Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III INTRODUCCIN Eldesarrollodeestetrabajoestbasadoentemasdeintersparaelestudiodela resistenciademateriales,tomandocomobaselosesfuerzosylasdeformacionesparasu anlisis, estos son bsicos para el entendimiento de los temas a tratar. Enestainvestigacinseabordanlossiguientestemas:Latransformacindeesfuerzosy deformacionesenelestadoplano,esfuerzosqueocurrenenrecipientesdepresinde pareddelgada,elusodelcrculodeMohrparalasolucindeproblemasqueimplican transformacindeesfuerzoplano,esfuerzosprincipales,esfuerzoscortantesmximos,y los temas asociados con la transformacin del esfuerzo y la deformacin, como el mtodo de la superposicin. Enlastransformacionesdedeformacinplanasevernlasdeformacionesenplanos,ya seaxy,yz,xz.Existendeformacionestridimensionales,peroelestudiodelasmismas requiereconocimientosmsprofundosdelamateria,quealnivelestudiadonohasido analizado. En este tema se logra observar como existen deformaciones que no ocurren en losplanosyaconocidos,yentalcasoesnecesariollevarlos(atravsdefrmulas)aun planoconocido,parasufcilmanejo.Paraunamejoraplicacinsepresentanproblemas reales,dondeseveninvolucradoslostemasantesmencionados,demaneraqueenel diseo de estructuras y elementos sometidos a mltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de clculos y elementos, para el anlisis de los mismos. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III PROLOGO LosEsfuerzosCombinadossonaquellosqueactanen unaseccindeunelementocuandoexisteuna combinacindedosomsdelasaccionesinternas actuandoendichoelemento.Losesfuerzos combinadossonimportantesenmuchoscasos prcticos. Esfuerzosdemembranaenrecipientesdepared delgadasometidosapresinsonlosesfuerzosque aparecenenlasparedesdelosrecipientescilndricos, esfricos o de cualquier otra forma, debido a presiones internasyexternas.Estosesfuerzosproporcionan ejemplosdeunestadodeesfuerzomsgeneralyse conocencomoesfuerzosbiaxiales.Adems,los recipientesapresinsonimportantesporsmismos, desde un punto de vista prctico. Latransformacindelesfuerzosignificalavariacin, conladireccindeloscomponentesdelesfuerzoyla deformacindeunpunto.Elestudiodeestetemase refiereprincipalmenteacasosbidimensionalesquea casosen3D.Estetemaesimportanteenla deformacindelosesfuerzosmximosylas deformaciones mximas en un punto de un elemento y en la determinacin de las combinaciones de esfuerzos que producen la falla en un elemento.Enlaprcticafrecuentementeseencuentrancargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III lasteorasbsicassonvlidas.LaFig.1.1muestra ejemplosdeproblemasdeestetipo.Sinembargo, estosproblemaspuedenresolversemedianteuna combinacinadecuadademtodosyaestudiados.La poderosatcnicadelasuperposicinseusaenla solucindetodoslosproblemasmostradosenlaFig. 1.1, estos involucran la superposicin de esfuerzos P/A y MC/I. FIGURA 1.1 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Determinarlaimportanciaquetieneelestudioyelclculodeesfuerzosen estructuras cargadas transversalmente y recipientes de pared delgada, para poder relacionarlo a casos prcticos. OBJETIVOS ESPECIFICOS Presentardemaneraclarayexplcitalateoranecesariaparaelestudioy aplicacin de esfuerzos combinados en la vida practica. Utilizar el mtodo de transformacin de esfuerzos en un puntoy de superposicin deesfuerzosensituacionesrealesparadeterminarlosesfuerzosresultantesde elementos sometidos a cargas multiaxiales` Aplicarlosconocimientosdeesfuerzoscombinadosensituacionesrealessobre cilindrosdeoxigeno,postesdeelectricidad,yotroselementoscargados transversalmente. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 1- ESFUERZO EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA Recipientesesfricosycilndricossometidosapresin (esfuerzo biaxial) Losrecipientesapresinsonestructurascerradasque contienenlquidos o gases a presin(figura 1.2).Algunos ejemplosconocidossonlostanquesesfricospara almacenamiento de agua, los tanques cilndricos para aire comprimido,tubosapresinyglobosinflados.Las paredescurvasdelosrecipientessujetosapresina menudosonmuydelgadasenrelacinconelradioyla longitud,yentalescasosseencuentranenlaclase generaldeestructurasconocidascomocascarones. Otros ejemplos de estructuras de cascaron son los techos curvos, las cpulas (o domos) y los fuselajes.Enestaseccin,consideraremosnicamenterecipientes depareddelgadadeformaesfricaycilndricacircular (Fig. 1.3). El trmino de pared delgada no es preciso, pero una regla general es que la relacin de radio al espesor delapareddebedesermayorque10afinque podamosdeterminarlosesfuerzosenlasparedescon exactitudrazonablemediantenicamenteesttica.Una segundalimitacinesquelapresininternadebedeser mayorquelaexterna;delocontrario,elcascaronpuede fallar por colapso debido al pandeo de las paredes. Recipientes esfricos sometidos a presin. Un tanque de forma esfrica es el recipiente ideal para resistir presin FIGURA 1.2 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III interna.Solorequiereobservarlasconocidaspompasde jabn para reconocer que una esfera es el perfil natural aestepropsito.Paraobtenerlosesfuerzosenlapared, cortemoslaesferasobreunplanodiametralverticaly separemos la mitad del cascaron y su contenido, como un cuerpo libre (Fig. 1.3a). Sobre este cuerpo libre actan los esfuerzos en lapared yla presin interna. El peso del tanqueysucontenidoseomitenenesteanlisis.La presinactahorizontalmentesobreelreacircular plana formada por el corte, y la fuerza resultante es igual a,dondeeselradiointeriordelaesfera. Obsrvesequelapresineslapresininternaneta,o presinmanomtrica(estoes,lapresinporencimade la presin atmosfrica, o presin externa). Elesfuerzodetensinenlapareddelaesferaes uniformealrededordelacircunferenciadeltanque, debidoalasimetradelmismoydesucarga.Adems, comouniformeatravsdelespesor.Laexactitudde estaaproximacinseincrementasegnsevuelvems delgadoelcascaron,ysereducesegnsevuelvems grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es ,dondeeselespesoryeselradiomedio delcascaron Porsupuesto,dadoque nuestroanlisisnicamenteesvlidoparacascarones muydelgados,podemosconsiderarque ; entonces,lafuerzaresultanteseconvierteen. Elequilibriodefuerzasenladireccinhorizontalda de cual obtenemos: (1-1) FIGURA 1.3 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Comoesevidenteapartirdelasimetradeuncascaron esfrico,estamismaecuacinparaelesfuerzose obtendrsisepasaunplanoatravsdelaesferaen cualquierdireccin.Porlotanto,concluimosqueuna esfera presurizada est sometida a esfuerzos uniformes atensinentodaslasdirecciones.Estacondicinde esfuerzoserepresentaenlaFig.1.3bporelpequeo elementoconesfuerzosqueactanendirecciones mutuamente perpendiculares. Los esfuerzos de este tipo, que actan de modo tangencial (en vez de perpendicular) alasuperficiecurva,seconocencomoesfuerzosde membrana.Elnombresurgedelhechodequelos esfuerzos de este tipo existen en membranas verdaderas, tales como pelculas de jabn o delgadas hojas de caucho o hule. Enlasuperficieexteriordeunrecipienteesfricoa presin, no actan esfuerzos normales a la superficie, por loquelacondicindeesfuerzosesuncasoespecialde esfuerzobiaxialeselqueysoniguales(Fig.1.4a). Comonoactanesfuerzoscortantessobreeste elemento,obtenemosexactamenteobtenemoslos mismosesfuerzosalgirarelelementounngulo cualquieraalrededordeleje.As,elcrculodeMohr paraestacondicindeesfuerzosereduceaunpunto,y cadaplanoinclinadoesunplanoprincipal.Losesfuerzos principales son: (1-2) FIGURA 1.4 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Tambin,elesfuerzocortantemximoenelplanoes cero.Sinembargo,sedebeadvertirelelementoes tridimensionalyqueelterceresfuerzoprincipal(enla direccin)escero.Porlotanto,elesfuerzocortante mximoabsoluto,originadomedianteunarotacinde del elemento respecto a cualquiera de los o , es (1-3) Enlasuperficieinteriordelapareddelrecipiente esfrico,elelementoesforzadotienelosmismos esfuerzosdemembrana(Ec.1-1),pero,adicionalmente, acta un esfuerzo de compresin en la direccin , igual a (Fig.1.4).Estostresesfuerzosnormalessonlos esfuerzos principales: (1-4) El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero elesfuerzo cortantefueradelplano(producidomedianteuna rotacin de alrededor de cualquiera de los ejes y ) es (1-5) Si la relacin de es suficientemente grande, el ltimo trminodeestaecuacinpuedeomitirse.Entoncesla ecuacinseconvierteenlamismaEc.(1-3),ysepuede suponerque el esfuerzo cortante mximo es constante a travsdelespesordelcascaron.Todotanqueesfrico utilizado como recipiente a presin tendr al menos una Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III aberturaenlapared,ascomovariosaccesoriosy soportes.Estacaractersticaoriginadistribucionesno uniformesdeesfuerzosquenopuedenanalizarse mediante mtodos simples. Cerca de las discontinuidades segenerangrandesesfuerzosenelcascaron,porloque reforzarse tales regiones. Por lo tanto, las ecuaciones que hemos establecidos para los esfuerzos de membrana son vlidasencualquierpuntodelrecipiente,exceptocerca delasdiscontinuidades.Eneldiseodetanques intervienenotrasconsideraciones,incluyendoefectosde corrosin, impactos accidentales y efectos trmicos. Recipientescilndricossometidosapresin.Considrese ahorauntanquecilndricocirculardepareddelgadacon extremoscerradosypresininterna(Fig.1.5a).Enla figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son paralelasyperpendicularesalejedeltanque.Los esfuerzosnormalesy,queactansobrelascaras lateralesde este elemento, representan los esfuerzos de membranaenlapared.Sobrelascarasdelelementono actanesfuerzoscortantesdebidoalasimetradel recipiente.Porlotanto,losesfuerzosyson esfuerzosprincipales.Debidoasudireccin,elesfuerzo sedenominaesfuerzocircunferencialoesfuerzo tangencial(esfuerzodezuncho);enformasimilar,es elesfuerzolongitudinaloesfuerzoaxial.Cadaunode estosesfuerzospuedecalcularseapartirdelequilibrio medianteelempleodediagramasdecuerpolibre apropiados. FIGURA 1.5 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Paracalcularelesfuerzocircunferencial,seaslaun cuerpolibremedianteundiagramadecortes separadosunadistanciayperpendicularesaleje longitudinal(Fig.1.5a).Tambinseefectauntercer corteenunplanoverticalatravsdelpropioeje;el cuerpolibreresultantesemuestraenlaFig.1.5b.Sobre lacaralongitudinaldeestecuerpolibreactanlos esfuerzos en lapared y la presin interna. Sobre las carastransversalesdeestecuerpolibretambinactan esfuerzos y presiones, pero no se muestra en la figura ya quenointervienenenlaecuacindeequilibrioquese utilizara.Tambin,nuevamenteseomiteelpesodel recipiente y su contenido. Las fuerzas debidas al esfuerzo y a la presin actan en direcciones opuestas, por lo que se tiene la siguiente ecuacin de equilibrio: enlaqueeselespesordelaparedyeselradio interiordelcilindro.Apartirdelaecuacinanterior,se obtiene: (1-6) comolafrmulaparaelesfuerzocircunferencial.Segn seexplicpreviamente,esteesfuerzoestdistribuido uniformementesobreelespesordelaparedsiemprey cuandoestaseadelgada.Elesfuerzolongitudinalse obtiene apartirde un cuerpo librede la parte del tanque alaizquierdadeuncortequeesperpendicularaleje longitudinal(Fig.1.5c).Enestecaso,laecuacinde equilibrio es Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III en la que, como se explic previamente, se utiliz el radio interiordelcascaronenvezdelradiomedio(oprincipal) al calcular la fuerza debida al esfuerzo , resulta (1-7) queeselmismoesfuerzodemembranaqueeldeun cascaronesfrico.AlcompararlasEc.(1-6)y(1-7),se aprecia (1-8) Luego,elesfuerzolongitudinalenuncascaroncilndrico eslamitaddelesfuerzocircunferencial.Losesfuerzos principalesyenlasuperficieexteriordelcascaron se muestran en accin sobre el elemento esforzado en la Fig.1.6a.Elterceresfuerzoprincipal,queactaenla direccin , es cero.Asquenuevamentetenemosesfuerzobiaxial.Los esfuerzoscortantesmximoslocalizadosenelplano se generan cuando el elemento se gira alrededor del eje ; este esfuerzo es (1-9) Losesfuerzoscortantesmximosobtenidosmediante rotacionesaalrededordelosejesyson, respectivamente, FIGURA 1.6 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Luego, el esfuerzo cortante mximo absoluto es (1-10) Y se presenta cuando el elemento se gira respecto del eje.Lascondicionesdeesfuerzosenlasuperficie interiordelcascaronsemuestranenlaFig.1.6b.los esfuerzos normales principales son (1-11) Lostresesfuerzosmximos,originadosmediante rotaciones de alrededor de los ejes , y , son (1-12) Elprimerodeestosesfuerzoseselmayor.Sinembargo, comoseexplicenelestudiodeesfuerzoscortantesen un cascaron esfrico, se suele omitir el trmino adicional enestasexpresionesysuponerqueel esfuerzocortantemximoesconstanteatravsdel espesor y est dado por la ecuacin (1-10). Lasfrmulasdeesfuerzoanterioressonvlidasenlas porcionesdelcilindroalejadasdecualquier discontinuidad.Unadiscontinuidadobviaexisteenel extremodelcilindrodondeseunelacabeza.Otras ocurrenenlasaberturasdelcilindroodondesefijan objetos al cilindro Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III EJEMPLO1.1 El tanque de la figura 1.7atiene un espesor de pulgada y un dimetro interior de 48 pulgadas. Est lleno hasta el bordesuperiorconaguadepesoespecfico yestahechodeaceroconpesoespecifico .Determineelestadodeesfuerzo enelpuntoA(esfuerzocircunferencialyesfuerzo longitudinal). El tanque est abierto en su parte superior. DATOS t = pulgada =1/24 pie . yPesodeldeaceroqueseencuentraarribadel punto A ( 3pies ) 777.7 lb yEncontrandolapresindelaguaenelniveldel punto A, utilizando la ley de pascal. FIGURA 1.7 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III yEsfuerzo circunferencial en el elemento A. yEsfuerzo longitudinal en el elemento A. Como el tanque est abierto en su parte superior la ecuacin , entonces Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III EJEMPLO1.2 Untanquedeairecomprimidoestapoyadopordos soportescomoseindicaenlafigura1.8;unodelos soportesestdiseadodetalmodoquenoejerce ningunafuerzalongitudinalsobreeltanque.Elcuerpo cilndricodeltanquetiene30in.dedimetrointeriory est hecho de placa de acero de 3/8 in. con soldadura de botndehlicequeforma25conunplanotransversal. Losextremossonesfricosconunespesoruniformede 5/16in.Paraunapresinmanomtricainteriorde180 psi,determine:a)elesfuerzonormalyelesfuerzo cortantemximoenlosextremosesfricos,b)los esfuerzosendireccinperpendiculartparalelaala soldadura helicoidal.Solucin: a)Tapa esfrica. 1=2 = FIGURA 1.8 FIGURA 1.9 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III = 4 230 psi. Seobservaqueparaesfuerzosenunplanotangenteala tapa, el circulode Mohr se reduce a un punto (A,B) en el ejehorizontalyquetodoslosesfuerzoscortantesenel planosoncero.Enlasuperficiedelatapa,eltercer esfuerzoprincipalesceroycorrespondealpuntoO.En uncirculodeMohrdedimetroAO,elpuntoDeselde esfuerzocortantemximoyocurreenplanosa45del plano tangente a la tapa. psi b)Cuerpo cilndrico del tanque. Primero se calcula el esfuerzo de costilla 1 y el esfuerzo longitudinal 2 .Usando las ecuaciones tenemos: 1 2 1 prom= 1 + 2) FIGURA 1.9 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 1 + 2) Esfuerzos en la soldadura. Notando que tanto el esfuerzo delaCostillacomoellongitudinalsonesfuerzos principales,setrazaelcrculodeMohrmostradoenla figura.Elelementosoncaraparalelaalasoldadurase obtienerotando25lacaranormalalejeObensentido contrarioaldelasagujasdelreloj.Entonces,selocaliza en la soldadurarotando elradio en sentido contrario a las agujas del reloj.w= prom s w= + 14 140psiw = w = 1 344psiComoXestpordebajodelejehorizontalw tiendea rotar al elemento en sentido contrario al de las agujas del reloj.(Ver fig. 1.10) FIGURA 1.10 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 2- TRANSFORMACIN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO Enunaseccindeunelementopuedeactuaruna combinacinde dos o ms de las acciones internas P, Vy, Vz,T,MyyMz.Cuandosepresentaestecaso generalmentelosesfuerzosenlaseccinsepueden obtenersumandolasdistribucionesdeesfuerzos asociadasconcadaunadelasaccionesenla combinacin.Paracalcularlosesfuerzosdebidosalas accionesseparadasseutilizanlasformulasdadaspara elementoscargadosaxialmente,elementossometidosa torsin,yvigas.Elesfuerzonormalycortante,totalo combinado en cada punto de la seccin se halla mediante sumavectorialdelosesfuerzosnormalycortante calculadosseparadamenteparacadaaccin.Los esfuerzos normales separados siempre estn en la misma direccinconsentidosigualesuopuestos,y,porlo consiguiente, se suman como escalares, mientras que los esfuerzoscortantesseparadospuedentenerdiferentes direcciones en el plano de la seccin cortadas y se suman vectorialmente. Una limitacin de este mtodo es que los esfuerzos combinados en todos los puntos de una seccin deben estar en la regin elstica-lineal del material de tal modoqueseapliqueelprincipiodesuperposicin. Adems,lasformulasdeesfuerzoparaacciones separadassepuedenaplicarnicamentealostiposde elementosparaloscualessonaplicables.Ensituaciones prcticas ocurren comnmente combinaciones tales Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III comocargaaxialcombinadaconflexin,corte combinadoconflexinycortecombinadocontorsin, pero son posibles algunas otras combinaciones. Lasformulasparaesfuerzosestablecidashastaaqualo largodeltextodanlosesfuerzosnicamenteenciertos planos cortantes que pasan porlos puntos de uncuerpo. Porejemplolaformula=P/Aparavarillascargadas axialmentedaelesfuerzonormalenunavarillaunicaen planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varillacomosemuestraenlafigura2.1a.Losesfuerzosenplanoscortantesorientadosdedistintamanerafig 2.1b son diferentes. Enelcasogeneral,lomismoqueenelejemplo,los esfuerzosenunpuntodeuncuerposondiferentes.En algunosplanoscortantespuedenactuaresfuerzos significativamentemayoresqueotros.Elsiguiente estudiloserefiereaestavariaciondelesfuerzoenun puntoytrataprincipalmenteelcasodeesfuerzobiaxial, endosdimensiones.Enprimerlugarsdeconsideran diferntesrepresentacionesdelosesfuerzosenelmismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2arepresenta unelementoaisladopordosplanoscortantes infinitamentecercanosymutuamenteperpendicuares quesonnormalesalosejesdelascoordenadasX-Y.la figura2.2bmuestraunelementoaisladodemanera semejanteporplanoscortantesnormalesalosejes orientadosdemaneradiferente,X-Y.losesfuerzosen las caras opuestas de cad uno de estos elementos son FIGURA 2.1 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III igualesyopouestos,ysonlosmismosqueactuansobre losladosopuestosdeunplanocortanteunico.Cadauno deloselementosaisladosenlafigura2.2esta sometido alaacciondeesfuerzosdiferentesenelmismopunto. Cadaelementotieneasociadostreselementosde esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan x,yY xyen las coordenadas X-Y. las dela figura 2.2b sedesignanx,yYxyenlascoordenadasX-Y. Estos dos co9njuntos de componentes de esfuerzo no son los unicos que existen en ese punto. Existeunnumeroinfinitodeconjuntosdecomponentes, ycadaconjuntoestaasociadoconunodelinfinito numero de sistemas de coordenadas posibles en el FIGURA 2.2 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III punto.Cadaconjuntodecomponentessepuede representarsobreunelementoorientadoenun sistemadecoordenasadecuado,comosehizoenlas figuras2.2ay2.2b.cadaunodeestoselemntos proporcionaunarepresentaciondiferntesdelos esfuerzos en un punto. Elinfinitonumerodeconjuntosdecomponentesde esfuerzoquesedescribionosonindependientes.Las componentesdeunsistemaarbitrariodecoordenadas X,Yestanrelacionadasconladeunsistemade coordenadasX,Y,comoseexplicamasadelante.Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos endiferentessistemasdecoordenadaso,loqueeslo mismo,endiferentesplanoscortantesquepasanporun punto,sellamanecuacionesdetransformacinde esfuerzo. Lasecuacionesdetransformacindeesfuerzosse obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento detamaoinfinitesimalcomoelquesemuestraenla figura 9.10 esta formada por planos cortantes normales a losejesdereferenciaX,Yyporuntercerplanocortante normalaunejeinclinadoXqueformaunangulo arbitrario con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada sonlasdoscomponentesxyxyasociadosalas coordenadasx,y.Seconsiderancantidadespositivassi tienenlossentidosindicadosynegativassitienenlos sentidos opuestos. Sienunelementocomo el de la figura 2.3 se aisla deuncuerpoqueesta enequilibrio,el elemento debe estar en FIGURA 2.3 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III equilibrio.LascondicionesFx=0yFy=0parael elementodelafigura2.3producenlasexpresiones paralos esfuerzosxyxy que se dan mas adelante. A partie de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzasenelementoefectuandolosproductosdecada esfuerzoporelareadelacarasobrelacualactua.Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el area de la cara inclinada se designapordA.Entonces,lacaraopuestaylacara adyacentealangulotieneareasdAsenydAcos, respectivamente. Tambien se hace uso de las identidades trigonometricas Fx=0; Wx dA= Wx dAcos E cos E +Wy dAsen E sen E+Xxy dAcos E sen E+Xxy sen E cos EWx = Wx sen2E+Wy cos2E+2 Xxy cos E sen E (2-1) Suma de fuerzas en la direccin yFy=0; Xxy dA = Wy dAcos E sen E -Xxy dAsen E sen E +Xxy cos E cos E -Wx dAsen E cos E Xxy =Wy cos E sen E-Xxy

sen2E +Xxy cos2E-Wx sen E cos E

Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III

(2-2) Lasecuaciones(2-1)y(2-2)sonlasecuacionesdela transformacin de esfuerzo para el caso bidimensional y danlosvaloresxyxyparacualquieranguloen funcion de x,yy xy. La componente de esfuerzo, y, estadadaporlaecuacion(2-1),aumentandoelangulo en90.Estasecuacionesdanlosesfuerzosenuno cualquieradelinfinitonumerodeplanoscortantesque pueden pasr por el punto de un cuerpo, en funcion de un conjuntoarbitrariodecomponentesdeesfuerzox,y.Asi unosolodelinfinitonumerodeconjuntode componentes de esfuerzos en un punto.Sepuededemostrarquelasecuaciones(2-1)y(2-2) tambiensonaplicablessielelementodelafigura2.3 tiene una aceleracion. De este modo las ecuaciones (2-1) y (2-2) son aplicables bajo las condiciones estaticas y bajo condiciones dinamicas de un cuerpo.Deacuerdoconlas ecuaciones(2-1)y(2-2) sepuedeverquey dependendel ngulodeinclinacin delosplanossobrelos queactanesos esfuerzos.Enlaprctica deingenieracon frecuencia es importante determinarla orientacin de los planos quecausaqueel esfuerzonormalsea mximoymnimo,yla orientacin de los planos que hace que el esfuerzo cortante sea mximo. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Esfuerzosprincipalesenelplano.Paradeterminarel esfuerzo normal mximo y mnimo, se debe diferenciar la ecuacin (2-1) con respecto a , e igualar a 0 el resultado. De este modo se obtiene Alresolverestaecuacinseobtienelaorientacin=, de los planos de esfuerzo normal mximo y minimo. (2-3) Lasolucintienedos races, .En formaespecifica,los valoresde estana180entresi, porlo forman 90. Losvaloresde debensustituirseenla ecuacin(2-1),para poderobtenerlos esfuerzosnormalesque serequieren.Sepuede obtenerelsenoyel cosenode conlostringulos sombreadosdelafigura 2.4.Laconstruccinde esostringulossebasa enlaecuacin(2-3), suponiendoquey son cantidadespositivaso negativas,lasdos.Para se tiene queEsfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Para Sisesustituyedeestos dosconjuntosde relaciones trigonomtricasenla siguienteecuacinyse simplifica Se obtiene FIGURA 2.4 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III (2-4) Dependiendodelsignoescogido,esteresultado determinaelesfuerzonormalmximoymnimoenel plano,queactaenunpunto,cuando .Este conjuntoparticulardevaloressellamanesfuerzos principalesenelplano,ylosplanoscorrespondientes sobrelosqueactansellamanplanosprincipalesde esfuerzo,figura2.5b.Ademssilasrelaciones trigonomtricaspara sesustituyenenla ecuacin (2-2) Sepuedeverque ;estoes,sobrelosplanos principales no acta el esfuerzo cortante. Esfuerzocortante mximoenelplano.La orientacindeun elementoqueest sometidoaesfuerzo cortantemximoensus carassepuede determinarsacandola derivadadelaecuacin (2-2)conrespectoae igualandoaceroel resultado. Se obtiene FIGURA 2.5 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III (2-5) Lasdosracesdeestaecuacin ,sepueden determinarconlostringulosdelafigura2.6. Comparando con la figura 9.8, cada raz de esta a 90 de . As las races de y forman 45 entre ellas, y elresultadoesquelosplanosdelesfuerzocortante mximo se pueden determinar orientando a un elemento a45conrespectoalaposicindeunelementoque defina los planos del esfuerzo principal. Usandocualquieradelasraces ,sepuede determinarelesfuerzocortantemximosacandolos valorestrigonomtricosdesenycosenlafigura 2.6, y sustituyndola en la ecuacin (2-2). El resultado es (2-6) El valor de calculado conla ecuacin (2-6) se llama esfuerzo cortante mximo en el plano, porque actasobreelelementoenelplanox-y.sisesustituyen los valoresde sen y cos en la ecuacin (2-1),se ve que tambinhay un esfuerzo normal sobrelos planos de esfuerzo cortantemximo en el plano. Se obtiene (2-7) Puntos importantes FIGURA 2.6 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III yLosesfuerzosprincipalesrepresentanelesfuerzo normal mximo y mnimo en el punto. yCuandoserepresentaelestadodeesfuerzo mediantelosesfuerzosprincipales,sobreel elemento no acta esfuerzo cortante. yElestadodeesfuerzoenelpuntotambinse puederepresentarenfuncindelesfuerzo cortantemximoenelplano.Enestecaso,sobre elelementotambinactuaraunesfuerzonormal promedio sobre el elemento. yElelementoquerepresentaelesfuerzocortante mximoenelplano,conelesfuerzonormal promediocorrespondiente,estorientadoa 45respectoalelementoquerepresentalos esfuerzos principales. EJEMPLO 2.1 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III La prensa oprime las superficies lisas en C y D, cuando se aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensin del tornillo es de 40KN, determine los esfuerzos principales en los puntos A yB,eindiquelosresultadosenelementosubicadosen cada unode esos puntos. El rea transversalenA y B se indica en la figura 2.7 . +M = 0 + Calculando primer momento de rea Haciendo corte en la seccin transversal del punto A y BFIGURA 2.7 DCL. de la prensa Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III + Calculando esfuerzos principales para A Np Calculando los esfuerzos principales para B N

KN

Np Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Np Np Calculando la orientacin del elemento Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Circulo de Mohr para esfuerzo planoLasecuacionesdetransformacinparaesfuerzoplano pueden representarse mediante una grfica como circulo deMohr.Estarepresentacinesextremadamentetil paraapreciarlasrelacionesentrelosesfuerzosnormaly cortante que actan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el crculo de Mohr, reformulamos las ecuaciones: s sen (2-1) sen s (2-2) Estasecuacionessonlasecuacionesparamtricasdeun crculo,conelngulocomoparmetro.Alelevaral cuadrado ambos lados de cada ecuacin (2-1) y sumarlos se elimina el parmetro; la ecuacin resultante es (2-8) Estaecuacinpuedeformularseenunaformams sencilla mediante la siguiente notacin: (2-9) La Ec. (2-8) resulta ahora (2-10) Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Queeslaecuacindeuncirculoencoordenadasy .Elcirculotieneradioysucentrodetiene coordenadas y . Nuestra siguiente tarea es construir un crculo de Mohr a partirdelaEc.(2-1)y(2-10).Parahacerlo,tomaremos comolaabscisaycomolaordenada.Sin embargo,elcrculopuedetrazarseendosformas diferentes.EnlaprimeraformadelcrculodeMohr, trazamospositivoaladerechay,positivohacia abajo;entonceselnguloespositivoensentido contrarioalasmanecillasdelreloj(Fig.2.8b).Ambas formasdelcrculosonmatemticamentecorrectasy concuerdanconlasecuaciones,porloqueelegirentre ellasesasuntodepreferenciaspersonales.Comoel nguloparaelelementoesforzadoespositivoen sentidocontrarioaldelasmanecillasdelreloj.Podemos evitar errores adaptando lafiguradel crculode Mohr en la que el ngulo es positivo en sentido contrario al de lasmanecillasdelreloj(sentidoantihorario).Esasque optaremos por la primera forma del circulo de Mohr (Fig. 2.8a). SeprocedeahoraaconstruirelcrculodeMohrparaun elementoenesfuerzoplano(Fig.2.9ay2.9b).Lospasos son los siguientes:1)LocalizarelcentroCdelcirculoenelpuntode coordenadas y (Fig. 2.9c). FIGURA 2.8 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 2) Localizar el punto de A, que es el punto sobre el crculo que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento ; para este punto tenemos y. 3) Localizar el punto B, el cualrepresenta las condiciones deesfuerzosobrelacaradelelemento .Las coordenadas de este punto son y , yaquecuandoelelementosegiraunngulo ,el esfuerzonormalsevuelveyelesfuerzocortante sevuelveelnegativode.Obsrvesequeuna rectadesdeAhastaBpasaatravsdeC.Porloquelos puntosAyB,querepresentanlosesfuerzossobrelos planosaunodelotro,estnenlosextremos opuestos del dimetro (separados en el crculo).4)DibujarelcrculoatravsdelospuntosAyBcon centro en C. Obsrvesequeelradiodelcrculoeslalongituddela recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que las abscisases y,respectivamente.La diferenciaenestasabscisases ,comose muestra en la Fig. 2.9c. Tambin, la ordenada del punto A es . Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un tringulo rectngulo que tiene un ladode longitud ,yotroladodelongitud.Alcalcularla razcuadradadelasumadeloscuadradosdelosdos lados se obtiene (vase Ec. 2-9). FIGURA 2.9 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Determinemos ahoralos esfuerzos que actan sobre una carainclinadadelelementoorientadoaunnguloa partirdeleje(Fig.2.9b).SobreelcirculodeMohr, tomamosunnguloensentidocontrarioaldelas menecillasdelrelojapartirdelradioCA,yaqueAesel punto para el cual . El ngulo ubica alPuntosobreelcrculo.Estepuntotienelas coordenadasy,querepresentanlosesfuerzos sobrelacaradelelementoesforzado.Parademostrar quelascoordenadasdelpuntoestasndadasporlas ecuacionesdetransformacindeesfuerzos(Ec.2-1y2-2), representamos por el ngulo entre la lnea radial CD yeleje.Luego,apartirdelageometradelafigura 2.9, obtenemos las cuatro relaciones siguientes: s sen s sen Aldesarrollarlasexpresionesdelcosenoyelsenose obtiene s s sen sen s s sen sen Al multiplicar la primera ecuacin por s y la segunda porsen ,ysumardespusambasecuaciones, obtenemos (2-11) Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III s sen sen Tambin,almultiplicarlaprimeraecuacinporsen y la segunda por s y luego restar, obtenemossen sen sen Cuandoestasexpresionesdes ysen sesustituyen enlasEcs.(2-9),obtenemoslasecuacionesde transformacindeesfuerzos.Deestemodo,hemosque elpuntosobreelcirculodeMohr,definidoporel ngulo de , representa las condiciones sobre la cara del elemento esforzado, definido por el ngulo .Elpunto,diametralmenteopuestoalpunto,esta localizado por un ngulo que es mayor que el ngulo dealpunto(VaseFig.2.9c).Porlotanto,elpunto representalosesfuerzossobrelacaradelelemento esforzadoadesdelacararepresentadadelpunto; enconsecuencia,elpuntoproporcionalosesfuerzos sobre la cara . Segn giramos el elemento en sentido contrarioal de las manecillas del reloj a travs de un ngulo (Fig. 2.9b), el puntocorrespondientealacarasobreelcirculode Mohr se traslada en sentido contrario al de las manecillas delrelojatravsdeunngulo.Deigualmanera,si giramoselelementoensentidodelasmanecillasdel reloj,elpuntodelcrculosedesplazaraenestemismo sentido.Enelpuntosobreelcrculo,losesfuerzos normales alcanzaran su valor algebraico mximo y el Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III planoprincipal,asociadoconelvaloralgebraicomnimodelesfuerzonormal,estrepresentadoporelporel punto . A partir de la geometra del crculo, vemos que el esfuerzo principal mayor es El ngulo principal localizado en el eje y el plano de esfuerzodelesfuerzoprincipalalgebraicamentemayor pera ele elemento esforzado girado (Fig. 2.9b) es la mitad del ngulo situado entre los radios CA y C sobre el circulodeMohr.Elcosenoyelsenodelngulo puedendeterminarsemedianteinspeccinapartir del crculo: s sen El ngulo respecto al puntoprincipal es mayor que por lo que . Lospuntosy,querepresentanlosplanosde esfuerzoscortantesmximoymnimo,estnlocalizados sobreelcrculoenelnguloderespectodelos puntosy.Porlotanto,losplanosdeesfuerzocortante mximo estn a de los planos principales. El esfuerzocortantemximoesnumricamenteigualal radio del crculo.Tambin,losesfuerzosnormalessobrelosplanosde esfuerzoscortantemximosonigualesalaabscisadel punto C, que es el esfuerzo normal medio. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Deloanterior,evidentementesepuededeterminarlos esfuerzos sobre el cualquier plano inclinado, as como los esfuerzosprincipalesylosesfuerzoscortantesmximos, apartirdelcrculodeMohr.EldiagramadelaFig.2.9 se dibujconycomoesfuerzospositivos,perosiguen siendolosmismosprocedimientossiunooambos esfuerzos son negativos. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Ejemplo 2.2 Unelementoenesfuerzoplanosometidoaesfuerzos , y ,como se muestra en la Fig. 6-18a. Mediante el circulo de Mohr, determinara)losesfuerzosqueactansobreun elementogiradounngulo ,b)losesfuerzos principales,yc)losesfuerzoscortantesmximos. Mostrartodoslosresultadossobreesquemasde elemento orientados adecuadamente. Elcentrodelcirculoestasobreelejeenelpunto donde es igual a , el cual es Losesfuerzossobrelacaradelelementodeterminan las coordenadas del punto : Lascoordenadasdelpuntorepresentanlosesfuerzos sobre la cara y del elemento: Estos puntos definen el crculo, que tiene radio El ngulo es el ngulo desde el punto hasta elpunto,yrepresentaelplanoprincipalmenteque contiene al esfuerzo principal algebraicamente menor . Este ngulo se determina considerando que Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Por lo que: As,sehanobtenidotodoslosngulosyesfuerzo requerido, como se muestra sobre el crculo. (a)Losesfuerzosqueactansobreunplanoa estnrepresentadosporelpunto, localizado a un ngulo desde el punto . El ngulo es Estenguloseencuentraentrelalneayeleje, negativo;porlotanto,porinspeccinobtenemoslas coordenadas del punto : s sen En forma similar, las coordenadas del punto son s sen Estosesfuerzos,queactansobreelelementoha , se muestra en la Fig. 6-19a.(b) Los esfuerzos principales estn representados por los puntos y sobre el crculo. Sus valores son FIGURA 2.10 (Nota: todos los esfuerzos sobre el crculo de Mohr estn en MPa) Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Segn se obtiene mediante inspeccin a partir del crculo. Elngulosobreelcirculo(medidoensentido contrarioaldelasmanecillasderelojdesdehasta) es ,porloque .El nguloalpuntoes ,osea . Losplanosprincipalesylosesfuerzosprincipalesse muestran en la Fig. 6-19b.(c)Losesfuerzoscortantesmximoymnimo, representandoporlospuntosy,son y .Elngulo (igual a ) es , por loqueelngulo .losesfuerzos cortantes mximos se muestran en la Fig. 6-19c. FIGURA 2.11 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 3- SUPERPOSICIN DE ESFUERZOS Elprincipio de superposicin,dice que el efectode carga combinadadadasobreunaestructurapuedeobtenerse determinando,deformaseparada,losefectosdelas distintascargasycombinandolosresultadosobtenidos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: 1.Cadaefectoestalinealmenterelacionadoconla carga que produce. 2.Ladeformacinresultantedecualquiercarga dadaespequeaynoafectalascondicionesde aplicacin de las otras cargas. Enelcasodeunadescargamultiaxial,laprimera condicinsersatisfechasilosesfuerzosnoexcedenel lmitedeproporcionalidaddelmaterial,ylasegunda condicin tambin se cumplir si el esfuerzo en cualquier caradadanocausadeformacionesenlasotrasquesean losuficientementegrandesparaafectarelclculodelos esfuerzos en esas caras. Unelementoestructuralsometidoacargascombinadas confrecuenciasepuedeanalizarsuperponiendolos esfuerzos y las deformaciones causadas por cada carga en accinporseparado.Sinembargo,lasuperposicinde esfuerzosydeformacionessepermitesloenciertas condiciones, como se explico anteriormente. Un requisito esquelosesfuerzosylasdeformacionesdebenser funciones lineales de las cargas aplicadas, lo que a su vez Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III requierequeelmaterialsigalaleydeHookeyquelos desplazamientos sean pequeos. Unsegundorequisitoesquenodebehaberinteraccin entrelasdiversascargas,esdecir,losesfuerzosylas deformacionesdebidasaunacarganosedebenver afectadasporlapresenciadelasotrascargas.Lamayor partedelasestructurasordinariassatisfacenestasdos condicionesy,portanto,emplearlasuperposicines muy comn en el trabajo de ingeniera. Considerelavigaempotradaenunextremoysujetaa una carga inclinada P, como se muestra enla Fig. 3.1 (a). Estacarganoproduceflexinnicargaaxialsolamente, sinounacombinacindelasdos.Sisedescomponeesta fuerza en sus componentes horizontal y vertical.LafuerzaaxialPx(Fig.3.1b)produceesfuerzosdirectos de tensin = P/A en todas las fibras. La fuerza P (Fig. 3.1 c)produceesfuerzosdeflexin=Mc/I.Comoambos esfuerzos(P/AyMc/I)actanparaalargaroacortarlas fibras,puedencombinarsealgebraicamente.Elhechode queambascargasproducenesfuerzosquetienenla mismalneadeaccinconfirmaquelasuperposicinde esfuerzosesvlida.Losesfuerzosencualquierfibrapueden calcularse como: (3-1) Losesfuerzosdetensinseconsideranpositivos, mientras que los esfuerzos de compresin son negativos. Esta convencin de signos nos ayuda a determinar la FIGURA 3.1 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III naturalezadelosesfuerzosduales.Elterminocenel factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general yapartirdelejeneutro,siserequiereelesfuerzoenun punto diferente al de las fibras extremas. Losesfuerzoscalculadosmediantelaec(3-1)noson enteramentecorrectos.LacargaPyproduceuna deflexin(nomostrada)que,cuandosemultiplicaporla fuerzaaxialPx,produceunpequeomomento secundariotiendeareducirelmomentototal,ypor consiguientepuededepreciarse.Silafuerzaaxialesde compresin,elmomentosecundarioincrementael momentototal,yeldepreciarestetrminonoresulta conservativo.Sinembargo,enlamayoradelos problemasdeesfuerzoscombinados,elefectodeeste trminoespequeoypuededepreciarse.Enelcasode vigas-columnasesbeltas,elefectopuedenoser depreciable. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III EJEMPLO 3.1 Calcular los esfuerzos mximos y localizar el eje neutro en lavigaenvoladizode ,indicadaenla Fig. 3.2 Solucin:Elesfuerzomximoocurrirenelextremo empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es mximo.LacargadeflexindelaFig.3.2c,produceesfuerzosde tensin en las fibras superiores y esfuerzos decompresin enlasfibrasinferiores.LacargaaxialdelaFig.3.2b produce esfuerzos de tensin en todas las fibras. As,Sup = + 2.88 MPa +18.4MPa = +21.02 MPa (tensin); inf. 2.88-18.4 = -15.26 MPa (compresin) FIGURA 3.2 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III La combinacin de esfuerzos se indica grficamente en la Fig. 3.3. EL eje neutrn en el plano de esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuacin (3-1), o mediante simple geometra. Tenemos 0 = + 2.88 - 0 = (2.88 y = 0.00794 m = 7.94 mm FIGURA 3.3 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III EJEMPLO 3.2 Untubodeaceroestndarde4pulgyde36pulgde longitudseusacomodispositivodeizajeparaunagra. Suponiendoquelascargasseaplicanalosterciosdesu longitud (vase Fig. 3.4), y el esfuerzo mximo en el tubo nodebeexcederde20,000lb/pulg2,determinarelvalor admisible de P. Solucin:Lafuerzaaxialeneltubopuedecalcularsepor estticaentrminosdeP.Considerandoeldiagramade cuerpo libre de la Fig. 3.4 (b), se tiene: F= 0 La componente horizontal de la tensin es la fuerza axial en el tubo, y puede calcularse como:Tx = Aplicandolaec.(3-1)alosesfuerzosenlasfibras superioresdelaFig.3.4c,puestantolosdebidosala cargaaxialcomoalacargaflexionante,sonde compresin, se obtiene: FIGURA 3.4 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III P = 5 030 lb. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III EJERCICIOS DE APLICACIN RECIPIENTES DE PARED DELGADA Untanquellenodeoxigenoestahechodeacerocromo-molibdenoconunespesordeparedde0.25pulg.,una presinensuinteriorde2400psiyundimetroexterior de29.53pulg..Determinarelesfuerzolongitudinalyde costilla(circunferencial)paraelcilindromostradoenla figura 4.1. Datos P=2400psi Espesor=0.28pulg Radio exterior=14.77pulg Radio interior=14.49pulg Gas: oxigeno (02) Encontrando esfuerzo en la parte cilndrica. Fx = 0, Formula: 1=tpr Sustituyendo datos en la formula. 1=) 28 . 0 (lg) 49 . 14 )( 2400 (pulpu psi=124,200 lb/pulg2 PS KS Encontrando esfuerzo en la direccincircunferencial Fy=0, FIGURA 4.1 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Formula: 2=tpr2 Sustituyendo datos en la formula. 2=) 8 . 0 )( (lg) 49 . 14 )( 400 (pulpu psi= 62,100 lb/pulg2 PS KS Sibienesmsdifcilfabricarrecipientesapresinesfricos, segn los clculos queda demostrado que la parte semiesfrica oponelamitaddelesfuerzoquelapartecilndrica,estose debeaque laparte semiesfricatiene lacapacidadderesistir el doble de la presin interna. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 1.5m 0.457m 0.127m TRANSFORMACIN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO Un transformador de 1.78KN con un dimetro de 0.457m yunaalturade1.016mestasoportadoporunposte circularhuecodeaceroA36conundimetroexteriorde 0.2myunespesorde2mm.Eltransformadortieneuna excentricidad de 0.127m desde la lnea central del poste y subordeinferiorestaa4.284marribadelsuelo(ver figura 4.2). Determinarlosesfuerzosprincipalesylosesfuerzos cortantesmximosenlospuntosPyQenlabasedel postedebidoaunapresindelvientode1.30Kpaque actacontraeltransformadorydebidoalpesodel mismo. Solucin: El peso del transformador produce: Una fuerza axial de compresin F1=1.78KN y un momento flexionante M1= (F1 )(d)sustituyendo M1= (1.78KN)(0.127m+)=2.136KN.m Lapresindelvientocontraeltransformadorproduce una fuerza resultando F2 F2=PA= (1.30KPa)(0.457m)(1.016m)=0.60361KN F2 = 603.61KN.m Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2 M2= (F2)(d)= (603.61N)(4.284m+ )=2,892.50N.m M2=2.893KN.m Un par de tensin TT= F2.d= (603.61N)(0.127m+ )=214.58N.m 1.016m 4.284m 0.196m 0.200m FIGURA 4.2 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III T=0.21458KN.m Y una fuerza cortante a lo largo del posteV= F2 =603.61KN FW=Wposte arriba de la superficie+Wherrajes Wposte= Wposte=706.32N-114.46N=591.36N Wherrajes=200lb=890N FW=591.36N+890N=1481.36N Esfuerzos en los puntos P y Q rea de la seccin transversal del poste A= = A=1.2441 Esfuerzos normales === 1,190.71KN/ 1,190.71 KPa (ver figura 4.4) F1= = = 1430.75KN/ 1430.71 Kpa (ver figura 4.5) FIGURA 4.3 FIGURA 4.4 FIGURA 4.5 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III FIGURA 4.6produce esfuerzos de compresin en Q, no produce esfuerzos en P M1= My FIGURA 4.7produce esfuerzos de tensin en el punto P y no produce esfuerzos en QM2= Mz M1= I= = 6.0972 M1= = 35032.53 KN/ M1=35,032.53 Kpa(ver figura 4.6) M2= M2=47,448.00KPa(ver figura 4.7) Esfuerzos cortantes Esfuerzo cortante debido a T = = 1760.30 KN/ (ver figura 4.8) Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III FIGURA4.9Produceesfuerzocortanteenel punto B. pero no produce esfuerzo en el punto A FIGURA 4.8 Produce esfuerzos cortantes en P y en Q. P Q PQ Esfuerzo cortante que produce la fuerza cortante V ) (ver figura 4.9) Elementos de esfuerzo = 1760.30Kpa(ver figura 4.10) == 970.29Kpa T Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III = 1760.30Kpa Para el punto Q (ver figura 4.11) = -1760.30Kpa- 970.29KPa = -2730.59KPa = 44.83MPa FIGURA 4.10 FIGURA 4.11 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III ESFUERZOSPRINCIPALESYESFUERZOSCORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO P 1,2= 1,2= NP 1,2=22.415MPa 22.484MPa 1 =46.90 MPa2 =-0.07MPa max= = NP max= 22.48MPa ESFUERZOSPRINCIPALESYESFUERZOSCORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO Q 1,2= 1,2= NP 1,2=-18.825MPa 19.022MPa 1 =0.20 MPa2 =-37.85MPa max= = NP max= 19.02MPa Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III SUPERPOSICIN DE ESFUERZOSDel enunciado del problema anterior, Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes mximos en el punto P y Q. Nota: el perfil lateral del transformador cilndrico, es como una placa rectangular Paso 1 Analizando para W1 los puntos P y Q = 1,481.36N = = Para el punto PPara el punto Q =+ + Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Paso 2 Analizando los puntos P y Q para W2 El peso del transformador produce una fuerza decompresin F1= peso del transformador=1.78KN y un momento M=2.136KN.m =1430.71Kpa ==35,032.53Kpa Para el punto PPara el punto Q Paso 3 Analizando los puntos P y Q para las presin del viento La presin del viento produce un momento M=2892.50N.m Un par torsor T=214.58N.m Una fuerza cortante V=603.61N =47488.00Kpa Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III = ==1760.30Kpa = Para el punto PPara el punto Q Sumando los efectos de cada fuerza tenemos: Para el punto P = = + = - ++ Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III = Para el punto Q = == = -18.83Mpa 19.02Mpa = 0.2Mpa=-37.85Mpa = = Np ++= Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III CONCLUSIONES Comosehavistolosesfuerzoscombinadosseusanfrecuentementesindarnoscuenta, comoporejemplonuestrascasaestnhechasdevigas,quecombinadodistintos materiales, soportan algunos mejor la flexin y otros mejor la compresin. Estas combinaciones de esfuerzos son tiles en todas las ramas de la ingeniera. Atravsdelautilizacindelmtododetransformacindeesfuerzosenunpuntoy superposicin, es ms efectivo el clculo de esfuerzos principales en una viga o estructura, sometida a mltiples cargas; ya que el mtodo de la superposicin facilita el clculo de las vigasoestructurasestticamenteindeterminadas,yapartirdelatransformacinde esfuerzosenunpuntosepuedenconocerlosesfuerzosprincipalesqueactansobreun punto especifico de la estructura. Mediante la aplicacin de la teora y conocimientos prcticos en el anlisis de estructuras, esmscomprensibleelcomportamientodelasmismasbajocargassoportadasCon los clculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto deuna estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseo de lasmismas,ypermitecolocarlosapoyosenpuntosclave,dondeelesfuerzoesmximo para que la estructura se mantenga estable. Losrecipientescilndricosoesfricossirvencomocalderasotanquesquesondeuso comn en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten apresin,peropuedenseranalizadosdemanerasimplesiempreycuandotenganuna pareddelgada.Conestasuposicinseanalizoelesfuerzoenunrecipientedepresin cilndricoquecontenaoxigeno,afindeencontrarlosesfuerzoslongitudinaly circunferenciales que actan sobre este, a travs de las ecuaciones determinadas para su resolucin.Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III RECOMENDACIONES Pararecipientescilndricosyesfricos,sedebetomarencuentalapresinala que van a ser sometidos, puesto que de esto depender la eleccin del material y elespesordelmismo,paraqueresistalosesfuerzoslongitudinalesy circunferenciales.Paradisearunaestructura,primerosedeberealizarunclculoprofundo,para saberdemaneraexactalospuntosdondedebensercolocadoslosapoyoso soportes,paraquelaestructuranoestsometidaaesfuerzosdefalla;delo contrariosufriraunadeflexinquepodradeformarlapermanentemente (deflexin permanente). Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III REFERENCIAS BIBLIOGRAFCAS BeeryJohnston,Mecnicademateriales,5taedicin 2010.EditorialMcGraw-Hill. Hibbeler,R.C.,MecnicadeMateriales,6taedicin, Mxico, 2006. EditorialPEARSON EDUCACION. Robert W. FitzGerald, Mecnica de materiales, Mxico, 1990.Ediciones Alfa omega, S.A de C.V. James M. Gere, Mecnica de Materiales, 7ma. Edicin, 2009.Cengage Learning Editores, S.A de C.V. Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988. Editorial McGraw-Hill. Timoshenko Gere,Mecnica de materiales, 2da edicin1986. Editorial. Iberoamrica.Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III GLOSARIO Esfuerzoscombinados:Superposicindeesfuerzosaxialesydeflexinenlaseccin transversaldeunelementoestructuralquedacomoresultadounconjuntodeesfuerzos de traccin y de compresin. Concentracindeesfuerzos:Aumentodelosesfuerzosquesedesarrollanenlaszonas defectuosas y de discontinuidad de un material. Esfuerzosdemembrana:Esfuerzosdecompresin,traccinylateralesqueactande forma tangencial a la superficie de una membrana. Membrana: Superficie flexible que soporta cargas mediante el desarrollo de esfuerzos de traccin, generalmente fabricada de material asfltico y resistente a la intemperie. Traccin.Hacequeseseparenentreslasdistintaspartculasquecomponenunapieza, tendiendo a alargarla. Compresin. Hace que se aproximen las diferentes partculas de un material, tendiendo a producir acortamientos o aplastamientos Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Flexin.Esunacombinacindecompresinydetraccin.Mientrasquelasfibras superioresdelapiezasometidaaunesfuerzodeflexinsealargan,lasinferioresse acortan, o viceversa. Determinado. Que es preciso, exacto Indeterminado. Se aplica a la ecuacin o problema matemtico que tiene infinitas solucin Inercia. Lapropiedaddeuncuerpoapermanecerensuestadodereposohasta que se le aplique una fuerza. Multiaxial. Lo realizado u obtenido en varios ejes. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III ANEXOS Anexo 1.1 Datos Proporcionados Por Oxgasa San Miguel EQUIPOS PARA GASES COMPRIMIDOS (U.S. Departament of Transportation): es la agencia gubernamental de Estados Unidos que tiene jurisdiccin sobre el envasado y transporte de gases comprimidos.CilindrosdeAltaPresin:Loscilindrosdealtapresinparagasescomprimidosson envasesdeacerodecalidadespecial,fabricadossinunionessoldadasytratados trmicamente para optimizar sus propiedades de resistencia y elasticidad.Todos los cilindros utilizados por INFRASAL son fabricados bajo las normas D.O.T.(DepartamentofTransportation),organismoreguladordeestosenvasesenEstados Unidos.Estoscilindrossonllenadosaaltapresin,comprimiendoelgasenelreducidoespacio interior del cilindro. La fuerza ejercida por el gas sobre las paredes del recipiente al tratar de conservar su volumen en condiciones naturales, generan el efecto llamado "presin".Tipos de CilindrosSegnlacalidaddelacero,loscilindrospuedensertipo3Adeaceroalmanganeso,de paredgruesa,o3AA,generalmentedeacerocromo-molibdeno,depareddelgada.Los cilindrosutilizadosporINFRASALensumayorasondeltipo3AA,loquerepresentauna ventajaparalosusuariosyaquesonmslivianosyresistentesparaundeterminado volumen y presin de servicio.Loscilindrosutilizadospuedenserdedistintostamaos,yporlotantodediferentes capacidades. El espesor depared vara entre 5 y8 mm., salvo enla base y en el hombro, enqueelespesoraumentaparahacerseguroelmanejoypermitirelestampadocon letras de golpe, de los datos y valores indicados por las normas.Encuantoalaspresionesdellenado,ysegnlascaractersticasfsicasdecadagas, podemos distinguir dos casos:(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presinGases comprimidos de alta presin: Son aquellos que no se lican, pudiendo emplearse la presinmximaqueestablecelanormaparaelcilindrodealtapresinempleado.Esel Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III caso de Aire, Ar, He, H2, N2 y O2 , entre otros.Gasescomprimidos-licuadosdepresinintermedia:Sonaquellosqueselican,yquea temperaturaambientetienenpresionesdentrodelcilindrodelordende725psiga870 psig, para el caso del CO2 y del N2O respectivamente.En el caso de los gases comprimidos licuados, el llenado se establece como un porcentaje en peso de la capacidad de agua dentro del cilindro, el que para los gases mencionados es de68%.Paraestosgasessepuedenutilizarcilindrosdealtapresinconmenores restriccionesqueenelcasoanterior.INFRASALutilizaporseguridadcilindrosparaalta presin inclusive en el caso del CO2 y el N2O.Cilindros de Acetileno.Comosehaestudiado,elcasodelAcetilenotienetratamientoespecial,porserungas altamenteinflamableysensiblealapresin,porello,loscilindrosenquesecarga Acetileno son diferentes a los que se han mencionado antes.Elcilindroseencuentrarellenoconunapastasecayporosa,enformadepanal,cuyas miles de pequeas cavidades estn rellenas a su vez con acetona lquida.Al entrar al cilindro el Acetileno se disuelve en la acetona, repartindose en las pequeas cavidades,conlocualdesapareceelriesgodeexplosinydeesaformaesposible almacenar una cantidad mayor de gas a presin en el cilindro.El hombro y/o la base del cilindro estn equipados con tapones fusibles de seguridad, que sonpernosfabricadosconuntipodealeacinespecialdeplomoquefundea100C aproximadamente.Elcontenidodegassedeterminapesandoelcilindrovacocon acetona solamente y luego con gas.Identificacin de los cilindrosTodosloscilindrosdebenllevarunaseriedesignosestampadosagolpesenelhombro que identifican dueo, normas de fabricacin y control.(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presinPropiedad de INFRASALDatos de Clasificacin- Norma de clasificacin (DOT)Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III - Tipo de material (3AA)- Presin de servicio (2400 psi)Datos de Fabricacin- Nmero de serie del cilindro- Identificacin del fabricante- Mes y ao de fabricacin- Marca oficial deinspeccin reconocidaMarcas posteriores de Pruebas Hidrosttica:Fecha de la ltima prueba hidrosttica y smbolo de la empresa que realiz dicha prueba.Compuestoqueaceleralacombustinuotroprocesodeoxidacin.Elcontactodeestas sustanciasconmaterialescombustiblespuedegenerarfuegooexplosin espontneamente.Identificacin del gas contenido en un cilindro.Marcas:Cadacilindrodebesermarcadoenformavisibleyestable,evitandoel estampado en el cuerpo del cilindro. Las marcas deben ser fijadas en el hombro e incluyen elnombredelgasenidiomaespaol,sufrmulaqumica,elnombreusualdelproducto encasodemezclasylaidentificacindelfabricantedelgas.INFRASALcumpleconesta norma pegando en la zona indicada una etiqueta autoadhesiva donde se indica adems su clasificacin(oxidaste,inflamable,noinflamable,txico,notxico,etc.),lacantidadde gas , la fecha de llenado y las recomendaciones bsicas de seguridadColores: INFRASAL tiene su propia clasificacin de colores para facilitar la identificacin del gas dentro de los cilindros.Vlvulas:Cadacilindrotieneunavlvulaespecialydistintadependiendodelgasquecontenga, determinadaporlaCGA,quepermitellenarlo,transportarlosinprdidasyvaciarsu contenido en forma segura. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Anexo 1.2 Tabla de dimensiones y especificaciones Tcnicas de Postes de energa Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Anexo 1.3 Especificaciones de transformadores monofsicos Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III DESCRIPCION DE MATERIALES UTILIZADOS EN DISTRIBUCIN ELECTRICA CODIGODESCRIPCIONUNIDADCANT.PESO TOTALOBSERVACIONES 480101413CONECTOR COMPRESION YP26AU2 BURNDYC/U11-onza 482001520GRAPA P/ LINEA VIVA P/ 1/0 CHANCE S1520C/U17-onzas 720101300CONDUCTOR ELECTRICO ACSR # 2MTS308,96 lbs30 MTS. PESAN 8.96 LIBRAS 420101350PREFORMADA PLP ACSR # 2 DG-4542C/U15-onza 461300201CLEVIS REMATE 5/8 BETHEA SA-201C/U112-onza 401500600AISLADOR GAMMA CAMPANA CLEVIS 6" 13KVA ANSI 52-1C/U210-1/2 lbs 440462000PERNO ARGOLLA 5/8x10" IRL R-9410C/U11.47 lbs 441000034ARANDELA PLANA REDONDA DE 5/8 IRL R-1088C/U68-onzas 441400063ARANDELA DE PRESION 5/8" IRL R-6833C/U62-onzas 300600013PARARRAYO DE 9/10 KV. USA AZS101M010RC/U18-libras 300100040CORTACIRCUITO NCX 7.8/15KV USAC/U116-lbs 310100005FUSIBLE A.T. 5 AMP. TIPO KC/U12-onzas 460900000EXTENSION PARA CORTO CIRCUITO STANDARC/U14-libras 460510700ABRAZADERA GALV.S/PERNO 5/7C/U33-1/2 LBS 440320750PERNO CARRUAJE 1/2x6" T/CUADRADA IRL R-8646C/U62.63lbs 460610023ALMOHADILLA P/CRUCERO TIPO CC/U23-lbs 440400202PERNO MAQUINA 5/8 X 2" T/CUADRADO IRL R-8802C/U212-onza 1200104000CEPO PARA CARCAZA DE TRANSFOR. USAC/U12-onzas 703000004SOLIDO DESNUDO COBRE # 4MTS2811-1/2 lbs28 MTS. PESAN 11-1/2 LIBRAS 600110050TUBERIA CONDUIT ALUM. 1/2"C/U12-1/2 lbs 461800075MTS. CINTA BANDIT DE 3/4MTS61.48lbs6 MTS. PESAN 1.48 LIBRAS 461860075C/U. HEBILLA PARA CINTA BANDIT 3/4"C/U64-onzas 461700010BARRA COPPERWELD 5/8 X 10`C/U428-lbs 461760075C/U. CEPO DE COBRE PARA BARRA 5/8"C/U48-onzas Anexo 1.4 Tabla de especificaciones de materiales utilizados en postes de distribucin elctrica (errajes). Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III 460430010CLEVI PARA AISLADOR CARRETE AD CLI-0342C/U35-lbs 401400100AISLADOR CARRETE GRANDE ANSI 53-2C/U33-1/2 LBS 440401000PERNO MAQUINA 5/8 X 10`` IRL R-8810C/U54-1/2 lbs 1200101200CEPO DE COBRE #4PF-25 (UL)C/U36-onzas 700171500CONDUCTOR ELECTRICO THHN #2/0MTS811.68 lbs8 MTS. PESAN 11.68 LIBRAS 480101400CONECTOR COMPRESION YP25U25 BURNDYC/U39-onzas 401500800AISLADOR GAMMA ESPIGA 13KV ANSI 55-4C/U14-libras 460830013ESPIGA CABEZOTE DE 13 KV (COLA DE PATO)C/U14 LIBRAS 460160238CRUCERO GALV DE 3 x 3 x 1/4 x 94" (2.38 MTS)C/U138-1/2 lbs 460250094TIRANTE GALV EN V DE 45" P/CRUCERO DE 94" (2.38MT)C/U18-lbs 460610012ALMOHADILLA P/CRUCERO NORMADO TIPO SC/U11.5 lbs 440401150PERNO MAQUINA 1/2 X 1 1/2" IRL R-8701-1/2C/U26-onzas 460720020BARRA ANCLA DE EXPANSION D/OJO NORMADA IRL 5346-1C/U16-1/2 lbs 460730060ANCLA EXPANSIVA DE 70 GALVANIZADA(REPOLLO)C/U15-libras 462000032MTS. CABLE DE ACERO 5/16"MTS2214.55 lbs22 MTS. PESAN 14.55 LIBRAS 420400035PREFORMADA PLPPARA RETENIDA 5/16 GDE-1106C/U43-lbs 461000060ARGOLLA DE OJO (PATA DE MULA) AD ELTA-01C/U23-lbs Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Anexo 1.5 Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Anexo 1.6 TECNELEC Ubicado en Av. Roosevelt Sur, Final 3a. Av. Sur N. 504.San Miguel. Esfuerzos Combinados Mecnica de los slidos III Anexo 1.7 Recopilacin de datos (TECNELEC)