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Lógica proposicional 5. Sintaxis

Juan Carlos León Universidad de Murcia

Esquema del tema

  5.1. Sintaxis y semántica   5.2. Fórmulas bien formadas   5.3. Alcance   5.4. Teoremas   5.5. Reglas derivadas

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Lógica proposicional 5. Sintaxis

5.1. Sintaxis y semántica

Lenguajes formales

  Un lenguaje formal es aquel que puede definirse sin referencia a ninguna de sus posibles interpretaciones: de modo puramente sintáctico

  Para establecer un lenguaje formal basta especificar:   Un conjunto de símbolos o alfabeto del lenguaje   Un conjunto de reglas de formación de fórmulas bien

formadas (fbfs)

  Ambos conjuntos han de poder especificarse sin referencia a una interpretación (semántica)

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Sistemas o cálculos formales

  La sintaxis formal se completa cuando a un lenguaje formal le añadimos un mecanismo que permita transformar sus fbfs, o pasar de unas fbfs a otras   En lógica llamamos a esto un mecanismo deductivo: un

conjunto de reglas de transformación de fbfs, o reglas de inferencia

  Obtenemos entonces un sistema formal, o un cálculo

  Ese mecanismo deductivo ha de poder definirse también de modo puramente sintáctico

Un sistema formal

  Alfabeto: △,□

  Fbfs: aquellas que comiencen por “△” y terminen por “□”

  Regla de inferencia: a cualquier fbf se le puede añadir “□” a la derecha � �△…□ ⎯⎯⎯⎯ � �△…□□

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Interpretaciones (semántica)

  Podemos dar una interpretación a un lenguaje formal, con independencia de que se le añada o no un mecanismo deductivo

  Por ejemplo, el lenguaje anterior puede interpretarse haciendo que “△” signifique el número 1, “□” el 0, y cada fbf el número resultante al yuxtaponer los anteriores   Así, “△△△□□” significaría el 11.100   Y la regla significaría entonces la operación de multiplicar por

10   No obstante, este lenguaje carece de utilidad, porque no

parece que pueda ser interpretado de modo interesante

El lenguaje formal lógico

  El lenguaje de la lógica proposicional es un lenguaje formal, ya que es especificable sin apelar a sus posibles interpretaciones   Puede ser definido ostensivamente, prescindiendo

por completo de que interpretemos las letras proposicionales como proposiciones, y las conectivas como operadores proposicionales: serían meros símbolos carentes de significación

  Aunque, desde luego, su interés reside en que, interpretado de cierto modo, nos proporciona un procedimiento para comprobar la validez de argumentos

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Lógica proposicional 5. Sintaxis

5.2. Fórmulas bien formadas

Definición de fbf

  Conocido el alfabeto, lo que nos falta es mostrar cómo podemos definir sintácticamente cuáles son las combinaciones de símbolos admisibles: las fbfs

  Reglas de formación de fbfs: (1) Una letra proposicional es una fbf (2) Si A es una fbf, ¬A también lo es (3) Si A y B son fbfs, también lo es (A → B) (4) Si A y B son fbfs, también lo es (A ∧ B) (5) Si A y B son fbfs, también lo es (A ∨ B) (6) Si A y B son fbfs, también lo es (A ↔ B)

  Estas reglas permiten comprobar mecánicamente si una secuencia de símbolos del alfabeto está sintácticamente bien formada, sin tener en cuenta su posible significado

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Eliminación de paréntesis

  Obsérvese la insistencia en la introducción de paréntesis de la cláusulas (3) a (6)

  Por convención, hemos venido eliminando los paréntesis más externos

  También por convención decidimos dar mayor jerarquía a “→” y “↔” frente a “∧” y “∨”

  Estas convenciones nos permiten, en la práctica, reducir a la mitad los paréntesis de una fbf como   (((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))

para dejarla así:   (p → q) ∨ ¬q ↔ ¬(¬¬p ∧ q)

  Pero no olvidemos que, teóricamente, esa fbf contiene todos los paréntesis

Un ejemplo de fbf

  “(((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))” es una fbf: 1)  “p” y “q” son fbfs por la cláusula (1) 2)  luego, “¬p” y “¬q” lo son por la cláusula (2) 3)  luego, “¬¬p” lo es también por la clásula (2) 4)  luego, “(p → q)” lo es por la cláusula (3) 5)  luego, “((p → q) ∨ ¬q)” lo es por la cláusula (5) 6)  luego, “(¬¬p ∧ q)” lo es por la cláusula (4) 7)  luego, “¬(¬¬p ∧ q)” lo es por la cláusula (2) 8)  luego, “(((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))” lo es por la

cláusula (6)

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El cálculo proposicional

  Si al anterior lenguaje formal le añadimos nuestras reglas primitivas como mecanismo de transformación de fbfs obtenemos un sistema formal que se conoce con el nombre de “cálculo proposicional”

  En efecto, las reglas de inferencia también pueden definirse de modo puramente sintáctico: como simples instrucciones de manipulación de símbolos, que nos permiten generar ciertas fbfs a partir de otras

Lógica proposicional 5. Sintaxis

5.3. Alcance

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Definición

  El alcance de una conectiva en una fbf es la fbf más pequeña en la que aparece esa conectiva

  Por ejemplo en “(((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))”   “(p → q)” es el alcance de “→”   “((p → q) ∨ ¬q)” es el alcance de “∨”   “¬p” es el alcance de la cuarta negación, “¬¬p” es el de la

tercera, “¬(¬¬p ∧ q)” el de la segunda, y “¬q” el de la primera

  El alcance de “↔” es la fbf entera

  Esta noción es muy útil para describir la estructura sintáctica de nuestras fbfs

Subordinación

  Una conectiva está subordinada en una fbf a otra conectiva si el alcance de la primera está contenido en el alcance de la segunda

  En “(((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))”   “→” está subordinada a “∨” y ambas lo están a “↔”, porque “(p → q)” está contenida en “((p → q) ∨ ¬q)”, y ambas fbfs están contenidas en la fbf entera

  “∨” no está subordinada a “→”, ni a “∧”, por ejemplo   “∧” está subordinada a la segunda negación, porque “(¬¬p ∧ q)”

está contenida en “¬(¬¬p ∧ q)”, pero no está subordinada a las otras tres negaciones

  La conectiva principal de una fbf es aquella a la que están subordinadas todas las demás

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Subfórmulas

  Son subfórmulas de una fbf todas aquellas fbfs que caen bajo el alcance de la conectiva principal

  “(((p → q) ∨ ¬q) ↔ ¬(¬¬p ∧ q))” tiene diez subfórmulas: p (p → q) q ((p → q) ∨ ¬q) ¬p (¬¬p ∧ q) ¬q ¬(¬¬p ∧ q) ¬¬p la fbf entera

Lógica proposicional 5. Sintaxis

5.4. Teoremas

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Qué es un teorema

  Un teorema es una fbf que puede derivarse sin que dependa de ningún supuesto (noción puramente sintáctica)

  Ya probamos 3.57 A ├ A 1 (1) A S

  Si ahora añadimos un paso de PC, lo que obtenemos es este esquema de teorema 5.01 ├ A → A 1 (1) A S (2) A → A PC 1,1

Teoremas condicionales

  Muchos teoremas pueden obtenerse por PC 5.02 ├ A → ¬¬A (ley de doble negación)

1 (1) A S 1 (2) ¬¬A DN 1 (3) A → ¬¬A PC 1,2 5.03 ├ ¬¬A → A (ley de doble negación)

1 (1) ¬¬A S 1 (2) A DN 1 (3) ¬¬A → A PC 1,2

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Argumentos y teoremas

  En general, a partir de cualquier esquema de argumento ya probado, podemos obtener un teorema por aplicación de uno (o varios) pasos de PC

  Por ejemplo, a partir de 3.06, 5.04 ├ (A → B) → (¬B → ¬A) (ley de contraposición)

1 (1) A → B S 2 (2) ¬B S 1,2 (3) ¬A MT 1,2 1 (4) ¬B → ¬A PC 2,3 (5) (A → B) → (¬B → ¬A) PC 1,4

Leyes lógicas

  Al demostrarse sin partir de ningún supuesto previo, los teoremas debieran expresar proposiciones que son verdaderas con total independencia de los hechos: proposiciones que no pueden sino ser verdaderas en cualquier circunstancia

  Por eso, podemos decir que son las leyes lógicas   (Pero esto presupone que estamos dando a

nuestras fbfs una interpretación semántica)

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Condicional correspondiente

  Aunque A├ B si y sólo si ├ A → B, ambas cosas no deben identificarse

  Sería análogo a confundir validez con verdad   Aunque ya vimos que un argumento es válido si

y sólo si su condicional correspondiente es una ley lógica

  Tenemos delante la misma cuestión, pero ahora desde el punto de vista sintáctico

No contradicción

  Para remachar la diferencia, conviene considerar que hay teoremas que no tienen la forma de un condicional

5.05 ├ ¬(A ∧ ¬A) (principio de no contradicción) 1 (1) A ∧ ¬A S (2) ¬(A ∧ ¬A) RA 1,1

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Tercero excluido

5.06 ├ A ∨ ¬A (principio de tercero excluido)

1 (1) ¬(A ∨ ¬A) S

2 (2) A S

2 (3) A ∨ ¬A I∨ 2

1,2 (4) (A ∨ ¬A) ∧ ¬(A ∨ ¬A) I∧ 1,3

1 (5) ¬A RA 2,4

1 (6) A ∨ ¬A I∨ 5

1 (7) (A ∨ ¬A) ∧ ¬(A ∨ ¬A) I∧ 1,6

(8) ¬¬(A ∨ ¬A) RA 1,7

(9) A ∨ ¬A DN 8

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5.5. Reglas derivadas

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Nuevas reglas

  Cada uno de los esquemas de argumento que hemos demostrado puede convertirse de forma obvia en una nueva regla de inferencia

  Si tenemos sus premisas como líneas en una derivación, podemos introducir su conclusión en dependencia de los mismos supuestos que las premisas

  Por ejemplo, a partir de 3.04 tendremos la regla Γ ├ A → ¬B Δ ├ B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ ¬A

Reglas derivadas y primitivas

  Estas reglas, al ser derivadas de las primitivas, no nos proporcionan mayor potencia de cálculo, sino sólo una mayor brevedad y facilidad práctica

  Su aplicación en una línea de una derivación equivale a una abreviatura de todos los pasos que, por primitivas, nos llevarían de las premisas a la conclusión

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Teoremas y reglas derivadas

  También los teoremas pueden usarse como reglas derivadas   En cualquier línea de una prueba podremos introducir un

teorema sin que dependa de ningún supuesto   Esa sola línea abrevia en un solo paso todos los que ocuparía

la demostración del teorema

  En la práctica, únicamente usaremos   El principio de no contradicción (PNC) – 5.05

├ ¬(A ∧ ¬A)   El principio de tercero excluido (PTE) – 5.06

├ A ∨ ¬A

Reglas para el condicional Modus ponendo tollens (MPT) – 3.04

Γ ├ A → ¬B Δ ├ B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ ¬A

Modus tollendo ponens (MTP) – 3.05 Γ ├ ¬A → B Δ ├ ¬B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A

Contraposición (Cp) – 3.06, 3.14, 3.15 y 3.16 Γ ├ A → B Γ ├ A → ¬B Γ ├ ¬A → B Γ ├ ¬A → ¬B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬B → ¬A Γ ├ B → ¬A Γ ├ ¬B → A Γ ├ B → A

Transitiva del condicional (Tr→) – 3.17 Γ ├ A → B

Δ ├ B → C ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A → C

Mutación de premisa (MPr) – 3.18 Γ ├ A → (B → C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ B → (A → C)

Distributiva del condicional en condicional (Dt→→) – 3.19

Γ ├ A → (B → C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A →B) → (A → C)

Distributiva del condicional en conjunción (Dt→∧) – 3.31 y 3.32

Γ ├ A → B ∧ C ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A → B) ∧ (A → C)

Γ ├ (A → B) ∧ (A → C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ A → B ∧ C

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Reglas para la conjunción

Conmutativa de la conjunción (Cm∧) – 3.27 Γ ├ A ∧ B ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ B ∧ A

Asociativa de la conjunción (As∧) – 3.28 Γ ├ A ∧ (B ∧ C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A ∧ B) ∧ C

Distributiva de la conjunción (Dt∧) – 3.68 Γ ├ A ∧ (B ∨ C) Γ ├ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Γ ├ A ∧ (B ∨ C)

Exportación (Exp) – 3.24 Γ ├ A ∧ B → C ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ A → (B → C)

Importación (Imp) – 3.25 Γ ├ A → (B → C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ A ∧ B → C

Silogismo conjuntivo (SC) – 3.42 y 3.43 Γ ├ ¬(A ∧ B) Γ ├ ¬(A ∧ B) Δ ├ A Δ ├ B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ ¬B Γ,Δ ├ ¬A

Reglas para la disyunción

Conmutativa de la disyunción (Cm∨) – 3.33

Γ ├ A ∨ B ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ B ∨ A

Asociativa de la disyunción (As∨) – 3.41

Γ ├ A ∨ (B ∨ C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A ∨ B) ∨ C

Distributiva de la disyunción (Dt∨) – 3.69 Γ ├ A ∨ (B ∧ C) Γ ├ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Γ ├ A ∨ (B ∧ C)

Dilema simple (DilS) – 3.39 Γ ├ A → C Δ ├ B → C ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A ∨ B → C

Dilema complejo(DilC) – 3.40 Γ ├ A → C Δ ├ B → D ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A ∨ B → C ∨ D

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Reglas para el bicondicional

Eliminación del bicondicional (E↔) – 3.47 y 3.48 Γ ├ A ↔ B Γ ├ A ↔ B ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ A → B Γ ├ B → A

Introducción del bicondicional (I↔) – 3.49

Γ ├ A → B Δ ├ B → A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A ↔ B

Separación del bicondicional (Sp↔) – 3.44 y 3.46 Γ ├ A ↔ B Γ ├ A ↔ B Δ ├ A Δ ├ B ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ B Γ,Δ ├ A

Transitiva del bicondicional (Tr↔) – 3.55

Γ ├ A ↔ B Δ ├ B ↔ C ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ A ↔ C

Reglas de interdefinición Interdefinición de condicional y conjunción (ID→∧) – 3.63 Γ ├ A → B Γ ├ ¬(A ∧ ¬B) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬(A ∧ ¬B) Γ ├ A → B

Interdefinición de condicional y disyunción (ID→∨) – 3.65 Γ ├ A → B Γ ├ ¬A ∨ B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬A ∨ B Γ ├ A → B

Interdefinición de conjunción y condicional (ID∧→) – 3.70 Γ ├ A ∧ B Γ ├ ¬(A → ¬B) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬(A → ¬B) Γ ├ A ∧ B

Interdefinición de disyunción y condicional (ID∨→) – 3.74 Γ ├ A ∨ B Γ ├ ¬A → B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬A → B Γ ├ A ∨ B

Leyes de De Morgan (DM) – 3.64, 3.71, 3.72 y 3.73 Γ ├ A ∧ B Γ ├ ¬(¬A ∨ ¬B) Γ ├ A ∨ B Γ ├ ¬(¬A ∧ ¬B) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬(¬A ∨ ¬B) Γ ├ A ∧ B Γ ├ ¬(¬A ∧ ¬B) Γ ├ A ∨ B

Γ ├ ¬(A ∧ B) Γ ├ ¬A ∨ ¬B Γ ├ ¬(A ∨ B) Γ ├ ¬A ∧ ¬B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ ¬A ∨ ¬B Γ ├ ¬(A ∧ B) Γ ├ ¬A ∧ ¬B Γ ├ ¬(A ∨ B)

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Demostración del teorema 5.07

5.07 ├ A → (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)

1 (1) A S

(2) B ∨ ¬B PTE

3 (3) B S

1,3 (4) A ∧ B I∧ 1,3

1,3 (5) (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) I∨ 4

6 (6) ¬B S

1,6 (7) A ∧ ¬B I∧ 1,6

1,6 (8) (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) I∨ 7

1 (9) (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) E∨ 2,3,5,6,8

(10) A → (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) PC 1,9

Demostración de los esquemas 5.08 y 5.09

5.08 A ∨ B, ¬A ├ B (silogismo disyuntivo)

1 (1) A ∨ B S

2 (2) ¬A S

1 (3) ¬A → B ID∨→ 1

1,2 (4) B MP 2,3

5.09 A ∨ B, ¬B ├ A (silogismo disyuntivo)

1 (1) A ∨ B S

2 (2) ¬B S

1 (3) ¬A → B ID∨→ 1

1,2 (4) A MTP 2,3

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Demostración de los esquemas 5.10 y 5.11

5.10 A ├ B → A (paradoja del condicional) 1 (1) A S 1 (2) ¬B ∨ A I∨ 1 1 (3) B → A ID→∨ 2

5.11 ¬A ├ A → B (paradoja del condicional) 1 (1) ¬A S 1 (2) ¬A ∨ B I∨ 1 1 (3) A → B ID→∨ 2

Las paradojas del condicional

  Los esquemas anteriores   A ├ B → A   ¬A ├ A → B

parecen significar, respectivamente, que   una proposición verdadera es implicada por cualquier

otra   una proposición falsa implica cualquier otra

  Por ejemplo,   Como estamos estudiando lógica, ese hecho se seguiría

de que la luna es blanca   Como no estamos estudiando astronomía, si la

estudiásemos se seguiría que la luna es roja

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Solución a las paradojas

  No podemos rechazar esos resultados, sin rechazar alguna de nuestras reglas primitivas

  Las paradojas sólo son tales si identificamos “→” con la relación de implicación

  Nuestra conectiva “→” no pretende formalizar exahustivamente el significado del condicional ordinario, sino sólo lo necesario para comprobar la validez: que si el antecedente es verdadero, el consecuente ha de serlo. O lo que es lo mismo:   que no es el caso de que el antecedente sea verdadero y el

consecuente falso: 3.63 A → B ┤├ ¬(A ∧ ¬B)   que o bien es falso el antecedente, o bien es verdadero el

consecuente: 3.65 A → B ┤├ ¬A ∨ B   Así entendida, las paradojas se desvanecen

El MT como regla derivada

  El MT es superfluo como regla primitiva, ya que el esquema A → B, ¬B ├ ¬A puede probarse sin su ayuda: 1 (1) A → B S 2 (2) ¬B S 3 (3) A S 1,3 (4) B MP 1,3 1,2,3 (5) B ∧ ¬B I∧ 2,4 1,2 (6) ¬A RA 3,5

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El MP como regla derivada

  Si mantenemos el MT, entonces el MP se puede probar como derivada: A → B, A ├ B 1 (1) A → B S 2 (2) A S 3 (3) ¬B S 1,3 (4) ¬A MT 1,3 1,2,3 (5) A ∧ ¬A I∧ 2,4 1,2 (6) ¬¬B RA 3,5 1,2 (7) B DN 6

La DN como regla derivada

  La mitad de la regla DN también puede obtenerse como derivada: A ├ ¬¬A 1 (1) A S 2 (2) ¬A S 1,2 (3) A ∧ ¬A I∧ 1,2 1 (4) ¬¬A RA 2,3

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Reglas lógicas y principios epistemológicos

  Podemos tener diferentes conjuntos de reglas primitivas igualmente adecuados para el cálculo proposicional

  Aceptar una regla como primitiva es algo relativo, en ese sentido, y no significa que le otorguemos ningún tipo de preeminencia epistemológica

  Por ejemplo, podemos aceptar que el principio de no contradicción y el de tercero excluido forman parte de nuestros primeros principios (epistemológicamente), aunque los hayamos demostrado derivadamente a partir de las reglas primitivas

Demostración del esquema 5.12

5.12 A ∧ ¬A ├ B (ex contradictione quodlibet)

1 (1) A ∧ ¬A S

2 (2) ¬B S

1,2 (3) ¬B ∧ (A ∧ ¬A) I∧ 1,2

1,2 (4) A ∧ ¬A E∧ 3

1 (5) ¬¬B RA 2,4

1 (6) B DN 5

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Demostración del esquema 5.13 5.13 ¬(A → B) ┤├ A ∧ ¬B (interdefinición de condicional y conjunción)

(a) ¬(A → B) ├ A ∧ ¬B

1 (1) ¬(A → B) S

2 (2) ¬(A ∧ ¬B) S

2 (3) A → B ID→∧ 2

1,2 (4) (A → B) ∧ ¬(A → B) I∧ 1,3

1 (5) ¬¬(A ∧ ¬B) RA 2,4

1 (6) A ∧ ¬B DN 5

(b) A ∧ ¬B ├ ¬(A → B)

1 (1) A ∧ ¬B S

2 (2) A → B S

2 (3) ¬(A ∧ ¬B) ID→∧ 2

1,2 (4) (A ∧ ¬B) ∧ ¬(A ∧ ¬B) I∧ 1,3

1 (5) ¬(A → B) RA 2,4

Reglas derivadas adicionales Silogismo disyuntivo (SD) – 5.08 y 5.09 Γ ├ A ∨ B Γ ├ A ∨ B Δ ├ ¬A Δ ├ ¬B ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ B Γ,Δ ├ A

Paradojas del condicional (Pj) – 5.10 y 5.11 Γ ├ A Γ ├ ¬A ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ B → A Γ ├ A → B

Ex contradictionequodlibet (ECQ) – 5.12 Γ ├ A Γ ├ A ∧ ¬A Δ ├ ¬A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ B Γ,Δ ├ B

Interdefinición de condicional y conjunción (ID→∧) – 5.13 Γ ├ ¬(A → B) Γ ├ A ∧ ¬B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ A ∧ ¬B Γ ├ ¬(A → B)

Distributiva del condicional en disyunción (Dt→∨) - 5.20 Γ ├ A → B ∨ C Γ ├ (A → B) ∨ (A → C) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Γ ├ (A → B) ∨ (A → C) Γ ├ A → B ∨ C

(no aplicar a la resolución del propio esquema 5.20)

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Ejercicios: esquemas 5.14 a 5.25 5.14 ├ (A → B) ∨ (B → A) (paradoja del condicional)

5.15 ├ (A → B ∧¬B) → ¬A

5.16 ├ A ∨ (A → B)

5.17 ├ (A → B) ∨ (B → C)

5.18 ├ ((A → B) → A) → A

5.19 (A → B) → B ┤├ A ∨ B

5.20 A → B ∨ C ┤├ (A → B) ∨ (A → C) (distributiva del condicional en disyunción) (lógicamente, hay que demostrarlo sin aplicar la regla Dt→∨, que se deriva de él)

5.21 A → B ├ A ∨ B → B

5.22 A ∧ B ├ A ↔ B

5.23 A ∧ ¬B ├ ¬(A ↔ B)

5.24 ¬A ∧ ¬B ├ A ↔ B

5.25 A ↔ ¬B, B ∨ C, ¬(A ∧ C), A ├ D