Esfuerzos Combinados

Universidad de El Salvador

Facultad Multidisciplinaria OrientalDepartamento de Ingeniería y Arquitectura

Mecánica de los Solidos III

Esfuerzos Combinados

Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos

Ciclo I-2012

Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012

INDICE

Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados

INTRODUCCION….…………………………………………………………………...

2

OBJETIVOS………………………………..…………………..………………………..

3

ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..

……………………….. 4

1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED

DELGADA……………….. 5

1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A

PRECION………………… 5

1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A

PRESION…………….….. 8

2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN

PUNTO………………… 10

2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES

MAXIMOS……………….. 13

2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL

PLANO……………………... 16

2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...

…………………… 17

3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...

……. 20

3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y

FLEXION……………. 21

3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y

TORSION…………... 22

Página 1


EJEMPLOS

TEORICOS……………………………………………………………….. 25

PROBLEMAS DE

APLICACION…………………………………………………….. 32

CONCLUSIONES………………………………………………………………………

42

RECOMENDACIONES…………………………………………………………….

…. 43

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………

44

REFERENCIA……………………………………………………………………...45

ANEXOS…………………………………………………………………………………46

Página 2


INTRODUCCION

El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el

estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los

esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el

entendimiento de los temas a tratar.

Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios

esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de

carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de

torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la

ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están

sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de

varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para

seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de

construcción.

A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a

presión de pared delgada (recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales

representan una importante aplicación en el análisis de esfuerzo

principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de

esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes

planos que pasan por un punto. Y el método de superposición de

esfuerzos que sirve para determinar por separado cada una de las

fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para

posteriormente combinar sus resultados y obtener la solución del

problema.

Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos

cuenta ya sea en nuestras casas que están hechas de vigas, que

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combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y

otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde

las vigas son de hierro y cemento.

Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven

involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño

de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener

en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los

mismos.

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OBJETIVOS

General

Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables en

superficies de pared delgada, transformaciones en un punto y

superposición de esfuerzos, además de analizar la interacción de

esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos

estructurales, determinando su intensidad.

Específicos

Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos

combinados en superficies de pared delgada, transformación en

un punto y superposición de esfuerzo.

Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga

axial, por carga de torsión y por carga de flexión cuando actúan

conjuntamente, para determinar el esfuerzo neto.

Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el

método de superposición de esfuerzo.

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ESFUERZOS COMBINADOS

Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del

esfuerzo de carga axial, esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por

carga de torsión.

En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los

elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si

no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera

simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en

donde la estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se

analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el

elemento. También es un método para dimensionar y seleccionar el

material adecuado para el elemento.

En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de

carga:

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Carga axial y flexión

Carga axial y flexión

Carga axial, torsión y flexión



1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Los recipientes a presión son estructuras

cerradas que contienen líquidos o gases a

presión, ejemplo de ello son los tanques

esféricos para almacenamiento de agua, los

tanques cilíndricos para aire comprimido,

tubos a presión y globos inflados, las

calderas de vapor, los tanques de

almacenamiento de líquidos o gases a

presión, los tanques de agua, los tanques de

almacenamiento de gramos y las tuberías

entre otros.

Se consideraran recipientes de pared

delgada los contenedores de forma cilíndrica

o esférica en los que el espesor de la pared

es pequeño comparado con el radio y su

longitud, y en tales casos se encuentran en

la clase general de estructuras conocidas

como “cascarones”. (Figura 1.0).

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Carga axial y por torsión


Recipientes esféricos

sometidos a presión.

Un tanque de forma esférica es el recipiente

ideal para resistir presión interna. Algunos

ejemplos conocidos son tanques, tubos y

cabinas de presión en aeronaves y vehículos

espaciales. Cuando los recipientes a presión

tienen pared delgada en comparación a sus

dimensiones generales, se les incluye dentro

de la categoría más general de cascarones.

(Figura 1.0c).

El término de pared delgada no es preciso,

pero una regla general es que la relación de

radio r al espesor de la pared t debe de ser

mayor que 10 a fin que podamos determinar

los esfuerzos en las paredes con exactitud

razonable mediante únicamente estática.

Una segunda limitación es que la presión

interna debe de ser mayor que la externa; de

lo contrario, el cascaron puede fallar por

colapso debido al pandeo de las paredes.

A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente

esférico, cortamos a través de la esfera

según un plano diametral vertical y

aislamos la mitad del cascaron junto con su

contenido de fluido como un solo cuerpo

libre (figura 1.1-a). Sobre este cuerpo libre

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Figura 1.0


actúan los esfuerzos de tensión σ en la pared

y la presión p del fluido que permanece

dentro del hemisferio. El peso del tanque y

su contenido se omiten en este análisis.

La presión actúa horizontalmente sobre el

área circular plana formada por el corte y

dado que la presión en uniforme, la fuerza

resultante de la presión es:

P=p (π r2)

donde r es el radio interior de la esfera.

Obsérvese que la presión p es la presión

interna neta, o presión manométrica (esto

es, la presión por encima de la presión

atmosférica, o presión externa).

Debido a la simetría del recipiente y su

carga (figura 1.1-b), el esfuerzo de tensión σ

es uniforme alrededor de la circunferencia,

además como la pared es delgada podemos

suponer con buena precisión que el esfuerzo

está distribuido uniformemente a través del

espesor t.

La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más

delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más grueso. La fuerza

obtenida a partir del esfuerzo normal es σ (2π rm t), donde t es el espesor

y rm es el radio medio del cascaron (r m=r+t /2 ) . Por supuesto, dado que

nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados,

podemos considerar que rm ≈ r; entonces, la fuerza resultante se

convierte en σ (2π rm t).

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Figura 1.1


σ= pr2 t

Ec. 1.0

Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta

misma ecuación para el esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a

través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que

una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión

σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en

la (Fig. 1.2b) por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en

direcciones mutuamente perpendiculares.

En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan

esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos

es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que σ x y σ y son iguales (Fig.

1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se reduce

a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos

principales son:

σ 1=σ2=pr2 t

Ec. 1.1

También, el esfuerzo cortante máximo en el

plano es cero. Sin embargo, se debe advertir

el elemento es tridimensional y que el

tercer esfuerzo principal (en la dirección z)

es cero. El esfuerzo cortante máximo

absoluto, originado mediante una rotación

de 45° del elemento respecto a cualquiera de

los x o y, es

τ max=σ2= pr

4 t

Ec. 1.2

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Figura 1.2


En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento

esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero,

adicionalmente, actúa un esfuerzo de compresión en la direcciónz, p

(Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos principales:

σ 1=σ2=pr2 t

σ 3=−p Ec .1.3

El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera

del plano (producido mediante una rotación de 45° alrededor de

cualquiera de los ejes x y y) es:

τ max=σ+ p

2= pr

4 t+ p

2 Ec. 1.4

Si la relación de r / t es suficientemente grande, el último término de

esta ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la

misma Ec.1.3, y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es

constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico

utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la

pared, así como varios accesorios y soportes. Esta característica origina

distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse

mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan

grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.

Recipientes cilíndricos sometidos a presión.

Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se

encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimidos

y motores de cohete, en casas de habitación (extinguidores de incendios

y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de

granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de

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agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes

cilíndricos a presión.

Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con

extremos cerrados y presión interna p (Fig. 1.3). En la figura se

muestra un elemento esforzado cuyas caras son paralelas y

perpendiculares al eje del tanque.

Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada

sometido a presión interna. Los esfuerzos normales en un tanque σ 1 y

σ 2 que actúan sobre las caras laterales de este elemento son esfuerzos

de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos σ 1 y σ 2 son

esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo σ 1 se denomina

esfuerzo circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar, σ 2

es el esfuerzo longitudinal o esfuerzo axial. Cada uno de estos

esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el empleo de

diagramas de cuerpo libre apropiados.

Para determinar el esfuerzo

cincunferencial σ 1, aplicamos dos cortes

(mn y pq) perpendiculares al eje longitudinal

y separamos una distancia b (Figura 1.3-a).

Luego efectuamos un tercer corte en un

plano vertical a traves del eje longitudinal

del tanque con lo cual resulta el diagrama de

cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este

cuerpo libre no consiste solamente en la

pieza longitudinal del tanque, sino tambien

el el fluido contenido dentro de los cortes.

Los esfuerzos circunferenciales σ 1 y la

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presion interna p actuan sobre el corte

longitudinal (mnpq).

Los esfuerzos circunferenciales σ 1 que

actuan en la pared del recipiente tiene una

resultante igual a σ 1 (2 bt ), donde t es el

espesor de la pared. Además, la fuerza

resultanteP1 de la presión interna es igual a

PdA=2pbri, donde ries el radio interior del

cilindro. Haciendo equilibrio de las

ecuaciones antes mencionadas se obtiene lo

siguiente (El esfuerzo circunferencial para

un cilindro a presión):

σ 1=prt

Ec. 1.5

El esfuerzo longitudinal σ 2 se obtiene del

equilibrio de un cuerpo libre de la parte del

recipiente a la izquierda de la sección

transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual

que en el análisis anterior no solo la parte

del tanque, sino también su contenido. Los

esfuerzos σ 2 actúan en sentido longitudinal y

tiene la fuerza resultante igual a

σ 2dA=σ2(2 π ri t). La fuerza resultante P2la

presión interna es

igual a PdA=pπ r2. Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y

despejando para p se obtiene:

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Figura 1.3


σ 2=pr2 t

Ec.1.6

La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de

membrana a través de las paredes del recipiente eran uniformes.

2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO

La transformación del esfuerzo significa la variación, con la

dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL

estudio de este tema se refiere principalmente a casos

bidimensionales, pero también se dan algunos resultados

importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este

tema es importante en la determinación de los esfuerzos

máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones

de esfuerzos que producen la falla de un elemento.

Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos

planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por

ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente

da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos

cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como

se muestra en la figura

2.1a: Los esfuerzos en

planos cortantes orientados

de distinta manera fig 2.1b

son diferentes.

Figura 2.1

En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son

diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que

otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente

el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes

representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a

representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente

perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un

elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de

manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son

iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante

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único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos

diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la

figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura

2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes

de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.

Figura 2.2

El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son

independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y/están relacionadas

con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes

sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un

punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo.

Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de

las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño

infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura.

(fig.2.3) esta formada por

planos cortantes normales a

los ejes de referencia X,Y y

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por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´ que

forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la

cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados

a las coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si

tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos

opuestos.

Figura 2.3

Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para

los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se

obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara

sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al

plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara

adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las

identidades trigonométricas.

Y finalmente tenemos:

σx ´=σx+σy2

+( σx−σy2 )¿ (Ec.2-1)

O, finalmente:

τx ´ y ´=(

(−σx−σy ) ( sen2θ )2

)¿ (Ec.2-2)

Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso

bidimensional y dan valores de σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La

componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º.

Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden

pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos

x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto,

utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es

suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto.

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Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura

2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones

estáticas y dinámicas de un cuerpo.

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.

Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal σ x1, y el

esfuerzo cortante y τ x1 y1varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo θ. Con

fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para

determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales,

empezamos con la expresión σ x1:

σ x1=

σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ+τ xy sin 2 θ (Ec.2-3)

Al tomar la derivada σ x1 con respecto a θ e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores

de θ para los cuales σ x1 es máximo o e mínimo:

d σx1

dθ=−( σx−σ y ) sin 2θ+2 τ xy cos2 θ=0

De la cual obtenemos:

tan2 θp=2 τ xy

σx−σ y

(Ec.2-4)

De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de 2 θp en el intervalo entre 0 ° y360 °. Estos

valores difieren en 180 °, estando el valor mas pequeños entre 0 ° y 180 ° y el valor mas grane entre

180 ° y 360 °. Por lo tanto, el ángulo θp tiene dos valores que difieren en 90 °, uno entre 0 ° y 90 °,

y el otro entre 90 ° y 180 °. Para uno de estos ángulos el esfuerzo σ x1 es un esfuerzo principal

máximo; para el otro, σ x1 es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de θp difiere en

90 °, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.

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Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse

fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de θp en la

ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar

σ x1. Mediante este procedimiento podemos conocer también

cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de

los dos ángulos principales θp .

cos2 θ=σx−σ y

2 R

sin 2θ=τ xy

2

En donde :

R=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

(Ec.2-5)

Se sustituyen las expresiones para cos2θ ysin 2θ en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico

mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por σ 1:

σ 1=σx+σ y

2+√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

El más pequeño de los esfuerzos se denota por σ 2 determina por la la condición

σ 1+σ2=σ x+σ y

Puesto que σ 1 y σ2actúan sobre planos perpendiculares.

σ 2=σx+σ y

2−√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos

principales:

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σ maxmin

=σ1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (Ec.2-6)

Este resultado de los esfuerzos principales, designados por

σ 1 y σ2, en función de las componentes de referencia, σ x,σ y, y

τ xy. Donde se especificó anteriormente σ 1=σmax y σ 2=σmin.

Los esfuerzos principales siempre representan los valores

mayor y menor de σ x, en un punto.

Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos

axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que

tan2 θ=O (véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores

de θp son 0° y 90°Figura 2.5

Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos

principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b),

ya que tan 2 θp es infinito y, por consiguiente, los dos valores

de θp son 45° y 135°. Si τ xyes positivo, los esfuerzos

principales son σ 1=τ xy y σ 2=τ xy

El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere

únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano

xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos

esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-

gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.

Figura 2.6

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Mediante un análisis tridimensional más completo, puede

demostrarse que los tres planos principales para un elemento en

esfuerzo plano son los dos planos principales que se han

descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se

muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la

Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo θp, que es

uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los

esfuerzos principales son σ 1, σ2 y σ3, donde σ 1 y σ 2resultan de

la Ec. (2-6) y σ 3 es igual a cero.

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FFi

gura 2.7

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO.

La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo

cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la

derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a

cero el resultado. Se obtiene

tan2 θ s=−(σ x−σ y )/2

τ xy

(Ec.2-7)

Las dos raíces de esta ecuación θ s 1 y θs 2, se pueden determinar

con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de 2 θs esta a 90°

de 2 θp. Así las raíces de θ s y θp forman 45° entre ellas, y el

resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se

pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto

a la posición de un

elemento que defina los

planos del esfuerzo

principal.

Figura 2.8

Usando cualquiera de las raíces θ s 1o θ s 2, se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando

los valores trigonométricos de sen2 θs y cos2 θs en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-

2). El resultado es:τ maxenel plano=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (Ec.2-8)

El valor de τ maxenel plano calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en el

plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen2 θs y cos

2 θs en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo

cortante máximo en el plano. Se obtiene:

σ prom=σ x+σ y

2 (Ec.2-9)

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CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO

El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas

relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este

método se basa en consideraciones geométricas simples y no

requiere el uso de ecuaciones especializadas.

Considere un elemento cuadrado de un material sometido a

esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean,σ x , σ y , τ xylas componentes

del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de

coordenadas σ xy −τ xyy un punto Y de coordenadas σ xy +τ xy

(figura2-9). Si τ xyes positivo, como se supone en la figura 2-9 a,

el punto X está situado debajo del eje σ x y el punto Y encima,

como se muestra en la figura 2-9 b. Si τ xyes negativo, X se sitúa

encima del eje σ xy Y debajo. Uniendo X y Y mediante una línea

recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el

eje σ y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY. Al

observar que la abscisa de C y el radio del círculo son

respectivamente iguales a las cantidades σ promy R definidas por

las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo obtenido es

el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las abscisas de los

puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje σ , representan

respectivamente los esfuerzos principales σ max y σ min en el

punto considerado.

Figura 2.9

Se nota también que como tan (XCA )=2 τ xy

σ x−σ y

,el ángulo XCA

es igual en magnitud a uno de los ángulos 2 θPque satisfacen las

ecuaciones (2-4). Así, el

ángulo θPque define la

figura (2.9)la orientación

del plano principal

correspondiente al punto A

en la figura 2.9 puede

obtenerse dividiendo entre

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la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe

además que si σ x>σ y y τ xy>0, como en el caso considerado

aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las

agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo θPobtenido de la

ecuación (2-4), el cual define la dirección de la normal Oaal

plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Oxa

Oaes también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se

concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la

figura 2.9 son los mismos. Si se requiere un giro 2 θPpara llevar

CX a CA en el círculo Mohr, una rotación en sentido contrario

al de las agujas del reloj θP llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.

Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el

mismo círculo puede obtenerse considerando las componentes,

σ x , σ y , τ xy, correspondiente a los ejes x ´ y y ´ de la figura

2.10a. El punto X' de las coordenadas σ xy −τ xy., y el punto Y´

de coordenadas σ xy +τ xyestán, por tanto, localizadas en el

círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe ser el

doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo XCA

es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de la

figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el

diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes

σ x , σ y , τ xy, puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo

igual al doble del ángulo θformado por los ejes x' y x de la fi-

gura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el

diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual

sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'

en la figura 2-10a.

Figura 2.10

La propiedad que se acaba

de indicar puede usarse

para verificar el hecho de

que los planos de esfuerzo

cortante máximo están a

45° de los planos

principales. Ciertamente,

recuerde que los puntos D y

E del círculo de Mohr

corresponden a los planos

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de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a

los planos principales (figura 2.11b). Puesto que los diámetros

AB y DE del círculo de Mohr están a 90° el uno del otro, se

tiene que las caras de los elementos correspondientes están a

45° la una de la otra (figura2.11a).

La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se

simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del

elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De

las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante

ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento

en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a

esa cara está colocado por encima del eje σ el círculo de Mohr.

Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el

elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto

correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje σ (Fig.

2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención

usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se

gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se

gráfica hacia la izquierda.

a)

b)

Figura 2.11

3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS

En la práctica de la ingeniería, se usa a menudo el

principio de superposición en la solución de problemas.

Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema

de carga completo que involucra un cierto número de

fuerzas de diferentes

tipos, podemos

determinar el efecto de

cada fuerza del sistema

sobre el miembro

separadamente. Después,

Página 24


los resultados de cada una de ellas se combinan para

obtener la solución del problema.

El principio de superposición es fácil de entender y

aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido

combinar los resultados. Si los resultados combinados no

son lineales, la superposición no es válida.

Existen tres tipos de esfuerzos básicos:

1- P/A solamente se consideran cargas axiales

aplicadas a través del centroide de la sección.

2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de

sección circular.

3- c/I solamente cargas aplicadas

perpendicularmente al eje transversal

Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de

problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando

adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica

frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan

con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son

válidas como se muestra

en las figuras a la

derecha las cuales

muestran varios ejemplos

de problemas de este

tipo. Sin embargo, estos

problemas pueden

resolverse mediante una

combinación adecuada

de los métodos ya

estudiados.

Página 25


Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados:

Axial y flexion.

Flexion y torsión.

Axial y torsión.

En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se

analizaran por el método de superposición.

SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXIÓN

Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una

carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura

3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial

solamente, sino una combinación de las dos. Si se

descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y

vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas

componentes actúan en las direcciones que permiten

aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente.

La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce

esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras.

La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión

Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o

acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente.

Figura 3.1

El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción

confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra

pueden calcularse como:

± pA

± McI

(Ec.3-1)

Página 26


Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión

son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los

esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia

general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las

fibras externas.

Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son

enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se

multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos

casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento

total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el

momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta

conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el

efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas

esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.

FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS

A veces se necesita que los miembros estructurales soporten conjuntamente cargas de

flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de

rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales

condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial

siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender

momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada

resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por

medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto

elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del

CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los

esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de

situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el

diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo

Página 27


Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra

circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al

eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la

distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática.

Tales resultantes son:

1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L –

x ), donde L es la longitud de la viga;

2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y.

3) Un momento torsionante T. Observe que en este

caso el momento flector se considera positivo

cuando produce tracción en la parte superior de la

viga si ahora examinamos un elemento localizado

en la superficie superior de la barra (Elementos A

en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará

sometido a los esfuerzos de flexión,σ X Debido a M

y a los esfuerzos cortantes, τ Debidos a T

(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las

ecuaciones σ X =MyI

y τ=T ρJ

Respectivamente,en el caso de un árbol circular de

diámetro d, esta ecuaciones se convierte en.σ x=

32 M

π d3 (Ec.3-2) ; τ=16 T

π d3 (Ec.3-3) Figura 3.2

Conociendo σ x y τ Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier

ángulo que se desee en el punto A.

Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación.

σ 1,2=σ x

2 ± √¿¿) + τ 2 (Ec.3-4)

Página 28


Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es:

τ max=σ1−σ2

2 ¿ √¿¿) + τ 2. (Ec.3-5)

Si se conocen los valores admisibles σ w y τ w de los esfuerzos normal y cortante sustitúyanse

en la dos ecuaciones anteriores en lugar de σ 1 y σ 2 y τ max, y luego despéjese “d” el diámetro

requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos máximos cuando el

elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento Flexionante M tiene el

valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un elemento en la parte

superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para analizar los esfuerzos en

la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se producirán por lo general donde los

esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte superior o en l parte inferior de la viga

en la sección recta del máximo momento Flexionarte sin embargo a veces es necesario

considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza cortante V= Q produce un esfuerzo

máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente se debe considerar también un

elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje neutro (Elemento B). Tal

elemento se hallará en estado de cortadura pura (figura), constando el esfuerzo cortante de

dos partes:

1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y τ=T ρJ

2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y τ=V QI b

. Los

esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos

esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior

y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar

en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también

comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta

empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es

circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y

compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo

el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los

Página 29


puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar

razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.

EJEMPLOS TEORICOS

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

EJEMPLO 1.1

Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de 15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre:

a) El esfuerzo normal máximo

b) El esfuerzo cortante máximo del tanque (La densidad del agua es de 1000 kg/m3)

DATOS

t=16 mm≅ 0.016 metros

r=d2=4 met ros

r∫ ¿=d

2−t=3.984 metros¿

ρ=1000 kg/m3

Para determinar el Peso específico:

γ= ρg

γ=(1000kg

m3)(9.807 m /s2)

γ=9,807 N /m3

Página 30


Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base P=Ɣ w Z

P=( 9,807 N /m3 ) (15.5 m)=152,008.5 N /m2

P=152,008.5 Pa

Haciendo un corte en la región media del

recipiente cilíndrico

∑ Fz=0

−p A1+σn A2=0

−p (2 r ∆ y )+σ1 (2t ∆ y )=0 (Ec 1)

σ 1 (2 t ∆ y )=p (2 r ∆ y )

σ 1=p (2 r ∆ y )(2 t ∆ y )

σ 1=σn=Prt

Sustituyendo datos :

σ n=(152,008.5

N

m2 ) (3.984 m)

0.016 m

σ n=37,850,116.5 N /m2

σ n=37.85 MPa

Esfuerzo longitudinal en el elemento A.

Página 31


∑ Fy=0

σ 2dA−pdA=0

σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0

σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )

σ 2=p ( π r2 )(2πrt )

σ 2=Pr2t

Sustituyendo datos:

τ max=σ2=Pr2 t

τ max=(152,008.5

N

m2 ) (3.984 m )

2(0.016 m)τ max=18,925,058.25 N /m2

τ max=18.92 Mpa

Debe observarse que el tercer esfuerzo principal τ es cero en la superficie exterior del cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.

Página 32


ESFUERZOS EN UN PUNTO

Ejemplo 1.2

El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante máximo ejercido en el mismo punto.

Encontrando Inercia

I=π4

r4=π ¿¿¿

Encontrando el momento

∑ M =0

M−600 Lb¿

M=3600 Lbin

Encontrando esfuerzo

σ=−MyI

=−3600 Lbin¿¿

Con torsion encontramos el esfuerzo cortante τ

τ=TrJ

= Trπ2

r4= 2T

π r3

τ=2 (2500 Lbin )

π ¿¿¿

σ x=−18781.30 PSI σ y=0 τ xy=6519 PSI

Página 33


a) Esfuerzos Principales:

σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

σ 1,2=−18781.30 PSI +0

2±√(−18781.30 PSI−0

2 )2

+(6519 PSI )2

σ 1=−9390.65 PSI+11431.61 PSI=2040.95 PSI

σ 2=−9390.65 PSI−11431.61 PSI=20822.26 PSI

tan2 θ=2 τ xy

σx+σ y

tan2 θ=2 (6519 PSI )

−18781.30 PSI+0=−0.6942

2 θ=−34.77° θ=−17.38° y θ=72.62°

b) Esfuerzo Cortante Maximo

τ max=σ1−σ2

2

τ max=2040.95 PSI− (−20822.26 PSI )

2

τ max=11431.61 PSI


Ejemplo 1.3

Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje, determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J, K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y

Página 34


horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la izquierda del cojinete B.

SOLUCION:

+¿↶∑ M A=0=−500lb ¿¿

B=500 lb ¿¿

∑ F z=0=A+B−500 lb⇒ A=250 lb

+¿↶∑ M x=0¿: −(5000 lb )¿

T=9000 lb .∈¿

Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion transversal que contiene a H, J, K y L.

V=B=250 lb T=9000 lb .∈¿

La fuerza V produce un momento en el eje y:

M y=(250 lb ) ¿

Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de diametro son:

A=π ¿¿

I=14

π¿¿

J=12

π ¿¿

Usando la ecuacion τ=TcJ

se determinan los esfuerzos

cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.

τ=TcJ

=¿¿

DCL Cigüeñal completo

Fuerzas internas en la sección trnasversal

Página 35


Esfuerzos producidos por un par giratorio T.

La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L. Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo respecto de un diametro vertical y despues se calcula el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb. Estos esfuerzos se muestran en la figura b.

Q=( 12

π c2)( 4c3 π )=2

3c3=2

3¿¿

τ=VQ¿ =

(250 lb )(60.7 X 10−3 ¿3)(32.2X 10−3¿4)¿¿

Como el par flector M y actua en un plano horizontal, no

produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación

σ=|M y|c

I se determinan los esfuerzos normales en los puntos

J y L, se ilustran en la figura c.

σ=|M y|c

I=¿¿

Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L.

En el punto H: τ=6290 psi−524 psi=5766 psi

En el punto J: τ=6290 ps

σ=8730 psi

En el punto K: τ=6290 psi+524 psi=6814 psi

En el punto L: τ=6290 psi

σ=8730 psi

Esfuerzos producidos por la fuerza cortante V.

Esfuerzos producidos por el par flector My.

Página 36


PROBLEMAS DE APLICACION

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Problema 1.1

Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa

sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L

de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro

interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un

espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de

20 PSI. Determine:

a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas

b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque

(Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)

Solución

Datos

L=2.253 m

t cilindro=6.35 mm≅ 0.25 pulg

Página 37


d∫ .cilindro=79 cm≅ 31.10 pulg

t esfera=4.76mm≅ 0.1874 pulg

Pmanometrica=20 PSI ≅ 20lb

¿2

rext . cilindro=d∫ . cilindro

2+ tcilindro=¿

rext . cilindro=31.10∈¿2+0.25∈¿15.80∈¿¿

r∫ .esfera=rext . cilindro−t esfera=¿

r∫ .esfera=15.80∈−0.1874∈¿15.61∈¿

a)

Analizando las cabezas esféricas

∑ Fx=0

σ 2dA−pdA=0

σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0

σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )

σ 2=p ( π r2 )(2πrt )

σ 2=Pr2t

Donde :

¿σ 2=P r∫ .esfera

2t esfera

Página 38


- Sustituyendo datos

σ 2=(20lb

¿2)¿¿

σ 2=832.9 PSI

σ 1=832.9 PSI

Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales.

b)

Analizando el cuerpo cilíndrico- Para el eje x

∑ Fx=0

σ 2dA−pdA=0

σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0

σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )

σ 2=p ( π r2 )(2πrt )

σ 2=Pr2t

σ 2=P r∫ .cilindro

2t cilindro

- Sustituyendo datos

σ 2=(20lb

¿2)¿¿

σ 2=622 PSI

- Para el eje Z

∑ Fz=0

−p A1+σn A2=0

Página 39


−p (2 r ∆ y )+σ1 (2t ∆ y )=0

σ 1 (2 t ∆ y )=p (2 r ∆ y )

σ 1=p (2 r ∆ y )(2 t ∆ y )

σ 1=Prt

Sustituyendo datos :

σ 1=(20lb

¿2 )¿¿

σ 1=1244lb

¿2

σ 1=1244 PSI

Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el

esfuerzo longitudinal σ 1=2σ2

ESFUERZOS EN UN PUNTO

Problema 1.2

Determine los esfuerzos principales y el

esfuerzo cortante máximo en el punto M de

una tuerca de la llanta de un automóvil si se

necesita ajustar para que funcione

correctamente por medio de una llave cruz. El

diámetro de la tuerca es de 16mm.

Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D

Página 40


∑ M =0

T D−4 N (0.175 m )−12 N (0.175 m )=0

T D=2.8 Nm

Encontrando el momento.

∑ F D=0

4 N−12 N+FD=0

FD=8 N

M=8 N (0.05m )=0.4 Nm

Encontrando esfuerzos en el plano

Inercia

I=π4

r4=π (8 ×10−3 m)4

4=3.2170 ×10−9m4

σ=−MyI

=−0.4 Nm (8×10−3m )

3.2170× 10−9 m4 =−994,718.4 Pa

Encontrando cortante

τ=TrJ

= Trπ2

r4= 2T

π r3

τ=2 (2.8 Nm )

π (8 ×10−3 m)3=3,481,514.4 Pa

Obtuvimos:

σ x=−994,718.4 Pa σ y=0 τ xy=3,481,514.4 Pa

a) Esfuerzos Principales

Página 41


σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

σ 1,2=−497,359.2 Pa ±√1.23683 ×1013 Pa2

σ 1,2=−497,359.2 Pa ±3,516,860.63 Pa

σ 1=−497,359.2 Pa+3,516,860.63 Pa=3,019,501.43 Pa

σ 2=−497,359.2 Pa−3,516,860.63 Pa=−4,014,219.83 Pa

σ 1=3.02 MPa

σ 2=−4.01 MPa

tan2 θ=2 τ xy

σx+σ y

tan2 θ=2 (3,481,514.4 Pa )−994,718.4 Pa+0

=−7.0

2θ=tan−1 (−7.0 )

2 θ=−81.87° θ=−40.93° y θ=49.06°

b) Esfuerzo Cortante Maximo

τ max=σ1−σ2

2

τ max=3.02 MPa−(−4.01 MPa )

2

τ max=3.52 MPa

ESFUERZOS COMBINADOS.

Problema 1.3

Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg, diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada

por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con diámetro de

Página 42


10.186 in. La lámpara tiene una excentricidad de 25.593 in desde la línea central del poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba del suelo.

Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico del concreto reforzado es de 2.4 Ton /m3)

Datos

L1=225∈¿

L2=31.093∈¿

d=10.186∈¿

Área de la sección transversal del poste

A=π4

(dext )2 =

π4

¿¿

γ=2.4 Ton/m3≅ 0.07865907lb

¿3

- Encontrando el Peso del poste W 1

γ=W 1

V W =Vγ (Ec.1)

Donde: V=π . r2 h

V=π .¿¿

De ecuacion 1

W 1= (19,556.513¿3 )(0.07865907lb

¿3 )W 1=1,538.309lb

W 2=16.5kg≅ 36.37 lb

1- Analizando W1 para los

puntos P y Q

Siendo W1 = 1,538.309 lb

σW 1=

W 1

ASeccion transversaldel poste

=1,538.309 lb

81.4887 ¿2 =18.8776 psi

Página 43


2- Analizando W2 para los

puntos P y Q

El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión

F1= peso de la lámpara =36.37 lb

y un momento:

M 1=( F1 ) ( L2 )=(36.37 lb )¿in) = 1130.8524 lb.in

I = π

64(d ext4 )= π

64¿¿

σ f=FA

=¿

36.37 lb

81.4887¿2=0.44632 psi

σ M=

Md2

I=¿¿

3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento

La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza resultando Fv

Página 44


Fv=PA=(0.19 psi)¿

Fv=23.275 lb

La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste

V = Fv = 23.275 lb

Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2

M 2=( Fv ) (d )=(23.275 lb ) ¿

Un par de tensión T

T=Fv . d= (23.275 lb ) ¿

σ M=M

d2

I=¿¿

τT=T

d2

I p

=¿¿

I P=π

32¿

τV =4 V

3 A=

4(23.275 lb)

3 ( 81.4887¿2 )=0.3808 psi

Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:

- En el punto P:

Página 45


σ 1,2= σ x+¿σ y

2¿ ± √(

σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

σ 1= 31.1494 psi

2 +

√( 31.1494 psi2

)2

+(3.4875 psi)2→ σ1=31.535 psi

σ 2= 31.1494 psi

2 - √( 31.1494 psi

2)

2

+(3.4875 psi )2 → σ2=¿ -0.3857 psiτ max = √(

σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

τ max=¿

√( 31.1494 psi2 )

2

+(3.4875 psi )2

→ τ max=¿ 15.9604 psi

- En el punto Q:

σ 1,2= σ x+¿σ y

2¿ ±

√(σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

Página 46


σ 1=- 30.2231 psi

2 +

√( 30.22312

)2

+(3.8683 psi)2→ σ1=0.4872 psi

σ 2=- 30.2231 psi

2 - √( 30.2231 psi

2)2

+(3.8683 psi )2 → σ2=¿ -30.7104 psi

τ max = √(σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

τ max=¿ √(−30.2231 psi2 )

2

+ (3.8683 psi )2 → τ max=¿ 15.6 psi

CONCLUSIONES

Página 47


Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en

el análisis de estructuras, es más comprensible el

comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas.

Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales

y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto

proporciona los elementos necesarios para el diseño de las

mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el

esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable.

Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o

tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan

cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión,

pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando

tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el

esfuerzo en un recipiente de presión cilíndrico que contenía

oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y

circunferenciales que actúan sobre este, a través de las

ecuaciones determinadas para su resolución.

Página 48


RECOMENDACIONES

Es importante recordar que a la hora del análisis de una

determinada estructura el conocimiento teórico del fenómeno es

indispensable, por lo cual se debe hacer una investigación previa

del comportamiento promedio del problema a analizar.

Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta

la presión a la que van a ser sometidos, puesto que de esto

dependerá la elección del material y el espesor del mismo, para

que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.

Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo

profundo, para saber de manera exacta los puntos donde deben

ser colocados los apoyos o soportes, para que la estructura no

esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una

deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión

permanente).

Página 49


BIBLIOGRAFIA

Beer y Johnston, Mecánica de

materiales, 5ta edición 2010. Editorial

McGraw-Hill.

Hibbeler, R. C., Mecánica de

Materiales, 6ta edición, México, 2006.

Editorial PEARSON EDUCACION.

James M. Gere, Mecánica de

Materiales, 7ma. Edición, 2009.

Cengage Learning Editores, S.A de C.V.

Nicholas

Willems,

Resistencia

de materiales,

1988.

Editorial

McGraw-Hill.

Página 50


REFERENCI AS

Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:

Ejemplo 1.1

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill.

Capítulo 7

Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión

Ejemplo 1.2

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.

Capítulo 7

TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES

Ejemplo 1.3

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.

Página 51


Capítulo 8

ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA

Página 52

Esfuerzos Combinados

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