CÁLCULO DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN EN UNA CORTINA

Hacer el análisis de estabilidad de la sección vertedora presentada, en la siguiente figura, si se ha construido de concreto γm = 2.40 Ton/m3. Se colocarán, drenes a 1.50 m del paramento aguas arriba. Suponer un coeficiente sísmico K = 0.20.

Como puede observarse en la figura anterior la sección de la cortina se ha dividido en cinco dovelas cuyas dimensiones se acotan en la misma. Además se establece el siguiente sentido de los ejes: abcisas hacia la izquierda, ordenadas hacia abajo, momento anti-horario.

SOLUCIÓN:

Cálculo de cargas:

Se considera que el ancho de la sección mide 1.00 m. Así, con esta consideración y las dimensiones de la figura anterior, se pueden hacer los siguientes cálculos.

Dovela 1

2m90.900.2

00.230.560.4 Área

tVPesoW m 76.2340.200.190.911

Posición del centro de gravedad respecto al trapecio:

mBbBbhX 9764.0

30.560.430.560.400.2

322

3

Para fijar la posición del centro de gravedad del trapecio con respecto al del cimacio es necesario hacer la siguiente operación:

mx 056.49764.000.200.216.10

El momento del peso propio con respecto al C.G. de la sección vertedora vale:

T-mM 37.96(4.56)(23.76)

El cálculo para todas las dovelas se presenta en la siguiente tabla :

Dovela(no)

Área(m2)

Wi(ton)

x(m)

M(ton-m)

12345

Total

9.909.808.305.702.10

35.80

23.7623.5219.9213.685.04

85.92

4.0562.0940.124-1.832-3.639

1.217

96.3749.252.47-25.06-18.49

104.56

Cálculo de fuerzas y momentos producidos por el peso propio.

2. Cálculo de empujes hidrostáticos:

Nivel al NAMO,

tbhEh 11.130.2

)0.1()12.5)(0.1(2

22

El momento vale

mthEM h 42.22)71.1)(11.13(3

Niveles del agua en la sección vertedora

Elev: 212.12

Elev: 218.27

Elev: 207.0011.27 T/m

6.15 T/m

Nivel al NAME

El empuje tiene un valor de:

tEh 60.4400.2

)27.1115.6(00.1

El punto de aplicación se encuentra en:

mh 31.227.1115.6

27.11)15.6)(0.2(00.312.5

Y el momento:

mtM 03.103)31.2)(60.44(

Subpresión:

Considerando que se colocarán drenes, se tienen las siguientes situaciones:Nivel al NAMO, ver la siguiente figura:

Diagrama de subpresión; nivel al NAMO

Línea de drenes

1.50 m10.16 m 5.08

m1.707

h=5.12 Sp2

Sp1

Cálculo de SP1 y SP2

t

SP

12.50.2

)50.1(707.112.5)0.1(1

t

SP

39.70.2

66.8)(707.1)0.1(2

Fza. (ton)x (m)M (ton-m)

-5.124.455-22.81

-7.390.696-5.14

Totales-12.51 -27.95

Momentos con respecto al centro de gravedad

Cálculo de SP1 y SP2: Nivel al NAME:

1.50 m10.16 m

5.08 m

3.76

h=11.27

Sp2

Sp1

t

SP

27.1100.2

)50.1(76.327.11)0.1(1

t

SP

28.160.2

66.8)(76.3)0.1(2

Cálculo de SP1 y SP2

Fza.

(ton)x(m)

M

(t-m)

Totales

-11.27

-16.28

27.55

4.455

0.696-

-50.20

-11.33

-61.53

Momentos con respecto al centro de gravedad

4.1 Sismo en la masa de concretoPara la dovela 1 se tiene:

0.70 m

4.60 m

A= 0.70 m2

A= 9.20 m2

4.60 mDiagrama para ubicar el

punto de aplicación de la fuerza producida por el sismo

29.90.2

)0.2(60.430.5 mA

El punto de aplicación se ubica con auxilio del diagrama

m

Y

479.270.020.9

70.0)(833.430.2)(20.9

4. Sismo

Los datos para las demás dovelas se presentan en la tabla siguiente:

Dovela(no)

Area(m2)

YiM

AiYiM2 x m

TOTAL

12345

9.99.88.35.72.135.8

2.4792.4512.0871.7160.700

27.5124.0217.329.781.4780.11

El punto de aplicación de toda la sección será:

mcY 24.280.3511.80

Sismo en la masa de concreto

Sismo en la masa de concreto.

La fuerza sísmica vale:

tWkWs 18.17)2.0)(92.85(

Y el momento respectivo:

tcYWkMs 49.38)24.2)(18.17(

Sismo en la masa del agua.

Para calcular el empuje del agua se utiliza la ecuación recomendada por el USBR siguiente:

2hCkP

Para este caso en particular C0 0.53. Por tanto el empuje vale:

mtEs /78.2)12.5)(0.1)(20.0)(53.0( 2

Con los datos obtenidos pueden hacerse las combinaciones de carga citadas, como se ve en la tabla:

Sismo en la masa del agua.

Ordinaria Extraordinaria Extrema VacíaCondiciónFza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom.

Peso propio 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56

Empujehidrostático

-13.11 -22.42 -44.60 -103.03 -13.11 -22.42

Subpresión -12.51 -27.95 -27.52 -61.49 -12.51 -27.95

Sismo concreto -17.18 -38.49 17.18 38.59

Sismo agua -2.78 -5.86

Fy (ton) 73.41 58.40 73.41 85.92

Fx (ton) -13.11 -44.60 -33.07 17.18

Mz (ton m) 54.19 59.96 9.84 143.05

5. Revisión de esfuerzos:

Para ello se aplica la ecuación de la escuadría

máx, yI

MAN

AB

Donde:B,A, son esfuerzos: B de compresión si se considera el signo positivo y A de tensión, si se considera el signo negativoN son cargas normales, A es el área de contacto entre la cimentación y el cimacio, M es el momento actuante, I el momento de inercia. Por último, ymáx, es la distancia máxima al punto de análisis

5. Revisión de esfuerzos:

Para el ejemplo se tendrá:

Ymáx= 5.08 m

A = (1.0)(10.16) = 10.16 m2

433

4.870.12

)16.10)(0.1(12

mbhI

6. Condiciones ordinarias:

De la tabla, se tiene que:

Los dos valores son positivos, por tanto no hay tensiones, de acuerdo con la Figura

22 /038.1/38.10

08.540.8719.54

16.1041.73

mKgm

B

22 /408.0/08.4

08.540.8719.54

16.1041.73

mkgm

A

Distribución de esfuerzos en la cimentación

6. Condiciones ordinarias:

Con un factor de seguridad FS=3, los esfuerzos son:

2

2

/22.1)408.0)(3(

/12.3)038.1)(3(

cmkg

mkg

A

B

Por tanto, se recomienda un concreto con f ’c = 70 kg/cm2, con ello se garantiza durabilidad, no disgregación y buen aspecto. En partes expuestas al flujo se colocará concreto mas resistente para evitar erosión.

7. Análisis de deslizamientos.

El esfuerzo de fricción cortante se calcula con la ecuación.

En este caso se tiene:

hFCANtanCF

..

11.1341.73

hFN

8.0/00.84´12.0 2

TanmcfC

Además:

7. Análisis de deslizamientos.

Para condiciones ordinarias, F.S.= 3: Como puede verse, 69.58 > 3, por tanto no hay problemas en este aspecto.

38.6911.13

)16.10)(84)(80.0)(41.73(.. CF

Sustituyendo:

8. Análisis de agrietamiento.

Para este análisis es necesario calcular los esfuerzos de compresión mínimos con la ecuación:

Como la resistencia a la tensión en concreto vale:

2/61.93

)700)(05.0()12.5)(1)(4.0(

´""

m

Fstfhpzu

2/35)700)(05.0(05.0 mff ct

8. Análisis de agrietamiento.

Como 9.61 35 /m2, se acepta esta condición.Si se taparan los drenes y fallaran, “p” = 1, entonces;

Es decir, se permiten tensiones en estas condiciones.

2/50.63

)700)(05.0()12.5)(1)(1( mzu

8. Análisis de agrietamiento.

El esfuerzo compresible aguas arriba, sin considerar sub-presión en condiciones normales puede verse en la tabla;

Ordinaria Extraordinaria Extrema VacíaCondiciónFza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom.

Peso propio 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56

Empujehidrostático

-13.11 -22.42 -44.60 -103.03 -13.11 -22.42

Subpresión -12.51 -27.95 -27.52 -61.49 -12.51 -27.95

Sismo concreto -17.18 -38.49 17.18 38.59

Sismo agua -2.78 -5.86

Fy (ton) 73.41 58.40 73.41 85.92

Fx (ton) -13.11 -44.60 -33.07 17.18

Mz (ton m) 54.19 59.96 9.84 143.05

8. Análisis de agrietamiento.

Como 16.77 > 6.5, no se presenta agrietamiento.

Fy = 85.92

Mz=82.14 /m2

2/77.1608.540.8705.143

16.1092.85 mB

8. Análisis de agrietamiento.

La revisión de las demás combinaciones de carga se presenta en la tabla siguiente:

COMBINACIONES DE CARGA

Esfuerzos OrdinariaExtraordinariaExtremaVacíaCompresión B 3.12<70 1.85<701.56<705.04Tensión A 1.22<70 0.46<701.34<700.04Deslizamiento F.C. 69.58>70 202 28>2Agrietamiento 16.77>-6.58.55>-6.2

8. Análisis de agrietamiento.

• Puede notarse que para condiciones extremas se consideró FS. = 2, en vez de F.S. = 1, debido a que no se conoce el “sismo máximo” posible.

• Ya que no se sobrepasan los esfuerzos permisibles y factores de seguridad al deslizamiento y no existe agrietamiento, la sección vertedora se considera estable.