MA2006 - Tarea No 5

Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM

11 de enero de 2011

Solucion

1. La poblacion de un pas particular se compone de tres grupos etnicos (GE). Cada individuo pertenece auno de los cuatro grupos sanguneos principales. La tabla de probabilidad conjunta anexa da la proporcionde individuos en las diversas combinaciones de grupo etnico-grupo sanguneo.

Grupo sanguneo

GE O A B AB1 0.082 0.106 0.008 0.0042 0.135 0.141 0.018 0.0063 0.215 0.200 0.065 0.020

Suponga que se selecciona un individuo al azar de la poblacion y que los eventos se definen como

A = {tipo de sangre A seleccionado}Ei = {grupo etnico i seleccionado} para i = 1, 2, 3.

a) Calcule P (A), P (E3) y P (A E3).SolucionObserve que S = E1 E2 E3 y que los eventos Ei son disjuntos. De esta manera A = A S =A (E1 E2 E3) = A E1 A E2 A E3. Por tanto,

P (A) = P (A E1) + P (A E2) + P (A E3)= 0.106 + 0.141 + 0.200= 0.447

De igual manera,P (E3) = P (E3 0) + P (E3 A)

+P (E3 B) + P (E3 AB)= 0.215 + 0.200 + 0.065 + 0.020= 0.500

Directo de la tabla P (A E3) = 0.200.

b) Calcule tanto P (A|E3) y P (E3|A) y explique en contexto de 10 personas que representan cada unade estas probabilidades.SolucionDirecto de la defincion de probabilidad condicional:

P (A|E3) = P (A E3)P (E3)

=0.200

0.5= 0.4

Esto dice: 0.4 es la probabilidad de que una persona del grupo etnico 3 tenga sangre tipo A: esdecir, de cada diez personas del grupo etnico 3, 4 de ellas tendran sangre tipo A.

P (E3|A) = A E3P (A)

=0.200

0.447= 0.447

Esto dice: 0.447 es la probabilidad de que una persona que tiene sangre tipo A sea del grupo etnico3: es decir, de cada 100 personas que tienen sangre tipo A, 44 de ellas son del grupo etnico 3.

c) Si el individuo seleccionado no tiene sangre de tipo B, cual es la probabilidad de que el o ellapertenezca al grupo etnico l?SolucionSe nos pide P (E3|B), tenemos

P (E1|B) = P (E1B)

P (B)= 0.082+0.106+0.0041(0.008+0.018+0.065)= 0.211

2. Suponga que un individuo es seleccionado al azar de la poblacion de todos los adultos varones que vivenen Estados Unidos. Sea A el evento en que el individuo seleccionado tiene una estatura de mas de 6 piesy sea B el evento en que el individuo seleccionado es un jugador profesional de basquetbol. Cual piensaque es mas grande, P (A|B) o P (B|A)? Por que?SolucionP (A|B) representa la probabilidad de que un individuo tenga altura de mas de 6 pies (1.82 m) dadoque es un jugador de basquetbol, mientras que P (B|A) representa la probabilidad de que un individuojuegue basquetbol dado que tiene altura de mas de 6 pies. Como en general los jugadores de basquetbolson muy altos, se piensa que P (A|B) > P (B|A).

3. Regrese al escenario de la tarjeta de credito del problema 3 de la tarea 2, donde A = {Visa}, B ={MasterCard}, P (A) = 0.5, P (B) = 0.4 Y P (A B) = 0.25. Calcule e interprete cada una de lassiguientes probabilidades (un diagrama de Venn podra ayudar).

a) P (B|A)SolucionDirectamente de la definicion

P (B|A) = P (A B)P (A)

=0.25

0.5= 0.5

b) P (B|A)SolucionPrimero calculemos P (A B): Como A = (A B) (A B) entonces 0.5 = P (A) = P (A B) +P (A B) = 0.25 + P (A B), por tanto P (A B) = 0.25 ahora apliquemos la formula de laprobabilidad condicional

P (B|A) == P (A B)

P (A)=

0.25

0.5= 0.5

c) P (A|B)SolucionDirectamente de la definicion

P (A|B) = P (A B)P (B)

=0.25

0.4= 0.625

2

d) P (A|B)SolucionPrimero calculemos P (A B): Como B = (B A) (A B) entonces 0.4 = P (B) = P (A B) +P (A B) = 0.25 + P (A B), por tanto P (A B) = 0.15 ahora apliquemos la formula de laprobabilidad condicional

P (A|B) == P (A B)

P (B)=

0.15

0.4= 0.375

e) Dado que el individuo seleccionado tiene por lo menos una tarjeta, cual es la probabilidad de queel o ella tenga una tarjeta Visa?SolucionNote que el evento A B describe que el individuo tiene por lo menos una tarjeta, as lo querequerimos calcular es P (A|A B)

P (A|A B) = P (A(AB))P (AB)= P (A)P (AB)= P (A)P (A)+P (B)P (AB)= 0.50.5+0.40.25= 0.7692

6. Una tienda de departamentos vende camisas sport en tres tallas (chica, mediana y grande), tres disenos(a cuadros, estampadas y a rayas) y dos largos de manga (larga y corta). Las tablas adjuntas dan lasproporciones de camisas vendidas en las combinaciones de categora.

Manga corta

DisenoTalla Cuadros Estampada Rayas

CH 0.04 0.02 0.05M 0.08 0.07 0.12G 0.03 0.07 0.08

Manga larga

DisenoTalla Cuadros Estampada Rayas

CH 0.03 0.02 0.03M 0.10 0.05 0.07G 0.04 0.02 0.08

a) Cual es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa mediana, estampada yde manga larga?SolucionSe esta preguntado por TmedianaDestampadoMlarga, esto se obtiene directamente de la tabla: 0.05(Dato de la tabla referente a manga larga, el renglon de la talla mediana y la columna del disenoestampado)

b) Cual es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa estampada mediana?SolucionEn este caso debemos sumar los datos referentes a manga corta y manga larga: 0.07 + 0.05 = 0.14

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c) Cual es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? De manga larga?SolucionEn esto habra que sumar los datos de las tallas y los modelos para manga corta:

pmanga corta = 0.04 + 0.02 + 0.05+0.08 + 0.07 + 0.12+0.03 + 0.07 + 0.08

= 0.54

Para manga corta aplicamos complementaridad:

pmanga larga = 1 pmanga corta = 1 0.54 = 0.46

d) Cual es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? Que la siguientecamisa vendida sea estampada?SolucionSiguiendo un razonamiento analogo al del inciso anterior

pmediana = 0.08 + 0.07 + 0.12+0.10 + 0.05 + 0.07

= 0.49

Similarmente, pestampada = 0.25

e) Dado que la camisa que se acaba de vender era de manga corta a cuadros, cual es la probabilidadde que fuera mediana?SolucionQueremos calcular la probabilidad del evento P (Tmediana|Mcorta Dcuadros):

P (Tmediana|Mcorta Dcuadros) = P (TmedianaMcortaDcuadros)P (McortaDcuadros)= 0.080.04+0.08+0.03= 0.5333

f ) Dado que la camisa que se acaba de vender era mediana a cuadros, cual es la probabilidad de quefuera de manga corta? De manga larga?SolucionQueremos calcular la probabilidad del evento P (Mcorta|Tmediana Dcuadros):

P (Mcorta|Tmediana Dcuadros) = P (McortaTmedianaDcuadros)P (TmedianaDcuadros)= 0.080.08+0.01= 0.888

Por complementaridad tenemos que:

P (Mlarga|Tmediana Dcuadros) = 1 P (Mcorta|Tmediana Dcuadros)= 1.0 0.888 = 0.112

9. Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente compo-nente trado a reparacion es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente esun reproductor de discos compactos (as que el evento B esta contenido en A). Suponga que P (A) = 0.6y P (B) = 0.05. Cual es P (B|A)?

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SolucionNote que como B esta contenido en A, A B = B. Ahora apliquemos la formula de la probabilidadcondicional:

P (B|A) = P (BA)P (A)= P (B)P (A)= 0.050.6= 0.1

10. En el ejercicio 4 de la tarea 3, Ai = {proyecto otorgado i} con i = 1, 2, 3. Use las probabilidades dadasall para calcular las siguientes probabilidades y explique en palabras el significado de cada una.

a) P (A2|A1)SolucionDirectamente de la formula:

P (A2|A1) = P (A2A1)P (A1)= 0.110.22= 0.5

es la probabilidad de que se otorgue el proyecto 2 dado que ya se otorgo el proyecto 1.

b) P (A2 A3|A1)SolucionDirectamente de la formula:

P (A2 A3|A1) = P (A2A3A1)P (A1)= 0.010.22= 0.0454

es la probabilidad de que se otorguen los proyectos 2 y 3 dado que ya se otorgo el proyecto 1.

c) P (A2 A3|A1)SolucionPrimero observamos que

P ((A2 A3) A1) = P (A2 A1) + P (A3 A1) P (AA2 A3)= 0.11 + 0.05 0.01 = 0.15

ahora aplicamos la formula:

P (A2 A3|A1) = P ((A2A3)A1)P (A1)= 0.150.22= 0.6818

es la probabilidad de que entre los proyectos 2 y 3 se otorguen al menos 1 dado que ya se otorgo elproyecto 1.

d) P (A1 A2 A3|A1 A2 A3).Solucion

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Primero observamos que

P (A1 A2 A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3)P (A1 A2)P (A1 A3)P (A2 A3)+P (A1 A2 A3)

= 0.51

ahora aplicamos la formula:

P (A1 A2 A3|A1 A2 A3) = P ((A1A2A3)(A1A2A3))P (A1A2A3)= P (A1A2A3)P (A1A2A3)= 0.010.51= 0.0196

es la probabilidad de que se otorguen los tres proyectos simultanemente dado que al menos unproyecto ya se otorgo.

4. Reconsidere la situacion del sistema defectuoso descrito en el problema 2 de la tarea 1.

a) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, cual es la probabilidad de que tenga un defecto detipo 2?

b) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, cual es la probabilidad de que tenga los tres tiposde defectos?

c) Dado que el sistema tiene por lo menos un tipo de defecto, cual es la probabilidad de que tengaexactamente un tipo de defecto?

d) Dado que el sistema tiene los primeros dos tipos de defectos, cual es la probabilidad de que notenga el tercer tipo de defecto?

5. Si se seleccionan al azar dos focos de la caja descrita en el problema 10 de la tarea 4 (4 focos de 40 watts,5 focos de 60 watts y 6 focos de 75 watts) y por lo menos uno de ellos es de 75 W, cual es la probabilidadde que los dos sean de 75 W? Dado que por lo menos uno de los dos seleccionados no es de 75 W, cuales la probabilidad de que los dos focos seleccionados sean de la misma clase?SolucionPrimeramente revisemos de cuantos elementos pueden ser las muestras de dos focos.

El total de muestras de dos focos de los 15 disponibles es N, = C15,2 = 105.

El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 40 watts es de N40,75 =C4,1 C6,1 = 24El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 60 watts es de N60,75 =C5,1 C6,1 = 30El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts es de N/{75},75 = C6,1 C9,1 = 54 =N40,75 +N60,75

El total de muestras de dos focos de 75 watts es de N75,75 = C6,2 = 15.

El total de muestras de 2 focos sin foco de 75 watts es C9,2 = 36.

El total de muestras de 2 focos de 40 watts es N40,40 = C4,2 = 6.

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El total de muestras de 2 focos de 60 watts es N60,60 = C5,2 = 10.

El total de muestras de 2 focos uno de 40 watts y otro de 60 watts es N40,60 = C4,1 C5,1 = 20.Si A es el evento donde la muestra tiene dos focos son de 75 watts y B es el evento donde la muestratiene exactamente un foco es de 75, as A B sera el evento donde la muestra tiene al menos 1 foco esde 75. Por tanto, la probabilidad de seleccionar una muestra que tiene dos focos de 75 watts dado que lamuestra tiene al menos uno de 75 watts es:

P (A|A B) = P (A(AB))P (AB)= P (A)P (A)+P (B)=

N75,75/N,N75,75/N,+N/{75},75/N,

= 15/10515/105+54/105= 0.217

Para el otro inciso, sea C el evento en el cual la muestra tiene al menos 1 foco que no es de 75 watts, Del evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts y E el evento en el cual la muestra tiene 2 focosde 60 watts. Observe que

El evento C es la union de los eventos ME donde en la muestra hay exactamente 1 foco de 75 wattsy el evento donde en la muestra no hay foco de 75 watts.

P (C) = (54 + 36)/105 = 0.8571,

D E describe el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts o bien 2 focos de 60 watts.Es decir, el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de la misma clase y no de 75 watts.

P (D E) = (N40,40 +N60,60)/N, = (6 + 10)/105 = 0.1523D E esta contenido en C, y por tanto (D E) C = D E

AsP (D E|C) = P ((DE)C)P (C)

= P (DE)P (C)= 0.15230.8571= 0.1777

sera la probabilidad de que en la muestra salgan dos focos de la misma clase dado que en la muestra hayal menos un foco que no es de 75 watts.

7. Una caja contiene seis pelotas rojas y cuatro verdes y una segunda caja contiene siete pelotas rojas ytres verdes. Se selecciona una pelota al azar de la primera caja y se le coloca la segunda caja. Luego seselecciona al azar una pelota de segunda caja y se le coloca en la primera caja.

a) Cual es la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y de que se selec-cione una pelota roja de la segunda caja?SolucionSea Aroja el evento en el cual se selecciona pelota roja de la primera caja y sea Broja el evento enel cual se selecciona una pelota roja de la segunda caja. Nosotros queremos calcular P (Aroja Broja). Sabemos que P (Aroja Broja) = P (Broja|Aroja) P (Aroja). Como P (Aroja) = 6/10 yP (Broja|Aroja) = 8/11, entonces

P (Aroja Broja) = P (Broja|Aroja) P (Aroja) = (6/10) (8/11) = 0.4363sera la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y que se seleccione unapelota roja de la segunda caja.

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b) Al final del proceso de seleccion, cual es la probabilidad de que los numeros de pelotas rojas yverdes que hay la primera caja sean identicas a los numeros iniciales?SolucionEsto pasa cuando C:se toma una pelota roja de la primera caja y se selecciona de nuevo una rojapara regresarla a la primera o cuando D:se toma una pelota verde de la primera caja y se seleccionade nuevo un pelota verde para regresarla a la segunda caja. Observe los eventos C y D son ME yque P (C) = 0.4363 fue calculado en el inciso anterior. Entonces, debemos hacer el analogo al incisoanterior para las pelotas verdes:

P (Averde Bverde) = P (Bverde|Averde) P (Averde) = (4/10) (4/11) = 0.1454

AsP (C D) = P (C) + P (D) = 0.4363 + 0.1454 = 0.5817

sera la probabilidad de que se elija una pelota de la primera caja se ponga en la segunda, se elijauna pelota de la segunda y se coloque en la primera de tal manera que en la primera caja se tieneel mismo numero de rojas y verdes que al inicio.

8. Un sistema se compone de bombas identicas, #1 y #2. Si una falla, el sistema seguira operando. Sinembargo, debido al esfuerzo adicional, ahora es mas probable que la bomba restante falle de lo que eraoriginalmente. Es decir r = P (#2 falla|#1 falla) > P (#2 falla) = q. Si por lo menos una bomba fallaalrededor del final de su vida util en 7 % de todos los sistemas y ambas bombas fallan durante dichoperiodo en solo 1 %, cual es la probabilidad de que la bomba #1 falle durante su vida util de diseno?

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