ESTABILIDAD II: ESTABILIDAD II:

TermoelasticidadTermoelasticidadTermoelasticidadTermoelasticidad

Año 2012

CIMTA

Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y AplicadaUniversidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca

Objetivo

Establecer una teoría que permita obtener desplazamientos,

tensiones y deformaciones en cuerpos sometidos a estados de

cargas mecánicos y térmicos.

• Hasta ahora se ha estudiado y aplicado la Teoría de la Elasticidadconsiderando cuerpos sometidos a estados de carga mecánicos, peroúnicamente expuestos a temperatura ambiente.

• La consideración de una temperatura distinta a la de referencia, o devariaciones de temperatura genera en el cuerpo dilataciones y/ocontracciones.

Dilatación lineal y deformación lineal

El cambio de una dimensión en un sólido se denomina dilatación linealo expansión lineal.

Dilatación lineal:

α: coeficiente de dilatación térmica lineal, [α] = 1/ºK.

Deformación lineal:

Estado termoelástico de tensiones

y deformaciones

Utilizando el Principio de Superposición, las ecuaciones constitutivas seexpresan mediante la Ley de Hooke se como

IMPORTANTE: Las deformaciones producidas por el efecto térmico realizansu aporte únicamente a las deformaciones lineales y no en las angulares.

Estado termoelástico de tensiones

y deformaciones

Las tensiones en función de las deformaciones se expresan

siendo el coeficiente de Lamé:

y la dilatación volumétrica:

Ecuaciones de equilibrio y

relaciones cinemáticas

Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría dela Elasticidad permanecen inalteradas.

Ecuaciones de

Equilibrio:

Ecuaciones de equilibrio y

relaciones cinemáticas

Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría dela Elasticidad permanecen inalteradas.

Ecuaciones Cinemáticas:

Ecuaciones de Cauchy

Las ecuaciones de Cauchy, empleadas en el planteo de las condicionesde borde de la Teoría de la Elasticidad también permanecen inalteradas.

Ecuaciones de Cauchy:

Ecuaciones de Navier termoelásticas

A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, lasecuaciones de Navier se expresan como

Resolviendo este sistema de ecuaciones, con la aplicación de lascondiciones de borde correspondientes, pueden obtenerse loscorrimientos u, v y w.

Ecuaciones de Navier termoelásticas

A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, lasecuaciones de Navier se expresan como

PROBLEMA: Para resolver las ecuaciones se requiere conocer el estadotérmico en cada punto del cuerpo que se está estudiando (dominio).

Transmisión del calor

Cuando dos sistemas (por ejemplo, dos puntos de un cuerpo) seencuentran a distinta temperatura, se produce un flujo de energía desdeel sistema de mayor temperatura hacia el de menor temperatura.

Transmisión del calor

Mecanismos de transmisión del calor

• Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículasde un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas.

EN TERMOELASTICIDAD NOS INTERESA LA CONDUCCIÓN

• Convección: Propagación mediante el movimiento de las partículasde un fluido (líquido o gaseoso) desde una región a otra del espacio.

• Radiación: Propagación mediante la emisión de ondaselectromagnéticas por parte de una sustancia emisora.

EN TERMOELASTICIDAD NOS INTERESA LA CONDUCCIÓN

Transmisión del calor por conducción

• Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículasde un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas.Su tratamiento analítico consiste en establecer el campo de

temperaturas, es decir, establecer la ecuación:

Campo de temperaturas en régimen transitorio:

Campo de temperaturas en régimen estacionario:

Transmisión del calor por conducción

Flujo de calor

Dado un cuerpo, limitado por dossuperficies paralelas de área A,sometidas a temperaturas T0 > T.sometidas a temperaturas T0 > T.Se ha establecido experimental-mente que

Q: tasa de transferencia de energíatérmica, [Q] = W.

Transmisión del calor por conducción

Ley de Joseph Fourier (1822)

Consideremos ahora la varilla de la figura. En base a losexperimentos mencionados, Fourier expresó la siguiente ley devariaciónvariación

q: tasa de transferencia de energía térmica (flujo de calor), porunidad de área perpendicular a la dirección de flujo, [q] = W/m2.

k: conductividad térmica (capacidad del material para conducircalor), [k] = W/(mºK).

Transmisión del calor por conducción

Ley de Joseph Fourier (1822)

La temperatura de un cuerpo puede variar según las tres direccionescoordenadas. Así, la Ley de Fourier se generaliza definiendo elvector de flujo térmico por conducción de la siguiente maneravector de flujo térmico por conducción de la siguiente manera

es decir:

(Válido para materiales isótropos, k constante)

Ecuación diferencial de conducción del calor

Principio de Conservación de la Energía

Energía entrante:

Energía saliente:Energía saliente:

Energía generada:

Energía acumulada:

Ecuación diferencial de conducción del calor

Principio de Conservación de la Energía

Sumando los términos y considerando también flujo en y y z, se obtiene:

c: calor específico del material, [c] = J/(KgºK);δ : densidad del material, [δ] = Kg/m3.Dividiendo por el volumen e considerando las expresiones de qx, qy y qz:se obtiene la ecuación diferencial de conducción del calor como:

Ecuación diferencial de conducción del calor

Ecuación de Fourier y Ecuación de Laplace

se conoce como Ecuación de Fourier y es válida para flujo transitorio.Si se considera estado estacionario, la derivada temporal es nula,entonces se tiene:

o bien:

conocida como Ecuación de Laplace.

Condiciones de borde

(a) De primer tipo o de Dirichlet. Se conoce la temperatura en lasuperficie exterior del cuerpo.

Ecuación diferencial de conducción del calor

(b) De segundo tipo o de Neumann. Se conoce el valor del flujotérmico en la superficie exterior del cuerpo.

Por ejemplo, para considerar aislaciones térmicas o bien en elcaso de simetría plana.

Problema de Termoelasticidad Estacionario

Se requiere resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado por

junto con sus condiciones de borde, para las variables u, v, w y ∆T.

ESTABILIDAD II: ESTABILIDAD II:

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