko dinamikaren aldaketa ............................................... 252

8.1.4. Sistemen konpentsazioa ............................................................... 252

8.1.5. Serie-erako konpentsazioa eta berrelikadurako konpentsazioa 253

8.1.6. Konpentsadoreak ......................................................................... 254

8.1.7. Diseinuko prozesua ...................................................................... 254

8.1.8. Sistema konplexuen diseinua ...................................................... 255

8.2. PROIEKTUEN HASIERAKO EZAUGARRIAK................................. 256

8.2.1. Kontrol-sistemak diseinatzeko erroen kokaera erabiltzen

duten metodoak ............................................................................ 256

8.2.1.1. Poloen gehikuntzak duen ondorioa ................................. 257

8.2.1.2. Zeroen gehikuntzak duen ondorioa ................................. 257

8.2.2. Kontrol-sistemak diseinatzeko erantzun frekuentziala erabil-

tzen duten metodoak .................................................................... 258

8.2.2.1. Maiztasunaren arloan egindako diseinuaren ezaugarri

nagusiak........................................................................... 259

8.2.2.2. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialetik atera daitekeen

informazioa...................................................................... 259

8.2.2.3. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialaren betebeharrrak 259

8.2.2.4. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze konpentsa-

zioen oinarrizko ezaugarriak ........................................... 261

8.3. AURRERATZE-KONPENTSAZIOA .................................................... 261

8.3.1. Aurreratze-sareen ezaugarriak................................................... 262

8.3.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako aurreratze-

-konpentsazioa egiteko teknikak................................................. 264

8.3.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpen-

tsazio-teknikak.............................................................................. 271

8.4. ATZERATZE-KONPENTSAZIOA ....................................................... 276

8.4.1. Atzeratze-sareen ezaugarriak ..................................................... 276

8.4.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako konpentsazio-

-teknikak ....................................................................................... 278

8.4.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpen-

tsazio-teknikak.............................................................................. 282

8.4.4. Atzeratze-konpentsazioaren ezaugarri batzuk.......................... 285

XII

8.5. AURRERATZE/ATZERATZE-KONPENTSAZIOA .......................... 286

8.5.1. Aurreratze/atzeratze-sareen ezaugarriak .................................. 287

8.5.2. Erroen kokaerako metodoa erabiltzen duten diseinu-

-teknikak ....................................................................................... 288

8.5.3. Erantzun frekuentzialeko metodoan oinarritutako teknikak .. 294

8.6. KONTROL-SISTEMEN KONPENTSAZIOA EGITEKO TEKNIKEN

ONDORIOAK........................................................................................... 296

8.6.1. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze-konpentsazioen

arteko konparaketa ...................................................................... 296

8.6.2. Nahi ez diren poloen ezereztea .................................................... 297

8.6.3. Konplexu konjugatuak diren poloen ezereztea ......................... 298

8.6.4. Perturbazioek duten eraginaren deuseztea zuzeneko kontrola

erabiliz ........................................................................................... 300

8.6.5. Sistema baten zuzeneko kontrola ............................................... 302

8.7. ONDORIOAK........................................................................................... 303

8.8. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 303

8.9. ARIKETAK............................................................................................... 304

9. PID KONTROLADOREAK .................................................................... 311

9.1. SARRERA ................................................................................................. 311

9.2. OINARRIZKO ALGORITMOA ............................................................ 313

9.2.1. Ekintza proportzionala ................................................................ 313

9.2.2. Ekintza integrala .......................................................................... 315

9.2.3. Ekintza deribatiboa...................................................................... 316

9.2.4. Beste aurkezpen batzuk ............................................................... 318

9.3. WINDUP INTEGRALA .......................................................................... 319

9.4. ERREFERENTZIAKO BALIOAK........................................................ 323

9.5. EZARPEN DIGITALA ............................................................................ 325

9.5.1. Laginketa ...................................................................................... 325

9.5.2. Aurreiragazketa ........................................................................... 327

9.5.3. Diskretizazioa ............................................................................... 328

9.5.3.1. Ekintza proportzionala..................................................... 328

9.5.3.2. Ekintza integrala.............................................................. 328

9.5.3.3. Ekintza deribatiboa.......................................................... 329

9.5.3.4. Era inkrementala.............................................................. 331

9.5.3.5. Kuantizazioa eta hitzen luzera......................................... 332

9.5.3.6. Konputadore-kodea ......................................................... 333

XIII

9.6. NOIZ ERABIL DAITEKE PID KONTROLA? .................................... 334

9.6.1. Noiz da nahikoa PI kontrola? ..................................................... 334

9.6.2. Noiz da nahikoa PID kontrola? .................................................. 334

9.6.3. Noiz behar da kontrol sofistikatuagoa? ..................................... 335

9.7. PID KONTROLADOREEN DISEINUA, ZIEGLER-NICHOLS-en

METODOAK ............................................................................................ 336

9.7.1. Maila sarreraren aurrean lortutako erantzunaren metodoa ... 336

9.7.2. Ziegler-Nichols-en erantzun frekuentzialaren metodoa ........... 338

9.7.3. Ziegler-Nichols-en metodoen arteko erlazioak.......................... 340

9.8. ONDORIOAK........................................................................................... 340

9.9. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 341

9.10. ARIKETAK............................................................................................... 341

ERANSKINA.................................................................................................. 345

KONTZEPTU NAGUSIEN AURKIBIDEA ..................................... 349

XIV

1.1. BERRELIKADURAKO KONTROLA

Ingeniaritza-sistemek, sistema ekonomiko, sozial, psikologiko edota beste edozein

sistemak, portaera egokia izango badute, kontrola behar dute. Kontrol horren kalitatea,

gradua eta egiteko bidea oso desberdinak izan daitezke. Lehenbizi, portaerak izan behar

dituen espezifikazioak finkatzen dira helburu bezala eta ondoren, sarrera berezi batzuk

ipintzen zaizkio sistemari, beronen portaerak helburu bezala ezarri diren espezifikazioak

lor ditzan. Gure kasuan, ingeniaritza-sistemen kontrola aztertuko da, hau da, lege fisikoak

erabiltzen dituzten sistemena; ondorioz, sistema fisikoak izango dira.

Sistema baten kontrola egiterakoan, aldagai bat edo gehiago erabiliko dira eta aldagai

hauek kontrolatutako irteerak izango dira. Sarrerako erreferentziak kontrolatutako

irteerek hartu behar dituzten balioak dira. Bigizta itxiko edo berrelikadurako kontrol-

-sistema batean, kontrolatu behar den irteera neurtu eta sarrerako erreferentziarekin

konparatzen da. Bien artean errorerik agertzen bada, errore hori, kontrolatutako irteerak

erreferentzia jarrai dezan erabiltzen da. Bigizta irekiko kontrol-sistema batean, ez da

irteerarik neurtzen ez eta konparaketarik egiten. Beraz, kontrol-sistema horietan sarrera

eta irteeraren arteko errore handiak sor daitezke perturbazioak edota parametroen

aldaketak direla eta. Bigizta irekiko kontrol-sistema oso sinplea eta merkea da, baina

gerta daitezkeen errore handiak direla eta, kontrol zehatza behar denean ez da erabiltzen.

Beraz, kontrol-sistema gehienetan berrelikadura sartzen da.

Ingeniaritzaren arloan berrelikadurako kontrolaren erabilerak baditu urte batzuk.

Kristo aurreko III. mendean, Alexandriako Ktebios-ek urezko ordularia egin zuen. Bertan

sartzen zen uraren kopurua balbula batez mantentzen zen. Europan erabiltzen ziren haize-

-errotak haizerantz biratzeko, Andrew Meikle holandarrak 1750. urtean berrelikadura-

-sistema bat asmatu zuen. Orduan, lurrinaren garaia iritsi zen eta 1788. urtean, James

Watt-ek lurrinezko makinen abiadura erregulatzeko sistema garatu zuen Eskozian.

ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 1

1. SARRERA

Ingeniaritzako garapen azkar hauek froga/errore-metodoak behar zituzten aurrera

ateratzeko. Lehendabiziko kontrol-sistemak garatzeko erabiltzen zen metodoa zera zen:

asmatzea, eraikitzea, saiakuntza egitea eta aldaketak. Une horietan garapena, zientzia bai-

no gehiago artea zen. Beharbada, hurbilketa zientifikoak Maxwell-ekin hasi ziren 1868.

urtean. Orain, kontrol-sistemen teoria oso maila sofistikatura iritsi da eta diseinua nahikoa

analitiko bihurtu da. Dena den, "ingeniaritzako arteak", garrantzia du oraindik ere.

Kapitulu honetan zehar, kontrol-sistema gehienek berrelikadura erabiltzearen arrazoia

aztertuko da eta, orduan, bigizta itxiko sistemen sailkapen desberdinak emango dira.

Gero, kontrol-sistemen portaera zehazteko erabiltzen diren ezaugarriak eta diseinua

egiterakoan jarraitzen diren urratsak emango dira. Ondoren, kontrol-sistemen portaera

dinamikoa aztertzeko erabilitako eredu matematikoak aurkeztuko dira.

1.2. BERRELIKADURA ERABILTZEN DUTEN KONTROL--SISTEMEN SAILKAPENA

Kontrol-sistemetan berrelikadura erabiltzeko dagoen arrazoirik garrantzitsuena, kon-

trolatutako irteera eta nahi den balioaren (erreferentziako sarrerako balioaren) arteko

errorea zuzentzea da. Berrelikadurak, sistemaren portaerako beste espezifikazioetan ere

badu eragina: egonkortasuna, sentikortasuna, irabazpena, etab.; hauek guztiak aurrerago

aztertuko dira. 1.1 Irudian, bigizta irekiko sistema baten bloke-diagrama ikusten da.

Bertan, eragingailua kontrol-elementua da (adibidez motorea, elektrikoa nahiz hidrau-

likoa) eta beronek emango du sistema kontrolatuko duen kontrol-seinalea.

1.1 Irudia. Bigizta irekiko sistema baten bloke-diagrama.

2

Eragingailua

Perturbazioa, d(t)

Sarrera, r(t) Irteera, c(t)Kontrolatu behar densistema

1.1. Adibidea

1.2 Irudian, gela bateko tenperatura erregulatzeko erabiltzen den bigizta irekiko

kontrol-sistema ikusten da. Lortu nahi den tenperatura, hau da, Tr sarrerako erre-

ferentzia, kalibratutako dial batean ipintzen da. Honek, balbularen posizioa mugitzen du

erradiadorean zehar ur beroa joan dadin. Beraz, qi bero-fluxua gelarantz joaten da eta

qe bero-fluxua, gelatik beste inguruetara ateratzen da. qe fluxua, kanpoan dagoen Tetenperaturarekin aldatzen da eta, normalean, zeharo aldakorra da. Sartzen den eta

ateratzen den fluxuen arteko diferentziak, gelaren tenperatura igotzen du.

1.2 Irudia. Bigizta irekiko tenperaturaren kontrol-sistema.

Tr gela barnean lortu nahi den tenperatura, To orain dagoena eta Te kanpoko ten-

peratura (perturbazioa) dira.

Adibide honetan, balbularen posizioa ematen duen eragingailua eskuak dira. Balbula

hori kalibratzeko, Te eta sistemaren parametroek balio zehatzak izan behar dituzte. Balio

horiek asko aldatzen direnean, kontrolatutako To tenperatura Tr baliotik asko aldenduko

da eta, ondorioz, ez da kontrol zehatza lortuko.

1.3 Irudian bigizta itxiko edota berrelikadurako kontrol-sistema baten bloke-diagrama

ikusten da. c(t) irteera, sentsore batez neurtu eta konparadore edo errore-detektorea

erabiliz, lortu nahi den balioarekin konparatzen da, hau da, r(t) seinalearekin.


Ur beroa

Tr

Teqe

qi

To

10° C

20° C

30° C

Balbula

GELA

Erradiadorea

1.3 Irudia. Berrelikadurako kontrol-sistemaren bloke-diagrama.

e(t) errorea u(t) kontrol-sarrera sortzeko erabiltzen da. Kontrol-lege baten bitartez sei-

nale hori eragingailura eramaten da errorea zuzentzeko. u(t) kontrol-seinalea e(t) erro-

rearen funtzio bezala jartzen duen erlazioa kontrol-legea da. Dena den, berrelikadurako

sistema batek bigizta irekikoak baino osagai gehiago ditu eta, ondorioz, garestiagoa da.

Baina kontrolaren zehaztasunak dituen abantailak, aplikazio gehienetan behintzat,

garestiago izatearen desabantailak baztertzen ditu eta, beraz, berrelikadurako kontrol-

-legea hobea da.

1.2.1. Eskuz eta Automatikoki egindako berrelikadurako kontrol-sistemak

Bigizta itxiko kontrol-funtzio batzuk, sentsoreen erabilera, errore-detekzioa, kontrol-

-legearen erabilera edota aktuazioa gizaki batek egiten dituenean, eskuzko kontrola

lortzen da. Bigizta itxiko funtzio guztiak automatikoki eta ekipoekin egiten direnean,

kontrol-sistema automatikoa dela esango da. Lehendabiziko kontrol-sistemak eskuzkoak

ziren eta bertan, gizakia zen kontrol-bigizta ixten zuena. Gizakiak entrenamendu ona eta

esperientzia handia duenean, oso kontrol-maila egokia eman dezake eta, gainera, egoera

aldatzen denean erraz egokituko da.

Eskuz kontrolatzen diren kontrol-sistema sofistikatuen ereduztapena eta portaera ez da

askotan oso ezaguna. Oraintsu, oso aspergarriak eta errepikakorrak edo gustukoak ez

diren lanen kalitate-kontrolaren hobekuntzak, kontrol automatikoaren garapenerako behar

den laguntza ekonomikoa bultzatu dute. Robotikaren arloan egindako azken garapenek,

eskuz egiten ziren kontrol-lan ugari, kontrol automatikoaren bidez egitera eraman dute.

4

Perturbazioa, d(t)

Kontrolatu beharden sistema

Sentsorea

Irteera, c(t)Sarrera, r(t) e(t) u(t)Kontrol--legea

Errore--detektorea

Eragingailua

1.2. Adibidea

Tren-makinaren operadorea, abiadurako kontrol-sistema baten eskuzko kontrolaren

adibidea da. Kontrolaren helburua, tren-makinaren abiadura, abiadura-mugen barne

egotea da, muga horiek aldatuz joango direlarik.

Trenaren bidean bilatutako malda bat perturbazioa izango da eta ondorioz tren-

-makinaren abiadura aldatu egingo da.

1.4 Irudia. Tren-makinaren eskuzko kontrola.

Beraz, abiadura-kontrol zehatza eta ziurra lortzeko kontrol-lege zehatza behar da.

Adibidez, kurba batean balaztak erabiliz gero, trena trenbidetik atera liteke.

1.2.2. Berrelikadurako kontrol-sistema Aktibo eta Pasiboak

Irteera aldatzeko behar den potentzia sarrerako erreferentziatik ez datorrenean, berre-

likadurako kontrol-sistema aktiboa dela esaten da; bestela, sistema pasiboa izango da.

Sistema gehienak aktiboak diren arren, sistema pasiboak ere erabiltzen dira, bibrazioen

kontrola eta isolamendua egiterakoan batez ere. Ibilgailuen kasuan adibidez, esekidura-

-sistemaren helburu nagusia, masa nagusia lurreko irregulartasunetatik isolatzea da, hau

da, masa hori maila konstantean mantentzea perturbazioak sartzen badira ere.

1.3. Adibidea

1.5(a) Irudian, berrelikadurako kontrol-sistema pasiboa ikusten da. Kontrol-helburua,

pendulu alderantzikatua oreka desegonkorrean mantentzea da, θ = 0 . Malgukia, sen-

tsore eta eragingailu bezala erabiltzen da. θ desplazamendu angeluarra, malgukiaren


(Burmuina)Perturbazioak

Kontrol-legea Eragingailua

Sentsorea

Sentsorea

Abiadura--muga Abiadura

(Eskuak)

(Begiak)

(Begiak)

Dinamika

desplazamenduaren bitartez, oreka-posiziotik neurtzen da. Orduan, zuzentze-momentua

aplikatzen zaio θ zerorantz joan dadin.

1.5 Irudia. Kontrol-sistema pasiboa.

1.5 (b) Irudian, sistemaren bloke-diagrama ikusten da. Bilatutako θ = 0 da, hau da,

sarrera, r = 0. Malgukia nahikoa gogorra denean, bigizta itxiko sistema nahikoa egon-

korra izango da.

1.2.3. Erreguladorea eta Serbomekanismoa

Kontrolaren helburua perturbazioak agertzen direnean ere irteera bere oreka-puntuan

mantentzea denean, kontrol-sistema erreguladorea dela esango da. 1.3 Irudian agertzen

zen r(t) sarrera konstantea izango da eta set point deritzo. Puntu hori denboran zehar alda

daiteke, hau da, balio konstante batetik beste batera pasa daiteke.

Jarraipen-kontrolaren sistema batean berriz, irteera denboran zehar aldatuz doan

sarrerari jarraitzea lortu nahi da. Horrelako sistema bat, hau da, irteera bezala posizio,

abiadura edo azelerazio mekanikoa duen sistema, serbomekanismoa dela esango da. Dena

den, sailkapenaren aldetik, irteera mekanikoa edo bestelakoa izateak ez du garrantzi

handirik eta jarraipen-kontrolaren sistema guztiei serbomekanismo deitzen zaie.

1.4. Adibidea

Hegazkin baten pilotu automatikoa erreguladore bat da. Norabidea eta altitudea

konstante mantentzea du helburu, perturbazioak agertzen badira ere (haizea etab.).

6

Deformaziorikgabeko luzera

(Malgukia)

Perturbazioa

Momentua

r = 0

θ

(a) (b)

θSistema

Sentsoreaeta

Eragingailua

Erreguladore hori aktibatzeko, lortu nahi diren norabidea eta altitude egonkorra eman

behar zaizkio. Uneoro hegazkinak duen norabidea eta altitudea konpasaren eta altime-

troaren bitartez neurtzen dira eta ondoren, lortu nahi diren balioekin konparatzen dira.

Erroreen funtzio diren kontrol-lege egokiak aplikatzen dira eragingailuetan erroreak

zuzentzearren. Baina aireratzeko eta lurhartzeko maniobretan, hegazkinak denboran

zehar aldatzen den ibilbideari jarraitu behar dio abiadura aldakorraz. Orduan, pilotua

da berrelikadurako sistemaren kontrolatzailea eta eskuzko kontrol hori, serbo-

mekanismoa da.

Berrelikadurako kontrol-sistema, erreguladorea nahiz serbomekanismoa izango da.

Etxe bateko tenperatura-kontrola erreguladorea da, termostatoak ematen duen neurrian

perturbazioak agertzen badira ere, kontroladorearen helburua tenperatura konstantea

mantentzea delako. Aire/aire misiletako gidasistema serbomekanismoa da, bere helburua

etsaiaren hegazkinari jarraitzea delako eta, beharbada, hegazkin hori aldentzeko manio-

brak egiten arituko delako. Misil batzuetan, hegazkinaren bidea infragorrizko sentsoreen

bitartez emango zaio misilari sarrera bezala.

1.2.4. Sarrera eta irteera bakarreko edota sarrera eta irteera anitzeko kontrol-

-sistemak

Kontrol-sistema sinple askotan, irteera bakarra sarrera bakar batez kontrolatzen da eta

sistema horiek, sarrera eta irteera bakarrekoak izango dira, (SISO=Single-Input Single-

-Output). Irteera eta sarrera bat baino gehiago dituzten sistemak aldagai anitzekoak

izango dira (MIMO=Multiple-Input Multiple-Output). Azken hauetan, sarrera batek

bere eragina irteera bakar batean agertzen duenean, sistema hori akoplaturik gabe dagoela

esango da. Orduan, aldagai anitzeko sistema, sarrera eta irteera bakarreko n sistematan

banatzen da eta ez da beharrezkoa izango aldagai anitzeko sistemen matematika era-

biltzea. Baina kasu gehienetan, irteera bakar bat kontrolatu behar duen sarrera batek beste

irteera batzuetan ere eragina duela ikusten da. Eragin horri elkarrekintza deritzo. Elkarre-

kintza horiek direla eta, sistema ezingo da banatu eta akoplamenduak kontutan hartu

beharko dira.

1.5. Adibidea

Suposa dezagun 1.6 Irudiko sistema mekanikoa.


1.6 Irudia. Aldagai anitzeko sistema mekanikoa.

Ikusten denez, y1 eta y2, m1 eta m2 masen posizioak, independente diren bi

berrelikadurako kontrol-sistemekin kontrolatu behar dira. Lehen sisteman, y1 posizioa

neurtu eta erreferentziarekin konparatzen da; errorea zuzentzeko F1 indarra aplikatzen

da. Halaber, bigarren sisteman F2 indarra sortuko da.

Bestalde, F1 indarrak y1 eta y2 posizioetan eragina duela ikusten da eta gainera, F2

indarrari gauza bera gertatzen zaio. Ondorioz, aldagai anitzeko sistema honetan bi

kontrol-sistemak ezin dira independenteki aztertu elkarrekintzak ere kontutan hartu behar

direlako.

1.6. Adibidea

Ibilgailu bat daraman gidaria aldagai anitzeko eta eskuz egindako berrelikadurako

kontrol-sistema da. Kontrolatu behar den sistemak bi sarrera (azeleradorea/balazta eta

gidatzea) eta bi irteera (abiadura eta norabidea) ditu. Sarrerako erreferentziak bidearen

norabidea eta abiadura-mugak dira. Sistema honen bloke-diagrama 1.7 Irudikoa da.

1.7 Irudia. Ibilgailu/gidari kontrol-sistema.

8

m1 F1

y1

m2 F2

y2

Kontrol--legea

Eragingailua

Eragingailua

Bolantea

(Eskuak)(Adimena)(Begiak)

Bidekonorabidea

Abiadura--mugak

(Hankak)

Norabidea

Abiadura

Trafikoaren perturbazioa

Airearen perturbazioa

Balazta/Azelerad.

IbilgailuarenDinamika

Abiadura kontrolatzeko ibilgailua balaztatzen denean, norabideko kontrolaren

indarra galtzen da gurpiletan eta gurpil horiek blokeatzen direnean, norabide-kontrola

zeharo galtzen da.

1.2.5. Datu jarraiak (kontrol analogikoa) eta lagindutako datuak (kontrol digitala)

erabiltzen dituzten sistemak

Datu jarraiko sistemetan, sistema osoan zehar erabiltzen diren seinaleak denboraren

funtzio jarraiak dira. Sistema hauei kontrol analogikoko sistemak deritze. Kontrol digita-

leko sistemetan, kontrolatzaile bezala konputadore digitala erabiltzen da. Konputadore

digitalak datu digitalak erabiltzen ditu eta seinaleak une zehatz batzuetan bakarrik alda-

tzen dira; seinale hauek lagindutako seinaleak dira. Seinale jarraiak nahiz lagindutakoak

erabiltzen dituen sistema datuak lagintzen dituen sistema da. Beraz, denboraren funtzio

jarraiak diren aldagaiak kontrolatzeko konputadore digitala erabiltzen denean, horrelako

sistema lortzen da. Kontrol digitaleko sistema arrunt baten oinarrizko osagaiak 1.8

Irudian agertzen direnak dira. Sistema digital batzuetan, sarrera bezala seinale analogikoa

erabiltzen da eta errore detektorearen ondoren, A/D bihurgailu bat sartzen da. Kontrol-

-legea konputadore digitalak ematen du.

1.8 Irudia. kontrol-sistema digital baten bloke-diagrama.

Mikroprozesadore nahiz mikrokonputadoreen merketzeak, kontrol-bigiztan barne-

-konputadoreak sartzea merketzea lortu du. A/D eta D/A bihurgailuak ere merkeak eta

interfaze errazekoak dira. Beraz, mikrokonputadoreak erabiliz kontrol-lege sofistikatuak

ezartzea ere erraza da. 1.9 Irudian kontrol analogiko eta digitalaren kostua kontrol-siste-

maren konplexutasunaren arabera aurkezten dira.


(Konp. Digitala) (Interfazea)

Kontrol--legea

D/ABihurgailua

A/DBihurgailua Sentsorea

SistemaIrteerauu*e*Sarrera

Digitala Eragingailua

1.9 Irudia. Kostua/konplexutasuna kontrol analogiko eta digitalean.

Ikusten denez, kontrol-sistema sinpleentzako kontrol analogikoa ona da, kostuaren

aldetik behintzat.

Kontrol digitalaren abantailak, kontrol-legea aldatzeko malgutasuna, denboraren ba-

naketa kontroleko kanalen artean, zehaztasuna, erabakiak hartzeko gaitasuna eta gaitasun

logikoa dira. Gainera, kontroleko funtzioan, konputadoreak optimizazioa, datuen murriz-

pena, etab. egin ditzake. Hauek guztiak direla eta, konputadore digitala erabiltzen duten

kontrolak ugaltzen ari dira.

1.3. PORTAERAKO ESPEZIFIKAZIOAK ETA DISEINU--METODOA

1.3.1. Portaerako espezifikazioak

Kontrol-sistemaren diseinu egokia egiteko, portaerako espezifikazioak oso ongi

finkatu behar dira. Portaera-espezifikazioak ezartzea ez da lan erraza izaten eta normalean

esperientzia behar da ongi egiteko. Batetik, portaera-espezifikazioak oso estu eta zorro-

tzak badira, kontrol-sistemaren konplexutasuna eta kostua izugarriak izango dira.

Bestetik, espezifikazioak zabalak badira, kontrol-sistemaren portaera ez da egokia izango.

Kontu handiz erabaki behar diren gauzen artean, kostua, fidagarritasuna, pisua eta

neurria, erantzunaren abiadura, egonkortasuna, zehaztasuna eta operazio nahiz manteni-

mendu erraza daude. Ondoren, guztiak aztertuko dira.

10

Analogikoa

Digitala

Kostua

Konplexutasuna

1.3.1.1. Hardwarearen hautaketa

Berrelikadurako kontrol-sistemek osagai mekanikoak, elektrikoak, hidraulikoak,

pneumatikoak edo guztien konbinazioak erabiliko dituzte sentsore, eragingailu eta errore-

-detektore bezala nahiz kontrol-legeak ezartzeko. Robotikaren arloan eta manufaktura

automatikoan, potentzia handia behar ez bada, korronte zuzeneko motore elektrikoak

erabiltzen dira. Potentzia handia behar denean berriz, eragingailu hidraulikoak erabiltzen

dira, berauen potentzia/pisua erlazioaren abantailak direla eta. Hegazkinen nahiz misilen

kasuan berriz, kontrol-sistemak elektrohidraulikoak izango dira lehen aipatu diren

abantailengatik.

Leherketa eta su-arriskuen aurrean duten segurtasun erlatiboarengatik, prozesu petro-

kimikoetan sistema pneumatikoak erabiltzen dira. Aire konprimatua urrun kokatuta

dagoen depositoren batetik eramaten da. Sistema pneumatikoek oso erantzun mantsoa

dute elektriko edota hidraulikoen aldean, baina prozesu petrokimikoek oso mantso eran-

tzuten dutenez, ez da desabantaila handia.

1.3.1.2. Egonkortasun-tarte nahikoa duen portaera egonkorra

Berrelikadurako kontrol-sistemek desegonkortzeko joera izaten dute. Berrelikadurako

kontrol-sistema aktiboen puntu bat baino gehiagotan potentzi iturriak ager daitezke eta

ondorioz, desegonkortasuna agertu. Operazio-puntua desegonkorra bada, sistemaren

erantzun azkar eta suntsitzaileak kontrola ezertarako balio ez duen zerbaitetara eramango

du. Kasu batzuetan, ez-linealtasunek (adibidez asetasunek) erantzun desegonkorraren

haziera-mugak jarri eta autokitzikatutako oszilazioak sortuko ditu; azken hauei, mugako

zikloak esaten zaie. Beraz, kontrol-sistemak egoera egonkorrean lan egin dezan lortu nahi

da eta, aldi berean, parametroen aldaketen aurrean ongi erantzuteko behar den egonkor-

tasun-tartea ere finkatu behar da.

1.3.1.3. Egoera iragankorreko erantzun egokia

Erreguladore nahiz serbomekanismoetan, erantzunaren abiadura neurtu eta sarrera eta

irteeraren arteko diferentzia aztertzeko, erreferentziako sarrera eta denboran zehar lortzen

den irteera konparatzea komenigarria da. Egoera iragankorreko erantzun egokia zehaz-

teko, sarrera bezala maila unitarioa duen seinalea erabiltzen da normalean. Erantzun

horren ezaugarriak finkatzeko erabiltzen diren parametroen artean, atzerapen-denbora,


haziera-denbora (lehendabiziko unean duen abiadurarekin neurtuta), gehienezko gain-

diketa eta egonkortze-denbora (erantzunaren azken balioa muga batzuen barne egoteko

igaro behar duen denbora) daude.

1.3.1.4. Maiztasunaren arloko espezifikazioak

Maiztasunaren arloan espezifikazioak finkatzeko, erreferentziako sarrera bezala sei-

nale sinusoidal bat ipintzen da. Espezifikazioak definitzeko erabiltzen diren parametroak

banda-zabalera eta gehienezko gehikuntza dira. Gehienezko gehikuntza, gehienezko gain-

diketarekin eta erantzun iragankorraren egonkortze-denborarekin erlazionaturik dago.

Banda-zabalera berriz, seinalean ager daitezkeen zaratak iragazteko sistemak duen gaita-

sunari lotuta dago.

1.3.1.5. Perturbazioen arbuioa

Erreguladoreetan, perturbazioen arbuioeko berezitasun egokia egoera egonkorreko

espezifikazioei lotuta dago, hau da, perturbazioak agertzen direnean erreferentziako

sarrera eta lortzen den irteeraren arteko errorea nahikoa txikia izatea nahi da. Adibidez,

ibilgailu baten abiadura-erreguladorearen kasuan, ibilgailua maldan gora eta maldan

behera doanean sortzen den errorea, muga onargarri batzuen barne egotea lortu nahi da.

Serbomekanismoetan, perturbazioen arbuio egokia, erreferentziako sarrera denboran

zehar aldatzen denean, errorea txikia mantentzeko sistemak duen gaitasunari lotuta dago.

Adibidez, kohete bat gidatzerakoan, kohetea nahi den ibilbidetik ahalik eta hurbilen egon

dadin, haizearen perturbazioaren eragina minimizatzen da.

1.3.1.6. Parametroen aldaketekiko sentikortasuna

Kontrol-sistemaren portaera beronen parametroen funtzio da eta parametro horiek

aldatuz joaten dira osagaien zahartze nahiz agortzea eta ingurugiroaren aldaketak direla

eta. Beraz, diseinua egiterakoan parametroen aldaketen eragina minimizatzeko, ondo

hautatu behar da. Sistema batek perturbazioen arbuio egokia eta parametroen aldaketen

aurrean sentikortasun txikia duenean, sistema hori sendoa dela esango da.

12

1.3.1.7. Portaeraren indizea

Kontrol-sistema bat diseinatzerakoan kontrol optimoaren teknika erabiltzen bada,

portaeraren indizea deritzon zerbait optimizatu behar da. Indize horrek, optimizatu nahi

den kontrol-sistemaren aldagai garrantzitsuenak hartzen ditu kontutan. Azken batean

diseinuaren helburua, denbora, fuela, errorea, kontrol-emaitza edo hauen konbinazioren

bat minimizatzea izango da.

1.3.2. Diseinu-metodoa

Eraiketa, proba eta aldaketak egiterakoan proba/errorearen diseinu-metodoa erabil-

tzeak desabantaila handiak ditu eta hobe izaten da diseinu-metodo analitikoa erabiltzea.

Aurrerago aztertu eta ikasiko diren teknikak erabili baino lehen, ona izango litzateke

kontrol-sistemak diseinatzeko erabiltzen den metodo analitikoa aztertzea. Zaila da

diseinu-teknika bakar bat azaltzea. Praktikan, betebehar batzuek elkarren kontrakoak

izaten dira eta beraz, konpromezu batzuetara iritsi behar da. Adibidez, zehaztasun handia

lortu nahi denean, oso kostu handiak aterako dira. Dena den, ondoren aurkeztuko den

metodoa nahikoa fidagarria da.

• Portaerako espezifikazioak. Lehenbizi portaeraren helburuak finkatzen dira eta

ondorioz, lortu nahi diren espezifikazioak ezartzen dira. Erabilienak, 1.3.1 atalean

aipatu dira.

• Diseinu kontzeptuala. Kontrol-sistemaren sentsoreak, eragingailuak eta kontrol-legea

ezartzeko behar den hardware-a, osagai elektriko, elektroniko, pneumatiko, hidrauliko

edo berauen konbinazio bat izan daiteke, aipatu diren baldintzak kontutan hartuz.

Zehaztasuna, erantzuna eta osagaien neurriak oso kontu handiz hautatu behar dira.

Ondoren, diseinu kontzeptualaren diagrama lortuko litzateke.

• Ereduztapen matematikoa. Diseinu kontzeptualaren diagrama osoa aurkezten duen

ekuazio-talde baten bitartez, kontrol-sistemaren eredu matematikoa lortzen da.

• Ereduaren balioztapena eta parametroen identifikazioa. Normalean, eredu

matematikoa lortzerakoan sinplifikazio eta suposizio ugari egiten dira. Beraz, lortu

nahi den eredua baliagarria den frogatu eta beronen parametroak identifikatu behar

dira.


• Eredu matematikoaren analisia. Kontrol-sistemaren portaera beronen eredu

matematikoaren bitartez aztertzen da. Egonkortasun-tarte egokia, erantzun-abiadura

eta perturbazioen arbuioa, metodo hauek aztertzen dituzten zehaztasunen artean daude.

• Eraiketa eta probak. Azkeneko urratsa, kontrol-sistema osoa edo prototipoa eraiki eta

probatzea da. Hau, sistemaren benetako portaera eredu matematikoak aurresandakoa

bezalakoa dela frogatzeko egiten da.

1.4. EREDU MATEMATIKOAK

Lehen aipatu den diseinu-metodo analitikoak diseinatu behar den kontrol-sistemaren

eredu matematikoaren beharra dakar. Ereduztapena, kontrol-sistemaren azterketaren lan

garrantzitsuenetakoa da. Ikertu behar den sistemaren ezaugarri garrantzitsuenak barne

izan ditzan, eredu matematikoak nahikoa zehatza izan behar du. Bestalde, eredu matema-

tikoa konplexuegia bihur ez dadin, garrantzi gabeko portaerak ez ditu kontutan hartu

behar. Serbomekanismoetan, erreferentziako sarrera eta perturbazioak denborarekin

aldatuz joaten dira eta gainera, sistemaren aldagaiak denboraren funtzio dira. Erregula-

dorean ere, sistemaren aldagaiak denboraren funtzio dira, perturbazioak agertzen direnean

erreferentzia konstantea bada ere. Beraz, denbora aldagai independentea da eta supo-

satzen diren ereduak, eredu dinamikoak dira. Ondoren, kontrol-sistemen deskribapena

egiteko erabiltzen diren eredu dinamikoak aurkeztuko dira.

1.4.1. Parametro banatuak eta parametro elkartuak dituzten ereduak

Kontrol-sistemak deskribatzeko erabiltzen diren ereduak makroskopikoak dira eta

mikroskopikoetan ez bezala, materiaren izaera molekularra ez da kontutan hartzen.

Parametro banatuak dituzten ereduek "continuum hipothesis" erabiltzen dute eta

ondorioz, materia jarraiki betea dagoen espazioa dela pentsatuz, propietate guztiak efektu

molekularrak adierazteko erabiltzen direla suposatzen dute. Beraz, aldagai guztiak espa-

zioan zehar banatuta daude eta koordenatu espazialekin eta denborarekin aldatzen dira.

Guzti honen ondorio bezala lortzen diren eredu dinamikoak, parametro banatuak dituzten

ereduak dira. Hauek, ekuazio diferentzial partzialez osatuta daude eta denbora eta koor-

dinatu espazialak, aldagai independentetzat hartzen dira. Fluidoaren fluxuaren Navier-

-Stokes ekuazioak, Fourier-en bero-kondukzioaren ekuazio iragankorra eta solido mal-

guen elastizitate dinamikoaren Navier-en ekuazioak, horietako ereduak dira.

14

Parametro elkartuak dituzten ereduetan, materia guztia espazioaren puntu zehatz

batzuetan elkartuta dagoela edota espazioa gelaxka batzuetan banatu eta materia bertan

elkartuta dagoela suposatzen da. Lortzen diren eredu dinamikoak, ekuazio diferentzial

arruntez osatuta egongo dira, aldagai independentea bezala denbora besterik agertzen ez

delarik. Adibidez, solidoa gorputz zurruna dela suposatzeak, beronen masa guztia masa-

-zentruan kokatzea ahalbidetzen du eta parametro elkartuak dituzten ereduak sortzen ditu.

Parametroak elkartuta daudela suposatzeak, eredu matematiko errazagoak ematen ditu.

Solido eta fluido gehienak, parametro banatuak dituzten sistemak dira egitez eta ondorioz,

berauen elkartutako ereduztapena kontu handiz egin behar da.

1.4.2. Eredu linealak eta ez-linealak

Edozein transformazio, operazio eta funtzio lineala izango da, hurrengo baldintzak

betetzen baditu:

• Baldintza batukorra, hau da, f funtzioaren dominioan dauden edozein x1 eta x2-rentzat,

• Baldintza homogenoa, f funtzioaren dominioan dagoen edozein x-rentzat eta edozein αeskalarerentzat,

Bi baldintza hauek, sistema linealak aztertzerakoan erabiltzen den gainezarpen-prin-

tzipioaren barne daude. Baldintza hauek betetzen ez dituen edozein sistema, ez da lineala

izango. Adibidez, d/dt diferentziazio-operazioa eta integrazioa linealak dira bi

baldintzak betetzen dituztelako. x(t) funtzio baten Laplace-ren transformazioa hurrengoa

da:

lineala da bi baldintzak betetzen dituelako. Baino, f (x) = x2 funtzioa ez da lineala zeren,

(x1 + x2 )2 ≠ x12 + x2

2 eta (αx)2 ≠ α (x)2

L x(t){ } = x(t)e−stdt0

∞

∫

(.)dt∫

f (αx) = αf (x)

f (x1 + x2 ) = f (x1) + f (x2 )


Kontrol-sistemaren ereduko ekuazio diferentzialak linealak edo ez-linealak izango

dira. Ez-linealtasun horiek, kontrolatu behar den sistemak edota kontrol-osagaiek

(sentsoreak, eragingailuak eta balbulak) sar ditzakete. Beraz, kontrol-osagai linealak

nahiago izango dira ez-linealak direnak baino. Dena den, ez-linealtasun horiek, batzuetan

nahita sartuko dira (dena/deus ez kontrolean bezala). Normalean, kontrol-sistementzat

erabiliko diren ereduak linealak eta parametro elkartuak dituztenak izango dira. Operazio-

-puntutik urrun dauden arloetan osagai batzuk ez-linealak bezala portatuko direla eta

ondorioz, linealizazioak oreka-puntutik desbideratze txikiak egongo direla supotzen duela

ere kontutan hartu beharko da.

1.4.3. Denboran zehar parametro aldakorrak eta finkoak dituzten ereduak

Ereduaren ekuazio-diferentzialen parametroak denborarekin aldatzen badira, eredua

denborarekin aldakorra dela esango da. Parametro horiek konstanteak badira, ereduak

finkoak direla esango da. Adibidez, kohete baten gidaritza eta kontrola egiterakoan,

beronen masa erregaia agortu ahala denborarekin aldatuz joango dela, eta altitudearekin

airearen dentsitatea aldatzen delako hezetasun aerodinamikoa ere aldatu egingo dela kon-

tsideratu behar da. Kontrol-sistemen konplexutasuna zeharo handitzen da denborarekin

aldatzen diren parametroak agertzen direnean, ereduak linealak badira ere.

1.4.4. Eredu estokastikoak eta deterministikoak

Kasu batzuetan, sistemaren parametroak edota perturbazioak denboraren funtzio

aldakorrak dira eta probabilitate-funtzioen bitartez deskribatzen dira. Gainera, sentsoreen

neurriak ere ustekabeko zaratekin nahasten dira. Kasu horietan, ereduaren ekuazio

diferentzialak estokastikoak direla esango da.

Sarrera guztiak denboraren funtzio deterministikoak direnean eta parametroak ere

konstanteak edo deterministikoak direnean, ereduaren ekuazio diferentzialak deter-

ministikoak izango dira.

1.4.5. Eredu jarraiak eta diskretoak

Datu jarraiak erabiltzen dituen sistemaren seinaleak denborarekin era jarraian aldatzen

dira. Eredu dinamikoak, aldagai independentea bezala denbora duten ekuazio diferen-

tzialez osatuta daudenean, eredu horiek jarraiak direla esango da. Lagindutako datuak

16

erabiltzen dituzten sistemek edo sistema digitalek, denboraren une zehatz batzuetan

besterik ez dute seinalerik neurtzen. Eredu dinamikoek, denboraren ekuazio diferen-

tzialekin deskribatzen dira eta eredu diskretoak dira. Beraz, eredu hauek, konputadore

digital baten bidez egindako kontrolean erabiltzen dira.

1.5. LABURPENA

Kapitulu honen zeregina, terminologia erabili eta kontrol-sistemen nahiz eredu

matematikoen sailkapena egitea izan da. Aurrerantzean, SISO sistemekin bakarrik egingo

da lan eta azterketek erreguladore nahiz serbomekanismoentzat balioko dute.

Eredu matematikoentzat egindako sailkapena behar-beharrezkoa da gero egingo den

kontrol-sistemen azterketa ongi ulertzeko. Ondoren ikasiko diren teknika bereziak hobeto

aztertzeko, diseinu-metodoaren laburpena ere egin da.

1.6. BIBLIOGRAFIA

• D’SOUZA, A.F. (1988). "Design of Control Systems". Englewood Cliffs, NJ:

Prentice-Hall

• HALE, F.J. (1973). "Introduction to Control System Analysis and Design". Englewood

Cliffs, NJ: Prentice-Hall

• KUO, B.C. (1982). "Automatic Control Systems". 4th ed. Englewood Cliffs, NJ:

Prentice-Hall

• NEWTON, G.C., GOULD, L.A. and KAISER, J.F. (1957). "Analytical Design of

Linear Feedback Controls". New York: John Wiley & Sons.

• PALM, W.J. (1983). "Modelling, Analysis and Control of Dynamic Systems". New

York: John Wiley & Sons.


2.1. SARRERA

Kontrol-sistemak diseinatzerakoan, urratsik garrantzitsuenetako bat ereduztapen ma-

tematikoarena da. Kapitulu honetan, osagai mekaniko, elektriko, hidrauliko, pneumatiko,

nahiz termikoen ereduztapenak garatuko dira; osagai horiek, kontrolatu behar den

sistemaren edota eragingailu, sentsore eta kontroladoreetan aurkitzen diren arruntenak

direlako. Eredu matematikoak osagai bakoitzaren izaerari lotuta dauden lege fisikoak

aplikatuz lortzen dira.

Izaera hori kontutan hartu gabe, osagai pasiboak hiru mota desberdinetan sailka

daitezke: bi energia metatzen dituztenak eta bat, kontsumitzailea. Osagai bakoitzak,

besteekin interface egiteko behar dituen terminalak badituela esaten da. Osagai sin-

pleenak bi terminal ditu eta beraz, bi aldagai behar ditu ordezkatzaile bezala. Aldagaie-

tako bat, igarotze-aldagaia da, hau da, osagaietik zehar pasatzen dena eta bestea berriz,

zeharkako aldagaia da, bi terminalen artean neurtzen dena.

Lehenengo kapituluan aipatu den bezala, erabiliko diren eredu matematikoek ekuazio

diferentzial linealak izango dituzte; hauen koefizienteak konstanteak izango dira eta

denbora izango dute aldagai independente bezala. Sistema askoren portaera ez da lineala

izaten, baina linealtasun falta horiek haien argumentuen funtzio analitikoak badira, oreka-

-puntuaren alboan eredu lineal baliagarriak osatzeko gai izango gara. Helburu nagusia

une honetan, sistemaren ekuazioak transferentzi funtzio nahiz egoerako ekuazio dife-

rentzial gisa jartzea da. Gero ikusiko da nola egiten den hori guztia.


2. SISTEMAK ETA EREDUAK

2.2. SISTEMA MEKANIKO SINPLEEN DESKRIBAPENA

Ereduztapen-teknika zailagoak erabili aurretik, 2.1 Irudiko sistema mekanikoaren

portaera aztertuko da.

2.1 Irudia. Sistema mekaniko sinplea

Sistema hau nahikoa ezaguna da eta lehendabiziko adibide bezala erabiliko da. Orain,

haren osagaiak aztertuko dira banan banan.

Malgukiaren ekuazioa aztertuz,

(2.1)

k malgukiari dagokion konstantea delarik; konstante hori, materialaren biren arteko tarte

eta diametroen nahiz alanbrearean neurriaren arabera finkatzen da.

Bigarren osagaiak fluido lodi baten barnean zerbait mugitu nahi denean sortzen den

efektua deskribatzen du: zenbat eta indar handiagoa egin bultzatzen, hainbat eta zailagoa

gertatzen da mugimendua.

2.2 Irudia

F = kx edota x = 1k

F

20

Malgukia

Masa

Motelgailua

Erresistentzia

Fluidoa

F

edota

2.2 Irudian ikusten denez, F indarra, mugitzen ari den pistoiaren aurka fluidoak egiten

duen erresistentzi indarraren aurka ari da. Erresistentzia hori pistoiak duen v abiadurare-

kiko proportzionala da,

(2.2)

non R, fluidoaren eta sistema osoaren arabera neurtzen den.

Hirugarren osagaiak, hau da masak, masa horrek mugitzerakoan duen ezaugarria

aurkezten du. Aplikatutako indarra eta azelerazioaren arteko erlazioa honako hau da,

(2.3)

erlazio hau Newton-en mugimendu-legea da.

Aurkeztutako hiru osagaien ezaugarriak sistema askotan aurkitzen dira, baina beti ez

dira agertuko era idealean, hemen aurkeztu diren bezala. Dena den, idealizazio hau

beharrezkoa da eredu matematikoaren emaitza lortzeko. Horregatik, idealizazioa egite-

rakoan, ahalik eta hurbilketarik errealenak egin dira eta, ondorioz, nahikoa onargarriak

dira.

2.1 Adibidea

Lehenbizi, bi osagai dituen sistema aztertuko da, hau da, 2.3 Irudikoa, bi osagaien

masak kontutan hartu gabe.

2.3 Irudia.

Kasu honetan, malgukiaren ezkerraldean u-ren mugimenduaren ondorio bezala sortzen

den x desplazamendua kalkulatu nahi da. Horretarako, malgukiaren indarra aztertzen da,

(2.4)F1 = k(u − x)

F = ma

F = Rν


uxF1

F2

eta pistoiak egiten duen indarra honako hau da,

(2.5)

Bi indar horiek berdinak izan behar dute. Ondorioz,

(2.6)

hau da,

(2.7)

edo,

(2.8)

Ikusten denez, sistemaren eredu matematikoa, lehen ordenako ekuazio diferentziala

da. u jakinik, µ desberdinen balioen arabera, x(t) mugimendua nolakoa izan den azter

daiteke, 2.4 Irudian ikusten den bezala.

2.4 Irudia.

µ dx

dt+ x = u

Rdx

dt+ kx = ku

Rdx

dt= k(u − x)

F2 = Rv = Rdx

dt

22

µ murriztuz

denbora (s)

1

0

x(t)

u(t)

1 2 3 4 5

Beraz, 2.4 Irudian agertzen denez, pistoiak ezin du u-ren mugimendua bat-batean

jarraitu eta denbora-tarte bat igaroko da x-ren mugimendua lortu arte. Denbora hori

(R/k) =µ-ren balioaren arabera aldatzen da eta, aurreago ikusiko den bezala, sistemaren

denbora-konstantea izango da.

2.2 Adibidea

Lehendabiziko ereduari masa bat gehituz gero, 2.5 Irudiko sistema lortzen da,

eragingailuan eta masa horretan gertatzen diren marruskadurak kontutan hartu gabe.

2.5 Irudia.

Lehenbiziko ereduan egin den antzera, malgukiaren ezkerraldean u mugimendua

aplikatzen denean, motelgailuaren x mugimendua nolakoa izango den bilatu nahi da.

Malgukiak egiten duen indarra honako hau da:

(2.9)

Pistoiak egindakoa berriz,

(2.10)

Newton-en legea erabiliz, ondoko ekuazioa lortzen da:

(2.11)

Ondorioz,

(2.12)k(u − x) − Rν = ma

F1 − F2 = ma

F2 = Rν

F1 = k(u − x)


u

x

xF1 F2

hau da,

(2.13)

edo beste era batean ipiniz:

(2.14)

Kasu honetan, 2.5 Irudiko eredu matematikoa bigarren ordenako ekuazio diferen-

tziala da. u-ren balioa jakina bada, (2.14) ekuaziotik x(t) lortzen da, 2.6 Irudian ikusten

den bezala. Berriro ere, motelgailuak ez du bat-batean erantzuten baina kasu honetan

masa dagoenez gero, portaera oszilakorraren aurkezpena egin daiteke.

2.6 Irudia. Bigarren ordenako ekuazio diferentzialaren portaera.

2.3 Adibidea

2.7 Irudia. Tortsio-sistema

d 2x

dt2 + R

m

dx

dt+ k

mx = k

mu

md 2x

dt2 + Rdx

dt+ kx = ku

24

x(t)

1

0

u(t)

denbora (s)

a) b)

θ

T c

k

Ix

2.7 a) Irudian, askatasun-gradu bakarra duen sistema errotazionala aurkezten da. x

ardatzarekiko I inertzi momentua duen diskoa, euskarri bat eta punta finko bat duen

malgukiaren bidez finkatzen da. Euskarria eta marruskadura guztiak c koefizientea duen

moteltze-gai errotazional batekin agertzen dira. Elastizitate-mugaren azpitik, malgu-

kiaren portaera lineala dela suposatuko da. Haren konstantea, honako hau izango da:

non G modulu elastikoa, d malgukiaren diametroa eta L malgukiaren luzera diren. Eredu

kontzeptuala 2.7 b) Irudikoa da. Td, motelgailuaren bihurketa-indarra eta Ts malgu-

kiarena, aplikatutako T(t) bihurketa-indarraren kontrakoak dira. θ (t), oreka-posiziotik x

ardatzarekiko diskoak duen mugimendu angeluarra izango da. Orduan,

(2.15)

eta Ts = kθ direnez gero,

(2.16)

lortzen da. Maiztasun naturala eta moteltze-faktorea honela agertzen badira:

eta (2.17)

(2.16) ekuazioa berriro idatz daiteke,

(2.18)k1

ωn2

d 2θ(t)dt2 + 2ς

ωn

dθ(t)dt

+ θ(t)

= T(t)

ς = 12

c

Ikωn = k

I

Id 2θdt2 + c

dθdt

+ kθ = T

Td = cdθdt

T − Td − Ts = Id 2θdt2

k = πd 4G

32L


2.4 Adibidea

Engranajeak, sistema errotazional askotan agertzen dira. 2.8 a) Irudian, T bihurketa-

-indarra sortzen duen motoreak, karga bat eramaten du engranajea erabiliz, beronen

erlazioa, delarik. Suposa dezagun motorearen inertzi momentua I1

dela, c1 moteltze-koefizientea eta k1 malgukiaren bihurketako zurruntasun-koefizientea

direla; ondorioz, I2 , c2 eta k2 kargaren aldeko engranajearen koefizienteak izango dira.

2.8 Irudia. a) Motoreak karga zuzentzen du engranajearen bidez. b) Karga eta motorea

askatuz lortutako diagrama

Engranajearen bi elementuak askatuz lortzen den diagrama, 2.8 b) Irudikoa da.

Motorearen aldeko malgukian nahiz kargaren aldekoan agertzen diren bihurketa-

-indarren balantzea eginez gero,

(2.19)

(2.20)I2

d 2θ2

dt2 + c2

dθ2

dt+ k2θ2 = T2

I1

d 2θ1

dt2 + c1

dθ1

dt+ k1θ1 = T − T1

dθ2 dtdθ1 dt = n

26

a)

b)

I1

I1

c1

I2

I2

c2

T

T

θ1

c1

T1

θ1

θ2

c2

T2

θ2

Motorea

Engranajea Karga

Engranajearen transmisio-boterea kontutan hartuz gero,

(2.21)

Beraz,

(2.22)

θ2 = nθ1 dela kontutan hartuz gero, hurrengo ekuazioa lortzen da,

(2.23)

Ikusten denez, I2 kargaren inertzia motoreko malgukian n2 I2 bezala isladatzen da.

Beste hainbeste esan daiteke c2 eta k2 koefizienteez.

Maiztasun naturala, moteltze-faktorea eta irabazpena honela defini daitezke,

(2.24)

2.3. EREDUZTAPEN MATEMATIKOARI BURUZ

Benetako sistemaren portaera ongi azaltzen duen ereduztapen matematikoa lortzeko,

badira jarraitu behar diren oinarrizko urrats batzuk.

• Lehendabizi, eredu kontzeptuala lortu behar da, hau da, blokeen bitartez egindakoa.

Bloke horietan, gertatzen diren fenomenoak idealizatzen dira. Bloke horiek, masa,

eragingailua, induktantzia elektrikoak eta kapazitateak edota tanke kimikoa izan dai-

tezke. Hori eginda, eredua sistema errealaren antzekoa izango da, baina matematika

aldetik errazagoa.

ωn2 = k1 + n2k2

I1 + n2I2

2ςωn = c1 + n2c2

I1 + n2I2

kg = 1k1 + n2k2

I1 + n2I2( ) d 2θ1

dt 2+ c1 + n2c2( ) dθ1

dt+ k1 + n2k2( )θ1 = T

I1

d 2θ1

dt 2+ c1

dθ1

dt+ k1θ1 = T − nT2 = T − n I2

d 2θ2

dt 2+ c2

dθ2

dt+ k2θ2

T1

dθ1

dt= T2

dθ2

dt⇒ T1

T2

= dθ2 dt

dθ1 dt= n


• Aurreko urratsean agertzen diren elkarrekintzei lege fisiko egokiak aplikatuz, ekuazio

matematikoak lortzen dira. Ondorioz, mugimenduaren ekuazio diferentzialak lortzen

dira.

• Ekuazio horiek sistemaren eredu matematikoa osatzen dute; sistemaren portaera

dinamikoa ekuazio horiek askatuz lortzen da. Ondoren, ereduan egin beharko diren

egokitzeak aztertzeko, ekuazioek ematen duten portaera eta benetako portaera kon-

paratzen dira.

Urrats horien bitartez, benetako sistemaren eredu matematiko egokia lortzen da, eta

eredu honek aurkezten duen portaera benetakoa baino sinpleagoa denez gero, azterketa

analitikoa ere errazagoa gertatzen da. Azken hau oso garrantzitsua da, eredu matema-

tikoak kontrol-sistemen laguntza izateko lortzen direlako.

2.4. ESEKIDURA-SISTEMA BATEN EREDUA

Beste sistema fisikoen ereduztapena egin aurretik, aipatutako urratsak sistema me-

kaniko bati aplikatuko zaizkio. Suposa dezagun trailer baten esekidura-sistema diseinatu

behar dela (2.9 Irudia), batez ere, bidea txarra denean nolako portaera duen aztertzeko

asmoz.

2.9 Irudia

28

ibilgailuamotelgailua

ibilgailua

malgukia

pneumatikoa

bidea bidea

malgukia malgukia

Lehenengo urratsa, sistemaren eredu kontzeptuala lortzea da. Horretarako, gurpil

bakoitzak malguki ideala izango balitz bezala jokatzen duela suposatzen da eta gurpilaren

eta esekiduraren masa guztia m2 eta trailerraren masa m1 dela suposatzen da. m1 masa

hori gora eta behera mugi daiteke eta gainera, errotazioak ere ager daitezke. Bide

txarraren ondorio bezala, gurpilen mugimendua banan banan aztertuko da, 2.10 Irudian

ikusten den bezala.

2.10 Irudia

Ondoren, eredu kontzeptualean aurkeztu diren erlazioak matematikoki azaldu behar

dira. Horretarako, 2.10 Irudiko blokeak eta Newton-en legea dira kontutan hartzen

direnak.

(m2-en masa) * (m2-ren azelerazioa) = m2 masan agertzen diren indarren batura (2.25)

hau da,

(2.26)m2

d 2x1

dt2= k2 (u1 − x1) − k1(x1 − x3 ) − C

dx1

dt− dx3

dt


Ibilgailuam1 masa; I1 inertzi momentua

x3 x4

k1k1

x1 x2

u1 u2k2 k2

m2

masa

m2

masa

CC

ezkerraldekoesekidura

bidea bidea

pneumatikoak

eskuinaldekoesekidura

2 l

eta eskuinaldeko esekiduran berdin jokatuz,

(2.27)

Trailerraren grabitate-zentruak, mugimendu lineala nahiz errotazionala jasaten ditu;

ezkerraldea x3 mugitzen bada eta eskuinekoa berriz x4, grabitate-zentrua

mugituko da gora-behera

eta bere errotazio-angelua, honakoa izango da gutxi gora-behera,

rad, erlojuaren orratzen norantzan neurtuta.

Beraz, trailerraren grabitate-zentruaren gora-beherako mugimendua, hurrengo ekua-

zioak ematen duena da,

(2.28)

Mugimendu errotazionalari dagokionez, Newton-en legeak honako hau esaten du:

(sistemaren inertzia – momentua) * (azelerazio angeluarra) =

= sisteman lanean ari diren momentuen gehikuntza

hau da,

(2.29)

Aipatutako bigarren ordenako lau ekuazio diferentzialen sistemak eredu matematikoa

osatzen du. k1, k2, C, l, m1 eta m2 eta u1 eta u2 sarrerak ere ezagutuz gero, x3 eta x4mugimenduak kalkula daitezke konputadore analogiko edo digital batean.

Id 2

dt2

x3 − x4

l

= k1l(x1 − x3 ) − k1l(x2 − x4 ) + C

dx1

dt− dx3

dt

l − C

dx2

dt− dx4

dt

l

m1

d 2

dt2

x3 + x4

2

= k1(x1 − x3 ) + k1(x2 − x4 ) + C

dx1

dt− dx3

dt

+ C

dx2

dt− dx4

dt

x3 − x4

l

x3 + x4

2

m2

d 2x2

dt2 = k2 (u2 − x2 ) − k1(x2 − x4 ) − Cdx2

dt− dx4

dt

30

Lortzen den mugimendua egokia ez bada, parametroen balioak aldatzen dira eta

ereduaren ekuazioak berriro askatzen dira. 2.11 Irudian, u1 seinalean gertatzen den

aldaketa baten ondorio bezala sistemak duen portaera aurkezten da.

2.11 Irudia.

2.5. SISTEMA ELEKTRIKOEN EREDUZTAPENA

Kasu honetan, sistema elektriko sinple baten ereduztapen matematikoa bilatu behar

da. Sistema elektrikoa, erresistentzia, kondentsadorea eta bobina batez osaturik dago, 2.12

Irudian ikusten den bezala.

2.12 Irudia. Sistema elektriko sinplea.


denbora (s)

x4(t)

0 1 2 3

0 1 2 3

x3(t)

denbora (s)

R, Erresistentzia L, Induktantzia

CKapazitatea

Vo

Irteerakotentsioa

V1

Sarrerakotentsioa

Erresistentzia baten bi muturretan tentsio bat aplikatzen denean, korrontea sortzen da.

Korronte hau, aplikaturiko eremua eta erresistentzia osatzen duen metalaren sekzioare-

kiko proportzionala da eta bestalde, metalaren luzerarekiko alderantziz proportzionala;

hau da,

(2.30)

edota bestela ipiniz, (Ohm-en legea erabiliz)

(2.31)

Kondentsadorean agertzen den tentsioa bertan metatzen den kargarekiko propor-

tzionala da eta proportzionaltasun-konstantea, kondentsadorearen plaken tamainu eta

dielektrikoarekin aldatzen da. Kondentsadore jakin batentzat, konstante hau, C kapazi-

tatea da eta beraz,

(2.32)

Kondentsadorearen karga osoa korronte-fluxuaren integrala denez gero,

(2.33)

Azkenik, harilaren terminalen artean, bere barnean doan korrontearekiko propor-

tzionala den tentsioa agertzen da, hau da,

(2.34)

edo,

(2.35)

L induktantzia delarik.

2.12 Irudian agertzen den sistema elektrikoaren eredu matematikoa lortzeko, sare

elektrikoan gertatzen diren erlazioak ezagutu behar dira: Kirchhoff-en legeak.

v = LdI

dt

v ∝ dI

dt

v = 1C

Idt∫

v = qC

ν = RI

I = kvA

l

32

Kirchhoff-en korronte-legea: Bi edo eroale gehiago topatzen direnean (korapiloa),

korapilo horretara doan korrontea eta korapilo horretatik ateratzen den korrontea berdinak

dira.

Kirchhoff-en tentsio-legea: Zirkuito oso bati bira ematerakoan, osagai desberdinetan

agertzen diren tentsioen baturak zirkuitu osoari aplikaturiko tentsioaren berdina izan

behar du.

Beraz, lege hauek aplikatzen direnean,

(2.36)

(2.37)

Bi ekuazio horien artetik I kenduz gero,

eta (2.38)

ondorioz,

(2.39)

hau da,

(2.40)

Ikus daitekeenez, eredu matematiko honek lehen aztertu den sistema mekanikoaren

joera berdina du. Beraz, V1 tentsioa aldatzen denean, Vo tentsioaren portaera 2.6 Irudian

aurkezten zenaren berbera da.

d 2Vo

dt2 + R

L

dVo

dt+ 1

LCVo = 1

LCV1

V1 = CdVo

dtR + Vo + LC

d 2Vo

dt2

dI

dt= C

d 2Vo

dt2I = C

dVo

dt

Vo = 1C

Idt∫

V1 = IR + 1C

Idt + LdI

dt∫


2.5 Adibidea

Kirchhoff-en legeen erabilpena azaltzeko kasu zailagoa ipintzen da. Demagun, 2.13

Irudiko zirkuituaren eredu matematikoa lortu nahi dela. Kasu honetan, bi RC zirkuitu

daude seriean jarrita.

2.13 Irudia.

Kirchhoff-en legeak aplikatuz gero,

(2.41)

1. bigizta aztertuz,

(2.42)

2. bigiztan,

(2.43)

eta gainera,

(2.44)Vo = 1C2

I2∫ dt

V1 = I1R1 + I2R2 + 1C2

I2∫ dt

V1 = I1R1 + 1C1

I3∫ dt

I1 = I2 + I3

34

1. bigizta

2. bigizta

I1 I2

I3

AR1 R2

V1V0

C1 C2

Ekuazio horietatik, I1, I2 eta I3 kenduz gero, eta berriro idatziz,

(2.45)

hau da,

(2.46)

Ekuazio hau, hau da, bi RC zirkuitu seriean lotzen dituen sistema elektrikoaren

sarrerako eta irteerako tentsioak erlazionatzen dituen ekuazioa, bigarren ordenako

ekuazio diferentziala da.

2.6. SISTEMA HIDRAULIKOEN EREDUZTAPENA

Sare hidrauliko baten oinarrizko hiru kontzeptuak, erresistentzia hidraulikoa,

inertantzia hidraulikoa eta kapazitate hidraulikoa dira. Inertantzia fluidoaren inertziari

dagokio eta tutu batean zehar fluidoa igarotzeko behar diren inertzia-indarretatik dator.

Zeharkako aldagaia, osagai bati zeharkako zatiketa eginez gero neurtuko litzatekeena),

p(t) presioa da eta igarotze-aldagaia, hau da, osagai horretan zehar doana, q(t) fluxu

bolumetrikoaren kopurua da. Bi aldagai hauen arteko biderkaketak potentzia hidraulikoa

ematen du. Inertantzia eta kapazitate hidraulikoek energia metatzen dute; erresistentziak,

aldiz, xahutu egiten du.

Sare hidraulikoaren ekuazioak, momentua nahiz masaren kontserbazio-legeak erabiliz

lortzen dira. Zeharkako aldagaia eta igarotze-aldagaia erlazionatzen dituzten ekuazioak ez

dira linealak. Beraz, sistema osoak operazio-puntuaren inguruan lan egingo duela

suposatuko da eta linealizazioak erabiliko dira erresistentzia, inertantzia nahiz kapazitate

hidraulikoa lortzeko.

d 2Vo

dt2 + R1C1 + R2C2 + R1C2

R1C1R2C2

dVo

dt+ 1

R1C1R2C2

Vo = 1R1C1R2C2

V1

R1C1R2C2

d 2Vo

dt2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2 )dVo

dt+ Vo = V1


2.6 Adibidea

2.14 Irudian ikusten den tankearen transferentzia-funtzioa lortu nahi da; trans-

ferentzia-funtzio horrek erlazionatzen dituen irteera eta sarrera, h(t) altueraren aldaketa

eta q1 , sartzen den fluidoaren aldakuntza direlarik hurrenez hurren.

2.14 Irudia. Tankea eta zuloa.

Egoera egonkorreko oreka-fluxurako, q1e = q2e = konstantea eta he = konstantea

direla argi dago. q1 , q2 eta h, oreka-puntu horren inguruan sortzen diren aldakuntza

txikiak dira. Likidoa konprimaezina eta tankearen hormak gogorrak direla suposatuko

da. Beraz, kapazitate-efektua grabitateak sortzen duena besterik ez da izango,

(2.47)

non, p = ρgh tankearen beheko puntuan dagoen presioa den. Fluidoaren inertantzia ez

bada kontutan hartzen, zuloaren ekuazioa hurrengoa izango da,

(2.48)

(2.47) eta (2.48) ekuazioetatik q2 kenduz gero,

(2.49)

eta τ denbora-konstantea definituz,

A

ρg

dp

dt+ 1

Rp = q1

p = Rq2

q1 − q2 = A

ρg

dp

dt

36

Zuloa

q2e + q2

he

p2 = 0

q1e + q1h A

(2.50)

p = ρgh denez, hurrengo ekuazioa lor daiteke,

(2.51)

2.7. SISTEMA PNEUMATIKOEN EREDUZTAPENA

Erresistentzia, induktantzia eta kapazitate pneumatikoak dira sare pneumatikoen

oinarrizko hiru osagaiak. Sare hauetan erabiltzen den fluidoa, konprima daitekeen gasa

da. Ondorioz, gasaren fluxua kontu handiz maneiatu beharko da, fluxu hori azpisonikoa,

sonikoa edo supersonikoa izan daitekeelako. Zeharkako aldagaia presioa izango da eta

igarotze-aldagai bezala masa-fluxuaren proportzioa erabiliko da (masa eta bolumenaren

fluxuak ezin dira elkarrekin aldatu likidoetan egiten zenaren antzera). Dena den, pre-

sioaren eta masa-fluxuaren proportzioaren biderkadura ez da potentzia, potentzia eta

dentsitatearen biderkadura baizik.

2.7. Adibidea

2.15 Irudia. Hauspo pneumatikoa

2.15 Irudian hauspo pneumatikoa aurkezten da. Hauspo hori, zabal daitekeen eremua

da eta hormen elastizitatea k konstantea duen malgukiaren bidez aurkezten da. Lortu

nahi den transferentzia-funtzioak, p1 presioaren aldaketa (sarrera) eta x oreka-puntutik

neurtutako aldaketa (irteera) erlazionatu behar ditu. Demagun p2 , hauspoaren barneko

presioa dela; orekan, p1e = p2e dela, eta p1 (t), p2 (t) eta x(t), oreka-puntuaren inguruan

ρg

Rτ dh

dt+ h

= q1

1

Rτ dp

dt+ p

= q1


A, azalera

p2e + p2p1e + p1

m1

x

•

k

gertatzen diren aldaketak direla. Inertantzia pneumatikoa ez bada kontutan hartzen,

hauspoaren barnera sartzen den masa-fluxua hurrengoa da:

(2.52)

non R erresistentzia pneumatikoa den. Kanpora ateratzen den masa-fluxua

denez, metatzen da,

(2.53)

non kapazitatze pneumatikoa C = C1+C2 ekuazioa den eta eta

diren. (2.52) eta (2.53) ekuazioetatik kenduz gero

(2.54)

Hauspoa mantso zabaldu eta uzkurtzen denean, masa eta azelerazioaren arteko bi-

derkaketa kontutan hartzen ez bada, indarren balantzea hurrengoa da,

(2.55)

(2.54) eta (2.55) ekuazioetatik,

(2.56)

Adibide honetan, hauspoaren bolumen-aldaketaren ondorioz lortzen den C1 kapa-

zitatearen espresio analitikoa hurrengoa da,

(2.57)C1 = ρ dV

dp2

= ρ d(Ax)dp2

= ρA2 k

k

ARC

dx

dt+ x

= p1

Ap2 = kx

RCdp2

dt+ p2

= p1

dm1

dt

C2 = V RgTC1 = ρ dV dp2( )

dm

dtC

dp

dt1 2=

dm1

dt

dm2

dt= 0

dm1

dt= p1 − p2

R

38

τ = RC denbora-konstantea eta kg = A/k irabazpena definituz,

(2.58)

2.8. Adibidea

2.16 Irudia. Sistema pneumatikoa

Sistema pneumatiko asko dira presio-seinale batean eragina sortzeko erabiltzen

direnak. 2.16 Irudian, R1 eta R2 zuloen erresistentzia desberdinak dituzten bi hauspo

berdinez osatutako sistema aurkezten da. pi , p1 , p2 eta y, oreka-balioen inguruan sortzen

diren aldakuntzak dira, oreka-puntu horretan, pie= p1e = p2e eta y = 0 direlarik.

Hauspoaren zabaltze eta uzkurtzeak k konstantea duen malguki batek eramaten du. Kasu

honetan, y irteera eta pi sarrera erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa lortu nahi

da.

Lehen hauspoarentzat kalkulatzen den masa-fluxuaren proportzioa hurrengoa da:

(2.59)

(2.60)= Cdp1

dt

dm1

dt= pi − p1

R1

τ dx

dt+ x

= kg p1


A, Azalerak k

y

pi

p1 p2

m2m1

R1R2

• •

non kapazitate pneumatikoak airearen konprimaketa eta hauspoaren bolumen-

-aldaketaren efektuak deskribatzen dituen. 2.7 ereduan, zela

ikusi zen eta, ondorioz, (2.59) eta (2.60) ekuazioetatik kenduz gero,

(2.61)

Bigarren hauspoarentzat lehenengoarentzat bezala jokatuz,

(2.62)

Ondoren indarren balantzea egiten bada,

(2.63)

(2.63) ekuazioan (2.61) eta (2.62) ekuazioetako p1 eta p2 sartuz gero eta D = d/dt

definituz,

Ekuazio hau sinpletuz, hurrengo transferentzia-funtzioa lortzen da,

(2.64)

Bi denbora-konstante eta irabazpena definituz,

(2.64) ekuazioa beste era honetan ipin daiteke,

τ 1 = R1C τ 2 = R2C kg = A 2k( ) R1 − R2( )C

y(t) =

A

2k(R2 − R1)CD

(R1CD +1)(R2CD +1)

pi (t)

A1

R1CD +1− 1

R2CD +1

pi (t) = 2ky(t)

( p1 − p2 )A = 2ky

R2Cdp2

dt+ p2

= pi

R1Cdp1

dt+ p1

= pi

dm1

dt

C = ρA2 k + V RgT

40

(2.65)

2.8. SISTEMA TERMIKOEN EREDUZTAPENA

Osagai termikoak kontrolatu behar diren sistemekin batera agertzen dira, hau da,

prozesu kimikoetan, potentzi sorgailuetan eta eraikuntzetako beroketa/aire egokituko

sistemetan. Sare termikoaren oinarrizko bi osagaiak erresistentzia eta kapazitatea dira.

Zeharkako aldagaia, T tenperatura da eta igarotze-aldagaia berriz, q bero-fluxua da. Dena

den, T • q biderkaketa ez da potentzia.

2.9. Adibidea

2.17 Irudia. Gela baten beroketa.

2.17 Irudian, gela bateko beroketa-prozesua aurkezten da. Berogailuak q bero-fluxua

ematen du. Gelako barnealdea T1 tenperaturan jar daitekeen osotasun bezala kontsidera

daiteke eta beste alde batetik, gelako hormak T2 tenperaturan dagoen zatia bezala.

Kanpoko tenperatura (perturbazioko sarrera), giroan dagoen Ta tenperatura da. q

sarrera dela eta, bestalde, T1 irteera dela suposatuz, eredu lineala lortu nahi da.

Demagun, h1 eta h2 , barne- eta kanpo-hormetako bero-transferentzia konbektiboak

direla hurrenez hurren, A1 eta A2 dagozkien azalerak direlarik. Gelatik barne-hormetara

doan bero-fluxua hurrengoa da,

y(t) =kgD

τ1D +1( ) τ 2D +1( )

pi (t)


T1

q1

q2

q

T2

Ta

eta kanpo-hormetara doana,

Bi eremu desberdinetan energia-kontserbazioaren legea aplikatuz,

(2.66)

(2.67)

Transferentzi funtzioa lortzeko, (2.67) ekuaziotik T2 ateratzen da, (D = d/dt dela

kontutan hartuz),

(2.68)

eta lortutako balioa (2.66) ekuazioan sartzen da.

(2.69)

Hurrengo parametroak definituz gero,

ωn = 1

R1C1R2C2

2ςωn = R1C1 + R2C2 + R2C1

R1C1R2C2

τ1 = R2

R1 + R2

R1C2 kg = R1 + R2

+ 1

R1C1R2C2D2 + R1C1 + R2C2 + R2C1( )D + 1

Ta (t)

T1(t) =R2 R1C2D + 1+ R1 R2( )

R1C1R2C2D2 + R1C1 + R2C2 + R2C1( )D + 1

q(t)

T2 (t) = 1R1C2D +1 + R1 R2

T1(t) + R1 R2

R1C2D +1 + R1 R2

Ta (t)

C2

dT2

dt= T1 − T2

R1

− T2 − Ta

R2

C1

dT1

dt= q − T1 − T2

R1

q2 = h2 A2 (T2 − Ta ) = T2 − Ta

R2

q1 = h1A1(T1 − T2 ) = T1 − T2

R1

42

(2.69) ekuazioa berriro idatz daiteke,

(2.70)

non q(t) eta Ta (t), kontrol-sarrera eta perturbazio-sarrera diren hurrenez hurren.

2.9. SISTEMA KIMIKOEN EREDUZTAPENA

Ingeniaritza kimikoan, eredu matematikoak lortzeko, masa, energia nahiz momen-

tuaren kontserbazioen legeak erabiltzen dira. Normalean eta ereduztatu nahi den sis-

temaren arabera, sinplifikazio batzuk ere egiten dira.

Sistema dinamiko edo mugikor bati masaren kontserbazio legea aplikatuz gero,

hurrengoa lortzen da:

sistemari sartutako masa – sistematik ateratako masa =

= sistemaren barnean metatutako masa-aldaketa (2.71)

hau da,

(2.72)

eta ρ dentsitatea konstantea bada,

(2.73)

Egoera egonkorrean, ekuazio honek hauxe esan nahi du: "sartzen den guztia, kanpora

irteten da", eskuinaldeko osagaia zero delako. Bestalde, energiaren kontserbazio-legeak

dioenez,

sistemara sartzen den energia – sistematik irteten den energia +

+ sistemari sartutako beroa – sistemak egindako lana =

= sisteman metatutako energiaren aldaketa. (2.74)

Wi − Wo = ρ d

dtV

Wi − Wo = d

dt(Vρ)

T1(t) =kg (τ1D +1)

1ωn

2 D2 + 2ςωn

D +1

q(t) + 11

ωn2 D2 + 2ς

ωn

D +1

Ta (t)


hau da,

(2.75)

eta ρ dentsitatea konstantea denean,

(2.76)

non, h = entalpia den. Askotan, era orokor hau, "entalpiaren balantzea" bezala ezagutzen

da.

Eta azkenik, momentuaren kontserbazio-legea, Newton-en bigarren legea aplikatuz

lortzen da.

norabide zehatz batean egindako indarren batuketa =

= norabide horretan gertatzen den momentuen aldaketen kopurua (2.77)

hau da,

(2.78)

v abiadura delarik. Orokorrean, gertatzen diren indarrak presioa, grabitatea eta

marruskadurarenak dira. Kasu honetan, momentuen ekuazioa marruskaduraren ekuazio

bihurtzen da; sisteman galtzen den presioa sisteman gertatzen den masa-fluxuarekin

erlazionatuz, hau da,

(2.79)

non k sistemaren marruskadura-faktorearekin erlazionatuta dagoen.

2.10. Adibidea

Adibide bezala, 2.18 Irudiko sistemaren eredu matematikoa bilatuko da aipatu diren

legeak aplikatuz.

pi − po = kW 2

Fii

∑ = d

dt(mv)

Wihi − Woho + Q − WD = ρ d

dt(Vh)

Wihi − Woho + Q − WD = d

dt(ρVh)

44

2.18 Irudia

Sistema honek bi tanke ditu seriean jarriak. Lehenbizikoak Wi sarrera eta Wo irteera

ditu eta bigarrenak, berriz, W sarrera eta Wo irteera ditu. Ez da berorik sartu edo irteten

sistematik eta, beraz, energi balantzea egitea ez da beharrezkoa.

1.t ankeari jarraipen-ekuazioa aplikatuz gero,

(2.80)

2. tankean eginez,

(2.81)

W eta Wo fluxuak balbulen arabera idazten dira normalean,

(2.82)

(2.83)Wo = Co ( p2 − patm )

W = C ( p1 − p2 )

W − Wo = ρAdl2

dt

Wi − W = ρ dV1

dt= ρA

dl1dt


2 tankea

1 tankea

A, azalera

A, azalera

Wi

WoW

I1I2

p1 eta p2 presioak, tanke bakoitzeko presioak direlarik, hau da, presio hidrostatikoak.

Ondorioz,

eta (2.84)

Ekuazio hauek irudiko sistema kimikoaren eredu matematikoa osatzen dute. Ikus

daitekeenez, ekuazio horiek aurrean garatu diren sistema mekaniko nahiz elektrikoen

ekuazioen antzekoak dira. Bestalde, desberdintasun bat ere agertzen da. Orain arte

ekuazio linealak besterik ez dira agertu eta kasu honetan agertzen diren marruskadura-

-ekuazioak ez dira linealak. Ez-linealtasunak daudenean, ekuazioak askatzeko metodoak

zailagoak dira eta, normalean, ezin dira analitikoki aztertu. Beraz, zenbakizko teknikak

erabili eta hurbilketaren bat egitea da hoberena. Hurbilketa horien bitartez, lineal ez

diren sistemak, linealak bihurtzen dira eta, ondorioz, teknika linealekin lan egin daiteke

(Ikus 2.11. Atala).

2.10. ERAGINGAILUAK

Eragingailua kontrol-sistema zuzentzeko potentzia erabiltzen duen kontrol-osagaia da.

Behar den potentzia txikia izan daiteke kontrol-balbularen posizioa ezartzerakoan, edota

handia, karga handia mugitu behar denean. Kontrol-sistema elektriko, hidrauliko eta

pneumatikoetan erabiltzen diren eragingailuen artean arruntenak, motore elektrikoak,

serbomotore hidraulikoak eta hauspo pneumatikoak dira. Orain, eragingailu hauen eredu

matematiko linealak garatuko dira.

2.10.1. Korronte zuzeneko motore elektrikoa

Korronte zuzeneko motorea, energia elektrikoa energia mekaniko bihurtzen duen

energi bihurtzailea da. Eremu magnetikoa sortzeko zein bide erabiltzen den, mota

desberdinetako motoreak agertzen dira. Eremu magnetikoa sortzeko, iman iraunkorra edo

eremuko korrontea erabil daitezke. Eremuko harilkatua, induktorea, induzituko harilka-

tuarekin seriean konektatzen denean, motorearen ezaugarriak ez dira linealak. Beraz,

kontrol-sistemetan erabiltzen diren motoreen harilkatuak bananduta daude.

Korronte zuzeneko motorearen ekuazioak Maxwell-en elektromagnetismoaren teoria-

tik lortzen dira. Motoreak sortzen duen bihurketa-indarra, ia induzituko korrontearen eta φfluxu magnetikoaren biderkadurarekiko proportzionala da,

p2 = ρl2p1 = ρl1

46

(2.85)

non k1 motorearen konstantea den. Motoreak sortzen duen tentsioa, φ fluxu magnetikoa-

ren eta ω abiadura angeluarraren biderkadurarekiko proportzionala da,

(2.86)

Eb tentsioa aplikatzen den Ea armadurako tentsioarekiko 180° defasatuta dago.

Kontrol-sistemetan erabiltzen den korronte zuzeneko motorea, 2.19 Irudian ikusten dena

da. Motorea kontrolatzeko, Ea (t) armadurako tentsioa aldatzen da, if eremuko korrontea

finko mantenduz. Karga eta armaduraren inertzi momentu konbinatua I da eta c marrus-

kadura-koefizientea izango da. Armaduraren induktantzia eta erresistentzia La eta Ra dira,

hurrenez hurren.

2.19 Irudia. Eremuko korronteaz kontrolatutako korronte zuzeneko motorea.

Suposa dezagun, motorean Td bihurketa-indarra sartzen dela perturbazio bezala.

Bihurketa-indarren eta tentsioen balantzeak eginez,

(2.87)

(2.88)

φ fluxu magnetikoa if eremuko korrontearen funtzio da, 2.20 Irudian ikusten den

bezala. Asetasun-eskualdetik kanpo lan eginez, φ= k3 if.

T = Idωdt

+ cω + Td

Ea − Eb = La

dia

dt+ Raia

Eb = k2φω

T = k1φia


cT ωTd

if

ia

La

Ra

Ea(t)Eb(t)

I

2.20. Irudia. Fluxu magnetikoa / eremuko korrontea.

Orduan, (2.85) eta (2.86) ekuazioetatik honako hauek lortzen dira:

(2.89)

(2.90)

Bi denbora-konstante definituz, τ1 = La/Ra eta τ2 = I/c, eta (2.87) eta (2.88)

ekuazioetan sartuz gero,

(2.91)

(2.92)

2.10.2. Korronte alternoko motore elektrikoa

Korronte alternoko motoreak korronte zuzenekoak baino merkeagoak dira eta ba-

tzuetan, potentzia gutxi behar denean, kontrol-sistemetan erabiltzen dira. Dena den,

korronte alternoko motoreak ez dira linealak eta ondorioz, kontrolatzeko zailak gertatzen

dira. Kontrol-sistemetan erabiltzen direnak, 2.21 Irudian ikusten denaren antzekoak dira,

hau da, bi faseko indukzioa erabiltzen dutenak.

ktia − Td = c τ 2

dωdt

+ ω

Ea − kbω = Ra τ 1

dia

dt+ ia

Eb = (k2k3if )ω = kbω

T = (k1k3if )ia = ktia

48

Φ

k3

if

2.21. Irudia. Bi faseko indukzio-motorea.

Motorearen estatoreak elkarrengandik 90°-ko angelura dauden bi haril ditu. Haril bat,

finkoa edo faseko erreferentzia ematen duena, E0 korronte alternoko tentsio finkoaz elika-

tzen da. Bestea berriz, kontrol-fasea, E(t) aldatuz doan korronte alternoko tentsioaz

elikatzen da; E(t) eta E0 tentsioen arteko fasea 90°-koa delarik.

2.22. Irudia. Bihurketa-indarra/abiadura kurbak.

2.22 Irudian, E kontrol-tentsioak balio desberdinak hartzen dituenean lortzen diren bi

faseko indukzio-motorearen bihurketa/abiadura kurbak agertzen dira. Oreka-puntuaren

inguruan aldaketa txikiak gertatzen direnean, kurba horien linealizazioa egin behar da.

Demagun T, ω eta E egoera egonkorreko Te, ωe, Ee oreka-balioen aldaketak direla.

Linealizazioa erabiliz,

(2.93)T = −c1ω + c2E


T

E(t)

ω c

I Td

Eo

Kontrol-fasea

Erreferentziako fasea

0 abiadura, w

T, Bihurketa--indarra

ωe

Te

E4E3

E2E1

E4 > E3 > E2 > E1

non, c1 > 0, c2 > 0 diren, ω hazten denean, bihurketa-indarra murriztu egiten delako,

baina bestalde, E tentsioa hazten denean, bihurketa-indarra ere hazi egiten delako. Karga

eta armaduraren inertzi momentua I da eta marruskadura-koefizientea, berriz, c. Perturba-

zioko bihurketa, Td dela jakinik, bihurketa-indarren balantzea egin daiteke:

(2.94)

Transferentzi funtzioa lortzeko, (2.93) eta (2.94) ekuazioetatik T indarra kentzen da (D =

d/dt dela gogoratuz),

(2.95)

edo, irteera bezala abiadura angeluarra hartzen bada,

(2.96)

2.10.3. Serbomotore hidraulikoa

2.23 Irudiko serbomotoreak balbula eta karga zuzentzen duen eragingailua ditu.

Balbula lau atekoa da: ate bat ps presioa duen sarrerako fluidoari lotuta dago, beste bi ate

kontrolekoak dira eta zilindroaren alde bakoitzari lotuta daude; azken atea drenaketakoa

da. Balbula erdiko posizioan dagoenean, ez dago mugimendurik. Balbula ezkerrera

mugitzen denean, 2.23 Irudian bezala, presio garaiko fluidoak kontrol-atea igaro eta

zilindroaren ezkerreko zatian sartzen da, pistoia eskuinerantz eramanez. Zilindroaren

eskuin-zatian dagoen fluidoa drenatu egiten da drenaketa-atea igaroz. Balbula eskuinera

joaten denean, aipatutako ekintzaren alderantzizkoa gertatzen da.

ω(t) = c2

ID + c + c1

E(t) − 1ID + c + c1

Td (t)

θ(t) = c2

D(ID + c + c1)

E(t) − 1D(ID + c + c1)

Td (t)

T = Idωdt

+ cω + Td

50

2.23. Irudia. Serbomotore hidraulikoa eta karga.

Orain, balbularen xs mugimendua eta y kargaren mugimendua erlazionatzen dituen

eredu lineala lortu nahi da. Zilindroko q1 eta q2 fluxuak balbulan gertatzen diren presio-

-aldaketen eta xs-ren funtzio dira. Balbula simetrikoa dela kontsideratuz,

(2.97)

(2.98)

Kontrol-sistema hidraulikoetan dauden presioek eragindako konprimaketa ez da

kontutan hartzen. Beraz, q1 = q2 = q eta (2.97) eta (2.98) ekuazioetatik, ps – p1 = p2 – p0

lortzen da. Egoera egonkorreko orekan, p1e = p2e eta xs = 0. (2.97) eta (2.98) ekuazioak

oreka-puntuaren inguruan linealizatuz gero eta ps eta p0 konstanteak direla emanez,

(2.99)

(2.100)

non c1 > 0 eta c2 > 0 diren. Ekuazio horietako koefizienteen aurretik doazen zeinuek, xshazten denean fluxua hazi, p1 hazten denean murriztu eta p2 hazten denean hazi egiten

dela adierazten dute. (2.99) eta (2.100) ekuazioak batuz,

q = c1xs + c2 p2

q = c1xs − c2 p1

q2 = f (xs , p2 − p0 )

q1 = f (xs , ps − p1)


po

q1

p1

q2

p2

ps

xs

po

Elikadura

Karga

c

y

y

m

Zilindroa

(2.101)

Balbula normalean gainezarpenak agertzen dira, (2.101) ekuazioan agertzen den

bezala. xs = 0 denean, fluxua ez da zero izango c3 = 0 ez bada. Demagun A pistoiaren

azalera dela, pistoiaren eraginez mugitzen den bolumenaren kopurua eta qL ihe-

saren fluxua direla. Likidoaren konprimaketa kontutan hartu gabe, hurrengo ekuazioa lor-

tzen da:

(2.102)

non ihesaren fluxua, (p1 – p2) presio-diferentziarekiko proportzionala den eta c4 ihesaren

koefizientea den. (2.101) eta (2.102) ekuazioetatik q kenduz gero,

(2.103)

Eragingailuak daraman karga m masa eta c marruskadura-koefizienteaz osatuta

dagoela suposatzen da. Indarren balantzeak eginez,

(2.104)

(2.104) ekuaziotik (p1–p2) atera eta (2.103) ekuazioan sartuz gero honako hau lortzen da:

(2.105)

Denbora-konstantea eta irabazpena definitzen badira,

(2.106)

D = d/dt operadorea erabiliz, (2.105) ekuazioa beste era honetan jar daiteke,

τ = (c3 + c4 )mA2 + (c3 + c4 )c

kg = Ac1

A2 + (c3 + c4 )c

c1xs = c3 + c4

A

m

d 2y

dt2 + A + c3 + c4

A

dy

dt

( p1 − p2 )A = md 2y

dt2 + cdy

dt

c1xs = Ady

dt+ (c3 + c4 )( p1 − p2 )

q = Ady

dt+ qL = A

dy

dt+ c4 ( p1 − p2 )

Ady

dt

q = c1xs − c3( p1 − p2 )

52

eta transferentzi funtzioa hurrengoa izango litzateke:

(2.107)

Eragingailuaren karga deusezten denean, adibidez eragingailuak kontrol-balbula

zuzentzen duenean, m ≅ 0 eta c ≅ 0 egiten da. Ondorioz, τ → 0 eta kg = c1/A. Kasu hone-

tako transferentzi funtzioa

(2.108)

Beraz, erabiliko den eredu lineala (2.107) edo (2.108) ekuaziokoa izango da kargaren

arabera.

2.10.4. Diafragma pneumatikoa erabiltzen duen eragingailua

2.24 Irudia. Eragingailu pneumatikoa eta balbula.

y(t) =kg

Dxs (t)

y(t) =kg

D(τD +1)

xs (t)

xs (t) = 1kg

D(τD +1)y(t)


R

q

z

c

k

p2

p1

m

m•

Diafragma

Kontrol-balbula

2.24 Irudian aurkezten den eragingailu pneumatikoa sarritan erabiltzen da kontrol-

-sistemetan kontrol-balbularen kokaera aztertzeko. p1 presio-seinalearen bitartez eragiten

da. Diafragman lan egiten duen p2 presioak kontrol-balbula malgukiaren aurka mugitzen

duen indarra aldarazten du.

Sistema egoera egonkorrean dagoenean, p1e = p2e = konstantea dira, masaren fluxurik

ez dago eta ze , balbularen kokaera nahiz qe , balbulatik igarotzen den fluxua, konstanteak

dira. Demagun p1, p2 eta q balio egonkorraren inguruan gertatzen diren aldaketak direla.

Gelatxoan sartzen den masa-fluxua, honako hau da:

(2.109)

non R erresistentzia pneumatikoa den. Fluxu hori gelatxoan metatzen da eta ondorioz,

(2.110)

non kapazitate pneumatikoak konprimaketa eta gelatxoan gertatzen den bolumen-aldaketa

aurkezten dituen. (2.109) eta (2.110) ekuazioetatik kenduz eta denbora-konstantea

τ = RC definituz gero,

(2.111)

Demagun m, C eta k, masa, marruskadura-koefizientea eta malgukiaren konstantea

direla hurrenez hurren, eta A diafragmaren azalera dela. Indarren balantzea eginez,

hau da,

(2.112)k1

ωn2

d 2z

dt2 + 2ςωn

dz

dt+ z

= p2 A

md 2z

dt2+ c

dz

dt+ kz

= p2A

τ dp2

dt+ p2

= p1

dm

dt

dm

dt= C

dp2

dt

dm

dt= p1 − p2

R

dm

dt

54

Balbularen mugimendua nahikoa mantsoa da eta balbularen masa txikia. Beraz, ωn

nahikoa handia da eta normalean interesgarria den maiztasunetik kanpo geratzen da.

Ondorioz, indarren balantzea egiterakoan, malgukia besterik ez da kontsideratzen eta

(2.112) ekuazioa honela geratzen da,

(2.113)

Kontrol-balbulatik igarotzen den fluxuaren ekuazio lineala honako hau da,

(2.114)

2.11. LINEALAK EZ DIREN EKUAZIOEN LINEALIZAZIOA

Aipatu den bezala, eredu matematikoak kontrol-sistemen diseinuan erabiltzeko garatu

dira. Normalean, diseinu-tekniken teoria lineala erabiltzen dute eta, beraz, ekuazio

linealez osatutako eredu matematikoak behar dituzte.

Ondorioz, eredu matematikoa lineala ez bada eta kontrol-sistemen diseinuan erabili

behar bada, lehendabizi linealizatu egin beharko da. Hau egiteko, eredu matematikoa,

puntu zehatz baten inguruan gertatzen diren perturbazio txikiekin besterik ez dela erabi-

liko suposatzen da. Hau oso erraz egiten da. Linealak ez diren funtzioak erreferentzia-

-puntu baten inguruan Taylor-en serieak erabiliz idazten dira. Orduan, lehen deribatu

partzialaren ondoren dauden osagaiak ez dira kontutan hartzen.

Demagun f (x1, x2) lineala ez den funtzioa dela eta -x1, -x2 puntuaren inguruan

linealizatu behar dela. Lehendabizi, Taylor-en espantsioa egiten da,

(2.115)

non , funtzioak x1 = -x1 eta x2 = -x2 direnean kalkulatzen dela esan

nahi duen. Bigarren eta ordena garaiagoko terminoek hurrengo ekuazioa betetzen dutela

suposatzen da,

∂f

∂x1

∂f

∂x1

x1 ,x2

f (x1, x2 ) = f (x1, x2 ) + ∂f

∂x1

x1 ,x2

(x1 − x1) +

+ ∂f

∂x2

x1 ,x2

(x2 − x2 ) + ∂ 2 f

∂x12

x1 ,x2

(x1 − x1)2!

2

+...

q = c1z

kz = p2A


(2.116)

hau da,

(2.117)

non ∆x1 eta ∆x2, -x1eta -x2 inguruan egindako perturbazioak diren, eta,

(2.118)

Aldagai bakarreko funtzioaren linealizazioa 2.25 Irudian agertzen da.

2.25 Irudia.

Beraz, adibide gisa, 2.9 atalean aurkeztutako sistema kimikoaren marruskaduraren

ekuazioak linealizatuz gero, (2.82) eta (2.83) ekuazioak honela geratuko lirateke,

(2.119)W = C ( p1 − p2 )

x1 = x1 + ∆x1

x2 = x2 + ∆x2

A∆x1 + B∆x2 = 0

∂f

∂x1

x1 ,x2

(x1 − x1) + ∂f

∂x2

x1 ,x2

(x2 − x2 ) = 0

56

x

hurbilketa lineala

lineala ez den f (x)

f(x)

δf(––– ) maldaδx

δff (-x) + (–––) (x – -x)

δx

f( -x)

-x

-x

-x

-W, -p1, -p2 erreferentziako puntua osatzen dutelarik.

(2.120)

egiten bada, orduan,

(2.121)

(2.122)

eta,

(2.123)

Orduan,

(2.124)

hau da,

(2.125)

ekuazio hau erreferentzia-puntuaren inguruan perturbazio txikiak gertatzen direnean

marruskaduraren ekuazioaren linealizazioa delarik.

Eredu matematiko linealak erabiltzeko, bi eratako arrazoiak daude:

• Kontrol-sistemen diseinu-teknikek teoria lineala erabiltzen dute.

∆W = C

2 p1 − p2

∆p1 − ∆p2( )

∆W − C

2 p1 − p2

∆p1 − ∆p2( ) = 0

∂f

∂p2

W ,p1,p2

= − C

2 ( p1 − p2 )

W ,p1,p2

= − C

2 p1 − p2

∂f

∂p1

W ,p1,p2

= − C

2 ( p1 − p2 )

W ,p1,p2

= − C

2 p1 − p2

∂f

∂W

W , p1 , p2

= 1

f = W − C ( p1 − p2 )


• Kontrol-sistemaren helburua sistemaren irteera erreferentziaren berdina mantentzea da;

hau da, irteera erreferentziatik aldentzen bada, kontrol-sistemak azkar eramango luke

erreferentzia hori jarraitzera. Hortaz, kontrol-sistemak perturbazio txikiak besterik ez

ditu onartzen eta beraz, sistema lineala ez bada ere, beronen aurkezpen lineala egokia

izango litzateke diseinua egiteko.

2.12. BIBLIOGRAFIA

• D'AZZO, J.J.; HOUPIS, C.M., (1981). "Linear Control Systems Analysis and Design:

Conventional and Modern". Mc Graw-Hill Series in Electrical Engineering

• D'SOUZA, A.F. (1988). "Design of Control Systems" Englewood Ciffs, N.J. Prentice-

-Hall International Editors.

• KARNOPP, D.; ROSENBERG, R. (1975). "System Dynamics: A Unified Approach".

Nueva York. John Wiley & Sons.

• MARSHALL, S.A. (1978). "Introduction to Control Theory". MacMillan Publishers

LTD., London

• OGATA, K. (1978). "System Dynamics". Englewwod Cliffs, NJ: Prentice-Hall

• PALM, W.J. (1983). "Modelling, Analysis and Control of Dynamic Systems" New

York. John Wiley & Sons.

58

2.13. ARIKETAK

2.1. A2.1 Irudian agertzen den osziladore bikoitzaren mugimendua aurkezten duten

ekuazio diferentzialak lortu nahi dira.

A2.1 Irudia.

2.2. A2.2 Irudian, ibilgailu baten eredua agertzen da. M ibilgailuaren masa, K2 mal-

guki nagusia, C moteltze-konstantea, m gurpilen masa eta K1 gurpilei dagokien

malgukia dira. Sarrera, gurpilen beheko zatian dagoen u(t) abiadura da eta grabi-

tate-indarra bi masetan agertuko da. Eredu honen ekuazio diferentzialak lortu

behar dira.

A2.2 Irudia.


K2

m1

m2

K2

x2(t)

x1(t)

u1(t)

u2(t)

K2

K1

x2(t)

x1(t)

C

m

u(t)

M

2.3. A2.3 Irudian agertzen den sistema mekanikoaren mugimendua aurkezten duten

ekuazio diferentzialak kalkulatu.

A2.3 Irudia.

2.4. A2.4 Irudian, bibrazio-zurgatzailearen sistema mekanikoa agertzen da. Sistema

mekaniko honen eredu matematikoa osatzen duten ekuazio diferentzialak lortu

behar dira (elementu guztiak idealak direla suposatuz).

2.5. A2.5 Irudian, tresna fin baten eredu kontzeptuala agertzen da. Tresna horretan

agertzen diren m1 eta m2 masak eta m3 inguruko masaren artean biskositate-

-marruskadura dagoela kontutan hartuz, eredu matematikoa lortu.

60

C1K1

x1(t)

x2(t)

m1

m2

C2K2

u(t)

K1

x1(t)

x2(t)

x3(t)

m1

m2

m3

K2

K3u(t)

Biskositate--marruskadura

C1

C2K1K2

K3

x1(t) x2(t)

m1 m2 u(t)

A2.4 Irudia.

A2.5 Irudia.

2.6. m masa duen gorputza A2.6 Irudian agertzen den bezala ipintzen da. Demagun y

eta θ oreka-puntuaren inguruan gertatzen diren mugimendu txikiak direla eta I

inertzi momentua dela. y eta θ irteerak eta F indarra nahiz LF momentua sarrerak

direla suposatuz, mugimenduaren ekuazio diferentzialak lortu.

A2.6 Irudia.

2.7. A2.7 Irudian agertzen den zirkuitu elektrikoaren E1 sarrera-tentsioa eta E0 irteera-

-tentsioa erlazionatzen dituzten ekuazio diferentzialak lortu.

A2.7 Irudia.

2.8. 2.7 ariketa errepikatu A2.8 Irudiko zirkuituarekin.

A2.8 Irudia.


F

yθ

L

L1

k1 k2c1 c2

L2

E1

i

Eo

R1

R2

E1

L

C Eo

R1

R2

C1

C2


A2.9 Irudia.


A2.10 Irudia.


A2.11 Irudia.

62

E1

C

Eo

R1

R2

E1 Eo

R1

C1

R2

C2

E1 Eo

R1 L

C1 R2C2

R3

2.12. A2.12 a) eta A2.12 b) Irudietako eredu matematikoa aurkezten dituzten ekuazio

diferentzialak berdinak direla frogatu nahi da, A ≅≅ C, h ≅≅ V, q ≅≅ I direnean.

A2.12 Irudia.

2.13. A2.13 Irudian sistema hidraulikoa agertzen da. u pistoiaren mugimendua sarrera

dela eta y zilindroaren mugimendua irteera dela suposatuz, bi aldagaiak erlaziona-

tzen dituen eredu matematikoa lortu.

A2.13 Irudia.


(a)

(b)

h1 h2q1

q1

q2R2R1

R1

R2

I2I1

IC1 IC2

V2V1

C2

A1 A2

q R

u

y

m, masa

k, malgukia

p2 p1

2.14. A2.14 Irudian, ponpa bat deskargatzerakoan sortzen den p1(t) presio iragankorra

neurtzeko tresna aurkezten da. Likidoa konprimaezina dela suposatuz, y irteerako

mugimendua eta p1 sarrera erlazionatzen dituen eredu matematikoa lortu.

A2.14 Irudia.

2.15. A2.15 Irudian agertzen den sistema pneumatikoak bi hauspo eta tartean mugitzen

den elementua ditu. Hauspoen A azalerak berdinak dira, baina malgukien kons-

tanteak k1 eta k2 nahiz erresistentziak, R1 eta R2, desberdinak dira. p0 irteerako

presioa eta pi, sarrerako presioa erlazionatzen dituen transferentzi funtzioa lortu

behar da.

A2.15 Irudia.

64

p2p1 mR

A, azalera

Neurketa-sistema(Eskala)

c

k

y(t)

qPonpa

Aire-elikadura

po

zp2

p1

R1

R2

k2

k1

pi

2.16. A2.16 Irudian agertzen diren bi gelatxoen hormetako kapazitate termikoak

kontutan hartu gabe, gelatxoek T1(t), T2(t) tenperaturak eta C1, C2 kapazitate

termikoak dituztela suposatzen da. Kanpoko hormetako erresistentzia termikoa R1

da eta bi gelatxoak banatzen dituen hormakoa R2. Kanpoko tenperatura Ta(t) dela

eta q bero-fluxua lehen gelatxoari bakarrik ematen zaiola jakinik, T1 irteerako

tenperatura eta q bero-fluxua nahiz Ta(t) perturbazioa erlazionatzen dituen eredu

matematikoa lortu nahi da.

A2.16 Irudia.

2.17. A2.17 Irudiko fluxu termikoaren prozesua aurkezten duen eredu matematikoa

garatu.

A2.17 Irudia.


qR2

R1 R1Ta

C1

T1

C2

T2

Berokuntza--erresistentzia

W

I1

I2

Wi; Ti

Wo; To

2.18. Korronte zuzeneko sorgailuak sortzen duen E2 tentsioa eremuko E1 sarrerako

tentsioa aldatuz kontrolatzen da, A2.18 Irudian agertzen den bezala. Sorgailuan ωabiadura angeluarra konstante mantentzen da. i2 irteerako armaduraren korrontea

eta E1 sarrerako tentsioa erlazionatzen dituen eredua lortu.

A2.18 Irudia.

66

Sorgailuabirarazten

duen motorea

ω

E1 E2

i1

i2

Lf

Ls

Rf

Ra

3.1. SARRERA

Bigarren atalean, sistema fisiko batzuen eredu matematikoak aztertu dira. Eredu hauek

koefiziente konstanteak zituzten lehen eta bigarren ordenako ekuazio diferentzialetatik

zuzenki ateratzen ziren edo linealizazio-metodoak erabiliz, era horretan ipintzen ziren.

Orokorki, sistema konplexuen eredu matematikoek n ordenako ekuazio diferentzial

linealen itxura hartuko dute, hau da,

(3.1)

non, x(t) sistemaren irteera den

u(t) sistemaren sarrera den

denborarekiko r ordenako deribatua den

n eta m indizeak diren (n ≥ m + 1), eta

ai eta bi konstanteak diren.

Aurreko atalean aurkeztutako 2.5 Irudiko sistema (3.1) ekuazioarekin konparatuz

gero,

n = 2, m = 0

ao = m

a1 = R

a2 = k

bo = k

dr

dtr

a0

dnx

dtn+ a1

dn−1x

dtn−1+ a2

dn−2x

dtn−2+...+an−1

dx

dt+ anx =

= b0

dmu

dtm+ b1

dm−1u

dtm−1+...+bm−1

du

dt+ bmu


3. MATEMATIKAREN BEHARRA

direla ikusten da, hau da,

(3.2)

Kapitulu honetan, (3.1) eta (3.2) ekuazioetako erantzunak Laplaceren transformazioa

eginez ere lor daitezkeela erakutsiko da.

3.2. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN ERANTZUNAMETODO KLASIKOA ERABILIZ

Metodo klasikoa erabiltzen denean ekuazioen linealen erantzuna bilatzeko, bi zati des-

berdin agertzen dira: funtzio osagarria eta integral partikularra. Azkena (3.1) ekuazioa

askatzen denean lortzen da eta egoera egonkorraren agerpena da. Lehenbizikoa berriz,

(3.1) ekuazioan eskuin zatia berdin zero egiten denean lortzen den erantzuna da. Ekuazio

hau ekuazio karakteristikoa da eta beronen ebazpideak sistemaren erantzun iragankorra

aurkezten du, hau da, hasiera-puntutik egoera egonkorra lortu arte agertzen dena.

Lehendabizi eta (3.1) ekuazioaren erantzun orokorra lortu aurretik, 2.3 atalean

agertzen zen sistemaren erantzuna aztertuko da.

(3.3)

hasierako baldintzak zero direlarik, x(0) = 0; u konstantea eta µ = R/k direlarik.

Funtzio osagarria ekuazio karakteristikoaren erantzuna da,

(3.4)

eta, ikusten denez, x funtzioak eta beronen deribatuak itxura berdina izan beharko dute

deuseztea lortzeko. Orduan,

(3.5)

eta,

xc = Aemt

µ dx

dt+ x = 0

µ dx

dt+ x = u

md 2x

dt2 + Rdx

dt+ kx = ku

68

(3.6)

Beraz,

(3.7)

hau da,

eta ondorioz,

(3.8)

(3.8) ekuazioa funtzio osagarria da, non A aurrerago kalkulatuko den konstantea den.

Erantzun partikularra (3.3) ekuazioaren erantzuna da, eta normalean esperientzia era-

biliz lortzen da. Kasu honetan oso erraza da,

(3.9)

ondorioz,

(3.10)

Ekuazioaren erantzun osoa hurrengoa izango da,

(3.11)

eta t = 0 denean x(0) = 0 denez gero,

Beraz, konstante hori hasierako baldintzak erabiliz lortzen da.

(3.12)

Erlazio hau 3.1 Irudian aurkezten da (µ-ren balio ezberdinak erabiliz),

x(t) = (1 − e−(1/ µ )t )u

0 = A + u ⇒ A = −u

x = xc + xp = Ae−(1/µ )t + u

0 + Bu = u ⇒ B = 1

xp = Bu

xc = Ae−(1/ µ )t

m = −1 / µ

µm + 1 = 0

µAmemt + Aemt = 0


3.1 Irudia.

Lehen ordenako sistema batean, µ murrizten den neurrian, erantzun-abiadura handitu

egiten da, hau da, R murrizten den bezala k handitu egiten da. µ denbora-konstantea da

eta hasiera-puntutik tangentea eginez, egoera egonkorreko balioraino dagoen denboraren

neurria da, 3.1 Irudian agertzen den bezala.

Orain (3.1) ekuazioaren erantzun orokorra aztertuko da sarrera konstantea delarik, hau

da,

(3.13)

eta lehen bezala xo = Aemt hartuko da. Balio hau (3.13) ekuazioan sartuz gero,

(3.14)

hau da,

(3.15)aomn + a1m

n−1+...+an−1m + an = 0

Aemt aomn + a1m

n−1+...+an−1m + an( ) = 0

ao

dnx

dtn + a1

dn−1x

dtn−1 + a2

dn−2x

dtn−2 +...+an−1

dx

dt+ anx = bou

70

denbora-konstantea µ = 2

denbora-konstantea

µ = 1

µ = 2

µ = 3

µ = 4

µ = 1

x(t)

1

1 2 3 4

denbora (s)

0

n ordenako ekuazio honek n erro emango ditu, m1, m2, ... mn. Normalean, erro hauek

konplexuak dira, baina (3.13) ekuazioko koefiziente guztiak positibo direnez gero, bikote

konjugatuak izango dira, hau da, σ ±jω

Beraz, funtzio osagarria hurrengoa izango da,

(3.16)

Gainera, integral partikularra aurreko kasuan agertzen zenaren antzekoa da,

(3.17)

eta ondorioz, erantzun osoa,

(3.18)

eta A1, A2, ..., An koefiziente ezezagunak n hasierako baldintzetatik ateratzen dira, hau da

(3.18) ekuazioan agertzen den ekuazioa egonkorra izango da, hau da, termino

esponentzialak denboran zehar gero eta txikiago egiten dira, eta ekuazioa konstante bat

bezala mantenduko da. mi koefizienteak errealak direla suposatuz, mi guztiak negatibo

badira, mi < 0, egonkortasuna ziurtatua egongo da. Erroak konplexuak diren kasuan,

mi = σ1 + jωi, erantzuna egonkorra izango da zati erreala negatiboa bada, σi < 0. Beraz,

(3.13) ekuazioan aurkezten den sistema egonkorra izango da, n erroen zati errealak

negatibo badira.

Metodo klasikoa erabiltzerakoan bi desabantaila ager daitezke: lehendabizi, (3.18) n

ekuazioaren koefiziente ezezagunak lortzea ez da beti zuzena, eta bigarrenik, integral

partikularra ezartzea ez da batere erraza, kasu batzuetan izan ezik.

emit

x(0),dx(0)

dt,d 2x(0)

dt2 ,...,dn−1x(0)

dtn−1

x = Aiemit

i=1

n

∑ + bo

an

u

xp = bo

an

u

xc = A1em1t + A2e

m2 t +...+Anemnt = Aie

mit

i=1

n

∑


Gainera, metodo hau oso matematikoa da eta ekuazio diferentzialaren bitartez ikusten

den portaera fisikoa ingeniaritza aldetik oso eskasa da.

3.3. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN SARRERA

Ekuazio diferentzialak askatzeko metodo hobea, batez ere ingeniaritza aldetik,

Laplaceren transformazioak erabiltzen dituena da. Hasierako ekuazio diferentzialaren

erantzuna zuzenean bilatu ordez, askoz errazagoa da ekuazio horren transformazioa egi-

tea. Horrela, ekuazio algebraikoa lortzen da, honen erantzuna atera eta ondoren alderan-

tzizko transformazioa eginez, hasierako ekuazio diferentzialaren erantzuna lortzen dela-

rik.

Laplaceren transformazioa hurrengo ekuazioaren bidez aurkezten da:

(3.19)

non, f (t) denboraren funtzioa den eta f(t) = 0, t ≤ 0 denean,

s aldagai konplexua den

F(s) f(t)-ren transformazioa eginez s-ren funtzio den eta

L Laplaceren transformazioa egiteko sinboloa den.

Integrazioaren limiteak prozesuak ezartzen ditu eta zehazki 0+ izan behar luke

behekoak, hau da, t denbora t = 0 igaro ondoren hasten dela adierazteko. Ikusten denez,

F(s) existitzeko, F(t)e–st → 0 t ⇒ ∞ doanean. (3.19) ekuazioa erabiliz, Laplaceren

transformazioaren taula egin daiteke (A Eranskinean agertzen den Taula). Laplaceren

transformazioak alderantzizko transformazio bakarra du,

(3.20)

Normalean, alderantzizko transformazioa egiteko ez da (3.20) ekuazioa erabiltzen,

baizik eta aipatutako transformazio-taula.

Taula hau nola erabiltzen den ikusteko,

L−1 F s( )[ ] = l

2πjF s( )

σ − jω

σ +fω

∫ estds = f (t)

L f t( )[ ] = f t( )

0

∞

∫ e−stdt = F(s)

72

(3.21)

taula ezkerretik eskuinera irakurriz, eta

(3.22)

taula alderantziz erabiliz gero.

3.4. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN EZAUGARRIBATZUK

• Linealitatea eta Gainezarpena

Edozein f1(t) eta f2(t) hartuz eta funtzio horien transformazioak F1(s) eta F2(s) badira

hurrenez hurren,

(3.23)

non a1 eta a2 konstanteak diren.

• Diferentziazioa

f(t) funtzioaren transformazioa F(s) bada,

(3.24)

non , t zerorantz doanean f(t) funtzioak hartzen duen balioa den, hau da,

funtzioaren hasierako baldintza.

Froga egiteko integrazioaren erregelak erabiltzen dira,

(3.25)u0

∞

∫ dv = uv[ ] 0∞ − vdu

0

∞

∫

f (t) t =0

L

df (t)

dt

= sF(s) − f (t) t =0

L a1 f 1(t) + a2 f 2(t)[ ] = a1 L f 1(t)[ ] + a2 L f 2(t)[ ] = a1F1(s) + a2F2(s)

F(s) = ωs2 + ω2 f (t) = sin ωt

f (t) = e−at , F(s) =1

s + a


non, u = e–st eta dv = [df(t)/dt]dt diren. Beraz,

(3.26)

(3.27)

Gainera,

(3.28)

eta orokorki,

(3.29)

(3.27) – (3.29) ekuazioak ekuazio diferentzial linealak askatzeko erabiltzen dira.

• Integrazioa


(3.30)

Froga egiterakoan, eta dv = e–stdt ezartzen da (3.25) ekuazioan;

orduan,

(3.31)

(3.31) ekuazioko ezkerraldeko lehen osagaia zero da t = ∞ eta t = 0 denean.

−1s

e−st f (τ )dτ0

t

∫

o

∞

+ 1s0

∞

∫ e−st f (t)dt = 1s

F(s)

L f (τ )dτ

0

t

∫[ ] = f (τ )dτ0

t

∫[ ]0

∞

∫ e−stdt =

u = f (τ )dτ0

t

∫

L f (τ )dτ

0

t

∫[ ] = 1

sF(s)

...−sdk −2 f (t)

dtk −2 t =0 − dk −1 f (t)dtk −1 t =0

Ldk f (t)

dtk

= sk F(s) − sk −1 f (t) t =0 − sk −2 d f (t)

dt t =0 −...

Ld 2 f (t)

dt2

= s2F(s) − sf (t) t =0 − d f (t)

dt t =0

= − f (t) t =0 + sF(s)

L

df (t)

dt

= df (t)

dt0

∞

∫ e−stdt = e−st f (t)[ ] o

∞+ f (t)

0

∞

∫ se−stdt

74

• Traslazioa denboran zehar


(3.32)

f (t –τ) = 0 bada 0 < t < τ tartean, 3.2. Irudian agertzen den bezala.

3.2 Irudia

(3.33)

u = t – τ egiten bada, orduan

(3.34)

• Traslazio konplexua


(3.35) L e−at f (t)[ ] = F(s + a)

L f (t − τ )[ ] = f (u)e−s(u+τ )

0

∞

∫ du = e−sτ f (u)e−su

0

∞

∫ du = e−sτ F(s)

L f (t − τ )[ ] = f (t − τ )e−st

0

∞

∫ dt = f (t − τ )e−stdtτ

∞

∫

L f (t − τ )[ ] = e−sτ F(s)


f(t)

f(t–τ)

t

tτ

• Hasierako balioaren eta Azken balioaren Teoremak

Hasierako balioaren teoremak hauxe esaten du,

(3.36)

eta azken balioaren teorema berriz, honako hau da,

(3.37)

limiteak existitzen direla ziurtatuz. Hauek, transformazioaren bitartez, f(t) funtzioak t = 0

nahiz t = ∞ denean hartuko dituen balioak zuzenki ematen dituzte eta, ondorioz, oso

baliagarriak izango dira.

3.5. FUNTZIO BATZUEN TRANSFORMAZIOAK

3.5.1. Inpultsu funtzioa (δ(t))

(3.38)

t = 0 denean izan ezik, beste t-ren balio guztietarako δ(t) = 0 delako.

3.5.2. Maila funtzioa (a)

(3.39)

3.5.3. Arrapala funtzioa (at)

(3.40)

L at[ ] = ate−stdt0

∞

∫ = at

se−st

0

∞

+ a0

∞

∫1

se−stdt = − a

s2e−st

0

∞

= a

s2

L a[ ] = ae−stdt0

∞

∫ = − a

se−st

0

∞

= a

s

L δ(t)[ ] = δ(t)e−stdt

0

∞

∫ = δ(t)dt = 10

∞

∫

limt→∞

f (t) = lims→0

sF(s)

limt→0

f (t) = lims→∞

sF(s)

76

3.5.4. Funtzio esponentziala (e–at)

(3.41)

3.5.5. Funtzio sinusoidala (sin ωt)

(3.42)

3.5.6. Esponentzialki murrizten den funtzio sinusoidala (e–at sin ωt)

Aurrean ikusi den bezala,

eta (3.35) ekuazioa erabiliz,

(3.43)

Ekuazio diferentzial linealak askatzeko Laplaceren transformazioa erabili aurretik,

polinomioen erroak kalkulatzeko eta frakzioen zatiketa egiteko metodoak aztertuko dira.

3.6. POLINOMIOEN ERROAK

Kontrol-teoriaren arlo askotan, polinomioen erroak kalkulatzea beharrezkoa gertatzen

da, hau da, polinomioen faktorizazioa egitea. Normalean, konputadoreak erabiltzen badira

ere, eskuzko metodoak aztertzea interesgarria izango da.

L e−atsinωt[ ] = ω(s + a)2 + ω2

sinωt = ωs2 + ω2

= 12 j

e−(s− jω)t − e−(s+ jω)t[ ]0

∞

∫ dt = 12 j

1s − jω

− 1s + jω

= ω

s2 + ω2

L sinωt[ ] = sinωte−stdt0

∞

∫ = 1

2 je jωt − e− jωt[ ]

0

∞

∫ e−stdt =

L e−at[ ] = e−ate−stdt0

∞

∫ = e−(s+a)t

0

∞

∫ dt = 1

s + ae−(s+a)t

0

∞

= 1

s + a


3.6.1. Ekuazio algebraikoen teoria sinplea

n graduko ekuazio algebraiko batek n erro dituela, gauza ezaguna da. Demagun

hurrengo ekuazioaren n erroak s1, s2, ..., sn direla,

(3.44)

Orduan, (3.44) ekuazioa eta ondoren idatziko dena berdinak izango dira,

(3.45)

eta biderkaketak eginez gero,

(3.46)

(3.44) eta (3.46) ekuazioak berdinak direnez gero, berauen koefizienteak ere berdinak

izango dira eta ondorioz,

(3.47)

hau da, erroen batuketa –a1/ao da, gainera,

(3.48)

beraz, bi erro aldi berean hartuz gero lortzen den batuketa a2/ao da. Beste kasu guztietan

berdin eginez, hurrengo formula orokorra lortzen da,

(3.49)

Formula hau oso erabilgarria izan daiteke erroak kokatzerakoan.

sii=1

n

∏ = (−1)n an

a0

sisji, j =1i≠ j

n

∑ = a2

a0

sii=1

n

∑ = − a1

a0

a0 (sn − sn−1 sii=1

n

∑ + sn−2 sisji, j =1i≠ j

n

∑ −...) = 0

a0 (s − s1)(s − s2 )....(s − sn−1)(s − sn ) = 0

a0sn + a1s

n−1+...+an−1s + an = 0

78

3.6.2. Polinomio bakoitiak

Polinomio bakoitien erroak kalkulatzerakoan eta koefiziente guztiak errealak direnez

gero, erro erreal bat behintzat agertuko da eta erro konplexuak baldin badaude, bikote

konjugatuak izango dira. Beraz, erro erreala lortzeko Newton-en metodoa erabiltzen da

eta gero, faktorizazioa egingo da polinomio bikoitia lortzeko asmoz.

3.1 Adibidea

Hurrengo funtzioaren erroak bilatu nahi dira:

(3.50)

Lehenbizi, erroen kokaera aztertzeko, polinomio horretan zeinu-aldaketa non gerta-

tzen den aztertuko da. Kasu honetan koefiziente guztiak positibo direnez gero, erro

erreala negatibo izango da. Beraz, eta s1 ezezaguna dela jakinik, balio desberdinak

frogatzen dira,

s1 = 0.0 ⇒ f(s1) = 35s1 = –1 ⇒ f(s1) = 25s1 = –2 ⇒ f(s1) = 18s1 = –3 ⇒ f(s1) = 8s1 = –4 ⇒ f(s1) = –11

Beraz, erro erreala -3 eta -4 balioen artean dago.

Newton-en metodoak dioenez, lehen estimazioa s1 denean lortzen da, bigarrena, s2

denean, hau da,

(3.51)

non, den, eta ondorioz, hurrengo estimazioak,

(3.52)si+1 = si − f (si )f ' (si )

f ' (s1) = ∂f (s)∂s

s=s1

s2 = s1 − f (s1)f ' (s1)

f (s) = s3 + 4.5s2 + 13.5s + 35 = 0


izango dira. Adibideko kasuaren erro errealaren kokaera zehatza honela lortzen da.

Demagun lehendabiziko estimazioa s1 = -3.4 dela. Orduan,

eta ondorioz,

f(-3.5) = 0 dela ikusten da eta ondorioz, ezezaguna den erro erreala s1 = -3.5 da. Polino-

mio osoa zati erro hau eginez gero,

Ondorioz, falta diren erroak,

ekuazioa askatuz lortzen direnak dira, hau da,

eta polinomio osoaren erroak hurrengoak izango dira:

s1 = −3.5

s2 = −1 2 + 39 4 j

s3 = −1 2 − 39 4 j

s = −1 ± 39 j

2

s2 + s + 10 = 0

(s3 + 4.5s2 +13.5s + 35)(s + 3.5)

= (s2 + s +10)

s2 = −3.4 − 1.817.6

= −3.5

f (−3.4) = 1.8

f ' (−3.4) = 17.6

f (s) = s3 + 4.5s2 + 13.5s + 35

f ' (s) = 3s2 + 9s + 13.5

80

3.6.3. Ordena bikoitia duten polinomioak

Kasu honetan, erro guztiak konplexuak izango dira eta faktore karratikoak Lin-en

metodoa erabiliz lortuko dira.

3.2 Adibidea

Hurrengo ekuazioaren erroak ezagutu nahi dira:

Lin-en metodoa erabiliz, faktore karratikoaren lehen estimazioa, polinomioaren

azkeneko hiru osagaiak hartu eta polinomioa zatituz lortzen da. Orduan,

hartu eta zatiketa egiten da

Hondarra zero bada, estimazioa ona izan da, bestela, kasu honetan gertatzen den

bezala, bigarren estimazioa hartuko da, lehendabizikoa baino hobea delako,

Prozesua berriro errepikatuz,

4.029s2 + 3.83s + 6 s2 + 0.95 + 1.49

s4 +2s3 +6s2 +5s +6 s2 + 0.83s + 1

−s4 −0.83s3 −s2 s2 + 1.17s + 4.029

1.17s3 +5s2 +5s

−1.17s3 −0.971s2 −1.17s

4.029s2 +3.83s +6

−4.029s2 −3.344s −4.029

0.486s −1.971→

6s2 + 5s + 6 s2 + 5 6s + 1

s4 + 2s3 + 6s2 + 5s + 6 = 0


edo

bigarren estimazioa

hondarra

edo

Beraz, hirugarren estimazioa,

izango da. Prozesu honekin jarraitzen da hondarra berdin zero egiten den arte. Kasu

honetan lortzen diren faktore karratikoak hurrengoak dira:

3.7. FRAKZIO PARTZIALEN ZATIKETA

f(s)/g(s) erlazioa, f(s) eta g(s) polinomioak direlarik eta g(s)-ren ordena f(s)-rena baino

handiagoa izanik, erlazio sinpleen batuketa bezala agertzen denean, erlazio hori frakzio

partzialen bitartez aska daitekeela esaten da. Laplace-ren alderantzizko transformazioa

egiterakoan, frakzio horien espantsioa egiten jakin behar da. Demagun honako erlazio hau

dugula,

(3.53)

orduan, beronen frakzio partzialen zatiketa honela egiten da,

= b0sm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm

(s + s1)(s + s2 )k (s2 + as + b).(s2 + cs + d)l

f (s)g(s)

= b0sm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm

sn + a1sn−1+...+an−1s + an

(n > m)

(s2 + s + 2)(s2 + s + 3)

3.51s2 + 3.44s + 6 s2 + 0.98s + 1.71

s4 +2s3 +6s2 +5s +6 s2 + 0.95s + 1.49

−s4 +0.95s3 +1.49s2 s2 + 1.05s + 3.51

1.05s3 +4.51s2 +5s

−1.05s3 −s2 −1.56s

3.51s2 +3.44s +6

−3.51s2 −3.33s −5.23

0.11s +0.77→

82

hirugarren estimazioa

hondarra

edo

(3.54)

non, A1, B1, ..., Bk, C1, D1, E1, ..., El, F1, ..., Fl kalkulatu behar diren konstanteak diren.

Arazo hau konpontzeko bi metodo desberdin erabiltzen dira. Lehenbizikoaren

oinarria, (3.53) eta (3.54) ekuazioak berdinak direla da eta ondorioz, koefizienteak ber-

dinduz, konstanteak lortuko dira. Bigarrena berriz, osagai bakoitzaren hondarraren kalku-

luari lotuta dago eta askotan, lehenbizikoa baino errazagoa da. Normalean, bi metodoen

konbinaketa erabiltzen da.

1. Metodoa

Metodo hau aztertzeko, adibide bat erabiliko da. Demagun hurrengo funtzioaren

frakzio partzialak lortu nahi direla,

Frakzioen espantsioa egiteko hurrengo zatiketa egingo da,

eta ondorioz,

Ekuazio hau identitatea denez, egia izango da s-ren balio guztietarako; beraz,

s2 + 2s + 5 ≡ A(s + 1)(s + 5)2 + Bs(s + 5)2 + Cs(s + 1)(s + 5) + Ds(s + 1)

s2 + 2s + 5s(s +1)(s + 5)2 ≡ A

s+ B

s +1+ C

(s + 5)+ D

(s + 5)2 ≡

≡ A(s +1)(s + 5)2 + Bs(s + 5)2 + Cs(s +1)(s + 5) + Ds(s +1)s(s +1)(s + 5)2

s2 + 2s − 5s(s +1)(s + 5)2

f (s)g(s)

= A1

(s + s1)+ B1

(s + s2 )+ B2

(s + s2 )2 +...+ Bk

(s + s2 )k +

+ C1s + D1

(s2 + as + b)+ E1s + F1

(s2 + cs + d)+ E2s + F2

(s2 + cs + d)2 +...+ Els + Fl

(s2 + cs + d)l


–5 ≡ A (1) (25)

s = 0 denean,

A = –1/5

–6 ≡ B (–1) (16)

s = – 1 denean,

B = 3/8

10 ≡ D (–5) (–4)

s = –5 denean,

D = 1/2

Honekin, C besterik ez da gelditu kalkulatu gabe. Orduan, s3-ren koefizienteak berdin-

duz gero,

eta beraz, C = –A – B = –7/40

2. Metodoa

Demagun

(3.55)

dela, eta beronen espantsioa,

(3.56)

non, A, B, C1, ..., Ck hondarrak izango diren. Beraz,

(3.57)f (s)

(s + s1)(s + s2 )(s + s3 )k = A

s + s1

+ B

s + s2

+ C1

s + s3

+...+ Ck

(s + s3 )k

f (s)g(s)

= A

s + s1

+ B

s + s2

+ C1

s + s3

+...+ Ck

(s + s3 )k

f (s)g(s)

= f (s)(s + s1)(s + s2 )(s + s3 )k

0 ≡ A + B + C

84

Orain, bi aldeak (s + s1) terminoaz biderkatzen badira eta geratzen den identitatearen

balioa s = –s1 puntuan kalkulatuz,

(3.58)

izango da. Beste termino guztiak (s + s1) zenbakitzailean dutenez, s – s1 egiterakoan, zero

izango dira. Berdin egiten bada s – s2 denean,

(3.59)

kalkulatzen da. Erroa anizkuna den kasuan berdin egiten bada, Ck besterik ez da kalkula-

tuko: (3.57) ekuazioaren bi aldeak (s + s3)k terminoaz biderkatu eta s – s3 eginez, hau da,

C1, C2, ..., Ck koefizienteak kalkulatzeko, (3.57) ekuazioaren bi aldeak (s + s3)k biderka-

tzen dira

(3.60)

Orduan, bi aldeak s-rekiko deribatuz eta lortzen den ekuazioaren balioa s – s3 denean

kalkulatuz gero,

(3.61)

lortzen da. (3.60) ekuazioa behin eta berriro deribatuz, Ck–2, ..., C1 koefizienteen balioak

kalkulatuko dira.

Ck −1 = d

ds

f (s)(s + s1)(s + s2 )

s=−s3

= A(s + s3 )k

s + s1

+ B(s + s3 )k

s + s2

+ C1(s + s3 )k −1 + C2 (s + s3 )k −2 +...+Ck −1(s + s3 ) + Ck

f (s)(s + s1)(s + s2 )

=

Ck = f (s)(s + s1)(s + s2 )

s=−s3

B = f (s)(s + s1)(s + s3 )k

s=−s2

A = f (s)(s + s2 )(s + s3 )k

s=−s1


3.3 Adibidea

Hurrengo erlazioaren espantsioa lortu nahi da,

beraz,

non,

eta gainera,

B2 lortzeko, identitatearen bi aldeak (s + 5)3 terminoaz biderkatzen dira,

eta s-rekiko deribatuz,

s = –5 denean ekuazio honen balioa kalkulatuz, B2 = –1/64 dela ikusten da. Berriro

deribatuz,

eta s = –5 denean ekuazioaren balioa kalkulatuz, B1 = –1/64 da.

2(s +1)3 = A

d 2

ds2

(s + 5)3

s +1

+ 2B1

− 1(s +1)2 = A

d

ds

(s + 5)3

s +1

+ 2B1(s + 5) + B2

1s +1

= A(s + 5)3

s +1+ B1(s + 5)2 + B2 (s + 5) + B3

B3 = 1(s +1)

s=−5

= −1 4

A = 1(s + 5)3

s=−1

= 1 64

1(s +1)(s + 5)3 = A

(s +1)+ B1

(s + 5)+ B2

(s + 5)2 + B3

(s + 5)3

1(s +1)(s + 5)3

86

3.8. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN EBAZPENALAPLACE-REN TRANSFORMAZIOA ERABILIZ

Orain, n ordenako ekuazio diferentzialen ebazpenean Laplace-ren transformazioa era-

biltzeak nola laguntzen duen aztertuko da, hasierako baldintzak beti zero direla kontutan

izanik. Beraz, (3.27), (3.28) eta (3.29) ekuazioetan bilatutako erantzunak kontutan hartuz,

(3.1) ekuazioaren Laplace-ren transformazioa hurrengoa izango da:

(3.62)

non, X(s) eta U(s), hurrenez hurren, x(t) eta u(t) funtzioen Laplace-ren transformazioak

diren. (3.62) ekuazio algebraikoa da eta ondorioz, beste hau lortzeko erabil daiteke:

(3.63)

(3.63) ekuazioak U(s) sarrera eta X(s) irteeraren trasformazioen arteko erlazioa aur-

kezten du; eta parentesien artean dagoenari transferentzi funtzioa esaten zaio, hasierako

baldintzak zero direnean. Kontrol-lanean, transferentzi funtzioa zeharo garrantzitsua da

eta normalean, sistema linealetan hasierako baldintzak zero badira, eredu matematikoak

transferentzi funtzioaren bidez aurkezten dira. Gainera, inpultsu funtzioaren transforma-

zioa unitatea denez gero, transferentzi funtzioa sistemaren sarrera inpultsua izango balitz

lortuko litzatekeen erantzunaren transformazioa da.

Bestalde, (3.15) ekuazioaren erroak sistemaren egonkortasuna ematen zuten antzera,

(3.63) ekuazioko izendatzailearen erroek berdin jokatzen dute. Izatez, (3.15) ekuazioa eta

(3.63) ekuazioaren izendatzailea berdinak dira eta ondorioz, erro berberak dituzte. Hau ez

da harritzekoa, zeren biak gauza berbera aurkezteko era desberdinak baitira. Beraz, egon-

kortasuna lortzeko, transferentzi funtzioaren izendatzaileko erroen zati errealek negatibo

izan behar dute.

(3.1) ekuazioan x(t) denboran zehar sistemak duen erantzuna lortzeko, (3.63) ekua-

zioaren Laplaceren alderantzizko transformazioa egingo da, hurrengo urratsak jarraituz:

X(s) = bosm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm

aosn + a1s

n−1+...+an−1s + an

U(s) (n > m)

a0sn X(s) + a1s

n−1X(s)+...+an−1sX(s) + an X(s) =

= b0smU(s)+...+bmU(s)


1) U(s) transformazioa egin

2) izendatzailea faktorizatu

3) lortutako erlazioa frakzio partzialetan jarri

4) Laplaceren taula alderantziz erabili, frakzio bakoitzaren denbora-funtzioa lortzeko

5) funtzio sinple horien batuketa eginez, x (t) erantzuna lortu.

Metodo hau, hurrengo adibidearekin argituko da. Ekuazioaren erantzuna lortu behar

da bi kasu ezberdinetan.

1) hasierako baldintzak zero direnean eta u(t), inpultsu funtzioa denean

2) x(0) = 2, dx(0)/dt = 0 eta u(t) maila-funtzioa denean

1) Ekuazioaren transformazioa egingo da hasierako baldintzak kontutan hartuz.

ondorioz,

eta frakzio sinpletan jarriz gero,

non A = 2 eta B = –2. Beraz,

transformazioaren taula erabiliz,

ekuazio diferentzialaren erantzuna delarik.

x(t) = 2e−t − 2e−2t

X(s) = 2s +1

− 2s + 2

X(s) = A

s +1+ B

s + 2

X(s) = 2s2 + 3s + 2

= 2(s +1)(s + 2)

s2X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = 2U(s) = 2

d 2x(t)dt2 + 3

dx(t)dt

+ 2x(t) = 2u(t)

88

2) Berriro transformazioa egingo da hasierako baldintzak kontutan hartuz.

zeren,

eta,

ondorioz,

eta,


ondorioz,

eta 1) kasuan lortutako erantzunaren antzekoa denez gero, bi kasuetan erantzuna egon-

korra dela esan daiteke.

x(t) = 1+ 2e−t − e−2t

X(s) = 1s

+ 2s +1

− 1s + 2

X(s) = 2s2 + 6s + 2s s2 + 3s + 2( )

s2 + 3s + 2( )X(s) = 2s + 6 + 2s

= 2s2 + 6s + 2s

s2 X(s) − s2 − 0 + 3 sX(s) − 2[ ] + 2 X(s)[ ] = 21s

s2 X(s) − 2s + 3sX(s) − 6 + 2X(s) = 2s

s2 X(s) − sx(t) t =0 − dx(t)dt t =0 + 3 sX(s) − x(t) t =0[ ] + 2X(s) = 2U(s) = 2

1s

s2 X(s) − 2s + 3sX(s) − 6 + 2X(s) = 21s


3.9. BIGARREN ORDENAKO EKUAZIO DIFERENTZIALAK

Aurreko kapituluan sistema mekaniko nahiz elektriko batzuen eredu matematikoak

lortu ziren, bigarren ordenako ekuazio diferentzial linealen forma zutelarik. Geroago iku-

siko da, analisia egiterakoan, ordena garaiagoko sistemetan, bigarren ordenako ekuazioen

bitartez egindako hurbilketak baliotsuak gertatzen direla. Horregatik, ekuazio-mota hau

ongi ulertzea oso garrantzitsua da.

Demagun bigarren ordenako ekuazio diferentzialen ordezkari bezala hurrengo

ekuazioa hartzen dela,

(3.64)

non x(t) irteera den, u(t) sarrera den, ξ moteltze-faktorea den eta ωn moteldu gabeko

maiztasun naturala den. Aurrerago aztertuko da termino bakoitzaren esanahia.

Sistema mekaniko baten kasuan,

eta sistema elektrikoan,

Orain, hasierako baldintzak zero direla kontutan hartuz, (3.64) ekuazioaren transfor-

mazioa egiten da,

(3.65)

hau da,

(3.66)

parentesien artean dagoena transferentzi funtzioa delarik. Sarrera bezala maila unitarioa

jarriz gero,

X(s) = ωn2

s2 + 2ξωns + ωn2

U(s)

s2 X(s) + 2ξωnsX(s) + ωn2 X(s) = ωn

2U(s)

2ξωn = R

L; ωn

2 = 1LC

2ξωn = R

m; ωn

2 = k

m

d 2x(t)dt2 + 2ξωn

dx(t)dt

+ ωn2x(t) = ωn

2u(t)

90

(3.67)

hau da,

(3.68)

Ikusten denez, ξ > 1; ξ = 1 edo ξ < 1 balioaren arabera, izendatzailearen erroak erralak

eta desberdinak, errealak eta berdinak edo konplexuak (konjugatu eran) izango dira.

Ondoren, hiru kasuen azterketa egingo da.

3.9.1. Erro errealak eta desberdinak (ξξ > 1)

Kasu honetan,

non,

Laplaceren alderantzizko transformazioa eginez,

(3.69)

Erantzun hau 3.3. Irudian aurkezten da, ξ-ren bi balio ezberdinen kasuan.

x(t) = 1 + Ae−s1t + Be−s2 t

B = 1

−2ξ ξ 2 −1( ) + 2 ξ 2 −1( )

A = 1

2ξ ξ 2 −1( ) + 2 ξ 2 −1( )

s2 = ξωn − ξ 2 −1( )ωn

s1 = ξωn + ξ 2 −1( )ωn

X(s) = 1s

+ A

s + s1

+ B

s + s2

X(s) = ωn2

s s + ξωn + ξ 2 −1( )ωn[ ] s + ξωn − ξ 2 −1( )ωn[ ]

X(s) = ωn2

s(s2 + 2ξωns + ωn2 )


3.3. Irudia

Ikusten denez, ξ handitzen den bezala erantzuna moteldu egiten da eta sistema meka-

nikoetan ξ-en handitzeak marruskadurarekin du zerikusia, beste aldagai guztiak konstante

mantenduz. ξ > 1 denean, sistema gain moteldua dagoela esango da.

3.9.2. Erro berdinak (ξξ = 1)

Kasu honetan,

eta Laplaceren alderantzizko transformazioa eginez,

(3.70)

3.3 irudian ikusten den bezala, ξ = 1 denean, sistema kritikoki moteldua dagoela esaten

da.

3.9.3. Erro konplexu konjugatuak (ξξ< 1)

(3.67) ekuaziotik,

X(s) = ωn2

(s2 + 2ξωns + ωn2 )s

x(t) = 1 − e−ωnt − ωnte−ωnt = 1 − e−ωnt 1 + ωnt( )

X(s) = ωn2

s s + ωn( )2 = 1s

− 1s + ωn

− ωn

s + ωn( )2

92

x(t)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7ωnt

ε = 1.0

ε = 4.0

E t a i z e n d a t z a i l e a n p a r e n t e s i a r t e a n d a g o e n s i s t e m a r e n e r r o a k

s1, s2 dira, 3.4 Irudian ikusten den bezala. cos Φ = ξmoteltze-faktorea da.

3.4 Irudia

Ondorioz,

Laplaceren alderantzizko transformazio-taulak erabiliz,

(3.71)

(3.72)

non, den.Φ = tan−1 1 − ξ 2

ξ

= 1 − 1

1 − ξ 2( )ωn

e−ξωnt sin 1 − ξ 2( )ωnt + Φ( )

= 1 − e−ξωnt cos 1 − ξ 2( )ωnt + ξ

1 − ξ( )2 ωn

sin 1 − ξ 2( )ωnt

=

x(t) = 1 − e−ξωnt cos 1 − ξ 2( )ωnt − e−ξωnt ξωn

1 − ξ( )2 ωn

sin 1 − ξ 2( )ωnt =

= 1s

− s + ξωn

s + ξωn( )2 + 1 − ξ( )2 ωn2

− ξωn

s + ξωn( )2 + 1 − ξ 2( )ωn2

X(s) = ωn2

s s + ξωn( )2 + 1 − ξ 2( )ωn2[ ] = 1

s− s + 2ξωn

s + ξωn( )2 + 1 − ξ 2( )ωn2

=

= −ξωn ± j 1 − ξ 2( )ωn


Irudikaria

Erreala

ωn

Φ

ξωn

(1–ξ2) ωn

ξ faktorea 0 eta 1 tartean aldatzen denean, sistema honen erantzuna 3.5 Irudian ikus-

ten da. Argi dago, ξ dela erantzuna aldatzen duena eta ωn-ren eragina denboran besterik

ez da ikusten. ξ = 0 denean, (motelketarik gabe), erantzuna sinusoidala da ωn duelarik

maiztasun naturala. ξ handitzen den neurrian, erantzunak ez dira hain oszilakorrak,

dutelarik maiztasun bezala, hau da, moteldutako maiztasuna.

Gainera, gaindiketaren portzentaia gero eta txikiagoa da.

3.5 Irudia

(3.73)

Baliorik handiena hartzen den momentuan , eta (3.72) ekuazioa erabiliz,

(3.74)

den unean,

hau da,

ωdt + Φ = tan−1 1 − ξ 2

ξ

tan ωdt + Φ( ) =1 − ξ 2

ξ

dx(t)

dt= ξωn

1 − ξ 2e−ξωnt sin ωd( t + Φ) − ωde−ξωnt cos ωd( t + Φ) = 0

dx(t)dt

= 0

Gaindiketaren portzentaia =

= 100x(t) − ren baliorik handiena − egoera egonkorreko balioa

egoera egonkorreko balioa

ωd = ωn 1 − ξ 2( )

94

2

x(t)

1

0 5

0.0

0.1

0.2

0.5

0.7

10ωnt

eta ondorioz,

edo,

(3.75)

x(t) erantzunaren baliorik handiena n = 1 denean gertatzen da,

(3.76)

eta (3.72) ekuazioa erabiliz, beronen balioa hurrengoa da

(3.77)

Beraz, gaindiketaren portzentaia izango da 3.6 Irudian ikusten den

bezala.

3.6. Irudia

Azkenik, ξ < 1 denean, sistema azpimoteldua dagoela esan daiteke.

3.4 Adibidea

Hurrengo ekuazioaren erantzuna lortu Laplace erabiliz,

100e− ξπ / 1−ξ 2[ ]

xmax = 1 + e− ξπ / 1−ξ 2[ ]

tmax = πωn 1 − ξ 2

t = nπωd

= nπωn 1 − ξ 2

, n = 0,1,2,3,...

ωdt = nπ


100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ξ

GaindiketarenPortzentaia

non u(t) maila unitarioa den eta hasierako baldintza guztiak zero diren.

eta ondorioz,

Orain izendatzailearen faktorizazioa egin behar da eta koefiziente guztiak positibo

direnez gero, erro erreala negatibo izango da. Beraz, eta froga batzuk egin ondoren,

s1 = 0 denean

f(s1) = 4

s1 = –1 denean

f(s1) = 1

eta s1 = –2 denean

f(s1) = 0

Beraz (s+2) faktore bat da eta besteak bilatu behar dira:

s3 + 4s2 + 6s + 4 s + 2

− s3 + 2s2( ) s2 + 2s + 2

− − − − − − −

2s2 + 6s

– 2s2 − 4s

− − − − − − − 2s+ 4

– 2s − 4

X(s) = 4s s3 + 4s2 + 6s + 4( )

s3X(s) + 4s2 X(s) + 6sX(s) + 4X(s) = 4s

d3x(t)dt3 + 4

d 2x(t)dt2 + 6

dx(t)dt

+ 4x(t) = 4u(t)

96

eta s3 + 4s2 + 6s + 4 = (s+2) (s2+2s+2) eta faktore karratikoak hurrengo erro konple-

xuak izango ditu –1±j. Ondorioz,

non A = 1, B = –1 eta beraz,

eta s3 koefizienteak berdinduz,

s-ren koefizienteak berdinduz,

Eta sistemaren erantzuna,

eta Laplaceren alderantzizko transformazioa eginez,

3.10. BIBLIOGRAFIA

• D’Azzo J.J., Houpis C.H., 1981, "Linear Control System Analysis and Design",

McGraw-Hill Series in Electrical Engineering.

• D’Souza A.F., 1988, "Design of Control Systems", Prentice-Hall International

Editions, Englewood Cliffs, N.J.

x(t) = 1− e−2t − 2e−tsint

X(s) = 1s

− 1s + 2

− 2(s +1)2 +1

0 ≡ 6 − 2 + 2D ⇒ D = −2

0 ≡ 1− 1+ C ⇒ C = 0

4 ≡ (s + 2)(s2 + 2s + 2) − s(s2 + 2s + 2) + (Cs + D)s(s + 2)

X(s) = 4s(s + 2)(s2 + 2s + 2)

= A

s+ B

s + 2+ Cs + D

s2 + 2s + 2


• Hostetter G.H., Savant Jr. C.J., Stefani R.T., 1982, "Design of Feddback Control

Systems", Holt-Saunders International Editions, Japan.

• Marshall S.A., 1978, "Introduction to Control Theory"; McMillan Publishers L.T.D.

• Ogata K., 1970, "Modern Control Engineering", Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,

N.J.

3.11. ARIKETAK

3.1. Hasierako printzipioak erabiliz, hurrengo funtzioen Laplaceren transformazioak

lortu,

a)

b)

c)

3.2. Taulak erabiliz, hurrengo funtzioen Laplaceren transformazioak lortu nahi dira,

a)

b)

c)

d)

3.3. Hurrengo funtzioak frakzio partzialen bitartez aurkeztu,

a) F(s) = 1s3 + 3s2 + 2.75s + 0.75

f (t) = 3.72sin(5t − 68.2°) + 3.45e−2t

f (t) = 0.06e−3t sin(4t − 104°) + 0.059e−2t

f (t) = 12

t2e−2t − te−2t + e−2t − e−3t

f (t) = 23

− 12

e−t − 16

e−3t

cosh at

at − 1− e−at

cosωt

98

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m) F(s) = 52s(s2 + 2s + 2)(s2 +10s + 26)

F(s) = 20s(s2 + 2s + 2)(s2 + 6s +10)

F(s) = 10(s2 + 2.2s +10.21)s(s +1)(s2 + 2s +10)

F(s) = 10(s +1.01)s(s +1)(s2 + 2s +10)

F(s) = 30(s +1)s(s + 3)(s2 + 6s +10)

F(s) = 30s(s + 3)(s2 + 6s +10)

F(s) = 2(s + 2)s2 (s +1)(s + 4)

F(s) = 10s(s2 + 2s +10)

F(s) = 10s(s + 2)(s + 5)

F(s) = 5(s +1)(s + 5)

F(s) = 1s5 + 4s4 + 9s3 +12s2 +10s + 4

F(s) = s + 2s3 + 3s2 + 2.75s + 0.75


n)

o)

3.4. Hurrengo funtzioetatik, f(t) funtzioak lortu,

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) F(s) = 0.9524(s2 + 2s + 2.1)s(s +1)(s2 + 2s + 2)

F(s) = 20s4 + 9s3 + 30s2 + 42s + 20

F(s) = 1s3 + 7s2 + 20s + 24

F(s) = 100(s2 + 25)(s + 2)

F(s) = 1(s2 + 6s + 25)(s + 2)

F(s) = 1(s + 2)3(s + 3)

F(s) = s + 2s(s +1)(s + 3)

F(s) = 39s(s2 + 4s +13)(s + 3)

F(s) = 10(s +1)2 (s2 + 2s + 2)

F(s) = 100s2 (s +10)(s2 + 6s +10)

F(s) = 10(s2 + 2s + 2.21)s(s2 + 6s +10)(s2 + 2s + 2)

100

j)

k)

3.5. Hurrengo funtzioen hasierako baldintzak eskuinaldean daudenak direlarik, berauen

Laplaceren transformazioak lortu nahi dira.

a)

b)

c)

d)

3.6. Hurrengo funtzioen azken balioak lortu,

a)

(i) u(t) sarrera maila unitarioa eta hasierako baldintza guztiak zero direnean.

(ii) u(t) sarrera maila unitarioa denean eta x(0) = 1, dx(t)/dt = 0 direnean,

(iii) u(t) = e–2t eta hasierako baldintza guztiak zero direnean.

b) 2.5 Irudiko sistemarena, m = 1, R = 2, k = 1, u(t) maila sarrera eta hasierako

baldintzak zero direnean.

3.7. 3.6 ariketako funtzioen hasierako balioak aurkitu.

d 2x(t)dt2 + 2dx(t)

dt+ 5x(t) = 5u(t)

x(0) = −4, dx(0)

dt= 1,

d 2x(0)dt2 = 0

d3x

dt3 + 4d 2x

dt2 +14dx

dt+ 20x = sin5t

x(0) = 0, dx(0)

dt= −2d 2x

dt2 + 3dx

dt+ 2x = t

x(0) = 2, dx(0)

dt= −4d 2x

dt2 + 2dx

dt+ 5x = 10

x(0) = 2dx

dt+ 4x = 0

F(s) = 16(s +1)(s +10)s(s + 2)3(s2 + 6s +10)

F(s) = 1.82(s +1.1)s(s +1)(s2 + 2s + 2)


3.8. Hurrengo ekuazio diferentzialaren emaitza lortu,

(i) u(t) sarrera maila unitarioa eta hasierako baldintza guztiak zero direnean.

(ii) u(t) sarrera maila unitarioa denean eta x(0) = 1, dx(t)/dt = 0 direnean,

(iii) u(t) = e–2t eta hasierako baldintza guztiak zero direnean.

3.9. 2.5 Irudian agertzen zen sistema mekanikoaren eredu matematikoa lortu m=1, R=2

eta k=2 direnean (unitateak egokiak direlarik), eta eredu matematiko horren

portaera aztertu u(t) sarrera maila unitarioa eta hasierako baldintzak zero badira.

3.10. Hurrengo funtzioaren x(t) erantzun osoa lortu,

hasierako baldintzak zero direnean eta f(t) funtzioak hurrengo balioak hartzen

dituenean

a) δ(t) b) 10 u(t)

c) t d) t2

d3x

dt3 + 6d 2x

dt2 +10dx

dt+ 8x = df (t)

dt+ 2 f (t)

d 2x(t)dt2 + 2dx(t)

dt+ 5x(t) = 5u(t)

102

4.1. SARRERA

Sistema fisikoaren analisia egiterakoan lehen urratsa, sistemaren ezaugarriak azter-

tzeko behar den eredu matematikoa ateratzea izango da. Zentzu batean, sistemaren eredua

sistemaren osagaien eta teoriaren arteko erlazioak aurkezteko erabiltzen den zerbait bes-

terik ez da. Normalean, sistema fisiko zehatz batentzat, eredu bat baino gehiago izango

dira erabilgarriak. Horien artean, gehien erabiltzen direnak eta arruntenak hurrengoak

dira:

• Analogia zuzena: Eskalaz egindako berregintzak edota eredu analogikoak

• Aurkezpen grafikoa: Bloke-diagramak eta fluentzia-grafoak

• Aurkezpen matematikoa: Ekuazio diferentzialak, egoerako ekuazioak, transferentzi

funtzioak erabiltzen dituzten erlazioak, aurkezpen matrizialak, etab.

Analogia zuzena sistema fisiko baten berregintza da, eskalaz edo eskala gabe egin-

dakoa. Aurkezpen hau beharrezkoa da kasu askotan, egoera bereziak direla eta benetako

sistemaren azterketa zuzena ezin delako egin.

Ekuazio matematikoek nahiz grafikoki egindako sistema fisiko baten aurkezpenak

tresna matematiko eta topologiko egokien erabilera ahalbidetzen du, hau da, ekuazio dife-

rentzial eta bloke-diagramen erabilera. Praktikan, sistema konplexu baten aurkezpen ma-

tematiko zehatza egitea oso zaila gertatzen da, baina sistemaren berezitasunei buruzko

suposizio zuzenak eginez gero, gutxi gora-beherako azterketaren bitartez, oso informazio

baliotsua lor daiteke.

Guzti hau hobeto ulertzeko, sistema fisiko guztiak, hein batean behintzat, linealak ez

direla suposatu behar da eta ondorioz, sistema horien tratamendu matematikoa oso zaila

da. Beraz, funtzionamendu-puntutik hurbil dagoen eremu batean, sistema horrek lineala

balitz bezala jokatzen duela pentsatuko da. Kasu batzuetan, suposizio hori nahikoa


4. KONTROL-SISTEMEN AURKEZPENA

onargarria gertatzen da eremu zabaletan baino beste batzuetan berriz, linealtasuna

suposatzeak benetako funtzionamendutik oso urrun dagoen funtzionamendura eraman

dezake. Zehazki, benetan lineala den sistemarik ez dago eta sistema fisiko baten eredu

lineala beronen tratamendu matematikoa erraztearren besterik ez da erabiltzen.

Sistema fisikoa bere eredu linealaren bitartez ordezkatzen denean lege fisikoak erabi-

liz, sistemaren ekuazioak lortzen dira. Adibidez, sistema elektrikoentzat, Ohm, Kirchhoff,

Lenz eta abarren legeak aplikatzen dira eta sistema mekanikoetan berriz, Newton-enak.

Sistema fisiko bat aurkezten duten ekuazioak era askotakoak izan daitezke. Adibidez,

sare elektriko baten ekuazioak, mailak, korapiloak edota egoera-ekuazioak erabiliz idatz

daitezke. Kasu bakoitzean, nahi den informazioa eta zirkuituaren konfigurazioaren ara-

bera, bat edo bestea erabiliko dira. Orokorrean, sistema baten aurkezpena egiteko ekuazio

integro-diferentzialak erabiltzen dira, hau da, independenteak ez diren aldagaien integra-

lak eta deribatuak dituztenak. Kontrol-sistemen teoria modernoan, lehen ordenako

ekuazio diferentzialak erabiltzea da komenigarriena. Ekuazio horiek egoerako ekuazioak

dira. Sistemaren ekuazioak lortutakoan, metodo klasikoak (transformazioak) edota

kalkulagailuak erabiliz, ebatzi egiten dira.

Sistemaren ikerketa egiterakoan analisi lineala edo lineala ez dena erabiltzen denean

jarraitzen diren urratsak hurrengo grafikoan aurkeztutakoak dira (4.1 Irudia).

4.1 Irudia.

104

Lege fisikoak

Lege fisikoaketa hurbilketak

Hurbilketa etalinealizazioa

Hurbilketak

Tresna eta kalkulumatematikoak

Tresna eta kalkulumatematikoak

Emaitza

Emaitza

Baliokidea densistema lineala

Baliokidea densistema

ez-lineala

SistemaFisikoa

Eredu linealaaurkezten dutenekuazio linealak

Eredu linealaaurkezten duten

ekuazio ez linealak

4.2. TRANSFERENTZI FUNTZIOAK

Sistema lineala aurkezteko oso metodo ezaguna, sarrera eta irteeraren arteko erlazioa

da. Demagun sarrera eta irteera bakarra dituen sistema lineala hurrengo ekuazio lineala-

ren bitartez aurkezten dela,

(4.1)

non, c (t) irteerako seinalea den,

r (t) sarrerako seinalea den, eta

ai eta bi guztiak konstanteak diren.

(4.1) ekuazio diferentzialak sarrera eta irteeraren artean sistemak duen portaeraren

aurkezpen zehatza ematen du. Sarrera eta hasierako baldintzak finkatuz gero, (4.1) ekua-

zioaren emaitza erantzuna da. Bestalde, ekuazio diferentzial honen erabilera zaila gerta

daiteke eta gainera ez da oso praktikoa diseinua egiterakoan.

Transferentzi funtzioa eta erantzun inpultsionalaren kontzeptuak erabiliz, asko

errazten da sistemen aurkezpena. Aipatutako bi aurkezpenak oso erabilgarriak dira eta

aplikazio-eremuen eta ezaugarrien arabera hautatuko dira.

(4.1) ekuazioan Laplace-ren transformazioa eginez eta hasierako baldintza guztiak

zero direla suposatuz, hurrengo ekuazioa lortzen da:

(4.2)

Sistema baten transferentzi funtzioa C(s) eta R(s) seinaleen arteko zatiketa da, eta,

ondorioz,

(4.3)G(s) = C(s)R(s)

= b0sm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm

a0sn + a1s

n−1+...+an−1s + an

a0sn + a1s

n−1+...+an−1s + an( )C(s) = b0sm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm( )R(s)

a0

dnc(t)dtn + a1

dn−1c(t)dtn−1 +...+an−1

dc(t)dt

+ anc(t) =

= b0

dmr(t)dtm + b1

dm−1r(t)dtm−1 +...+bm−1

dr(t)dt

+ bmr(t)


Sistema lineal baten ezaugarriek sistemaren elementuen ezaugarriekin bakarrik dute

zerikusia eta, beraz, G(s) transferentzi funtzioa sistemaren osagaien berezko ezaugarria

da; hau da, sarrera edo hasierako baldintzen aldaketek transferentzi funtzioan ez dute

eraginik. Linealak ez diren sistemen kasuan transferentzi funtzioa ez dela definitzen azpi-

marratu behar da, baina hurbilketa batzuk erabiliz eta ez-linealtasun berezi batzuentzat, ia

linealak diren transferentzi funtzioak erabil daitezke.

Analisiko ariketetan, sistemaren transferentzi funtzioa ezaguna da eta irteeraren

transformazioa kalkula daiteke hurrengo ekuazioa erabiliz,

(4.4)

C(s) kalkulatu ondoren, denboran zehar sistemak duen erantzuna jakiteko, Laplace-

-ren alderantzizko transformazioa egiten da.

4.1 Adibidea

Aldagai bakarra duen eta lineala den hurrengo sistemaren transferentzi funtzioa

kalkulatu behar da, (4.2 Irudia).

4.2 Irudia

Mailen ekuazioa erabiliz,

(4.5)

non, es(0+), C kondentsadorearen armaduren artean zegoen hasierako tentsioa den.

(4.5) ekuazioan Laplace-ren transformazioa eginez eta hasierako baldintzak zero

direla suposatuz, hurrengo erlazioa lortzen da:

ee (t) = Ri(t) + Ldi(t)dt

+ 1C

i(t)dt + es0

t

∫ (0+ )

C(s) = G(s)R(s)

106

ee(t)es(t)

i(t)

C

R L

(4.6)

i(t) korrontea irteerako aldagai bezala hartuz gero, ee(t) eta i(t) seinaleen arteko

erlazioa transferentzi funtzioa da,

(4.7)

Irteera bezala es(t) tentsioa hartzen bada, ee eta es seinaleen arteko transferentzi

funtzioa kalkulatzeko,

(4.8)

eta, ondorioz,

(4.9)

Transferentzi funtzioaren definizioa sarrera eta irteera bat baino gehiago dituzten

sistemetan ere erabil daiteke, hau da, aldagai anitzeko sistemetan. Sistema hauetan, (4.1)

erako ekuazio diferentzial bat behar da sarrera/irteera bakoitzaren erlazioa aurkezteko.

Gainera, (4.3) transferentzi funtzioa ere desberdina izango da aldagaien arteko elkarrekin-

tzak aurkezteko.

4.3. BLOKE-DIAGRAMAK

Sistema konplexuen diagrama zehatza egitea zaila denez gero, bloke-diagramak era-

biltzen dira erraztasunagatik. Sistema fisiko baten bloke-diagrama eta transferentzi fun-

tzioa erabiliz, sistema horretako sarrera eta irteeraren tartean zer gertatzen den argi ikus-

ten da.

Es (s)Ee (s)

= 11 + RCs + LCs2

Es (s) = 1Cs

I(s)

I(s)Ee (s)

= 1

R + Ls + 1Cs

= Cs

1 + RCs + LCs2

Ee (s) = R + Ls + 1Cs

I(s)


4.3 Irudia.

4.4 Irudia.

Adibidez, 4.3 Irudian ikusten den transferentzi funtzioaren bloke-diagrama 4.4 Irudian

agertzen dena da. Diagrama horretan, seinaleen norantza geziek adierazten dutena dela

argi dago.

Sarrera eta irteera bakarreko sistema guztiak sarrera eta irteeraren artean konek-

tatutako bloke bakar batez ager badaitezke ere, sistema guztiek osagai independenteak di-

tuzte eta bakoitzaren transferentzi funtzioa banan banan kalkulatzea garrantzitsua da.

Beraz, sistema oso bat beronen osagaien blokeen arteko konexioen bitartez ager daiteke.

Horrela, osagai bakoitzak sistemaren ezaugarri orokorretan duen zerikusia aztertuko da.

Ikus daitekeenez, 4.4 Irudian bloke-diagrama tipikoa agertzen da. Diagramaren bloke

bakoitzak sistemaren osagai bat ordezkatzen du.

4.3.1. Serbosistemen bloke-diagramak

Serbosistemen osagai garrantzitsu bat zirkuitu konparadorea da. Zirkuitu honek

grafiko osotik datozen seinaleen konexio bezala funtzionatzen du. Normalean, zirkuitu

hauek potentziometroak, bihurgailuak, anplifikadore operazionalak, etab. erabiltzen

dituzte.

Sistema linealetan, konparazio hori gehikuntzak eta diferentziak egitean datza. 4.5

Irudian, bloke-diagrametan gehien erabiltzen direnak aurkezten dira. Detektorearen

irteera sarreren gehikuntza algebraikoa dela argi dago.

108

R(s) C(s)G(s)

R(s)

C(s)Konpentsadorea Anplifikadorea Motorea eta

Karga

C(s)E(s) Gc(s) G1(s)A

4.5 Irudia. Zirkuitu konparadoreen bloke-diagramak.

Jarraian, serbosistemen bloke-diagrametako elementurik erabilienak aztertuko dira,

4.6 Irudian agertzen den bezala

4.6 Irudia. Serbosistema baten bloke-diagrama.

R(s) erreferentziako sarrera

C(s) irteerako seinalea

B(s) berrelikadurako seinalea

E(s) errore-seinalea

G(s) = C(s)/E(s) bigizta zuzeneko transferentzi funtzioa

M(s) = C(s)/R(s) bigizta itxiko transferentzi funtzioa

H(s) berrelikadura-bigiztako transferentzi funtzioa

G(s).H(s) bigizta irekiko transferentzi funtzioa

M(s) = C(s)/R(s) bigizta itxiko transferentzi funtzioa G(s) eta H(s) funtzioak erabiliz ere

idatz daiteke 4.6 Irudian ikusten den bezala.

(4.10)

(4.11)

Errore-seinalea hurrengoa da,

(4.12)E(s) = R(s) − B(s)

B(s) = H(s)C(s)

C(s) = G(s)E(s)


r

c

e=r–c

a) Diferentzia b) Gehikuntza c) Gehikuntza eta Diferentzia

e=r+c e=r1+r2–c

c c

r r1

r2

G(s)

H(s)

R(s)r(t)

B(s)b(t)

E(s)e(t)

C(s)c(t)

eta (4.12) ekuazioa (4.10) ekuazioan sartuz gero,

(4.13)

Orduan, (4.11) ekuazioa (4.13) ekuazioan sartzen da,

(4.14)

eta, ondorioz, bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa izango da,

(4.15)

Sistema konplexu baten bloke-diagramak berrelikadurako-bigizta asko ditu eta,

ondorioz, transferentzi funtzioa kalkulatzerakoan zaila gertatzen da metodo algebraikoa

erabiltzea. Horregatik, bloke-diagramen erredukzioak erabiltzen dira, 4.1 Taulan aurkez-

ten diren bezala.

4.2 Adibidea. Elkarrekintzak dituen sistema konplexua

Demagun 4.7 Irudiko sistemarekin lan egin behar dela. Bi tankeen artean elkarre-

kintza agertzen denez gero, sistema osoaren transferentzi funtzioa ez da bi tankeen trans-

ferentzi funtzioen biderkaketa soila izango

4.7 Irudia.

Ekuazio diferentzial linealen deskribapena lortzeko, likido-mailaren eta fluxuaren

aldaketa txikiak gertatzen direla suposatuko da, horiek guztiak egoera egonkorrean edota

operazio-puntutik oso hurbil kokatuta daudelarik. Kasu honetan erabiliko diren alda-

gaien deskribapena hurrengoa da:

M(s) = C(s)R(s)

= G(s)1 + G(s)H(s)

C(s) = G(s)R(s) − G(s)H(s)C(s)

C(s) = G(s)R(s) − G(s)B(s)

110

Q+q

C1

R1

C2R2

H1 + h1

Q1 + q1 Q2 + q2

H2 + h2


4.1 Taula

Bloke-diagramen erredukzioak egiteko erregelak

1

Hasierako Bloke-diagrama Diagrama baliokideak

A

B C

A–B A–B+C

A

A G1AG1 G2

AG1G2 A G1AG2G2

AG1G2

A

A

A AG–B

B

A G

G

AG

AG

G

AG

A

A

A

BA

B

B

A–B

A–B

A

G

1GAG

AG

AG

BG

AG–BG

B

G

1G

A–

B–G

B–G

AG1G2G1G2A G1AG1 G2

AG1G2

A G1AG1

AG2G2

GAG AG–BA

B

GA–B AG–BG

A

G AG

AG

A

GAGA

A

A–B

A–B

A

AG1

AG1 AG1+AG2AG1+ AG2

G2

A BG1

G2

A BG1

G2

G2

G2

1G2

1G2

G1

G1

BA G11+G1G2

AG2

B

B

A(G1+G2)A(G1+G2)

G1+G2

B

CA–B+C

A

C B

A+C A–B+C

A

B

C

A–B A–B+C2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

H1 1. tankean, egoera egonkorrean likidoak hartzen duen maila.

H2 2. tankean, egoera egonkorrean likidoak hartzen duen maila.

Q 1. tankean sartzen den fluxua.

Q1 1. tanketik ateratzen den fluxua.

Q2 2. tanketik ateratzen den fluxua.

C1 1. tankearen kapazitatea.

C2 2. tankearen kapazitatea.

R1 1. tanketik fluxua ateratzen denean aurkitzen duen erresistentzia.

R2 2. tanketik fluxua ateratzen denean aurkitzen duen erresistentzia.

Tanke baten erresistentzia honela definitzen da:

Ondorioz, hurrengo ekuazioak idatz daitezke:

q sistemaren sarrera bezala hartzen bada eta q2 irteera bezala, sistemaren bloke-dia-

grama hurrengoa izango da:

h1 − h2

R1

= q1

C1

dh1

dt= q − q1

h2

R2

= q2

C2

dh2

dt= q1 − q2

C = metatuta dagoen likidoaren aldaketa(m3 )

Bere barnean gertatzen den aldaketa(m)

112

4.8 Irudia. (a) 4.7 Irudiko sistemaren bloke-diagramako osagaiak. (b) Sistemaren bloke-diagrama.

Bloke-diagramen erredukzioak erabiliz gero, hurrengo grafikoak ateratzen dira,

azkena transferentzi funtzioarena delarik.

4.9 Irudia. 4.8(b) Irudiko bloke-diagramaren erredukzioa.


H1(s)

H1(s)

H1(s)

Q1(s)

Q1(s)

Q(s)

Q(s)

(a)

(b)

Q1(s)

Q2(s)

Q2(s)

Q2(s)

1–––R1

1–––R1

1–––C1s

1–––C1s

1–––C2s

1–––C2s

1–––R2

1–––R2

Q1(s) Q2(s)

Q2(s)

Q2(s)

Q(s)

R2C1s

R2C1s

1–––––––R1C1s+1

1–––––––R2C2s+1

1––––––––––––––––––––––––––––––––––

R1C1R2C2s2 + (R1C1+R2C2+R2C1) s+1

Q(s)

Q(s)

1–––R1

1–––C1s

1–––C2s

1–––R2

H2(s)

H2(s)

H2(s)

H2(s)

4.3 Adibidea

Bloke-diagramen erredukzioa erabiliz, 4.10 Irudiko sistemaren transferentzi funtzioa

lortu behar da.

4.10 Irudia.

4.1 Taulan agertzen diren erregelak erabiliz, hurrengo erredukzioak egiten dira,

4.11 Irudia. Blokeen erredukzioa.

114

R(s) C(s)

G2

H2

G4G3

H3

G1

H1

R(s)G1+G2

G3––––––––1+G3H1

G4G3–––––––––––––––1+G3H1+G4G3H2

G4G3 (G1+G2)–––––––––––––––––––––––––––––––––

1+G3H1+G4G3H2+G4G3 (G1+G2)H3

G4

H2

H3

H3

G1+G2

C(s)

C(s)

C(s)

R(s)

R(s)

4.4 Adibidea

4.12 Irudiko sistemaren transferentzi funtzioa lortu erredukzioak erabiliz.

4.12 Irudia.

Berriro ere 4.1 Taula erabiliz, hurrengo erredukzioak egin daitezke,

4.13 Irudia. Blokeen erredukzioa.


R(s) C(s)G1 G2

H2

H3

H1

R(s)G1

G1

H2

H1

H3

H3

H3

G2

1–––G2

G2––––––––1+G2H1

G2G1––––––––––––1+G2H1+G1H2

G2G1––––––––––––––––

1+G2H1+G1H2+G2G1H3

H2–––G2

R(s)

R(s)

R(s)

C(s)

C(s)

C(s)

C(s)

4.3.2. Aldagai anitzeko sistemen bloke-diagramak

Hurrengo irudian, 4.14 Irudian, aldagai anitzeko sistemak aurkezteko erabiltzen diren

diagramak aurkezten dira.

4.14 Irudia. C(s) = G(s) . R(s)

4.14 Irudiko bloke-diagrama erabilgarria izango da sarrera eta irteeren arteko trans-

ferentzi funtzioak batean ematen direnean. Bloke-diagramak sistema osoaren deskribapen

matematikoa eman behar badu, diagrama zehatzago egin beharko da.

Demagun sistema lineal batek bi sarrera, r1(t) eta r2(t), eta bi irteera, c1(t) eta c2(t),

dituela. Sarrera eta irteeren arteko transferentzi erlazioa hurrengoa izango da,

(4.16)

Aldagai anitzeko bloke-diagrama hurrengoa izango da,

4.15 Irudia. Bi sarrera eta bi irteera dituen sistemaren bloke-diagrama.

Ikus daitekeenez, diagrama honek sarrera eta irteera guztien arteko transferentzi

erlazioak zehazten ditu.

C1(s)

C2 (s)

=

G11(s) G12 (s)

G21(s) G22 (s)

R1(s)

R2 (s)

116

r1(t)r2(t)

rp(t)

c1(t)c2(t)

cq(t)R CG G

(a) (b)

R1(s) G11(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

C1(s)

R2(s) C2(s)

Diagrama-mota hori, konplexuak diren aldagai anitzeko sistementzat, asko erabiltzen

da. Bestalde, 4.16 Irudian aurkezten den diagrama sinpleagoa ere erabilgarria izan dai-

teke.

4.16 Irudia. Aldagai anitzeko sistema baten bloke-diagrama.

4.16 Irudiko bloke-diagramak aurkezten duen sistemaren transferentzi funtzioa honela

jar daiteke:

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Ekuazio horiekin lan eginez gero hurrengoa lortzen da:

(4.20)

eta hemendik C(s) atera daiteke,

(4.21)

[I+G(s)H(s)] matrizearen alderantzizkoa lor daitekeela suposatuz.

Ikusten denez, garapen hau guztia aldagai bakarreko kasuan egiten denaren antzekoa

da, baina, algebra erreala erabili ordez, algebra matriziala erabili behar da. Horregatik,

C(s) eta R(s)-ren arteko erlazioa definitzeak ez du zentzu handirik. Bestalde, bigizta

itxiko transferentzi matrizea lor daiteke,

(4.22)M(s) = I + G(s)H(s)[ ] −1G(s)

C(s) = I + G(s)H(s)[ ] −1G(s)R(s)

C(s) = G(s)R(s) − G(s)H(s)C(s)

B(s) = H(s)C(s)E(s) = R(s) − B(s)C(s) = G(s)E(s)


R(s)E(s)

C(s)G(s)

H(s)

eta ondorioz, (4.21) ekuazioa beste era honetan ipin daiteke:

(4.23)

Atal honekin bukatu aurretik, sistemak aurkezteko beste metodo bat ere badagoela

aipatu behar da. Metodo hau fluxu-diagramen bidez egiten dena da. Bloke-diagramen

kasuan egiten den antzera diagrama hauen erredukzioak behar-beharrezkoak izango dira,

horretarako nahikoa ezaguna den Mason-en erregela erabiltzen delarik. Dena den,

kapitulu honetan ez da aztertuko, ondoren egingo diren analisietan bloke-diagramen

teknika erabiliko delako eta, ondorioz, teknika hau eta bertan egiten diren erredukzioak

ongi jakitea izango da kapitulu honen helburu nagusietako bat.

4.4. EKUAZIO KARAKTERISTIKOA

Sistema lineal baten ekuazio karakteristikoa definitzeko, sistemaren ekuazio diferen-

tziala, transferentzi funtzioa edota egoera-ekuazioak erabil daitezke. Demagun sistema

baten ekuazio diferentziala honako hau dela:

(4.24)

Sistema honen transferentzi funtzioa hau da,

(4.25)

Ekuazio karakteristikoa definitzeko, transferentzi funtzioaren izendatzailea berdin

zero egiten da,

(4.26)sn + a1sn−1+...an−1s + an = 0

G(s) = C(s)R(s)

= b0sm + b1s

m−1+...+bm−1s + bm

sn + a1sn−1+...an−1s + an

dnc(t)

dtn+ a1

dn−1c(t)

dtn−1+ a2

dn−2c(t)

dtn−2+...+an−1

dc(t)

dt+ anc(t) =

= b0

dmr(t)

dtm+ b1

dm−1r(t)

dtm−1+ b2

dm−2r(t)

dtm−2+...+bm−1

dr(t)

dt+ bmr(t)

C(s) = M(s)R(s)

118

Ondorengo kapituluetan ikusiko den bezala, kontrol-sistemak aztertzerakoan ekuazio

honek duen garrantzia izugarria da.

Suposa dezagun orain hurrengo bigizta itxiko transferentzi funtzioa duen sistema,

(4.27)

orduan, ekuazio karakteristikoa ondorengoa izango da,

(4.28)

Normalean, (4.28) ekuazioan G(s)H(s) polinomio bat izango da. Ondorioz, ekuazio

karakteristikoa lortzeko, 1+G(s)H(s) polinomioaren zenbakitzailea izango da berdin zero

egiten dena.

Demagun orain, atzerapenik ez duen bigizta itxiko sistemaren transferentzi funtzioa,

(4.29)

non, –z1, –z2, ..., –zm transferentzi funtzioaren zeroak diren, eta

–p1, –p2, ..., –pn transferentzi funtzioaren poloak diren.

Kasu honetan, –pi poloak ekuazio karakteristikoaren erroak ere badira. M(s) funtzioa

razionala bada, beronen polo eta zeroak zenbaki errealak edota konplexu-bikoteak izango

dira. Ondorioz, (4.29) ekuazioa honela ere ipin daiteke:

(4.30)

non, (s+σi) k polo errealak diren eta

q polo konplexuak diren (bikoteak noski).( )s sj nj2 22+ +α ω

M(s) = k(s + z1)(s + z2 )...(s + zm )

(s + σi ) (s2 + 2α js + ωnj2 )

j =1

q

∏i=1

k

∏

M(s) = C(s)R(s)

= k(s + z1)(s + z2 )...(s + zm )(s + p1)(s + p2 )...(s + pn )

1 + G(s)H(s) = 0

M(s) = C(s)R(s)

= G(s)1 + G(s)H(s)


4.5. LABURPENA

Kapitulu honetan, sistemen aurkezpena egiteko oinarrizko kontzeptuak agertu dira.

Aurreko kapituluetan aipatu diren kontzeptuak erabiliz, sistemak bloke-diagramen bidez

aurkeztu dira. Erabilitako blokeak, transferentzi funtzioak eta definizioak, garrantzi han-

dikoak dira kontrol-sistemetan, sistemak erraz ulertu ahal izateko. Bloke-diagrama hauen

bitartez, sistemaren barnean gertatzen diren erlazio funtzionalen aurkezpen sinplea egitea

izan da, beraz, kapituluaren helburu nagusia.

Bestalde, bloke-diagramen bidez egindako aurkezpenaren alternatiba bezala, seinale-

-fluxuen grafikoak agertzen dira. Dena den, aurkezpen hau ez da erabili kapitulu honetan,

bloke-diagramen erredukzioa ongi ikastearren.

4.6. BIBLIOGRAFIA

• Bennett B.S., 1980, "Analysis and Design of Linear SISO Control Systems", Control

Systems Centre, UMIST.

• Borrie J.A., 1986, "Modern Control Systems"; Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs,

UK.

• D’Azzo J.J., Houpis C.H., 1981, "Linmear Control Systems Analysis and Design", Mc

Graw-Hill Inc., Japan.

• D’Souza A.F., 1988, "Design of Control Systems", Prentice-Hall International

Editions, Englewood Cliffs, UK.

• Franklin G.F., Powell J.D., Emani-Naeimi A., 1991, "Control de Sistemas Dinámicos

con Retroalimentación", Addison-Wesley Iberoamericana, S.A., USA.

• Flórez J., Tapia A., 1990, "Introduccion a los Sistemas Automáticos de Control (I)",

ESII-Universidad de Navarra, San Sebastian.

120

4.7. ARIKETAK

4.1. A4.1 Irudian, kontrol-sistema baten bloke-diagrama agertzen da, r(t) sarrera, c(t)

irteera eta q(t) perturbazio-sarrera direlarik hurrenez hurren. c(t) eta r(t) nahiz c(t)

eta d(t) seinaleak erlazionatzen dituen transferentzi funtzioak lortu behar dira,

bloke-diagramen erredukzioak erabiliz.

A4.1 Irudia

4.2. A4.2 Irudian agertzen den bloke-diagraman hurrengo transferentzi funtzioak kal-

kulatu, C1(s)/R1(s), C2(s)/R2(s).

A4.2 Irudia.

4.3. A4.3 Irudian kontrol-sistema baten bloke-diagrama aurkezten da. C(s) eta R(s)

nahiz C(s) eta Q(s) seinaleak erlazionatzen dituen transferentzi funtzioak lortu.

Sistema hori egonkorra izan dadin, zein da bete behar den baldintza?


R(s)

Q(s)D(s)

A(s) B(s)

E(s)

F(s)

C(s)

R1(s) C1(s)K1(s) G1(s)

R2(s)K2(s) G2(s)

C2(s)

A4.3 Irudia.

4.4. Bloke-diagramen erredukzioak erabiliz, A4.4 Irudian agertzen den sistemaren

transferentzi funtzio osoa lortu behar da.

A4.4 Irudia.

4.5. A4.5 Irudian agertzen den bigizta anitzeko sisteman hurrengo transferentzi fun-

tzioak kalkulatu behar dira: C1(s)/R1(s), C1(s)/R2(s), C2(s)/R1(s) eta C2(s)/R2(s).

A4.5 Irudia.

122

R(s)

F

A

D

G

B

E

Q(s)C(s)

R(s)

G4

G1 G2

H1

G3

C(s)

R1(s) G1

G3

H1

G2

G5

G6

G4

H2

C1(s)

R2(s) C2(s)

4.6 A4.6 Irudian agertzen den sistemaren transferentzi funtzioa lortu.

A4.6 Irudia.

4.7. A4.7 Irudiko bloke-diagramen erredukzioa egin.

A4.7 Irudia

4.8. A4.8 Irudiko diagramen bloke-erredukzioak egin eta dagozkien transferentzi fun-

tzioak lortu.


R(s)G1 G2

H1

G4

G3 G5

H2

C(s)

R(s) C(s)

4

5

1–––––

s+2

1––s

s–––––

s+3

3s–––––

s+4

A4.8 Irudia

4.9. A4.9 Irudian agertzen den sistemaren sei transferentzi funtzioak lortu.

A4.9 Irudia

124

R(s) C(s)(a)

(c)

(d)

(b)

10–––––s+10

1–––––

s+13

–––––s+4

2––s

10–––––s2+4

1–––––

s+1

3s–––––

s+1

82

–––––––––s2+s+10

2–––––

s+2

C(s)

C(s)

C(s)

R(s)

R(s)

R(s)

R1(s) 1–––––s+2

s–––––s+3

10

C2(s)

C1(s)

R2(s)

R3(s)

5.1. EGOERA IRAGANKORREKO ERANTZUNAREN AZTER-KETA

Denboran zehar sistemek aurkezten dituzten erantzunek bi zati desberdin dituzte:

egoera irangankorrekoa eta egoera egonkorrekoa. Egoera iragankorreko erantzuna hasie-

rako unetik egonkortasuna lortu arte doana da. Egoera egonkorrekoa, berriz, egonkor-

tasuna lortu eta infinituraino iristen dena da.

Sistema bat diseinatzerakoan, aldez aurretik jakin behar da sistema horrek egonkorta-

suna lortzen duen. Beraz, sistemaren egonkortasunaren azterketa garrantzizkoa izango da.

Normalean, sistema fisikoaren portaera iragankorrak moteldutako oszilazio batzuk aur-

keztuko ditu egonkortasuna lortu aurretik. Gainera, egoera egonkorreko erantzunaren eta

erreferentziako sarreraren artean diferentziarik agertzen bada, sistemak egoera egonkorre-

ko errorea duela esango da.

Beraz, kapitulu honetan, sarrera-mota desberdinak aplikatzen direnean, sistemek aur-

kezten dituzten erantzun iragankorrak aztertuko dira. Gainera, sistemen egonkortasuna

aztertzeko metodo bat ere aurkeztuko da.

5.1.1. Lehen ordenako sistemak

Demagun kontrolatu behar den sistema lehen ordenakoa dela eta, ondorioz, aurkezten

duen transferentzi funtzioa hurrengoa dela, (5.1 Irudia)

(5.1)C(s)

R(s)= G(s) = 1

1 + Ts


5. SISTEMEN ERANTZUNA DENBORAN ZEHAR

5.1 Irudia. (a) Lehen ordenako sistema baten bloke-diagrama (b) Bloke-diagrama sinplea

Orain, lortzen diren erantzunak aztertzeko, sarrera-mota desberdinak aplikatuko zaiz-

kio; maila unitarioa, arrapala unitarioa eta inpultsu unitarioa.

5.1.1.1. Maila unitarioa

Maila unitarioaren Laplace-ren transformazioa 1/s denez gero, R(s) = 1/s ipintzen

denean,

(5.2)


(5.3)

Laplace-ren alderantzizko transformazioa eginez, denboran zehar sistemak aurkezten

duen erantzuna lortzen da:

(5.4)

Beraz, hasieran c(t) = 0 da eta egoera egonkorrean berriz, c(t) = 1 izango da. Ezaugarri

garrantzitsu bat t = T denean, c(t) = 0.632 izatea da; beraz, c(t) erantzunak denbora

horretan egoera egonkorreko erantzunaren %63.2 lortu du.

c(t) = 1 − e−t T (t ≥ 0)

C(s) = 1

s− T

Ts +1

C(s) = 1

Ts +1

1

s

126

R(s)

(a)

(b)

R(s)

C(s)

C(s)

E(s) 1–––––

Ts

1–––––Ts+1

Hau erraz ikus daiteke formula orokorra aplikatuz,

(5.5)

Jakina den bezala, T = sistemaren denbora-konstantea da. Zenbat eta denbora-kons-

tante txikiagoa izan, sistemaren erantzuna hainbat eta azkarragoa izango da. Gainera, t=0

denean, tangentearen malda 1/T da, hau da,

(5.6)

Beraz, hasieran duen erantzun-abiadura mantenduko balitz, egoera egonkorra t = T

denean lortuko litzateke. Baina c(t) erantzunaren malda gero eta txikiago egiten da. c(t)

erantzun esponentzialaren kurba 5.2 Irudian ikusten dena da.

5.2 Irudia. c(t) erantzun esponentziala.

Ikusten denez, t>4T unetik aurrera, erantzuna egoera egonkorreko erantzunaren

±%2aren tartean geratzen da. Beraz, nahiz eta matematikoki egoera egonkorra

t=∞ denean lortu, egoera egonkorraren erantzunaren estimazio egokia t=4T unetik aurrera

lortutakoa dela esango da, hau da, egonkortasunean lortutako erantzunaren ±%2aren

tartean geratzen dena.

5.1.1.2. Arrapala unitarioa

Arrapala unitarioaren Laplace-ren transformazioa 1/s2 denez gero, lehen ordenako

sistemaren erantzuna hurrengoa da:

dc

dt= 1

Te−t T

t =0

= 1

T

c(t = T ) = 1 − e−1 = 0.632


Malda =c(t)= 1–e

c(t)

1

–t

––T

1––T

0.632

% 6

3.2

% 8

6.5

% 9

5

% 9

8.2

% 9

9.3

0 T 2T 3T 4T 5T t

(5.7)

eta C(s) funtzioa frakzio sinpletan ipiniz gero,

(5.8)

Funtzio honen Laplace-ren alderantzizko transformazioa eginez, denboran zehar siste-

mak aurkezten duen erantzuna lortuko da.

(5.9)

Ondorioz, e(t) errore-seinalea hurrengoa izango da,

(5.10)

t infiniturantz doanean, e–t/T zerorantz doa eta, beraz, t = ∞ denean lortzen den errorea,

(5.11)

5.3 Irudian arrapala sarrera eta sistemak duen erantzuna ikusten dira. Bien arteko

diferentzia T izango da nahikoa denbora pasatzen denean. Bestalde, T denbora-konstantea

txikia denean, egoera egonkorreko errorea ere txikia izango da.

5.3 Irudia. 5.1 (a) Irudiko sistemaren erantzuna arrapala unitarioa aplikatzen zaionean.

e(∞) = T

e(t) = r(t) − c(t) = T(1 − e−t T )

c(t) = t − T − Te−t T t ≥ 0

C(s) = 1

s2− T

s+ T 2

Ts +1

C(s) = 1

Ts +1

1

s2

128

Egoera egonkorrekoerrorea

0

c(t)

r(t)=t

T

T

r(t)c(t)

2T

2T

4T

4T

6T

6T

t

5.1.1.3. Inpultsu unitarioa

Aplikatutako sarrera inpultsu unitarioa den kasuan, R(s) = 1 eta ondorioz,

(5.12)

beraz, denboran zehar sistemak aurkezten duen erantzuna,

(5.13)

c(t) erantzuna 5.4 Irudian ikusten delarik.

5.4 Irudia. 5.1 (a) Irudiko sistemaren erantzuna inpultsu unitarioa aplikatzen zaionean.

5.1.1.4. Denboran zehar aldatzen ez diren sistemen ezaugarri garrantzitsua

Aurrean aipatu den bezala, arrapala sarrera erabiliz gero lortzen den erantzuna hauxe

da:

(5.14)

Maila sarrera erabiltzen denean lortutako erantzuna,

(5.15)c(t) = 1 − e−t T t ≥ 0

c(t) = t − T − Te−t T t ≥ 0

c(t) = 1

Te−t T t ≥ 0

C(s) = 1

Ts +1


c(t) = e

c(t)

1–––T

1––T

t––T

0 T 2T 3T 4T t

–

Eta azkenean, inpultsua erabiltzen denean,

(5.16)

Hiru sarrera desberdinen hiru erantzunak aztertuta honako hau esan daiteke: sarrera

baten deribatua aplikatuz lortuko litzatekeen erantzuna jatorrizko sarrera aplikatuz lortu-

tako erantzuna deribatuz lortuko dena dela eta bestalde, sarrera bezala sarrera baten inte-

grala ipiniz gero lortutako erantzuna jatorrizko sarrerarekin lortutako erantzuna integratuz

ateratzen denaren berdina dela. Ezaugarri honek sistema linealetan eta denboran zehar al-

datzen ez direnetan besterik ez du balio. Linealak ez diren sistemekin eta denboran zehar

aldatzen direnekin ezin da erabili.

5.1.2. Bigarren ordenako sistemak

Demagun sistema baten bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa dela:

(5.17)

5.1.2.1. Maila unitarioa

Sarrera bezala maila unitarioa jartzen denean lortzen den erantzuna hurrengoa da:

(5.18)

non ξ moteltze-faktorea den eta

ωn maiztasun naturala den.

Laplace-ren transformazioaren taulak erabiliz, sistemak denboran zehar aurkezten

duen erantzuna lortuko da,

(5.19)c(t) = 1 − e−ξωnt

1 − ξ 2sin ωn 1 − ξ 2 t + arctg

1 − ξ 2

ξ

c(t) = L−1 ωn

2

s(s2 + 2ξωns + ωn2 )

C(s)

R(s)= ωn

2

s2 + 2ξωns + ωn2

c(t) = 1

Te−t T t ≥ 0

130

5.5 Irudian, ξ eta ωn.t parametroek balio desberdinak hartzen dituztenean c(t) erantzu-

naren portaera ikusten da. Zenbat eta ξ txikiagoa izan, erantzuna hainbat eta oszila-

korragoa dela argi dago. ξ > 1 denean ez dago gaindiketarik eta irteera, sarrera baino txi-

kiagoa edo gehienez berdina izango da beti. ξ < 1 denean, sistema azpimoteldua dagoela

esaten da, ξ = 1 denean, sistema oszilakorra dela eta ξ > 1 denean berriz, sistema gainmo-

teldua dagoela esango da.

5.5 Irudia. Bigarren ordenako sistemaren erantzuna maila unitarioko sarrera aplikatutakoan

ξ < 1 denean aipatutako gaindiketaren balioa aztertzeko, c(t)-ren deribatua hartu eta

berdin zero egiten da.

(5.20)

non,

(5.21)φ = arctg

1 − ξ 2

ξ

ωd = ωn 1 − ξ 2

dc(t)

dt= ξωne

−ξωnt

1 − ξ 2sin(ωdt + φ) − e−ξωnt

1 − ξ 2ωn 1 − ξ 2 cos(ωdt + φ)


ωnt

2.0

2.0

1.0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

ξ=01.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

c(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

diren. Ekuazio hori era sinpleagoan jarriz,

(5.22)

Beraz, ekuazioaren erantzunak

dira.

c(t) funtzioaren lehenbiziko gehienezko balioa n = 1 denean lortzen da, hau da, T-ren

balioa honako hau denean,

(5.23)

Oro har, n=1,3,5,... balioek gaindiketak sortzen diren uneak adierazten dituzte eta

n=2,4,6,.., gutxienezko balioak gertatzen diren uneak dira. Gehienezko nahiz gutxienezko

balioak gertatzen diren uneak periodikoak izan arren, c(t) funtzioa ez da periodikoa, 5.6

Irudian ikus daitekeen bezala.

5.6 Irudia. Gehienezko eta gutxienezko balioak gertatzen diren uneak.

t = πωn 1 − ξ 2

t = ∞ t = nπωn 1 − ξ 2

dc(t)

dt= 0

dc(t)

dt= ωn

1 − ξ 2e−ξωnt sin(ωn 1 − ξ 2 )t

132

Gehienezko gaindiketa

0

1.0

c(t)Cmax

Cmin

ωntπ––––––√ -1-–-ξ2

2π––––––√-1-–-ξ2

3π––––––√ -1-–-ξ2

4π––––––√-1-–-ξ2

eta

Gehienezko eta gutxienezko balioak lortzeko, t-ren balioak c(t) ekuazioan ipintzen

dira:

(5.24)

eta n = 1 denean, gaindiketa handienaren balioa lortzen da.

Gaindiketarik handiena = (5.25)

Portzentaiak erabiliz,

Ondorioz, bigarren ordenako sistema bati maila sarrera aplikatzen zaionean lortutako

gaindiketa, ξ koefizientearen funtzioa besterik ez da.

5.1.2.1. Arrapala unitarioa

Bigarren ordenako sistema bati sarrera bezala arrapala unitarioa aplikatzen zaionean,

hurrengo erantzuna lortzen da:

(5.26)

non,

(5.27)

den. Adibide bezala, ξ = 0.2, 0.546, 2.0 hartuz, 5.7 Irudian egoera egonkorreko irteera eta

sarreraren arteko desberdintasunak (erroreak) ikusten dira.

φ = 2arctg1 − ξ 2

ξ

= t − 2ξωn

+ 1

ωn 1 − ξ 2e−ξωnt sin ωn 1 − ξ 2 t − φ( )

c(t) = L

-1 ωn2

s2 (s2 + 2ξωns + ωn2

=

Mp(%) = 100.e−πξ 1−ξ 2

Mp = Cmax −1 = e−πξ 1−ξ 2

c(t) max,min = 1 − e−nπξ 1−ξ 2

1 − ξ 2sin nπ + tg−1 1 − ξ 2

ξ


5.7 Irudia. Sistemaren erroreak ξξ-ren balioa aldatzen denean.

Errore hori txikiagoa egiteko, irabazpena handitu egin daiteke. Baina orokorrean, ira-

bazpen hori handitzerakoan, sistemaren erantzun iragankorra oszilakorrago bihurtuko da

eta, batzuetan, desegonkortu ere egin daiteke.

5.1.3. Ordena garaiagoa duten sistemak

Demagun sistemaren bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa dela:

(5.28)

non, –z1, –z2,..., –zm zeroak diren eta –p1, –p2,..., –pn poloak diren; –pi horiek ekuazio

karakteristikoaren erroak ere badirelarik. M(s) razionala bada, beronen polo eta zeroak

zenbaki errealak nahiz konplexu konjugatuak izango dira, hau da,

(5.29)

non, (s + σi) polo errealak diren eta polo konplexuak diren.s2 + 2α js + ωnj2( )

M(s) = C(s)

R(s)= k(s + z1)(s + z2 )...(s + zm )

(s + σ i ) (s2 + 2α js + ωnj2 )

j=1

q

∏i=1

k

∏

M(s) = C(s)

R(s)= k(s + z1)(s + z2 )...(s + zm )

(s + p1)(s + p2 )...(s + pn )

134

erperp

erp

ξ = 0.546

ξ = 0.2

ξ = 2.0

θ r(t) =

t

0 1

1

2

2

3

3

4

4

5

ωnt

Ondorioz, r(t) sarrera aplikatutakoan lortzen den erantzuna hurrengoa da:

(5.30)

eta r(t) maila unitarioa denean,

(5.31)

Ekuazio hori frakzio sinpletan jarriz gero,

(5.32)

non, A, Bi, Cj... eta ... Dj, M(s)-ren polo nahiz zeroen balioekin aldatzen diren

konstanteak diren.

Laplacere-ren taulak erabiliz,

(5.33)

(5.34)

(5.35)

non,

(5.36)

eta ondorioz, sistemaren irteera hurrengoa izango da:

φj = arctga ωnj

2 − α j2

1 − aα j

; Ej =1 − 2aα j + a2ωnj

2

ωnj2 − α j

2

c(t) = L-1 as +1

s2 + 2α js + ωnj2( )

= Eje−α j t sin ωnj

2 − α j2 t + φj( )

c(t) = L

-1 1

(s + σ i )

= e−σ i t

c(t) = L

-1 A

s

= Au(t)

c(t) = L-1 A

s+ Bi

(s + σ i )i=1

k

∑ +Cjs + Dj

s2 + 2α js + ωnj2( )j=1

q

∑

c(t) = L-1

k (s + zj )j =1

m

∏

s (s + σ i ) s2 + 2α js + ωnj2( )

j=1

q

∏i=1

k

∏

c(t) = L-1 C(s)[ ] = L

-1 R(s)M(s)[ ]


(5.37)

Ekuazio honetan ikusten denez, σj eta αj positibo baldin badira, esponentzial guztiak

denborarekin txikiak egiten dira. Lehen gaia, Au(t), egoera egonkorreko erantzuna da eta

beste guztiek egoera iragankorreko erantzuna osatzen dute. Bestalde, ekuazio karakteris-

tikoaren erroen kokaera oso garrantzitsua da. Erro horietakoren bat positibo baldin bada,

egoera iragankorreko erantzunean dagokion gaia handituz joango da, sistema osoa

desegonkortuz.

5.8 Irudia. s planoko erroen kokaerak aldatuz lortzen diren erantzunak.

c(t) = Au(t) + Bii=1

k

∑ e−σ i t + Dj Eje−α j t sin ωnj

2 − α j2 t + φ( )

j=1

q

∑

136

Inpultsu sarrerari dagokion erantzuna s planoan kokatutako erroak

1e

e

e–σ2t

–σ1t

σ3t

0

0–σ2 –σ1 σ3

σ

σ

jω

jω

σ

jωα+jω

σ

jω–α+jω

–α–jω

α–jω

jω(α=0)

–jω

t

1

0t

(α = 0)

e–αt sin ωt

1

0t

e+αt sin ωt

0t

e–αt sin ωt

Gainera, erro konplexuen kasuan, berorien zati erreala positibo bada, sistemaren eran-

tzunean oszilazio sinusoidal hazkorra gertatuko da. Beraz, eta ondorio bezala, erantzun

egonkorra lortzeko, ekuazio karakteristikoaren erroek s planoaren zati errealeko alde ne-

gatiboan egon behar dutela esan daiteke. Ardatz irudikariaren gainean dauden erroek an-

plitude konstantea duten sistema oszilakorrak sortzen dituzte. Hau guztia 5.8 Irudian ikus

daiteke.

5.1.4. Bigarren ordenako sistemetan sarrera bezala maila erako seinalea erabiltzen

denean lortzen den erantzun iragankorraren espezifikazioak

Kasu praktiko askotan, kontrol-sistemaren ezaugarriak denboraren arloan neurtuta-

koak izaten dira. Adibidez, energia metatzen duten sistemei sarrera edo perturbazio ba-

tzuk ipiniz gero, ez da bat-bateko erantzuna lortzen, baizik eta erantzun iragankorra ager-

tzen da. Askotan, kontrol-sistemaren portaerako espezifikazioak maila sarrera ipiniz gero

lortzen den erantzun iragankorraren funtzio bezala ematen dira.

Maila sarrera bat ipiniz gero, sistemak aurkezten duen erantzun iragankorra hasierako

baldintzekin aldatzen da. Horregatik; eta erantzun guztiak konparatzearren, hasieran sis-

tema geldirik dagoela suposatuko da eta, beraz, beronen deribatu guztiak zero izango dira.

Benetako kontrol-sistema baten erantzun iragankorrak oszilazio batzuk izaten ditu

egoera egonkorra lortu aurretik. Horregatik, maila sarrera ipiniz gero lortzen den erantzun

iragankorraren espezifikazioak definitzerakoan, kontutan hartu behar direnak hurrengo

hauek dira:

1. Atzerapen-denbora, td2. Haziera-denbora, tr3. Puntako denbora, tp4. Gehienezko gaindiketa, Mp

5. Egonkortze-denbora, ts

Zehaztasun guztiak ondoren definitzen dira eta 5.9 Irudian berauen aurkezpen grafi-

koa egingo da.

1. Atzerapen-denbora, td: Erantzunak erreferentziaren erdia lehen aldiz lortzen duen

arte igarotzen den denbora.


2. Haziera-denbora, tr: Erantzuna erreferentziaren % 10 izatetik % 90 izatera igarotzen

den denbora. Azpimotelduak diren sistemetan, % 0tik % 100eraino neurtzen da.

3. Puntako denbora, tp: Erantzunak bere goreneko balioa lortu arte igarotzen den

denbora.

4. Gehienezko gaindiketa, Mp: Erantzunaren gehienezko balioa erreferentziatik neur-

tzen denean. Erreferentzia hori unitatea ez bada, egonkortasunean lortzen den balioa

ere ez da unitatea izango; beraz, portzentaiak neurtzen dira:

(5.38)

5. Egonkortze-denbora, ts: Kasu honetan, erantzuna tarte zehatz baten barne egon arte

pasatzen den denbora da, tarte hori ±% 5 edo ±% 2a izango delarik.

Ikusten denez, espezifikazio hauek jakinik, sistemaren erantzuna nolakoa den erraz

atera daiteke (5.9 Irudia).

5.9 Irudia. Maila unitarioko erantzuna eta espezifikazioak.

5.1.5. Komentario batzuk

Normalean, erantzun iragankorra azkarra eta nahikoa moteldua izatea lortu nahi da.

Beste batzuetan berriz, ezin dira oszilazioak jasan. Horrela, bigarren ordenako sistema

baten erantzun egokiak, 0.4 < ξ < 0.8 denean lortuko da. ξ < 0.4 bada, gaindiketa han-

diegiak agertzen dira eta bestalde, ξ > 0.8 denean, oso erantzun mantsoa lortuko da.

Mp =c(tp ) − c(∞)

c(∞)%100

138

ts

tp

tr

td

Mp1

0.9

0.5

0.10

0.05edo0.02

c(t) Onartutako perdoia

Geroago ikusiko den bezala, gaindiketa txikiek erantzun mantsoak eragiten dituzte eta

erantzun azkarrak lortzeko berriz, gaindiketa handiak agertzen dira.

Ondoren, bigarren ordenako sistema baten ezaugarrien kalkulua ξ eta ωn parametroen

arabera egingo da.

Bigarren ordenako sistema bati maila sarrera aplikatzen zaionean,

(5.39)

eta Laplace-ren alderantzizko transformazioak emango du denboran zehar sistemak duen

erantzuna:

(5.40)

non, den.

Haziera-denbora. tr kalkulatzeko, c(tr) = 1 dela esango da,

(5.41)

eta denez gero,

(5.42)

izango da. Beste era batean jarriz gero,

(5.43)

non σ = ωn ξ den. Ondorioz, haziera-denboraren balioa hurrengoa da:

(5.44)tr = 1

ωd

tan−1 − ωd

σ

= π − φ

ωd

tanωdtr = −1 − ξ 2

ξ= −ωd

σ

cosωdtr + ξ1 − ξ 2

sinωdtr

= 0

e−ξωn t r ≠ 0

c(tr ) = 1 = 1 − e−ξωntr cosωdtr + ξ1 − ξ 2

sinωdtr

ωd = ωn 1 − ξ 2

c(t) = 1 − e−ξωn t

1 − ξ 2sin ωdt + tan−1 1 − ξ 2

ξ

(t ≥ 0)

C(s) = ωn2

s2 + 2ξωns + ωn2( )


non, φangelua 5.10 Irudikoa den.

5.10 Irudia. φφangeluaren definizioa.

-ren balioa π/2 eta π tartean dagoela argi dago. ξ = 0 denean,

eta ξ=+1 denean berriz, . Beraz,

hazierako denboraren balio txikientzat, ωn parametroak handia izan behar du.

Puntako denbora. Lehen aipatu den bezala, puntako denbora kalkulatzeko, c(t) funtzioak

bere gehienezko balioa non hartzen duen kalkulatu behar da. Horretarako

egiten da eta lortzen den erantzuna hazierako denbora izango da:

(5.45)

Gehienezko gaindiketa. Balio hau c(t) funtzioak t = tp denean hartzen duen balioa da eta

5.3 atalean kalkulatutakoa da:

(5.46)

Egonkortze-denbora. Azpimoteldua den bigarren ordenako sistema batentzat erantzun

iragankorra honako hau da,

(5.47)c(t) = 1 − e−ξωnt

1 − ξ 2sin ωdt + tan−1 1 − ξ 2

ξ

(t ≥ 0)

Mp = c(tp ) −1 = e− σ ωd( )π = e− ξ 1−ξ 2( )π

tp = πωn 1 − ξ 2

= πωd

dc(t)

dt= 0

tan−1 −1 − ξ 2

ξ

= −πtan−1 −

1 − ξ 2

ξ

= π

2

tan−1 −1 − ξ 2

ξ

140

jω

jωd

ωn √ -1-–-ξ2 ωn

ξωn

σ

Φ

–σ 0

+

non maila sarrera ipinitakoan erantzun iragankorra mugatzen duten kur-

ben ekuazioak diren, 5.11 Irudian ikusten den bezala. Kurba horien denbora-konstantea

1/ξωn da.

5.11 Irudia. Bigarren ordenako sistemaren erantzuna mugatzen duten kurbak.

Erantzun iragankorraren jaisteko abiadura, 1/ξωn denbora-konstantearen balioarekin

aldatzen da. ωn ezagun batentzat, egonkortze-denbora ξ moteltze-faktorearen funtzio da.

5.5 Iruditik, ωn balio berdinarentzat eta ξ faktorea 0 eta 1 tartean aldatzen denean, egon-

kortze-denbora, moteltze-faktorea txikia duen sistemarentzat moteltze-faktorea handia

duen sistemarentzat baino handiagoa izango dela argi dago. Sistema gainmotelduetan

egonkortze-denbora handia da, sistema hauen hasierako erantzuna oso mantsoa delako.

Egonkortze-denbora, ±% 2 edo ±% 5 perdoi-bandari lotuta dago eta 5.5 Iruditik

kalkula daiteke T = 1/ξωn formula erabiliz. Lortzen den emaitza 5.12 Irudian ikusten

dena da.

1 ± e−ξωn t

1 − ξ 2


c(t)

0

1 πt = ––––– ( –– – cos–1ξ)

1–ξ2 2

11+ –––––

√ -1-–-ξ2

11– –––––

√ -1-–-ξ2

e–ξωnt

1+ –––––√-1-–-ξ2

e–ξωnt

1– –––––√ -1-–-ξ2

1T= –––––

ξωn

TT

2T 3T 4T tπ––2

5.12 Irudia. ts = egonkortze-denbora / ξξ = moteltze-faktorea kurbak.

0 < ξ < 0.9 denean eta ±% 2ko banda erabiliz, egonkortze-denbora sistemaren den-

bora-konstantea bider lau izango da gutxi gora-behera.

(5.48)

±% 5ko banda erabiliz gero berriz, egonkortze-denbora hauxe izango da:

(5.49)

Ekuazio hauek emandako egonkortze-denboraren balioak gutxienezko balioa ξ = 0.76

(edo ξ = 0.68) denean hartzen dute eta hortik aurrera, ia linealki hazten da moteltze-fak-

torearen arabera.

ts = 3T = 3

σ= 3

ξωn

ts = 4T = 4

σ= 4

ξωn

142

6T

5T% 2ko perdoi-tartea

% 5eko perdoi-tartea

Ego

nkor

tze-

denb

ora,

t s

4T

3T

2T

T

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

ξ

Egonkortze-denbora T denbora-konstantearekiko proportzionala denez gero, moteltze-

-faktorea eta maiztasun naturalarekiko alderantziz proportzionala izango dela azpimarratu

behar da. Moteltze-faktorearen balioa normalean onartutako gehienezko gaindiketak fin-

katzen duenez gero, egonkortze-denbora maiztasun naturalaren arabera kalkulatuko da.

Hau da, gehienezko gaindiketaren balioa aldatu gabe maiztasun naturalaren balioa egoki-

tuz, egoera iragankorraren luzera alda daiteke.

5.2. SISTEMEN EGONKORTASUNA

Bigizta itxiko kontrol-sistema baten zeregina, r(t) erreferentzia edo sarrera-seinalea

x(t) irteerako seinalera ahalik eta ondoen eramatea da, hau da, errore txikiak aurkeztea

perturbaioak agertzen badira. Berez, erantzunik onena une guztietan irteeraren berdina

dena da, baina, sistema dinamikoen portaeragatik, ezinezkoa gertatzen da. Beraz, jarraitu

beharreko irizpideak hauek dira:

• Sistemak zeharo egonkorra izan behar du: sistemari perturbazioren bat sartzen

zaionean, berriro ere egoera egonkorrera iritsi behar du eta ez du oszilaziorik aurkeztu

behar. Guzti hau, 5.13 Irudian ikus daiteke.

5.13 Irudia. (a) Maila unitarioa; (b) Arrapala unitarioa

• Sistemak zehatza izan behar du; hau da, t → ∞ doanean, x(t) irteerak r(t) sarreraren

berdina izan behar du edo gutxienez ia berdina. 5.13 Irudian ikusten diren kasuetan

errorea agertzen da, ess = r(t) – x(∞) eta errore hori txikiagotzea komenigarria izango

litzateke.


irteera

denbora

(a) (b)

egonkorra

egonkorra

desegonkorra erreferentziakosarreradesegonkorra

egoeraegonkorreko

errorea

egoeraegonkorreko

errorea

denbora

• Egoera iragankorrean sistemak aurkezten duen portaerak egokia izan behar du, hau da,

une guztietan irteerak sarrerari jarraitu behar dio, perturbazioak agertzen badira ere.

Ondorioz, sistemak zehaztasun dinamikoa izan behar du eta, gainera, egonkortasun

erlatiboa ere aurkeztu behar du.

5.14 Irudia.

5.14 Irudietan ikusten denez, nahiz eta sistema guztiak egonkorrak izan, a sistemak

zehaztasun dinamikoa aurkezten du eta b eta c sistemek berriz ez.

• Sistemaren parametroak aldatzen direnean sistemak ez du igarri behar, hau da, sistema

zahartzen den bezala parametroak aldatuz doaz eta kontrol-sistemek sentikortasun

txikia izan behar dute.

Hau guztia aztertzeko, kontrol-sistema desberdinak erabiliko dira eta denboran zehar

lan egiten duten teknikak nahiz maiztasun-teknikak erabiliko dira.

5.2.1. Kontrol-sistemen egonkortasuna aztertzeko metodoak

Sistema baten egonkortasuna aztertzeko hauek dira metodorik erabilienak:

1. ROUTH-HURWITZ-en metodoa: Sistemaren egonkortasun absolutua ezagutzeko

erabiltzen den metodo algebraikoa da. Honen bidez, ekuazio karakteristikoaren

erroren bat, s planoko zati erreal positiboan dagoen ikusten da.

2. NYQUIST-en metodoa. Metodo grafikoa da eta, beronen bitartez, s planoko zati erreal

positiboan dauden bigizta itxiko transferentzi funtzioaren polo eta zeroen kopuruen

arteko diferentzia kalkulatzen da. Gainera, bigizta irekiko transferentzi funtzioaren

portaera ere azter daiteke metodo honen bidez.

144

(a) (b) (c)

3. ERROEN KOKAERA. Metodo hau ere grafikoa da eta sistemaren bigizta irekiko K

irabazpena aldatzen denean, ekuazio karakteristikoaren erroak nola aldatzen diren

erakusten du.

4. BODE-ren diagrama. Bigizta irekiko G(s).H(s) transferentzi funtzioaren Boderen dia-

gramak bigizta itxiko sistemaren egonkortasuna aztertzeko ere balio du. Baina arazo

bat du: azterketa hau fase minimoko sistementzat bakarrik erabil daiteke.

5. LYAPUNOV-en egonkortasun-irizpidea; egoerako ekuazioetan oinarritutako metodoa

da.

5.2.2. Routh-Hurwitz-en metodoa

Sistema lineal baten egonkortasuna aztertzeko beronen ekuazio karakteristikoaren

erroak bilatzea nahikoa dela gauza jakina da. Baina ekuazioaren ordena hiru edo gehiago

bada, lan hau gehiegizkoa suerta daiteke. Beraz, ekuazio karakteristikoaren erroak aztertu

gabe egonkortasuna aztertuko duen metodoa bilatu nahi da.

Demagun sistema linealaren ekuazio karakteristikoa hurrengoa dela:

(5.50)

non, ao,..., an zenbaki errealak diren.

Ekuazio honen erroak s planoaren zati erreal positiboan egon ez daitezen, hurrengo

baldintzak beharrezkoak dira baina ez nahikoak:

1. Koefiziente guztiek zeinu berbera izan behar dute

2. Koefiziente guztiek ≠ 0 izan behar dute.

Esan den bezala, baldintza hauek ez dira nahikoak; polinomio baten koefizienteak ≠ 0

eta zeinu berberekoak izan arren, erroak s planoaren zati erreal positiboan egon daitezke.

Polinomioaren erro guztiak s planoko zati erreal positiboan egon daitezen lortzeko

baldintza nahikoa eta beharrezkoa Hurwitz-en polinomioaren determinante guztiak

positibo izatea da. (5.50) ekuazioko Hurwitz-en polinomioak hauek dira:

F(s) = a0sn + a1s

n−1 + a2sn−2 +...+an−1s + an = 0


(5.51)

non, n baino handiago edo negatibo diren azpiindizeak dituzten koefizienteak 0 izango

diren.

Beraz, F(s) polinomioaren erro guztiak s planoko zati erreal negatiboan egon daitezen,

ao > 0, D1 > 0, D2 > 0,..., Dn > 0 bete behar da. Determinante horien kalkulua ordena

handiko polinomioentzat zaila gerta daitekeenez, sistemaren egonkortasuna hurrengo

urratsak jarraituz ere azter daiteke, hau da, polinomioak erabili gabe.

Lehenbiziko urratsa F(s) polinomioaren koefizienteak bi lerrotan jartzea da:

(5.52)

Gero, hurrengo operazioak eginez osatzen den taula lortzen da. Demagun F(s) sei-

garren ordenakoa dela, orduan,

(5.53)

s6 a0 a2 a4 a6

s5 a1 a3 a5 0

s4 a1a2 − a3a0

a1

= Aa1a4 − a5a0

a1

= Ba1a6 − 0a0

a1

= a6 0

s3 Aa3 − a1B

A= C

Aa5 − a1a6

A= D

A0 - 0a1

A= 0 0

s2 CB − AD

C= E

Ca6 − A0

C= a6

C0 − A0

C= 0 0

s1 ED − Ca6

E= F 0 0 0

s0 Fa6 − E0

F= a6 0 0 0

a0 a2 a4 a6

a1 a3 a5 a7

Dn =

a1 a3 a5 a2n−1

a0 a2 a4 a2n−2

0 a1 a3 a2n−3

0 a0 a2 a2n−4

...........................

...........................

0 0 0 an

D1 = a1 D2 =a1 a3

a0 a2

D3 =a1 a3 a5

a0 a2 a4

0 a1 a3

146

Orain, lehen zutabeko elementuen zeinuak aztertu behar dira. Elementu guztiek zeinu

berbera badute, polinomioaren erro guztiak s planoko zati erreal negatiboan daude. Zeinu-

-aldaketak gertatzen badira, zeinu-aldaketen kopuruak zati erreal positiboan dauden

erroen kopurua ematen du. Honen guztiaren arrazoia elementuen eta Hurwitz-en determi-

nanteen erlazioetan oinarrituta dago.

(5.54)

5.1 Adibidea

Demagun hurrengo polinomioaren erroetako bat zati erreal positiboan dagoen jakin

nahi dela,

Koefiziente batzuen zeinua negatiboa denez gero, zati erreala positibo duten erroak

badaude. Erro horien kopurua aztertuko da.

Lehendabiziko zutabean bi zeinu-aldaketa daudenez gero, bi erro izango dira zati

erreala positibo dutenak, (s = 2 eta s = 3).

5.2.3. Kasu bereziak

Batzuetan, Routh-en metodoa aplikatzerakoan zailtasunak ager daitezke:

s3 1 −5

s2 −4 6

s1 (−4).(−5) − (6).(1)

−4= −3.5 0

s0 (−3.5).(−6) − (−4).(0)

−3.5= 6

(s − 2)(s +1)(s − 3) = s3 − 4s2 − 5s + 6 = 0

s6 a0 = a0

s5 a1 = D1

s4 A = D2 / D1

s3 C = D3 / D2

s2 E = D4 / D3

s1 F = D5 / D4

s0 a6 = D6 / D5


1. Lerro bateko lehenengo elementua zero izatea, besteak ez.

2. Lerro bateko elementu guztiak zero izatea.

Bi kasu horiek banandurik aztertuko dira:

Lerro bateko lehendabiziko elementua zeroa bada, hurrengo lerroko elementu guztiak

infinitu izango dira eta ezin jarraituko da frogarekin. Horregatik, zeroa agertzen den

lekuan, δ ipintzen da metodoarekin jarraitzearren (δ << 1).

Lerro bateko elementu guztiak zero direnean berriz, alderantzizko zeinua duten erro

errealen bikotea, ardatz irudikarian kokatutako erro konplexu konjugatuak edo lauki

zuzena osatzen duten erro konplexuak egongo dira. Zeroz betetako lerroaren gainean

dauden koefizienteez osatutako ekuazioa ekuazio laguntzailea izango da. Ekuazio honen

ordena beti bikoitia izango da eta erro-bikoteeen kopurua adierazten du. Erro horiek non

dauden kokatuta jakiteko, ekuazioa askatzen da. Dena den, Routh-en metodoa ez hauste-

ko, ekuazio laguntzailearen lehen deribatua egin eta lortutako ekuazioaren koefizienteak

zeroak zeuden lekuetan jartzen dira eta frogarekin jarraitzen da.

5.2 Adibidea

Hurrengo ekuazio karakteristikoaren erroren bat zati erreal positiboan dagoen jakin

nahi da,

Routh-en metodoari jarraituz,

s6 1 3 2 1

s5 1 3 1

s4 0(δ) 1 1

s3 3δ −1

δδ −1

δs2 4δ −1 −δ2

3δ −11

s1 A

s0 1

s6 + s5 + 3s4 + 3s3 + 2s2 + s +1 = 0

148

non,

den.

Zeroaren ordez jarri den parametroa zero baino handiagoa baina bat baino askoz

txikiagoa denean, lehendabiziko zutabean zeinu negatiboak agertzen dira. Ondorioz,

ekuazio horretan zati erreal positiboa duten erroak daude.

5.3 Adibidea

Hurrengo ekuazio karakteristikoa aztertu behar da Routh-en metodoari jarraituz.

fi ekuazio laguntzailea

Lerro bat zeroz betea sortu denez gero, ekuazio laguntzailea hartuko da, hau da,

3s2+6=0 eta deribatu egingo da lerro horretan jarri beharko diren elementuak jakiteko.

Ekuazioaren deribatua 6s = 0 da. Routh-en metodoarekin jarraituz,

Orain, ekuazio laguntzailea askatu beharko da, nolako erroak dituen jakiteko.

Beraz, sistema ez da desegonkorra izango zati erreal positiboan errorik ez duelako.

Bestalde, ekuazio laguntzailearen erroak ardatz irudikariaren gainean daudenez gero,

sistema osoa desegonkortasunaren mugan egongo da.

3s2 + 6 = 0 ⇒ s2 = −2 ⇒ s = ± 2 j

s3 1 2

s2 3 6

s1 6

s0 6

s3 1 2

s2 3 6

s1 0 0

s3 + 3s2 + 2s + 6 = 0

A =

4δ −1 − δ2

3δ −1

δ −1

δ

− 3δ −1

δ

4δ −1 − δ2

3δ −1


5.3. EGOERA EGONKORREKO ANALISIA ETA SISTEMENSAILKAPENA

Sistema batek egoera egonkorra lortzen duela jakinik, egoera horretan duen portaera

aztertu nahi da. Sistemaren erantzunak erreferentzia edota sarrerako seinalearen berdina

izan behar duelako egiten da hori. Beraz, egoera egonkorreko errorea egoera egonkorrean

sistemak duen portaeraren neurri bat da.

Errore hau, bigizta irekiko G(s) transferentzi funtzio, sarrerako seinale eta perturba-

zio-seinaleen arabera, desberdina izango da. Egoera egonkorreko portaera sailkatzerakoan

egon daitezkeen sistema desberdin guztiak ez aztertzeko, errore-konstanteak aztertzera-

koan, sistemei zenbaki batzuk ezartzen zaizkie.

Demagun hurrengo kontrol-sistema (5.15 Irudia), non, G(s) bigizta irekiko trans-

ferentzi funtzioa den eta k kontroladorearen irabazpena den. Bestalde, bloke-diagramen

erredukzioak erabiliz, beste kontrol-sistemak ere modu honetan ipin daitezkeela suposa-

tzen da.

5.15 Irudia. Kontrol-sistema

Beraz, E(s), erreferentzia eta irteeraren arteko errorea hauxe izango da.

(5.55)

Egoera egonkorreko errorea ess funtzioak emango du, hau da,

(5.56)

eta azken balioaren teorema erabiliz,

(5.57)ess = lims→0

sE(s)

ess = limt→∞

e(t)

E(s) = 1

1 + kG(s)R(s)

150

R(s) E(s) U(s) C(s)k G(s)

hau da,

(5.58)

ess egoera egonkorreko errorea zero izango da idealki era askotako seinaleentzat,

maila sarrerak, arrapala sarrerak eta azelerazio sarrerak barne direlarik. Bestalde, ikus

daitekeenez, erroreak G(s) funtzioarekin ere zerikusi handia du. Horregatik, lehenbizi

sistemen sailkapena egingo da.

5.3.1. Sistemen sailkapena

5.15 Irudiko transferentzi funtzio zuzena honela jar daiteke,

(5.59)

non, sistemaren ordena izendatzailean agertzen den s-ren potentziarik handiena den, hau

da, n; sistemaren heina, izendatzaileko eta zenbakitzaileko s-ren potentziarik handienen

arteko diferentzia da, hau da, n – m ≥ 1; eta klasea (tipo-zenbakia), izendatzaileko s

faktorearen potentzia da, hau da, l. Sistemaren klasea, e(t) seinaletik c(t)-ra eskailera-eran

ipinita dauden bigizta irekiko integradoreen kopurua da.

5.4 Adibidea

i)

ordena = 4

heina = 4 – 1 = 3

tipoa = 1

G(s) = s + 2

s4 + 3s3 + 3s2 + s= s + 2

s(s3 + 3s2 + 3s +1)

kG(s) = kKG (s + a1)(s + a2 )...(s2 + bs + c)....

sl (s + d1)(s + d2 )...(s2 + es + f )...=

= kAks

k

k =0

m

∑

sl Bksk

k =0

n−l

∑, n ≥ m +1

ess = lims→0

s1

1 + kG(s)R(s)


ii)

ordena = 5

heina = 5

tipoa = 3

iii)

ordena = 3

heina = 1

tipoa = 0

5.3.2. Maila sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egonkorreko errorea

Kasu honetan sarrera maila erakoa da, R(s) = 1/s, eta beraz,

(5.60)

non,

(5.61)

eta kp-ri, posizioko errore-konstante esaten zaio.

Sistemaren tipoa 0 denean, (hau da, l = 0)

(5.62)

eta, ondorioz,

(5.63)

errorea ez da zero izango eta k handitzen den neurrian murriztuko da.

ess = 1

1 + kC0

kp = kA0

B0

= kC0

kp = lims→0

kG(s)[ ]

ess = lims→0

1

1 + kG(s)

= 1

1 + lims→0

kG(s)[ ]= 1

1 + kp

G(s) = s2 + s +1

(s + 2)(s2 + s + 4)

G(s) = 1

s3(s + 2)(s +1)

152

1. tipoko sistemetan, l = 1, kp = ∞ izango da, kG(s) funtzioan s faktorea izendatzailean

dagoelako eta beraz,

(5.64)

hau da, egoera egonkorrean, sistemaren irteerak sarrerari jarraitzen dio. Ondorioz, bigizta

itxiko sistemaren egoera egonkorreko errorea zero izatea nahi bada, kG(s) funtzioak 1.

tipokoa izan beharko du gutxienez.

5.3.3. Abiadura sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egonkorreko errorea

r(t) = t abiadura sarreraren Laplace-ren transformazioa R(s) = 1/s2 da, eta egoera

egonkorreko errorea

(5.65)

non

(5.66)

kv abiadurako errore-konstantea den.

0. tipoko sistema batean,

(5.67)

eta, ondorioz, ess = ∞, hau da, 0. tipoko sistema batekin ezin zaio abiadura-seinaleari

jarraitu.

1. tipoko sistemetan,

(5.68)

eta, , hau da, egoera egonkorrean errore finitua lortzen da beti.ess = 1

kC0

kv = kA0

B0

= kC0

kv = 0

kv = lims→0

skG(s)[ ]

ess = lims→0

1

s + skG(s)

= 1

lims→0

skG(s)[ ]= 1

kv

ess = 0


2. tipoko sistemetan berriz,

(5.69)

eta egoera egonkorreko errorea zero da, hau da, irteerak sarrerari jarraitzen dio.

5.3.4. Azelerazio sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egonkorreko errorea

r(t) = t2/2 denez gero, R(s) = 1/s3 da, eta errorea berriz,

(5.70)

non,

(5.71)

azelerazioko errore-konstantea den.

Orain, tipo desberdinetako sistemak aztertuko dira.

0. tipoko sistemetan,

(5.72)

1. tipokoetan,

(5.73)

2. tipokoetan,

(5.74)

3. tipokoetan,

(5.75)ka = ∞ ⇒ ess = 0

ka = kC0 ⇒ ess = 1 kC0

ka = 0 ⇒ ess = ∞

ka = 0 ⇒ ess = ∞

ka = lims→0

s2kG(s)[ ]

ess = lims→0

1

s2 + s2kG(s)

= 1

lims→0

s2kG(s)[ ] = 1

ka

kv = ∞, ess = 0

154

Ondorioz, hurrengo 5.1 Taula eta 5.16, 5.17 Irudietan ager daitezke emaitzak.

5.1 Taula. Erroreak eta errore-konstanteak.

Errore-konstanteak Erroreak

Sistemaren maila arrapala azelerazio maila arrapala azelerazio

tipoa unitarioa unitarioa unitarioa unitarioa unitarioa unitarioa

0 kp 0 0 1/1+kp ∞ ∞

1 ∞ kv 0 0 1/kv ∞

2 ∞ ∞ ka 0 0 1/ka

3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0

5.16 Irudia 5.17 Irudia

5.5 Adibidea

Hurrengo sistemaren (5.18 Irudia) egoera egonkorreko erroreak aztertu nahi dira

k=4 denean.

5.18 Irudia

G' (s) = kG(s)

1 + kG(s)


c(t) c(t)

denbora denbora

1ess = ––––––––

1+kp

1ess = –––

kv

1 tipoa

1 tipoa

2 tipoa

0 tipoa

maila sarrera r(t) arrapala sarrera r(t)

R(s) E(s) C(s)1––––––––––––s (s+1) (s+2)

k

Posizioko errore-konstantea

Abiadurako errore-konstantea

Azelerazioko errore-konstantea

5.3.5. Perturbazioak agertzen direnean lortzen den errorea

Demagun erreferentziako seinalea zero dela eta D(s) perturbazioa agertzen dela siste-

maren irteeran,

(5.76)

eta egoera egonkorreko errorea honako hau izango da

(5.77)

Perturbazioa bigizta irekiko sistemaren irteeran agertzen denean, hau da, k eta G(s)-

-ren artean,

(5.78)

izango da eta, ondorioz, egoera egonkorreko errorea,

(5.79)

izango da.

ess = −lims→0

sG(s)

1 + kG(s)D(s)

E(s) = G(s)

1 + kG(s)D(s)

ess = −lims→0

s1

1 + kG(s)D(s)

E(s) = 1

1 + kG(s)D(s)

ka = lims→0

s2 4G(s)[ ] = lims→0

4s

s2 + 3s + 2

= 0

kv = lims→0

s4G(s)[ ] = lims→0

4

s2 + 3s + 2

= 2

kp = lims→0

4G(s)[ ] = lims→0

4

s3 + 3s2 + 2s

= ∞

156

5.4. LABURPENA

Kapitulu honetan zehar, lehen ordenako eta bigarren ordenako sistemek denboran zehar

aurkezten duten erantzuna aztertu da. Gainera, egonkortasunaren analisi laburra ere egin da.

Azkenik, sistema desberdinei sarrera-mota arruntenak ipinitakoan agertzen diren erroreen

azterketa egin da. Honekin guztiarekin, sistemen portaeraren lehen hurbilketa ikertu da.

5.5. BIBLIOGRAFIA

• Franklin G.F., Powell J.D., Emami-Naeini A., 1991, "Control de sistemas dinámicos

con retroalimentazión", Addison-Wesley Iberoamericana S.A., Estatu Batuak.

• Hostetter G.H., Savant Jr. C.J., Stefani R.T., 1982, "Design of Feedback Control

Systems", Holt-Saunders International Editions, Japonia.

• Marshall S.A., 1978, "Introduction to Control Theory", McMillan Publishers LTD.,

Hong Kong.

• Ogata K., 1970, "Modern Control Engineering", Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,

N.J.

5.6. ARIKETAK

5.1. Berrelikadura unitarioa duen bigizta irekiko transferentzi funtzioa hurrengoa da,

Routh erabiliz, sistema hori egonkortzen duen k parametroaren balioak lortu.

5.2. Bigizta itxiko sistema baten transferentzi funtzioaren izendatzailea hurrengoa bada,

sistemaren egonkortasuna aztertu; desegonkorra bada, zati erreal positiboa duten

erroen kopurua kalkulatu.

s6 + 2s5 + 4s4 + 8s3 + s2 +10s +1

k.G(s) = k(s2 + s +1)

s(s2 + s + 4)(s + 2)(s + 5)


5.3. Hurrengo ekuazio karakteristikoa duen sistemaren egonkortasuna aztertu Routh

erabiliz.

5.4. Berrelikadura unitarioa duen eta G(s) transferentzi funtzio zuzena duen sistemaren

posizio, abiadura eta azelerazioko errore-konstanteak kalkulatu.

Ondoren, sarrera bezala maila unitarioa, arrapala unitarioa eta azelerazioa ipintzen

direnean egoera egonkorreko erroreak kalkulatu.

5.5. Berrelikadura unitarioa eta hurrengo transferentzi funtzio zuzena duen sistemaren k

balioa kalkulatu, egoera egonkorreko errorea 0,2 baino txikiago izan dadin maila

unitarioa sartzen denean.

Kalkulatu den k-ren balio horrentzat, sistemaren egonkortasuna aztertu.

5.6. Sarrera bezala maila unitarioa aplikatzen denean, A5.1 Irudiko sistemaren egoera

egonkorreko errorea lortu T = ∞ denean. T = 2s denean lortzen den erantzunarekin

konparatu. Sistemaren portaera aztertu T zerorantz doanean.

A5.1 Irudia.

5.7. Hurrengo funtzioetan sarrera bezala maila unitarioa aplikatzen denean, k-ren balioa

aztertu c(t) funtzioa egonkorra izan dadin. Ardatz irudikariaren gainean dauden

erroen balioak kalkulatu.

G(s) = k

s2 + 3s + 2

G(s) = 2(s + 2)

s2 (s + 4)

s5 + 2s4 + 6s3 +12s2 + s + 2 = 0

158

R(s) C(s)6––––––––––––

(s+1) (s+2) (s+3)1

K (1+ –– )Ts

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5.8. Hurrengo transferentzi funtzioak dituzten sistemetan, posizio, abiadura eta azelera-

zioko errore-konstanteak kalkulatu:

a)

b)

c)

d)

e) G(s) = 20(s + 3)

(s + 2)(s2 + 2s + 2)

G(s) = 14(s + 3)

s(s + 6)(s2 + 2s + 2)

G(s) = 20

s(s + 2)(0.4s +1)

G(s) = 108

s2 (s2 + 4s + 4)(s2 + 3s +12)

G(s) = 10

(0.4s +1)(0.5s +1)

C(s) = k(s + 4)

s s(s +1)(s + 2)(s + 3) + k(s + 4)[ ]

C(s) = k

s s3 + 6s2 +11s + (6 + k)[ ]

C(s) = k

s (s +1)(s + 2)(s + 4) + k[ ]

C(s) = k(s + 5)

s (s + 5)(s2 + 8s + 20) + k(s + 5)[ ]

C(s) = k(s +1)

s s2 (s3 + 3s2 + 2s + 4) + k(s +1)[ ]

C(s) = k

s s(s + 2)(s2 + 2s +10) + k[ ]


f)

g)

h)

i)

j)

5.9. A5.2 (a) Irudian, sistema mekanikoa aurkezten da. P = 2 kiloko indarra aplikatzen

denean (maila sarrera), masaren oszilazioa A5.2 (b) Irudikoa da. Erantzunaren

kurbatik m, f eta k lortu nahi dira.

A5.2 Irudia.

5.10. A5.3 Irudian, motore baten bidez gidatutako ibilgailuaren gainean jarritako

alderantzikatutako gingila agertzen da. Irudi hau espaziuntzi baten kontrolaren ere-

duarena da. Kontrolaren helburua untzia bertikal mantentzea da. Beraz, aurkeztu-

tako kasuan, gingila bertikal mantendu nahi da.

G(s) = 39

s2 (s −1)(s2 + 6s +13)

G(s) = 100(s −1)

s(s + 2)(1 + 0.25s)

G(s) = 4(s2 +10s + 50)

s2 (s + 5)(s2 + 6s +10)

G(s) = −6(1 + 0.04s)

s(1 + 0.1s)(1 + 0.1s + 0.01s2 )

G(s) = 11(s + 30)

s3(s +1)(0.2s +1)(s2 + 5s +15)

160

k

p x(t)

0.1

0

(a) (b)

m

1 2 3 4 5 t

0.0095 m

xf

m

A5.3 Irudia.

Dena den, espaziuntzia desegonkorra da eta noiznahi edozein aldetarantz eror dai-

teke. A5.3 Irudiko gingila bi dimentsioko arazo bezala aztertuko da. Gingila ber-

tikal mantentzearren, θ eta θ neurtuko dira jarraiki. Gero, u kontrol-indarra sor-

tzeko, kontroladore proportzional-deribatiboa erabiliko da,

a eta b parametroen balioak lortu sistema egonkorra izan dadin. Marruskadurarik ez

dagoela eta θ nahiz θ oso txikiak direla suposatu.

5.11. Berrelikadura unitarioa eta hurrengo transferentzi funtzio zuzena duen sistemaren

erantzuna lortu nahi da, maila unitarioa aplikatzen zaionean.

5.12. Potentzi planta baten maiztasun-kontrolaren sistemak A5.4 Irudian agertzen den

bloke-diagrama du. Egonkortasuna eta egoera egonkorreko erroreak aztertu K-ren

funtzio bezala, sarrera arrapala unitarioa eta L(s) seinalea maila unitarioa direnean.

A5.4 Irudia.

G(s) = 5(s + 20)

s(s + 4.59)(s2 + 3.41s +16.35)

u = M(aθ + bθ)


θ

m

y

uM

l

l

•

• •

•

Anplifikadoreaeta balbula

gidatzailea, K

Iratopen--balbula

Turbinako fuelarenproportzioa

Turbinakotortsioa Kargaren

tortsioa L(s)

Abiadura V(s)

AbiadurakoSentsorea

10

Neurtutako abiadurarekikoproportzionala den tentsioa

Gidatzailea50–––s+5

Sorgailua8

–––s+2

Turbina1

–––s+4

Erreferentziakoabiadurarekikoproportzionaladen tentsioaV(s)

5.13. A5.5 Irudian, prozesu kimiko baten kontrol-sistemaren bloke-diagrama sinplea

agertzen da. Kontroladorea PID motakoa da (sortzen duen seinalea, f(t)-rekiko pro-

portzionala den seinalea, f(t)-ren deribatua nahiz integrala diren seinaleen konbi-

naketa lineala da). k1, k2 eta k3-ren balioak kalkulatu maila unitarioa ipintzen

denean sarrera bezala, egoera egonkorreko errorea zero izan dadin eta egonkor-

tasun erlatiboa gutxienez 5 unitatekoa izan dadin.

A5.5 Irudia.

5.14. A5.6 Irudiak urpekuntzi baten sakonera-kontrolaren eredu sinplea aurkezten du,

beronen transferentzi funtzioa honako hau delarik,

• Sistemaren egonkortasuna aztertu.

• Lortu nahi den sakontasunean maila unitarioko aldaketa sartzen bada, egoera

egonkorrean sortzen den aldaketa neurtu.

A5.6 Irudia.

G(s) = 104

s2 + 2000s +106

162

Kontroladorea

k3k1s+k2+ –––

s

Eragilea eta balbulaproportzionala

4–––––s+0.3

Tenperaturarensentsorea

0.2–––––s+0.2

Prozesu kimikoa0.5

––––––––––s2+s+0.1

Lortu nahi dentenperaturaR(s)

Eragilearenkorrontea

Erreaktantearenfluxuko

proportzioaTenperatura

C(s)

Lortu nahi densakontasunaR(s) Bi bide dituen ponpa

proportzionala, 1Untzia egonkortzeko

dinamika, G(s)

Presioarenneurketa, 1

Untziak mugitzenduen uraren pisua

L(s)

SakontasunaC(s)1000

––––s

6.1. SARRERA

Kontrol-teoriaren arlo garrantzitsu bat sistemen erantzun frekuentzialari dagokiona da.

Azterketa hau sistema baten portaera deskribatzeko beste era bat da eta normalean, inge-

niaritza elektrikoko oinarriak dituzten kontrol-ingeniariek gehien erabiltzen duten meto-

doa da. Sistemaren portaera aztertzerakoan, sarrera sinusoidala ipintzen dela suposatzen

du metodo honek; bigizta irekiko sistematik lortzen duen informazioarekin bigizta itxiko

egonkortasunaren azterketa egiten du.

Beraz, erantzun iragankorra aztertzean, sistemak denboran zehar duen portaera ikus-

ten zen eta metodo frekuentzialen bidez, sistemaren poloen kokaerak atera daitezke teore-

ma batzuk erabiliz.

Kontrolatu behar den sistemaren transferentzi funtzioa analitikoki ezin da kalkulatu

eta esperimentazio bidez atera behar da. Horixe da arrazoi garrantzitsuena erantzun fre-

kuentziala erabiltzeko. Sistemari anplitude berdineko baina maiztasun desberdineko sei-

nale sinusoidalak sartzen zaizkio eta lortutako erantzuna aztertzen da anplitude eta

fasearen bitartez. Informazio honekin, kontrol-sistema egoki baten diseinua egin daiteke.

Kapitulu honetan, sistema linealen erantzun frekuentzialak atera eta berauen grafikoak

egingo dira metodo desberdinak erabiliz; diagrama polarrak (Nyquist), anplitude/maiz-

tasun eta fase/maiztasun diagramak (Bode) eta anplitude/fase diagramak (Nichols). Gero,

bigizta irekiko sistemen diagramatik bigizta itxiko sistemen egonkortasuna aztertuko da.

6.2. SISTEMA BATEN ERANTZUN FREKUENTZIALA

Demagun 6.1 Irudiko bigizta irekiko sisteman, sarrerako u(t) seinalea anplitudea = 1

eta maiztasuna = ω dituen seinale sinusoidala dela, hau da, u(t) = sin ωt. Orduan, trans-

formazioa erabiliz lortzen den erantzuna,


6. ERANTZUN FREKUENTZIALA ERABILTZENDUTEN METODOAK

(6.1)

izango da non, sarrerako seinalearen Laplace-ren transformazioa den.

6.1 Irudia. Denboran zehar aldatzen ez den sistema lineala

(6.1) ekuazioko erlazioa bi gaien batura bezala jar daiteke,

(6.2)

(6.1) eta (6.2) ekuazioetako zenbakitzaileak konparatuz gero,

(6.3)

eta identitatea denez gero, s-ren balio guztientzat beteko da. s = jω jarriz eta g(s) fun-

tzioan (s2+ω2) gairik ez dagoela suposatuz,

(6.4)

hau da,

(6.5)

non G(jω) bigizta irekiko G(s) transferentzi funtziotik zuzenean ateratzen den s = jωipiniz.

(6.5) ekuazioko zati erreala eta irudikaria berdinduz,

(6.6)

eta balio hauek (6.2) ekuazioan sartuz gero,

(6.7)X(s) = K(s)

g(s)+ Irs + Erω

s2 + ω2

B = Er G( jω)[ ]ω A = Ir G( jω)[ ]

(Ajω + B) = f ( jω)

g( jω)ω = G( jω)ω

g( jω)(Ajω + B) = f ( jω)ω

K(s)(s2 + ω2 ) + g(s)(As + B) ≡ f (s)ω

X(s) = K(s)

g(s)+ As + B

s2 + ω2= K(s)(s2 + ω2 ) + g(s)(As + B)

g(s)(s2 + ω2 )

ωs2 + ω2

X(s) = G(s)U(s) = f (s)

g(s)U(s) = f (s)

g(s)

ωs2 + ω2

164

u (t)

U (s)

x (t)

X (s)G (s)

Ekuazio honetako lehendabiziko osagaiak erantzunaren zati iragankorra aurkezten du

eta frakzioen zatiketa egin ondoren lortzen diren terminoen izendatzaileak (s+a) eta

(s2+bs+c) erakoak izango dira. G(s) funtzioa sistema egonkorraren agerpena denez gero,

osagai hauek esponentzialki gero eta txikiagoak izango dira, desagertu arte. Bigarren

osagaia berriz, lehen osagaiari loturiko erantzun iragankorra desagertu ondoren ere, beti

agertuko den seinalea da sarrera sinusoidala delako. Beraz, (6.7) ekuaziotik azkenean

geratuko den erantzuna hurrengoa dela esan daiteke.

(6.8)

Ondorioz, Laplace-ren alderantzizko transformazioak erabiliz,

(6.9)

hau da,

(6.10)

(6.11)

non,

den (6.12)

(6.11) ekuazioak G(s) transferentzi funtzioa duen sistemaren erantzun frekuentziala

aurkezten du. Sistemari anplitudea unitatea duen seinale sinusoidala sartuz gero, egoera

egonkorreko irteera, maiztasun berdineko eta anplitudea = |G(jω)| eta fasea φ = arg G(jω)

dituen seinale sinusoidala izango dela argi dago. Hau guztia 6.2 Irudian ikus daiteke.

φ = arg(G( jω))

= G( jω) sin(ωt + φ)

x(t) = Er2 + Ir2( )+1 2sin ωt + tan−1 Ir

Er

x(t) = L-1Irs + Erω

s2 + ω2= IrL

-1s + Er Irωs2 + ω2

=

= Ir

ωEr2

Ir2ω2 + ω2

+1 2

sin ωt + tan−1 ωIr

ωEr

X(s) = Irs + Erωs2 + ω2


6.2 Irudia. Sarrera- eta irteera-seinale sinusoidalak

Beraz, sistema baten transferentzi funtzioa jakinik sistema horren erantzun frekuen-

tziala ezagutzeko, s = jω ipini eta orduan, lortutako funtzioaren modulua eta argumentoa

kalkulatu behar dira.

6.1 Adibidea

eta transferentzi funtzioak dituzten sistemen erantzun

frekuentzialeko funtzioak kalkulatu nahi dira.

i) denean,

Beraz,

izango dira. Ondorioz,

eta

G( jω) = (Er2 + Ir2 )1 2 = 1

1 + ω2T 2

2

+ ωT

1 + ω2T 2

2

1 2

= 1

1 + ω2T 2

1 2

Ir(ω) = −ωT

1 + ω2T 2

Er(ω) = 1

1 + ω2T 2

G( jω) = 1

1 + jωT= 1 − jωT

1 + ω2T 2= Er(ω) + jIr(ω)

G(s) = 1

1 + sT

ω2

s2 + 2ξωns + ωn2

1

1 + sT

166

Sarrera u (t) = Usin ω t

Irteera x (t) = Xsin (ω t+φ)

t

UX

Zeinu negatiboak, irteera sarrera baino atzerago doala esan nahi du. Beraz,

(6.13)

ii) denean,

Orain, u sarrerako seinale sinusoidalaren maiztasunaren eta maiztasun naturalaren

arteko erlazio bezala definitzen bada,

(6.14)

orduan,

eta

(6.15)

Berriro, irteera sarrerarekiko atzeratuta dago. (6.14) eta (6.15) erlazioak oso garran-

tzitsuak direnez gero, ondoren ere aipatuko dira.

G( jω) = 1

1 − u2( )2+ 2ξu( )2

1 2

argG( jω) = tan−1 −2ξu

1 − u2

G(jω) =1 − u2( ) − j2ξu

1 − u2( )2+ 2ξu( )2

u = ωωn

G( jω) = ωn2

( jω)2 + 2ξωn ( jω) + ωn2

= ωn2

(ωn2 − ω2 ) + j2ξωnω

=

=ωn

2 ωn2 − ω2( ) − j2ξωnω[ ]

ωn2 − ω2( )2

+ 2ξωnω( )2

G(s) = ωn2

s2 + 2ξωns + ωn2

x(t) = 1

1 + ω2T 2

1 2

sin ωt + tan−1(−ωT )[ ]

argG( jω) = tan−1 Ir

Er= tan−1(−ωT )


Sistema baten transferentzi funtzioa transferentzi funtzio sinpleen biderkadura bezala

agertzen den kasuetan,

(6.16)

sistema osoaren erantzun frekuentziala lortzeko, funtzio sinpleen anplitudeen biderkaketa

eta fase-funtzioen batuketa egiten dira. Beraz,

(6.17)

eta,

(6.18)

6.2 Adibidea

Hurrengo transferentzi funtzioa duen erantzun frekuentziala kalkulatu nahi da

(6.13), (6.17) eta (6.18) ekuazioen emaitzak erabiliz,

eta

eta, ondorioz, x(t) kalkula daiteke.

(6.11) ekuazioa erabiliz, ω maiztasuna 0tik ∞ra doanean, sistemaren anplitudea eta

fasea aldatu egingo direla eta sistemaren erantzun frekuentzial osoa lortuko dela argi

dago. Ezaugarri hauek grafikoki errazago ikusten dira eta, ondoren, metodo grafikoak

garatuko dira sistemen egonkortasuna aztertzearren.

Dena den, hori egin aurretik, bigizta itxiko sistema baten portaera aztertuko da seinale

sinusoidala sartzen zaionean, sistema hori behar bada desegonkorra izango dela froga-

tzeko.

argG( jω) = −tan−1 ω − tan−1 2ω − tan−1 3ω

G( jω) = 1

1 + ω2

1 2 1

1 + 4ω2

1 2 1

1 + 9ω2

1 2

G(s) = 1

(s +1)(2s +1)(3s +1)

argG( jω) = argG1( jω) + argG2 ( jω) + argG3( jω)+...+argGn ( jω)

G( jω) = G1( jω) G2 ( jω) G3( jω) ... Gn ( jω)

G(s) = G1(s)G2 (s)G3(s)...Gn (s)

168

Har dezagun 6.3 Irudiko sistema, A eta B puntuen artean loturarik ez dagoela kontu-

tan hartuz.

6.3 Irudia. Bigizta itxiko sistema.

Demagun B puntuko seinalea sinωt dela eta orduan, irteerako seinalea R sin(ωt+φ) eta

A puntukoa –R sin(ωt+φ) izango dira.

• φ = 180°, R < 1. Maiztasun berezi batean, φ = 180° dela eta anplitudea unitatea baino

txikiagoa dela suposatzen da. Orduan, xB = sin ωt eta xA = Rsin ωt izango dira. Beraz,

seinaleak txikiagotuz joango dira sistema egonkorra dela adieraziz.

• φ = 180°, R = 1. Kasu honetan, xB = sin ωt eta xA = sin ωt izango dira. Beraz,

irteerako seinalea bigiztan zehar joango da mugarik gabe, sistema desegonkortasuna-

ren mugan dagoela adieraziz.

• φ= 180°, R > 1. A puntuko seinalea B puntukoa baino handiagoa izango da eta etenga-

be handituz joango da desegonkortasuna adieraziz.

Ondorioz, bigizta irekiko fase eta anplitudearen ezaugarriek bigizta itxiko sistemaren

portaera nolakoa den adierazten dute.

6.2.1. s planoan egindako aurkezpena

Ikusi den bezala,

(6.19)

non, |G(s)|, s puntu horretatik zeroetara dauden distantzien biderkadura eta puntu horreta-

tik poloetara dauden distantzien biderkaduraren arteko erlazioa den; eta arg G(s) zeroek

osatzen dituzten angeluen batura eta poloek osatzen dituzten angeluen baturaren arteko

diferentzia den.

G(s) = G(s) argG(s) = G(s) φ(s) = G(s)exp jφ(s)[ ]


KG (s)0 A B x(t)

Beraz,

(6.20)

6.4 Irudia. s planoko polo/zeroen konfigurazioa.

eta 6.4 Irudiko polo/zeroen konfigurazioaren kasuan

(6.21)

s puntua jatorritik ardatz irudikarian mugitzen denean, ω maiztasuna 0tik ∞ra joango

da eta (6.21) ekuazioko kantitateak ere aldatuz joango dira. Erantzun frekuentzial osoa

lortzeko, s puntua ardatz irudikarian zehar besterik ez da mugituko.

denean, 6.5 (a) Iruditik hurrengo erlazioa ateratzen da,

(6.22)

eta |G(jω)|-ren gehienezko balioa ω = 0 denean gertatuko da; bestalde, ω = ∞ denean,

|G(jω)| = 0 izango da. Fasearen angelua, 0tik –90°-etara mugituko da, osagai hau

atzerapenekoa dela adieraziz.

G( jω) = G( jω) argG( jω) = 1

a/ − θ

G(s) = 1

1 + sT

G( jω) = a1 a2a3a4

argG( jω) = θ1 − θ2 − θ3 − θ4

G( jω) = G( jω) argG( jω)

170

irudikaria

s planoa

errealaθ4

θ3

θ1

a4 a3

a2a1

θ2

jω

6.5 Irudia.(a) Atzeratze-sistemaren polo-konfigurazioa. (b) Bigarren ordenako sistemaren

polo-konfigurazioa.

6.5 (b) Irudian agertzen den bigarren ordenako kasuan berriz,

(6.23)

fase-angelua 0 eta –180° bitartean aldatzen delarik. Gainera, moduluaren gehienezko

balioa maiztasuna zero denean edo beste edozein maiztasunetan gerta daiteke poloen

kokaeren arabera, hau da, moteltze-faktorearen arabera.

6.3. FUNTZIO FREKUENTZIALAREN AURKEZPEN GRAFIKOA

G(jω) = |G(jω)| argG(jω) funtzio frekuentziala grafikoki jartzeko, |G(jω)| eta argG(jω)

funtzioen grafikoak egin daitezke maiztasunaren arabera, hau da, 0 ≤ ω ≤ ∞ balioak

hartzen dituenean. Gainera, grafiko-mota desberdinak egin daitezke:

• Diagrama polarra. Grafiko honetan, G(jω1) puntua, |G(jω1)| modulua duen lerro batez

aurkezten da, lerro honek ardatz erreal positiboarekin osatzen duen angelua

φ=argG(jω1) delarik, erlojuaren orratzen norantza positibo bezala hartzen denean, 6.6

Irudia. Diagrama hau bektoriala da eta Nyquist-en diagrama bezala ezagutzen da.

G( jω) = 1

a1a2

/ − θ1 − θ2


θ1

θ2

θ1

a1

a2

jω

a

1–––T

(a) (b)

jωs planoa

6.6 Irudia. Diagrama polarra.

• Anplitude/maiztasun eta fase/maiztasun diagrama, maiztasun berberarekin lan egiten

duten bi grafikok osatzen dute, 6.7 Irudian ikusten den bezala. Normalean, anplitude

eta maiztasunarentzat eskala logaritmikoak erabiltzen dira eta fasearentzat berriz,

lineala. Lortzen den grafikoa Bode-ren diagrama da.

6.7 Irudia. Bode-ren diagrama.

• Anplitude/fase-diagrama grafiko bakarra da. Bertan, anplitudearentzat eskala logarit-

mikoa eta fasearentzat berriz, lineala erabiltzen dira. Diagrama hau, Nichols-en

diagrama da (6.8 Irudia).

172

irudikaria

G (jω) planoa

Ir[G (jω1)]

Er[G (jω1)]

[G (jω1)]

G (jω1)

φ (jω1)erreala

fasea

maiztasuna

maiztasuna

anplitudea(irabazpena)

6.8 Irudia. Nichols-en diagrama.

6.3.1. Diagrama polarra edo Nyquist-en diagrama

Normalean, G(s) bigizta irekiko transferentzi funtzioa osagai sinpleen biderkadura

bezala agertzen da,

(6.24)

non, zenbakitzailearen ordena izendatzailearena baino txikiagoa den. Bestalde, (6.17) eta

(6.18) ekuazioen arabera,

osagai sinpleen Nyquist-en diagramak egin ondoren, sistema konplexuagoen diagramak

egitea erraza izango da.

6.3.1.1. k irabazpena

Nyquist-en diagrama jatorritik k distantziara ardatz errealean kokatuta dagoen puntu

bat besterik ez da.

(6.25)

6.3.1.2. 1/s integrazioa

Kasu honetan,

G(s) = 1/s eta G(jω) = 1/jω dira. Beraz,

(6.26)G( jω) = 1

ω; argG( jω) = tan−1(−∞) = −900

G( jω) = k ;argG( jω) = 0

k, sl , (a1s +1), (b1s2 + c1s +1)

G(s) = k(a1s +1)...(b1s2 + c1s +1)...

sl (d1s +1)...(e1s2 + f1s +1)...


anplitudea

fasea

Modulua ∞tik 0ra aldatzen da eta angelua, maiztasuna aldatzen bada ere, –90°-koa

izango da beti. Ondorioz, integrazio-gai batek, –90°-ko atzerapen-angelua sartzen du

sisteman. Gai honen Nyquist-en diagrama 6.9 (a) Irudian ikusten da 1/s2 gaiarenarekin

batean, Bigarren kasu honetan, beste –90°-ko atzerapena lortzen da; ondorioz, 1/s2 gaiak,

–180°-ko atzerapena sartuko du. Normalean, diagrama guztietan maiztasunaren hazierako

norabidea ipintzen da egonkortasuna aztertzerakoan garrantzitsua delako.

6.9 Irudia. (a) k, 1/s, 1/s2 funtzioen diagrama polarra. (b) s eta s2 funtzioen diagrama polarra.

6.3.1.3. s diferentziazio-gaia

Kasu honetan, G(s) = s eta G(jω) = jω dira. Beraz,

(6.27)

Honek diferentziazioaren bitartez maiztasun guztietan aurrerapena sartzen dela esan

nahi du. s eta s2 funtzioen Nyquist-en diagramak 6.9 (b) Irudian aurkezten dira.

6.3.1.4. 1/(Ts+1) lehen ordenako gaia izendatzailean

Hauek (6.13) ekuazioan agertzen ziren lehen ordenako atzerapen-gaiei lotuta daude.

(6.28)

Maiztasuna zero denean, modulua unitatea da eta fasearen angelua zero; maiztasun

infinitu denean, modulua zero eta fasea = –90°. Maiztasun ω = 1/T denean, hau da, ωT=1,

modulua = 1/√-2 eta angelua = –45° dira. 6.10 Irudian grafiko hau zirkulu baten erdia dela

G( jω) = 1

1 + ω2T 2

1 2

; argG( jω) = tan−1(−ωT )

G( jω) = ω ; argG( jω) = tan−1(∞) = 900

174

G(jω) planoa

jω

1–––jω

1–––jω

(jω)2

K

(a) (b)

ω handituz

( )2

ω = ∞

ω = ∞

ω = ∞

ω = 0

ω = 0

ω = 0

ikusten da eta, gainera, maiztasun bakoitzerako irabazpena eta fasea erabiliz grafikoa nola

egiten den aurkezten da.

6.10 Irudia. 1/1+Ts funtzioaren diagrama polarra

6.3.1.5. Ts+1 lehen ordenako gaia zenbakitzailean

Hauek lehen ordenako aurreratze-gaiei lotuta daude,

(6.29)

Kasu honetan, fasearen angelua beti positibo da eta Nyquist-en diagrama 6.10 Irudian

agertzen denaren alderantzizkoa da.

6.3.1.6. 1/(T2s2 + 2ξTs + 1) bigarren ordenako gaiak izendatzailean

T = 1/ωn bada eta u = ω/ωn, orduan, anplitude nahiz argumentua kalkulatzeko (6.15)

ekuazioak erabiliko dira, hau da,

(6.30)

Maiztasuna ω denean, modulua nahiz argumentua ωn eta ξ faktorearen funtzio dira,

hau da, maiztasun naturalaren eta moteltze-faktorearen funtzio.

G( jω) = 1

1 − u2( )2+ 2ξu( )2

1 2


1 − u2

G( jω) = (1 + ω2T 2 )1 2 ; argG( jω) = tan−1 ωT


G (j )

Ir

1

Er0.50 ω = 0

ω = ∞

ω

ωT = 1

ωT–––––––1+ω2T2

1–––––––1+ω2T2

1––T

G (j )1––T

Sarrerako seinaleak maiztasun txikikoak direnean, irteerak ongi jarraitzen dio sarre-

rari, baina atzerapen-apur batekin; sarrerak maiztasun handikoak direnean berriz, irteera-

ren anplitudea txikia da eta sarrera eta irteeraren artean –180°-ko atzerapena agertzen da.

Adibidez,

u = 0 denean, |G(jω)| = 1 ; arg G (jω) = 0

u = ∞ denean, |G(jω)| = 1 ; arg G (jω) = –180°

u = 1 denean, (ω = ωn) |G(jω)| = 1/2ξ ; arg G (jω) = –90°

u parametroaren arabera egindako grafikoa 6.11 Irudikoa da eta moteltze-faktorearen

aldaketak duen eragina argi ikus daiteke bertan. Moteltze-faktorea txikiagotzen den beza-

la, modulua handitu egiten da, bigarren ordenako sistema oszilakorrago bihurtzen dela

adieraziz.

(6.30) ekuaziotik, |G(jω)| moduluaren gehienezko balioa izendatzailea minimoa

denean gertatuko da. Bestalde, balio hori ωr erresonantziako maiztasunean gertatzen da.

(6.31)

eta, gainera, erresonantzia (Mr > 1), ξ < 0.707 denean bakarrik gertatzen da.

6.11 Irudia. 1/(T2s2+2ξξTs+1) funtzioaren diagrama polarra.

Mr = 1

2ξ 1 − ξ 2; ωr = ωn 1 − 2ξ 2

176

ω = ∞

ω = 0

ξ handia

ξ txikia

ωn

ωn

ωn

ωn

Ir

Er

1

0

ωn maiztasun naturalaren, moteldutako maiztasun naturalaren

eta ωr erresonantziako maiztasunen arteko erlazioa 6.12 Irudian agertzen dena da. Ikusten

denez, moteltze-faktorea zerorantz doanean, hiru maiztasunak maiztasun naturalerantz

doaz.

6.12 Irudia. Maiztasun naturalaren eta erresonantziako maiztasunaren arteko erlazioa.

Azkenik, funtzio honen diagramak bi koadrante behar ditu eta beste kasuetan bat bes-

terik ez zen behar. Beraz, hirugarren ordenako sistemek hiru koadrante beharko dituzte

(–270° jartzeko) eta horrela jarraitzen da sistemaren ordena handitzen denean.

6.3.1.7. T2s2 + 2ξTs + 1 bigarren ordenako gaiak zenbakitzailean

Funtzio honen Nyquist-en diagrama 6.13 Irudian aurkezten da eta, ikusten denez,

ardatz errealararen gainean dago.

6.13 Irudia.T2s2 + 2ξξTs + 1 Funtzioaren diagrama polarra.

ωd = ωn 1 − ξ 2


ωn moteldu gabeko maiztasun naturala

ξ moteltze-faktorea

moteldutako maiztasunnaturala ωd

erresonantziakomaiztasuna ωr

1.00.2 0.80.4 0.60

Ir

Er0 1

∞

ω = 0

ω

6.3 Adibidea

Hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren Nyquist-en diagrama egin behar da.

i) α < 1 denean

ii) α > 1 denean.

Sistema honi aurreratze/atzeratze sistema deritzo (α < 1 edo α > 1 denean) eta (6.28)

eta (6.29) ekuazioak erabiliz,

i) α < 1 denean, fasea positibo da eta, ondorioz, aurreratze-sistema da. Gehienezko

aurreratze-angelua ,

denean gertatuko da, hau da, denean.

ii) α > 1 denean, atzeratze-sistema da eta gehienezko atzeratze-angelua,

izango da. Bi kasuen diagramak 6.14 Irudian agertzen dira.

φmax = −tan−1 (1 − α ) 2 α[ ] = −sin−1 (1 − α ) (1 + α )[ ]

φmax = tan−1 (1 − α ) 2 α[ ] = sin−1 (1 − α ) (1 + α )[ ]

ω = 1 T α

dφdt

= T

1 + ω2T 2− αT

1 + α 2ω2T 2= 0

G( jω) = 1 + ω2T 2

1 + α 2ω2T 2

1 2

; argG( jω) = tan−1 ωT − tan−1 αωT

G(s) = 1 + Ts

1 + αTs

178

6.14 Irudia.

6.15 irudian, bigizta irekiko sistema arruntenetako batzuen Nyquist-en diagramak aur-

kezten dira eta, adibide bezala, hurrengo sistemenak ere egin daitezke.

6.4 Adibidea

Hurrengo bigizta irekiko sistemaren Nyquist-en diagrama egin behar da,

i) k = 30

ii) k = 140

iii) k = 200 denean.

Lehenbizi, kG(s) funtzioa beste era honetan ipiniko da,

kG(s) = k(s +1)

(s)2(0.5s +1)3(0.33s +1)4(0.25s +1)= k1(s +1)

s(0.5s +1)(0.33s +1)(0.25s +1)

kG(s) = k(s +1)

s(s + 2)(s + 3)(s + 4)


aurrerapena

atzerapena21

Ir

0 Erφmax

φmax

180

6.15 Irudia. Transferentzi funtzio sinpleen diagrama polarrak.

Ir

Er0

1–––jω

1–a

jω

0

ω=∞

ω

Ir

Er0

1––––(jω)2

0

ω=∞

ω

Ir

Er0

1+jωT––––––

jωT

0

1

1

ω=∞

Ir

Er0

jωT––––––1+jωT

1

ω=∞

ω=0

Ir

Er

(a>1)

0

1+jωT–––––––1+jωaT

1–––––––––––––––––––––(1+jωT1)(1+jωT2)(1+jωT3)

1+jωT1––––––––––––––––jω(1+jωT2)(1+jωT3)

ωn2

–––––––––––––––––––jω[(jω)2+2ξωnjω+ωn

2]

1ω=∞ω=0

Ir

Er0

0

ω=∞

ω

Ir

Er0

0

ω=∞

ω

Ir

Er0

1ω=∞

ω=0

ω

Ir

Er

∞

0

ω=0

ω1+jωT

Ir

Er

∞

0

ω=0

ω

non, k1 = k/24 den. Aurrean lortutako emaitzak erabiliz,

Beraz, maiztasuna txikia denean, irabazpena handia da eta 90° atzeratuta dago;

maiztasuna handia denean berriz, modulua txikia da eta atzerapen-angelua 270°-koa da.

Beste puntu batzuk 6.1 Taulan agertzen dira eta Nyquist-en diagramak 6.16 Irudian

agertzen dira.

6.1 Taula

ω 0 1 2 3 4 5 10 20 ∞

|Gj(ω)|/k1 ∞ 1.16 0.59 0.33 0.2 0.12 0.021 0.0029 0

φ –90 –104 –132 –156 –175 –190 –226 –247 –270

Bigizta itxiko sistemaren egonkortasuna Routh-en teoria erabiliz azter daiteke. Beraz,

k = 30 denean sistema egonkorra dela ikus daiteke eta polo guztiak s planoaren

ezkerraldean daude. k = 140 denean, sistema egonkortasunaren mugan dago, hau da,

bigizta itxiko bi polo daude ardatz irudikarian. k = 200 denean, sistema desegonkorra da

bi polo agertzen direlako s planoaren eskuinaldean.

Nyquist-en diagraman ikusten denez, k = 30 denean eta maiztasuna handituz doanean

lortzen den grafikoa, (–1,0) puntutik eskuinaldean geratzen da. k = 140 denean, grafikoa

(–1,0) puntuaren gainetik pasatzen da eta azkenik, k = 200 denean, grafikoa (–1,0)

puntuaren ezkerraldetik pasatzen da. Geroago ikusiko denez, hau guztia bigizta itxiko

egonkortasunaren teoriari lotuta dago, eta bigizta itxiko sistemen egonkortasun absolutu

nahiz erlatiboa aztertzeko erabiliko da.

argG( jω) = tan−1 ω − tan−1 0.5ω − tan−1 0.33ω − tan−1 0.25ω − 90º

G( jω) = k1

(1 + ω2 )1 2

ω(1 + 0.25ω2 )1 2 (1 + 0.11ω2 )1 2 (1 + 0.063ω2 )1 2


6.16 Irudia.

6.3.2. Fase minimoa ez duten sistemak

Orain arte aztertu diren sistemak egonkorrak ziren eta zeroak s planoaren ezker zatian

kokatuta zeuden. Sistema hauek fase minimokoak direla esaten da, eta izendatzaileko

gaiek fasearen atzerapena eta izendatzailekoek fase-aurrerapena ematen dutela adierazten

du.

Fase minimoa ez duten sistemak, zeroak s planoko eskuinaldean kokatuta badituzte

ere, egonkorrak izaten dira. Ondorioz, zenbakitzailean, fasearen atzerapenean laguntzen

duten gai batzuk agertzen dira. Sistema hauek kontrolatzen zailagoak izaten dira beren

izaeragatik (fasearen atzerapena gehitzen dutelako).

6.3.3. Bode-ren diagrama

Bode-ren diagramak bi grafiko ditu, anplitude/maiztasun eta fase/maiztasun, eta

Nyquist-en diagramaren parametrikoa ez den aurkezpena egiten dute. Nyquist-en dia-

gramak erantzun frekuentziala diagrama batean osorik aurkezteko abantaila badu ere, es-

kala logaritmikoak erabiltzen direnean Bode-ren diagramak dituen abantailak hurrengoak

dira:

182

G(jω) planoa

200k1=––––

24

140k1=––––

24

30k1= –––

24

–1

• gai indibidualak biderkatu ordez, gehitu egiten dira.

• maiztasun zabalak ager daitezke (hamarkada batek 10 eta 1 arteko maiztasunak aur-

kezten dituelako).

• sistema konplexuen Bode-ren diagrama azkar egin daiteke asintoten bidez egindako

hurbilketarekin, kalkulu luzeak saihestuz. Askotan, hurbilketa nahikoa izaten da egon-

kortasun erlatiboa neurtzeko.

Beraz,

(6.32)

bada, bigizta irekiko erantzun frekuentziala hurrengoa da:

eta (6.33)

Irabazpenaren ekuazioan logaritmoak erabiliz gero,

(6.34)

lehen aipatutako abantaila bat erakutsiz. Normalean irabazpena dezibeliotan aurkezten da

hurrengo erlazioa erabiliz,

irabazpena dezibeliotan (db) = 20 log (irabazpena) (6.35)

Praktika hau ingeniaritza elektrikoko telekomunikazioen adarretik dator.

Beraz, irabazpena 2 bada, dezibeliotan 20 log 2 = 6 db izango da, eta irabazpena 1/2

bada, 20 log 1/2 = –6 db izango da. Ondorioz, irabazpen positiboak handitzea eta

negatiboak moteltzea adierazten du.

Orain, hurrengo gai sinpleen Bode-ren diagramak egingo dira,

sistema konplexuagoen grafikoak hauetan oinarritzen direlako.

k, s, as +1, bs2 + cs +1

log G( jω) = log G1( jω) + log G2 ( jω) + log G3( jω)

φ( jω) = φ1( jω) + φ2 ( jω) + φ3( jω)

G( jω) = G1( jω) G2 ( jω) G3( jω)

G(s) = G1(s)G2 (s)G3(s)


6.3.3.1. k irabazpena

Dezibeliotan jarritako irabazpena 20 log k da beti eta ez da maiztasunarekin aldatzen.

Irabazpenaren grafikoan, maiztasunaren ardatzarekiko paraleloa den lerroa agertuko da.

6.3.3.2. 1/s integrazio-gaia

6.26 ekuaziotik, |G(jω)| = 1/ω ; arg G(jω) = –90° izango dira. Dezibeliotan neurtutako

irabazpena,

(6.36)

6.17 Irudia. (a) 1/jωω funtzioaren kurba frekuentzialak. (b) jωω funtzioaren kurba

frekuentzialak.

Funtzio hau –20db/hamarkada bakoitzeko malda duen lerro batez agertzen da irabaz-

penaren grafikoan. Lerro horiek ω = 1 maiztasuna duen puntua gurutzatzen du, 6.17(a)

Irudian ikusten denez. Fasearen grafikoan, –90° puntutik pasatzen den lerro bat agertzen

da maiztasunaren ardatzarekiko paralelo dena. Bestalde, 1/s2 funtzioaren malda –40

db/hamarkadakoa dela ikusten da.

20 log 1 ω( ) = −20 logω

184

–20 db/hamarkadako malda

20 db/hamarkadako malda

(a) (b)

db

40

20

0

–20

–400.1

0°

–90°

–180°

1 10 100 ω

0.1 1 10 100 ω 0.1 1 10 100 ω

φ180°

90°

0°

φ

db

40

20

0

–20

–400.1 1 10 100 ω

6.3.3.3. s gai deribatiboa

(6.27) ekuaziotik, |G(jω)| = ω eta arg G(jω) = 90° dira; ondorioz, irabazpena dezi-

beliotan 20 log ω izango da, 6.17(b) Irudian ikusten den bezala. Fasearen grafikoa maiz-

tasunarekiko independentea da eta 90° puntutik igarotzen denez, maiztasunaren ardatza-

rekiko paralelo da.

6.3.3.4. 1/(Ts+1), lehen ordenako atzerapen-gaia

(6.28) ekuaziotik, dezibeliotan jarritako irabazpena hurrengoa izango da,

(6.37)

eta angelua,

(6.38)

maiztasuna txikia denean, ω2T2 unitatea baino askoz txikiagoa izango denez, irabazpena

–10log1 izango da gutxi gora-behera, hau da, 0 db. Beraz, maiztasunak oso txikiak dire-

nean irabazpena dezibeliotan zero izango da. Maiztasuna handiagoen kasuan, ω2T2 uni-

tatea baino askoz handiagoa izango da eta irabazpena –10 log ω2T2 da gutxi gora-behera.

Hau da, –20 log ω – 20 log T, eta maiztasunaren ardatza ω = 1/T puntuan gurutzatzen

duen –20 db/hamarkada bakoitzeko maldako lerroa da. ω = 1/T maiztasunari hauste-

-maiztasuna deritzo eta puntu horretan irabazpenak –20 log 2 = –3 db da. Irabazpenaren

grafikoa 6.18 Irudian ikusten da. Grafiko horretan benetako grafikoa eta hurbilketa

asintotikoa agertzen dira.

Fasearen grafikoa lerro zuzenen bitartez hurbildu ezin bada ere, kurba ωT=1, φ=–45°

puntuarekiko simetrikoa dela esan daiteke. Grafikoan ikusten denez, maiztasun txikietan

atzerapen txikiak gertatzen dira eta maiztasun garaietan –90°-ko atzerapenak lortzen dira.

argG( jω) = tan−1 ωT

20 log1

1 + ω2T 2

1 2

= −20 log(1 + ω2T 2 )1 2 = −10 log(1 + ω2T 2 )


6.18 Irudia. 1/1 + jωωT funtzioaren hurbilketa asintotikoa, benetako anplitudearen kurba eta

fasearen kurba.

Askotan, hurbilketa hori sinpleago delako, sistema konplexuen grafiko azkarra egite-

ko erabiltzen da. Benetako eta hurbilketa-grafikoen arteko diferentziak 6.19 Irudian

aurkezten dira.

6.19 Irudia. 1/1 + jωωT kurbaren anplitudearen hurbilketa asintotikoa egiten denean lortzen

den errorea.

186

asintota

asintota

kurba zehatza

hauste--maiztasuna

10

0

–10

–20

0°

–45°

–90°1

––––20T

1––––10T

1––5T

1––2T

1––T

2––T

5––T

10––T

20–––T

db

φ

ω

hauste-maiztasuna

1––––10T

1––5T

1––2T

1––T

2––T

3––T

5––T

10––T

ω

0

db

–1

–2

–3

–4

6.3.3.5. (Ts+1) lehen ordenako aurreratze-gaia

Bode-ren diagrama osoa eta hurbilketa asintotikoa 6.20 Irudian agertzen dena da.

6.20 Irudia. 1 + jωωT funtzioaren anplitude nahiz fasearen kurbak.

6.3.3.6. 1/(T2s2+2Tξs+1) bigarren ordenako gaia izendatzailean

(6.30) ekuaziotik, irabazpena dezibeliotan hurrengoa da,

(6.39)

eta angelua,

(6.40)

non, T = 1/ωn, u = ω/ωn diren, hau da, u = ωT.

Maiztasun txikietan, irabazpena –20 log 1 da, hau da, 0 db. Maiztasun handietan

berriz, irabazpena –10 log u4 , hau da, –40 log ω –40 log T. Honen grafikoa, maiztasu-

naren ardatza ωT = 1, hau da, ω = ωn denean gurutzatzen duen eta –40db/hamarkadako

malda duen lerro zuzena da. Lerro hauek sistemaren hurbilketa asintotikoa dira. ω = ωnhauste-maiztasunean, irabazpena –10 log 4 ξ2 da, hau da, –20 log 4 ξ. Orduan, ξ = 0.5

denean irabazpena = 0db izango da eta grafikoa hauste-maiztasuneko puntutik moteltze-

-faktorearen balio horretara pasako da. Moteltze-faktorea txikia denean (ξ < 0.5), hur-

bilketa asintotikoa eta benetako kurbaren arteko errorea nabaria da hauste-maiztasuneko

puntuaren aldamenean. Hau, irabazpenaren grafikoan, 6.21 Irudian argi dago. Gainera,


1 − u2

20 log1

(1 − u2 )2 + (2ξu)2

1 2

= −10 log (1 − u2 )2 + (2ξu)2[ ]


kurba zehatza

asintota

asintota

40

20

0

–20

–40 0°

45°

90°

0.01––––

T0.1–––T

1––T

10––T

db

φ

ω 0.01––––

T0.1–––T

1––T

10––T

ω

erresonantzia ξ < 0.707 denean besterik ez da gertatuko eta erresonantziako maiztasuna

denean gertatuko da.

6.21 Irudian fasearen diagrama ere ikusten da. Maiztasun txikietan atzerapen txikiak

gertatzen dira eta maiztasun handietan 180°-koak lortzen dira. Hauste-maiztasunean,

fasea = –90° izango da.

6.3.3.7. (T2s2+2Tξs+1) bigarren ordenako gaia zenbakitzailean

Bode-ren diagrama 6.21 Irudietatik ateratzen da zuzenean eta adibide bezala proposa-

tzen da.

6.21 Irudia. Bigarren ordenako sistemaren anplitudearen hurbilketa asintotikoa nahiz kurba

erreala eta fasearen kurba.

ωrT = 1 − 2ξ 2

188

20

10

db

φ

0

–90°

0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10

asintotak

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7

ξ = 1.0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7

ξ = 1.0

–10

0°

–180°

0.1

ω–––ωn

6.3.3.8. e–Ts atzerapen gaia

Atzerapen gaiak fase minimoa ez duen sistema baten portaera adierazten du.

(6.41)

denean, anplitudea beti unitatea izango da, hau da,

(6.42)

Ondorioz, atzerapeneko gaiaren anplitudearen logaritmoa 0 db izango da. Bestalde,

faseko angelua hurrengoa da,

(6.43)

Ikusten denez, faseko angelua ω maiztasunarekin aldatzen da (6.22 Irudia).

6.22 Irudia. Atzerapen-gaiaren fase-angelua.

argG( jω) = −ωT(radianetan) = −57.3ωT(gradutan)

G( jω) = cosωT − j sinωT = 1

G( jω) = e− jωT


0°

e–jωt

–200°

–300°

–400°

–500°

–600°0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10

–100°

ωT

G(jω)=e–jωT

|G(jω)|=0 db

G

6.5 Adibidea

Hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren Bode-ren diagrama egin behar da,

i) α < 1

ii) α > 1, direnean.

Egin behar den guztia, (1+Ts) eta (1+αTs) funtzioen diagramak lortu eta bien

batuketa egitea da. Bestela, hurbilketa asintotiko osoa ateratzeko, zero irabazpenarekin

hasi eta lehen hauste-maiztasunera iritsitakoan (txikiena) 20 db/hamarkada gorantz edo

beherantz mugitu hurrengo hauste-maiztasunera iritsi arte. Orduan, 20 db/hamarkadako

malda gehitu edo kenduko da. Horrela jarraitzen da transferentzi funtzioaren gai bakoi-

tzarentzat. Fasearen diagrama egiteko, gai bakoitzaren fase-grafikoa egin eta guztiak

batzen dira.

• α < 1 denean, lehen hauste-maiztasuna zenbakitzailearena da, ω = 1/T puntuan.

Hurbilketak 20 db/hamarkada gorantz egingo du ω = 1/αT hurrengo hauste-maiztasu-

neraino. Orduan, 20db/hamarkada beherantz egin behar denez, ω > 1/αT maiztasu-

netik aurrera, maiztasunaren ardatzarekiko paralelo den lerroa lortzen da. Lortutako

diagrama 6.23 Irudian ikusten da eta aurreratze-zentzua du.

6.23 Irudia.

G(s) = 1 + Ts

1 + αTs

190

43

2

10

0

1 2 3 4

20

40

5

aurrerapena

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

ω(rad/s)

• α > 1 denean berriz, lehen hauste-maiztasuna izendatzailearena da, ω = 1/αT pun-

tuan. Beraz, hurbilketak beherantz egingo du 20 db/hamarkadako maldarekin

hurrengo hauste-maiztasunera iritsi arte, hau da, ω = 1/T punturaino. Hemendik

aurrera, grafikoa maiztasunaren ardatzarekiko paralelo den lerro zuzen bihurtzen da.

Bode-ren diagrama 6.24 Irudikoa da.

6.24 Irudia.

Adibide honetan, hurbilketa asintotikoak besterik ez dira egin eta kasu askotan hurbil-

keta hauek nahikoa zehatzak dira diseinua egiterakoan. Batzuetan, batez ere hauste-maiz-

tasunak elkarrengandik oso hurbil dauden kasuetan, puntu batzuen irabazpen zehatzak

jakin behar dira Bode-ren diagrama egiteko. Normalean, hauste-maiztasunetan benetako

kurbak hurbilketetik ±3db aldentzen direla gogoratzea nahikoa izaten da.

6.6 Adibidea

Hurrengo bigizta irekiko sistemaren Bode-ren diagrama egin behar da,

i) k = 1.25

ii) k = 5.83

iii) k = 8.33 denean.

kG(s) = k(s +1)

s(0.5s +1)(0.33s +1)(0.25s +1)


–1

–2

–3

–4

0–5

1 2 3 4

20

40

0

atzerapena

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

ω(rad/s)

Bode-ren hiru diagramak 6.25 Irudian ikusten dira eta benetako kurbek hurbilketa

asintotikoak jarraitzen dituztela argi dago. 6.4. Adibidean, i) egonkorra, ii) desegon-

kortasunaren mugan eta iii) desegonkorra zela ikusi zen. Orain, Bode-ren diagrama

erabiliz aztertuko dira.

6.25 Irudia.

i) Angelua = –180° denean (A puntua), hau da, maiztasuna = 4.35 rad/s denean, B

puntuan lortzen den irabazpena = –14 db da, hau da, –0.2. Lehen aipatu den bezala,

unitatea baino txikiagoa denez gero, sistema egonkorra da.

192

1 2 5 10

(iii)

(ii)

(i)

D

B

A

C3 4

10

0

–10

–20

–90

–180

–270

20

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

ω(rad/s)

ii) Kasu honetan irabazpena 0db da, hau da, 1.0 eta, ondorioz, sistema oszilakorra

izango da beti, desegonkortasunaren mugan egongo da.

iii) Irabazpena 3db dela ikusten da, hau da, 1.4 eta, ondorioz, seinalea gero eta handia-

goa egingo da sistema desegonkortuz.

Kapitulu honetako beste atal batean Bode-ren diagrama aztertuko da bigizta itxiko

sistemen egonkortasun absolutu eta erlatiboa kalkulatzeko.

6.3.4. Nichols-en diagrama

Erantzun frekuentziala era parametrikoan jartzeko beste modu bat Nichols-en dia-

grama erabiltzea da. Grafiko honetan, irabazpena dezibeliotan fasearen aurka jartzen da,

maiztasuna parametro bezala erabiliz. Diagrama hauek, bigizta irekiko sistemen portaera

jakinik, bigizta itxiko portaera eta, beraz, egonkortasun erlatiboa aurresateko erabiltzen

dira. Bigarren ordenako gaia izendatzailean duen sistema baten Nichols-en diagrama 6.26

Irudian ikusten da.

6.26 Irudia. 1/s2 funtzioaren Nichols-en diagrama.

6.7 Adibidea

6.6. Adibideko Bode-ren diagramei dagozkien Nichols-en diagramak 6.27 Irudian

aurkezten dira.


4

0

–4

–8

–12

–180 –90

ξ murriztuzhandituz ω/ωn

–16

–20

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

6.27 Irudia.

6.4. EGONKORTASUNAREN AZTERKETA NYQUIST-enDIAGRAMA ERABILIZ

Bigizta itxiko kontrol-sistema bat egonkorra da ekuazio karakteristikoaren erro guz-

tiak s planoaren ezkerraldean kokatuta badaude eta Routh-en teoria erabiliz oso erraz

azter daitezke.

Bestalde, sistemaren egonkortasuna erantzun frekuentzialaren metodoak eta Nyquist-

-en egonkortasun-teoria erabiliz ere azter daiteke. Metodo honekin, G(jω) H(jω) fun-

tzioaren diagrama polarra egin 0 ≤ ω ≤ ∞ tartean eta s planoaren eskuinaldean errorik

badagoen ikusten da. Orduan, s planoaren eskuin zatia 1 + G(s) H(s) planora bihurtzen da

eta zirkuluaren teorema erabiltzen da.

194

(iii)

(ii)

(i)

10

–10

–20

–90–180

20

0

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

6.4.1. Planoaren traslazioa eta zirkuluaren teorema

6.28 Irudiko bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa da:

(6.44)

non, 1 + G(s) H(s) polinomioaren zeroek sistemaren egonkortasuna adierazten duten.

6.28 Irudia. Bigizta itxiko sistema.

F(s)=1+G(s)H(s) funtzioaren poloak G(s)H(s) funtzioarenak dira eta, G(s)-ren poloak

s planoaren eskuin zatian badaude ere, bigizta itxiko sistema egonkorra izan daiteke;

1+G(s)H(s) funtzioak s planoaren eskuin zatian zerorik ez duelako. Normalean, G(s)

funtzioa faktorizatuta egoten da eta polo desegonkortzaileak ezagutzen dira. Dena den,

horrela ez bada gertatzen, Routh-en teorema erabiliz atera daitezke.

Suposa dezagun, s planoko eskuinaldean kokatuta dagoen T puntu bat hartzen dela eta

erlojuaren orratzen norantzan mugitzen hasten dela C gune itxi batean zehar. C gune

horrek ez du polo edo zerorik barnean eta ez ditu ukitu ere egiten (6.29 (a) Irudia).

Horrela, (s–p4) bektorea bezalakoak sortuko dira norabidea aldatzen denean, baina

1+G(s)H(s)-ren errotazioa egin gabe. C gune horrek bi zero eta polo bat barne dituenean

ariketa errepikatzen bada (6.29(b) Irudia), (s–z1), (s– z2) eta (s–p1) bektoreetan sortzen

den angelu-aldaketa 2π rad izango da erlojuaren orratzen norantzan. Ondorioz,

1+G(s)H(s) funtzioan lortzen den errotazioa (2*2π–1*2π)=2π izango da erlojuaren

orratzen norantzan neurtuta.

Ondorioz, C guneak z zero eta p polo barne dituenean, 1+G(s)H(s)-ren errotazioa

(z–p) *2π izango da erlojuaren orratzen norantzan.

C(s)

R(s)= G(s)

1 + G(s)H(s)


R (s) C (s)G (s)

H (s)

6.29 Irudia. (a) C guneak ez du polo edo zerorik bere barnean. (b) C guneak polo bat eta bi

zero ditu bere barnean

T puntuak s planoaren barne C gunea sortzen badu erlojuaren orratzen norantzan,

1+G(s)H(s) funtzioak ere gune bat sortuko du, beronen norabidea 1+G(s)H(s) funtzioaren

arabera izango delarik. T puntuak sortutako guneak ez badu polo edo zerorik barnean edo

barnean dauden zeroen kopurua eta poloen kopurua berdinak badira, 1+G(s)H(s) fun-

tzioak sortutako guneak ez du jatorria izango bere barnean; bestalde, C guneak bere bar-

nean polo bat baldin badu, 1+G(s)H(s) funtzioak jatorria behin hersten du erlojuaren

orratzen kontrako norantzan (6.30 Irudia).

6.30 Irudia. s planoko guneak F(s) = 1 + G(s) H(s) planora pasatzen dira.

Demagun orain G(s)H(s) bigizta irekiko funtzioaren polo/zeroen konfigurazioa

hurrengoa dela:

196

(s–p4) bektorea s planoa

(a) (b)

p4 p1

z1

z2

T

C

T

C

2π

1+G(s)H(s) planoas planoa

C1

C1

C3

C2

p

z

Beraz, s planoko edozein puntutarako, F(s) planoko puntu bat lortzen da. Adibidez,

s=1+j2 denean, F(s) planoan lortzen dena hurrengoa izango da:

Beraz, s planoko kurba bati beste kurba bat dagokio F(s) planoan eta 6.31 Irudian adi-

bide batzuk ikusten dira.

Beraz, C guneak z zero eta p polo baditu s planoan, 1+G(s)H(S) funtzioak errotazioa

sortzen du jatorriaren inguruan, beronen angelua hurrengoa delarik:

2π(z–p) rad, erlojuaren orratzen norantzan

2π(p–z) rad, erlojuaren orratzen kontrako norantzan. (6.45)

6.4.2 Nyquist-en egonkortasuna

Demagun, s planoko C guneak eskuinaldeko 1+G(s)H(s) funtzioaren z zero eta p polo

guztiak barne dituela, baina jatorria kanpoan geratzen dela; hau da, C guneak s planoaren

eskuin zati guztia hartzen du R1 → 0 eta R2 → ∞ direnean, 6.32 Irudian ikusten den

bezala.

Sistema fisikoetan, G(s) H(s) → 0 s → ∞ doanean. Beraz, R2 zirkulu handia 1+j0

puntuari dagokio 1+G(s)H(S) planoan eta R → 0 doanean, G(s) H(s) funtzioa puntu finito

eta erreal batera edo infinitura doa. Beraz, gunea sortzeko jarraitzen diren bideak

hurrengoak dira,

F(1 + j2) = 1 + 6

(2 + j2)(3 + j2)= 1.12 − j0.58

G(s)H(s) = 6

(s +1)(s + 2)

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 1 + 6

(s +1)(s + 2)= (s +1.5 + j2.4)(s +1.5 − j2.4)

(s +1)(s + 2)


198

6.31 Irudia. s planoko guneek F(s) planoan dituzten baliokideak.

s planoa F(s) planoa





(a)

B

A

C

D

j2

–j2

–4 –2 0 2

2

4

4

2

C'

F'

E'

D'

D'

A'

A'

A'

B'

E'

F'

D'

C'

B'

–2

Ir

Er

2 Er

Er

A

F E

D

j2

–j2

–4 0 2

jω

σ

σ=–2

σ=–1

σ=0

θσ=–3

σ=–4

σ=1

σ=–1.5

ω=3

2

–2

Ir

2

2 4

A'

B'

E'F'D'

C'

A'

B'

E'

F' G'

H'

D'C'

Er2 4

–2

–2

Ir

σ=–1

σ=–2

σ=–1.5

ω=–3

ω=2

ω=0

ω=1

σ=–3

σ=–3

σ=–3

σ=1

σ=–3

σ=–3

σ=1

σ=–4

ω=–2

ω=2

2

–2

–2

Ir

Er4

2

–2

–2

Ir

ω=3

ω=–2

ω=–3

ω=–1

ω=1

σ=0

σ=1ω=0

ω=–1

–4 –2 0 2 σ

θ

jω

A

B

F E

D

Cj2

–j2

jω

–4 0 2 σ

A

B C

F E

D

j2

–j2

jω

–2 0 2 σ

A

B C

F

E H

G

Dj2

–j2

jω

σ(b)

(c)

(d)

(e)

6.32 Irudia. Jatorriko polo eta zeroak saihesten dituen gune itxia.

Ikusten denez, ab eta de bideek 1+G(jω)H(jω) (–∞ < ω < ∞) funtzioari dagokion

Nyquist-en diagrama sortzen dute eta gune osoak Niquist-en diagrama osoa sortzen du.

Ondorioz, 1+G(jω)H(jω) funtzioaren traslazioa eta zirkuluaren teorema erabiliz,

sistemaren egonkortasuna azter daiteke.

Nyquist-en egonkortasun-teoria. 6.32 Irudian ikusten den bezala s puntuek C gunea

sortzen badute, hau da, 1+G(s)H(s) funtzioaren zati erreal positiboa duten p polo eta z

zero guztiak barne baditu, orduan, sistema egonkor batean, 1+G(jω)H(jω) guneak erlo-

juaren orratzen norantzan neurturik jatorria hersten duen aldien kopurua hurrengo for-

mulak ematen du,

N = –p (6.46)

ab: s = jω (0 ≤ ω < ∞)

bcd: limR→∞

R.e jθ π2

≤ θ ≤ − π2

de: s = jω (−∞ < ω ≤ 0)

efa: limR→0

R.e jθ − π2

≤ θ ≤ π2


Er

b C

jω

a

0e

f c

R1

R2

d

Ir

s planoa

Hau da, 1+G(jω)H(jω) grafikoak jatorria p aldiz hertsi behar du erlojuaren kontrako

norantzan 1+G(s)H(s) funtzioak s planoaren eskuin zatian zerorik izan ez dezan eta,

ondorioz, bigizta itxiko transferentzi funtzioak {G(s)/[1+G(s)H(s)]} ez du polo desegon-

korrik izango.

Beraz, egonkortasuna aztertzeko, 1+G(jω)H(jω) funtzioaren diagrama polarra besterik

ez da behar.

• Koefiziente errealak dituen sistema batentzat hurrengo baldintza betetzen denez gero,

G(jω)H(jω)=G(–jω)H(–jω) maiztasunak zerotik infinitura aldatuz grafiko osoa lortuko

litzateke ardatz errealarekiko simetrikoa delako.

• Normalean, G(jω)H(jω) funtzioaren grafikoa egiten da maiztasuna zerotik infinitura

aldatuz, 1+GH funtzioarena egin ordez. Orduan, Nyquist-en egonkortasun-teoria hone-

la geratuko da: "Bigizta itxiko sistema egonkorra izateko beharrezkoa eta nahikoa den

baldintza hurrengoa da: G(jω)H(jω) funtzioaren diagrama polarrak –1+j0 puntua p

aldiz hertsi behar du erlojuaren orratzen kontrako norantzan".

• Kasu askotan G(s)H(s) funtzioak ez du polorik s planoaren eskuin zatian, p = 0, eta

orduan Nyquist-en egonkortasun-teoria honela geratzen da: "Bigizta itxiko sistema bat

egonkorra izateko nahikoa eta beharrezkoa den baldintza G(jω)H(jω) diagramak –1+j0

puntua barne ez edukitzea da. Beste era batean, egonkortasuna lortzeko, –1+j0 puntuak

G(jω)H(jω) diagramako hurbilen dagoen puntutik ezkerrera egon behar du, maiztasu-

naren hazte-norabideari jarraituz". Beraz, Nyquist-en diagrama batek, maiztasuna

handitzen doan bezala, –1 puntua ezkerraldean uzten badu, bigizta itxiko sistema egon-

korra izango da; –1 puntua eskuinaldean badu, desegonkorra eta –1 puntuaren gainetik

pasatzen bada, desegonkortasunaren mugan egongo da.

6.4.3 Egonkortasun baldintzatua

Bigizta itxiko sistema bat egonkorra izan daiteke k irabazpena zehatz batentzat, baina

desegonkorra k handitu edo txikiagotzen denean. Horrelako sistema batek egonkortasun

baldintzatua duela esaten da.

6.33 Irudian horrelako sistema baten Nyquist-en diagrama aurkezten da. Nyquist-en

egonkortasunaren teoriaren 3. puntua aplikatuz, –1+j0 puntutik hurbil dauden puntuak

kontsideratu behar dira.

200

6.33 Irudia. Egonkortasun baldintzatua duen sistemaren diagrama polarra.

6.8 Adibidea

Hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren egonkortasuna aztertu nahi da

metodo frekuentzialak erabiliz.

eta, ondorioz,

Maiztasuna zero denean, irabazpena k eta angelua –180° dira. Beraz, egonkortasuna

aztertzeko hiru diagrama egingo dira: k < 1, k = 1 eta k > 1 denean. 6.34 Irudian ikusten

denez, Nyquist-en diagrama osoak egin dira, hau da, –∞ < ω < ∞ maiztasunekin lan

eginez. Bigizta irekiko transferentzi funtzioak polo bat s planoaren eskuin zatian duenez,

Nyquist-en diagramak –1+j0 puntua erlojuaren orratzen kontrako norantzan behin hertsi

behar du sistema egonkorra izan dadin. k = 0.5 denean, (k < 1), Nyquist-en diagramak ez

du –1+j0 puntua hersten eta, ondorioz, sistema desegonkorra da. k = 1.5 denean (k > 1),

diagramak –1 puntua behin hersten du erlojuaren orratzen kontrako norantzan, sistema

egonkorra dela adieraziz.

G( jω) = k

ω2 +1; argG( jω) = tan−1 −ω

−1= π + tan−1 ω

G( jω) = k

jω −1

G(s) = k

s −1


GH planoa

Ir

ErC B A 0

0

ω=∞

ω

6.34 Irudia.

6.9 Adibidea

Bigizta irekian hurrengo transferentzi funtzioa duen sistema desegonkorra dela froga-

tu behar da metodo frekuentzialak erabiliz; Bode-ren diagrama ere aztertu.

eta ondorioz,

|G(jω)|/k funtzioaren Nyquist-en diagrama 6.35 Irudian ikusten da. Diagrama –1+j0

puntuaren ezkerraldetik pasatzen da maiztasuna hazten doan neurrian eta sistema

desegonkorra dela ikusten da; k irabazpenak ez du eraginik magnitudean ez bada, hau

da, sistema desegonkorra izango da balio guztientzat.

G( jω) = k

ω2 ω2 +1; argG( jω) = −π − tan−1 ω

G(s) = k

s2 (s +1)

G( jω) = k

−ω2 ( jω +1)

202

G(jω)H(jω) planoa

ω=0 ω=0 ω=0 ω=∞–1

K=0.5

K=1

K=1.5

6.35 Irudia.

6.36 Irudian Bode-ren diagrama aurkezten da. Nyquist-en egonkortasuna aztertzeko,

–180°-ko atzerapena duen puntuaren anplitudea aztertu behar da. Irabazpena 1 baino

handiagoa bada, hau da, 0 db gainetik, sistema desegonkorra da; irabazpena < 1

denean, sistema egonkorra da. Adibide honetan, –180°-ko faserako irabazpena 1 baino

handiagoa denez, sistema desegonkorra da.

6.36 Irudia.


G(jω) planoa

–1

irabazpena(db)

–180

–270

10

0

–10

–20

ω (rad/s)

fasekoangelua

(°)

6.5. EGONKORTASUN ERLATIBOA: FASEAREN ETAIRABAZPENAREN TARTEAK

G(jω)H(jω)=–1 denean egonkortasun erlatiboa zero dela gauza jakina da, hau da,

G(jω)H(jω)=–1/–180°; Nyquist-en diagrama –1+j0 puntutik pasatzen denean. Beraz,

puntu kritikotik (–1, j0) Nyquist-en diagramara dagoen distantziak emango du bigizta

itxiko sistemaren egonkortasun erlatiboaren neurria; normalean, distantzia hori handituz

gero, egonkortasuna ere handitu egiten da. Egonkortasun erlatiboaren gradua, fasea eta

irabazpenaren arabera definitzen dira, fasearen eta irabazpenaren tarteak erabiliz.

6.37 Irudia. Diagrama polarrean neurtutako fase eta irabazpenaren tarteak.

Irabazpenaren tarteak desegonkortasuna lortu aurretik irabazpena zenbat handitu

daitekeen adierazten du, fasearen bektoreak finkoak direla suposatuz. 6.37 Irudian, x

bektorea OA distantzia bada, A puntua Nyquist-en diagramak ardatz erreal negatiboa

gurutzatzen duen puntua izanik (–180°), irabazpenaren tartea 1/x edo –20 log x db izango

da; zeren A puntuko irabazpena kopuru horrekin biderkatuz, Nyquist-en diagrama (–1,j0)

puntutik pasako baita eta desegonkortasuna iritsiko da.

Fasearen tarteak, Nyquist-en diagrama puntu kritikotik pasa dadin, fasea zenbat atzera

daitekeen adierazten du (irabazpena aldatu gabe). Fasearen tartea jatorrian zentrua duen

edo r = 1 duen zirkulua eginez lortzen da. Ardatz erreal negatiboa eta zirkuluak diagrama

gurutzatzen duen puntuan lortzen den OB bektorearen arteko angelua fasearen tartea da

(zeinu positiboa duelarik). Fasearen tartea negatibo bada, sistema desegonkorra izango

da. Lehen aipatu diren Bode eta Nichols-en diagrametan ere egonkortasun erlatiboa azter

daiteke.

204

G(jω)H(jω)–planoa

–1+j0 A

B

0

fase-tartea

x

φ

Bode-ren diagraman lan eginez, fasearen angelua = –180° den puntuan irabazpenaren

grafikoa 0db-ko ardatzetik zenbat dezibelio beherago dagoenaren neurria da irabazpe-

naren tartea. Fasearen tarteak berriz, irabazpena 0 db denean, –180°-ko lerrotik fasearen

grafikoraino zenbat gradu dauden neurtzen du, 6.38 Irudian ikusten den bezala.

6.38 Irudia. Bode-ren diagraman neurtutako fase eta irabazpenaren tarteak.

6.39 Irudian, Nichols-en diagramari dagozkion fasearen eta irabazpenaren tarteak

ikusten dira.

6.39 Irudia. Nichols-en diagraman neurtutako fase eta irabazpenaren tarteak.

Ongi diseinatutako sistema batean, irabazpenaren tartea 6 eta 9.5 db artean egoten da

eta fasearena berriz, 40° eta 60° tartean.

6.40 (a), (b) eta (c) Irudietan, Nyquist, Bode eta Nichols-en diagramak erabiliz, egon-

korrak eta desegonkorrak diren sistemen irabazpen eta fase-tarteak aurkezten dira.


Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°) fase-tartea

0

0

–90

–180

–270

ω (rad/s)

irabazpen--tartea

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

fase-tartea

0–90–180–270

irabazpen--tartea

206

Irabazpen-tartepositiboa

G planoa Fase-tartenegatiboa

Irabazpen-tartenegatiboa

G planoa

Sistema Egonkorra(a)

(b)

Fase-tartepositiboa

Irabazpen-tartepositiboa

Sistema Egonkorra

Fase-tartepositiboa

Irabazpen--tarte

positiboa

Fase--tarte

positiboa

Sistema Ezegonkorra

Sistema Ezegonkorra

(c)Sistema Egonkorra Sistema Ezegonkorra

Irabazpen-tartenegatiboa

Fase-tartenegatiboa

Irabazpen--tarte

negatiboa

Fase--tarte

negatiboa

Ir

Er

0

|G|

db

/G

–90°

–180°

–270°

0

|G|

db

0

|G|

db

/G

–90°–180°–270°

/G

–90°–180°–270°

–1

11––Kg

G(jω)

Log ω

Log ω

0

|G|

db

/G

–90°

–180°

–270°

Log ω

Log ω

φy

Ir

Er–1

1

1––Kg

G(jω)

φ

y

6.40 Irudia. Egonkorrak eta ezegonkorrak diren sistemen fase- eta irabazpen-tarteak. (a) Diagrama polarrak; (b) Bode-ren diagramak; (c) Nichols-en diagramak.


6.6. PORTAERAKO ZEHAZTASUNAK

Normalean, Mr erresonantziako anplitude handia bigizta itxiko moteltze-faktorearen

balio txikiari lotuta dago. Bigarren ordenako bigizta itxiko sistema hartuz gero,

(6.47)

Mr-ren balioa, moteltze-faktorea, gehienezko gaindiketa eta hazte-denboraren arabera lor

daiteke. Beraz, maiztasunaren arloan diseinatuz, erlazio horien bidez portaera iragan-

korraren informazioa lor daiteke.

Bigarren ordenako sistema baten erresonantziako anplitudea,

(6.48)

da eta erresonantziako maiztasunean gertatzen da. 6.41 Irudian,

Mr eta ξ, Mr eta gehienezko gaindiketaren portzentaia eta Mr eta ωntr arteko erlazioak

aurkezten dira. Kasu honetan, portzentaia = eta

.

Normalean, sistema baten Mr, 1.0 eta 1.4 artean mugituko da baina, dena den, apli-

kazio zehatzen arabera desberdina izango da. Adibidez, bigarren ordenako sistema batean

(6.41 Irudian), Mr ≤ 1.1 izan behar du.

t r = π ωn 1 − ξ 2

100exp −ξπ 1 − ξ 2[ ]ωr = ωn 1 − 2ξ 2

Mr = 1

2ξ 1 − ξ 2(ξ < 0.707)

G' (s) = ωn2

s2 + 2ξωns + ωn2

6.41 Irudia. Mr-ren grafikoak.

ξ(a)

% gaindiketa(b)

ωntr(c)

Mr Mr Mr

5

2.5

1.1

5

2.5

5

2.5

0 0.25 0.5 0.75 0 25 50 75 3 3.5 4 4.5

Banda-zabalera 6.42 Irudian aurkezten da eta sarrerako maiztasun guztiak barne egoteko

nahikoa zabala aukeratu behar da, baina ez handiagoa, zaraten arazoak saihesteko.

6.42 Irudia. Banda-zabalera aurkezten duen diagrama logaritmikoa.

6.7. NYQUIST-EN ALDERANTZIZKO DIAGRAMA

Askotan erabiltzen den beste grafiko frekuentzial bat, batez ere bigizta itxiko sistemak

beste berrelikadurako bigiztak dituenean, Nyquist-en alderantzizko diagrama da, hau da,

G–1(jω) funtzioaren diagrama polarra.

(6.49)

baldin bada, orduan bere alderantzizkoa,

(6.50)

izango da, hau da, G–1 eta H-ren gehikuntza bektoriala, 6.43 Irudian ikusten den bezala.

Berrelikadura unitarioko kasuetan,

(6.51)

eta bigizta itxiko diagrama bigizta irekiko Nyquist-en alderantzizko diagramatik lortuko

da, ardatz irudikaria norabide negatiboan unitate bat mugituz. Gainera, G–1(jω) funtzioari

aplikatutako Nyquist-en egonkortasun-teoria berdina da: egonkortasuna lortzeko, –1 pun-

tuak diagramaren hurbileneko puntutik ezker aldean egon behar du maiztasuna hazten den

norantzan hartuta.

G' ( jω)[ ] −1 = G−1( jω) +1

G' ( jω)[ ] −1 = G−1( jω) + H( jω)

G' ( jω) = G( jω)

1 + G( jω)H( jω)

208

banda-zabalera

ω eskala logaritmikoan

ωc

db

0

–3


6.43 Irudia. [G’(jωω)]–1 eta H(jωω) funtzioen batura bektoriala.

6.8. ESPERIMENTAZIO BIDEZ LORTUTAKO TRANSFERENTZIFUNTZIOAK

Kontrol-diseinua egiterakoan jarraitu behar diren urratsen artean lehenengoa, kon-

trolatu behar den sistemaren eredu matematikoa lortzea da. Eredu hori analitikoki lortzea

zaila gertatzen denean, esperimentazioa erabiltzea beharrezkoa izaten da. Kasu hauetan,

maiztasunaren arloko erantzuneko neurketa sinpleen bidez, transferentzi funtzioa lor

daiteke.

Maiztasun desberdineko anplitude eta faseen neurketa nahikoak eginez gero, Bode-ren

diagrama aurki daiteke. Ondoren, hurbilketa asintotikoak erabiliz, transferentzi funtzioa

lortzen da. Normalean, zati desberdinak dituzten asintotekin eta hauste-maiztasunen

inguruan egindako zuzenketekin benetako kurbaren hurbilketa egokia aurkitu ahal izaten

da.

6.8.1. Bode-ren diagrama erabiliz lortutako fase minimoa duten transferentzi

funtzioak

Sistema zehatz bat fase minimokoa den edo ez jakiteko, maiztasun handietan aurkez-

ten duen erantzuna aztertu behar da. Hau da, ω = ∞ denean, sistemaren anplitudeko kurba

logaritmikoak duen malda –20 (q–p) db/hamarkada eta angelua ≠ –90° (p–q) baldin ba-

dira, sistema ez da fase minimokoa izango. Aldiz, ω = ∞ den puntuan, sistemaren anplitu-

G–1+Hω2 ω1

ω2ω1

H (jω)

[G(jω)]–1

210

deko kurba logaritmikoak duen malda –20 (p–q) db/hamarkada denean eta, gainera,

faseko angelua = –90° (p–q) bada, sistema fase minimokoa dela esan daiteke (p eta q,

transferentzi funtzioaren zenbakitzaile eta izendatzaileko polinomien graduak dira hurre-

nez hurren).

Transferentzi funtzioa lortzearren, esperimentazio bidez lortutako anplitudearen kur-

bari asintotak egiten zaizkio. Hauen maldek ±20 db/hamarkadako anizkoitzak izan behar

dute. Lortutako kurba logaritmikoa –20db/hamarkada maldatik –40 db/hamarkada mal-

dara aldatzen bada ω = ω1 maiztasunean, 1/[1+ jω/ω1] faktorea izango da transferentzi

funtzioan. Malda horren aldaketa –40db/hamarkadakoa baldin bada ω = ω2 maiztasunean,

faktore karratikoa aurkituko da transferentzi funtzioan. Fak-

tore karratikoaren maiztasun naturala, ωn = ω2 izango da. Moteltze-faktorearen balioa

kalkulatzeko, ω2 maiztasunaren inguruan, esperimentzaio bidez lortutako kurbak

aurkezten duen gaindiketa neurtu eta 6.21 Irudikoekin konparatzen da.

G (jω) transferentzi funtzioaren faktoreak kalkulatu ondoren, maiztasun txikiko

irabazpena kalkulatzen da. Horretarako, ω→0 denean 1+jω/ω1 eta 1+2ξ(jω/ω2)+(jω/ω2)2

terminoek unitaterantz doazela gogoratu behar da eta, ondorioz,

(6.52)

Sistema praktiko gehienetan, λ = 0, 1 eta 2.

1. λ = 0 denean, (0 tipoko sistemetan)

(6.53)

Maiztasun txikietako asintota 20 log k(db) duen zuzena da. Hemendik, k-ren balioa

zuzenean atera daiteke.

2. λ = 1 denean,

(6.54)G( jω) = k / jω ω << l

20 log G( jω) = 20 logk − 20 logω ω << l

G( jω) = k ω << l

20 log G( jω) = 20 logk ω << l

limω→0

G( jω) = k

( jω)λ

11 + 2ξ jω ω2( ) + j ω ω2( )2[ ]

Honek maiztasun txikietako asintotak -20db/hamarkadako malda duela esan nahi du.

k-ren balioa kalkulatzeko, maiztasun txikietako asintotak 0 db-ko lerroa gurutzatzen

duen maiztasunaren balioa kalkulatzen da, eta hori izango da numerikoki k-ren balioa.

3. λ = 2 denean,

(6.55)

Maiztasun txikietako asintotaren malda –40 db/hamarkada izango da. Asintota horren

0 dB-ko zuzena gurutzatzen duen maiztasunaren balioa numerikoki √ -k izango da.

6.44 Irudian, 0, 1 eta 2 tipoko sistemak eta k-ren balioa kalkulatzeko era erakusten da.

6.44 Irudia. a) Moduluaren kurba 0 tipoko sistementzat b) Moduluaren kurba 1 tipoko

sistemarentzat c) Moduluaren kurba 2 tipoko sistemarentzat

G( jω) = k / jω( )2 ω << l

20 log G( jω) = 20 logk − 40 logω ω << l


(a)

(b)

(c)

db –20

–40

ω

0

db–20

–40

ω

ω=K ω=K

0

db

–20

–40

ω

ω=√-K

0

db

–20

–40

–40

ω

ω=√-K

0

db –20

–40

ω

0

20 log K

212

Esperimentalki lortutako fasearen kurbek aurkitu den transferentzi funtzioa egokia

den frogatzeko balio dute. Fase minimoa duten sistementzat, kurba esperimentalak eta

kalkulatutako transferentzi funtzioarenak nahikoa berdinak izan behar dute. Kurba horiek

maiztasun handietan oso desberdinak badira, orduan sistema fase minimokoa ez dela

adieraziko du.

6.8.2. Fase minimoa ez duten sistemen transferentzi funtzioak

Oso maiztasun handietan kalkulatutako fasea esperimentalki kalkulatua baino 180°

txikiago bada, transferentzi funtzioko zeroren bat s planoaren eskuinaldean egongo da.

Kalkulatutako fasea eta esperimentalaren arteko diferentzia abiadura konstantearekin

handitzen bada, atzerapen-gaia aurkituko da transferentzi funtzioan. Funtzio hori hurren-

goa dela suposatuz,

(6.56)

non G(s) bi polinomioen arteko erlazioa den, orduan,

(6.57)

Ekuazio honetatik, T-ren balioa kalkulatzen delarik.

6.10 Adibidea

6.45 Irudian aurkezten den sistemaren transferentzi funtzioa kalkulatu nahi da.

limω→∞

d

dωargG( jω)e− jωT[ ] = −T

G(s)e−Ts


6.45 Irudia. Sistema baten Bode-ren kurbak (Beteak esperimentalak)

Lehen urratsa moduluaren kurba asintota bidez hurbiltzea da, asintota horien maldak

±20 db/hamarkadakoak edo hauen anizkoitzak izango direla kontutan izanik. Horrela,

hauste-maiztasunak kalkulatu eta hurrengo transferentzi funtzioa suposatzen da.

6.21 Iruditik, moteltze-faktorearen balioa kalkulatzen da, ξ = 0.55. k-ren balioa

kalkulatzeko, maiztasun txikietako asintota 0 db-ko lerroa gurutzatu arte luzatzen da.

Ondorioz, k = 10 dela ikusten da. Lehen hurbilketa bezala, transferentzi funtzioa hurren-

goa dela suposatuko da,

G(s) = 320(s + 2)

s(s +1)(s2 + 8s + 64)

G( jω) = 10(1 + 0.5 jω)

jω(1 + jω) 1 + 2ξ jω8

+ j

ω8

2

G( jω) = k(1 + 0.5 jω)

jω(1 + jω) 1 + 2ξ jω8

+ j

ω8

2

db

40

0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40–500°

–400°

–300°

–200°

0°

–100°

20

0

–20

–40

–60

–80

–100

Magnitudeasintotikoa

(K=10)

G

Magnitudeesperimentala

Fasearenangelua

(esperimentala)

ω

Orain, fasearen kurba aztertu behar da. Suposatu den transferentzi funtzioaren gai

bakoitzari dagokion fasea kalkulatu eta guztiak batuz gero, 6.45 Irudian ikusten den

kurba lortzen da. Argi dago kurba esperimentala oso desberdina dela maiztasun han-

dietan eta, gainera, badirudi abiadura konstantearekin aldentzen direla. Beraz, atzera-

pen-gaia dagoela esan daiteke. Beronen transferentzi funtzioa G(s)e–Ts dela suposatzen

bada, maiztasun garaietan faseko bi kurben arteko diferentzia –0.2 ω da eta T-ren balioa

kalkula daiteke,

Ondorioz, transferentzi funtzio osoa hurrengoa dela esan daiteke:

6.9. BIBLIOGRAFIA

• D’Azzo J.J., Houpis C.H., 1983, "Linear control System Analysis and Design",

McGraw-Hill Series in Electrical Engineering,

• Dorf R.C., 1989, "Sistemas modernos de control", Addison-Wesley Iberoamericana.

• Flórez J., Tapia A., 1990, "Introducción a los sistemas automáticos de control (I)",

ESII- Universidad de Navarra, Donostia.

• Hostetter G.H., Savant Jr. C.J., Stefani R.T., 1982, "Design of Feedback Control

Systems", Holt-Saunders International Editions, N.Y.

• Kuo B.C., 1987, " Automatic Control Systems", Prentice-Hall Inc., USA.

• Marshall, S.A., 1978, "Introduction to Control Theory", MacMillan Publishers LTD.,

Hong Kong.

• Ogata K., 1970, "Ingenieria de control moderna", Prentice-Hall Inc.

G(s)e−Ts = 320(s + 2)e−0.2s

s(s +1)(s2 + 8s + 64)

limω→∞

d

dωargG( jω)e− jωT[ ] = −T = −0.2

214

6.10. ARIKETAK

6.1. Hurrengo funtzioen Bode-ren diagramak kalkulatu:

a)

b)

c)

d)

e)

6.2. Hurrengo GH funtzioak dituzten sistemen fase-tartea eta irabazpen-tartea kal-

kulatu:

a)

b)

c)

d)

e) G(s)H(s) = e−0.2s

(s +10)2

G(s)H(s) = 107(s +1)2 (s +100)2

(s +10)4

G(s)H(s) = 27s

(s + 3)3

G(s)H(s) = 1000

s(s +10)3

G(s)H(s) = 100

(s +10)3

F(s) = 4s −1

(s2 + 2s +16)2

F(s) = s +100

s2 +100s +100

F(s) = s2 − s +10

s2 + s +10

F(s) = 1

3s(s2 + s + 4)

F(s) = 1

s2 + 20s +100


216

6.3. A6.1 Irudian posizio-sistema komertziala agertzen da. Nyquist-en diagrama era-

biliz, sistema egonkortzen duen K-ren balioa kalkulatu.

A6.1 Irudia.

6.4. Prozesu kimiko baten tenperatura-kontrolaren bloke-diagrama A6.2 Irudian ager-

tzen da. Tenperatura-sentsorea berotze-sistematik urrun kokatuta dagoenez gero,

atzerapena gertatzen da. K atzerapen-denboraren balioa kalkulatu sistema egon-

korra izan dadin.

A6.2 Irudia.

6.5. Nyquist-en diagrama erabiliz, A6.3 Irudian agertzen diren sistemen egonkortasuna

aztertu.

A6.3 Irudia.

Potentzianplifikadorea

K

Sentsoreae–0.01s

Lortu nahiden Posizioa

R (s)

Motorearen Tentsio--Kontrola

PerturbazioaD (s)

Lortzen denposizioa P (s)

Abiadura

1–––

s

SistemarenDinamika

106–––––––––––––s2+2000s+106

Lortu nahi denTenperatura R (s)

LortutakoTenperatura Y (s)

Berogailua etaKontroladorea

100–––––s+20

Atzerapenae–Ks

Tenperatura--sentsorea

50–––––

s+5

(a) (b)

R (s) R (s)Y (s) Y (s)10–––––(s+10)3

100––––––––––s2+2s+100

4––––––––s2+2s+1

3–––––

s+1

6.6. A6.4 Irudian, hainbat sistemaren Nyquist-en diagramak aurkezten dira. Haien

egonkortasuna aztertu.

A6.4 Irudia.

6.7. Hurrengo transferentzi funtzioak dituzten sistemen Nyquist-en diagramak lortu.

a)

b)

c)

d)

e)

f) G(s) = k

(s −1)(s + 2)(s + 4)

G(s) = k(s + 2)

(s + 3)(s −1)

G(s) = k

s(1 + s)(2 + s)

G(s) = k(1 + 5s)

s2 (1 + s)

G(s) = k1 + s

s(1 − s)

G(s) = k

1 + s


(a) (b)

(c) (d)

G(jω)G(jω)

G(jω) G(jω)

[PR=0]

[PR=0]

[PR=0][PR=0]

ω=0+

ω=0+

ω=0+

ω

ω=0+

ω=+∞

ω=+∞

ω=+∞ ω=+∞

–1

–1

–1 –1

g)

h)

i)

j)

6.8. Hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemarentzat,

a) Anplitude-kurbak 0 db-ko ardatza ω = 3.5 rad/s puntuan gurutzatzen duela

frogatu.

b) fasearen tartea = 45° dela frogatu.

6.9. Bertikalean lurretik urruntzen den hegazkina sistema desegonkorra da eta, ondo-

rioz, egonkortzen duen sistema automatikoa behar du. A6.5 Irudian, Estatu Batue-

tako armadaren VTOL hegazkinak duen egonkortze-sistema honen bloke-dia-

grama agertzen da. Hegazkinaren dinamika aurkezten duen sistema hurrengoa dela

esan daiteke,

Gainera, eragileak eta iragazkiak duten funtzioa hurrengoa da,

a) k1=6 denean, G1(s)G(s)H(s) transferentzi funtzioaren Bode-ren diagrama egin.

b) sistemaren fase-tartea eta irabazpen-tartea kalkulatu.

c) Aire-perturbazioa Td(s) = 1/s denean, egoera egonkorreko errorea kalkulatu.

G1(s) = k1(s + 7)

s + 2

G(s) = 10

s2 + 0.25

G(s) = 6.14(1 + 0.2s)

s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)

G(s) = k(s + 0.5)

s2 (s +1)(s + 2)

G(s) = k(1 − s)

(1 + 2s 3)(1 + s)

G(s) = k(s2 + 2s + 2)

s3(1 + 0.2s)

G(s) = k(1 + 2s)

s(1 + s)(1 + s + s2 )

218

A6.5 Irudia.

6.10. A6.6 Irudian, gizaki baten begininia irekitzeko erabiltzen den kontrol-sistemaren

eredu sinplea agertzen da. K irabazpena begininiarena da eta τ beronen denbora-

-konstantea da. Atzerapen-denbora T = 0.2 segundokoa da eta K = 4.0. (a) Atzera-

pen-denbora ken daitekeela suposatuz, Bode-ren diagrama egin eta fasearen tartea

kalkulatu. (b) Atzerapena sartuz gero lortzen den sistemaren fasearen tartea kalku-

latu.

A6.6 Irudia.


AbiadurakoGiroskopioa

H (s) = s

Eragilea etaIragazkia

HegazkinaG (s)

ErreferentziaR (s)

Posizioaθ (t)

Td (s)

Errorea

C (s)

I (s)

R (s)

Erreferentzia

Begininiarenazalera

Argiarenintentsitatea

Nerbio optikoa

BegininiaK

–––––––(1+τs)3

Inpultsunerbiosoak

1e–sT

7.1. SARRERA

Aurreko kapituluetan bigizta itxiko sistema batek denboran zehar zuen portaera nahiz

portaera frekuentziala aztertu dira. Kapitulu honetan, (s = σ + jω) planu konplexu osoan

sistemak duen portaera aztertuko da.

Ikusiko den bezala, teknika grafiko honetan oinarritutako analisiak, bigizta irekiko

sistema baten ezaugarriak jakinik, bigizta itxiko sistemaren egonkortasun nahiz por-

taeraren ezaugarrien berri emango du. Hurbilketa honen arrazoia hurrengo bigizta itxiko

sistemaren erlazioa aztertuz argi ikus daiteke,

(7.1)

Normalean G(s), bigizta irekiko transferentzi funtzioa, faktorizatuta egoten da eta

G’(s), (7.1) ekuazioaren forma dela eta, faktorizatu gabe. Lehen aipatu den bezala, trans-

ferentzi funtzioa faktorizatuta dagoenean, sistemaren erantzun iragankorra jakitea nahikoa

erraza da, baino zailagoa gertatuko da faktorizatu gabe dagoenean. Beraz, bigizta itxiko

sistemen portaera jakiteko teknika berrien beharra ikusten da.

Evans-ek (1948) bigizta itxiko kontrol-sistema baten portaera aztertzeko metodo bat

garatu zuen, erroen kokaerako metodoa. Metodo hau grafikoa da eta beronen erregelak

jakinik, bigizta irekiko sistemaren parametroren bat aldatzen denean (normalean k irabaz-

pena), bigizta itxiko sistemaren ekuazio karakteristikoaren erroen kokaera ateratzen du.

Teknika honen bidez grafikoa egindakoan, egonkortasun egokia emango duen k-ren

balioa kalkula daiteke eta, gainera, bigizta itxiko sistemaren erantzun iragankorra nolakoa

den ere erraz jakin daiteke.

G' (s) = kG(s)1 + kG(s)


7. ERROEN KOKAERAKO METODOA

Metodo hau aztertu aurretik, bigizta irekiko transferentzi funtzioan poloek eta zeroek

duten eragina ikusiko da.

7.2. POLO ETA ZEROEN KONFIGURAZIOA

G(s) bigizta irekiko transferentzi funtzioa, s-ren funtzio diren bi polinomioen erlazio

bezala definitzen da:

(7.2)

non, zenbakitzailearen ordena izendatzailearena baino txikiagoa den, hau da, m < n, eta

faktoreetan jarriz gero,

(7.3)

non, den. Zenbakitzailearen erroak, z1, z2, ... zm, G (s)-ren zeroak dira, zeren

s = zi (i = 1,..., m) eginez gero, G(s) = 0 egiten da. Ondorioz, zeroen kopurua m da, zero

bat l aldiz errepikatzen bada, l zero bezala kontatzen direlako. Izendatzailearen erroak, p1,

p2, ... pn, G(s)-ren poloak dira, zeren s = pi (i = 1,..., n) eginez gero, G(s) = ∞ da. Beraz, n

polo daude eta berauek G(s) transferentzi funtzioa duen sistemaren ekuazio karakteristi-

koaren erroak dira. G(s)-ren polo eta zeroak erreal nahiz konplexuak izan daitezke, baina

konplexuak izanez gero konjugatuak izan behar dute, hau da, p1=σ1–jω1, p2 = σ1+jω1,

(7.2) ekuazioko polinomioak errealak direlako. Gainera, G(s) egonkorra den sistema

baten trasnferentzi funtzioa bada, n poloen zati errealek negatibo izan behar dute (beraz,

ekuazio karakteristikoarenak ere horrelakoak izango dira).

G(s)-ren n polo eta m zeroen ezagueraren bitartez, G(s) funtzioa plano konplexuan

ongi ager daiteke. Poloak gurutzeak bezala eta zeroak borobilak bezala aurkezten dira eta

lortzen den diagrama G(s)-ren polo/zeroen konfigurazioa da. Adibidez, demagun hurren-

go sistema dugula,

(7.4)

eta faktorizatuz lortzen den sistema,

G(s) = s2 + s

s3 + 8s2 + 21s + 20

k' = b0

a0

G(s) = k'(s − z1)(s − z2 )...(s − zm )(s − p1)(s − p2 )...(s − pn )

G(s) = b0sm + b1s

m−1+...+bm

a0sn + a1s

n−1+...+an

222

(7.5)

Sistema honek bi zero, z1 = 0, z2 = –1 eta hiru polo, p1 = –4, p2 = –2 – j, p3 = –2 + j

ditu. Beronen polo/zeroen konfigurazioa (7.1) Irudikoa da.

7.1 Irudia.

Polo (edo zero) konplexuak bikote konjugatuak bezala agertzen direnez, konfi-

gurazioa simetrikoa da ardatz errealarekiko. Gainera, hiru poloek zati erreal negatiboak

dituzte, planoaren ezkerraldean daude eta, ondorioz, sistema egonkorra da.

Demagun orain funtzio zehatz baten transferentzi funtzioaren polo/zeroen konfigura-

zioa hurrengoa dela,

(7.6)

eta sistema honi dagokion erantzuna denboran zehar nolakoa izango den kalkulatu nahi

dela. s = 0 jatorriko poloak denboran zehar egindako integrazioa adierazten du. s = –0.5

poloak jaitsiera motela duen funtzio esponentziala da eta s = –3 poloak berriz, jaitsiera

azkarragoa duena aurkezten du. s = –1.4 eta s = –1.6 oso hurbil daude elkarrengandik eta

s = –1.5 puntuan kokatutako bikote bat bezala jokatuko dute eta berauen funtzioek alde-

rantzizko zeinuak izango dituzte. s = –2.1 poloa, s = –2.0 zerotik oso hurbil dagoenez,

biak ken daitezke. s = ±j polo-bikoteek funtzio oszilakorra emango dute eta beronen

maiztasuna handiago egingo da poloak jatorritik ardatz irudikarian aldentzen diren

G(s) = (s + 2)s(s2 +1)(s + 0.5)(s +1.4)(s +1.6)(s2 + 2s + 5)(s + 2.1)(s + 3)

G(s) = s s +1( )(s + 4)(s + 2 + j)(s + 2 − j)


Ir

Er

j2

j1

–j2

–j1

–5 –4 –3 –2 –1

neurrian. s = –1 ±2j polo-bikoteek, moteldutako funtzio oszilakorra emango dute. Norma-

lean, s = –a ± jb polo konplexu konjugatuek moteltze-faktorea eta

maiztasun naturala dituzte.

7.3. ERROEN KOKAERAKO METODOA

Metodo honek, bigizta irekiko polo eta zeroak ezagutuz, bigizta itxiko polo eta zeroak

kalkulatzen ditu grafikoki. Beraz, bigizta itxiko sistemaren erantzun iragankorra eta

bigizta itxiko sistemaren portaera jakiten da, neurri batean behintzat. Adibidez, 7.2

Irudiko sisteman erroen kokaerako metodoa erabiliz, kontroladorearen k balioa kalkula

daiteke sistemak erantzun iragankor egokia izan dezan.

7.2 Irudia.

Bigizta itxiko funtzioa hurrengoa da,

(7.7)

non bigizta itxiko poloak G’(s)-ren izendatzailea zero denean gertatzen diren, hau da,

(7.8)

edo

(7.9)

Azken formula hau modu polarrean jarriz gero,

(7.10)

edo

(7.11)kG(s) = 1e j (2n+1)π n = 0,1,2,...

kG(s) = 1e jπ

kG(s) = −1

1 + kG(s) = 0

G' (s) = kG(s)1 + kG(s)

ωn = a2 + b2ξ = a

a2 + b2

224

k G (s)

Ekuazioa bi zatitan idatziz,

(7.12)

Erroen kokaerako metodoarekin egindako diagrama (7.12) ekuazioak emandako fase-

-baldintza betetzen duten s balio guztien diagrama da eta beraz, bigizta itxiko poloak non

kokatzen diren adierazten duena, hau da, (7.9) ekuazioaren erro guztiak, k-ren balio guz-

tientzat, k zerotik infinitura aldatuz. Diagrama hau erabiliz eta (7.12) ekuazioak eman-

dako moduluaren baldintzaren bitartez, k-ren balio zehatza hauta daiteke bigizta itxiko

poloak aurretik finkatutakoak izan daitezen.

Diagrama egiteko, angeluaren ekuazioa betetzen duten s planoko puntuak erabiliko

dira. Hasieran, kG(s) bigizta irekiko sistemaren polo eta zeroak kokatuko dira plano

konplexuan eta grafikoki angeluaren ekuazioa betetzen duten s balio guztiekin egingo da

diagrama. Demagun 7.3 Irudiko polo/zeroen konfigurazioa,

7.3 Irudia.

s = –2 + 2j puntuan, arg[kG(s)] hurrengoa da,

eta angeluaren ekuazioa betetzen ez duenez gero, ez da erroen kokaerako diagramakoa

izango. Demagun orain s = –3.5 puntuaren angelua kalkulatzen dela; arg [kG(s)] = –180°

arg kG(s)[ ] = 33.7 −116.6 − 45 = −127.9°

mod kG(s)[ ] = 1

arg kG(s)[ ] = (2n +1)π n = 0,1,2....


Ir

Er

j2

j1

–j2

–j1

–5

33.7° 45°

116.6°

–4 –3 –2 –1

eta angeluaren ekuazioa betetzen da. Beraz, s = –3.5 puntua erroen kokaerako diagrama-

ren barne dago eta bigizta itxiko sistemaren poloa da (k balio zehatz batentzat). Modu-

luaren ekuazioa erabiliz, k-ren balioa kalkulatzen da.

1/(a/b) = 2.5*0.5/1.5 = 0.83

non, a = zeroetara dauden distantzien biderkadura

b = poloetara dauden distantzien biderkadura diren.

Puntuz puntu frogak egiteak denbora asko eramango duela argi dago eta beraz, diagra-

ma hori erraz eta azkar kalkulatuko duen metodoa behar da.

7.4. ERROEN KOKAERAKO DIAGRAMA EGITEKO ERRE-GELAK

Erroen kokaerako diagrama egiterakoan hurrengo erregelak oso baliagarriak izaten

dira:

1. Diagrama simetrikoa da ardatz errealarekiko.

2. Diagramako adarren kopurua G(s) funtzioaren polo-kopuruaren berdina da. Demagun

G(s) = b(s)/a(s) dela; orduan,

(7.13)

eta a(s)-ren ordena b(s)-rena baino handiagoa denez gero, G’(s) funtzioaren polo-ko-

purua G(s) funtzioarenaren berdina da eta, beraz, diagraman dauden adarren kopurua-

rena. G’(s) funtzioaren zeroak beti G(s)-ren zeroak direla aipatu behar da.

3. Diagramako adarren hasiera-puntuak G(s)-ren poloak izango dira. k = 0 denean,

G’(s)-ren poloak eta G(s)-renak berdinak dira eta, ondorioz, diagramaren adarrak

G(s) funtzioaren poloetan hasiko dira.

G' (s) = kb(s)a(s) + kb(s)

k = 1kG(s)

=

226

4. Diagramako adarren bukaera-puntuak G(s)-ren zeroak dira; geratzen diren adarrak

infinitura joango dira ezezagunak diren asintotei jarraituz. k = ∞ denean, G’(s)-ren

poloak b(s)-ren erroak dira eta, ondorioz, G(s)-ren zeroak. Baina G(s) funtzioaren

heina bat edo handiagoa denez gero, diagramako beste r adarrak infiniturantz joango

dira.

5. Ardatz errealeko puntu bat diagramakoa izango da, bere eskuinaldean dauden polo

eta zeroen kopurua bikoitza ez bada. Adibidez, 7.4 Irudiko polo/zeroen konfigura-

zioan s = –a eta s = –b puntuak diagramakoak diren jakiteko, angeluen teorema erabi-

liko da.

7.4 Irudia.

s = –a baldin bada,

eta, ondorioz, s = –a puntua ez da diagramakoa izango. Azken bi gaiak polo konple-

xuak dira eta berauen parte-hartzea = –360° denez, kasu honetan kontutan hartuko ez

balira ere berdin izango litzateke.

s = –b baldin bada,

eta s = –b puntua diagramakoa dela frogatzen da. Diagramaren barnean dauden ardatz

errealeko puntuak 7.5 Irudian ikus daitezke.

arg kG(s)[ ] s=−b = π + 0 − π − π − 0 − 0 = −π

arg kG(s)[ ] s=−a = 0 + 0 − π − π − 0 − 0 − (π + θ) − (π − θ) = −4π


Ir

Erθ

s = –a

s = –b

7.5 Irudia.

6. Geratzen diren r adarrak infinitura doazenean jarraitzen dituzten asintotek –(2n+1)π/r

angeluak osatzen dituzte ardatz errealarekin eta ardatz honekiko simetrikoak dira.

G(s) funtzioaren heina r da eta s infiniturantz doanean, angeluaren teoremari

jarraituz,

(7.14)

Beraz,

(7.15)

eta asintotek ardatz errealarekin osatzen dituzten angeluak

dira. Erregela hau 7.1 Taulan laburtuta dago, baina r handitzen den bezala infinitu-

raino irits daiteke.

7.1 Taula

r-ren balioa Asintoten kopurua Asintoten angeluak

1 1 –180°

2 2 –90°, 90°

3 3 –60°, –180°, 60°

4 4 –45°, –135°, 45°, 135°

7. Asintotek ardatz erreala gurutzatzen duten puntua hurrengo formulak ematen du,

. Demagun,poloak − zeroak∑∑( ) heina

arg(s) = −(2n +1)πr

arg(s) = −(2n +1)πr

arg kG(s)[ ] = arg1sr

= (2n +1)π

228

Ir

s = –e

s = –d s = –c

Er

(7.16)

(7.17)

non, r = n – m den, eta orduan (7.12) ekuazioa erabiliz,

(7.18)

Asintota guztiak eta ardatz erreala elkartzen diren puntuan s-ren balioa handia denez

gero, (7.18) ekuazioa honela jar daiteke,

(7.19)

Ondorioz, elkartze-puntuan k = 0 denez gero,

(7.20)

Demagun 7.6 Irudiko polo/zeroen konfigurazioa duen bigizta irekiko sistema,

7.6 Irudia.

Sistema honen heina lau da, asintoten angeluak –45°, –135°, 45° eta 135° dira eta

elkartze-puntua hurrengoa izango da:

Asintotak ere 7.6 Irudian ikusten dira.

s = (−1) + (−3) + (−6) + (−4.5 + 2 j) + (−4.5 − 2 j) − (−8)[ ]4

= −114

= −2.75

s = a1 − b1

r=

poloak − zeroak∑∑r

s + a1 − b1

r

r

= −k

sr + (a1 − b1)sr −1+...= −k

= k

sr + (a1 − b1)sr −1+...

kG(s) = ksm + b1s

m−1+...+bm

sn + a1sn−1+...+an

=


Ir

Er–8 –6 –3 –1

j2

–j2

8. Erregela honek ardatz errealetik atera eta ardatzera iristearekin du zerikusia. Diagra-

maren adar bateko punta bakoitzean polo bat dagoenean, k handitzen den neurrian

biak elkarrengana mugitzen dira polo bikoitza sortuz eta, orduan, elkarrengandik

urruntzen dira polo konjugatuak sortuz. Adar bateko punta bakoitzean zeroak

badaude berriz, alderantziz gertatzen da, 7.7 Irudian ikusten denez.

7.7 Irudia.

Demagun orain, 7.8 Irudiko polo/zeroen konfigurazioan, diagramaren eskuinaldean

dauden bi poloen arteko zein puntutan aldentzen hasten den jakin nahi dela. Suposa

dezagun puntu hori s = –z dela. Orduan, ardatz errealetik oso hurbil dagoen puntu bat

hartzen da, s = –z + jδ eta angeluaren teorema aplikatzen da.

hau da,

(7.21)

7.8 Irudia.

θ1 − θ2 − θ3 + θ4 − α 5 − α 6 = 0

θ1 − θ2 − θ3 − (180 − θ4 ) − (θ5 + α 5 ) − (θ6 + α 6 ) = −180°

230

Ir

Er

Ir

Er

θ5

θ1

θ2

θ3 θ4

δ

θ6

α5

α6

y3

x1

x2x4

x5

x3

z

θ5 + θ6 = 360° delako.

Orain, δ oso txikia denez, angeluak tangentez alda daitezke,

(7.22)

eta hemendik z puntua kalkula daiteke.

Demagun orain 7.9 Irudiko sistema.

7.9 Irudia.

eta ondorioz,

eta,

9. Honek polo konplexuetatik ateratzen diren adarrekin du zerikusia. Polo konplexu

batetik ateratzerakoan (edo zerora iristerakoan) adarrak osatzen duen angelua ange-

luaren teoria erabiliz kalkulatzen da. Demagun 7.10 Irudiko polo konplexutik oso

hurbil dagoen puntu bat,

z2 − 6z + 7 = 0;⇒ z = −1.586

δ3 − z

− δ2 − z

+ δz −1

= 0

θ1 − θ2 − (180 − θ3 ) = −180 ⇒ θ1 − θ2 + θ3 = 0

δx5

− δx4

− δx2

+ δx1

− 2δx3

x32 + y3

2 = 0


Ir

Er

θ1θ2 θ3

z

–1–2–3

δ

7.10 Irudia.

θ1 atzeratze-angelua kalkulatzeko, puntu horretatik polo eta zero guztietara neurtu-

tako angeluak (p polora izan ezik), p polotik neurtuko direla suposatuko da. Beraz,

(7.23)

eta ekuazio honetatik ateratzen da θ1 angelua.

10. Diagramak ardatz irudikaria gurutzatzen dituen puntuak bigizta itxiko ekuazio

karakteristikoari Routh-en egonkortasun-teoria aplikatuz kalkulatzen dira, hau da,

1+kG(s)=0. Demagun, adibidez, hurrengo transferentzi funtzioak ardatz irudikaria

non gurutzatzen duen jakin nahi dela:

orduan,

bigizta itxiko ekuazio karakteristikoa delarik, Routh aplikatzen da,

1 + k

(s + 3)(s2 + 2s + 2)= 0

(s + 3)(s2 + 2s + 2) + k = 0

s3 + 5s2 + 8s + 6 + k = 0

G(s) = 1(s + 3)(s2 + 2s + 2)

θ2 − θ3 − θ4 − θ5 − θ1 = −(2n +1)π

232

Ir

Er

θ1

θ2

θ3

θ4θ5

Egonkortasuna lortzeko lehen zutabe guztiak positibo izan behar du, zeinu-aldake-

tarik gabe. Beraz,

bigarren balioa ezin da onartu k-k beti positibo izan behar duelako. Ondorioz, k = 34

denean, ardatz irudikaria gurutzatzen da. Puntu horietan s-ren balioak hurrengoak

izango dira:

⇒

11. Aurrean aipatutako 10 erregelak jarraituz diagramaren forma aterako da gutxi gora-

-behera eta angeluaren teoria erabiliz, plano konplexuko puntu berezi batzuk diagra-

makoak diren kalkulatuko da. Ondorioz, diagrama osoa egin daiteke. Orain, modu-

luaren teorema erabiliz, diagramako edozein puntutan k irabazpenak izango duen

balioa ere kalkulatuko da.

(7.24)

Zerorik ez dagoen kasuan, izendatzailea bat izango da.

Erregela hauen laburpena, 7.2 Taulan agertzen da.

k = puntu horretatik poloetara dauden luzeren biderkaketa

puntu horretatik zeroetara dauden luzeren biderkaketa

s = ± 8 j5s2 + 40 = 0

34 − k

5> 0 ⇒ k < 34

6 + k > 0 ⇒ k > −6

s3 1 8

s2 5 (6 + k)

s1 −(6 + k) + 405

s0 6 + k


234

(1) Simetria

(2) Adarren kopurua

(3) Hasierako puntuak (k = 0)

(4) Bukaerako puntuak (k = ∞)

(5) Ardatz errealaren gaineandagoen diagrama

(6) Diagramako asintotak

(7) Asintoten gurutzatze--puntua,

8) Banatze- eta Elkartze--puntuak

(9) Irteera eta sarrerakoangeluak

(10) Diagramak ardatzirudikaria gurutzatzen duenpuntua

(11) K-ren balioa diagramaerabiliz

Koefiziente konstanteak dituzten transferentzi funtzioenerroen kokaerako diagramak, s planoko ardatz errealarekikosimetrikoak dira.

Adarren kopurua = Z, Z>P deneanAdarren kopurua = P, P>Z deneannon P, G(s)H(s) funtzioaren polo-kopurua den

Z, G(s)H(s) funtzioaren zero-kopurua den.

Erroen kokaerako hasiera-puntuak (k = 0), G(s)H(s) funtzioa-ren poloak dira.

Diagramako bukaera-puntuak (k = ±∞), G(s) H(s) funtzioarenzeroak dira. P>Z denean, bukaera-puntuak infinituan daude.

s planoko ardatz errealaren puntu bat diagramakoa izango da,puntu horretatik eskuinaldean dauden polo eta zeroen kopuruabikoitia ez bada.

P>Z denean, diagramako adarrak infinitura joaten dira asinto-ta batzuk jarraituz. Asintota hauek ardatz errealarekin osatzendituzten angeluak,

non, n = 0, 1, 2, 3,........, P–Z–1

Asintotek ardatz erreala gurutzatzen duten puntua,

non, heina = r = P–Z

Erroen kokaerako banatze- eta elkartze-puntuak, ,ekuazioko erroek ematen dituzte

Diagramak polo batetik ateratzerakoan duen angelua, polohorretatik oso hurbil dagoen puntua hartu eta hurrengo ekua-zioa aplikatuz lortzen da,

Diagramak ardatz irudikaria gurutzatzen dituen puntuak,Routh-en teoria erabiliz lortzen dira.

Erroen kokaerako diagramako edozein s1 puntutan K-renbalioa kalkulatzeko,

s1 puntutik poloetara dauden distantzien biderkaketa K =

s1 puntutik zeroetara dauden distantzien biderkaketa

θ = ∠i=1

m∑ s + zi - ∠ s + pjj=1

m+n∑ = - (2n +1)π

dKds

= 0

s = poloak − zeroak∑∑heina

θn = (2n +1)πP − Z

7.2 Taula. Erroen Kokaerako diagrama egiteko erregelak

7.5. ADIBIDEAK

Irabazpena zerotik infinitura aldatzen denean, bigizta irekian hurrengo transferentzi

funtzioa duen sistemaren erroen kokaerako diagrama egin behar da.

2. Erregela erabiliz, G(s) funtzioak hiru polo ditu eta, beraz, diagramak hiru adar izango

ditu.

3. Erregela erabiliz, diagramako hasiera-puntuak s = –3, s = –1+j eta s = –1–j dira.

4. Erregela aplikatuz, diagramako bukaera-puntuak infinitu izango dira, zerorik ez

dagoelako.

5. Erregelaz, adar bat, ardatz errealeko s = –3 puntuan hasi eta infinitura joango da.

6. Erregelaz, heina hiru denez gero, hiru asintota egongo dira, ardatz errealarekin -60°,

60° eta –180° osatuz.

7. Erregelaz, asintotak elkartzen diren puntua hurrengoa da,

7.11 Irudian agertzen dira orain arte aplikatutako erregelak.

7.11 Irudia.

s = (−3) + (−1 + j) + (−1 − j)3

= −53

= −1.66

G(s) = 1(s + 3)(s2 + 2s + 2)


Ir

Er

θ1

θ2

θ3

9. Erregelaz, θ1 angelua kalkulatzeko,

hau da,

10. Erregela hau aplikatuz, k = 34 zenean diagramak s = ±√ -8j puntuan ardatz irudikaria

gurutzatzen zuela ikusi da lehen.

Diagrama osoa 7.12 Irudian ikusten dena da, non k–ren balioak 11. erregela aplikatuz

kalkulatzen diren.

Adibidez, k=10 denean, bigizta itxiko poloak s=–4, s=–0.5+j1.94 eta s=–0.5–j1.94

dira eta G’(s) bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa da,

Bigarren adibide bezala, hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren diagrama

egin behar da, k irabazpena 0-tik infinitura aldatzen denean.

Gainera, sistema egonkorra izateko, k irabazpenak zer balio izango dituen kalkulatu

nahi da.

2. Erregela erabiliz, G(s) funtzioak lau polo dituenez, diagramak lau adar izango ditu.

3. Erregelaz, hasiera-puntuak s = 0 (bikoitza), s = –3 eta s = –4 dira.

4. Erregelaz, bukaera-puntuak s = –1, s = –2 eta infinituan dauden beste bi.

G(s) = (s +1)(s + 2)s2 (s + 3)(s + 4)

= 101

(s + 4)(s + 0.5 + j1.94)(s + 0.5 − j1.94)

= 10

(s + 4)(s2 + s + 4)

G' (s) = kbigizta irekiko zeroak

bigizta itxiko poloak=

−θ1 − 26.6 − 90 = −(2n +1)π ⇒ θ1 = 63.4°

θ1 − θ2 − θ3 = −(2n +1)π

236

7.12 Irudia.


Er

Ir

j3

–j3

j2

–j2

j1

–j1

–5 –4 –3 –2 –1

k=34

k=19.9

k=10

k=3.6

k=3.6

k=10

k=19.9

k=34

k=10k=34

k=3.6k=19.9

0

5. Erregelaz, diagrama ardatz errealeko –1 eta –2 tartean eta –3 eta –4 tartean dago.

6. Erregelaz, heina bi denez, bi asintota daude, ardatz errealarekin –90° eta 90° osatuz.

7. Erregelaz, asintoten elkartze-puntua hurrengoa da,

8. Erregelaz, jatorrian dagoen puntu bikoitzetik bi adar ateratzen dira 90° osatuz gorantz

eta beherantz. Gainera, s = –3.44 puntuan aldentze-puntua eta s = –1.46 puntuan

elkartze-puntua sortzen dira (7.13 Irudia).

10. Erregelaz, bigizta itxiko ekuazio karakteristikoa hurrengoa da,

hau da,

eta Routh-en irizpidea erabiliz,

Ondorioz, bigizta itxiko sistema egonkorra izango da k-ren edozein baliorentzat. Hau

argi geratzen da diagrama osoa egiten denean, 7.13 Irudia, grafiko guztia s planoaren

ezkerraldean dagoelako.

s4 1 12 + k 2k

s3 7 3k

s2 84 + 4k

72k

s1

84 + 4k

7

3k −14k

84 + 4k

7

s0 2k

s4 + 7s3 + (12 + k)s2 + 3ks + 2k = 0

s2 (s + 3)(s + 4) + k(s +1)(s + 2) = 0

s = (0) + (0) + (−3) + (−4) − (−1) − (−2)2

= −7 + 32

= −2

238

7.13 Irudia


Er

Ir

j3

–j3

j2

–j2

j1

–j1

–4 –3 –2 –1 0

7.6. ERANTZUN IRAGANKORRAREN KALKULUA

Erroen kokaerako diagrama egin ondoren, bigizta itxiko sistemaren portaera iragan-

korra egokia izan dadin, k-ren balioa hautatu behar da eta ondoren portaera iragankorra

nolakoa den kalkulatuko da hautaketa egokia izan dela frogatzeko. Lehendabiziko adi-

bidean ikusi den bezala, irabazpena handitzen denean, polo konplexu dominanteak ardatz

errealetik urrundu egiten dira eta ardatz irudikarira hurbildu; sistema oso oszilakorra da

eta azkenean desegonkor bihurtzen da. Beraz, egoera iragankorreko erantzun egokia lor-

tzen denean, k-ren balioa hautatu behar da. Hau, normalean, polo konplexu dominanteek

ardatz erreal negatiboarekin osatzen duten angelua 30° eta 60° tartean dagoenean gerta-

tzen da. Adibide batez hobeto ikusiko da.

Bigizta irekian hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemak bigizta itxian portaera

egokia izateko, k irabazpenak izango duen balioa kalkulatu behar da erroen kokaerako

metodoa erabiliz.

Funtzio honen erroen kokaerako diagrama, 7.14 Irudikoa da,

Lehenbizi, ardatz erreal negatiboarekin polo konplexuek 30°-ko angelua osatu behar

dutela suposatuko da. Beraz, diagramatik eta moduluaren teoria erabiliz (11.erregela),

k=5.0 dela ateratzen da. Orduan, bigizta itxiko poloak s=–2+j, s=–2–j, s =–4.8 eta s=–0.2

dira, eta bigizta itxiko funtzioa,

Lehen klaseko sistema denez gero, ez du egoera egonkorreko errorerik aurkeztuko,

hau da, t infinitura doanean c (t) = r (t) izango da, eta azken balioaren teorema erabiliz,

G' (s)[ ] s→0 = 5(4.8)(0.2)(5)

= 1.04 ≈ 1

G' (s) = 5(s +1)(s + 4.8)(s + 0.2)(s2 + 4s + 5)

G(s) = s +1s(s + 2)(s + 3)(s + 4)

240

7.14 Irudia.


Er

Ir

j3

–j3

j2

–j2

j1

–j1

θ2

θ1

–4 –3 –2 –1 0

Sistemaren portaera iragankorra bigizta itxiko transferentzi funtziotik aterako da

zuzenean,

(7.27)

eta erreferentzia maila sarrera dela suposatuz, Laplace-ren alderantzizko transformazioa

egiten da,

L (7.28)

eta

frakziotan zatituz gero,

beraz,

Funtzio hau 7.15 Irudian agertzen da,

t = 0 denean c (t) = 1.04 – 0.097 – 1.0254 + 0.08 ≅ 0.0

t = ∞ denean c(t) = 1.04 ≅ 1.0

7.15 Irudian ikusten den bezala, egoera iragankorreko erantzuna ez dute polo kon-

plexuen bikoteek dominatzen baizik eta s = –0.2 poloak. Sistema zeharo egonkorra eta

mantsoa da eta ondorioz irabazpena handitu egin daiteke arriskurik gabe. Beraz, angelua

60° eginez erantzun egokia lortuko da. Normalean, jatorriaren aldamenean polo negatibo

erreala baldin badago, sistema egonkorragoa da eta irabazpenaren balio handiagoa erabil

daiteke.

c(t) = 1.04 − 0.097e−4.8t −1.0254e−0.2t + 0.08e−2t cos t − 0.49e−2t sin t

G' (s)1s

= 1.04s

− 0.097s + 4.8

− 1.0254s + 0.2

+ 0.08s − 0.33s2 + 4s + 5

=

= 1.04s

− 0.097s + 4.8

− 1.0254s + 0.2

+ 0.08(s + 2)(s + 2)2 +1

− 0.49(s + 2)2 +1

G' (s)1s

= 5(s +1)s(s + 4.8)(s + 0.2)(s2 + 4s + 5)

−1 G' (s)1s

c(t) =

C(s) = G' (s)R(s)

242


irtee

rako

era

ntzu

n os

oa(b

ost f

untz

ioen

bat

uket

a)

denb

ora

(s)

16

–0.0

97e–

4.8t

–0.0

8e–2

t cos

t

0.49

e–2t

sin

t

–1.0

254e

–0.2

t

1412

10

7.15

Iru

dia

86

42

0

–0.4

–0.8

0.8 0.4

1.04

irtee

ra

Adibidea 60°-ko angelurako errepikatuz, bigizta itxiko funtzioa hurrengoa izango da,

eta maila sarrera sartuz gero, denboran zehar sistemak duen erantzuna hurrengoa da,

Funtzio hau, 7.16 Irudian agertzen dena da,

7.16 Irudia.

Sistema honen erantzuna azkarragoa eta zerbait oszilakorragoa da baina, hala ere,

egokia izango litzateke. Irabazpena gehiago handituz gero, erantzuna oso oszilakorra

izango da eta, beraz, onartezina.

c(t) = 0.975 − 0.159e−6t − 0.27e−0.8t − 0.53e−1.1t cos2.19t −

− 0.82e−1.1t sin2.19t

G' (s) = 28.0(s +1)s(s + 6)(s + 0.8)(s2 + 2.2s + 6)

244

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 2 3 4 5

denbora (s)

irteera

7.7. BIBLIOGRAFIA

• Distefano J.J., Stubberud A.R., Williams I.J., 1992, "Retroalimenatación y sistemas de

control", McGraw-Hill Interamericana, S.A., Kolonbia.

• Dorf R.C., 1989, "Sistemas modernos de control", Addison-Wesley Iberoamericana.


con retroalimentación", Addison-Weley Iberoamericana, U.S.A.

• Kuo B.C., 1987, "Automatic Control Systems", Prentice-Hall Inc. U.S.A.

• Marshall S.A., 1978, "Introduction to Control Theory", MacMillan Publishers LTD.,

Hong Kong.

• Ogata K., 1970, "Modern control Engineering"; Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs,

N.J.

7.8. ARIKETAK

7.1. Hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren polo/zeroen konfigurazio grafikoa

egin,

Polo bakoitzaren eragina aztertu sarrera bezala inpultsua jartzen denean. G(s)-ren

balioa kalkulatu s = –2.5 eta s = 1 + 3j direnean.

7.2. Bigizta irekiko hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren erroen kokaerako

diagrama marraztu,

Bigizta itxiko transferentzi funtzioa kalkulatu k = 20 denean.

G(s) = 1(s +1)(s2 + 6s +13)

G(s) = s + 3(s + 3.2)(s +1.0)(s2 + 4s +13)


7.3. Bigizta irekian hurrengo transferentzi funtzioa duen sistemaren erroen kokaerako

diagrama egin,

Sistema egonkorra mantentzeko k irabazpenak izan behar dituen balioak kalkulatu.

7.4. Erroen kokaerako diagrama erabiliz k-ren balioak aztertu, bigizta irekian hurrengo

transferentzi funtzioa duen sistemak egoera iragankorreko portaera egokia izan

dezan,

7.5. Bigizta irekian hurrengo transferentzi funtzioak dituzten sistemen erroen ko-

kaerako diagramak egin,

a)

b)

c)

d)

7.6. Hegazkinen egonkortasuna jakina izan arren helikopteroek kontrol automatikoa

behar dute egonkortasuna lortzeko. A7.1 Irudian kontrol automatikoaren eredua

aurkezten da. Pilotuak kontrol-palanka erabiltzen ez duenean, zirkuitua irekia

dagoela kontsideratzen da. Helikopteroaren dinamika hurrengo transferentzi fun-

tzioaz aurkezten da,

G2 (s) = 25(s + 0.03)(s + 0.4)(s2 − 0.36s + 0.16)

G(s) = k(s2 + 4s + 8)s2 (s + 4)

G(s) = k(s +1)s(s + 2)(s + 3)

G(s) = k

(s2 + s +1)(s +1)

G(s) = k

s(s +1)2

G(s) = 1(s +1)(s + 2)(s + 3)

G(s) = s +1s(s + 2)(s + 4)(s2 + 2s + 5)

246

A7.1 Irudia.

a) Kontrol-zirkuitua irekia dagoenean, egonkortasun automatikoaren zirkuituaren

erroen kokaerako diagrama egin. k2-ren balioa kalkulatu erro konplexuen mo-

teltze-faktorea ξ = 0.707 izan dadin.

b) k2-ren balio horrekin, egoera egonkorreko errorea kalkulatu Td(s) = 1/s denean.

c) Pilotuaren zirkuitua gehituz gero lortzen den sistemaren erroen kokaerako dia-

grama egin k2 konstantearen balioa mantenduz eta k1 konstantea 0-tik ∞-ra

doanean.

d) k1 konstantearen balio egokia hartuz, egoera egonkorreko errorea kalkulatu.

7.7. Manufakturak egiten diren lantegietan erabiltzen diren automatikoki gidatutako

ibilgailuen kontrol zehatza eta tartekatze ziurra oso garrantzitsua izango da aurre-

rantzean. Gainera, sistema hauetan egon daitezkeen perturbazioak (lurreko olioa

etab.) saihestea ere garrantzi handikoa izango da. Sistema osoa A7.2 Irudian aur-

kezten da, ibilgailuaren dinamika hurrengo transferentzi funtzioak ematen duelarik,

A7.2 Irudia.

G(s) = (s + 0.1)(s2 + 2s + 289)s(s + 0.4)(s + 0.8)(s2 +1.45s + 361)


R(s)

Egonkortasun automatikoa

HelikopteroaHelizearen

kokaeraC(s)

Perturbazioa Td(s)

Kontrol--palanka

k1––––––––––s2+12s+1

G2 (s)

k2 (s+1)––––––––––

(s+9)

k1 (s+0.5)–––––––––

s+30k2–––––

s+30

k4–––––s+250

C(s)G (s)

Erreguladorea Motorea Ibilgailua

Sentsorea

Lortu nahi dentartekatzeaR (s)

Ibilgailuen artekotartekatzea

a) Berrelikadurako sentsoreak duen poloa kontutan hartu gabe, sistemaren erroen

kokaerako diagrama egin.

b) Sistemaren irabazpen osoa k = k1 k2 k4/250 = 4000 denean, sistemaren erroak

kalkulatu.

7.8. Concorde bezala ezagutzen den garraio-hegazkin supersonikoa (SST), 1976.

urtean hasi zen funtzionatzen mundu osoan zehar. Concorde hegazkinaren hegal-

diko abiadura 2.240 km/h-koa da eta New York eta Londres artean egiten duen

hegaldiak hiru ordu irauten du. Hegaldiko kontrol-sistemak kalitate handia eta bal-

dintza erosoak izan behar ditu. SST hegazkinetako kontrol automatikoa diseina-

tzeko, A7.3 Irudian agertzen den sistema erabil daiteke. Kontrol-sistema horren

erro dominanteen ezaugarriak hurrengoak izango dira: ωn = 2.5, ξ1 = 0.3 eta τ=10.

Kalkulua serbomekanismoaren dinamika kontutan hartu gabe egin daitekeela

suposatu. Bestalde, k1 irabazpena aldakorra izango da: gurutzaldian eta pisu

ertainarekin, k1 = 0.02 eta pisu gutxirekin jaisterakoan k1 = 0.2.

A7.3 Irudia.

a) k = k1k2 denean, erroen kokaerako diagrama marraztu.

b) Hegazkinak gurutzaldiko parametroak erabiltzen dituenean, k2 giroskopioaren

irabazpena kalkulatu ξ = 0.707 duten erroak lortzeko.

c) k2 horrekin, ξ berria aurkitu k1 pisu gutxiko baldintzekin ateratakoa denean.

7.9. Lantegietan erabiltzen diren ibilgailuen kontrol automatikoa asko garatu da azken

urteotan zehar. Sistema hauetako batek lurrean sartutako gidatze-kablea erabiltzen

du. Errore-detektorea ibilgailuaren aurrean muntatuta dauden bi hariletan oinarri-

248

R(s)

k2

Serbomekanismoa

2500––––––––––––s2+60s+2500

(s+0.2)2––––––––––––(s+0.1)(s+10)

1–––––0.1s+1

k1(τs+1)––––––––––––––––––––––

(s2/ω2n1)+(2ξ1/ωn1)s+1

Eragilea

IragazkiaAbiadurakogiroskopioa

Hegazkina

C(s)

tzen da. Detektoreak kablean doan korronteak sortzen duen eremu magnetikoa

neurtzen du. A7.4 Irudian ikusten da sistemaren bloke-diagrama, non G(s) hurren-

goa den,

eta ka anplifikadorearen irabazpena da.

A7.4 Irudia.

Erroen kokaerako diagrama marraztu eta ka-ren balioa lortu erro konplexuen

moteltze-faktorea 0.707 izan dadin.

7.10. Berrelikadura negatiboa duen sistemaren bigizta irekiko transferentzi funtzioa

hurrengoa da,

a) 0 ≤ k ≤ ∞ denean, erroen kokaerako diagrama egin.

b) Egonkortasuna lortzeko, k parametroak dituen balioak kalkulatu.

c) Zer balio izan behar du k parametroak erroak ardatz irudikariaren gainean

egoteko?

7.11. Abiadura handiko hegazkin nahiz misilen garapenak abiadura handitan manten-

tzen diren parametro aerodinamikoen berri izan behar du. Parametro horiek froga-

tzeko, haize-tunelak erabiltzen dira. Tunel horietan, airea presio handitan kon-

primatzen da eta balbula baten bidez libratzen da haizea sortzeko. Haizea ateratzen

den neurrian barruan geratzen denaren presioa murriztu egiten denez, balbula gero

eta gehiago ireki beharko da haizearen abiadura konstante izan dadin. Beraz,

balbula horren egokitzea egingo duen kontrol-sistema beharko da. Bigizta irekian

sistemak duen transferentzi funtzioa hurrengoa da,

GH(s) = k(s +1)2

s(s2 +1)(s + 4)

G(s) = ka (s2 + 3.6s + 81)s(s +1)(s + 5)


R(s)

ErreferentziaEragilea eta ibilgailua

Bidaiako norabidea

Erroen kokaerako diagrama egin eta erroen kokaera bilatu k = 326 eta k = 1350

denean.

7.12. Europako emisioen arauak betetzeko, HC eta CO emisioak bihurgailu kataliti-

koaren bidez kontrolatzen dira ibilgailuen ihes-hodietan. NOx emisioak kontro-

latzeko, ihes-gasen berzirkulazio-teknikak erabiltzen dira. Bestalde, NOx emisioen

araua aldatu eta 1.25 g/km-tan ipini da orain eta, ondorioz, muga eta berzirkulazio-

-teknikak ez dira dagoeneko nahikoak.

Hiru emisio horien arauak betetzearren metodo ugari ari dira ikertzen eta garran-

tzitsuenetakoa efektu hirukoitza duen katalizadorea eta zirkuitu itxiko motorearen

kontrol-sistema erabiltzen dituena da. Metodo honen kontrola A7.5 Irudian aur-

kezten da. Ihes-gasen sentsoreak ihes-hodian dauden gasen maila neurtzen du

erreferentziako mailarekin konparatu ahal izateko. Bi seinaleen arteko diferentzia

erreguladorean landu eta irteerak karburadorearen huts-maila erregulatzen du.

Honela, aire/erregai erlaziorik hoberena lortu eta bihurgailu katalitikoan gertatzen

den prozesua egokiena izango da. Sistema honen bigizta irekiko transferentzi

funtzioa hurrengoa da:

A7.5 Irudia.

Sistema honen erroen kokaerako diagrama egin.

GH(s) = k(s +1)(s + 6)s(s + 2)(s + 3)

HG(s) = k(s + 4)s(s + 0.16)(s + 7.3 j + 9.7831)(s + 7.3 j + 9.7831)

250

R(s)

Oxigenoa

Erreferentzia

IhestehodiaC (s)

Sentsorea

Erreguladorea Karburadorea MotoreaEfektu hirukoitzaduen bihurgailu

katalitikoa

8.1. SARRERA

Kapitulu honen oinarrizko helburua, sarrera eta irteera bakarra duten eta linealak diren

kontrol-sistemen konpentsazioa eta diseinua egiteko dauden prozedurak aztertzea da.

Erabiliko diren prozedurak erroen kokaera eta erantzun frekuentziala dira.

8.1.1. Funtzionamendu-espezifikazioak

Kontrol-sistemak lan berezi batzuk betetzeko diseinatzen dira. Normalean, kontrol-

-sistema bati eskatzen zaizkion baldintzak, funtzionamenduko espezifikazioak dira.

Hauek zehaztasunari, egonkortasun erlatiboari eta erantzunaren abiadurari lotuta daude.

Diseinuko arazoetan, funtzionamendu-espezifikazioak balio numeriko zehatzen

bitartez eman daitezke. Beste kasuetan, balio zehatz nahiz indikazio koalitatiboen bidez

ematen dira. Azken kasu honetan, diseinuan zehar funtzionamendu-espezifikazioak alda

daitezke, betetzen ez direlako edota lortzen den sistema garestiegia delako.

Orokorrean, funtzionamendu-espezifikazioek lan berezi bat betetzeko behar direnak

baino murriztaileagoak ezin dute izan. Kontrol-sistema batean egoera egonkorreko fun-

tzionamendua zehatza izatea lortu nahi bada, egoera iragankorreko portaerari ezin zaizkio

behar ez diren espezifikazio murriztaileak eskatu, batez ere osagai garestiak beharko

dituztelako. Kontrol-sistema baten diseinu eta proiektua egiterakoan garrantzitsuena,

aurrikusitako helburuak kontrol-sistema egoki baten bidez lor daitezen, funtzionamen-

duko portaera era zehatzean ipintzea da.

8.1.2. Proba eta aldaketak erabiltzen dituzten metodoak

Kasu praktiko gehienetan, kasu berezi bati aplikatu behar zaizkion funtzionamendu-

-espezifikazioen bitartez finkatzen da diseinu-metodoa. Kontrol-sistema diseinatzerakoan,


8. KONTROLADOREEN DISEINUA

funtzionamendu-espezifikazioak denboran zehar sistemak duen portaeraren arabera

(hazierako denbora, gehienezko gaindiketa, egonkortze-denbora, etab.) edo maiztasu-

naren arloan egindako neurketen arabera (fasearen tartea, anplitudearen tartea, gehie-

nezko erresonantzia edo banda-zabalera) ematen badira, erroen kokaeraren metodoa edo

erantzun frekuentziala erabiltzen dituzten metodoetan oinarritutako saio/aldaketa meto-

doak erabili behar dira nahi eta nahi ez.

Aipatutako metodo hauek sarrera eta irteera bakarra duten eta linealak diren siste-

metan besterik ez dira erabiliko, denboran zehar ez direla aldatuko ziurtatuz. Diseina-

tzailea, probak eta aldaketak eginez, funtzionamendu-espezifikazioak lortzen saiatuko da.

Diseinua bukatu ondoren, espezifikazioak betetzen direla probatzeko saioa egin eta,

nahi zena lortu ez bada, diseinu-prozesua errepikatzen da parametroen balioak aldatuz

edo sistemaren konfigurazioa aldatuz. Beraz, metodo honetan diseinatzailearen ezaguerak

garrantzia handia du zeren, esperientzia handiko diseinatzaile batek, froga gehiegirik egin

gabe, sistema egokia lortuko bailuke.

8.1.3. Prozesuko dinamikaren aldaketa

Kontrol-sistema bat egiterakoan, funtzionamendu-espezifikazioak betetzeko era erraza

prozesuaren dinamika aldatzea dela jakina da. Baina, benetako kasu askotan hau ez da

posible, prozesua finkoa eta aldaezina delako. Kasu honetan, prozesuaren parametroak

ezingo dira aldatu eta kontroladorearenak aldatu beharko dira. Kapitulu guzti honetan,

prozesua finkoa eta aldaezina dela suposatuko da.

8.1.4. Sistemen konpentsazioa

Prozesuaren portaera egokia lortzeko egin behar den lehen gauza, irabazpenaren

egokitzea da. Benetako kasu askotan, irabazpenaren egokitzearekin bakarrik, sistemaren

portaera ez da nahikoa aldatzen eta, ondorioz, funtzionamenduko berezitasunak ez dira

lortzen. Askotan, irabazpenaren balioa handituz, egoera egonkorreko portaera hobetzen

da, baina egonkortasun ahula edota desegonkortasuna ere lortzen da. Kasu hauetan,

sistema berriro diseinatzen da (egitura aldatuz edo osagai berriak gehituz), sistemaren

portaera osoa aldatu eta nahi den portaera lortzearren.

252

Sistemaren barnean ipintzen den osagai berri hori, konpentsadorea da. Honek,

hasierako sistemaren portaera desegokia konpentsatzen du.

8.1.5. Serie-erako konpentsazioa eta berrelikadurako konpentsazioa

Gc(s) konpentsadorea G(s) transferentzi funtzioarekin seriean ipintzen bada, 8.1 (a)

Irudian ikusten den bezala, konpentsazioa serie-erakoa dela esaten da.

Beste konpentsazio-era bat gairen baten seinalea berrelikatzea eta berrelikadurako bi-

giztan konpentsadorea jartzea da, 8.1 (b) Irudian ikusten den antzera. Konpentsazio honi

berrelikadura-konpentsazioa edo paralelo-erakoa deritzo.

8.1 Irudia. (a) Serie-erako konpentsazioa. (b) Berrelikadura-konpentsazioa

Kontrol-sistemak ondo konpentsatu ahal izateko, serie-erako edo berrelikadurako kon-

pentsadorearen diseinu egokia egin behar da. Bi konpentsazioen arteko aukera egitera-

koan, sistemaren seinaleen izate berezia, puntu desberdinen potentzia-maila, erabili behar

diren osagaiak, diseinatzailearen esperientzia, arazo ekonomikoak eta beste hainbat

kontutan hartu beharrekoak dira.


H (s)

(a)

(b)

H (s)

Gc (s)

G1 (s) G2 (s)

Gc (s)

G (s)

Normalean, serie-erako konpentsazioa berrelikadurakoa baino errazagoa gerta daiteke,

baina, bestalde, serie-erakoek irabazpena handituko duten edota isolatzea lortuko duten

anplifikadore gehigarriak beharko dituzte. Gainera, berrelikadurako konpentsazioa egi-

teko erabiltzen diren osagaiak serie-eran erabilitakoak baino gutxiago dira seinale egokia

badagoenean, hau da, energiaren transferentzia potentzi maila garai batetik beste txikiago

batera egiten delako (bestela, anplifikadoreak erabiliko dira).

8.1.6. Konpentsadoreak

Funtzionamendu-espezifikazioak betetzeko konpentsadore bat behar denean, disei-

natzaileak konpentsadorearen transferentzi funtzioa berbera duen osagai fisikoren bat

bilatuko du. Helburu hau lortzeko, osagai fisiko desberdin asko daude. Bibliografian,

konpentsadoreak osatzeko interesgarri eta baliagarriak diren ideia desberdin ugari ager-

tzen dira.

Erabili diren serie-erako konpentsadoreen artean, aurreratze-konpentsadoreak, atzera-

tze-konpentsadoreak eta aurreratze/atzeratze-konpentsadoreak aurkitzen dira. Normalean,

elektrikoak, pneumatikoak, mekanikoak, hidraulikoak edo hauen arteko konbinazioak

dira.

Kontrol-sistemaren diseinua egiterakoan, konpentsadore elektrikoa, mekanikoa edo

hidraulikoa erabiltzea kontrolatu behar den sistemaren arabera dago. Hau da, kontrolatu

behar dena oso erraz su hartzen duen likidoa erabiltzen duen sistema bada, suaren arris-

kua saihesteko konpentsadore eta ekintza pneumatikoak hautatuko dira. Bestalde, suaren

arriskurik ez badago, konpentsadore elektronikoak erabiliko dira, elektrikoak ez diren

seinaleak seinale elektriko bihurtuz, transmisio-erraztasuna, zehaztasuna, fidagarritasuna

eta konpentsazio-erraztasuna direla eta.

8.1.7. Diseinuko prozesua

Probak eta egokitzeak erabiltzen dituen sistemak kontrol-sistemaren eredu matema-

tikoa ezarri eta konpentsadorearen parametroak egokitzen ditu. Lan honen zatirik man-

tsoena funtzionamendu-espezifikazioak betetzen direla frogatzea da. Horretarako, para-

metroen egokitzeak aztertzen dira eta, normalean, konputadore analogiko edo digitalak

erabiltzen dira lan numerikoa errazteko.

254

Eredu matematiko egokia lortutakoan, diseinatzaileak prototipoa osatu eta bigizta

irekian aurkezten duen portaera aztertu behar du. Egonkortasun absolutua ziurtatzen bada,

diseinatzaileak bigizta itxi eta lortzen den bigizta itxiko sistemaren portaera aztertzen du.

Diseinua egiterakoan, osagaien arteko karga-efektuak, parametroen banaketa etab.

kontutan hartu ez direlako, prototipoaren funtzionamendua ez da aurresan teorikoekin bat

etorriko. Beraz, lehen diseinuak funtzionamendu-espezifikazioak ez ditu era egokian

beteko. Berriro ere probak eta aldaketak eginez, prototipoaren aldaketak egingo dira espe-

zifikazio guztiak betetzearren. Hau egiterakoan, proba bakoitza aztertu eta analisiaren

emaitzak hurrengo proban kontutan hartuko dira. Gainera, diseinatzaileak azken sistemak

funtzionamendu-espezifikazio guztiak bete eta, bestalde, ziurra eta merkea izan dadin

bilatu behar du.

Diseinua horrela egiten denean, hasierako espezifikazioak betez, sistema bakar bat

baino gehiago lor daitekeela esan behar da. Egitez, funtzionamendu-espezifikazioak

betetzeko gai diren sistema asko daude. Hauen arteko hautaketa optimoa egiteko, kontu-

tan hartuko diren ezaugarrik hurrengoak dira: portaera orokorra, prezioa, behar duen

lekua eta pisua.

8.1.8. Sistema konplexuen diseinua

Diseinua egiteko irabazpenaren egokitzea eta konpentsadoreen diseinuan oinarritutako

erroen kokaerako metodoa eta erantzun frekuentzialarena erabiltzen direnean, kontrol-

-sistema idealak besterik ez dira erabiliko. Hau da, denboran zehar aldatzen ez diren eta

linealak diren sarrera eta irteera bakarreko sistemetan balioko dute. Denboran zehar

aldatzen diren sistemak edo aldagai anitzeko sistemak direnean, muga handiak dituzte eta

ezin dira erraz erabili.

Kontrol-sistemen diseinua (erroen kokaerako metodoa nahiz metodo frekuentzialak

erabiliz), ingeniaritza arloan mugitzen da. Bestalde, sistemen diseinua kontrol moder-

noaren arloan eginez, arazoaren formulazio matematikoak erabiltzen dira eta aldagai

anitzeko sistemei nahiz denboran zehar aldakorrak diren parametroak dituen sistemei

aplikatzen zaizkie. Kontrol-teoria hau erabiliz, diseinatzaileak, portaeraren indizea eta

sistemari ezarritako murrizketetan oinarrituz, kontrol-sistemaren diseinua egingo du

prozesu analitiko huts baten bitartez. Gainera, metodo honekin, diseinatzaileak lortzen

duen kontrol-sistema, portaeraren indize aldetik behintzat, optimoa da.


Bestalde, diseinu-teknika hau ezin da erabili portaeraren espezifikazioak denboraren

edo maiztasunaren arloan ematen badira. Orduan, erroen kokaerako metodoa edo eran-

tzun frekuentzialarena erabiliko dira.

8.2. PROIEKTUEN HASIERAKO EZAUGARRIAK

Kapitulu honetan aztertuko den diseinuko arazoa, konpentsadore baten sarrera bitartez

sistemaren funtzionamendua hobetzea izango da. Kontrol-sistema baten konpentsazioa

iragazki baten diseinuan datza. Iragazki honek sistemak dituen ezaugarri aldaezinak eta

nahi ez direnak konpentsatzen ditu.

Aztertuko diren konpentsadoreak aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratzekoak

dira. G(s) transferentzi funtzioarekin serie-eran konpentsadore bat jartzen da nahi den

portaera lortzeko. Beraz, funtsezko arazoa, Gc(s) konpentsadorearen polo eta zeroak hau-

tatzea da. Honekin, erroen kokaera edota erantzun frekuentziala aldatu eta funtzionamen-

du-espezifikazioak betetzen dira.

8.2.1. Kontrol-sistemak diseinatzeko erroen kokaera erabiltzen duten metodoak

Erroen kokaerako metodoa, bigizta itxiko polo eta zeroen kokaera ezagutzeko prozesu

grafikoa da. Hau lortzeko, irabazpena zerotik infinitura aldatuz doanean bigizta irekiko

polo eta zeroen kokaeretatik ateratzen da informazioa. Metodo honek parametroak egoki-

tzerakoan lortzen diren ondorioak argi erakusten ditu.

Metodo honen abantaila bat, erantzun iragankorra eta erantzun frekuentzialaren infor-

mazioa, s planoan poloek eta zeroek duten grafikoaren bitartez lortzea da.

Praktikan, sistema baten erroen kokaeraren grafikoak nahi den funtzionamendua

lortzeko irabazpena egokitzea nahikoa ez dela erakus dezake. Orduan, funtzionamendu-

-espezifikazioak betetzeko, erroen kokaera aldatu beharko da.

Kontrol-sistema bat diseinatzerakoan irabazpenaren egokitzea baino zerbait gehiago

egin behar denean, konpentsadore egoki bat sartuz, erroen kokaera aldatzen da. Kokaera

horretan poloen nahiz zeroen sarrerak duen ondorioa ulertuz gero, lortu nahi den aldakuntza

izateko konpentsadoreak izango dituen poloak eta zeroak jakitea erraza gertatuko da.

256

8.2.1.1. Poloen gehikuntzak duen ondorioa

Bigizta irekiko transferentzi funtzioari polo bat gehituz gero, erroen kokaerako

diagrama eskuinaldera mugituko da, sistemaren egonkortasun erlatiboa murriztuz eta

erantzun egonkorra lortzeko denbora handituz.

8.2 Irudian ikusten da diagrama nola aldatzen den polo bat duen sistemari polo bat

edo gehiago gehitzen zaizkionean.

8.2 Irudia. (a) Polo bakarreko erroen kokaerako diagrama. (b) Bi polo dituen sistemaren

diagrama. (c) Hiru polo dituen sistemaren diagrama

8.2.1.2. Zeroen gehikuntzak duen ondorioa

Bigizta irekiko transferentzi funtzioari zeroa gehituz gero, erroen kokaera ezkerrerantz

mugitzen da, erantzun egonkorra azkarrago lortuz eta sistema egonkorragoa eginez.

(Fisikoki sistema bati zeroa gehitzea, transferentzi funtzio zuzenean, sistemari kontrol

deribatiboa sartzea da. Honekin, sistemari aurreratze bat sartzen zaio eta erantzun iragan-

korra azkarragoa da). 8.3 (a) Irudian, irabazpen txikietan egonkorra baina handietan dese-

gonkorra den sistema aurkezten da. 8.3 (b), (c) eta (d) Irudietan, bigizta irekiko trans-

ferentzi funtzioari zeroa gehituz lortzen diren diagramak ikusten dira. Argi dago, 8.3 (a)

Irudiko funtzioari zeroa gehituz gero, irabazpen guztietan egonkorra den sistema lortuko

dela.


(a) (b) (c)

jω jω jω

σ σ σ

8.3 Irudia. (a) Hiru polo dituen sistemaren diagrama. (b), (c) eta (d) Hiru polo dituen

sistemari zeroa gehituz lortzen diren diagramak

8.2.2. Kontrol-sistemak diseinatzeko erantzun frekuentziala erabiltzen duten

metodoak

Konpentsazioa egiterakoan maiztasunaren arloa erabiltzen duten metodoek erantzun

iragankorraren portaeraren kontrola ziurtatzen dute maiztasunari dagozkion zehaztasunak

erabiliz, hau da, fasearen tartea, irabazpenaren tartea, gehienezko erresonantzia eta banda-

-zabalera.

Maiztasunaren arloan egindako diseinua ez da zuzena, sistema maiztasunaren espezi-

fikazioak betetzeko diseinatzen delako eta ez denboraren espezifikazioak betetzeko. Den-

boran zehar bete behar diren espezifikazioak betetzen diren frogatzeko, metodo hau era-

biliz lortzen den sistemaren bigizta irekiko poloak kalkulatu eta erantzun iragankorraren

portaera aztertu behar da. Horrela gertatzen ez bada, konpentsadorea aldatu eta analisia

errepikatzen da emaitza egokia lortu arte.

258

(a)

jω

σ

(c)

jω

σ

(d)

jω

σ

(b)

jω

σ

8.2.2.1. Maiztasunaren arloan egindako diseinuaren ezaugarri nagusiak

Maiztasunaren erantzun-diagramak sistema nola aldatu behar den argi erakusten du

baina, bestalde, erantzun iragankorraren ezaugarriak ezin dira aurrikusi. Metodo hau

ezaugarri dinamikoak erantzun frekuentzialaren arabera aurkezten dituzten sistemetan

erabil daiteke. Osagai batzuen ekuazioak ateratzeko dauden zailtasunengatik (osagai me-

kaniko, pneumatiko eta hidraulikoetan batez ere), berauen zehaztasunak esperimentalki

kalkulatzen dira, erantzun frekuentzialaren neurriak eginez. Diagrama hauek, hau da,

esperimentalak, beste diagrama frekuentzialekin erraz konbina daitezke.

Maiztasun handiko zaratak agertzen direnean, erantzun frekuentzialaren metodoa bes-

teak baino hobea gertatzen da. Gainera, diseinua egiterakoan fasearen eta irabazpenaren

tarte zehatz batzuk lortu nahi badira, Bode-ren diagrama diagrama polarra baino hobea da.

8.2.2.2. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialetik atera daitekeen informazioa

Maiztasun txikiko eremuak, (ω < ωc), bigizta itxiko sistemaren egoera egonkorreko

portaera adierazten du.

Maiztasun ertaineko eremuak, (–1+j0 inguruan dagoen eremuak) egonkortasun

erlatiboaren neurria aurkezten du. Eta azkenik, maiztasun handiko eremuak (ω > ωc)

sistemaren konplexutasuna agertzen du.

8.2.2.3. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialaren betebeharrak

Kasu praktiko askotan, konpentsazioa egoera egonkorreko errorearen eta egonkor-

tasun erlatiboaren arteko hitzarmena dela esan daiteke. Adibidez, sistema batek abiadu-

rako errorearen koefizientea handia eta gainera egonkortasun erlatibo egokia izan dezan,

bigizta irekiko erantzun frekuentzialaren kurba aldatu behar da.

Maiztasun txikiko eremuan, irabazpenak nahikoa handia izan behar du eta, gainera,

ω≈ωc maiztasunetan, Bode-ren diagramako log |M|-ren malda hamarkadako –20 db-koa

izango da. Malda hau fasearen tartea egokia izango dela ziurtatzen duen banda-zabalera

handi batean mantendu beharko da. Maiztasun handiko eremuan, irabazpena ahalik eta

azkarren murriztu behar da zaraten eraginak galarazteko.


8.4 Irudian, bigizta itxian eta irekian egokiak eta desegokiak diren erantzun frekuen-

tzialak agertzen dira.

8.4 Irudia. a) Bigizta irekian erantzun frekuentzial egokiak eta desegokiak. b) Bigizta itxian

erantzun frekuentzial egokiak.

8.5 Irudian ikusten denez, bigizta irekiko erantzunaren aldaketa egin ahal izateko,

maiztasun handiko eremuek, fase eta irabazpenaren tarte egokiekin G1(jω) eta maiztasun

txikikoak berriz G2(jω) jarraitu behar dituzte edo, bestela, M zirkuluaren ukitzaile izan

behar dute.

8.5 Irudia. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialaren aldaketa.

260

Ir

Er–1 0

Nahi ez denaLortu nahi dena

0

db

Log ω

Nahi ez dena

Lortu nahi dena

Ir

Er–1

0

Nahi ez dena

Lortu nahi dena

(a)

(b)

Ir

Er–1 0

G1(jω)

G2(jω)

Gc(jω) G(jω)

M zirkulua

8.2.2.4. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze-konpentsazioen oinarrizko ezau-

garriak

Aurreratze-konpentsazioak, erantzun iragankorraren hobetze garrantzitsua eta egoera

egonkorreko erantzun-zehaztasuneko hobetze txikia lortzen ditu. Bestalde, atzeratze-

-konpentsazioak, egoera egonkorreko erantzunaren zehaztasuna hobetzea lortzen du baina

erantzun iragankorraren denbora handituz.

Aurreratze/atzeratze-konpentsazioak bi eratako konpentsazioen ezaugarriak konbi-

natzen ditu. Gainera, aurreratze edo atzeratze-konpentsadoreen erabilerak sistemaren

ordena batean handitzen du. Aurreratze/atzeratze-konpentsadorea erabiltzen denean,

sistemaren ordenari bi bat gehitzen zaio. Honek sistema konplexuagoa dela eta erantzun

iragankorraren portaera kontrolatzea zailagoa dela esan nahi du. Egoeraren arabera

erabakiko da zein den erabili beharreko kontroladorea.

8.3. AURRERATZE-KONPENTSAZIOA

Aurreratze-konpentsazioa egiteko RC sarea nahiz sistema mekanikoa erabil daitezke,

8.6 Irudian ikusten den bezala.

8.6 Irudia (a) Aurreratze-sare elektrikoa. (b) Aurreratze-sare mekanikoa


C

k y

R1

ei

xi

R2

Z1

Z2

f2

f1eo

xo

(b)(a)

Bi kasuen transferentzi funtzioak kalkulatuz gero, hurrengoa lortuko litzateke:

8.3.1. Aurreratze-sareen ezaugarriak

Aurreratze-sarearen transferentzi funtzioa hurrengoa da:

(8.1)

Sare honen zeroa s = –1/T puntuan eta poloa s = –1/αT dira eta, ikusten denez, zeroa

poloaren eskuinaldean kokatuko da beti. α oso txikia denean, poloa ezkerrean eta urrun

egongo da. α-ren baliorik txikiena sarearen garapen fisikoak ezartzen du. Normalean, α-

-ren baliorik txikientzat 0.07 hartzen da. Bestalde, α-ren balioa oso txikia bada, aurrera-

tze-sareak duen atenuazioa konpentsatzeko, anplifikadore bat jarri beharko da zarratan.

8.7 Irudian, (0 < α < 1) funtzioaren diagrama polarra aurkezten da.

8.7 Irudia. Aurreratze-sarearen diagrama polarra.

α-ren balio zehatz batentzat, ardatz erreal positiboak eta ardatzaren hasieratik zirkulu-

raino egiten den ukitzaileaz osatzen den angeluak, gehienez lor daitekeen fase-aurreratzea

jωT +1

jωαT +1

Gc (s) = Ts +1

αTs +1= 1

αs +1 T

s +1 αT(α < 1)

G(s) = 1

αs +1 T

s +1 αT

262

α1 > α2 > α3

ωm3φm3

ωm2

φm2

ωm1

ω=0

ω

ω

ω

ω →∞ω →∞ω →∞

φm1

jIr

Er0 1 1/α1 1/α2 1/α3

aurkezten du. Ukitze-puntuak ematen duen frekuentzia ωm da. 8.7 Irudian ikusten den

bezala eta ωm puntuan lortzen den angelua kalkulatzeko, 8.1 ekuazioko Gc transferentzi

funtzioaren angelua kalkulatzen da:

(8.2)

eta ondorioz,

(8.3)

φ= φm denean, hau da, ω = ωm puntuan,

(8.4)

edo, beste era batean jarrita,

(8.5)

Ekuazio honetan, φm eta α-ren balioaren arteko erlazioa aurkezten da.

8.8 Irudian aurreratze-sarearen Bode-ren diagrama aurkezten da. Sare honen hauste-

-maiztasunak ω = 1/T eta ω = 1/αT dira. Irudia aztertuz, ωm maiztasuna hauste-maizta-

sunen batezbesteko balio geometrikoa da, edo beste era batean

(8.6)

eta beraz,

(8.7)ωm = 1

α T

logωm = 1

2log

1

T+ log

1

αT

sinφm =

1 − α2

1 + α2

= 1 − α1 + α

tanφm = (1 − α )(1 α )

1 +1= 1 − α

2 α

tanφ = Tω − αTω1 + (αTω)(Tω)

φ = Arg Gc ( jω)[ ] = tan−1 Tω − tan−1 αTω


8.8 Irudia. Aurreratze-sarearen Bode-ren diagrama.

8.8 Irudian ikusten den bezala, aurreratze-sarea maiztasun handiak pasatzen usten

dituen iragazkia da (Maiztasun handiak pasatzen dira eta txikiak berriz atenuatu). Beraz,

maiztasun txikiko irabazpena handitzeko, nonbait irabazpena gehitu beharko da.

8.3.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako aurreratze-konpentsazioa egiteko

teknikak

Erroen kokaerako metodoa oso egokia da proiektuak egiterakoan, batez ere, lortu nahi

diren espezifikazioak denboraren arloan definituriko magnitude bezala ematen direnean,

hau da, gehienezko gaindiketa, hazte-denbora, egonkortze-denbora, moteltze-faktorea eta

bigizta itxian lortu nahi diren polo dominanteen moteldu gabeko maiztasun naturala

direnean.

Demagun hasierako sistema desegonkorra dela irabazpenaren balio guztietarako edo,

egonkorra izanik, erantzun iragankorraren ezaugarriak ez direla egokiak. Kasu honetan,

erroen kokaerako diagrama aldatu behar da ardatz irudikariaren aldamenean, batez ere

bigizta itxiko polo dominanteak plano konplexuko nahi diren lekuetan koka daitezen.

264

0

0°

90°

–90°

1––T

1–––αT

ω

ω

ωm

1––T

1–––αT

ωm

φm

20 log101/α

20 log1––√ -α

20 db/hamarkadakomalda

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

Arazo hau transferentzi funtzio zuzenarekin zarratan jarritako aurreratze-konpentsadore

egoki batez konpon daiteke.

Erroen kokaerako metodoa erabiliz aurreratze-konpentsadorea diseinatu nahi denean,

hurrengo urratsak jarraitzea komenigarria izaten da:

1. Funtzionamenduko-espezifikazioak erabiliz, bigizta itxiko sistemaren polo domi-

nanteak zehazten dira.

2. Erroen kokaerako diagrama eginez, irabazpena besterik ez bada aldatzen, bigizta

itxiko poloak lortzea posible den aztertzen da. Ezin bada egin, falta den φ angelua kal-

kulatzen da. Bigizta itxiko polo dominanteek erroen kokaerako diagrama berrian egon

behar badute, angelu hau aurreratze-konpentsadoreak eman beharko du.

3. Egoera egonkorreko errorearen koefizienteak zehazten ez badira, aurreratze-sarearen

polo eta zeroaren kokaera jakiteko, sare horrek behar den φ angelua ematen duela

suposatzen da, irabazpen txikiena erabiliz. (Errorearen koefizientea zehazten bada,

erantzun frekuentzialaren metodoak erabiltzea egokiagoa izaten da normalean).

4. Konpentsatutako sistemaren bigizta irekiko irabazpena kalkulatzen da, moduluaren

baldintza erabiliz.

Konpentsadorea diseinatu ondoren, funtzionamendu-espezifikazio guztiak betetzen

dituen aztertzen da. Konpentsatutako sistemak ez baditu guztiak betetzen, prozesua erre-

pikatzen da poloa eta zeroa egokituz espezifikazioak bete arte. Egoera egonkorreko

errorearen koefizientea handiegia bada, atzerapen-sarea zarratan jarri edo konpentsadorea

aldatu beharko da, aurreratze/atzeratze-konpentsadorea erabiliz.

Gainera, aukeratu diren bigizta itxiko polo dominanteak zeharo dominanteak ez

badira, bigizta itxiko poloak aldatu beharko dira proba eta egokitze-metodoa erabiliz

(bigizta itxiko dominanteak ez diren poloek, bigizta itxiko polo dominanteek bakarrik

lortuko luketen erantzuna aldatzen dute; aldakuntza hori, poloen kokaerari lotuta dago).


8.1 Adibidea

Demagun hurrengo irudiko sistemari konpentsadorea sartzen zaiola, bigizta itxiko

polo dominanteek ardatz erreal negatiboarekin 60° osa ditzaten. Gainera, ωn = 5 rad/s

izatea nahi da.

8.9 Irudia

funtzioaren erroen kokaerako diagrama 8.10 Irudian ager-

tzen dena da.

Bigizta itxiko poloak kokatzeko, funtzioaren poloak

aztertuko dira.

8.10 Irudia

G' (s) = 2

s2 + 3s + 4= 2

(s +1.5 −1.32 j)(s +1.5 +1.32 j)

G' (s) = 2

(s +1)(s + 2) + 2

G(s) = 2

(s +1)(s + 2)

266

K 2––––––––––––

(s+1)(s+2)

j2

K1=7

K1=7

K1=7

K1=3.5

K1=3.5

j1

–4 –3 –2 –1 0

–j1

–j2

Konpentsatua

Konpentsatugabea

G’(s)-ren poloak hurrengoak dira:

Orain, erroen kokaerako diagrama horretan, poloak non kokatu nahi diren aztertuko

da (8.11 Irudia).

8.11 Irudia

θ = 60° lortu nahi bada, B puntu horretako ωn = 1.5/cos θ = 3 rad/s izango da.

Bestalde, bigizta itxiko poloen maiztasuna naturala 5 rad/s. izatea lortu nahi bada,

cosθ=1.5/5 ⇒ θ = 72.54°, hau da, C puntua.

Ondorioz, irabazpenaren aldaketa hutsarekin (hau da, erroen kokaerako grafikoan

zehar mugituz, 8.12 Irudian ikusten den bezala), ezin dira bi eskariak aldi berean bete.

Horregatik, aurreratze-konpentsadorea sartzea erabakitzen da.

s = −1.5 ±1.32 j

ωn = 2rad / s

ξ = cosθ = 0.75

θ = arctg1.32

1.5= 41.35°


Er0

ωn=3

ωn=5

60°

–4 –3 –2 –1

Ir

C

B

j5

j4

j3

j2

j1

8.12 Irudia

Bigizta itxiko poloak A puntuan kokatu nahi dira. A puntu horretako poloak s = –1 eta

s=–2, hasierako bigizta irekiko funtzioaren poloekin osatzen dituen angeluak θ1 eta θ2

dira. A puntuaren koordenatuak (–2.5, 4.33) direnez gero, angeluen kalkulua erraz egin

daiteke.

eta angeluen irizpidea erabiliz,

φ angelua izango da aurreratze-sareak eman behar duena konpentsazioa lortzeko.

Orain, sarearen poloa eta zeroa non kokatu behar diren kalkulatuko da (8.13 Irudia).

φ + 96.6°+109°= 180° ⇒ φ = −25.6°

θ1 = 90°+arctg1.5

4.33≈ 109°

θ2 = 90°+arctg0.5

4.33≈ 96.6°

268

Er0

ωn=5

60°

–4 –3 –2 –1

Ir

A

j5

j4

j3

j2

j1

8.13 Irudia

A puntutik ardatz-jatorrira lerro bat (AO) eta beste lerro bat A puntutik ezkerrerantz

(AP) egiten dira. Bi lerro horiek δ angelua osatzen dute. Orduan, angelu hori erdibitzen

da ardatz erreala gurutzatu arte, D puntua lortuz. AD lerroaren eskuinerantz φ/2 angelua

hartzen da eta konpentsadorearen zeroaren kokaera bilatzen da, s = –4 delarik. Zero

horrek A puntuarekin osatzen duen angelua da.

Beraz, poloaren kokaera kalkulatzeko, A puntuarekin osatu beharko duen angelua

kalkulatzen da, hau da, , eta

kalkulatutako x hori, poloaren kokaera –2.5 denez gero, poloaren kokaera s = –6.75

izango da.

Ondorioz, konpentsadorearen transferentzi funtzioa hurrengoa izango da:

Konpentsatutako sistemaren transferentzi funtzioa

izango da eta beronen erroen kokaerako diagrama 8.14 Irudian ikusten dena da.

k irabazpena kalulatzeko, moduluaren baldintza erabiltzen da, hau da,

k(s + 4)

(s +1)(s + 2)(s + 6.75) s=−2.5+4.33 j

= 1 ⇒ k = 26.45

Gc (s)G(s) = kc

s + 4

s + 6.75

2

(s +1)(s + 2)= k(s + 4)

(s +1)(s + 2)(s + 6.75)

Gc (s) = kc

s + 4

s + 6.75

θ4 = 71°−25.6°= 45.4°= arctg4.33

x⇒ x = 4.27

θ3 = arctg4.33

1.5≈ 71°


jω

σ

A

1––αT

φ––2

φ––2

P

0BDC

–1––T–

8.14 Irudia

Beraz, eta kc anplifikadorearen irabazpe-

na, kc = k / 2 = 13.225 izango da.

8.15 Irudian, denboran zehar konpentsatu gabeko eta konpentsatutako sistemek

aurkezten dituzten erantzunak agertzen dira. Ikusten denez, sistema konpentsatu ondoren,

erantzun azkarragoa eta errore txikiagoa lortzen dira.

8.15 Irudia

Gc (s)G(s) = 26.45(s + 4)

(s +1)(s + 2)(s + 6.75)

270

Er0

ωn=5

60°

–4–5–6–7 –3 –2 –1

Ir

Aj5

–j5

j4

–j4

j3

–j3

j2

–j2

j1

–j1

c(t)1.2

1

→

→

→→

0.8

0.6

0.4

0.2

00

0.836

0.778

Konpentsatua

Konpentsatu gabea

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 denbora (s)

8.3.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpentsazio-teknikak

Aurreratze-konpentsadorea kalkulatzerakoan, lehenbiziko eginkizuna erantzun fre-

kuentzialaren kurba kalkulatzea da, hau da, sistema fisikoaren osagaiei lotuta dagoen

fasearen atzerapena konpentsatuko duen fasea aurreratzeko angelua kalkulatzea.

Demagun berrelikadura unitarioa duen sistema bat. Kasu honetan, funtzionamenduko

ezaugarriak fasearen tartea, anplitudearen tartea, errorearen koefizienteak, etab. dira.

Metodo frekuentziala erabili nahi denean konpentsazioa egiteko, hurrengo urratsak egin

behar dira:

1. Errorearen koefizientea lortzeko, bigizta irekiko k irabazpena kalkulatu.

2. k hori erabiliz, konpentsatu gabeko sistemaren fasearen tartea kalkulatu.

3. Fasea aurreratzeko behar den φangelua kalkulatu.

4. α faktorea kalkulatu (8.1) ekuazioa erabiliz. Orduan, konpentsatu gabeko sistemaren

magnitudea –20 log(1/√-α) denean, maiztasuna kalkulatu eta maiztasun hori, hauste-

-maiztasun berri bezala erabiliko da. Maiztasun hau, ωm izango da eta φm gehienezko

desfasea maiztasun horretan gertatuko da.

8.2 Adibidea

Suposa dezagun 8.16 Irudiko kontrol-sistemak eguzkia bilatzen duen sistemaren

bloke-diagrama aurkezten duela. Sistema hori eguzkiari ahalik eta zehatzen jarrai

dakion, espaziuntzi batean ipintzen da. θr, eguzki-izpiaren erreferentziako angelua

agertzen du eta θo angeluak, untziaren ardatza. Kontrolaren zeregina bi angeluen arteko

errorea, e, ia zero izatea da. Sistemaren parametroak hurrengoak dira:

RF = 10000 J = 10-6 kg/m2

kb = 0.0125 V /rad/s ks = 0.1 A/rad

ki = 0.0125 N-m/A B = 0

Ra = 6.25 n = 800

Konpentsatu gabeko sistemaren bigizta irekiko transferentzi funtzioa hurrengoa da:


Lortu behar diren espezifikazioak hurrengoak dira:

1. Sistemaren fase-tarteak 45° baino handiagoa izan behar du

2. Arrapala unitarioa sartzen denean sistemak aurkeztu behar duen egoera egonkorreko

errorea 0.01 izango da gehienez.

Lehenbizi egin behar dena k-ren balioa kalkulatzea da Bode-ren diagrama egiteko,

hau da,

θr(s) = 1/s2 denez gero, hurrengo ekuazioa lortuko da,

Beraz, k = 1 denean, aipatu den espezifikazioa betetzen da, baina anplifikazio hau

erabiliz, bigizta itxiko polo dominanteen moteltze-faktorea % 25 da eta, ondorioz, % 44.4

izango da gehienezko gaindiketaren balioa. Sarrera bezala maila unitarioa jarritakoan

sistemak aurkezten duen erantzuna nahikoa oszilakorra da, 8.17 Irudian ikusten denez.

G(s) funtzioaren Bode-ren diagrama 8.18 Irudian aurkezten da. 8.18 Irudian ikusten

denez, konpentsatu gabeko sistemaren fase-tartea 28°-koa da. Balio hau lortu nahi dena

baino txikiagoa denez gero, aurreratze-konpentsadorea sartu beharko da. Kasu honetan,

φm = 25° aukeratuko da. Ondorioz,

sinφm = sin25 = 1 − α1 + α

⇒ α = 0.4064

limt→∞

e(t) = 0.01

k

limt→∞

e(t) = lims→0

sE(s) = lims→0

sθr (s)

1 + θo (s)

E(s)

θo (s)

E(s)= G(s) = ks RFk ki / n

Ra Js2 + kikbs= 2500k

s(s + 25)

272


Err

ore-

-Kon

para

dore

aA

nplif

ikad

ore

Ope

razi

onal

aK

ontr

olad

orea

Anp

lifik

ador

ea

Ber

relik

adur

a

Eng

rana

jea

8.16

Iru

dia

I a–I

bu

e ae o

αθ r

–RF

Ks

Gc(

s)–K

Kb

ωm

θ mθ o

Km

––––

––––

–R

a(Js

+B

)1 –– s

1 –– n

Kor

ront

ezu

zene

ko m

otor

ea

274

8.17 Irudia.

1/αT eta 1/T maiztasunak kalkulatzeko, φm angelua, bi maiztasun horien batezbesteko

balioan gertatzen dela kontutan hartu behar da. Beraz, aurreratze-sareak sartzen duen

atenuazioa kalkulatzen da

eta ωm maiztasuna, konpentsatu gabeko sistemaren modulua = atenuazio honen erdia

gertatzen den puntuan kalkulatzen da.

eta 8.18 Iruditik, puntu hori ωm = 60 rad/s da. Beraz, 8.7 ekuazioa erabiliz,

ωm = 1

α T⇒ T = 0.0262

αT = 0.0106

G(s) = − 7.82

2= −3.91db

−20 log1 α = −7.82db

1.5

Konpentsatu gabe1+0.0262s

Aurreratze-konpentsadorearekin, Gc(s)=–––––––––1+0.0106s

1+0.03427sAurreratze-konpentsadorearekin, Gc(s)=––––––––––

1+0.00588s

θo(t)

1

0.5

00 0.1 0.2 0.3 0.4 denbora (s)


8.18 Irudia.

Ondorioz, konpentsazio-sarearen transferentzi funtzioa,

izango da eta konpentsatutako sistemarena berriz, beste hau,

8.18 Irudian, konpentsatutako sistema honen fase-tartea 47.6°-koa dela ikusten da.

Gainera, 8.17 Irudian, konpentsatutako sistemaren gehienezko gaindiketa %24.5eraino

Gc (s)G(s) = 6150(s + 38.16)

s(s + 25)(s + 94.34)

Gc (s) = 1 + 0.0262s

1 + 0.0106s

40.00

30.00

20.00

10.00

0.00

–10.00

–20.00

–30.00

–40.001.00 10.00

ω rad/s

α=0.4064 duen aurreratze-sarearen irabazpena

α=0.4064 duen aurreratze--sarearen fasea

Fase-tartea(α=0.1716)

Fase-tartea(α=0.4064)

α=0.1716 duen konpentsatutakosistemaren fasea

α=2.46 duen konpentsatutakosistemaren fasea

Hasierako sistemaren fase-diagrama

Hasierako sistemaren fase-tartea

(1+0.0262s)Gc(s)= ––––––––––––

(1+0.0106s)

θo(s) 100Gc(s)= –––––– = –––––––––α(s) s(1+0.04s)

100(1+0.0262s)Gc(s)= –––––––––––––––––––

s(1+0.04s)(1+0.0106s)100(1+0.03427s)

Gc(s)= –––––––––––––––––––s(1+0.04s)(1+0.00588s)

100.0060 1000.00

1.00

0°

47,6°62,4°

28°

10.00

ω rad/s

100.0060 1000.00

Irabazpena(db)

0.00

–30.00

–60.00

–90.00

–120.00

–150.00

–180.00

Fasekoangelua

(°)

276

jaitsi dela agertzen da. Gaindiketa hori txikiago egitearren, aurreratze-sarearen αparametroa 0.17 egiten da eta lortzen den transferentzi funtzioa,

Konpentsadore berri honekin 8.17 Irudian, gaindiketa %7.7raino jaitsi dela ikusten

da eta, ondorioz, fase-tartea ere hobetu egin da, hau da, FT = 62.4° da.

8.4. ATZERATZE-KONPENTSAZIOA

Atzeratze-konpentsazioa egiteko erabiltzen diren sareak (elektrikoa nahiz mekanikoa),

8.19 Irudian aurkezten dira.

8.19 Irudia. (a) Atzeratze-sare elektrikoa. (b) Atzeratze-sare mekanikoa

Bi sareen transferentzi funtzioak kalkulatuz gero, direla

froga daiteke.

8.4.1. Atzeratze-sareen ezaugarriak

Atzeratze-sare baten transferentzi funtzioa hurrengoa da:

(8.8)Gc (s) = Ts +1

βTs +1= 1

βs +1 T

s +1 βT

(β > 1)

Gc (s) = 1

βs +1 T

s +1 βT

Gc (s) = 1 + 0.03427s

1 + 0.00588s

Z1

Z2

f2

f1

eoei

xi

xo

R1

R2

C

k

(a) (b)


Planu konplexuan aztertuz gero, sare honen poloa s = –1/βT puntuan eta zeroa berriz

s= –1/T puntuan daudela esan daiteke. β-ren balioa dela eta, poloa zeroaren eskuinaldean

dago sare-mota honetan. 8.20 Irudian. atzeratze-sarearen diagrama polarra aurkezten da.

Bestalde, 8.21 Irudian, sare honen diagrama aurkezten da Bode-ren metodoa erabiliz.

8.20 Irudia. Atzeratze-sarearen diagrama polarra

8.21 Irudia. Atzeratze-sare baten Bode-ren diagrama

1 < β1 < β2 < β3

ωm3

φm3

ωm2 φm2

ωm1

ω=0ω =∞ω =∞ω =∞

φm1

–jIr

Er011/β11/β21/β3

0

0°

90°

–90°

1––T

1–––βT

ω

ω

ωm

1––T

1–––βT

ωm

φm

–20 log10 β

–20 db/hamarkadakomalda

Irabazpena(db)

Fasekoangelua (°)

278

Sare honen hauste-maiztasunak ω1 = 1/T; ω2 = 1/βT dira. Ikusten denez, atzeratze-

-sarea maiztasuna txikiko seinaleak pasatzen uzten duen iragazkia da.

8.4.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako konpentsazio-teknikak

Demagun sistema baten erantzun iragankorra egokia dela, baina egonkorra hobetu

nahi dela. Horretarako balio duen konpentsazio-sarea bilatu behar da. Kasu honetan kon-

pentsazioak, erantzun iragankorraren ezaugarriak ahalik eta gutxien aldatuz, bigizta ire-

kiko irabazpena handituko du. Beraz, bigizta irekiko irabazpena behar den neurrian han-

dituz, bigizta itxiko polo dominanteetatik oso hurbil dagoen eremuan erroen kokaerako

diagrama ia ez da aldatuko. Hau lortzeko, transferentzi funtzioarekin seriean atzeratze-

-sarea jarriko da.

Erroen kokaerako diagraman aldaketa handirik ez sortzeko, atzerapen-sarearen parte-

hartze angeluarra txikia izango da, 5° ingurukoa. Hori ziurtatzeko, atzeratze-sarearen

poloa eta zeroa elkarrengandik oso hurbil eta gainera s planoko jatorri-puntutik oso hurbil

kokatuko dira. Orduan, konpentsatutako sistemaren bigizta itxiko poloak beren hasierako

kokaeretatik oso hurbil egongo dira. Beraz, erantzun iragankorraren ezaugarriak oso gutxi

aldatuko dira.

Bigizta irekiko transferentzi funtzioa = Gc(s)G(s) duen sistema konpentsatuaren

abiaduraren errore-koefizientea hurrengoa izango da,

(8.9)

Konpentsadorearen ekuazioa (8.8) ekuazioa bada, kv hasierako koefizientea, kc

terminoaz biderkatzen da.

Atzeratze-konpentsadorea diseinatzeko erroen kokaerako metodoa jarraitzen bada,

hurrengo urratsak eman behar dira (konpentsatu gabeko sistemak erantzun iragankor

egokia duela suposatuz):

1. Konpentsatu gabeko sistemaren erroen kokaerako diagrama egin. Erantzun iragan-

korraren espezifikazioen arabera, bigizta itxiko polo dominanteak kokatu.

2. Bigizta irekiko irabazpena kalkulatu moduluaren baldintza erabiliz.

kv

∧= lim

s→0s.Gc (s).G(s) = lim

s→0Gc (s).kv = kc.kv

3. Lortu nahi den errore-koefizientea kalkulatu.

4. Errorearen koefizientea zenbateraino handitu behar den kalkulatu espezifikazioak

betetzeko.

5. Atzeratze-sarearen poloa eta zeroa kalkulatu errore-koefizientearen handiketa lortze-

ko, hasierako erroak gehiegi aldatu gabe.

6. Konpentsatutako sistemaren erroak berriro kokatu. Bigizta itxiko polo dominanteak

kokatu (sareak ematen duen angelua txikia bada, jatorrizko diagrama eta berria ia

berdinak izango dira).

7. Moduluaren baldintza erabiliz irabazpena egokitzen da, bigizta itxiko polo dominan-

teak lortu nahi den lekuan egon daitezen.

8.3 Adibidea

Demagun hurrengo transferentzi funtzioa duen sistema,

Sistema honen erroen kokaerako diagrama, 8.22 Irudian ikusten da.

8.22 Irudia

G(s) = 1.06

s(s +1)(s + 2)


jω

j2

j1

–j1

–j2

–3 –2 –1 0 1 σ

Bigizta itxiko poloak

Sistema hori bigizta itxian jarriz gero,

eta, ondorioz, polo dominanteak hurrengoak dira:

kv handitu nahi da k’v = 5s-1 izan arte, baina bigizta itxiko polo dominanteen kokaera

ia aldatu gabe. Beraz, atzeratze-konpentsazioa sartuko da eta suposa dezagun hurrengoa

dela,

Bigizta itxiko polo dominanteen aldamenean sare honek sartzen duen angelua

Ondorioz, bigizta itxiko poloen kokaera gutxi aldatuko da. Konpentsatutako siste-

maren transferentzi funtzioa,

non, den.

kc sareak sartzen duen atenuazioa kontutan hartzeko jartzen da. Konpentsatutako

sistemaren diagrama 8.23 Irudikoa da,

k = 1.06kc

10

G1(s) = 1

10

s + 0.1

s + 0.01

kc( ) 1.06

s(s +1)(s + 2)= k(s + 0.1)

s(s + 0.01)(s +1)(s + 2)

δ = −0.43 + 0.58 j − 0.34 + 0.58 j ≈ −6°

Gc (s) = 1

10

s + 0.1

s + 0.01

s = −0.33 ± 0.58 j

ξ = 0.5 ⇒ θ = 60°ωn = 0.67rad / s

kv = 0.53s−1

C(s)

R(s)= 1.06

s(s +1)(s + 2) +1.06= 1.06

(s + 0.33 − j0.58)(s + 0.33 + j0.58)(s + 2.33)

280


8.23 Irudia

Puntu berri honetan bigizta irekiko irabazpena kalkulatzen da,

Ondorioz, anplifikadorearen irabazpena da eta bigizta irekiko

konpentsatutako transferentzi funtzioa,

eta k’v berria,

hau da, lortu nahi zenaren ia berdina. Dena den koefizientea berdina izatea lortu nahi

bada, sareko polo eta zeroaren kokaerak aldatu edo kc = 9.44 hartzea nahikoa izango

litzateke. Dena den, kasu honetan lortutako emaitza nahikoa egokia dela pentsa daiteke.

kv' = lim

s→0s.G1(s) = 4.9(1)

(1)(1)(1)= 4.9s−1

G1(s) = 0.98(s + 0.1)

s(s + 0.01)(s +1)(s + 2)= 4.9(10s +1)

s(100s +1)(s +1)(0.5s +1)

kc = 10k

1.06= 9.25

k = s(s + 0.01)(s +1)(s + 2)

s + 0.1 s=−0.28+0.51j

= 0.98

jω

j1

–j1

–2 –1 0 1 σ

Konpentsatu gabeko sistema

Hasierako bigizta itxiko poloa

Konpentsatutako sistemaBigizta itxiko sistemaberriaren poloa

8.4.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpentsazio-teknikak

Fasearen tartea nahikoa zabala izan dadin, atzeratze-sare baten lehen eginkizuna maiz-

tasun handiko atenuazioa lortzea da. Sare hau diseinatzeko erantzun frekuentziala erabil-

tzen duten metodoek hurrengo urratsak egiten dituzte:

1. Errore-koefizientearen baldintza betetzen duen bigizta irekiko irabazpena lortu.

2. Irabazpen honekin, konpentsatu gabeko sistemaren Bode-ren diagrama egin eta anpli-

tude nahiz fasearen tarteak kalkulatu.

3. Lortu nahi diren fase eta anplitudearen tarteak kalkulatu direnarekin bat ez badatoz,

bigizta irekiko transferentzi funtzioaren angelua = –180° + lortu nahi den fase-tartea

den puntuaren maiztasuna kalkulatu. Lortu nahi den fasearen tartea hasieran zehazten

dena gehi 5° edo 12° da. (honekin atzeratze-sareak duen atzeratzea konpentsatzen da).

4. ω = 1/T maiztasuna (zeroarena) aurrean kalkulatutako maiztasunaren hamarkada bat

txikiagoa hartzen da.

5. Anplitudearen kurba zenbat atenuatu behar den kalkulatu ωn maiztasunean 0 db-ko

anplitudea izan dezan. Atenuazio hori –20 log β dela jakinik, β-ren balioa kalkulatzen

da. Orduan, beste hauste-maiztasuna ω = 1/βT da (poloarena).

8.4 Adibidea

Berrelikadura unitarioa duen sistema baten bigizta irekiko transferentzi funtzioa

hurrengoa da,

Sistema honek kv = 100 eta FT > 30° izan behar ditu. Bode-ren diagrama egin ahal

izateko lehen urratsa k-ren balioa kalkulatzea da,

kv = lims→0

sG(s) = lims→0

k

(1 + 0.1s)(1 + 0.2s)= 100 ⇒ k = 100

G(s) = k

s(1 + 0.1s)(1 + 0.2s)

282

Beraz,

Ondoren, bigizta irekiko sistemaren Bode-ren diagrama egiten da, 8.24 Irudian ikus-

ten den bezala,

8.24 Irudia.

Grafikoa aztertuz, FT = 40° dela ikusten da ωc = 16 rad/s den puntuan eta, ondorioz,

sistema ezegonkorra izango da. Hasierako baldintza kontutan hartuz, atzeratze-sareak

eman behar duen angelua hurrengoa da:

G( jω) = 100

jω(1 + 0.1jω)(1 + 0.2 jω)


80.0070.0060.0050.0040.0030.0020.0010.000.00

–10.00–20.00–30.00–40.00–50.00–60.00

0.01 0.10

ω rad/s

Konpentsatutako sistemarenfase-tartea

Konpentsatu gabekosistemaren fase-tartea

100G(s)= ––––––––––––––

s(1+0.1s)(1+0.2s)

100(1+2.86s)G(s)= –––––––––––––––––––––––

s(1+0.1s)(1+0.2s)(1+89.3s)

100G(s)= ––––––––––––––

s(1+0.1s)(1+0.2s)

100(1+2.86s)G(s)= –––––––––––––––––––––––

s(1+0.1s)(1+0.2s)(1+89.3s)

10.002.741.00 100.00

0.01 0.10 10.001.00 100.00

30 dB

39°

–41°

ω rad/s

Irabazpena(db)

–90.00

–120.00

–150.00

–180.00

–210.00

–240.00

–270.00

Fasekoangelua

(°)

φm = –180° + 30°

eta angelu hori lortzen den puntuaren maiztasuna ωm = 4 rad/s dela ikusten da.

ω = 1/T maiztasuna lortzeko, maiztasun naturala hamarkada bat jaisten da gutxi

gora-behera eta ziurtasunez, maiztasun hori ωm ≈ 0.35 rad/s dela suposatuko da. Bestal-

de, atzeratze-sarearen izaeragatik, φm angeluari 5° eta 12° tarteko angelua gehitu behar-

ko zaio; beraz, lortu nahi den FT=42° dela suposatuko da. Hori lortzearren, ωm=3.5

rad/s izango da grafikoan. Maiztasun horretan irabazpena = 0 db izan dadin, konpen-

tsadoreak 30 db jaitsi beharko du.

Beraz, konpentsatutako sistemaren transferentzi funtzioa hurrengoa izango da,

Maila unitarioa aplikatzen zaionean sistema honek aurkezten duen erantzuna 8.25

Irudian agertzen da.

8.25 Irudia.

Gc (s)G(s) = 100(s + 0.35)

31.25s(1 + 0.1s)(1 + 0.2s)(s + 0.0112)= 100(1 + 2.86s)

s(1 + 0.1s)(1 + 0.2s)(1 + 89.3s)

20 log1

β= −30 ⇒ β = 31.25

ω = 1

βT= 0.0112

284

1.5

1.0

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7

denbora (s)

c (t

)

8.4.4. Atzeratze-konpentsazioaren ezaugarri batzuk

1. Atzeratze-sareak, maiztasun txikiak pasatzen uzten dituzten iragazkiak dira. Beraz,

sare hauek maiztasun txikitan irabazpen handia dute eta maiztasun handitan murriztu

egiten da, ezegonkortasuna saihestuz. Atzeratze-konpentsazioan, maiztasun handitan

lortzen den atenuazioa fasearen atzeratzea baino garrantzitsuagoa da.

2. Sareak ematen duen atenuazioaren bitartez, ωm beste maiztasun txikiago batera mugi-

tzen da (fasearen tartea egokia den punturaino). Ondorioz, sare honek sistemaren ban-

da-zabalera murriztu eta erantzun iragankorra mantsoagotzen du.

3. Atzeratze-sare bezala, sarrerako seinalea integratzen saiatzen da eta PI kontrolaren an-

tzera funtzionatzen du. Horregatik, atzeratze-sarearen bidez konpentsatutako sistema

desegonkorragoa izango da, hasieran behintzat. Hau saihesteko, T denbora-konstantea

sistemaren denbora-konstanterik handiena baino nahikoa handiagoa hartu behar da.

4. Egonkortasun baldintzatua asetasuna duen sistema bat atzerapen-sare baten bitartez

konpentsatzen denean ager daiteke, 8.26 Irudian ikusten den bezala.

8.26 Irudia. Egonkortasun baldintzatua duen sistemaren Bode-ren diagrama


40

db

30

20

10

0

–10

–20

–90°

–180°

0.7 1 2 4 6 8 10 20

φ<0

φ>0

Irabazpenhandia

Irabazpentxikia

ω rad/s

–270°

286

Asetasuna agertzen denean, bigiztaren irabazpena murrizten da. Orduan sistemaren

egonkortasuna ere murrizten da eta ezegonkortasuna ager daiteke. Hori gerta ez dadin,

atzerapen-sarea diseinatzerakoan beronen eragina, asetasuna duen elementuaren

sarrerako anplitudea txikia denean bakarrik kontsideratu dela pentsatu behar da.

8.5. AURRERATZE/ATZERATZE-KONPENTSAZIOA

Aurreratze-konpentsazioak, banda-zabalera handitu, erantzunaren abiadura hobetu eta

gehienezko gaindiketaren balioa murrizten du. Bestalde, egoera egonkorreko portaeraren

hobekuntza ez da ia nabari. Atzeratze-konpentsazioak egoera egonkorreko portaera asko

hobetzen du, baina banda-zabalera murrizten duenez gero, erantzun iragankorra ez da

egokia izaten.

Egoera iragankorreko eta egonkorreko portaerak hobetu nahi badira, aurreratze- eta

atzeratze-sareak erabiliko dira batean. Bi sare hauek bananduta sartu ordez, aurrera-

tze/atzeratze-sarea sartzea merkeagoa izaten da. Sare-mota honek aurreratze- eta atzera-

tze-sareen abantailak ditu.

Sare honek bi polo eta bi zero aurkezten ditu. Beraz, konpentsazio hau erabiltzera-

koan, sistemaren ordena bi batez handitzen da normalean, konpentsatutako sistemaren

barnean polo eta zero baten kantzelazioa ez bada gertatzen behintzat.

Konpentsazio-mota hau lortzeko, 8.6 eta 8.17 Irudietan aurkeztutako sareak seriean

ipini edo 8.27 Irudian agertzen diren sare elektriko nahiz mekaniko sinpleak erabil

daitezke.

8.27 Irudia (a) RC sarea. (b) Sare mekanikoa

C1

C2

f2

f1

R1

k1

k2

R2

(a) (b)


8.5.1. Aurreratze/atzeratze-sareen ezaugarriak

Sare honen transferentzi funtzioa hurrengoa da:

(8.10)

Lehendabiziko gaiak,

(8.11)

aurreratze-sarearen ondorioak sartzen ditu eta bigarrenak berriz,

(8.12)

atzeratze-sarearenak ematen ditu.

8.28 Irudian aurreratze/atzeratze-sarearen diagrama polarra aurkezten da. 0 < ω < ω1

maiztasunetarako, sare osoak atzeratze-sare bezala jokatzen duela ikus daiteke eta bestal-

de, ω1 < ω < ∞ maiztasunetan, aurreratze-sarearen eragina ikusten da.

8.28 Irudia. Aurreratze/atzeratze-sarearen diagrama polarra.

s + 1

T2

s + 1

βT2

= β T2s +1

βT2s +1

β > 1

s + 1

T1

s + βT1

= 1

βT1s +1T1

βs +1

β > 1

Gc (s) =s + 1

T1

s + βT1

s + 1

T2

s + 1

βT2

Ir

Er0 1

ω=∞

ω=0ω=ω1

Fasearen angelua zero den maiztasuna, ω1 maiztasuna izango da eta honela kalku-

latzen da:

(8.13)

8.29 Irudian, sare-mota honen Bode-ren diagrama agertzen da, β = 10 eta T2 = 10T1

denean. Ikusten denez, maiztasun txiki eta garaietan, anplitudea 0 db-koa da. Hau, Gc(s)

funtzioak osagai bezala β ez duelako gertatzen da.

8.29 Irudia. Aurreratze/atzeratze-sarearen Bode-ren diagrama

8.5.2. Erroen kokaerako metodoa erabiltzen duten diseinu-teknikak

Metodo hau erabiltzen duten teknikek hurrengo urratsak egiten dituzte:

1. Ematen diren portaerako espezifikazioen bitartez, bigizta itxiko polo dominanteen

kokaera ateratzen da.

2. Bigizta itxiko poloak kokaera horietan egoteko, φ angelua zenbatekoa izango den kal-

kulatzen da. Angelu hori aurreratze-sareak emango duena da.

ω1 = 1

T1T2

288

10

0

–10

–20

–30

90°

0°

–90°0.001–––––

T1

0.01–––––

T1

0.01–––––

T1

1––T1

10–––T1

100–––––

T1

ω rad/s

irabazpena(db)

fasea(°)

3. transferentzi funtzioa erabiliz, kc kalkulatzen da

errorearen koefizientearen baldintza erabiliz.

4. Konpentsadorearen T2 nahikoa handia hartuko da, izateko, s1, bigiz-

ta itxiko polo dominantea izanik. T1 eta β kalkulatzeko, hurrengo baldintzak erabil-

tzen dira:

5. Kalkulatutako β erabiliz, T2-ren balioa kalkulatzen da:

eta izateko

βT2-ren balioa ezin da oso handia izan, fisikoki egitea posible izan dadin.

8.5 Adibidea

Berrelikadura unitarioa duen kontrol-sistema baten bigizta irekiko transferentzi

funtzioa da.G(s) = 4

s(s +1)(s + 5)

0 <s1 + 1

T2

s1 + 1

βT2

< 3º

s1 + 1

T2

s1 + 1

βT2

≈ 1

s1 + 1

T1

s1 + βT1

= φ

s1 + 1

T1

s1 + βT1

kcGc (s1) = 1

s1 + 1

T2

s1 + 1

βT2

≈ 1

Gc (s) =s + 1

T1

s + βT1

s + 1

T2

s + 1

βT2

kc


Bigizta itxiko transferentzi funtzioa hurrengoa izango da:

eta, ondorioz, bigizta itxiko polo dominanteeen balioak s1,2 = –0.404 ± j0.802 dira.

Beraz, maiztasun naturala eta moteltze-faktorea kalkula daitezke,

gainera, errore-konstantea izango da.

Bestalde, lortu nahi diren ezaugarri berriak hurrengoak dira:

Beraz, bigizta itxiko poloak aldatu nahi dira, hau da, egoera iragankorra hobetu eta,

gainera, kv konstantea handitu nahi da, hau da, egoera egonkorreko errorea txikiagotu.

Ondorioz, aurreratze/atzeratze-sarea sartu beharko da.

Lehen urratsa polo dominante berriek hasierako bigizta irekiko transferentzi funtzio-

ko poloekin osatzen duten angelua kalkulatzen da, hau da, konpentsadorearen aurrera-

tze-zatiak eman beharko duena. Angelu hau 74.313°-koa dela ikusten da.

Konpentsadorearen transferentzi funtzioa hurrengoa bada,

konpentsatutako sistemarena beste hau izango da,

Gc (s)G(s) =s + 1

T1

s + βT1

s + 1

T2

s + 1

βT2

kcG(s)

Gc (s) =s + 1

T1

s + βT1

s + 1

T2

s + 1

βT2

kc

s1,2 = −1.571 ± j3.119

ωn = 3.5rad / s

kv = 30s−1

kv = lims→0

(sG(s)) = 0.8s−1

ωn = 0.898rad / s

θ = tan−1 0.802

0.404⇒ ξ = cosθ = 0.45

G' (s) = 4

s3 + 6s2 + 5s + 4

290


Orain, kc balioaren kalkulua egingo da,

eta konpentsatutako sistemaren transferentzi funtzioa,

T2 denbora-konstantea hurrengo erlazioa betetzeko hautatu denez gero,

eta bigizta itxiko poloak s1,2=–1.571±j3.119 puntuetan kokatu ahal izateko, moduluaren

baldintzak ondoko hau esaten du,

s + 1

T1

s + βT1

150

s(s +1)(s + 5)

s=−1.571+ j3.119

= 1 ⇒

s + 1

T1

s + βT1

150

(−1.571 + j3.119)(−0.571 + j3.119)(3.429 + j3.119)=

=s + 1

T1

s + βT1

150

51.43= 1

s + 1

T2

s + 1

βT2 s=−1.571+ j3.119

= 1

Gc (s)G(s) =s + 1

T1

s + βT1

s + 1

T2

s + 1

βT2

150

s(s +1)(s + 5)

kv = lims→0

sGc (s)G(s) = lims→0

skcG(s) = lims→0

kc

4

(s +1)(s + 5)

kv = 30 = 0.8kc ⇒ kc = 37.5

292

eta, gainera, angeluaren baldintza betetzeko,

Kalkulu hauek guztiak grafikoki egin daitezke, 8.30 Irudian ikusten den bezala.

8.30 Irudia.

Sistemaren ordena oso handia izan ez dadin, aurreratze-zatiaren zeroa G(s) fun-

tzioaren poloarekin bat egiten da kanzelazioa lortzeko. Orduan, bete behar diren baldin-

tzak hurrengoak dira:

Grafikoki 8.30 Iruditik, direla ikusten da. Ondorioz,

−1

T1

= −1.0−βT1

≅ − 10 ⇒ T1 = 1 β = 10

AO = 1.0 ; BO = 9.76

APB = 79.4° PAPB

= 51.43

150

s + 1

T1

s + βT1 s=−1.571+ j3.119

= 79.4°

Ir

Er

j4

j3

j2

j1

–j1

–j2

–j3

–10 –5 –1.57

B A

P

79.4°

j3.12

–1 0

Orain, T2 kalkulatzeko,

Konpentsadorearen transferentzi funtzioa hurrengoa izango da:

eta konpentsatutako sistema beste hau izango da:

Konpentsatutako sistemaren erroen kokaerako diagrama 8.31 Irudian aurkezten da.

8.31 Irudia.

GGc = 150(s + 0.1)

s(s + 5)(s +10)(s + 0.01)

Gc (s) = s +1

s +10

s + 0.1

s + 0.01

37.5

0 <s + 1

T2

s + 1

10T2

< 3° ⇒ T2 = 10

s + 1

T2

s + 1

10T2 s=−1.571+ j3.119

= 1


jω

σ

K'ξ=0.45

–0.05

–10 –5 –2.05 –1–0.005

8.5.3. Erantzun frekuentzialeko metodoan oinarritutako teknikak

Aurreratze/atzeratze konpentsadorea diseinatzeko metodo frekuentzialak erabiltzen

direnean, aurrean ikusi diren tekniken konbinazioa egiten da. Aurreratze-sarearen αbalioa, atzeratze-sarearen β-ren alderantzizkoa da, hau da, α = 1/β, eta aurreratze- eta

atzeratze-konpentsadoreen konbinazioa eginez, aurreratze/atzeratze konpentsadorea kal-

kulatuko da.

Sare honen aurreratze-zatiak ωm puntuan erantzun frefuentziala aldatzen du angelu

bat gehituz eta fasearen tartea handituz.

Atzeratze-zatiak berriz, ωm horren aldamenean eta gainetik atenuazioa lortzen du eta

maiztasun txikietan irabazpenaren handitzea onartzen du portaera egonkorra hobe-

tzearren.

8.6 Adibidea

Demagun hurrengo G(s) transferentzi funtzioa duen sistema,

eta lortu nahi diren espezifikazioak hurrengoak dira,

kv-ren balioa erabiliz, k konstantea kalkulatuko da,

balio hau erabiliz, Bode-ren diagrama egiten da, hurrengo funtzioa erabiliz,

Diagrama hau 8.32 Irudian ikusten da.

G( jω) = 20

jω( jω +1)( jω + 2)= 10

jω( jω +1)( j0.5ω +1)

kv = lims→0

skG(s) = lims→0

k

1.2= 10 ⇒ k = 20

kv = 10s−1, FT ≈ 50°, IT ≥ 10db

G(s) = k

s(s +1)(s + 2)

294

8.32 Irudia.

Beraz, konpentsatu gabeko sistemaren FT = –32° da, hau da, sistema desegonkorra

da. Konpentsadorea diseinatzeko, sistema osoaren irabazpena 0 db-koa non gertatuko

den hautatu behar da, hau da, ωm. Kasu honetan, maiztasun hau 1.5 rad/s-koa izango

dela pentsatu da. Maiztasun hau aurreratze-sarearena dela suposatuz, lortu behar den

angelua 50°-koa da, eta beraz, egokia.

Ondoren, atzeratze-sarearen ω1 = 1/T2 maiztasuna, ωm maiztasunaren hamarkada

bat azpitik hartzen da, hau da, ω1 = 0.15 rad/s.

Demagun, gainera, β = 10 hautatzen dela, orduan, ω2 = 0.015 rad/s izango da eta

atzeratze-zatia hurrengoa izango da:


60

G

GcG

Gc

G

0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10

ω rad/s

50°

–32°

GcG

Gc

16 db

Irabazpenadb

Fasea(°)

40

20

0

–20

–40

90°

0

–90°

–180°

–270°

296

Aipatu den bezala, ωm puntuan, IT = 13 db zen. Beraz, aurreratze-sareak –13db

ematen baditu, hasierako baldintza beteko litzateke. Ondorioz, (ωm, –13 db) puntutik 20

db/hamarkadako malda duen zuzena egiten bada, lerro honek 0 db eta –20 db-ko lerroak

gurutzaten dituen puntuek aurreratze-zatiaren ω1 = 0.7, ω2 = 7 maiztasunak emango

dituzte. Ondorioz, aurreratze-zatia hurrengoa izango da,

eta konpentsadore osoaren trasferentzi funtzioa hurrengoa da,

8.6. KONTROL-SISTEMEN KONPENTSAZIOA EGITEKOTEKNIKEN ONDORIOAK

8.6.1. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze-konpentsazioen arteko kon-

paraketa

1. Aurreratze-konpentsazioak fasearen aurrerapenaren bitartez betetzen du bere eginki-

zuna; atzeratze-konpentsazioa berriz, maiztasun garaietan lortzen duen atenuazioen-

gatik ezagutzen da.

2. s-ren planoan lan eginez, aurreratze-sareak erroen kokaerako diagrama aldatzen du

bigizta itxian lortu nahi diren poloetatik pasatzeko. Maiztasunaren arloan, aurreratze-

-sareak fasearen tartea eta banda-zabalera handitzen ditu. Banda-zabalera handiak tsdenboraren murrizketa adierazten du. Beraz, banda-zabalera handia edo erantzun-

-denbora azkarra lortu nahi direnean, aurreratze-sarea erabili behar da. Bestalde, zara-

tarik badago, banda-zabalera handia ez da komenigarria gertatuko, maiztasun garaie-

tan lortzen diren irabazpenak handiak direlako. Kasu horietan, atzeratze-sarea erabili

beharko da.

Gc (s) = s + 0.7

s + 7

s + 0.15

s + 0.015

= 1.43s +1

0.143s +1

6.67s +1

66.7s +1

s + 0.7

s + 7= 1

10

1.43s +1

0.143s +1

s + 0.15

s + 0.015= 10.

6.67s +1

66.7s +1

3. Atzeratze-konpentsazioak egoera egonkorreko zehaztasuna hobetzen du, baina banda-

-zabalera murriztuz. Murrizpen hori handiegia bada, konpentsatutako sistemaren

erantzuna mantsoa izango da. Erantzun azkarra eta egoera egonkorreko zehaztasuna

lortu nahi badira, aurreratze/atzeratze-konpentsazioa erabiliko da.

4. Aurreratze-konpentsazioak irabazpenaren handitzea beharko du, berezkoa den ate-

nuazioa dela eta. Beraz, konpentsazio honek, atzerapenekoak baino irabazpen han-

diagoa beharko du. (Kasu gehienetan, irabazpen handiak leku gehiago, pisu gehiago

eta kostu handiagoak ekartzen ditu).

5. Aurreratze-, atzeratze- eta aurreratze/atzeratze-sareen bitartez lor daitezkeen zirkuitu

praktikoak asko izan arren, sistema konplexuetan, sare hauekin lortutako emaitzak ez

dira zeharo egokiak. Orduan, polo eta zeroen konfigurazio desberdinak erabiltzen

dituzten konpentsadoreak erabili behar dira. Konpentsadore baten polo eta zeroen

bitartez, sarearen ekintza fisikoa ohizko tekniken bitartez egin daiteke.

8.6.2. Nahi ez diren poloen ezereztea

Serie-eran jarrita dauden elementuen transferentzi funtzioa bakoitzaren transferentzi

funtzioaren biderkaketa denez gero, nahi ez diren polo eta zeroak kentzea posible izango

da konpentsadoreak serie-eran jarriz gero. Konpentsadorearen polo eta zeroak egokitzeko,

luzeena den T1 denbora-konstantea kentzen da aurreratze-sarearen bitartez,

(T1s+1)/(T2s+1), hau da,

(8.14)

T2<<T1 bada, T1 konstantea ken daiteke. 8.33 Irudian, maila sarrera sartuz gero, ekintza

honek erantzun iragankorrean zer eragin duen ikusten da.

8.33 Irudia. Denbora-konstante handiak kentzean lortzen diren erantzunak.

1

T1s +1

T1s +1

T2s +1

= 1

T2s +1


1–––––T1s+1

T1s+1––––––T2s+2

x

x

t

y

y

t

z

z

t

Jatorrizko sistematik kendu nahi den poloa s planoko eskuineko zatian badago,

konpentsazio hau ezin da erabili. Matematikoki polo bat zero batez ken daiteke, baina

fisikoki, ezerezte zehatza ezin da egin poloen eta zeroen kokaeretan gertatzen diren

zehaztasun-faltengatik. s planoko eskuinaldean kokatuta dagoen polo bat ez bada zehazki

kentzen zero batez, ezegonkortasuna ager daiteke erantzunean, denboran zehar hazten den

gai esponentziala agertzen delako.

Bestalde, kontrol-sistema ideala ez da transferentzi funtzio bezala unitatea duena.

Fisikoki kontrol-sistema hau ezin da garatu, zeren sarreratik irteerara bat-batean energia

eramaten duen sistemarik ez baitago. Gainera, normalean zaratak agertzen direnez gero,

transferentzi funtzio bezala unitatea duten sistemak ez dira egokiak. Praktikoki egokia

den sistema batek parametro egokiak dituzten bigizta itxiko polo dominanteak aurkeztuko

ditu. Bigizta itxian garrantzizkoak diren polo eta zeroak eta bigizta itxiko polo dominan-

teen kokaera, sistemaren portaera zehazten duten ezaugarrien arabera jakingo dira.

8.6.3. Konplexu konjugatuak diren poloen ezereztea

Sistema baten transferentzi funtzioak polo konplexuen bikote bat edo gehiago baditu,

aurreratze-, atzeratze- edo aurreratze/atzeratze-sareen bitartez ez da beti lortzen erantzun

egokia. Kasu horietan, bi polo eta bi zero dituen sarea komenigarria izaten da. Zeroak,

nahi ez diren polo konplexu konjugatuak kentzearren hautatzen badira, polo horiek

egokiagoak diren beste polo batzuez alda daitezke. Hau da, polo horiek s planoko

ezkerreko zatian badaude eta hurrengo erakoak badira,

(8.15)

ondorengo ekuazioa duen konpentsadorea sartuz gero,

(8.16)

nahi ez diren poloak kendu eta beste egokiagoak ipintzen dira.

Polo/zeroen ezereztea egiterakoan arazoak agertzen dira praktikoki ezerezte hori ez

delako zehatza izaten. Normalean, G(s) transferentzi funtzioa kalkulatzerakoan, ereduz-

tapen fisikoak, linealizazioak eta hurbilketak egiten dira. Beraz, prozesuaren transferentzi

funtzioa ez da zehatza. 8.34 Irudian, ezereztea zehatza ez denean lortzen den polo/zeroen

Gc (s) = s2 + 2ξω1s + ω12

s2 + 2ξω2s + ω22

G(s) = 1

s2 + 2ξω1s + ω12

298

konfigurazioa agertzen da eta bestalde, 8.35 Irudian, ezerezte horiek zehatzak ez izatea-

gatik sortzen diren erroen kokaerako diagramak aurkezten dira.

8.34 Irudia.

8.35 Irudia.

Polo eta zero konplexuak dituzten transferentzi funtzioak hainbat sare-elektrikorekin

osa daitezke. 8.36 Irudian, RC osagaiak dituzten T-erako zirkuituak agertzen dira.


jω

σ

Erroen kokaera

s planoa

Sistemaren poloa

Sistemarenpoloa

Kontroladorearenzeroa

Kontroladorearenpoloa

– -p1

–p1

–(-p1+-ε)

–(p1+ε)

jω

σ

K=0

K=0

K=0

s planoa

(a)

s planoa

(b)

0

K=∞

K=∞

jω

σ

K=0

K=0

K=0

0

K=∞

K=∞

300

8.36 Irudia. T-erako sare elektrikoak.

8.6.4. Perturbazioek duten eraginen deuseztea zuzeneko kontrola erabiliz

Perturbazioak neurtzea posible bada, sistemaren irteeran gertatzen diren eraginak

desagertarazteko, zuzeneko kontrola oso metodo egokia da. Zuzeneko kontrolak neurtzen

diren perturbazioen eraginak deuseztu egiten ditu, gertatu aurretik konpentsatuz. Hau oso

baliagarria da, berrelikadura-sistema batean zuzentzeko ekintza, irteeran eragina agertu

ondoren egiten delako.

Demagun 8.37 Irudiko tenperaturaren kontrol-sistema. Sistema honetan, irteerako

tenperatua balio zehatz batean mantendu nahi da. Perturbazioa sarrerako emariaren

aldaketa da, hau da, tankearen nibelarena. Aldaketa honen eragina, sistemak dituen

atzerapenak direla eta, ez da irteeran berehala ikusiko.

Trukagailura sartzen den beroa erregulatzen duen tenperatura-kontrola ez da lanean

hasiko errorea neurtu arte. Sistemaren atzerapenak handiak badira, zuzentze-ekintza lortu

arte denbora pasako da. Hau da, errorea atzerapen baten ondoren agertzen bada eta

orduan hasten bada zuzenketa, oso berandu izan daiteke irteerako tenperatura nahi diren

mugen barne mantentzeko.

Horrelako sistema batean zuzeneko kontrola jartzen bada, sarrerako fluxuan aldake-

taren bat agertzen denarekin batean, zuzenketa egiten da, trukagailuan sartzen den beroa

egokituz. Hau egiteko, tenperaturaren kontrolari fluxuaren neurria eta tenperaturaren

neurria ematen zaizkio.

Eo(s) RC1RC2s2+2RC2s+1––––– = –––––––––––––––––––––––––Ei(s) RC1RC2s2+(RC1+2RC2)s+1

Eo(s) RC1RC2s2+2R1Cs+1––––– = –––––––––––––––––––––––––Ei(s) R1CR2Cs2+(R2C+2R1C)s+1

R R C C

(a) (b)

C2

C1ei eo eoei R1

C2


8.37 Irudia. (a) Tenperatura-kontrola (b) Bloke-diagrama

Zuzeneko kontrolak egoera iragankorreko errorea minimiza dezake, baina bigizta

irekikoa denez gero, funtzionamendu-espezifikazioetan mugak agertzen dira. Zuzeneko

kontrolak baldintza normaletan agertzen diren eta neurtezinak diren perturbazioen

eraginak ezin ditu kendu. Beraz, zuzeneko kontroleko sistemak berrelikadurako bigizta

bat ere izan behar du (8.37 (b) Irudia).

Zehazki, zuzeneko kontrolak neurtzen diren perturbazioek sortzen dituzten eta iragan-

korrak diren erroreak minimizatzen ditu, eta berrelikadurako kontrolak zuzeneko kon-

trolak dituen akatsak konpondu eta neurtezinak diren perturbazioen eraginak zuzentzen

ditu.

Lurrina

Perturbazioa(fluxu-aldaketa)

ErreferentziaTenperatura

Fluxu-neurgailua

Fluxu--neurgailua

Tenperatura--kontroladorea

Tenperatura neurtzenduen elementua

Energiaaldatzekosistema

EragingailuaBalbula

(a)

(b)

Energia aldatzekosistema

Tenperatura--kontroladorea

Mailarenkontrola

8.6.5. Sistema baten zuzeneko kontrola

Demagun 8.38 Irudiko kontrol-sistema:

8.38 Irudia. Kontrol-sistema

G(s) sistemaren transferentzi funtzioa da eta Gn(s) perturbazioarena, biak ere eza-

gunak direlarik. Kontroladorearen Gc(s) transferentzi funtzioa eta G1(s) perturbazio zuze-

narena kalkulatzeko metodoa garatu behar da. C(s) irteera hurrengoa denez,

(8.17)

non

(8.18)

den, orduan

(8.19)

N(s)-ren eragina saihesteko, Gc(s) hurrengo erakoa hautatzen da,

(8.20)

Gc (s)G(s)G1(s) + Gn (s) = 0

G1(s) = − Gn (s)

Gc (s)G(s)

C(s) = Gc (s)G(s) R(s) − C(s)[ ] + Gc (s)G(s)G1(s) + Gn (s)[ ] N(s)

E(s) = R(s) − C(s) + G1(s)N(s)

C(s) = Gc (s)G(s)E(s) + Gn (s)N(s)

302

G1(s)

Gn(s)

Gc(s)

N(s)

C(s)R(s) E(s)G(s)

Gc(s), kontrolaren transferentzi funtzioa era egokian diseinatuz, kontrol-sistemak

bigizta itxian izango duen portaera ziurta daiteke. Gc(s) kalkulatu ondoren, G1(s) pertur-

bazioaren transferentzi funtzioa ateratzen da.

8.7. ONDORIOAK

Kapitulu honetan aurkeztu diren adibideetan, konpentsadoreen transferentzi funtzioak

besterik ez dira diseinatu. Dena den, benetako diseinuak egiterakoan hardwarea ere

hautatu behar da. Beraz, beste arazo batzuei ere aurre egin beharko zaie: kostua, neurriak,

pisua eta fidagarritasuna batez ere.

Diseinatutako sistema baldintza normaletan lanean ari denean, aurretik finkatutako

ezaugarriak beteko ditu, baina baldintza horiek aldatzen direnean, portaera ere nahikoa

aldatuko da. Inguruko baldintzen aldaketek irabazpenaren nahiz sistemaren denbora-

-konstanteen aldaketak sortzen dituztenez gero, diseinuan kontutan hartu ez ziren eta

linealak ez diren ekintzak eta fabrikazioan sortutako perdoiak konpentsatzeko, eskuzko

nahiz automatikoki erabiltzen diren bitartekoak ezarri beharko dira. Gainera, diseinua

egiterakoan, sisteman normala den hondatze-prozesuak eragindako aldaketak ere gerta-

tzen direla kontutan hartzekoa da.

8.8. BIBLIOGRAFIA

• D’Azzo J.J., Houpis C.H, 1981, "Linear Control System Analysis and Design",

McGraw-Hill, Inc., Japonia.

• Dorf R.C., 1989, "Sistemas modernos de control", Addison-Wesley Iberoamericana,

Estatu Batuak.


con retroalimentación", Addison-Wesley Iberoamericana, Estatu Batuak.

• Kuo B.C., 1987, "Automatic Control Systems", Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,

New Jersey.


• Marshall S.A., 1978, "Introduction to Control Theory", MacMillan Publishers LTD:,

Hong Kong.

• Ogata K., 1970, "Modern Control Engineering", Prentice-HAll, Inc., Englewood

Cliffs, New Jersey.

8.9. ARIKETAK

8.1. Berrelikadura unitarioa duen sistema baten bigizta irekiko transferentzi funtzioa

hurrengoa da,

Sistemaren irteerak arrapala sarrerari jarraitu behar dio 2 rpm-ko abiadura izateko

eta egoera egonkorreko errorea gehienez 2 gradukoa izan dadin.

a) Baldintza horiek betetzen dituen gutxienezko k-ren balioa kalkulatu. K-ren

balio honekin, IT, FT, Mp eta banda-zabalera kalkulatu.

b) (1+0.4s)/(1+0.8s) transferentzi funtzioa duen aurreratze-konpentsazioa sartzen

bada, konpentsatutako sistemaren IT, FT, Mp eta banda-zabalera berriak

kalkulatu.

c) Konpentsatutako eta konpentsatu gabeko sistemen erroen kokaerako diagra-

mak egin.

8.2. A8.1 Irudian aurkezten den kontrol-sistemak hurrengo baldintzak bete behar ditu:

a) ka = 2

b) Mp < 1.5

Behar den aurreratze-konpentsadorea diseinatu eta konpentsatutako nahiz konpen-

tsatu gabeko sistemen erroen kokaerako diagramak egin. Konpentsatutako siste-

maren moteltze-faktorea kalkulatu.

G(s) = k

s(1 + 0.2s)(1 + 0.5s)

304

A8.1 Irudia.

8.3. A8.2 Irudian, posizioko kontrol-sistema baten bloke-diagrama aurkezten da. Siste-

ma honek ardatzaren posizioa zuzentzen du urrutiko kontrola erabiliz. Sistemaren

parametroak hurrengoak dira:

τe = 0.01 J = 0.05

B = 0.5 Km = 10

TL = perturbazioa

A8.2 Irudia.

a) Perturbazioa maila unitarioa denean, θo irteerak duen egoera egonkorreko

errorea 0.01 baino txikiago izateko, ka anplifikadoreak izan behar duen balioa

kalkulatu.

b) Aurrean kalkulatu den ka balioarekin, sistemaren egonkortasuna aztertu.

Aurreratze-konpentsadorea diseinatu, bigizta itxiko sistemaren FT = 30° izate-

ko. Konpentsatutako sistemaren banda-zabalera kalkulatu.

8.4. Gorputz guztiak behar duen gas-aldaketa sortzeko hartzen dugu arnasa. Gas-alda-

keta hori nahikoa izan dadin, arnasaren kontrol-sistema behar da. Odol arterialean


R (s) E (s)K

1–––––––––s2(1+0.1s)

C (s)

Ka

TL

Gc(s) Km–––––1+τes

1––––––Js2+Bs

Kontroladorea

Motoreelektrikoaren

zirkuitua

Motoreaeta

Kargaθr θe θo

dauden oxigeno nahiz CO2-ren mailak egokiak izan daitezen, aireztapen egokia

egin behar da. Arnasa neuronen pultso-bidez kontrolatzen da. A8.3 Irudian, giza-

kien arnas-kontrolaren sistemaren bloke-diagrama agertzen da. Beraz, biriken

aireztapen egokia kontrolatzen da CO2 eta O2-ren aztertuz.

A8.3 Irudia.

a) Sentsorearen irabazpena kf = 0.1 bada, sistemaren FT eta IT kalkulatu.

b) Sentsorea hondatu eta kf = 1 egiten bada, FT = 45° mantentzeko behar den

konpentsadorea diseinatu.

8.5. Espazioko untzi batek izarrak eta asteroideak hartzeko duen beso teleskopikoa

masa baten bidez ereduztatzen da, A8.4 Irudian ikusten den bezala. Sistema honen

transferentzi funtzioa bada, beronen FT = 45° mantentzeko behar den

aurreratze-konpentsadorea diseinatu.

A8.4 Irudia.

G(s) = 4

s2

306

R (s) E (s) 1–––––

s+10.1

–––––––––––––––––––(s+0.5)(s+0.1)(s+0.2)

Birikak

Lortu nahidenaireztapena

Kf

Zirkulazio-sistema

C (s)

Kontzentrazioa

Sentsorea

z

M

Ksz

Ks

r (t) e (t)

f(t)–––2

f(t)–––

2

(a) (b)

N(s)Gc (s) Gp (s)

8.6. A8.5 Irudian agertzen den kontrol-sistemaren helburua tankean dagoen likidoa

maila zehatz batean mantentzea da.

A8.5 Irudia.

Bigizta irekiko transferentzi funtzioa hurrengoa dela jakinik (N balbula-kopurua

delarik),

a) N = 4 denean, bigizta itxiko sistemaren FT, IT eta berauek neurtzen diren

puntuen maiztasunak kalkulatu.

b) N = 4 denean, FT = 50° izateko behar den aurreratze-konpentsadorea kalku-

latu. Konpentsatutako bigizta irekiko Bode-ren diagrama egin eta FT, IT nahiz

balio horiek neurtzen diren puntuen maiztasunak kalkulatu.

c) N = 4 denean, bigarren zatia errepikatu atzeratze-konpentsadorea erabiliz.

G(s) = H(s)

E(s)= 7.14N

s(s +1)(s + 5.357)


Urtegia

eKontroladorea

Gc(s) ei

I

R

M

θm θc

Engranajea

n N

SarrerakoBalbulak

Nqi(t)

Flotadorea

h(t)

TankeaA azalera = 50qo (t)

h (t)

Ks

r (t)

AnplifikadoreaKa

ea eb

308

8.7. Bigizta irekiko sistema baten transferentzi funtzioa bada

eta aplikatzen zaion kontroladorea izanik,

a) k eta T parametroen balioak kalkulatu kv = 4 eta bigizta itxiko sistemaren

ekuazio karakteristikoaren erroen zati irudikaria 4r ad/s baino handiagoa izan

ez dadin.

b) Lortu den k balioarekin eta T > 0 denean, bigizta itxiko sistemaren erroen ko-

kaerako diagrama egin.

8.8. Kontrol-sistema baten transferentzi funtzio zuzena da. Bi-

gizta itxiko sistema egonkorra izan dadin, Gc(s) konpentsadorea eta A anplifika-

dorea gehitu behar dira. ξ = 0.5, ωn = 1.6 rad/s lortu nahi badira,

a) Zer konpentsadore-mota sartu behar da?

b) Konpentsadore horren α eta T parametroen balioak kalkulatu

c) kv konstantea kalkulatu

d) Konpentsatutako sistemaren erroen kokaerako diagrama egin

8.9. Berrelikadura unitarioa duen sistemaren transferentzi funtzioa da.

a) Sistemaren tipoa txikiagotu gabe egonkortasuna lortzeko behar den konpen-

tsadorea diseinatu. Bigizta itxiko sistemaren erro dominanteen moteltze-fak-

torea 0.5 eta ts = 4 izatea lortu nahi da. Zer motatako konpentsadorea da?

b) Konpentsadorea sartuz gero lortzen den sistemaren bigizta itxiko sistemaren

trasnferentzi funtzioa lortu.

8.10. Berrelikadura unitarioa duen sistemaren transferentzi funtzio zuzena hurrengoa da,

G(S) = k

(s +1)(s + 2)(s + 6)

G(s) = k2

s2

G(s) = k

s2 (1 + 0.1s)

Gc (s) = k(1 + Ts)

s

G(s) = 4

s(s2 + 4s + 6)

a) ξ = 0.5 denean k-ren balioa lortu eta erroak kokatu

b) s = –1 puntuan dagoen poloa ezerezten duen aurreratze-konpentsadorea disei-

natu

c) s = –2 puntuan dagoen poloa ezerezten duen aurreratze-konpentsadorea disei-

natu

d) Bi konpentsadoreen bidez lortutako emaitzak aztertu

8.11. Berrelikadura unitarioa duen sistemaren zuzeneko transferentzi funtzioa hurrengoa

da

Mp = 1.2 eta kv = 6 izateko behar den konpentsadorea diseinatu.

8.12. A8.6 Irudian, sorgailu elektriko baten abiaduraren kontrol-sistemaren bloke-dia-

grama aurkezten da.

A8.6 Irudia.

Abiadura zuzentzen duen balbulak turbinara iristen den lurrinaren fluxua kontro-

latzen du. Turbinak sorgailua zuzentzen du eta ωg sorgailuaren abiadurarekiko

proportzionala den maiztasuneko energia elektrikoa sortzen da. TL perturbazioak

ωg maiztasunean sortzen duen aldaketa ±% 0.1 izatea lortu nahi da. Honek k*kT

balioa finkatzen du. Balio honekin, FT = 45° mantentzeko behar den atzeratze-

-konpentsadorea kalkulatu.

G(s) = 100k

s(s + 5 + j8.66)(s + 5 − j8.66)


SarrerakoTentsioa

K––––––––

1+0.1s

er KT

Takometroa

e

Abiadurazuzentzen

duen balbula Lurrin-turbina

1–––––––1+0.2s

TL

Sorgailua

1–––Js

ωg

9.1. SARRERA

Zortzigarren kapituluan, aurreratze-konpentsadorea, atzeratze-konpentsadorea eta

aurreratze/atzeratze-konpentsadorea aztertu dira. Ikusi denez, aurreratze-konpentsadorea,

maiztasun garaiak igarotzen uzten dituen iragazkia da; atzeratze-konpentsadorea berriz,

maiztasun txikiak igarotzen uzten dituen iragazkia da. Ondorioz, aurreratze-atzeratze kon-

pentsadorea, banda-zabalera zehatz bateko maiztasunak igarotzen uzten dituen iragazkia

da.

Industrian, konpentsadore-mota hauei PID (Proportzional-Integral-Deribatibo) kontro-

ladore deritze. PID kontroladorea iragazte-prozesuaren ikuspegitik aztertuz gero, zortzi-

garren kapituluan aipatutako konpentsadoreekin konpara daiteke. PD kontroladoreak

maiztasun garaiak igarotzen uzten ditu, PI kontroladoreak maiztasun txikiak eta PID

kontroladoreak banda-zabalera zehatz bateko maiztasunak igarotzen uzten ditu. Kontrol-

-sistema gehienen kontroladoreen diseinua egiterakoan kontutan hartzen dena iragazte-

-prozesua denez gero, aurreko kapituluan aztertutako konpentsazio-sareek eta PID kon-

troladoreek portaera berdintsua izango dutela esan daiteke. Dena den, konpentsazioa egi-

terakoan, beraien sinpletasuna dela eta, PID kontroladoreak erabiltzen dira.

PID kontroladoreak oso erabiliak dira era guztietako industrietan. Oso era desber-

dinetan garatzen dira, produktu estandar bezala eta urtean zehar ehundaka mila egiten

dira. Gainera, PID kontroladoreak zeregin berezietarako ere garatzen dira eta, teknologia

aldatu arren, kontroladore hauen erabilera ez da murriztu.

Kontroladore hauen funtziorik garrantzitsuenen artean hurrengoak daude: ekintza inte-

gralaren bitartez berrelikadura ematen dute, egoera egonkorreko offsetak desagertarazten

dituzte, ekintza deribatiboarekin etorkizuna aurrera dezakete eta, gainera, eragingailuen

asetasunari aurre egiteko gai dira. Hau guztia, kontrol-praktika zabalaren ondorioa da.


9. PID KONTROLADOREAK

PID kontroladoreak nahikoak izaten dira kontrol-arazo askotan, batez ere prozesuaren

dinamika oso konplexua ez bada eta betebeharrak oso murriztaileak ez badira. Beraz,

kontrol-arloan kontroladore hauek garrantzitsuak dira. Teknika hauek logikarekin,

makina sekuentzialekin, selektoreekin eta funtzio sinpleekin konbinatuz, energi pro-

dukzioan, garraioan eta garapenean erabiltzen den ekipoen automatizazioa egin daiteke,

gaur egungo teknologia hobetuz.

PID kontroladoreekin lan egiten duten injineruak asko dira eta ondorioz kontroladore

hauek montatu, egokitu eta erabiltzeko teknikak oso garatuak daude.

Mikroprozesadorearen agerpenak PID kontroladoreetan izan zuen eragina izugarria

izan zen, beste industria elektronikoetan bezala, eta gaur egun garatzen diren gehienak

mikroetan oinarritzen dira.

Hasiera batean, mikroprozesadoreetan oinarritutako sistemak lehenago erabilitako

teknologiaren traslazioak besterik ez ziren. Hau guztia egiteko, hirurogei eta hirurogeita

hamarreko hamarkadetan zehar garatu zen kontrol-sistema digitalen azterketak asko

lagundu zuen. Bestalde, gaur egun mikroek duten konputazio-potentziala eta beste hain-

bat ezaugarri kontutan hartuz, kontroladoreen erabilera zabalagoa agertzen da.

PID kontroladoreak arruntak eta oso ezagunak izan arren, berauen egokitzea oso po-

brea da. Edozein industriatan begiratuz gero, hau guztia ongi agertzen da. Askotan, ekin-

tza deribatiboa desagertu egiten da beronen egokitzea zail xamarra delako.

Sistemen lan-baldintzak oso mantso aldatzen badira, mikroprozesadorearen erabilerak

oso posibilitate interesgarriak izan ditzake egokitze automatikoan eta adaptazioan. Dena

den, egokitze eta adaptazioaren arteko terminoen diferentzia ez dago argi. Desberdinta-

suna nolabait agertzeko, autoegokitzea kontroladorearen parametroak automatikoki ego-

kitzen direnekoa izango da eta adaptazioa kontroladorearen parametroak denboran zehar

beti egokituz doazenekoa izango da, hau da, egunean jartzen direla. Posibilitate hauek

dituzten produktuak ere agertzen hasi dira merkatuan.

Beraz, une honetan PID kontroladoreen garapena arlo honetan mugitzen da, kontrol

automatikoan, egokitzea nahiz adaptazioa erabiliz.

312

Kapitulu honetan, PID kontrolaren aurkezpena egingo da. Horretarako algoritmoa

aztertuko da, windup fenomenoa ere ikusiko da, PID kontroladoreak konputadore

digitaletan ezartzeko teknikak aurkeztuko dira eta, azkenik, kontroladoreen diseinua

egingo da.

9.2. OINARRIZKO ALGORITMOA

PID baten oinarrizko algoritmoak hurrengo espresioa du:

(9.1)

non, u = kontrol-aldagaia,

e = kontrol-errorea = r – y,

r = erreferentziako balioa eta

y = irteera diren.

Kontrol-aldagaia hiru aldagairen batuketa da: P (errorearekiko proportzionala da), I

(errorearen integralarekiko proportzionala) eta D (errorearen deribatuarekiko proportzio-

nala). Kontroladorearen parametroak, K irabazpen proportzionala, Ti integrazio-denbora

eta Td deribazio-denbora dira.

9.2.1. Ekintza proportzionala

Kontrol proportzional hutsa erabiltzen denean (9.1) ekuazioa honela geratuko da:

(9.2)

Kontrol-ekintza errorearekiko proportzionala izango da. Hau berrelikadurako formarik

sinpleena da. Kontrol proportzionalaren ezaugarriak ulertzea oso erraza da era honetan.

Demagun prozesua eta kontroladorea dituen 9.1 Irudiko berrelikadurako bigizta aztertu

nahi dela. Kontroladoreak ekintza proportzionala eta prozesuak eredu estatikoa duela

suposatuko da.

u(t) = Ke(t)

u(t) = K e(t) + 1

Ti

e(s)ds0

t

∫ + Td

de(t)

dt


9.1 Irudia. Berrelikadura duen sistema baten bloke-diagrama.

(9.3)

9.1 Iruditik hurrengo ekuazioak ateratzen dira,

y = x + n

x = Kp (u + l)

u = K (r – y)

Eta erdiko aldagaiak kenduz gero, x prozesuaren aldagaia, r erreferentzia, l perturba-

zioa eta n neurtze-zarataren arteko erlazioa lortuko da.

(9.4)

KKp dimentsiorik gabeko zenbakia da eta bigiztaren irabazpena deritzo.

(9.4) ekuazio honetatik ezaugarri garrantzitsuak atera daitezke. Bigiztaren irabaz-

penaren ordena handia izango da x irteerak r erreferentziari jarraitzen diola ziurtatzeko.

Gainera, irabazpen horrek sistemaren sentsibilitatea zeharo murriztuko du l pertur-

bazioarekiko (ia deuseztuko). Ekuazio horretan ikusten denez, n zaratak x irteeran duen

eragina r irteerarenaren berdina izango da. Beraz, irabazpen handiak sistemaren sentsi-

bilitatea mantenduko du n zarataren aurrean.

Gainera, kontrol proportzional hutsarekin egoera egonkorreko errorea agertuko da

beti. Hau intuitiboki atera daiteke (9.2) ekuazioari begiratuz, hau da, kontrol-seinalea

zeroa ez izateko errorea behar da. Normalean kontroladore proportzionalei I reset-gaia

gehitzen zaio egoera egonkor egokia lortzeko. Beraz, (9.2) ekuazioa honela geratuko da

x =K Kp

1 + K Kp

r − n( ) +Kp

1 + K Kp

l

x = Kpu

314

r e Erreguladorea u

l

Prozesuax

n

y

(9.5)

non I, reset-gaia den.

Aurrean aipatu den guztia prozesuaren eredu estatikoa dela suposatuz egin da eta,

ondorioz, bigizta itxiko dinamika ez da kontutan hartu; hau da, irabazpen handietako

bigizta itxiko erantzuna desegonkorra dela ez da kontsideratu.

Praktikan, bigizta itxiko gehienezko irabazpena prozesuaren portaera dinamikoak

zehazten du.

Prozesuaren irabazpena maiztasunarekin aldatzen denean, beronen portaera dinamikoa

deskribatzeko, (9.4) ekuazioa erabiltzen da.

9.2.2. Ekintza integrala

Ekintza integralaren eginkizun garrantzitsuena egoera egonkorreko prozesuaren

irteerak erreferentziari jarraitzen diola ziurtatzea da. Kontrol proportzionalaren errorea

eduki behar da kontrol-seinalea zero izan ez dadin. Ekintza integralarekin berriz, errore

txiki positibo batek jarraiki handitzen den kontrol-seinalea sortzen du eta negatiboak

murrizten den kontrol-seinalea.

Beraz, argi dago egoera egonkorreko erroreak beti zero izan behar duela. Demagun

sistemak egoera egonkorra lortu duela uo kontrol-seinalearekin, eo errorea aurkeztuz.

(9.1) ekuazioa erabiliz, kontrol-seinalaren ekuazioa hurrengoa izango da:

eo ≠ 0 bada, uo ez da konstante izango. Ondorioz, ekintza integrala duen kontroladore

batek egoera egonkorreko errorerik ez du emango.

Ekintza integrala kontroladore proportzionalak duen offseta deusezten duen reset bat

bezala har daiteke. Hau hurrengo bloke-diagraman ikusten da, reseta automatikoki

egokitzen delarik (9.2 Irudia). Egokitze hori, irteerako seinalean iragazkia jarrita lortzen

den seinalea, batuketa-puntura berrelikatuz egiten da. Hau ekintza integrala erabiltzeko

lehenetako era izan da.

uo = K eo + eo

Ti

t

u(t) = Ke(t) + I


9.2 Irudia. Ekintza integrala reset automatikoa bezala erabilita

9.2 Irudian aurkeztutako diagramako ezarpena eraikitzaile askok erabili du. Kalkulu

sinple batzuen bitartez, lortu nahi den erantzuna ateratzen dela ikus daiteke. s = d/dt bada,

9.2 Irudiko diagramatik hurrengo ekuazioak idazten dira:

Eta orduan,

ondorioz, 9.2 Irudiko kontroladorea PI kontroladorea da.

9.2.3. Ekintza deribatiboa

Ekintza deribatiboaren betebeharra bigizta itxiko egonkortasuna hobetzea da. Dese-

gonkortasuna nola sortzen den adierazteko hurrengo adibidea erabiltzen da. Prozesuaren

dinamika dela eta, kontrol-aldagaiaren aldaketa bat irteeran somatzen den arte, denbora

pasako da.

Proportzionala eta deribatiboa den kontroladoreak, iragarritako irteerarekiko propor-

tzionala den kontrola bezala funtzionatuko luke. Iragartze hori errorearen kurban egin-

dako tangentearen bidez estrapolazioa eginez lortzen da, (9.3 Irudia). Iragarritako denbora

Td da.

Ti

dI

dt+ I = u = Ke + I ⇒ Ke = Ti

dI

dt

I = 11 + sTi

u

u = Ke + I

316

eK

I

u

1––––––1+sTi

9.3 Irudia. Ekintza deribatiboa. Iragartze-kontrol bezala.

Aldagai Deribatiboaren aldaketak

Bibliografian, aldagai deribatiboa hurrengo era honetan agertzen da:

Normalean r erreferentzia konstantea da eta, aldaketarik izatekotan, bat-batekoak

izango ditu. Beraz, ez du eraginik aldagai deribatiboan. Gainera dr/dt asko aldatuko da r

erreferentziako aldaketen arabera. Horregatik, normalean aldagai deribatiboa prozesuaren

irteeran besterik ez da aplikatzen. Orduan, honela geratzen da

(9.6)

Aldagai deribatiboak arazoak izango ditu maiztasun garaiko neurri-zaratak agertzen

badira. n = a sin ωωt motako zarata sinusoidal batek kontrol-seinalean duen eragina

honako hau da,

Ondorioz, kontrol-seinalearen anplitudea handia izan daiteke zaratak maiztasun nahi-

koa garaia duenean (ω). Beraz, aldagai deribatiboaren maiztasun garaiko irabazpena mu-

gatu egiten da guztia saihesteko. Hau egiteko, aldagai deribatiboak honako ezarpena izan

beharko du.

un = KTd

dn

dt= aKTd ωcosωt

D = −KTd

dy

dt

D = KTd

de

dt= KTd

dr

dt− dy

dt


Errorea

Iragarritakoerrorea

t t+Td

dee+Td–––

dt

Denbora

Irteerako Errorea

(9.7)

Hemendik, aldagai deribatiboa erabiltzeko era aldatzen da eta beste hau erabiliko da:

Aldaketa hau aldagai deribatiboari Td/N denbora-konstantea duen lehen ordenako

sistema baten bidez iragazkia jarriko balitzaio bezala uler daiteke. Ondorioz, maiztasun

txikietan bakarrik erabiliko da deribatua eta irabazpenaren muga N da. Honek maiztasun

garaiko zaraten anplifikazioa gehienez N izango dela esan nahi du.

9.2.4. Beste aurkezpen batzuk

(9.1) ekuazioan agertzen den PID algoritmoaren ordez, askotan beste hau erabiltzen

da :

(9.8)

Kontroladore hau (9.1) ekuazioan bezala jar daiteke hurrengo erlazioak kontutan hartuz:

(9.8) ekuazioko kontroladorea posible izango da Ti > 4 Td denean. Orduan,

Beraz, (9.1) ekuazioa orokorragoa da eta gehiago erabiltzen da.

T *d = Ti

21 − 1 − 4Td / Ti[ ]

T *i = Ti

21 + 1 − 4Td / Ti[ ]

K* = K

21 + 1 − 4Td / Ti[ ]

Td = T *i T *

d

T *i + T *

d

Ti = T *i + T *

d

K = K* T *i + T *

d

T *i

G( p) = K* 1 + 1

sT*i

1 + sT*

d( )

D = − sKTd

1 + sTd Ny

Td

N

dD

dt+ D = −KTd

dy

dt

318

9.3. WINDUP INTEGRALA

Kontrol-sistema baten ia ezaugarri guztiak teoria linealaren bidez uler daitezke, baina

badaude kontutan hartu behar diren ez-linealtasun batzuk ere.

Eragingailu guztiak mugatuta daude: motore baten abiadurak mugak ditu, balbula bat

zeharo irekita edo zeharo itxita egongo da gehienez, etab.

Kontrol-sistema batek operazio-baldintza zabalak baditu, kontrol-aldagaiak eragin-

gailuaren mugetan irits ditzake. Hau gertatzen denean, eragingailuak mugetan lan egingo

du eta berrelikadurako bigizta hautsi egiten da prozesuaren irteera kontutan hartu gabe.

Ekintza integralak duen erreguladorea erabiliz gero, errorearen integrazioa eginez

jarraitzen da eta, ondorioz, gai integrala gero eta handiagoa izango da, hau da, "wind-up"-a

lortzen da. Orduan, errorearen zeinuak denbora luze batez aldatu egin beharko du gauzak

egoera normalera iritsi baino lehen.

Ekintza integralak duen edozein kontroladore erabiltzen denean, eragingailuaren ase-

tasunaren aurrean, egoera iragankor zabalak lortuko dira. Prozesuaren kontrola PI baten

bidez egiten denean sor daitekeen windup ekintza 9.4 Irudian aurkezten da.

Erreferentziak hasieran jasaten duen aldaketa oso handia da eta ondorioz eragingailua

bere goreneko mugan asetzen da. Errorea positiboa denez, gai integrala gero eta han-

diagoa egiten da, eta t = 10 denean, hau da, erroreak zeroa pasatzen duenean, gehienezko

balioa hartzen du.

Irteeraren balioak asetasunean jarraitzen du aldagai integralaren balio handia dela eta,

eta ez du asetasun-muga utziko errorearen balioa denbora luzean zehar ez bada negatibo

izan, hau da, gai integralaren balioa murriztu arte.

Honen guztiaren ondorioa gaindiketa handia da, 9.4 Irudian ikusten den bezala.

Windup integrala erreferentziaren aldaketa handiagatik, perturbazioengatik edo ekipoaren

funtzionamendu txarragatik agertzen da. Selektoreen erabileraren bitartez bi kontroladore

ipintzen badira eragingailu huts batentzat ere, windup integrala ager daiteke.


9.4 Irudia. Windup integralaren grafikoa.

Windup integrala saihesteko bide asko daude eta hauen artean, 9.5 Irudian ikusten

dena oso egokia da.

Kasu honetan, kontroladoreari beste berrelikadurako bigizta bat gehiago jartzen zaio.

Horretarako, u eragingailuaren irteera eta v kontroladorearen irteera neurtu, eta bi sei-

naleen arteko diferentziarekin es errore-seinalea sortzen da. 1/Tt irabazpenaren bitartez, es

seinalea integradorearen sarrerara eramaten da.

Asetasunik ez dagoenean seinalea zero izango da eta beraz, operazio normalean ez du

eraginik izango eragingailua asetasunera iristen ez bada.

Bestalde, eragingailua asetzen denean, berrelikadurako seinalea, es errorea zerorantz

eramaten saiatuko da. Berrelikadurako seinaleak, kontroladorearen irteera saturazio-

-mugan egon dadin, integradorearen balioa eramaten saiatuko dela esan nahi du honek.

Beraz, integradorea wind-up prozesura irits ez dadin lortuko da. Kontroladorearen irteera

resetera eramateko erabiltzen den tartea 1/Tt irabazpenak emango du. Tt konstanteak

integrala nolako abiadurarako eraman behar den reset-era adierazten du. Tt konstanteari

jarraipeneko denbora-konstante deritzo.

320

1

0.1

0

1

0.5

0

–0.1

00 10 20 30 40

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Prozesuaren irteera eta erreferentzia

Kontrol-seinalea

Gai Integrala

9.5 Irudia. Anti-Windup duen kontroladorea. a) Eragingailuaren irteera neurtzen da. b)

Eragingailuaren irteera eredu matematikotik estimatzen da

Sarritan, eragingailuaren irteera ezin izaten da neurtu. Orduan, aipatu den eskema osoa

eragingailuaren eredu matematikoa sartuz ezar daiteke, 9.5 b) Irudian ikusten den bezala.

9.6 Irudian, 9.4 Irudiko sistemari anti-windup duen kontroladorea sartzen zaionean

sistema honek aurkezten duen portaera ikusten da.

Ikusten denez, integradorearen balioa azkar eramaten da reset-era kontroladorearen

irteera asetasun-mugan egon dadin eta eragingailua aserik dagoen lehenbiziko uneetan

aldagai integralaren balioa negatiboa da.

Portaera hau eta 9.4 Irudian aurkeztu dena zeharo desberdinak dira, zeren 9.4 Irudi-

koan aldagai integralak balio positiboa baitu lehen uneetan. Gainera, 9.6 Irudian sistemak

aurkezten duen portaerak hobekuntza handia jasan du 9.4 Irudian aurkezten denarekiko,

hau da, PI kontroladore arrunta erabiltzen denean.


(a)

(b)

–y

e=r–y

KTds

K

K–––Ti

1–––Tt

v Eragingailuau

es

1––s

–y

e=r–y

KTds

K

K–––Ti

1–––Tt

Eragingailuareneredua

Eragingailua

u

es

1––s

9.6 Irudia. 9.4 Irudiko Sistemari Anti-Windup duen kontroladorea aplikatuz gero lortzen denerantzuna.

Tt konstantearen aldaketak duen eragina 9.7 Irudian ikus daiteke. Badirudi Tt balioa

oso txikia denean abantailak ikusten direla integradorea azkar eramaten delako reset-era.

Dena den, ekintza deribatiboa duten kontroladoreak erabiltzen direnean kontu handiz

jokatu behar da. Denbora-konstantea oso txikia bada irteeraren asetasuna ematen duten

erroreak agertuko dira eta beraz, integradorea nahi ez den unean eramango da reset-era.

9.7 Irudia. 9.6 Irudiko Sistemaren erantzuna maila sarrera aplikatuz gero Tt konstantearenbalio desberdinekin.

322

1

0.1

0.05

1–0.4

–0.8

0

00 10 20 30 40

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40


Kontrol-seinalea

Gai Integrala

1

0.1

0

–0.1

0

0.5

Tt = 0.05

Tt = 4Tt = 3Tt = 2Tt = 1

Tt = 0.05

Tt = 4Tt = 3Tt = 2Tt = 1

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Prozesuaren irteera

erreferentzia

Kontrol-seinalea

9.2 Irudian agertzen den kontroladoreari ere 9.8 Irudiko asetasun-eredua sar diezaio-

kegu windup ekintza galarazteko. Kasu honetan, Tt = Ti hartu dela kontutan hartu behar

da.

9.8 Irudia. 9.2 Irudiko kontroladoreari nola sartzen zaion anti-windup ekintza, (ekintza

integrala reset automatiko bezala sartzen denean).

9.4. ERREFERENTZIAKO BALIOAK

9.9 Irudian, kontrol-sistema baten eskema arrunta aurkezten da.

9.9 Irudia. Berrelikadurako errorea duen berrelikadurako sistema sinplea.

Sistema honetan, errorea erreferentzia eta irteeraren arteko diferentzia da. Errore

honekin lan eginez, kontroladoreak kontrol-seinalea sortzen du eta azken hau prozesuari

sartzen zaio. Sistema honi "berrelikadurako errorea duen sistema" esaten zaio, kontrola-

doreak erroreko seinalearekin lan egiten duelako.

Ekintza deribatiboa aztertu denean, aldagai deribatiboak erreferentziarekin lanik ez

egitea, egokiena dela ikusi da. Beraz, kontrol-legea ez da zehazki berrelikadurako erro-

rean oinarritutakoa izango. Honekin lan eginez, hurrengo PID kontroladorea aterako da,

(9.9)u = K ep + 1Ti

e(s)dso

t

∫ + Td

ded

dt


e K

I

1–––––1+sTi

u

r e Erreguladorea u Prozesuay

non, aldagai proportzionaleko errorea hurrengoa den

eta deribatiboa

den, lehen aipatu den bezala. Gai integraleko erroreak benetako kontrol-errorea izan

beharko du,

egoera egonkorreko erroreak saihesteko.

b-ren balio desberdinetarako lortzen diren kontroladoreek perturbazioen eta neurkete-

tako zaraten aurrean berdin erantzungo dute. Bestalde, erreferentziako aldaketen aurrean

sistemak duen erantzuna b-ren balioarekin desberdina izango da.

9.10 Irudian PI kontroladorean b balio desberdinak erabiltzen dituen sistemaren eran-

tzuna agertzen da maila sarrera erabiltzen denean. Argi dago, b = 0 denean lortzen den

kontroladorean erreferentziako balioa zati integralean besterik ez dela erabiltzen.

9.10 Irudia. Bigizta itxiko sistemari maila sarrera aplikatzen zaionean, b parametroak

erantzunean duen eragina.

e = r − y

ed = −y

ep = br − y

324

1

2

1

0

0

0.5

0 2 4 6 8 10

100 2 4 6 8


Kontrol-seinalea

b = 1

b = 1

b = 0.7

b = 0.7

b = 0.5

b = 0.5

b = 0

b = 0

Orokorrean, kontrol-sistema batek aurkeztu behar dituen ezaugarrien artean, erantzun

iragankor egokia erreferentziako balio-aldaketan aurrean eta perturbazioen ukapena nahiz

neurtze-zaratak saihestea daude.

Baldintza hauek guztiak berrelikadurako errorea duen sistema baten bidez bete

daitezke. Horretarako sistema desberdinak erabiltzen dira, askatasun-maila bakarrekoak

edo anitzekoak. Hauen artean, azken aipatu direnek kontrol-sistema sofistikatuagoak

lortzen dituztela ere aipatu behar da.

9.5. EZARPEN DIGITALA

PID kontroladoreak teknika analogikoak erabiliz ezarri ziren hasiera batean. Lehen-

dabiziko sistemek errele pneumatikoak, balbulak etabar erabiltzen zituzten. Geroago,

errele elektrikoak, berrelikadura-zirkuituak eta anplifikadore operazionalak zituzten mo-

tore elektrikoak erabili izan dira. Anti-windup eta irteeraren deribazioa bezalako ezau-

garri asko ezarpenaren "truko" bezala gehitu dira. Gaur egun normalena, PID kontrolado-

reak mikroprozesadoreak erabiliz ezartzea da, "truko" zaharrak ere ezartzen direlarik.

Ezarpen digitala egiterakoan kontutan hartu beharreko arazo batzuk badira. Hauen artean

garrantzitsuenak laginketa, diskretizazioa eta kuantizazioa dira.

9.5.1. Laginketa

Kontrol-legea ezartzeko konputadore digitala erabiltzen denean, seinale guztiak den-

bora diskretoko une batzuetan prozesatzen dira. Operazio hauek egiteko hurrengo urra-

tsak egin behar dira:

1. Erlojuaren etetearen zain egon

2. Sarrera analogikoa irakurri

3. Kontrol-seinalea kalkulatu

4. Irteera analogikoa ipini

5. Kontroladorearen aldagai guztiak eguneratu

6. 1-era itzuli

Ondorioz, kontrol-ekintzak denbora-une zehatz batzuetan prozesuaren irteerak hartzen

dituen balioetan oinarrituta daude. Prozedura honi laginketa deritzo. Kasu normaletan


laginketa h periodoarekin egiten da. Laginketa egiterakoan ustekabeko fenomenoak

sortzen dira eta PID kontroladorearen ezarpen digital egokia egiteko kontutan hartu

beharko dira. Hau argitzeko, demagun hurrengo seinaleak ditugula,

eta,

non, ωωs = 2π/h [rad/s] laginketa-maiztasuna den. Kosinu funtzioaren legeak oso ezagunak

dira eta, ondorioz, laginketa-uneetan [kh, k = 0, 1, 2, ...] seinaleak hartzen dituen balioak

hurrengoak dira

Beraz, laginketa-uneetan s eta sa seinaleek balio berdinak dituzte. Honek bi seinaleak

bereizteko modurik ez dagoela esan nahi du, laginketa-uneetako balioak besterik ez

badira ezagutzen behintzat. sa seinalea s-ren alias dela esaten da. Hau 9.11 Irudian ikusten

da.

Aliasing efektuaren ondorioetako bat, laginketa ondoren maiztasun garaiko perturba-

zioa maiztasun txikiko seinale bezala agertu ahal izatea da. Demagun, adibidez,

laginketa-aldia = h = 18 s dela. Orduan, 50 Hz-eko perturbazioa laginketa ondoren, fa

maiztasuna duen onda sinusoidal bezala agertzen da, non

den.

9.11 Irudia. Aliasing efektuaren grafikoa

f a = 50 − 10.018

= 5.6Hz

s(kh) = cos(nkhωs ± ωkh) = cos(ωkh) = sa (ωkh)

sa (t) = cos(ωt)

s(t) = cos(nωst ± ωt)

326

0

0 2 4 6 8

9.12 Irudian maiztasun bateko alias guztiak agertzen dira.

9.12 Irudia. ωωs laginketa-maiztasuna erabiltzen denean ωω maiztasunak dituen alias-ak

9.5.2. Aurreiragazketa

Alias efektuak arazoak ekar ditzake ekintza egokiak ez badira hartzen. Kontroladore

analogikoetan, maiztasun txikiak pasatzen uzten dituen iragazkiaren bitartez desagertzen

diren maiztasun garaiak, lagindutako kontrol-sistemetako banda-zabaleran maiztasun

txikiko seinale bezala ager daitezke alias efektua dela eta. Arazo hauek saihesteko, ira-

gazki analogikoa jarriko da aurretik (laginketa-maiztasunaren erdia baino maiztasun

handiagoko seinaleak desagertzen direlarik).

Honelako iragazkiari antialiasing iragazkia deritzo. Bigarren ordenako Butterworth

iragazkia antialiasing iragazki arrunta da. Beste aplikazio kritikoetan, ordena garaiago-

koak erabiliko dira. Honelako iragazkia anplifikadore operazionalekin osatzeko, 9.13 Iru-

diko eskema erabiltzen da. Bestalde, iragazkiaren banda-zabalera hautatzeko era, adibide

baten bitartez azalduko da.

9.13 Irudia. Bigarren ordenako Butterworth iragazkiaren zirkuitu-diagrama

Demagun laginketa-maiztasunaren erdian 16 faktoreaz atenuatu nahi direla seinaleak

eta iragazkia ipintzen dela. Iragazkiaren banda-zabalera ωb bada eta laginketa-maiztasuna

ωs, orduan,

ωs / 2ωb( )2 = 16 ⇒ ωb = 18

ωs


–2ωs–ω

–2ωs+ω –ωs+ω

–ωs–ω ωs–ω

ωs+ω 2ωs+ω

2ωs–ω

2ωs–2ωs –ωs ωsω–ω

9.5.3. Diskretizazioa

Denboran zehar parametro jarraiak dituen PID kontroladorearen kontrol-legea konpu-

tadore digitalean ezartzeko, kontrol-legean agertzen diren deribatu eta integralaren hurbil-

ketak egin beharko dira. Ondoren hurbilketa hauek egiteko era desberdinak aurkezten

dira.

9.5.3.1. Ekintza proportzionala

Aldagai proportzionala honakoa da,

Aldagai hau oso erraz ezartzen da aldagai jarraien ordez lagindutakoak jarriz. Beraz,

(9.10)

non {tk} laginketa-uneak diren, hau da, konputadoreak sarrera analogikoak irakurtzen

dituen uneak.

9.5.3.2. Ekintza integrala

Ekintza integrala hurrengoa da,

eta ondorioz,

Deribatu hori diferentzia baten bitartez hurbilduz gero,

I(tk +1) − I(tk )h

= K

Ti

e(tk )

dI

dt= K

Ti

e

I(t) = K

Ti

e(s)dso

t

∫

P(tk ) = K br(tk ) − y(tk )[ ]

P = K(br − y)

328

Hemendik, hurrengo ekuazio errekurtsiboa ateratzen da gai integralarentzat,

(9.11)

9.5.3.3. Ekintza deribatiboa

Aldagai deribatiboa 9.7 ekuaziokoa da,

(9.12)

eta aldagai honen hurbilketa egiteko era asko daude.

Euler-en hurbilketa

Aldagai deribatiboaren hurbilketa honela geldituko da

eta berriro idatziz,

(9.13)

Backward hurbilketa

9.12 ekuazioko deribatua backward erabiliz honela geratzen da

eta berriro idatziz,

(9.14)D(tk ) = Td

Td + NhD(tk −1) − KTd N

Td + Nhy(tk ) − y(tk −1)[ ]

Td

N

D(tk ) − D(tk −1)

h+ D(tk ) = −KTd

y(tk ) − y(tk −1)

h

df (t)

dt=

f tk( ) − f tk −1( )h

D(tk +1) = 1 − hN

Td

D(tk ) − KN y(tk +1) − y(tk )[ ]

Td

N

D(tk +1) − D(tk )h

+ D(tk ) = −KTd

y(tk +1) − y(tk )h

df (t)

dt=

f tk +1( ) − f tk( )h

Td

N

dD

dt+ D = −KTd

dy

dt

I(tk +1) = I(tk ) + Kh

Ti

e(tk )


Tustin-en hurbilketa

Oso erabilia izaten da Tustin-ek proposatutako hurbilketa. Hurbilketa hori erabiliz,

aldagai deribatiboa honela geratuko litzateke

(9.15)

Aipatu diren hurbilketak konparatuz gero, guztiek forma berdina dutela argi dago,

(9.16)

baina ai eta bi parametroen balio desberdinak erabiliz.

(9.13) ekuazioko hurbilketak Td > Nh/2 behar du eta Td balio txikientzat desegonkor-

tu egiten da. Beste hurbilketak egonkorrak dira Td-ren balio guztientzat. Dena den, Tustin

eta Euler-en hurbilketetan, Td < Nh/2 bada, ai-ren balioa negatibo izango da eta hori ez

da komenigarria. Beraz, Td balio guztientzat erantzun egokiak lortzeko, (9.14) ekuazioko

hurbilketa erabili beharko da.

9.14 Irudian transferentzi funtzio jarraiaren eta hurbilketa guztien faseko kurbak

aurkezten dira. Irudian ikusten denez, funtzio jarraiekin konparatuz gero, erantzunik

egokiena Tustin-en hurbilketak ematen du, backward hurbilketak fasea gutxiago aurrera-

tzen du eta Euler-en hurbilketak berriz, gehiago.

9.14 Irudia. sTd/(1+sTd/N) gai deribatiboaren diskretizazio desberdinekin lortutako faseko

kurbak, non Td=1, N=10 eta laginketa-aldia = 0.02 diren.

D(tk ) = aiD(tk −1) + bi y(tk ) − y(tk −1)[ ]

D(tk ) = 2Td − hN

2Td + NhD(tk −1) − 2KNTd

2Td + hNy(tk ) − y(tk −1)[ ]

df (t)

dt= 2

h

f tk( ) − f tk −1( )f tk( ) + f tk −1( )

330

0

20

40

60

80

–2 –1 0 1 2

EulerFuntzio jarraia

TustinBackward

Td balio txikietan agertzen diren desegonkortze-arazoak direla eta, Euler-en hurbil-

keta gutxitan erabiltzen da. Tustin-ena sarritan erabiltzen da ia bat datorrelako kasu

jarraiarekin. Backward berriz, Td txikientzat portaera ona duen algoritmoa behar denean

erabiltzen da.

9.5.3.4. Era inkrementala

Deskribatutako algoritmoak posiziokoak dira, erreguladorearen irteera zuzenean

ematen dutelako, baina ezarpen digitaletan, algoritmoen era inkrementalak ere erabiltzen

dira. Hauek lortzeko, erreguladorearen irteerako denbora-diferentziak kalkulatu eta gehi-

kuntzak gehitzen zaizkio.

Aldagai proportzionalaren eta integralaren gehikuntzak (9.10) eta (9.11) ekuazioetatik

erraz ateratzen dira.

Ikusi den bezala aldagai deribatiboaren hurbilketa era askotan egin daiteke. Ondorioz,

(9.16) ekuazioa erabiliko da nolabait aldagai deribatiboaren gehikuntza kalkulatzeko.

Algoritmo inkrementalaren erabileraren abantailetako bat, kalkulu guztiak gehikun-

tzak erabiliz egitea da. Beraz, hitz-luzera txikiko kalkuluak erabil daitezke gehikuntzak

gehitzen direnean, hau da, zehaztasuna azken urratsetan bakarrik behar denean.

Beste abantaila bat, erreguladorearen irteera integradoretik zuzenean ateratzen dela

da. Horregatik, windup eta eskuzko kontrola oso erraz erabiltzen dira. Baina algoritmo

hau, P edo PD kontroladoreekin ezin da erabili (egoera egonkorreko balio egokia manten-

tzen ez duelako). Beraz, ekintza integrala erabiltzen ez denean, algoritmoari aldaketaren

bat sartu behar zaio.

∆D(tk ) = D(tk ) − D(tk −1) = bi

1 − ai

y(tk ) − 2y(tk −1) + y(tk −2 )[ ]

∆I(tk ) = I(tk ) − I(tk −1) = Kh

Ti

e(tk −1)

∆P(tk ) = P(tk ) − P(tk −1) = K br(tk ) − y(tk ) − br(tk −1) + y(tk −1)[ ]

∆u(tk ) = u(tk ) − u(tk −1) = ∆P(tk ) + ∆I(tk ) + ∆D(tk )


9.5.3.5. Kuantizazioa eta hitzen luzera

Konputadore digital batek kalkuluak egiterakoan zehaztasun finitua besterik ez du

onartzen. Batzuetan, zaila gertatzen da aldagai integrala konputadoreetan ezartzea, hauek

hitzen luzera txikia dutenean. Hamartarrak kentzen direnean offset bat sortzen da,

integrazio-offseta.

Guztia ulertzeko 9.11 ekuazioa aztertzea besterik ez dago. Normalean,

aldagaia txikia izaten da I(tk) gaiarekin konparatuta eta konputadorearen hitz-luzera

nahikoa ez bada, hamartarrak kentzeko operazioan desagertu egingo da eta integrazio-

-offseta agertuko da.

Lan egiterakoan erabiltzen diren magnitudeak aztertzeko, suposa dezagun seinale

guztiak normalizatu egin direla eta berauen gehienezko balioa bat dela. (9.11) ekuazioko

aldagaiaren gehienezko balioa izango da orduan.

Demagun gainera laginketa-aldia, h = 0.02 s. dela, integrazio-denbora 20 min = 1200

s. dela eta K irabazpena K = 0.1 dela. Orduan,

Hamartarrak kentzerakoan aldagai hori desager ez dadin, konputadorearen zehaz-

tasunak 20 bit-ekoa izan behar du gutxienez.

Gainera, baliagarriak izango diren zenbakiak lortzeko bit gehiago beharko dira.

Egoera hau oso garrantzitsua da urratsez urratseko motoreen kasuan, batez ere irteera

inkrementalak erabiltzen direnean.

Hemen, truko bereziak erabiliko dira hamartarrak borobiltzerakoan. Era errazagoe-

netako bat, gai integralarentzat laginketa-aldi luzeagoak finkatzea da. Adibidez, aurreko

kalkuluetan h = 1s erabili izan balitz h = 0.02s ordez, 14 bit-eko zehaztasuna nahikoa zen.

Kh

Ti

= 1.7 ⋅10−6 = 2−19.2

Kh

Ti

Kh

Ti

* e

Kh

Ti

* e

332

9.5.3.6. Konputadore-kodea

Adibide bezala PID algoritmo baten simulazioko konputadore-kodea aurkezten da.

"Erreguladorearen koefizienteak kalkulatu"

bi = K * h / Ti "Irabazpen integrala"

ad = (2 * Td – N * h) / (2 * Td + N * h)

bd = 2 * K * N * Td / (2 * Td + N * h) "Irabazpen deribatiboa"

a0= h / Tt

"Kontrol-algoritmoa"

r = adin (ch 1) "1. kanaletik erreferentzia irakurri"

y = adin (ch 2) "2. kanaletik prozesu-aldagaia irakurri"

P = K * (b * r – y) "zati proportzionalaren kalkulua"

D = ad * D – bd * (y – yold) "zati deribatiboa egunean jarri"

v = P + I + D "irteeraren balioa kalkulatu"

u = sat (v, ulow, uhigh) "eragingailuaren asetasuna simulatu"

daout (ch 1) "irteera analogikoa 1. kanalera bidali"

I = I + bi * (r – y) + a0 * (u – v) "zati integrala egunean jarri"

yold = y "prozesu-irteera egunean jarri"

Koefizienteen kalkulua kontroladorearen parametroak aldatzen direnean besterik ez da

egin behar. ad, a0, bd eta bi parametroen aurrekalkuluak bigizta nagusian behar den

denbora aurrezten du.

Programa nagusiari laginketa-aldi bakoitzean behin deitzen zaio. Programa honek hiru

egoerako aldagaiak ditu: yold, I eta D. Horietako bat ken daiteke, baina programaren

irakurketa zailagoa gertatuko da. Kode honetan, deribatua prozesu-irteeran bakarrik

agertzen da, ekintza proportzionala errorearen zati batean bakarrik (b ≠ = 1) eta, gainera,

anti-windup ekintza ezarri da.


9.6. NOIZ ERABIL DAITEKE PID KONTROLA?

Kontrol-sistemari eskatutako betebeharrak asko izan daitezke eta hauen artean,

erreferentziako seinaleen jarraipena, neurketetako zaraten eta prozesu-aldaketen aurrean

insentsibilitatea aurkeztea eta perturbazioen ukapena daude. Gainera, kontrol-sistema

diseinatzerakoan, prozesuaren dinamikari lotuta dauden hainbat ezaugarri, eragingai-

luaren asetasuna eta perturbazioen ezaugarriak ere kontutan hartu beharrekoak dira.

Beraz, gezurra dirudi PID kontroladorea bezain sinplea den kontroladore batek hain

ongi lan egingo duela esateak. Normalean, eta somaketa enpirikoen ondorio bezala,

prozesu industrial gehienak PID kontroladore bidez nahikoa ongi kontrolatzen direla esan

behar da, portaerako espezifikazioak ere oso goi-mailakoak ez direlako.

Ondoren kasu batzuk aztertuko dira PID kontroladorearen baliagarritasuna agertzeko

eta kontrol sofistikatuagoa behar duten beste kasu batzuk ere aurkeztuko dira.

9.6.1. Noiz da nahikoa PI kontrola?

Sarritan ekintza deribatiboa ez da kontutan hartzen. Kontroladore industrial askotan PI

ekintza bakarrik sartzea eta beste batzuetan, kontrol-bigizta askotan ekintza deribatiboa

itzal daitekeela ikustea oso interesgarria da.

PI kontrolak lehen ordenako dinamika aurkezten duten prozesuetan portaera ona duela

frogatzea nahikoa erraza da. Gainera, kasu hau ematen den ala ez aztertzea ere ez da zaila.

Maila sarrera baten aurrean sistemak duen erantzuna lehen ordenako sistemak aur-

kezten duena bada edo Nyquist-en kurba lehendabiziko eta laugarren kuadrantean ba-

dago, orduan PI kontrola nahikoa da.

9.6.2. Noiz da nahikoa PID kontrola?

PID kontrola nahikoa izango da prozesuaren dinamika dominantea bigarren orde-

nakoa denean, baina zailagoa da ikusten. Posibilitate bat, erantzun frekuentziala neurtzea

da. Erantzuna monotonoa bada eta 180°-ko faseko atzerapenarekin, orduan sistema

bigarren ordenakoa da.

334

Ekintza deribatiboak erantzuna hobetzen duela ikusteko kasu tipiko bat, prozesuaren

dinamikan denbora-konstante desberdinak agertzen direnekoa da. Orduan, ekintza deri-

batiboa erantzuna azkarragotzeko erabil daiteke; adibidez, tenperaturaren kontrolean.

Gainera, ekintza deribatiboa egokia da ordena garaiagoko sistemen kontrol zehatza

lortu nahi denean. Ordena garaiena duen dinamikak kontrol egokia lortzeko behar den

irabazpen proportzionala mugatuko du. Ekintza deribatiboarekin, moteltze-faktorea

gehitu egiten da eta, ondorioz, irabazpen proportzional handiagoa erabil daiteke egoera

iragankorreko erantzun azkarragoa lortzeko.

9.6.3. Noiz behar da kontrol sofistikatuagoa?

Atzerapen-denbora dominantea aurkezten duten sistemen kontrola oso zaila gertatzen

da. Gainera, kasu hauetan PID kontroladorea baliagarria den edo ez ere askotan aztertu

da. Badirudi nahikoa ados daudela teoria guztiak ekintza deribatiboak ez duela gehiegi

laguntzen kasu hauetan.

Bigizta irekian egonkorrak diren sistementzat, atzerapen-denborako konpentsazioak

erreferentziako jarraipena asko hobetzen duela ikusi da. Gainera, perturbazioen ukapena

ere hobetzen da maila batean behintzat, konpentsadore hauek erabiltzen duten irabazpena

PID kontroladoreena baino handiagoa delako. Beraz, atzerapen-denborak dituzten siste-

mek kontrol sofistikatuagoa beharko dute.

Bestalde, inertziak agertzen direnean sortzen diren oszilazio-moduak aurkezten dituz-

ten sistemak kontrolatzeko ere PID kontroladoreak ez dira nahikoak izaten. Parametroak

oso aldakorrak dituzten sistemen kasuan ere ezingo da PID kontrola erabili.

Gainera, kontroladorea hautatzerakoan perturbazioen ezaugarriak ere kontutan hartzen

dituzten sistema batzuk ere badira. PID kontroladorea oso sinplea denez gero, ezin da

perturbaziorik ereduztatu eta aipatutako kasu hauetan ere, ez da erabiliko.


9.7. PID KONTROLADOREEN DISEINUA. ZIEGLER-NICHOLS--en METODOAK

Atal honetan, PID kontroladorearen parametroak kalkulatzeko metodo batzuk azal-

duko dira. Diseinu-metodo hauen ezaugarriak laugarren ordenako prozesu baten eredua

erabiliz ikusiko dira.

Metodo hauek desberdinak dira behar duten prozesuaren ezagueraren arabera. PI

kontroladorea bi parametrorekin deskribatzen da (Td eta Ti) eta PID kontroladorea hiru

edo laurekin (K, Ti, Td eta N).

Ziegler-Nichols-en metodo klasikoan, prozesuaren dinamika bi parametrorekin aur-

kezten da eta maila sarrerarekin lortzen den erantzunaren-metodoan, erantzun horretatik

ateratzen dira. Erantzun frekuentzialeko metodoan berriz, parametroak, bigizta irekiko

prozesuak 180°-ko fasea igarotzen duen puntuko maiztasuna eta maiztasun horretan duen

irabazpena dira.

Metodo hauek zabalduz, lau parametroko metodoak lortzen dira. Eredu diskretuentzat

eta denbora-atzerapenak dituzten ereduentzat, badaude beste metodo batzuk. Dena den,

metodo hauek ez dira hemen aztertuko. Atal hau Ziegler-Nichols metodoaren ezagupe-

nera bideratuko da.

Ziegler eta Nichols-ek 1942. urtean bi metodo klasiko aurkeztu zituzten. Gaur egun,

oraindik oso erabiliak dira bere jatorrizko eran edota zerbait aldatuta.

9.7.1. Maila sarreraren aurrean lortutako erantzunaren metodoa.

Ziegler eta Nichols-ek aurkeztu zuten lehendabiziko metodoa, maila sarrera baten

aurrean eta bigizta irekian lan eginez sistemak duen erantzunean oinarritzen da eta bi

parametroren bitartez aurkezten da (9.15 Irudia).

336

9.15 Irudia. Maila sarrera jarritakoan lortzen den erantzunaren metodoan oinarritutako

erantzunaren aurkezpena.

Lehendabizi, erantzunaren malda handiena den puntua kalkulatzen da eta orduan

ukitzailea egiten da puntu horretan. Ukitzaile honen bitartez, R eta L parametroak ate-

ratzen dira. Ziegler eta Nichols-ek PID kontroladorearen parametroak, R eta L parame-

troen funtzio bezala ematen dituzte, 9.1 Taula. Gainera, taula horretan Tp bigizta itxiko

dinamika dominantearen aldia ere aurki daiteke.

9.1 Taula. Ziegler-Nichols metodoaren arabera PID kontroladoreentzat egokiak diren

parametroen balioak.

Kontroladorea K Ti Td Tp

P 1/RL 4L

PI 0.9/RL 3L 5.7L

PID 1.2/RL 2L L/2 3.4L

Demagun orduan, Ziegler-Nichols-en metodoa hurrengo laugarren ordenako proze-

suari aplikatzen zaiola,

(9.17)

beste kasuetan ere, eredu hau erabiliko da adibide bezala.

Maila-sarrera sartutakoan lortzen den erantzunean egindako neurketen arabera,

R=0.6875 eta L=0.16. Orduan, 9.1 Taula erabiliz, kontroladorearen parametroak kal-

kulatzen dira. PI kontroladorearen kasuan, K=8.2 eta Ti=0.48. PID kontroladorearentzat,

K=10.9, Ti=0.32 eta Td=0.08.

Gp(s) = 1(1 + s)(1 + 0.2s)(1 + 0.05s)(1 + 0.01s)


y (t)

L

α

Malda, R = tgα

t

9.16 Irudian, maila sarrera eta perturbazioa sartzen zaizkionean, bigizta itxian sis-

temak duen portaera aurkezten da.

Argi dago PI kontroladorearen erantzuna ez dagoela oso moteldua eta PID kontrola-

dorearena hobea dela. Dena den, erreferentziako seinalearekiko lortzen den gehienezko

gaindiketa handiegia da PID kasuan ere.

9.7.2. Ziegler-Nichols-en erantzun frekuentzialaren metodoa

Metodo hau ere prozesuaren ezaugarrien ezagupen oso sinplean oinarritzen da. Disei-

nua, G prozesuaren transferentzi funtzioari dagokion Nyquisten kurbak ardatz erreal

negatiboa gurutzatzen duen puntuaren ezagupenean oinarrituta dago.

Arrazoi historikoak direla eta, puntu hori Kc eta tc parametroen bitartez aurkezten da,

(azkeneko irabazpena eta azkeneko aldia). Ziegler-Nichols diseinuaren metodoak kontro-

ladorearen parametroak kalkulatzeko oso formula errazak erabiltzen ditu, Kc eta tc para-

metroen arabera (9.2 Taula). Gainera Tp, bigizta itxiko dinamika dominantearen aldia ere

agertzen da taula horretan.

9.16 Irudia. Maila sarrera eta perturbazioa agertzen direnean 9.17 ekuazioko sistemak duen

erantzuna. Ziegler-Nichols-en metodoaren bitartez kalkulatutako parametroak,

- PI kontroladorearekin

- PID kontroladorearekin

338

1.5

1

0.5

0

10

5

0

–5

0 2 4 6 8

0 2 4 6 8


Kontrol-seinalea

9.2 Taula. PID kontroladorearen parametro egokien balioak Ziegler-Nichols-en erantzun

frekuentzialaren metodoan oinarrituta.

Kontroladorea K Ti Td Tp

P 0.5 Kc tcPI 0.4 Kc 0.8 tc 1.4 tc

PID 0.6 Kc 0.5 tc 0.12 tc 0.85 tc

Adibide bezala 9.17 ekuazioko eredua hartuz gero, Kc ≈ 25 eta tc ≈ 0.63 dela kalku-

latzen da. 9.2 Taulari jarraituz, K = 10 eta Ti = 0.5 lortzen dira PI kontroladorearentzat

eta K = 15, Ti = 0.31, Td = 0.08 PID kontroladorearentzat.

9.17 Irudian, kontroladore hauek erabiliz eta maila sarrera nahiz perturbazioa aplika-

tzen direnean, 9.17 ekuazioko prozesuak duen erantzuna ikusten da.

Erantzun frekuentzialean oinarritutako metodoarekin lortzen diren parametroak eta

portaera, denboran zehar aurkeztutako erantzunaren metodoarekin lortzen direnen antze-

koak dira.

9.17 Irudia. 9.17 ekuazioko prozesuari maila sarrera eta perturbazioa aplikatzen zaizkionean

lortzen den erantzuna. Ziegler-Nichols-en erantzun frekuentzialaren metodoarekin lortutako

PI kontroladorea (marra finak) nahiz PID kontroladorea erabiliz (marra lodiak).


1.5

1

0.5

0

10

0

0 2 4 6 8

0 2 4 6 8


Kontrol-seinalea

9.7.3. Ziegler-Nichols-en metodoen arteko erlazioak

Aipatu diren bi metodoen arteko erlazioak ikusteko, atzerapena duen integradore

baten kontrola egin nahi dela suposatuko da.

Maila sarrera sartutakoan duen erantzunean parametroak neurtzen direnean, L = T eta

R = b lortu dira. Beraz, denboran zehar sistemak duen erantzunean oinarritutako metodoa

erabiliz, PID kontroladorearen parametroak hurrengoak izango lirateke,

Bestalde, erantzun maiztasunala aztertuz lortzen diren parametroak, tc = 4T eta

Kc = π/2bT dira. Ondorioz, PID kontroladorearen parametroak erantzun frekuentzialean

oinarritutako legeei jarraituz, hurrengoak dira.

9.8. ONDORIOAK

PID algoritmoaren azterketa aurkeztu da. Gainera, baliagarria den kontroladorea lor-

tzeko bibliografiako formuletan aldaketa egin behar dela ere ikusi da.

Bestalde, windup integrala eta erreferentziako balioen sarrerak dituzten arazoak aur-

kezten dira. PID kontroladoreak konputadoreetan ezartzeko egin behar diren operazioak

eta laginketari lotutako arazoak ere ikusi dira. Bestalde, PID algoritmoak erabiltzeko

dauden mugak ere aztertu dira.

Azkenik, PID kontroladoreak diseinatzeko dauden metodorik ezagunenak eta erabi-

lienak aurkeztu dira; guztiek kontrolatu nahi den prozesuaren eredu egokia behar dute.

PID kontroladoreak diseinatzeko beste algoritmo desberdinak badaude, beharbada

zehatzagoak ere bai, baina ez dira liburu honen helburuen barne geratzen.

K = 0.6π2bT

= 0.94bT

Ti = 2T Td = T

2

K = 1.2

bTTi = 2T Td = T

2

G(s) = b

se−sT

340

9.9. BIBLIOGRAFIA

• Aström K.J., Hägglund T., 1988, "Automatic tunning of PID Controllers", Instrument

Society of America, Estatu Batuak.

• Aström K.J., Wittenmark B., 1984, "Computer Controlled Systems", Prentice-Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey.

• Franklin G.F., Powell J.D., Emami-Naeimi A., 1991, "Control de sistemas dinámicos

con retroalimentación", Addison-Wesley Iberoamericana S.A., Estatu Batuak.

9.10. ARIKETAK

9.1. Maila unitarioa aplikatzen denean paper-makina batek duen erantzuna A9.1 Irudikoa

da. P, PI, eta PID kontroladoreen parametroak kalkulatu Ziegler-Nichols-en metodoa

erabiliz.

A9.1 Irudia.

9.2. Bero-transmisiorako sistema baten transferentzi funtzioa hurrengoa da:

Ziegler-Nichols-en metodoa erabiliz, behar den PID kontroladorearen parametroak

egokitu eta lortzen den sistemaren erantzunaren diagrama egin.

G(s) = e−5s

(10s +1)(60s +1)


y (t)

0.25

0.1 0.5 t

9.3. A9.2 Irudiko bloke-diagramak gela handi baten tenperatura kontrolatzeko sistema

aurkezten du.

a) Ziegler-Nichols-en erregelak aplikatuz PI kontroladorea diseinatu.

b) Perturbazioa maila unitarioa denean, konpentsatu gabeko sistemaren eta PI

kontroladore bidez konpentsatutako sistemaren egoera egonkorreko erantzunak

aztertu.

A9.2 Irudia.

9.4. 9.3 ariketa errepikatu baina 10 dB-ko anplitude-tartea lortu nahi denean konpentsa-

tutako sistemarentzat.

9.5. A9.3 Irudian, itsasuntzi bat kontrolatzeko sistema agertzen da. Kontrol-tentsioa po-

tentzia txikiko seinalea denez gero, anplifikadorea behar da untziaren kokaera kon-

trolatzen duen engranajeari seinalea bidali aurretik. Untziaren portaera, bigarren

ordenako sistema bezala ereduztatu da. Sistema honentzat PD kontroladorea disei-

natu eta lortzen den egoera egonkorreko portaera aurkeztu.

A9.3 Irudia.

342

GELAPerturbazioa, Rd (s) 6

–––––10s+1

R (s)

Kontroladorea

D (s)M (s) 10

–––––10s+1

C (s)

°C

Sentsorea0.05

R (s)Kontroladorea

PID

1Sentsorea

K–––––––s(τss+1)

UntziarenDinamika

C (s)

UntziarenNorabidea

9.6. Suposa dezagun giltzadura bakarreko errobot-besoaren bloke-diagrama A9.4 Iru-

dikoa dela. Ea(s) serbomotorearen sarrerako tentsioa da, θm(s) motoreak ematen

duen angelua eta θa(s) besoaren angelua da. Serbomotorearen transferentzi funtzioan

besoaren nahiz engranajearen inertziak kontutan hartu dira. Sistema hau kon-

trolatuko duen PID kontroladorea diseinatu.

A9.4 Irudia.

9.7. 9.6 ariketa errepikatu konpentsatutako sistemarentzat 60°-ko fase-tartea lortu nahi

denean.


θc θm θaD (s)Ea 180K

––––––––s(0.4s+1)

1–––100

0.07Sentsorea

Kontroladorea Serbomotorea Engranajea

A.1. Laplace-ren transformazioen ezaugarriak

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 L f (t − a)1(t − a)[ ] = e-asF(s)

L e-at f (t)[ ] = F(s + a)

L ± ...∫ f (t)(dt)n∫[ ] = F(s)

sn+ 1

sn−k +1k =1

n

∑ ...∫ f (t)(dt)k∫[ ]t =0±

L ± f (t)dtdt∫∫[ ] = F(s)

s2+

f (t)dt∫[ ]t =0±

s2+

f (t)dtdt∫∫[ ]t =0±

s

L ± f (t)dt∫[ ] = F(s)

s+

f (t)dt∫[ ]t =0±

s

L ± dn

dtnf (t)

= snF(s) − sn-k

k =1

n

∑ f(k −1)

(0±) non f(k −1)

(t) = dk −1

dtk −1f (t)

L ± d 2

dt2f (t)

= s2F(s) − sf (0±) − f (0±)

L ± d

dtf (t)

= sF(s) − f (0±)

L f1(t) ± f 2 (t)[ ] = F1(s) ± F2 (s)

L Af (t)[ ] = AF(s)


ERANSKINA

11

12

13

L ft

a

= aF(as)

L

1

tf (t)

= F(s)dss

∞

∫

L tf (t)[ ] = − dF(s)

ds

346

A.2. Laplace-ren transformazioak

f (t) F (s)

1 inpultsu unitarioa δ (t) 1

2 maila unitarioa l (t)

3 t

4 e–at

5 te–at

6 sin ωt

7 cos ωt

8 tn (n = 1, 2, 3, ...)

9 tn e–at (n = 1, 2, 3, ...)

10

11s

(s + a)(s + b)

1

b − abe-bt − ae−at( )

1

(s + a)(s + b)

1

b − ae−at − e−bt( )

n!

(s + a)n+1

n!

sn+1

s

s2 +ω2

ωs2 +ω2

1

(s + a)2

1

s + a

1

s2

1

s


12

13 e–at sin ωt

14 e–at cos ωt

15

16

17

18

φ = tan−1 1 − ξ 2

ξ

ωn2

s s2 + 2ξωns + ωn2( )

1 − 1

1 − ξ 2e−ξωnt sin ωn 1 − ξ 2 t + φ( )

φ = tan−1 1 − ξ 2

ξ

s

s2 + 2ξωns + ωn2

−1

1 − ξ 2e−ξωnt sin ωn 1 − ξ 2 t − φ( )

ωn2

s2 + 2ξωns + ωn2

ωn

1 − ξ 2e−ξωnt sinωn 1 − ξ 2 t

1

s2(s + a)

1

a2at − 1+ e−at( )

s + a

s + a( )2 + ω2

ωs + a( )2 + ω2

1

s(s + a)(s + b)1

ab1+ 1

a − bbe−at − ae−bt( )

348

Abiadurako berrelikadura, 5

Abiadurako errore-konstantea, 153, 156

Aldagai anitzeko sistemak, 7-8, 107, 116-117

Aldagai anitzeko sistemak (MIMO), 7

Alias efektua, 327

Angeluaren irizpidea, 268

Asetasun, 11, 47, 285-286, 311, 319-323, 333-334

Atzerapen-denbora, transferentzi funtzioa, 11, 87, 90, 125, 130, 134, 137, 144-145,

150-151, 157-159, 161-166, 170, 173, 178, 190, 195, 200-202, 210, 212-218,

221-223, 232-233, 236, 240, 242, 245-247, 249-251, 254, 256-257, 260-61,

263, 269, 271, 275-276, 278-279, 281-282, 284-285, 287, 289-291, 293-294,

297-299, 302-304, 306-309

Atzerapen-sareak, 265, 278, 285-286

Aurreiragazketa, 327

Aurreratze-sareak, 287-288, 292, 295-297

Aurreratze/atzeratze konpentsazio-sareak, 286-287

Azelerazioko errore-konstantea, 154, 156, 158-159

Azken balioaren teorema, 76, 150, 240

Azpimoteldutako sistema, 95

Banda-zabalera, 12, 208, 251, 258-59, 285-86, 296-297, 304-305, 311, 327

Berrelikadurako kontrola, 1, 3-5, 7, 8, 11, 301

Bigarren ordenako ekuazio diferentzialak, 24, 35, 67, 90

Bigizta irekiko sistema, 2, 163, 179, 191, 193, 221, 225, 229, 281, 308

Bigizta itxiko kontrola, definizioa, 1, 3-4, 194

Bigizta itxiko portaera, 193

Nichols-en diagrama, 163, 172, 173, 193, 204-205

Bloke-diagramen aurkezpena107, 116-117, 119, 216, 218, 271, 305, 309

algebra, 108, 110, 117

bigizta itxiko kontrol-sistema, 1, 3-4, 194


KONTZEPTU NAGUSIEN AURKIBIDEA

Bode-ren diagrama, 145, 163, 172, 182-183, 187-188, 190-193, 202-205, 209, 213, 215,

218-219, 259, 263, 272, 277, 282-283, 285-286, 288, 294, 307

hurbilketa asintotikoa, 185-188, 190-192, 209

bigarren ordenako gaia, 175, 177, 187-188, 193

fasearen tartea, 204-205, 218-219, 251, 258-259, 269, 271, 282, 285, 294, 296

diferentziazio-gaia, 174

integrazio-gaia, 184

k irabazpena, 184

irabazpen-tartea, 215, 218

lehen ordenako atzerapen-gaia, 174, 185

lehen ordenako aurreratze-gaia, 175, 187

Butterworth iragazkia, 327

Dezibelio, 183-185, 187, 193, 205

Diagrama polarra, 163, 171-177, 194, 200-201, 204, 208

Diskretizazioa, 327-328, 330

Egoera iragankorreko erantzuna, 11, 125, 134, 238, 242

Egonkortasun absolutua, Routh-en metodoa, 144-145, 147-149, 181, 193

Egonkortasun baldintzatua, 200-201, 285

Egonkortsun erlatiboa, 144, 162, 183, 193, 204, 251, 255, 259

Ekintza deribatiboa, 311-312, 316-317, 322-323, 329, 334-335

Ekintza integrala, 311, 315-316, 319, 323, 328, 331

Ekintza proportzionala, 313, 328, 333

Ekuazio algebraikoak, ezaugarriak, 78

Ekuazio diferentzial linealen erantzuna metodo klasikoa erabiliz, 68

Ekuazio karakteristikoa, 68, 118-119, 194, 221-222, 232, 238, 306

Ekuazio laguntzailea, 148-149

Elkarrekintza, 7-8, 28, 107, 110

Eragingailua, 2-5, 7, 9, 13-14, 19, 23, 27, 46, 50, 52-54, 311, 319-321, 330, 334

Ereduztapen matematikoa, 13, 19, 27, 31

Erreferentziako balioak, 313, 323-325, 340

Erreguladorea, 6-7, 11-12, 14, 17, 250, 319, 331, 333

Erresonantziako maiztasuna, 176-177, 188, 207

Erroen kokaerako metodoa, 221-224, 240, 256, 264-265, 277-278, 288

angeluaren irizpidea, 225

definizioa, 224

egiteko erregelak, 234

350

Errore-detektorea, 3-4, 9, 11, 248

Errore-konstanteen taula, 155

Fase minimoa ez duten sistemak, 182, 189, 212

Fasearen tartea, 204-205, 218-219, 252, 258-259, 269, 271, 282, 285, 294, 296

Bode-ren diagrama, 182-183, 187-188, 190-193, 202-205, 209, 213, 215, 218-219,

259, 263, 272, 277, 282-283, 285-286, 288, 294, 307

Nichols-en diagrama, 172-173, 193, 205

Nyquist-en diagrama, 171, 173-175, 177-179, 181-182, 194, 199-202, 204, 216-217

Fluxu-diagrama, 118

Frakzio partzialen zatiketa, 82, 98

ekuazioen koefizienteak, 83

hondarra, 81-84

Funtzio osagarria, 68-69, 71

Gainmoteldutako sistema, 92

Gehienezko gaindiketaren portzentaia, 207

Gehienezko anplitudea, 163-165, 168-169, 172, 175-176, 189, 203, 207, 209

Hamarkada, 183-185, 187, 190-191, 209-211, 213, 259, 282, 284, 295-296

Hasierako balioaren teorema, 76

Hauste-maiztasuna, 185, 187-188, 190-191, 209, 213, 263, 271, 276, 282

Hazte-denbora, 207, 264

Hurbilketa asintotikoa, 185-188, 190-192, 209

Integral partikularra, 68, 71

Inpultsu funtzioa, 76

Irabazpen-tartea, 215, 218

Bode-ren diagrama, 163, 182-183, 187-188, 190-193, 202-205, 209, 213, 215,

218-219, 259, 263, 272, 277, 282-283, 285-286, 288, 294, 307

Nichols-en diagrama, 172-173, 193, 205

Nyquist-en diagrama, 171, 173-175, 177-179, 181-182, 194, 199-202, 204, 216-217

Kirchhoff-en korronte eta tentsioaren legeak, 33-34, 105

Kontroladorearen irabazpena, 150

Kuantizazioa, 325, 332

Laginketa, 325-326

Laginketa-maiztasuna, 326-327

Laginketa-aldia, 326, 330, 332-333


Laplace-ren transformazioa, 15, 67, 70, 72-73, 77, 82, 87-88, 98-99, 105-106, 126-127,

130, 153, 164

alderantzizkoa, 91-93, 97, 106, 126, 128, 139, 165, 240

arrapala funtzioa, 76

definizioa, 107, 118

diferentziazioa, 73, 174

ekuazioa diferentzial linealen ebazpena, 87

funtzio esponentziala, 77, 223

funtzio sinusoidala, 77

gainezarpena, 73

inpultso funtzioa, 76, 87-88

integrazioa, 74, 173, 223

linealitatea, 73

maila funtzioa, 76

Laplace-ren transformazioen taula, 135

Linealizazioa, 14, 35, 49, 55-57, 67, 298

Maiztasun naturala, 25, 27, 90, 94, 130, 143, 167, 175, 177, 210, 224, 264, 282, 290

Maiztasunaren arloa, 10, 207, 252, 256, 258-59, 296

Masa, energia eta momentuaren kontserbazioa, 43

Mason-en erregela, 118

Moteldutako maiztasuna, 94, 177

Moteltze-faktorea, 25, 27, 90, 93, 130, 141-143, 171, 175-177, 187, 207, 210, 213, 224,

247, 249, 264, 272, 288, 304, 308, 335

Newton-en legeak, 23, 29, 30, 105

Nyquist-en alderantzizko diagrama, 208

Perturbazioak, 41, 47, 50, 54, 57-58, 63, 137, 143-144, 150, 156, 218, 247, 300-302, 314,

319, 324-326, 334-335, 338-339, 342

egoera egonkorreko errorea, 125, 128, 148, 150-156, 158, 161-162, 218, 240, 247,

259, 265, 270, 290, 304-305, 314-315, 324

Polinomioak, 77, 79-82, 119, 145-147, 193, 212, 221-222

bakoitiak, 79

bikoitiak, 79

erroak, 77, 80, 146

Polo eta zeroak, 222

Poloak, 119, 134-135, 144, 163, 169, 171, 181, 195-197, 199-201, 222-227, 229-233,

236, 238, 240, 242, 245-246, 256-258, 262, 264-269, 272, 275, 277-282, 286,

288-292, 296-299, 309

352

Portaerako zehaztasunak, 207

banda-zabalera, 208

bigarren ordenako sistemak, 171, 176, 188, 207

gehienezko gaindiketa, 207

hazte-denbora, 207

maiztasun naturala, 167, 175, 177, 210

egonkortasuna, 163, 168-169, 172, 181, 183, 192-195, 197, 199-201, 203-204, 208,

216-217

Posizioko errore-konstantea, 152, 156

Routh-en metodoa, 144-145, 147-149, 157-158

zeroa lehen zutabean, 148

zeroz betetako lerroa, 148

Sarrera eta irteera bakarreko sistemak (SISO), 7, 108

Serbomekanismoa, 6-7, 11-12, 14, 17, 248

Sistema elektrikoak, 31-32, 35, 90, 105

Sistema kimikoak, 43, 46, 56

Sistema mekanikoak, 20, 28, 33, 46, 60, 90, 92, 100, 105, 160, 261

Sistema oszilakorrak, 131, 137, 176, 193

Sistemen sailkapena, 150-151

heina, 151-152

ordena, 151-152

tipoa, 151-152

Trailer baten esekidura-sistemaren eredua, 28

Windup integrala, 319-320, 340

Zeroak, 68. 73-74, 81-83, 85, 87-88, 90, 94, 101-102, 105-106, 118-119, 128, 131,

134-135, 137, 144, 146, 148-149, 151-154, 156, 158, 162, 169, 170-171,

174-175, 182, 222-227, 229-233, 235, 245, 256-258, 262, 265, 268-269, 271,

277-279, 281-282, 286, 288, 292, 297-299, 314-315, 319-320

Ziegler-Nichols-en metodoa, 336-338, 340-341

Zirkuluaren teorema, 194-195, 199


Erregulazio-automatikoa

Documents

Transcript of Erregulazio-automatikoa