1.5 ESPACIO EUCLIDIANO -DIMENSIONALn

En las secciones 1.1 y 1.2 estudiamos los espacios , y y dimos susV œ V V V" # $

interpretaciones geométricas. Por ejemplo, un punto en se puede pensara bBß Cß D V$

como un objeto geométrico, a saber, el segmento de recta dirigido, o vector, que saledel origen y termina en el punto . Entonces podemos pensar de cualquieraa bBß Cß D V$

de estas dos maneras:(i) Algebraicamente, como un conjunto de ternas donde , y son númerosa bBß Cß D B C Dreales(ii) Geométricamente, como an conjunto de segmentos dirigidos Estas dos maneras de considerar son equivalentes. La definición (i) es másV$

conveniente. Para generalizar. Específicamente, podemos definir , donde es unV 88

entero positivo (quizá mayor que ), como el conjunto de todas las -adas ordenadas$ 8

a b Š ‹È ÈB ß B ß ÞÞÞß B B "ß &ß #ß $ − V" # 8 3% donde los son números reales. Por ejemplo, .

El conjunto definido anteriormente se conoce como , yV 88 -espacio euclidiano

sus elementos x se conocen como o - . Al hacerœ B ß B ß ÞÞÞß B 8a b" # 8 vectores vectores

8 œ "ß # $o , recuperamos la recta, el plano y el espacio tridimensional,respectivamente. Comenzamos nuestro estudio del -espacio euclidiano introduciendo varias8operaciones algebraicas. Éstas son análogas a las introducidas en la sección 1.1 para V#

y . Las primeras dos, suma y multiplicación por un escalar, se definen como sigue:V$

(i) ;a b a b a bB ß B ß ÞÞÞß B C ß C ß ÞÞÞß C œ B C ß B C ß ÞÞÞß B C" # 8 " # 8 " " # # 8 8

y(ii) para cualquier número real ,!

! ! ! !a b a bB ß B ß ÞÞÞß B œ B ß B ß ÞÞÞß B" # 8 " # 8 .

La importancia geométrica de estas operaciones para y se analizó en la secciónV V# $

1.1. Los vectores e , e , e se8 œ "ß !ß !ß ÞÞÞß ! œ !ß "ß !ß ÞÞÞß ! ß ÞÞÞ 8 œ !ß !ß ÞÞÞß !ß "" #a b a b a bllaman de , y generalizan los tres vectores unitariosvectores de la base usual V8

ortogonales entre sí, , y de . El vector x se puede escribir como3 4 5 V œ B ß B ß ÞÞÞß B$" # 8a b

x e e e .œ B B ÞÞÞ B" " # # 8 8

Para dos vectores x y y en , definimos œ B ß B ß B œ C ß C ß C Va b a b" # $ " # $$ el producto

punto o producto interno x y como el número real x y . Esta† † œ B C B C B C" " # # $3

definición se extiende fácilmente a ; específicamente, paraV8

x . En se suele usar la notacion en lugar de x y,œ B C B C ÞÞÞ B C V Bß C †" " # # 8 88 a b

para el producto interior. Continuando con la analogía con , ahora tenemos queV$

definir el concepto abstracto de de un vector x mediante la fórmulalongitud o norma

longitud de x x x xœ m m œ † œ B B ÞÞÞ B ÞÈ É" ## # #

8

Si x y y son dos vectores en el piano o en el espacio , sabemos que ela b a bV V# $

ángulo entre ellos está dado por la fórmula)

-9= œ) x yx y†

m mm m .

El lado derecho de esta ecuación está definido tanto para como para . AúnV V8 #

representa el coseno del ángulo entre x y y; este ángulo, está bien definido pues x y yestán en un subespacio bidimensional de (el plano determinado por x y y). ElV8

producto punto es una poderosa herramienta matemática; una razón es que incorporael concepto geométrico de ángulo entre dos vectores. Sera útil disponer de algunas propiedades algebraicas del producto interior. Seresumen en el siguiente teorema (ver las propiedades (i), (ii), (iii) y (iv) de la sección 1.2)

TEOREMA 2 Para x, y y z y y números reales, tenemos− V8 ! "

(i) x y z x z y z .a b a b a b! " ! " † œ † † (ii) x y y x.† œ † (iii) x x .† � ! (iv) x x x .† œ ! œ !si,y sólo si,

DEMOSTRACIÓN Cada una de las cuatro afirmaciones se puede probar medianteun sencillo cálculo. Por ejemplo, para probar la propiedad (i) escribimos

a b a b a b! " ! " ! " ! "x y z † œ B C ß B C ß ÞÞÞß B C8 † D ß D ß ÞÞÞß D" " # # 8 " # 8

œ B C D B C D ÞÞÞ B C Da b a b a b! " ! " ! "" " " # # # 8 8 8

œ B D C D B D C D ÞÞÞ B D C D! " ! " ! "" " " " # # # # 8 8 8 8

x z y zœ † †! "a b a bLa otra demostración es similar.

En la sección 1.2 probamos una propiedad mucho más interesante de losproductos punto, llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz (a veces se le llamadesigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, o simplemente desigualdad CBS, porquese descubrió de manera independiente en casos particulares por el matemático francésCauchy, el matemático ruso Bunyakovskii y el matemático alemán Schwarz). Para laV#

demostración requirió de la ley de los cosenos. Podríamos escoger este método paraV V8 8, restringiendo nuestra atención a un piano en . Sin embargo, podemos dar unademostración directa, completamente algebraica.

TEOREMA 3 (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ) Sean x y y vectores en .V8

Entoncesl † l Ÿ m mm mx y x y .

DEMOSTRACIÓN Sea y y y x y. Si el teorema es claramente+ œ † , œ † + œ !válido, pues entonces y y ambos lados de la desigualdad se reducen a . Asi,œ ! !podemos suponer que . Por el teorema 2 tenemos+ Á !

! Ÿ + , † + , œ + † #+, † , †a b a bx y x y x x x y y y# #

œ † † † † Þa b a ba by y x x y y x y# #

Al dividir entre y y se tiene†

! Ÿ † † †a ba b a bx x y y x y #

o a b a ba bx y x x y y x y† Ÿ † † œ m m m m# # #

Al extraer raíz cuadrada en ambos lados de esta desigualdad se obtiene la regladeseada.

Hay una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy-Schwarz entérminos de longitudes. La desigualdad del triángulo es geométricamente clara en .V$

En la figura 1.5.1, x y , x y y . Como lamSUm œ m m mSTm œ m m œ mVUm mSVm œ m msuma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que la longitud deltercero, tenemos , esto es x y x y . El caso paramSUm Ÿ mSVm mVUm m m Ÿ m m m mV8 no es tan obvio, de modo que daremos la demostración analítica.

Figura 1.5.1 Esta situación geométrica muestra que , o, enmSUm Ÿ mSVm mVUmnotación vectorial, que x y x y , lo cual es la desigualdad del triángulo.m m Ÿ m m m m

COROLARIO x y Sean y vectores en . EntoncesV8

m m Ÿ m m m m Þx y x y desigualdad del triánguloa bDEMOSTRACIÓN Por el teorema , x y x y x y , de modo que$ † Ÿ l † l Ÿ m mm m

m m œ m m # † m m Ÿ m m #m mm m m m Þx y x x y y x x y y# # # # #

De aquí obtenemos x y x y ; al extraer raíz cuadrada se tiene elm m Ÿ m m m m# #a bresultado.

Si el teorema y su corolario se desarrollaran algebraicamente, se convertirían$en las siguientes útiles desigualdades:

» »! ! !Œ Œ 3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3 3 3 3# #

"Î# "Î#

B C Ÿ B C à

Œ Œ Œ ! ! !a b3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3#

"Î# "Î# "Î#

3 3# #B C Ÿ B C

3

EJEMPLO 1 Sea x y y . Verificar el teorema y suœ "ß #ß !ß " œ "ß "ß "ß ! $a b a bcorolario para este caso:

SOLUCIÓN

m m œ " # ! " œ 'x É a b È# # # #

m m œ " " " ! œ $y Éa b È# # # #

x y† œ " " # † " ! † " " ! œ "a b a b x y œ !ß $ß "ß "a b

m m œ ! $ " " œ ""Þx y É a b È# # # #

Calculemos x y x y , lo cual verifica el teorema . De† œ " Ÿ %Þ#% ¸ ' $ œ m mm m $È Èmanera análoga podemos verificar su corolario:

m m œ "" ¸ $Þ$# Ÿ %Þ")x y Èœ #Þ%& "Þ($ ¸ ' $ œ m m m mÞÈ È x y

Por analogía con , podemos defenir el concepto de distancia en ; a saber,V V$ 8

si x y y son puntos en , la x y y se define como x y , o la longitudV m m8 distancia entre

del vector x y. Insistimos en que definido en , excepto para Vno hay producto cruz 8

8 œ $. Sólo se generaliza el producto punto.

Generalizando las matrices de x y de x (ver la sección 1.3), podemos# # $ $considerar matrices de x , arreglos de números:7 8 78

E œ Þ

+ + á ++ + á +ã ã ã+ + á +

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "8

#" ## #8

7" 7# 78

También escribiremos como . Definimos suma y multiplicación por unE +c d34escalar por componentes, tal y como se hizo para vectores. Dadas dos matrices de x78 E F 7 8 y , podemos sumarlas (restarlas) para obtener una nueva matriz de x ,

G œ EF G œ EF 34 + , Þa b, cuyo -ésimo registro es la suma (diferencia) de y -34 3 344

Es claro que EF œ F EÞ

EJEMPLO 2

(a) ” • ” • ” •# " ! " " $ " # $$ % " ! ! ( $ % )

œ Þ

(b) c d c d c d" # ! " " " œ Þ

(c) ” • ” • ” •# " " ! " "" # ! " " "

œ Þ

Dado un escalar y una matriz de x , podemos multiplicar por para- -E 7 8 Eobtener una nueva matriz x , cuyo -ésimo registro es el producto .7 8 œ G 34 - +- -34 34

EJEMPLO 3

$ œ Þ" " # $ $ '! " & ! $ "&" ! $ $ ! *

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

A continuación pasamos a la multiplicación de matrices. Si , ,E œ + F œ ,c d c d34 34

entonces tiene registros dados porEF œ G

- œ + , ß34 35 545œ"

8!que es el producto punto del -ésimo renglón de y la -ésima columna de :3 E 4 F

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×Õ Ø

+ á +ã ã+ á + ã ã ãã ã , á , á ,+ á +

, á , á ,Þ

"" "8

3" 38

8" 88

"" "4 "8

8" 84 88

EJEMPLO 4 Sea

E œ F œ" ! $ ! " !# " ! " ! !" ! ! ! " "

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø y

Entonces

EF œ FE œ Þ! % $ # " !" # ! " ! $! " ! $ " !

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø y

De manera análoga, mediante la misma regla podemos multiplicar una matriz de x8 7( renglones, columnas) por una matriz x ( renglones, columnas) para8 7 7 : 7 :obtener una matriz x ( renglones, columnas). Nótese que para que esté definida8 : 8 :EF E F, el número de columnas de debe ser igual al número de renglones de .

EJEMPLO 5 Sea

E œ F œ Þ# ! "" " #

" ! #! # "" " "

” • Ô ×Õ Ø y

Entonces

EF œ ß$ " &$ % &” •

y no está definida.FE

EJEMPLO 6 Sea

E œ F œ Þ

"#"$

# # " #

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

c d y

Entonces

EF œ FE œ Þ

# # " #% % # %# # " #' ' $ '

"$

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

c d y

Caulquier matriz de x determina una asociación de a de la manera7 8 V V8 7

siguiente: Sea x ; considerar la matriz columna de x asociadaœ B ß ÞÞÞß B − V 8 "a b" 88

con x, que denotaremos temporalmente por xX À

xX"

8

œBãB

Ô ×Õ Ø

y multiplicar por x (considerada como una matriz de x ) para obtener una nuevaE 8 "X

matriz de x :7 "

E œ œ Þ+ á + B Cã ã ã ã+ á + B C

xX"" "8 " "

7" 78 8 7

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø

Entonces obtenemos un vector y . Para usar una matriz que sirva paraœ C ß ÞÞÞß C Ea b" 7

obtener una asociación de los vectores x a vectores y deœ B ß ÞÞÞß B œ C ß ÞÞÞß Ca b a b" 7 " 7

acuerdo con la ecuación anterior, hemos de escribir los vectores en forma de columna

Ô ×Õ Ø a bBãB

B ß ÞÞÞß B"

8

" 7en lugar de la forma de renglón .

Este cambio repentino de escribir x como renglón a escribirlo como columna esnecesario debido a las convenciones sobre multiplicacion. Así, aunque cause algunaconfusión, escribiremos x y y como vectores columnaœ B ß ÞÞÞß B œ C ß ÞÞÞß Ca b a b" 7 " 7

x , y cuando se trate de multiplicaciones de matrices; esto es,œ œB Cã ãB C

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

" "

8 7

identificaremos estas dos formas de escribir vectores. Así, suprimiremos la en x yX X

consideraremos iguales a x y a x; esto es, x x .X Xœ Así, x y significara "en realidad" lo siguiente: Escríbase x como vectorE œcolumna, multiplíquese por , y sea y el vector cuyas componentes son las del vectorEcolumna resultante de Ia multiplicación. La regla x x define, por lo tanto, unaÈ Easociación de a . Esta asociación es lineal; esto es, satisfaceV V8 7

E œ E Ea bx y x y

E œ Ea b a b! ! !x x , un escalar,

como puede verificarse fácilmente. En un curso de álgebra lineal se aprende que,recíprocamente, cualquier transformación lineal de a se puede representarV V8 7

mediante una matriz de x .7 8 Si es una matriz de x y es el -ésimo vector de la base usual deE œ 7 8 4+c d34 4e

V E V 48 74, entonces es un vector en con componentes iguales a las de la -ésimae

columna de . Esto es, la -ésima componentes de es . En símbolos,E 3 E +e4 34a bE œ +e4 343 .

EJEMPLO 7 Si

E œ ß

" ! $ " ! "# " # " # "

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

entonces x x de a es la asociación definida porÈ E V V$ %

Ô ×Õ Ø

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

BBB

È Þ

B $B B B

#B B #B B #B B

"

#

$

" $

" $

" # $

" # $

EJEMPLO 8 A continuación se ilustra lo que sucede a un punto particular cuando semanda mediante una matriz de x :% $

E œ œ œ E

% # * #$ & % &" # $ #! " # "

!"!

e#

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

Ô ×Õ Ø segunda columna de .

La multiplicación de matrices no es, en general, : si y sonconmutativa E Fmatrices de x , entonces por lo general8 8

EF Á FE

(ver los ejemplos , y ).% & ' Se dice que una matriz de x es tal que8 8 Finvertible si existe alguna matriz

EF œ FE œ M ß8

donde

M œ

" ! ! á !! " ! á !! ! " á !ã ã ã ã! ! ! á "

8

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

es la matriz identidad de x : tiene la propiedad de que para8 8 M M G œ GM œ G8 8 8

cualquier matriz de x . Denotamos por y la llamamos la de . LaG 8 8 F E E" inversa

inversa, cuando existe, es unica.

EJEMPLO 9 Si

E œ ß E œ ß# % ! % ) %! # " $ % #$ ! # ' "# %

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø entonces " "

#!

pues , como puede verificarse al efectuarse las multiplicaciones deEE œ M œ E E" "$

las matrices.

En álgebra lineal se aprenden métodos para calcular inversas; en este libro no serequieren esos métodos. Si es invertible, es posible resolver la ecuación x y paraE E œel vector x multiplicando ambos lados por y obtener x y.E œ E" "

En la sección . definimos el determinante de una matriz de x . Esto se" $ $ $puede generalizar por inducción a determinantes de x . Ilustramos aquí como8 8escribir el determinante de una matriz de x en términos de los determinantes de% %matrices de x :$ $

â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

œ + ++ + + + ++ + ++ + +

"" "# "$ "%

#" ## #$ #%

$" $# $$ $%

%" %# %$ %%

"" "#

## #$ #% #" #

$# $$ $%

%# %$ %%

$ #%

$" $$ $%

%" %$ %%

++ + ++ + +

+ ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

"$ "%

#" ## #% #" ## #$

$" $# $% $" $# $$

%" %# %% %" %# %$

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â(ver la formula ( ) de la sección . ; los signos se alternan: , , , ,... ).# " $ Las propiedades básicas de los determinantes de x que se revisaron en la$ $sección . , mantienen su validez para determinantes de x . En particular, nótese el" $ 8 8hecho de que si es una matriz de x y es la matriz formada al sumar un múltiploE 8 8 Fescalar del -ésimo renglón (o columna) de al -esimo renglón (o, respectivamente,5 E 6columna) de , entonces el determinante de es igual al determinante de (ver elE E Fejemplo a continuación)."! Un teorema básico del álgebra lineal afirma que una matriz , de x esE 8 8invertible si y sólo si el determinante de no es cero. Otra propiedad básica es queEdet det det . En este libro no usaremos muchos detalles de álgebraa b a ba bEF œ E Flineal, de modo que dejaremos estas afirmaciones sin demostración.

EJEMPLO 10 Sea

E œ Þ

" ! " !" " " "# " ! "" " ! #

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Hallar det . ¿Tiene inversa?E

SOLUCIÓN Al sumar x la primera columna a la tercera columna, obtenemosa b "

detE œ œ " Þ

" ! ! !" " ! "# " # "" " " #

" ! "" # "" " #

â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ âAl sumar x la primera columna a la tercera columna de este determinate de xa b " $ $ßobtenemos

detE œ œ œ #Þ" ! !" # !" " "

# ! " "

â ââ ââ ââ ââ ââ â º ºAsí, det , de modo que tiene inversa.E œ # Á ! E

Si tenemos tres matrices , y tales que los productos y estánE F G EF FGdefinidos, entonces los productos y estarán definidos y serán igualesa b a bEF G E FG(esto es, la multiplicación de matrices es asociativa). Llamamos a esto triple producto de

matrices y lo denotamos porEFGÞ

EJEMPLO 11 Sea

E œ ß F œ ß ß Þ$ "& #

" "” • ” •c d y G œ

Entonces

EFG œ E FG œa b ” • ” •c d$ *& "&

$ œ Þ

EJEMPLO 12

” •” •” • ” •” • ” •# ! " " ! " # ! " ! # !! " " " " " ! " " ! " !

œ œ Þ