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ESTADISTICA INFERENCIAL

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Son métodos empleados para recolectar, organizar, resumir y presentar datos de manera informativa.

ESTADISTICA INFERENCIAL.

Son los métodos usados para determinar algo acerca de la población, basándose en el estudio de una muestra.

POBLACION

Es el conjunto de todos los posibles individuos, objetos o mediciones de interés en el estudio estadístico. Sus números representativos (media, mediana, moda, desviaciones media y estándar, varianza, etc.) se llaman parámetros.

MUESTRA

Es un subconjunto o parte de la población de interés, que se emplea para hacer el estudio estadístico. Sus números representativos (media, mediana, moda, desviaciones media y estándar, varianza, etc.) se llaman estadísticos.

ERROR DE MUESTREO

Es la diferencia que existe entre el estadístico de una muestra y el parámetro correspondiente de la población.

INTERVALO DE

CONFIANZA

Es un rango de valores que se construye a partir de los datos de una muestra, de modo que el parámetro ocurre dentro de dicho rango con una probabilidad específica, llamada nivel de confianza.

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INTERVALOS CONFIANZA MEDIA (MUESTRAS GRANDES)

Ex DONDE: n

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1 El gerente de una tienda de autoservicio de la zona suburbana desea determinar el importe del consumo promedio de sus clientes. Con tal objeto tomó una muestra aleatoria de 60 clientes, obteniendo en ella un promedio de $ 128.00 con una desviación estándar de $ 97.50. Halla un intervalo de confianza 0.97 para estimar el consumo promedio de los clientes de esa tienda.

2 Una muestra aleatoria de 75 alumnos de cierta universidad dio una calificación promedio de 7.3 con una desviación estándar de 3.45. Halla un intervalo de confianza 0.93 para estimar la calificación promedio de los alumnos de esa universidad.

3 Una tienda de departamentos tiene 5,000 clientes con cuenta corriente. Para estimar el total adeudado por estos clientes, se tomó una muestra aleatoria de 80 cuentas la cual dio una media de $ 1,300.00 con una desviación estándar de $750.00. Halla un intervalo de confianza 0.94 para estimar la cantidad total adeudada por todos los clientes de esa tienda.

4 Una encuesta que se condujo en una ciudad grande en 1986 revelo que 200 familias gastaban en promedio $218.67 por semana en alimentos con una desviación estándar de $14.93. Ya que se desea ajustar el gasto semanal en alimentos promedio verdadero en esa ciudad a un intervalo bastante estrecho, elabore un intervalo de confianza de 90%.

5 Una distribuidora de maquinas vendedoras de refrescos planifica usar el numero medio de refrescos vendidos durante una semana por 60 de sus maquinas para estimar el numero promedio vendido por cualquiera de las maquinas durante una semana. Si 60 maquinas seleccionadas al azar tuvieron una media de 255.3 refrescos con una desviación estándar de 48.2 refrescos, construya un intervalo de confianza del 95% para el numero promedio verdadero vendido por cualquiera de sus maquinas durante una semana.

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Para estimar el tiempo de servicio promedio en un restaurante de hamburguesas, un consultor de la gerencia anoto los tiempos que requirieron 35 personas que forman una muestra aleatoria para tomar una orden estándar (consistente en dos hamburguesas, dos paquetes de papas fritas y dos bebidas). En promedio estas personas requirieron 72.2 segundos con una desviación estándar de 12.8 segundos para tomar sus ordenes. Estructure un intervalo de confianza del 96.4% para el tiempo promedio real que una persona necesita para tomar la orden estándar.

7

Un estudio del crecimiento anual de ciertos cactus reveló que 64 de estos, seleccionados al azar en una zona desértica, crecieron en promedio 52.8 mm. con una desviación estándar de 4.5 mm. Elabore un intervalo de confianza del 98.6% para el crecimiento anual promedio verdadero de dicha clase de cactus.

8 125 empleados de una fabrica seleccionados al azar promedian una edad de 38 años, con una desviación estándar de 4 años. Elabore un intervalo de confianza del 97% para el promedio de edad de todos los trabajadores de esa fabrica.

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Una tienda vende a crédito escáner de una determinada característica a un precio de $1,300.00 cada unidad. Para estimar el total adeudado por sus 425 acreditados, se selecciona aleatoriamente una muestra de 70 de ellos, y al hacer el análisis estadístico se obtiene un adeudo medio de $644.00 con una desviación estándar de $289.00 Determine un intervalo del 91.5% de confianza para el importe total adeudado por todos sus acreditados.

10 Escriba y describa un intervalo de confianza del 93% para el promedio de duración de una canción. Se sabe de una muestra de 70 canciones, que en promedio duran 3.5 minutos con una desviación estándar de 0.3 minutos.

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INTERVALOS CONFIANZA MEDIA (MUESTRAS PEQUEÑAS)

Ex DONDE: n

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1 El gerente de una tienda de autoservicio de la zona suburbana desea determinar el importe del consumo promedio de sus clientes. Con tal objeto tomó una muestra aleatoria de 25 clientes, obteniendo un promedio de ella de $ 128.00 con una desviación estándar de $ 97.50. Halla un intervalo de confianza 0.98 para estimar el consumo promedio de los clientes de esa tienda.

2 Una muestra aleatoria de 28 alumnos de cierta universidad dio una calificación promedio de 7.3 con una desviación estándar de 3.45. Halla un intervalo de confianza 0.99 para estimar la calificación promedio de los alumnos.

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Para probar la durabilidad de una pintura nueva para las líneas divisorias, un departamento de carreteras pinto franjas de prueba en carreteras muy transitadas en ocho sitios distintos y los contadores electrónicos demostraron que se deterioraron después de que 142600, 167800, 136500, 108300, 126400, 133700, 162000 y 149400 automóviles cruzaron por estas. Elabore un intervalo de confianza del 95% para la cantidad promedio de transito que esta pintura puede soportar antes de deteriorarse.

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El propietario de una estación de servicio para camiones ha llevado registros completos de varias transacciones con sus clientes. Si una muestra aleatoria de 18 de estos registros revela ventas promedio de 58.22 galones de diesel con una desviación estándar de 4.80 galones, elabore un intervalo de confianza del:

a) 95%. b) 99%.

5 En 6 ocasiones, en una muestra que se presume aleatoria, fueron necesarios 21, 26, 24, 22, 23 y 22 minutos para limpiar la cafetería de una escuela. Elabore un intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio necesario.

6 En una revisión de rutina, un dentista encuentra que seis internos de una prisión, en una muestra aleatoria requieren de 2, 3, 6, 0, 4 y 3 curaciones. Elabore un intervalo de confianza del 99% para el numero promedio de curaciones que requieren los internos de esa prisión.

7

Registro del numero de paginas de un grupo de libros de Estadística que se recomiendan en la bibliografía de un curso:

416 1182 584 575 821 406 556 707 624 467 762 1140

Elabore un intervalo de confianza del 95% para el numero promedio de paginas que tiene un libro de Estadística.

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Antigüedad en años de un grupo de profesores de una Universidad:

4 17 17 3 12 20 14 17 16 13 16 17 11 13 11 22

Elabore un intervalo de confianza del 99% para el numero promedio de años de antigüedad de todos los profesores de esa Universidad.

9 El diámetro medio de una muestra de 12 varillas incluidas en un embarque, es de 2.35 mm., con una desviación estándar de 0.050 mm. Se supone que la distribución de los diámetros de la totalidad de las varillas incluidas en el embarque es aproximadamente normal. Determine un intervalo de confianza del 99% para la estimación del diámetro medio de todas las varillas incluidas en el embarque.

4

10 Una muestra aleatoria de 26 barriles de una sustancia química (tomada al azar de entre 200 barriles) tiene un peso medio de 240.8 libras con una desviación estándar de 10.2 libras. Elabore un intervalo de confianza del 85% para estimar el peso promedio de los 200 barriles. Se permite un error máximo de 30 libras.

11 Una tienda vende a crédito scanner al precio de $1,300.00 cada unidad. Para estimar el total adeudado por sus 425 acreditados, se selecciona aleatoriamente una muestra de 20 de ellos, y al hacer el análisis estadístico se obtiene un adeudo medio de $ 644. 00 con una desviación estándar de $ 289. 00 Determine un intervalo del 90% de confianza para el importe total adeudado por todos sus acreditados.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

Ep DONDE: n

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2

1 Anilú, gerente general de Alfa, S.A. fabricante de blusas para mujer, desea estimar la proporción de tiendas de ropa para mujer de la zona metropolitana que venden su marca. Con tal objeto tomó una muestra aleatoria de 42 tiendas y encontró que en 30 de ellas se vendían las blusas de Alfa, S.A. Halla un intervalo de confianza 0.96 para estimar la proporción de tiendas de la zona metropolitana que venden las blusas de Alfa, S.A.

2

El rector de cierta universidad desea conocer el porcentaje de alumnos que están de acuerdo con el actual sistema de becas. Con tal objeto entrevisto aleatoriamente a 184 alumnos, de los cuales 125 aceptaron el actual sistema de becas. Halla un intervalo de confianza 0.98 para estimar el porcentaje de alumnos de esa universidad que esta de acuerdo con el actual sistema de becas.

3 En una muestra aleatoria, 136 de 400 personas a quienes se les administró una vacuna contra la gripe experimentaron alguna molestia. Elabore un intervalo de confianza del 95% para la proporción real de personas que experimentarán esta molestia como resultado de la vacuna.

4

En una muestra aleatoria de 439 personas entrevistadas en una gran ciudad, 299 decían que se oponían a la construcción de más vías rápidas. Elabore, para la proporción de las personas de la población que se oponen a dicha construcción:

a) un intervalo de confianza del 97%. b) un intervalo de confianza del 93%.

5 Entre 180 pescados de un lago grande, 24 no eran comestibles como resultado de la contaminación. Elabore un intervalo de confianza del 99% para la proporción real correspondiente.

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El siguiente registro muestra el tiempo en días que tarda un medicamento en quitar la gripe a un grupo de personas seleccionadas al azar que integran una muestra:

6 3 6 6 9 2 5 8 1 9 4 3 5 5 9

3 3 2 2 1 8 5 4 9 4 8 1 4 8 1

Elabore un intervalo de confianza del:

1. 96.5% para la proporción real de personas a las que quita la gripe en menos de 4 días. 2. 98.3% para la proporción real de personas a las que les quita la gripe en un máximo de 4 días. 3. 94.1% para la proporción real de personas a las que quita la gripe en 4 días. 4. 90.6% para la proporción real de personas a las que quita la gripe en mas de 4 días. 5. 92.7% para la proporción real de personas a las que quita la gripe en un mínimo de 4 días.

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7 En una muestra aleatoria de 140 supuestos contactos con OVNIS, 119 se podrían explicar fácilmente como fenómenos naturales. Elabore un intervalo de confianza del 97.5% para la probabilidad de que un supuesto contacto con un OVNI no se pueda explicar fácilmente como un fenómeno natural.

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El departamento de MKT de una refresquera desea estimar la proporción de establecimientos de una ciudad que vende su producto. Tomo una muestra aleatoria de 58 tiendas y encontró que en 35 de ellas si se vende su refresco. Halle un intervalo de confianza del 97% para estimar la proporción de tiendas que venden su producto.

TAMAÑO MUESTRA PARA MEDIA DE UNA POBLACION

2

2

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1

El gerente de un restaurante desea determinar el importe del consumo promedio de sus clientes. De registros anteriores obtuvo que el consumo promedio era de $ 258.00 con una desviación estándar de $ 125.00. ¿De que tamaño deber tomar la muestra para tener una confianza de 0.96 de que el error en la estimación no excederá de $ 40.00?

2

El gerente de una empresa desea determinar el tiempo promedio que necesitan los trabajadores en hacer cierta actividad especializada. De registros anteriores sabe que el tiempo promedio era de 28 minutos con una desviación estándar de 20 minutos. ¿De qué tamaño se debe tomar una muestra para tener una confianza de 0.97 de que el error máximo en la estimación no excederá de 6 minutos?

3

Se desea estimar el numero medio de horas de uso continuo hasta que cierta clase de computadora necesite reparaciones por vez primera. Si se puede suponer que la desviación estándar es de 48 horas, ¿Qué tan grande debe ser la muestra a estudiar, de modo que se pueda afirmar con una probabilidad de 0.99 que el error de la media de la muestra será como máximo de 10 horas?.

4

Antes de comprar un embarque grande de carne molida, un fabricante de salchichas quiere tener una confianza del 95% de que su error no sea mayor de 2.5 gramos al estimar el contenido de grasa (por cada 100 gramos de carne). Si se supone que la desviación estándar del contenido de grasa (por 100 gramos) de carne es de 8 gramos, ¿Qué tan grande debe de ser la muestra en que base su estimación?

5

Suponga que queremos estimar la calificación media de ciudadanos de edad avanzada en una prueba acerca del conocimiento sobre sucesos actuales, y que deseamos poder afirmar con una probabilidad de 0.98 que el error de nuestra estimación de la media de una muestra aleatoria, será a lo sumo de 2.5; ¿Qué tan grande debe ser la muestra, si sabemos que la desviación estándar de la población es de 73?.

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Antes de concursar por un contrato, un contratista quiere tener una confianza del 95% de que su error es como máximo de 5 minutos al usar la media de una muestra aleatoria para estimar el tiempo promedio que cierta clase de ladrillo de adobe necesita para endurecer. ¿Cuan grande será la muestra que necesita, si puede suponer que la desviación estándar es de 24 minutos para la población de dichos ladrillos?.

7

Una empresa necesita saber edad promedio de los consumidores de su producto, y desea afirmar con una probabilidad del 97% que el error de su estimación será a lo sumo de 3 años. ¿Qué tan grande debe ser la muestra a estudiar, si de estudios similares de otras empresas de la competencia sabe que la desviación estándar de la población es de 9 años?

6

8

Un analista desea estimar el salario medio por hora de los trabajadores de una determinada fabrica de componentes de PC’s, con un margen de error no mayor a $0.25 y confianza del 90%. La desviación estándar de los índices salariales es estimada en $1.07. ¿Cuál es el número de expedientes de personal que deberán muestrearse como mínimo para satisfacer este objetivo de investigación?

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Se planea una investigación para determinar la cantidad media de tiempo que los ejecutivos de una corporación ven televisión. Una encuesta piloto indico que el tiempo medio por semana es de 13.5 horas, con una desviación estándar de 3.4 horas. Se desea estimar el tiempo medio con un error máximo de 15 minutos. Si se emplea un nivel de significación de 0.942, ¿A cuantos ejecutivos se debe investigar?

10 ¿De que tamaño debe ser la muestra a estudiar para determinar el peso promedio de los estudiantes de una universidad, si se desea tener una confianza del 96.3% en que el error máximo sea del 2.4 Kg., si de estudios anteriores se sabe que la desviación estándar es de 7.7 Kg?

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Se seleccionan aleatoriamente 18 empleados de una fábrica de insumos para el ensamble de computadoras que tiene un gran número de trabajadores. Un análisis estadístico revela que la edad promedio es de 26 años con una desviación estándar de 2 años. En base a dicha información:

a) Construya un intervalo de confianza del 99% para la edad media de los trabajadores b) ¿De que tamaño deberá ser la muestra a analizar estadísticamente si se requiere un nivel de confianza del

95%, en que diferencia máxima entre los promedios de la muestra y población sea de 2.5 años?.

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1. ¿De que tamaño debe ser la muestra a estudiar de los 5000 empleados de una gran fabrica para calcular el

sueldo promedio mensual, si se desea una confiabilidad del 91% en que la media de dicha muestra y la de la población no diferirán en más de $200?. Estudios anteriores indican que la desviación estándar es de $1,600.

2. Si la muestra del inciso anterior da un sueldo promedio mensual de $8640 con una desviación estándar de $1,425, escriba un intervalo de confianza del 96.3% para la media de esa población.

TAMAÑO MUESTRA PARA PROPORCION DE POBLACION

2

2

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1

Anilú, gerente general de Alfa, S.A. fabricante de blusas para mujer, desea estimar la proporción de tiendas de ropa para mujer de la zona metropolitana que venden su marca. ¿De cuántas tiendas debe Anilú recabar información para tener una seguridad del 96% de que el error en la estimación no sobrepasará del 16%?

2

El rector de cierta universidad desea conocer el porcentaje de alumnos que están de acuerdo con el actual sistema de becas. ¿A cuántos alumnos debe entrevistarse para tener una confianza del 97% de que el error en la estimación no excederá del 8%, si: a) en una encuesta anterior el 65% de los alumnos estaban de acuerdo con el actual sistema de becas? b) no hay ninguna información anterior?.

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Suponga que un departamento de carreteras estatales quiere estimar la proporción de todos los camiones que operan entre dos ciudades transportando carga muy pesada y desea poder afirmar con una probabilidad de por lo menos 0.95 que su error no será mayor que 0.04. ¿Qué tan grande necesitará ser la muestra sí:

1) Sabe que la proporción real cae en algún valor del intervalo de 0.10 a 0.25? 2) No tiene idea sobre cual puede ser el valor real?.

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Una política lleva a cabo una encuesta de la opinión privada para estimar la proporción de sus votantes que favorecen la despenalización de ciertos delitos relacionados con narcóticos.

1) Cuán grande necesitará ser la muestra que tome la encuesta para tener una seguridad como mínimo del 95% de que la proporción de la muestra tenga un error a lo sumo de 0.02?.

2) ¿Qué tan grande necesitara ser la muestra que tome la encuesta si sabe que la proporción real que favorece esta despenalización es de aproximadamente 0.35?.

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Un político en desgracia lleva a cabo una encuesta para estimar la proporción de electores registrados en su distrito que planean votar por él en las próximas elecciones. Encuentre el tamaño de la muestra necesario para tener una confianza del 94% si quiere que dicha muestra tenga una precisión de:

1) 8 puntos porcentuales. 2) 4 puntos porcentuales. 3) 2 puntos porcentuales. 4) 1 punto porcentual.

6

Suponga que queremos estimar la proporción de todos los conductores que exceden el limite de velocidad máxima en un estrechamiento de la carretera entre Los Ángeles y Bakersfield. ¿Cuán grande es la muestra que necesitaremos de modo que el error de nuestra estimación sea a lo sumo 0.04 si el nivel de confianza deseado es del:

1) 90%?. 2) 95%? 3) 99%?

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Un fabricante nacional quiere determinar el porcentaje de compras de navajas para afeitar para caballero que en realidad son hechas por mujeres. ¿Qué tan grande es la muestra de hombres que el fabricante necesita para tener una confianza del 98% como mínimo de que el porcentaje de la muestra no tiene un error de mas de 2.5 puntos porcentuales si:

1) No sabe nada acerca de la proporción real?. 2) Tiene buenas razones para creer que la proporción real es a lo sumo 0.30?.

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En estudios previos se determino que el 30% de los turistas que van a un casino a apostar durante un fin de semana, gastaron mas de $ 10,000. La administración del casino desea actualizar ese porcentaje, con una confianza del 90% y dentro de 1% de tolerancia en la estimación. ¿Qué tamaño de muestra deberá usarse?.

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Una compañía financiera grande quiere estimar con base en una muestra la probabilidad de que cualquiera de sus numerosos clientes haga una compra cuantiosa de aparatos eléctricos a crédito durante el año próximo. ¿Cuán grande es la muestra que necesitará para tener una confianza de por lo menos el 95% de que la diferencia entre la proporción de la muestra y la probabilidad real no es mayor de 0.03 si:

1) No se sabe nada acerca de la probabilidad real?. 2) Existen buenas razones para pensar que la probabilidad real es de entre 0.15 y 0.40?.

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Un congresista que quiere reelegirse desea determinar su popularidad en cierta región de un estado. Desea que la proporción de electores que le apoyaran debe calcularse dentro de un razonable + 2% de error, y quiere tener un 94% de confianza que el resultado tendrá dicha precisión. Determine el tamaño que deberá tener la muestra a estudiar si:

1. En la elección anterior recibió el 40% de los votos de esos votantes. 2. No tiene idea de cuales son las preferencias de los votantes.

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Un canal de TV desea una estimación de la proporción de la población que apoya la política actual del gobierno con respecto a la situación en Irak. Es conveniente para su credibilidad que la estimación este dentro del 0.04 de la proporción verdadera. Si se desea una confianza del 92%, determine el tamaño de la muestra de publico a entrevistar si:

1. Un analista de política del canal estima que el 60% apoya a la política actual. 2. No se tienen estimaciones previas de la proporción de la gente que apoya la política actual.

8

12

La proporción de ejecutivos júnior que salen de grandes compañías manufactureras a los tres años, se debe de estimar con un margen de error del 3%. Para tener una confianza del 95% en la estimación:

1. ¿Cuántos funcionarios júnior deben estudiarse, si no hay información preliminar al respecto? 2. ¿Cuántos funcionarios júnior deben estudiarse, si un estudio realizado hace varios años revelo que el

porcentaje de tales ejecutivos es el 21%?

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La siguiente es una serie de números de un digito generados al azar por una computadora:

4 4 4 5 8 7 1 1 5 6 1 7 6 9 7 6

7 4 7 4 9 5 2 2 3 4 3 8 1 8 9 7

9 5 7 8 7 7 1 4 4 7 4 5 6 9 3 2

1. Determine el tamaño de la muestra (cantidad de números aleatorios que deben generarse) que con una

confianza del 94% y un margen de error del 2%, estime la verdadera proporción de números mayores de 6 generados por estas maquinas.

2. Determine el tamaño de la muestra (cantidad de números aleatorios que deben generarse) que con una confianza del 93% y un margen de error del 4%, estime la verdadera proporción de números menores de 2 generados por estas maquinas.

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Se desea investigar la proporción de estudiantes de la universidad que tiene una impresora, empleando un nivel de significación de 0. 07 y deseando que la proporción detectada por la muestra no difiera en mas de un 5% de la verdadera proporción de la población. Determine el tamaño que debe tener la muestra a estudiar, si: a) no se dispone de información preliminar. b) de estudios anteriores, se sabe que por lo regular 65 de cada 197 alumnos tienen una impresora.

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Una fábrica desea conocer el porcentaje de trabajadores que piden alguna incapacidad por motivos de salud anualmente. ¿A cuantos empleados debe de investigar para tener una confianza del 93 % de que el error en la estimación no excederá del 7 %, si: a) no se dispone de información previa? b) estudios anteriores indican que el 23% de los trabajadores se incapacitan al año?

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Se observa que de una muestra de 186 hogares de una conocida colonia de la ciudad, 51 poseen una computadora.

a) Escriba un intervalo de confianza del 92.7% para la proporción de hogares de esa colonia que posee una computadora.

b) Si no se tuviera la información previa,¿De que tamaño deberá de ser una muestra estadística a analizar para tener una confianza del 96.7% en que la proporción que se halle no diferirá de la verdadera proporción de la población en mas de un 4%?.

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Se desea investigar la proporción de estudiantes de la universidad que tiene un scanner, empleando un nivel de significación de 0. 07 y deseando que la proporción detectada por la muestra no difiera en mas de un 5% de la verdadera proporción de la población. Determine el tamaño que debe tener la muestra a estudiar, si:

1. no se dispone de información preliminar. 2. de estudios anteriores, se sabe que por lo regular 4 de cada 25 alumnos tienen un scanner.

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PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADISTICAS

HIPÓTESIS

NULA

Afirmación que se hace acerca de algún parámetro de la población, sin estar respaldada por un estudio estadístico. Son valores conocidos, declaraciones verbales o escritas, etiquetas, etc.

HIPÓTESIS

ALTERNATIVA

Es la negación de una hipótesis nula. Esta siempre respaldada por el análisis estadístico de una muestra.

PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE

UNA Y DOS COLAS.

FORMA DE LA

HIPÓTESIS NULA

FORMA DE LA

HIPÓTESIS ALTERNATIVA

TIPO DE PRUEBA

DE HIPOTESIS

μ = 5

μ > 5

ó μ < 5

UNILATERAL O DE UNA COLA.

P = 20

P ≠ 20

BILATERAL O

DE DOS COLAS.

RESULTADOS POSIBLES DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS

1. Se reserva el juicio, cuando no existen evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis

nula. En estos casos: Ze < Zc

2. Se rechaza la hipótesis nula, cuando existen las evidencias estadísticas suficientes para decir que es falsa. en estos casos:

Ze > Zc En ambos casos: Ze = es un valor efectivo obtenido con formulas estadísticas a partir de valores provenientes de la muestra. Zc = es un valor crítico o limite, obtenido de la función de distribución de probabilidades que mejor represente el caso.

ERRORES, NIVELES DE

SIGNIFICACIÓN Y DE

CONFIANZA

Al hacer una prueba estadística de hipótesis, puede incurrirse en cualquiera de los siguientes errores:

SI LA HIPÓTESIS NULA ES:

VERDADERA FALSA

DECISIÓN TOMADA

RESERVAR JUICIO ACIERTO ERROR

RECHAZAR LA Ho ERROR ACIERTO

La probabilidad de cometer uno o los dos errores señalados, recibe el nombre de nivel de significación. Dicho nivel de significación y el nivel o grado de confianza, deben sumar 1.

10

HIPOTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION (MUESTRA GRANDE: n > 30).

n

xZ

Distribución Normal

1

Atlas S. A. ha puesto en marcha una promoción comercial especial para su estufa de propano y siente que la promoción debe provocar un cambio en el precio para el consumidor. Atlas. S. A. sabe que antes de que comenzara la promoción, el precio promedio al menudeo de la estufa era de $4,495.00. Atlas muestreo a 40 de sus minoristas después de iniciada la promoción y encuentra que el precio promedio de las estufas es ahora de $4,295.00 con una desviación estándar de $575.00. A un nivel de significación de 0.02, ¿Tiene Atlas razones para creer que ha disminuido el precio promedio al menudeo para el consumidor?

2

De1990 a 1996, la tasa promedio precios/utilidades (P/U) de los aproximadamente 1,800 valores inscritos en la Bolsa de Valores de una metrópoli fue de 14.35. En una muestra de 30 valores de la Bolsa aleatoria mente escogidos, la tasa p/u promedio en 1997 fue de 11.77 con una desviación estándar de 9.73. ¿Esta muestra presenta evidencia suficiente para concluir que en 1997 la tasa p/u promedio para los valores de la Bolsa tuvo una disminución? Usa un nivel de significación de 0.045.

3

Una distribuidora de películas sabe que cierta película de éxito se exhibió un promedio de 84 días en cada ciudad de un estado. El administrador de la región sur del estado, interesado en comparar la popularidad de la película en su región con los demás cines del estado, eligió aleatoria mente 75 cines de su región y encontró que proyectaron la película un promedio de 81.5 días con una desviación estándar de l0 días. Usando un nivel de significación de 0.035, determina cuál es la conclusión a la que llegó el administrador de la región.

4

La comisión promedio que cargan las compañías de corretaje de tiempo completo en una venta de valores comunes es de $144.00. Aleida tomó una muestra aleatoria de 120 compras por parte de sus clientes y halló que habían pagado una comisión promedio de $151.00 con una desviación estándar de $ 52.00. A un nivel de significación de 0.045, ¿Puede Aleida concluir que las comisiones de sus clientes son mayores que el promedio de la industria?

5

Diariamente el Servicio de Aduanas ha interceptado a lo largo de su historia alrededor de $28 millones al día en bienes de contrabando introducidos al país. En 60 días de 1998, elegidos al azar, el Servicio de Aduanas interceptó un promedio de $30.3 millones con una desviación estándar de $16 millones al día en bienes de contrabando. ¿Indica esta muestra, a un nivel de significación de 0.055; que el Comisionado de Aduanas debería preocuparse por el incremento del contrabando por encima de su nivel histórico?

6

Para una muestra de 60 mujeres, tomada de una población de 5,000 inscritas en un programa de reducción de peso en una cadena nacional de balnearios de aguas termales, la presión sanguínea diastólica media es de 90 con una desviación estándar de 42. A un nivel de significación de 0.015, determina si las mujeres inscritas en el programa tienen una presión sanguínea diastólica que excede el valor de 75 recomendado por diversas sociedades médicas.

7

El departamento de procesamiento de datos de una gran compañía de seguros de vida instaló nuevas terminales de vídeo en color para reemplazar las unidades monocromáticas que antes usaba. Los 95 operadores capacitados para usar las nuevas máquinas promediaron 7.2 horas antes de lograr un nivel de rendimiento satisfactorio. Su varianza fue de 16.2 horas al cuadrado. La larga experiencia con los operadores en las viejas terminales monocromáticas indicaba que promediaban 8.1 horas en las máquinas, antes de que su rendimiento fuera satisfactorio. A un nivel de significación de 0.03, ¿Puede el supervisor del departamento concluir que las nuevas terminales son más fáciles de operar?

11

8

Un documental de televisión acerca de la alimentación excesiva afirmaba que los varones tienen un sobrepeso aproximado de 5 Kg. en promedio. Para probar esta afirmación, se examinó a 48 individuos elegidos aleatoria mente y se encontró que su sobrepeso promedio era de 5.6 Kg. con una desviación estándar de 1.3 Kg. A un nivel de significación de 0.015, ¿Hay alguna razón para dudar de la validez de valor dado por el documental?

9

Los estatutos ambientales federales aplicables a una cierta planta nuclear especifican que el agua Reciclada no debe, en promedio, exceder los 28.9°C antes de que pueda ser lanzada al río que corre junto a la planta. De 70 muestras, se encontró que el promedio de temperatura del agua reciclada era de 30.2°C con una desviación estándar de 7.5°C. Usando un nivel de significación de 0.04, determina si la planta debería ser multada por exceder los límites.

10

Los inspectores del gobierno, al investigar los cargos levantados contra una embotelladora de bebidas no alcohólicas que no llenaba adecuadamente sus productos, han muestreado 200 botellas y encontraron que el promedio de llenado es de 935 mI con una desviación estándar de 44.36 mI. Se anuncia en la etiqueta de las botellas un contenido de 946 mI. ¿Pueden los inspectores del gobierno, al nivel de significación de 0.015, concluir que las botellas están siendo llenadas con menor contenido?

11

En 1996, la tarifa aérea promedio con dos semanas de anticipación en el vuelo entre las ciudades de Veracruz y Mérida era de $1,034.00. En una encuesta hecha en 1997 a 90 viajeros elegidos al azar entre esas dos ciudades se encontró que habían pagado en promedio $ 965.00 con una desviación estándar de $299.00. Usando un nivel de significación de 0.035, determina si la tarifa promedio de 1997 fue diferente a la tarifa de 1996.

12

Una compañía, recientemente criticada por no pagar lo mismo a hombres que a mujeres que trabajan en los mismos puestos, declara que el sueldo promedio pagado a todos los empleados es de $ 2,350.00. De una muestra de 39 mujeres que laboran en la compañía, se obtuvo un salario promedio de $2,300.00 con una desviación estándar de $ 125.00. Usando un nivel de significación de 0.035, determina si la crítica hecha a la compañía tiene fundamento.

13

Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio de espera de clientes por atender esta distribuido normalmente con una media de 3 min. Y una desviación estándar de 1 min. Su departamento de aseguramiento de la calidad hallo en una muestra de 50 clientes en un cierto establecimiento que el tiempo medio de espera era de 2.75 min. Al nivel de significación de 0.05 ¿Es dicho tiempo menor a 3 min?

14

Cuando fue contratada como mesera de un restaurante, Bety se dijo a si misma “Puedes obtener en promedio mas de $200 al día en propinas”. A los primeros 35 días de su trabajo en el restaurante, el importe promedio diario de sus propinas fue de $248.50 con una desviación estándar de $32.40; Al nivel de significación de 0.01, ¿Puede Bety concluir que esta ganando en propinas mas de lo que se propuso al inicio?

15

Supóngase que en cierto proceso para fabricar un cable que se emplea al ensamblar PCs, la resistencia a la ruptura que se logra es una variable aleatoria normal con una media de 90.80 Kg./mm2. Intentando reducir los costos de producción, se prueba un nuevo proceso de fabricación. Una muestra de 47 unidades fabricadas con el nuevo proceso tiene una media de 93.32 Kg./mm2. con una desviación estándar de 2.94 Kg./mm2. ¿Puede decirse que el nuevo proceso tiene un efecto positivo sobre la resistencia del cable?. Use un nivel de significación de 0.10 para contestar la pregunta.

16

Una empresa transnacional ha observado en una muestra de 54 empleados, que en México la edad promedio de sus trabajadores es de 45 años con una desviación estándar de 5 años. En otros países, los empleados de esta empresa tienen una edad media de 44 años. Al nivel de significación de 0.072 determine si existen razones en la empresa para pensar que la edad promedio de sus trabajadores en México es diferente a la del resto del mundo.

17

Una encuesta nacional reciente descubrió que los estudiantes de secundaria ven un promedio de 6.8 videos por mes. Una muestra aleatoria de 36 estudiantes de secundaria revelo que el promedio de videos que vieron en un mes fue de 6.2 con una desviación estándar de 0.5; Con un nivel de significación de 0.044, ¿es posible concluir que los estudiantes de secundaria ven menos videos que los que dice la encuesta?.

12

18

Una operación de línea de montaje automotriz debe tener una duración media de 2.2 minutos. Para no alterar tanto a las actividades anteriores como las posteriores del ensamble. Una muestra aleatoria de 45 operaciones de ese tipo da como resultado una duración media de 2.39 minutos con una desviación estándar de 0.2 minutos. Emplee un nivel de significación de 0.028 para determinar si se esta cumpliendo con la norma.

19

Los distribuidores de accesorios de computo dicen que las memorias USB de 128 mb. las venden en promedio a $475; se selecciona una muestra al azar de 42 establecimientos que las venden, y se obtiene un precio promedio de $560 con una desviación estándar de $30. Determine al nivel de significación de 0.04 si en la realidad ese accesorio se vende mas caro que lo que afirman los distribuidores.

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION (MUESTRA PEQUEÑA n < 30).

n

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Distribución “t” de Student

1

Atlas S. A. ha puesto en marcha una promoción comercial especial para su estufa de propano y siente que la promoción debe provocar un cambio en el precio para el consumidor. Atlas. S. A sabe que antes de que comenzara la promoción, el precio promedio al menudeo de la estufa era de $4,495.00. Atlas muestreo a 22 de sus minoristas después de iniciada la promoción y encuentra que el precio promedio de las estufas es ahora de $4,295.00 con una desviación estándar de $575.00. A un nivel de significación de 0.025, ¿Tiene Atlas razones para creer que ha disminuido el precio promedio al menudeo para el consumidor?

2

Una compañía editora supone que la vida de su prensa rotativa más grande es de 14,500 horas. De una muestra de 25 prensas, la compañía encuentra una media de 13,000 horas con una desviación estándar de 2,100 horas. ¿Debe la compañía editora suponer que la vida promedio de las prensas es menor que la hipotética de 14,500 horas? Usa un nivel de significación de 0.025.

3

Antes del embargo petrolero de 1973 y los subsecuentes incrementos en el precio del petróleo crudo, el consumo de gasolina en un país había aumentado a una tasa de ajuste temporal del 0.57% mensual. En quince meses elegidos aleatoria mente entre 1975 y 1985, el consumo de gasolina aumentó en una tasa promedio de 0.33% con una desviación estándar de 0.10% mensual. A un nivel de significación de 0.005, ¿Puede concluirse que el incremento en el uso de la gasolina se redujo como resultado del embargo y sus consecuencias?

4

La corredora de bienes raíces Clara Céspedes tomo una muestra aleatoria de 12 casas de una prestigiada colonia de la ciudad y encontró que el valor de mercado promedio era de $780,000.00 con una desviación estándar de $49,000.00. En el catastro se estima que el valor promedio de las casas es de $825,000.00. Usando un nivel de significación de 0.05, determina si las casas de la muestra tomada por Clara tienen un valor promedio menor que el señalado por el catastro.

5

Un bibliotecario universitario sospecha que el número promedio de libros sacados a préstamo por cada estudiante por visita ha aumentado últimamente. Anteriormente se sacaba un promedio de 3,4 libros, Sin embargo, una muestra reciente de 23 estudiantes promedió 4,3 libros por visita con una desviación estándar de 1.5 libros. Usando un nivel de significación dé 0.025 determina la validez de la sospecha del bibliotecario.

13

6

Rentacar, renta automóviles en buenas condiciones mecánicas, pero más antiguos que aquellos que rentan las grandes cadenas nacionales. Como resultado, anuncia que sus tarifas son considerablemente más bajas que las de sus grandes competidores. Una encuesta de la industria estableció que el cargo total promedio por renta en una de las mayores compañías es de $773.80. Una muestra aleatoria de 18 transacciones realizadas por Rentacar mostró un cargo total promedio de $ 876.10 con una desviación estándar de $194.80. Al nivel de significación 0.025, determina si el cargo total promedio de Rentacar es significativamente más alto que el de las grandes compañías.

7

Una muestra de alumnos de una universidad, que compraron sus PC’s con las mismas características pero en diferentes lugares, reportan los siguientes precios (en miles de pesos) que pagaron por ellas:

7. 4 8. 8 8. 0 7. 3 8. 1 7. 6 7. 9 8. 6 7. 2 8. 9 7. 0 7. 1

8. 0 7. 2 8. 7 8. 8 7. 5 8. 4 9. 0 7. 6 7. 9 7. 3 7. 5 7. 7

Los maestros de Informática aseguran que en promedio ese tipo de computadora vale de $8,200.00 Pruebe al nivel de significación de 0.05 la aseveración de los maestros de Informática.

8

Un laboratorio químico afirma que su pomada para golpes leves alivia el dolor en un promedio de 20 minutos después de aplicada. Se le aplican golpes leves a 24 sujetos e inmediatamente se les unto la pomada, y se encontró que en promedio el dolor desapareció en 22.5 minutos con una desviación estándar de 3 minutos. Use un nivel de significación de 0.05 para determinar si el laboratorio exagera en su afirmación.

9

“Encuestas Hugger” asegura que un agente realiza 53 entrevistas caseras por semana. Se ha introducido un formato de entrevistas más moderno y rápido y Hugger desea evaluar su eficiencia. El numero de entrevistas realizadas durante una semana según una muestra aleatoria de agentes es:

53 – 57 – 50 – 55 –58 – 54 – 60 –52 – 59 – 62 – 60 – 60 – 51 – 59 y 56. Con un nivel de significación de 0.05 ¿es posible concluir que cambió el número promedio de entrevistas realizadas por agentes?

10 Los neumáticos nuevos fabricados por una empresa deben durar (según su publicidad) en promedio 28,000 millas. Las pruebas hechas a 20 neumáticos dan una duración promedio de 27,500 millas con una desviación estándar de 1000 millas. Use un nivel de significación de 0.056 para determinar si la duración real de los reumáticos es menor que la anunciada.

14

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION DE UNA POBLACION

n

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PP

PM Distribución Normal

1

Un laboratorio que se especializa en el uso de técnicas de reproducción de genes para lograr compuestos farmacéuticos, desarrollo un atomizador nasal que contiene interferón con el cual se cree habrá de limitarse la transmisión del catarro común en las familias. En general, al 15.1% de todos los individuos les dará catarro ocasionado por un rinovirus una vez que otro miembro de la familia ha contraído catarro. El atomizador de interferón fue probado en 180 personas, en cuyas familias uno de los miembros contrajo posteriormente un catarro ocasionado por un rinovirus. Solo 17 de los sujetos de la prueba desarrollo catarros similares. A un nivel de significación de 0.025, ¿Puede el laboratorio concluir que el nuevo atomizador efectivamente reduce la transmisión?

2

Un fabricante de salsa de tomate esta en proceso de decidir si produce una nueva marca extra-condimentada. El departamento de investigación de mercado de la compañía empleo una encuesta telefónica de 6,000 hogares y encontró que la salsa de tomate extra-condimentada seria comprada por 335 de ellos. Un estudio mucho más extenso hecho hace dos años mostraba que el 5% de los hogares de ese entonces habrían comprado el producto. A un nivel de significación de 0.035, ¿Debe la compañía concluir que ahora existe mayor interés en el sabor extra-condimentado?.

3

Celeste vende cortadoras de césped “El Rayo” en su ferretería y esta interesada en comparar la calidad de las cortadoras que vende con otra marca de cortadoras que se venden a nivel nacional. Celeste sabe que solo el 15% de estas requieren reparaciones durante el primer año después de la compra. Una muestra de 120 clientes de Celeste revela que 22 de ellos requirieron reparaciones para sus cortadoras en el primer año después de su compra. Al nivel de significación de 0.045, ¿Existe evidencia de que las cortadoras “El Rayo” difieren en calidad de las que se venden nacionalmente?.

4

Dora, Gerente General de Blusas S.A., fabricante de blusas para mujer, sabe que su marca se vende en 19% de las tiendas de ropa para mujer. Dora sospecha que la distribución de las blusas en el Sur de la República es deficiente y con tal motivo muestreo 85 tiendas y encontró que sólo en 12 se vendían las blusas de Blusas, S.A. A un nivel de significación de 0.04, determina si la sospecha de Dora tiene fundamento.

5

En un día promedio, alrededor del 5% de los valores de la Bolsa de Nueva York muestran una nueva alza para ese año. El viernes 18 de Septiembre de 1992, el promedio industrial Dow Jones cerró en 3,882 con un fuerte volumen de aproximadamente 136 millones de títulos negociados. Una muestra aleatoria de 120 títulos determinó qué once de ellos habían mostrado nuevas alzas anuales ese día. Usando un nivel de significación de 0.035, ¿Podríamos afirmar que más títulos de los habituales tuvieron alzas anuales ese día?

6

Eloína, corredora de bolsa, afirma que ella puede predecir, con 85% de certeza, el ascenso o caída, durante el mes siguiente, de un valor del mercado de valores. Para probarlo, predice el resultado de 60 valores y acierta en 45, de sus predicciones. Al nivel de significación de 0.04, determina la validez de la afirmación de Eloína.

7

Audio-sonido maneja una cadena de tiendas que venden sistemas y componentes estéreo de audio. Ha tenido éxito en muchas ciudades universitarias, pero también algunos fracasos. El análisis de estas fallas la ha llevado a adoptar la política de no abrir una tienda a menos que estén razonablemente seguros de que al menos 15% de los estudiantes de la ciudad posean sistema estéreo con un costo de $ 2,000.00 o más. En una encuesta hecha a 300 de los 4,500 estudiantes de una ciudad, descubrió que 43 de ellos poseen un sistema estéreo con un costo de al menos $ 2,000.00. Si Audio-sonido desea correr el riesgo del 5% de fracasar, ¿Debería abrir una tienda en ese lugar?

15

8

En 1997, se estimó que alrededor de 52% de los hogares de una metrópoli eran suscriptores de televisión por cable. Los editores de una revista estaban seguros de que sus lectores tenían suscripción por cable en un promedio más alto que la población general y querían usar este hecho para ayudar a vender más espacio de publicidad para los canales de estreno por cable. Para comprobar esto, tomaron una muestra de 250 de los suscriptores de la revista y encontraron que 146 de ellos tenían suscripción a la televisión por cable. A un nivel de significación de 0.015, determina si los datos de la encuesta apoyan el parecer de los editores.

9

De un total de 10,200 préstamos otorgados por una unión de crédito de empleados del Estado en el último período de cinco años, se muestrearon 350 para determinar que proporción de los préstamos se otorgaron a las mujeres. Esta muestra indicó que 133 créditos se otorgaron a las empleadas. Un censo completo de préstamos de hace cinco años mostraba que 41% de los prestatarios eran mujeres. A un nivel de significación de 0.02, determina si la proporción de los préstamos otorgados a las mujeres ha disminuido últimamente.

10

Un innovador de la industria automotriz pensó que su nuevo automotor eléctrico captaría 48% del mercado regional en un año, debido al bajo precio y al rendimiento superior de su producto. Existen 5,000 usuarios de automotores en la región. Después de muestrear 10% de estos usuarios un año después de lanzar al mercado su producto, la compañía encontró que 43% de ellos usaban los nuevos motores. Con un nivel de significación de 0.01, determine si la compañía fracasó en alcanzar su objetivo de participación en el mercado.

11

Un informe asegura que el 52% de los automovilistas que usan las carreteras de cuota en México son varones. Una muestra de 300 autos que usaron la carretera Veracruz – Xalapa en cierto día revelo que 170 eran conducidos por hombres. Al nivel de significación de 0.01,

1. ¿Se puede concluir que una proporción mayor de varones conducen autos por la carretera Veracruz – Xalapa, que lo que indica el citado informe?

2. ¿Se puede concluir que una proporción diferente de varones conducen autos por la carretera Veracruz – Xalapa, que lo que indica el citado informe?

12

Un articulo de USA TODAY reporto que hay un empleo disponible por cada tres egresados universitarios con grado. Las principales razones aportadas fueron que existe una sobrepoblación de graduados universitarios, y un debilitamiento de la economía nacional. Suponga que una encuesta con 200 graduados recientes de la Universidad ABC revela que 80 ya tienen empleo. Al nivel de significación de 0.02:

1. ¿Se puede concluir que la proporción de recién egresados de la Universidad ABC que ya tienen empleo es mayor que la señalada nacionalmente por USA TODAY?

2. ¿Se puede concluir que la proporción de recién egresados de la Universidad ABC que ya tienen empleo es diferente que la señalada nacionalmente por USA TODAY?

13

El precio que tiene cierto tipo de memoria que se emplea en el ensamble de PCs es de 30 dólares. Una muestra de precios en negocios seleccionados al azar que venden esa memoria en una ciudad, nos da la siguiente información:

30 30 30 30 30 30 30 30 28 30 30 31

33 31 30 30 29 30 30 28 30 28 32 30

30 30 30 31 30 30 29 30 30 30 30 30

Pruebe al nivel de significación de 0.053 la aseveración de que 1/3 de los negocios de esa ciudad no venden a 30 dólares dicha memoria.

14

Una empresa transnacional, ha observado en una muestra de 54 empleados de su filial en México, que 24 rebasan la edad de 45 años. La política de la empresa, es que un máximo del 33% de los empleados rebase dicha edad. Al nivel de significación de 0.072 determine si existen razones en la empresa para pensar que la proporción de los trabajadores en México que rebasan los 45 años es mayor que la que dictan sus políticas.

15

El gerente de una fábrica que tiene mucho personal dice que en un día normal, el 18% de sus empleados sufren de algún atraso en su hora de entrada a laborar. En una fecha cualquiera seleccionada al azar, se toma una muestra de 76 empleados, y 17 de ellos habían sufrido de algún atraso. Determine al nivel de significación del 0.083, si en dicha fecha la proporción de trabajadores con atraso a la entrada es diferente a la estimada por el gerente de personal.

16

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE LAS MEDIAS DE DOS MUESTRAS GRANDES

2

2

2

1

2

1

21

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1

Una fábrica de plumas ha probado dos tipos de anuncios publicitarios para su llueva pluma de tinta borrable. Un anuncio de mostrador fue colocado en una muestra aleatoria de 40 tiendas en el mercado de prueba y un anuncio de piso se colocó en otras 40 tiendas del área. El número medio de plumas vendidas por tienda en un mes en los lugares donde había anuncios de mostrador fue de 42 con una desviación estándar de 8. En cuanto a los anuncios de piso, el número medio de plumas vendidas por tienda en el mismo mes fue de 45 con una desviación estándar de 7. Al nivel de significación de 0.015, determina si hay diferencia significativa entre las ventas de los establecimientos donde hubo distinto tipo de publicidad.

2

En 1994, una investigación de 50 hospitales de un país revelo una tasa de ocupación media de 73.6% con una desviación estándar de 18.2%. En otra investigación efectuada en 75 hospitales del mismo país en 1997, se obtuvo una tasa de ocupación promedio de 68.9% con una desviación estándar de 19.7%. Al nivel de significación de 0.015, determina si la tasa de ocupación promedio cambio durante los tres años que hay entre las dos investigaciones.

3

Se efectuó un estudio del número de comidas de negocios que los ejecutivos reclaman como gastos deducibles por mes. Si 40 ejecutivos de la industria de los seguros promediaron 9.4 de dichas deducciones con una desviación estándar de 3.3 en un mes determinado; mientras que 50 ejecutivos bancarios promediaron 7.9 con una desviación estándar de 2.9. Pruebe en el nivel de significación de 0.05 si existe diferencia entre estas dos medias de muestra.

4

En una investigación de los tiempos de reparación de dos clases de equipo de fotocopiado, se obtuvieron estos datos:

Tipo de equipo

Numero de reparaciones Tiempos de reparación

Media Desviación estándar

I 60 84.2 min. 19.4 min.

II 60 91.6 min. 18.8 min.

Pruebe al nivel de significación de 0.01 si existe diferencia entre estas dos medias de muestras.

5

Encuestas muestrales conducidas en un condado grande en 1960 y de nuevo en 1990, demostraron que en 1960 la altura promedio de 400 hombres del grupo de la edad entre 18 y 24 años era de 68.4 pulgadas con una desviación estándar de 2.6 pulgadas; mientras que en 1990 la altura promedio de 400 hombres del mismo grupo de edad era de 69.8 pulgadas con una desviación estándar de 2.5 pulgadas. Use el nivel de significación de 0.06 para probar si hubo incremento en el promedio de las alturas en esos 30 años.

6

Suponga que se desea verificar si es verdad que en promedio los hombres blancos ganan más que los de color en una fábrica. Los datos de una muestra arrojan la siguiente información:

Color de piel

Numero de trabajadores

Salario semanal

Media Desviación estándar

Blanca 75 $ 422.18 $ 35.20

Morena 60 $ 381.66 $ 32.65

Determine al nivel de significación de 0.042 si efectivamente se paga más a los hombres de piel blanca.

17

7

Se realiza un estudio comparando el costo de alquilar un departamento de una recamara en Xalapa, con el correspondiente costo en Veracruz. Una muestra de 30 departamentos en Xalapa mostró que el valor medio de las rentas es de $3,700 con una desviación estándar de $300. Una muestra de 40 departamentos en Veracruz señaló que la renta media en Veracruz es de $3,800 con una desviación estándar de $260. Al nivel de significación de 0.064:

1. ¿Existe diferencia en las rentas medias entre Xalapa y Veracruz? 2. ¿Es mayor la renta media en Veracruz que en Xalapa?.

8

Una empresa de bienes raíces esta preparando un folleto que cree puede ser de interés para compradores de casa en dos rumbos de la ciudad. Un elemento de interés es el tiempo que el propietario que vende ha ocupado el inmueble. Una muestra de 40 casas vendidas recientemente en la zona Norte indica que el tiempo medio de propiedad fue de 7.6 años con una desviación estándar de 2.3 años. Una muestra de 55 casas de la zona Sur señalo que el tiempo medio era de 8.1 años con una desviación estándar de 2.9 años. Usando un nivel de significación de 0.05, ¿Se puede concluir:

1. que los residentes del Norte tienen en propiedad sus casas por tiempo mas corto? 2. que los residentes del Norte tienen en propiedad sus casas por un tiempo diferente?

9

Se elaboro un estudio de los ingresos anuales (en dólares) de los funcionarios en ciudades con población menor a 100,000 habitantes, y en ciudades con población mayor a 500,000 habitantes. Algunos datos estadísticos de las muestras son los siguientes:

Población menor de 100,000 Población mayor de 500,000

Tamaño de la muestra 45 60

Media de la muestra $ 31,290 $ 31,330

Desviación estándar muestral $ 1,060 $ 1,900

Usando un nivel de significación de 0.075, ¿Puede afirmarse que:

1. ganan mas los funcionarios de ciudades con mas de 500,000 habitantes? 2. son diferentes los sueldos de los funcionarios de los dos tipos de ciudades?

10

La fuerza aérea de un país adiestra al personal de computación en dos bases (Cass AFB y Kingston AFB). Se aplico un examen final común. Los resultados obtenidos en dichos exámenes se resumen en la siguiente tabla:

Cass AFB Kingston AFB

Tamaño de la muestra 40 50

Promedio de la muestra 114.6 117.9

Desviación estándar muestral 9.1 10.4

Al nivel de significación de 0.9:

1. ¿Son diferentes los promedios de las muestras? 2. ¿Es mayor el promedio de los capacitados en Kingston AFB?

11

Alumnos de una Universidad seleccionaron al azar 217 autos de estudiantes y hallaron que sus edades tenían una media de 7.89 años con una desviación estándar de 3.67 años. También escogieron al azar 152 autos de profesores y determinaron que sus edades tenían una media de 5.99 años con una desviación estándar de 3.65 años. Use un nivel de significación de 0.075 para probar que los autos de los estudiantes son más viejos que los de los profesores.

12

En una muestra de 45 empleados de Publicidad, se detecto que el ultimo mes recibieron un promedio de 21 correos con una desviación estándar de 2.6; por su parte, de una muestra de 36 empleados de Ventas de la misma empresa, durante el ultimo mes recibieron en promedio 26 correos con una desviación estándar de 3.5 ¿Es mayor el promedio de correos recibidos por Ventas que el de Publicidad? Use un nivel de significación de 0.044

13

En una fabrica se emplean dos maquinas de distinta marca para fabricar el mismo producto. Una muestra de 18 minutos en la maquina General Electric nos indica que es capaz de producir 28 unidades por minuto con una desviación estándar de 4 unidades; mientras que otra muestra de 14 minutos de la maquina Panasonic (que es mas nueva) nos indica que produce 35 unidades por minuto con una varianza de 25 unidades cuadradas. Determine al nivel de significación de 0.05 si la nueva maquina Panasonic tiene una mayor tasa de producción que la vieja maquina General Electric.

18

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE LAS MEDIAS DE DOS MUESTRAS PEQUEÑAS

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2

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11

21

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1

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1

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s)1n(s)1n(

xxt Distribución “t” de Student

1

Una organización de investigación de consumo selecciona de manera rutinaria varios modelos de automóvil cada año y evalúa su eficiencia con respecto al combustible. En el estudio del presente año, de dos modelos compactos fabricados por dos marcas distintas, el consumo promedio para doce automóviles de la marca Alfa fue de 13.6 kilómetros por litro (kpl), con una desviación estándar de 1.9 kpl. Los nueve automóviles de la marca Beta que fueron probados, tuvieron un rendimiento promedio de 16.2 kpl, con una desviación estándar de 2.1 kpl. Al nivel de significación 0.01, la organización puede concluir que los automóviles de la marca Beta tienen mayor rendimiento que los automóviles de la marca Alfa.

2

Un banco quiere determinar la eficiencia de sus nuevos ejecutivos de cuenta en la obtención de clientes. Luego de terminar su capacitación, los nuevos ejecutivos dedican varias semanas a visitar posibles clientes para que abran cuentas en la institución. Los datos adjuntos contienen los números de cuentas nuevas abiertas en sus dos primeras semanas por10 ejecutivas de cuenta seleccionadas al azar y por 8 ejecutivos también seleccionados al azar:

Ejecutivas 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos 13 10 11 12 13 12 10 12

Usando un nivel de significación de 0.05, determina si las ejecutivas son más eficaces en la creación de nuevas cuentas con respecto a los ejecutivos.

3

Para celebrar su primer aniversario, Felipe decidió comprar un par de aretes de diamante para su esposa Florencia. Le enseñaron nueve pares de aretes con gemas que pesaban aproximadamente dos quilates por par. Debido a la diferencia en color y calidad de las piedras, los precios variaban de una joya a la otra. El precio promedio fue de $29,900.00, con una desviación estándar de $ 3,700.00. También le enseñaron seis pares con piedras en forma de gota, con un peso aproximado de dos quilates por par. Estos pendientes tenían un precio promedio de $30,650.00 con una desviación estándar de $8,050.00. Con la información anterior, ¿Puede Felipe llegar a la conclusión de que los diamantes en forma de gota cuestan más, en promedio, que el otro tipo de diamante? Úsese un nivel de significación de 0.05.

4

A nueve distribuidores de componentes para computadora que operan en el área metropolitana se les pidió los precios de dos impresoras de matriz de puntos parecidas, con ancho estándar y fuentes de cierta calidad. Los resultados de la investigación se consignan en pesos en la siguiente tabla:

Comercio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Apson 3500 4190 3850 3600 4050 3890 3890 4090 3750

Okaydat 3700 4250 3690 3750 3890 3850 3950 4250 4000

Usando un nivel de significación de 0.05, determina si en promedio la impresora Apson es más barata que la impresora Okaydat.

5

A 13 vendedores se les aplica un incentivo “A”, y venden en promedio $50,000 semanales con una desviación estándar de $12,000. A 8 vendedores de la misma empresa se les aplica un incentivo “B” y venden en promedio $46,000 a la semana con una desviación estándar de $ 10,000. ¿Existe diferencia entre los niveles de ventas? Use un nivel de significación de 0.05

19

6

Los módems son dispositivos que transmiten información mediante líneas telefónicas de una computadora a otra. La velocidad de transmisión se mide en bauds, que se definen como el número de bits por segundo que pueden transmitir. Debido a la intervención de varios factores técnicos, la rapidez de transmisión real varía de un archivo a otro. Fernanda está en proceso de adquirir un módem nuevo de 14,400 bauds. Al probar dos de los dispositivos, con el fin de decidir cuál comprar, transmitió siete archivos elegidos al azar utilizando ambos módems y registró las siguientes velocidades de transmisión (en miles de bauds).

Archivo 1 2 3 4 5 6 7

Ultima 14.4Haynes 9.52 10.17 10.33 10.02 10.72 9.62 9.17

PerFAXtion 14.4 Extel 10.92 11.46 11.18 12.21 10.42 11.36 10.47

En un artículo aparecido en la revista PC Reports se afirma que en pruebas hechas por la misma revista se ha encontrado que el módem PerFAXtion es más rápido que el Ultima Haynes. Usando un nivel de significación de 0.01, determina si los resultados obtenidos por Fernanda confirman lo afirmado por la revista.

7

Una compañía de productos alimenticios acaba de concluir una campaña publicitaria para uno de sus productos, un cereal natural para el desayuno que contiene nueces, cereales y fruta seca. Para probar la efectividad de la campaña, la gerente de la marca, Helga Hernández, encuestó a once clientes antes de la campaña ya otros once después de ésta. A continuación se da el consumo semanal (en gramos) de dicho producto por parte de los consumidores:

Antes 140 50 180 180 300 100 80 260 130 290 240

Después 230 140 130 290 330 110 20 250 210 260 340

Al nivel de significación 0.005, ¿Puede Helga concluir que la campaña ha tenido éxito?

8

Recientemente, un analgésico perdió algo de sus ventas ante un nuevo competidor. El competidor anunciaba que su marca entra al torrente sanguíneo con más rapidez que el otro analgésico y, como resultado de ello, alivia el dolor más pronto. Al laboratorio que fabrica el primer analgésico le gustaría probar que no existe diferencia significativa entre los dos productos y, por consiguiente, que la afirmación de su competidor es falsa. A manera de prueba preliminar, a nueve individuos se les suministró el analgésico del laboratorio una vez al día durante tres semanas. En las siguientes tres semanas, a los mismos sujetos se les dio el producto de la competencia. Para cada medicamento se registró el tiempo en minutos que le tomó aliviar el dolor:

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Analgésico 16.5 25.5 23.0 14.5 28.0 10.0 21.5 18.5 15.5

Competidor 12.0 20.5 25.0 16.5 24.0 11.5 17.0 15.0 13.0

Al nivel de significación 0.025, determina la conclusión a la que llegó el laboratorio que hizo la investigación.

9

Un químico que se encuentra desarrollando repelentes de insectos desea saber si una fórmula recientemente desarrollada da mayor protección contra los piquetes de insectos que la que proporciona el producto líder del mercado. En un experimento a 14 voluntarios se les roció uno de los brazos con el producto viejo y el otro brazo con la nueva fórmula. Luego cada individuo metió los brazos en una cámara llena de mosquitos y otros insectos que pican. El número de piquetes recibido en cada brazo Se registra en la tabla siguiente:

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Formula vieja 5 2 5 4 3 6 2 4 2 6 5 7 1 3

Formula nueva 3 1 5 1 1 4 4 2 5 2 3 3 1 2

Al nivel de significación 0.05, ¿Puede el químico concluir que la nueva fórmula es más efectiva?

10

Dos gemelos un poco flojos para estudiar, tienen los siguientes resultados de su evaluación parcial:

Contabilidad Administración Economía Matemáticas Derecho Computación Ética

Ovonio 5 8 5 3 6 4 6

Inepticio 6 5 6 4 5 5 3

¿Existe diferencia en los promedios del par de flojos?. Use un nivel de significación de 0.05

20

11

La duración en días de dos marcas distintas de discos duros de las mismas características, instalados en PC’s de un cibercafe, se muestran en la siguiente relación:

ACME 967 785 777 596 811 617 825 655 608

INC 699 874 689 578 916 721 887 713

¿Puede afirmarse al nivel de significación de 0.05 que son diferentes las duraciones?

12

Se comparo el tiempo que pasan juntos los integrantes de parejas en las que solo trabaja uno y en las que ambos lo hacen. De acuerdo con los registros llevados por las esposas durante el estudio, la cantidad de tiempo promedio que pasan juntos viendo TV las parejas en que solo trabaja uno de sus integrantes fue de 61 minutos al día, con una desviación estándar de 15.5 minutos. Para las parejas en las que ambos trabajan, el numero medio de minutos que pasan juntos viendo la TV fue de 48.4 minutos con una desviación estándar de 18.1 minutos. En el nivel de significancia de 0.01 ¿Es posible concluir que aquellas parejas en las que solo trabaja uno de los integrantes pasan mas tiempo juntas viendo TV?. Se estudiaron quince parejas con un solo integrante trabajador y doce con ambos.

13

Una compañía del ramo de las telecomunicaciones hará próximamente una gran inversión en equipo de impresión, razón por la cual se encuentran actualmente cotizando dos tipos de impresoras. Las siguientes tablas muestran los precios (en miles de pesos) que tienen dichas impresoras en varias tiendas especializadas de la localidad:

Impresora AX – 2300 Impresora BZ – 1600

2.6 2.0 2.0 2.1 2.4 2.8 2.4 2.9 2.7

2.9 2.4 2.6 2.1 2.8 2.1 2.1 2.4 2.5

2.0 2.3 2.2 2.5 2.5 2.6 2.5 2.2

2.1 2.2 2.7 2.6 2.8 2.7 2.0 2.4

2.1 2.9 2.5

En base a dicha información, usando un nivel de significación de:

a) 0.05, determine si existe diferencia en los promedios de precios de dichas impresoras. b) 0.067, determine si es mayor la proporción de tiendas que venden a mas de $2,600 la Impresora BZ – 1600

que la Impresora AX – 2300.

14

Un grupo de habitantes de la ciudad están preocupados por los altos cobros que realiza actualmente la CFE por el uso de la energía eléctrica, y están haciendo un registro de los consumos bimestrales que tienen. De dicho registro se obtuvieron las siguientes muestras aleatorias:

Muestra de la Calle Olmo Consiste en 11 hogares, en los cuales el promedio de Kilowatts – Hora que se consumen por bimestre es de 450 con una desviación estándar de 60. De dicha muestra, 3 hogares consumen más de 600 Kilowatts – Hora bimestralmente.

Muestra de la Calle Pino A continuación se citan las lecturas en Kilowatts – Hora por bimestre obtenidas en hogares de dicha calle:

380 510 432 609 421 539

671 429 648 531 462 721

422 634 542 592 680 512

En base a información brindada por las muestras: a) Empleando un nivel de significación de 0.083, ¿Podemos afirmar que es mayor la proporción de hogares que

consumen menos de 600 Kilowatts – Hora bimestralmente en la calle Olmo que en la calle Pino? b) Empleando un nivel de significación de 0.05, ¿Son diferentes los promedios bimestrales de consumo de energía

eléctrica en ambas calles?

15

Se desea comparar el índice de eficiencia en el manejo de PC en una empresa, y para ello se efectuó un examen antes de la impartición de un curso de Microsoft Office, y otro después del mismo. Los exámenes se califican en escala de 0 a 10, y los promedios obtenidos con sus desviaciones estándar son los siguientes:

x s n

Antes del curso 6 0.8 12

Después del curso 8 0.5 17

Determine al nivel de significación de 0.1 si puede considerarse exitoso el curso.

21

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE LAS PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS

21

21

n

1

n

1)q(p

ppZ Donde

21

2211

nn

pnpnp


1

Una muestra de 400 marineros se ha dividido en dos grupos iguales por selección al azar. Un grupo ha tomado la marca A de pastillas de Un preventivo contra el mareo y el otro grupo las pastillas de la marca B. El número de cada grupo que no se ha mareado durante una tormenta intensa ha sido de 152 y 132, respectivamente. Usando un nivel de significación de 0.02, ¿Podríamos afirmar que las pastillas de la marca A son más eficientes que las pastillas de la marca B?

2

Una compañía que fabrica productos medicinales está probando dos nuevos compuestos destinados a reducir la presión sanguínea. Los compuestos son suministrados a dos diferentes conjuntos de animales de laboratorio. En el grupo uno, 71 de 98 animales probados respondieron a la droga 1 con niveles menores de presión arterial. En el grupo dos, 58 de 90 animales probados respondieron a la droga 2 con menores niveles de presión sanguínea. La compañía desea probar a un nivel de significación de 0.05, si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas.

3

El viernes, tuvieron avance 11 acciones de una muestra aleatoria de 40 tomada de las 2,500 acciones negociadas en la Bolsa de Valores es decir, aumentó el precio de su valor. En una muestra de 60 acciones tomada el día anterior, jueves, 24 acciones avanzaron. Al nivel de significación 0.035, determina si un porcentaje menor de las acciones de la Bolsa de valores avanzaron el viernes con respecto al jueves.

4

Como parte de la preparación para las negociaciones sobre la renovación del contrato colectivo de trabajo, el Sindicato de Manufactureros hizo una investigación entre sus afiliados para saber si hay preferencia por un aumento grande en los beneficios de retiro o un pequeño incremento al salario. En un grupo de 997 miembros masculinos que fueron entrevistados, 743 estaban a favor de un aumento en los beneficios del retiro. De 498 miembros femeninos del sindicato, 405 estaban a favor de un aumento en los beneficios del retiro. Al nivel de significación 0.035, determina si el porcentaje de hombres y de mujeres que están a favor de un aumento en los beneficios de retiro es el mismo.

5

Un grupo de fisiólogos clínicos está llevando al cabo pruebas en pacientes para determinar la efectividad de una nueva medicina contra la hipertensión. Los pacientes con alta presión sanguínea fueron seleccionados al azar y luego fueron asignados, aleatoria mente también, a un grupo de control (donde son tratados con un medicamento contra la hipertensión bien conocido) o al grupo de tratamiento (en el cual recibieron tratamiento con la nueva medicina). Los médicos registraron el porcentaje de pacientes cuya presión arterial se redujo a un nivel normal después de un año de tratamiento. Los resultaron se dan en la siguiente tabla:

Grupo Porcentaje que mejoró Número de pacientes

Tratamiento 45 120

Control 36 150

Al nivel de significación de 0.015, se desea determinar si la nueva medicina es significativamente más efectiva en reducir la presión sanguínea que la medicina ya conocida.

7 Un método de estimulación de lluvias artificiales por medio de generadores de vapores químicos en tierra tuvo éxito en 58 de 146 intentos; mientras que otro de bombardeo de nubes con avionetas tuvo éxito en 32 de 104 intentos. Determine al nivel de significación de 0.88 si existe diferencia entre la eficiencia de ambos métodos.

22

8

Una empresa de encuestas efectúa interrogatorios de puerta en puerta sobre gran diversidad de asuntos. Algunas personas cooperan con el entrevistador y llenan el cuestionario, y otras no. Se dispone de los siguientes datos:

Encuestados Tamaño de la muestra Numero de personas que cooperan

Hombres 200 110

Mujeres 300 210

¿Puede concluirse al nivel de significación de 0.07 que cooperan mas las mujeres para contestar las encuestas?

9

En una oficina del Gobierno Federal, no todos los empleados emplean PC en sus trabajos. La siguiente tabla muestra el ultimo informe que presento el departamento de Informática:

Usan PC No usan PC

Hombres 129 37

Mujeres 61 23

¿Es menor la proporción de hombres que usan PC que la de mujeres? Use un nivel de significación de 0.092

10

Una empresa de publicidad estudia la proporción de egresados de universidades públicas y privadas que encuentran trabajo antes de que se cumpla un año de su graduación. Los datos obtenidos son los siguientes:

Universidad Tamaño de la muestra Numero de éxitos

Publica 325 221

Privada 160 119

¿Puede concluirse al nivel de significación de 0.078 que son diferentes las proporciones de éxito en los dos tipos de universidades?

23

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DIFERENCIA DE LAS MEDIAS DE MAS DE DOS MUESTRAS (ANALISIS DE VARIANZA)

Distribución F (de Fisher - Snedecor)

Planteo

Hipótesis nula: Las medias de las poblaciones a que pertenecen las muestras son iguales, es decir, todas las muestras provienen de una misma población: H0 : µ1 = µ2 = µ3 = …….. = µk

Hipótesis alternativa: Las medias de las poblaciones a que pertenecen las muestras son diferentes, es decir, todas las muestras provienen de diferentes poblaciones: H0 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ …….. ≠ µk

Análisis

Valor crítico de F. (Fc)

Grados de libertad verticales o del numerador: 1k=glv - donde “k” es el número

de muestras.

Grados de libertad horizontales o del denominador: )1n(k=glh - donde “n” es el

número de elementos de cada muestra (todas son del mismo tamaño) y “k” es el número de muestras.

Valor efectivo

De F. (Fe)

Varianza intra-muestras: k

s+.... .+s+s=V

2

k

2

2

2

1

D donde: ( )

1n

xx=s∑ 2

2

-

-,

Siendo “2s ” la varianza de cada muestra, “k” el número de muestras y “n” el

número de elementos de cada muestra.

Varianza inter-muestras: 1k

)μx(+.....+)μx(+)μx(n=V

2

k

2

2

2

1

E -

--- donde:

k

x+....+x+x=μ

k21, siendo “xn” la media de cada muestra, y “n” el número de

elementos de cada muestra (todas son del mismo tamaño).

Razón F efectiva: D

E

e V

V=F

Si Fe > Fc, entonces la diferencia es significativa y se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión

Escribir una frase en la que se diga que se apoya con una confianza de: 1 – nivel de significación, expresar en porcentaje:

La hipótesis nula sí: Fe < Fc

La hipótesis alternativa sí: Fe > Fc

24

Tabla de Distribución F (Nivel de significación de 0.05)

GRADOS DE LIBERTAD VERTICALES O DEL NUMERADOR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100

G R A D O S

D E

L I B E R T A D

H O R I Z O N T A L E S

0

D E L

D E N O M I N A D O R

1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 248.02 252.2 253.04

2 18.513 19 19.164 19.247 19.296 19.329 19.353 19.371 19.385 19.396 19.446 19.479 19.486

3 10.128 9.5521 9.2766 9.1172 9.0134 8.9407 8.8867 8.8452 8.8123 8.7855 8.6602 8.572 8.5539

4 7.7086 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 6.0942 6.041 5.9988 5.9644 5.8025 5.6878 5.664

5 6.6079 5.7861 5.4094 5.1922 5.0503 4.9503 4.8759 4.8183 4.7725 4.7351 4.5581 4.4314 4.4051

6 5.9874 5.1432 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 4.2067 4.1468 4.099 4.06 3.8742 3.7398 3.7117

7 5.5915 4.7374 4.3468 4.1203 3.9715 3.866 3.7871 3.7257 3.6767 3.6365 3.4445 3.3043 3.2749

8 5.3176 4.459 4.0662 3.8379 3.6875 3.5806 3.5005 3.4381 3.3881 3.3472 3.1503 3.0053 2.9747

9 5.1174 4.2565 3.8625 3.6331 3.4817 3.3738 3.2927 3.2296 3.1789 3.1373 2.9365 2.7872 2.7556

10 4.9646 4.1028 3.7083 3.478 3.3258 3.2172 3.1355 3.0717 3.0204 2.9782 2.774 2.6211 2.5884

11 4.8443 3.9823 3.5874 3.3567 3.2039 3.0946 3.0123 2.948 2.8962 2.8536 2.6464 2.4901 2.4566

12 4.7472 3.8853 3.4903 3.2592 3.1059 2.9961 2.9134 2.8486 2.7964 2.7534 2.5436 2.3842 2.3498

13 4.6672 3.8056 3.4105 3.1791 3.0254 2.9153 2.8321 2.7669 2.7144 2.671 2.4589 2.2966 2.2614

14 4.6001 3.7389 3.3439 3.1122 2.9582 2.8477 2.7642 2.6987 2.6458 2.6022 2.3879 2.2229 2.187

15 4.5431 3.6823 3.2874 3.0556 2.9013 2.7905 2.7066 2.6408 2.5876 2.5437 2.3275 2.1601 2.1234

16 4.494 3.6337 3.2389 3.0069 2.8524 2.7413 2.6572 2.5911 2.5377 2.4935 2.2756 2.1058 2.0685

17 4.4513 3.5915 3.1968 2.9647 2.81 2.6987 2.6143 2.548 2.4943 2.4499 2.2304 2.0584 2.0204

18 4.4139 3.5546 3.1599 2.9277 2.7729 2.6613 2.5767 2.5102 2.4563 2.4117 2.1906 2.0166 1.978

19 4.3808 3.5219 3.1274 2.8951 2.7401 2.6283 2.5435 2.4768 2.4227 2.3779 2.1555 1.9795 1.9403

20 4.3513 3.4928 3.0984 2.8661 2.7109 2.599 2.514 2.4471 2.3928 2.3479 2.1242 1.9464 1.9066

21 4.3248 3.4668 3.0725 2.8401 2.6848 2.5727 2.4876 2.4205 2.3661 2.321 2.096 1.9165 1.8761

22 4.3009 3.4434 3.0491 2.8167 2.6613 2.5491 2.4638 2.3965 2.3419 2.2967 2.0707 1.8894 1.8486

23 4.2793 3.4221 3.028 2.7955 2.64 2.5277 2.4422 2.3748 2.3201 2.2747 2.0476 1.8648 1.8234

24 4.2597 3.4028 3.0088 2.7763 2.6207 2.5082 2.4226 2.3551 2.3002 2.2547 2.0267 1.8424 1.8005

25 4.2417 3.3852 2.9912 2.7587 2.603 2.4904 2.4047 2.3371 2.2821 2.2365 2.0075 1.8217 1.7794

26 4.2252 3.369 2.9752 2.7426 2.5868 2.4741 2.3883 2.3205 2.2655 2.2197 1.9898 1.8027 1.7599

27 4.21 3.3541 2.9603 2.7278 2.5719 2.4591 2.3732 2.3053 2.2501 2.2043 1.9736 1.7851 1.7419

28 4.196 3.3404 2.9467 2.7141 2.5581 2.4453 2.3593 2.2913 2.236 2.19 1.9586 1.7689 1.7251

29 4.183 3.3277 2.934 2.7014 2.5454 2.4324 2.3463 2.2782 2.2229 2.1768 1.9446 1.7537 1.7096

30 4.1709 3.3158 2.9223 2.6896 2.5336 2.4205 2.3343 2.2662 2.2107 2.1646 1.9317 1.7396 1.695

40 4.0847 3.2317 2.8387 2.606 2.4495 2.3359 2.249 2.1802 2.124 2.0773 1.8389 1.6373 1.5892

50 4.0343 3.1826 2.79 2.5572 2.4004 2.2864 2.1992 2.1299 2.0733 2.0261 1.7841 1.5757 1.5249

60 4.0012 3.1504 2.7581 2.5252 2.3683 2.2541 2.1665 2.097 2.0401 1.9926 1.748 1.5343 1.4814

70 3.9778 3.1277 2.7355 2.5027 2.3456 2.2312 2.1435 2.0737 2.0166 1.9689 1.7223 1.5046 1.4498

80 3.9604 3.1108 2.7188 2.4859 2.3287 2.2142 2.1263 2.0564 1.9991 1.9512 1.7032 1.4821 1.4259

90 3.9469 3.0977 2.7058 2.4729 2.3157 2.2011 2.1131 2.043 1.9856 1.9376 1.6883 1.4645 1.407

100 3.9362 3.0873 2.6955 2.4626 2.3053 2.1906 2.1025 2.0323 1.9748 1.9267 1.6764 1.4504 1.3917

25



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100

G R A D O S

D E

L I B E R T A D

H O R I Z O N T A L E S

0

D E L


1 647.79 799.48 864.15 899.6 921.83 937.11 948.2 956.64 963.28 968.63 993.08 1009.8 1013.2

2 38.506 39 39.166 39.248 39.298 39.331 39.356 39.373 39.387 39.398 39.448 39.481 39.488

3 17.443 16.044 15.439 15.101 14.885 14.735 14.624 14.54 14.473 14.419 14.167 13.992 13.956

4 12.218 10.649 9.9792 9.6045 9.3645 9.1973 9.0741 8.9796 8.9046 8.8439 8.5599 8.3604 8.3195

5 10.007 8.4336 7.7636 7.3879 7.1464 6.9777 6.853 6.7572 6.681 6.6192 6.3285 6.1225 6.08

6 8.8131 7.2599 6.5988 6.2271 5.9875 5.8197 5.6955 5.5996 5.5234 5.4613 5.1684 4.9589 4.9154

7 8.0727 6.5415 5.8898 5.5226 5.2852 5.1186 4.9949 4.8993 4.8232 4.7611 4.4668 4.2544 4.2101

8 7.5709 6.0595 5.416 5.0526 4.8173 4.6517 4.5285 4.4333 4.3572 4.2951 3.9994 3.7844 3.7393

9 7.2093 5.7147 5.0781 4.7181 4.4844 4.3197 4.197 4.102 4.026 3.9639 3.6669 3.4493 3.4034

10 6.9367 5.4564 4.8256 4.4683 4.2361 4.0721 3.9498 3.8549 3.779 3.7168 3.4185 3.1984 3.1517

11 6.7241 5.2559 4.63 4.2751 4.044 3.8806 3.7586 3.6638 3.5879 3.5257 3.2261 3.0035 2.9561

12 6.5538 5.0959 4.4742 4.1212 3.8911 3.7283 3.6065 3.5118 3.4358 3.3735 3.0728 2.8478 2.7996

13 6.4143 4.9653 4.3472 3.9959 3.7667 3.6043 3.4827 3.388 3.312 3.2497 2.9477 2.7204 2.6715

14 6.2979 4.8567 4.2417 3.8919 3.6634 3.5014 3.3799 3.2853 3.2093 3.1469 2.8437 2.6142 2.5646

15 6.1995 4.765 4.1528 3.8043 3.5764 3.4147 3.2934 3.1987 3.1227 3.0602 2.7559 2.5242 2.4739

16 6.1151 4.6867 4.0768 3.7294 3.5021 3.3406 3.2194 3.1248 3.0488 2.9862 2.6808 2.4471 2.3961

17 6.042 4.6189 4.0112 3.6648 3.4379 3.2767 3.1556 3.061 2.9849 2.9222 2.6158 2.3801 2.3285

18 5.9781 4.5597 3.9539 3.6083 3.382 3.2209 3.0999 3.0053 2.9291 2.8664 2.559 2.3214 2.2692

19 5.9216 4.5075 3.9034 3.5587 3.3327 3.1718 3.0509 2.9563 2.8801 2.8172 2.5089 2.2696 2.2167

20 5.8715 4.4612 3.8587 3.5147 3.2891 3.1283 3.0074 2.9128 2.8365 2.7737 2.4645 2.2234 2.1699

21 5.8266 4.4199 3.8188 3.4754 3.2501 3.0895 2.9686 2.874 2.7977 2.7348 2.4247 2.1819 2.128

22 5.7863 4.3828 3.7829 3.4401 3.2151 3.0546 2.9338 2.8392 2.7628 2.6998 2.389 2.1446 2.0901

23 5.7498 4.3492 3.7505 3.4083 3.1835 3.0232 2.9023 2.8077 2.7313 2.6682 2.3566 2.1107 2.0556

24 5.7166 4.3187 3.7211 3.3794 3.1548 2.9946 2.8738 2.7791 2.7027 2.6396 2.3273 2.0799 2.0243

25 5.6864 4.2909 3.6943 3.353 3.1287 2.9685 2.8478 2.7531 2.6766 2.6135 2.3005 2.0516 1.9955

26 5.6586 4.2655 3.6697 3.3289 3.1048 2.9447 2.824 2.7293 2.6528 2.5896 2.2759 2.0257 1.9691

27 5.6331 4.2421 3.6472 3.3067 3.0828 2.9228 2.8021 2.7074 2.6309 2.5676 2.2533 2.0018 1.9447

28 5.6096 4.2205 3.6264 3.2863 3.0626 2.9027 2.782 2.6872 2.6106 2.5473 2.2324 1.9797 1.9221

29 5.5878 4.2006 3.6072 3.2674 3.0438 2.884 2.7633 2.6686 2.5919 2.5286 2.2131 1.9591 1.9011

30 5.5675 4.1821 3.5893 3.2499 3.0265 2.8667 2.746 2.6513 2.5746 2.5112 2.1952 1.94 1.8816

40 5.4239 4.051 3.4633 3.1261 2.9037 2.7444 2.6238 2.5289 2.4519 2.3882 2.0677 1.8028 1.7405

50 5.3403 3.9749 3.3902 3.0544 2.8326 2.6736 2.553 2.4579 2.3808 2.3168 1.9933 1.7211 1.6558

60 5.2856 3.9253 3.3425 3.0077 2.7863 2.6274 2.5068 2.4117 2.3344 2.2702 1.9445 1.6668 1.599

70 5.247 3.8903 3.309 2.9748 2.7537 2.5949 2.4743 2.3791 2.3017 2.2374 1.91 1.6279 1.5581

80 5.2183 3.8643 3.2841 2.9504 2.7295 2.5708 2.4502 2.3549 2.2775 2.213 1.8843 1.5987 1.5271

90 5.1962 3.8443 3.2649 2.9315 2.7109 2.5522 2.4316 2.3363 2.2588 2.1942 1.8644 1.5758 1.5028

100 5.1786 3.8284 3.2496 2.9166 2.6961 2.5374 2.4168 2.3215 2.2439 2.1793 1.8486 1.5575 1.4833

26

G R A D O S

D E

L I B E R T A D

H O R I Z O N T A L E S 0

D E L




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100

1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.3 5764 5859 5928.3 5981 6022.4 6055.9 6208.7 6313 6333.9

2 98.502 99 99.164 99.251 99.302 99.331 99.357 99.375 99.39 99.397 99.448 99.484 99.491

3 34.116 30.816 29.457 28.71 28.237 27.911 27.671 27.489 27.345 27.228 26.69 26.316 26.241

4 21.198 18 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.019 13.652 13.577

5 16.258 13.274 12.06 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 9.5527 9.202 9.13

6 13.745 10.925 9.7796 9.1484 8.7459 8.466 8.26 8.1017 7.976 7.8742 7.3958 7.0568 6.9867

7 12.246 9.5465 8.4513 7.8467 7.4604 7.1914 6.9929 6.8401 6.7188 6.6201 6.1555 5.8236 5.7546

8 11.259 8.6491 7.591 7.0061 6.6318 6.3707 6.1776 6.0288 5.9106 5.8143 5.3591 5.0316 4.9633

9 10.562 8.0215 6.992 6.4221 6.0569 5.8018 5.6128 5.4671 5.3511 5.2565 4.808 4.4831 4.415

10 10.044 7.5595 6.5523 5.9944 5.6364 5.3858 5.2001 5.0567 4.9424 4.8491 4.4054 4.0819 4.0137

11 9.6461 7.2057 6.2167 5.6683 5.316 5.0692 4.886 4.7445 4.6315 4.5393 4.099 3.7761 3.7077

12 9.3303 6.9266 5.9525 5.4119 5.0644 4.8205 4.6395 4.4994 4.3875 4.2961 3.8584 3.5355 3.4668

13 9.0738 6.7009 5.7394 5.2053 4.8616 4.6203 4.441 4.3021 4.1911 4.1003 3.6646 3.3413 3.2723

14 8.8617 6.5149 5.5639 5.0354 4.695 4.4558 4.2779 4.14 4.0297 3.9394 3.5052 3.1813 3.1118

15 8.6832 6.3588 5.417 4.8932 4.5556 4.3183 4.1416 4.0044 3.8948 3.8049 3.3719 3.0471 2.9772

16 8.5309 6.2263 5.2922 4.7726 4.4374 4.2016 4.0259 3.8896 3.7804 3.6909 3.2587 2.933 2.8627

17 8.3998 6.1121 5.185 4.6689 4.336 4.1015 3.9267 3.7909 3.6823 3.5931 3.1615 2.8348 2.7639

18 8.2855 6.0129 5.0919 4.579 4.2479 4.0146 3.8406 3.7054 3.5971 3.5081 3.0771 2.7493 2.6779

19 8.185 5.9259 5.0103 4.5002 4.1708 3.9386 3.7653 3.6305 3.5225 3.4338 3.0031 2.6742 2.6023

20 8.096 5.849 4.9382 4.4307 4.1027 3.8714 3.6987 3.5644 3.4567 3.3682 2.9377 2.6077 2.5353

21 8.0166 5.7804 4.874 4.3688 4.0421 3.8117 3.6396 3.5056 3.3982 3.3098 2.8795 2.5484 2.4755

22 7.9453 5.719 4.8166 4.3134 3.988 3.7583 3.5866 3.453 3.3458 3.2576 2.8274 2.4951 2.4218

23 7.8811 5.6637 4.7648 4.2635 3.9392 3.7102 3.539 3.4057 3.2986 3.2106 2.7805 2.4471 2.3732

24 7.8229 5.6136 4.7181 4.2185 3.8951 3.6667 3.4959 3.3629 3.256 3.1681 2.738 2.4035 2.3291

25 7.7698 5.568 4.6755 4.1774 3.855 3.6272 3.4568 3.3239 3.2172 3.1294 2.6993 2.3637 2.2888

26 7.7213 5.5263 4.6365 4.14 3.8183 3.5911 3.421 3.2884 3.1818 3.0941 2.664 2.3273 2.2519

27 7.6767 5.4881 4.6009 4.1056 3.7847 3.558 3.3882 3.2558 3.1494 3.0618 2.6316 2.2938 2.218

28 7.6357 5.4529 4.5681 4.074 3.7539 3.5276 3.3581 3.2259 3.1195 3.032 2.6018 2.2629 2.1867

29 7.5977 5.4205 4.5378 4.0449 3.7254 3.4995 3.3303 3.1982 3.092 3.0045 2.5742 2.2344 2.1577

30 7.5624 5.3903 4.5097 4.0179 3.699 3.4735 3.3045 3.1726 3.0665 2.9791 2.5487 2.2079 2.1307

40 7.3142 5.1785 4.3126 3.8283 3.5138 3.291 3.1238 2.993 2.8876 2.8005 2.3689 2.0194 1.9383

50 7.1706 5.0566 4.1994 3.7195 3.4077 3.1864 3.0202 2.89 2.785 2.6981 2.2652 1.909 1.8248

60 7.0771 4.9774 4.1259 3.6491 3.3389 3.1187 2.953 2.8233 2.7185 2.6318 2.1978 1.8363 1.7493

70 7.0114 4.9218 4.0744 3.5997 3.2907 3.0712 2.906 2.7765 2.6719 2.5852 2.1504 1.7846 1.6954

80 6.9626 4.8807 4.0363 3.5631 3.2551 3.0361 2.8713 2.742 2.6374 2.5508 2.1153 1.7459 1.6548

90 6.9251 4.8491 4.0069 3.535 3.2276 3.0091 2.8445 2.7154 2.6109 2.5243 2.0882 1.7158 1.6231

100 6.8953 4.8239 3.9837 3.5127 3.2059 2.9877 2.8233 2.6943 2.5898 2.5033 2.0666 1.6918 1.5977

27

1

El director de capacitación de una compañía está tratando de evaluar tres métodos diferentes de entrenamiento para empleados nuevos. El primer método consiste en asignar un empleado nuevo con un trabajador experimentado para que éste lo asista en la fábrica. El segundo método consiste en ubicar a todos los empleados nuevos en un salón de entrenamiento separado de la fábrica, y el tercer método consiste en utilizar películas de entrenamiento y materiales de aprendizaje programado. El director de capacitación escoge al azar 18 nuevos empleados y aleatoria mente asigna 6 a cada uno de los métodos y registra su producción diaria ( en unidades) después que terminaron los programas de capacitación, obteniendo los siguientes resultados:

Método 1 15 18 19 22 11 17

Método 2 22 27 18 21 17 21

Método 3 18 24 19 16 22 15

Usando un nivel de significación de 0.05, el director de capacitación desea estimar si existen diferencias en la efectividad de los tres métodos.

2

Los datos de la siguiente tabla muestran el número de quejas procesadas diariamente de un grupo de cuatro empleados de compañías de seguros observados durante seis días:

Empleado Número de quejas

Anabel 15 17 14 12 11 10

Aarón 12 10 13 17 14 12

Fabiola 11 14 13 15 12 10

Irán 13 12 12 14 14 12

Al nivel de significación 0.05, determina si los promedios diarios de quejas de los empleados son iguales.

3

Una compañía de investigación ha diseñado tres sistemas distintos para limpiar manchas de aceite. La siguiente tabla contiene los resultados de cada sistema, medido en qué tanta superficie (en metros cuadrados) es limpiada en una hora. Los datos se obtuvieron probando cada método en varias sesiones:

Sistema Superficie limpiada (en metros cuadrados)

A 55 60 63 56 59

B 57 53 64 49 62

C 66 52 61 57 60

La compañía necesita saber si los tres métodos tienen la misma efectividad. Usa un nivel de significación de 0.05.

4

Una compañía publicitaria de anuncios al aire libre desea saber si hay diferencias significativas en el tráfico automovilístico que pasa por tres lugares distintos de una ciudad donde tiene anuncios panorámicos; debido a que la compañía cobra precios diferentes dependiendo del número de automóviles que pasan frente al anuncio. Se mide el volumen del tráfico en los tres sitios durante intervalos de cinco minutos elegidos aleatoria mente. La siguiente tabla muestra los datos obtenidos:

Lugar Volumen de trafico

A 30 45 26 44 18

B 29 38 36 21 18

C 32 44 40 43 24

¿A qué conclusión llegaron en esa compañía? Usa un nivel de significación de 0.01.

5

Un ingeniero agrónomo plantó tres parcelas del mismo tamaño con cuatro variedades de trigo y obtuvo las siguientes producciones en libras por parcela:

Variedad A 57 62 61

Variedad B 52 53 60

Variedad C 53 56 56

Variedad D 56 59 59

Pruebe al nivel de significación de 0.05 si las diferencias entre las medias de las cuatro medias puede atribuirse al azar.

28

6

Los siguientes son los rendimientos en millas que un conductor de pruebas obtuvo con cuatro galones de cinco marcas de gasolina:

Marca A 30 25 27 26

Marca B 29 26 29 28

Marca C 32 32 35 37

Marca D 29 34 32 33

Marca E 32 26 31 27

Pruebe al nivel de significación de 0.01 si las diferencias entre las medias de las cinco muestras pueden atribuirse al azar.

7

Se hace un estudio para saber si diversas marcas de televisiones tienen la misma duración. La muestra es de 8 unidades de cada marca, obteniéndose los siguientes datos estadísticos:

Marcas

ABC KLM PQR XYZ

Duración promedio 45 Meses 40 Meses 52 Meses 48 Meses

Desviación estándar 9 Meses 11 Meses 8 Meses 10 Meses

Determine al nivel de significación de 0.01 si tienen igual duración las distintas marcas de televisores.

8

Se aplica el mismo examen de estadística a aspirantes a cursar carreras de tres áreas académicas diferentes. Los exámenes se aplican a 10 aspirantes de cada área, obteniéndose los siguientes resultados:

Área técnica Área Económica Área de Sociales

Promedio 6.5 5.7 4.7

Desviación Estándar 2.55 2.11 2.06

Al nivel de significación de 0.01 ¿Influye el área a que pertenece el estudiante en los promedios?

9

Calificaciones de un examen de Microsoft Office aplicado a 8 alumnos de 5 licenciaturas:

Licenciatura Promedio Desviación estándar

Administración 8.0 1.7

Contaduría 7.5 1.2

Ingeniería Industrial 8.2 1.4

Sistemas de Computo 8.9 1.0

Turismo 7.2 1.5

Determine al nivel de significación de 0.01, si la licenciatura a que pertenecen los alumnos influye en la calificación promedio de los mismos.

10

El siguiente registro muestra el numero de PCs vendidas en un negocio en sus tres sucursales durante una semana de 7 días laborales:

Promedio Desviación Estándar

Sucursal Norte 39 8

Sucursal Centro 48 11

Sucursal Sur 26 9

Determine al nivel de significación de 0.05 si influye la zona en que esta la sucursal en el promedio semanal de ventas de PCs.

11

Los siguientes datos se obtuvieron con muestras de ocho empleados de cada una de las cuatro empresas que se citan, con referencia a su antigüedad en la misma:

Empresa Alfa Beta Delta Gamma

x 17 19 22 17

S2

16 9 25 4

Al nivel de significación de 0.05 ¿En algunas empresas la antigüedad es mayor que en otras?

29

PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE LAS PROPORCIONES DE MAS DE DOS MUESTRAS

Distribución Chi – cuadrada

Planteo

Hipótesis nula: Las proporciones de las poblaciones a que pertenecen las muestras son iguales, es decir, todas las muestras provienen de una misma población: H0 : p1 = p2 = p3 = …….. = pk

Hipótesis alternativa: Las proporciones de las poblaciones a que pertenecen las muestras son diferentes, es decir, todas las muestras provienen de diferentes poblaciones: H0 : p1 ≠ p2 ≠ p3 ≠ …….. ≠ pk

Análisis

Valor crítico de χ2

Para determinarlo, se emplea la Tabla de la Función de Distribución de Probabilidades Chi – cuadrada (χ2 ).

Se calculan los grados de libertad: GL = (r – 1)(c – 1) donde “r” y “c” son los números de renglones (filas) y columnas de la tabla de contingencia, que es la que reúne la información del caso.

Se intersectan el renglón (fila) de los grados de libertad y la columna del

nivel de significación (área de extremo superior especificado de ) , para

obtener el valor crítico2

cX

Valor

efectivo de χ2

eradosValoresEsp

)eradosValoresEspervadosValoresObs(X

22

e

Sí 2

eX es mayor que 2

cX , las diferencias entre las proporciones son

significativas, no se deben azar, y debe rechazarse la hipótesis nula, ya que las muestras provienen de poblaciones diferentes.

Sí 2

eX es menor que 2

cX , las diferencias entre las proporciones no son

significativas, se deben azar, y no debe rechazarse la hipótesis nula, es decir, hay que reservar el juicio, ya que las muestras provienen de la misma población.

Conclusión

Escribir una frase en la que se diga que se apoya con una confianza de 1 – nivel de significación, expresada en porcentaje:

La hipótesis nula sí: 2

eX es menor que 2

cX

La hipótesis alternativa sí: 2

eX es mayor que 2

cX

30

TABLA DE LA DISTRIBUCION CHI- CUADRADO

Valores críticos de la Chi-cuadrado

Para una combinación particular de grados de libertad en el numerador y en el denominador, las entradas representan los valores críticos de la Chi-cuadrado, correspondientes a un área de extremo

superior especificado de .

Grados de Libertad

AREAS DE EXTREMOS SUPERIOR ()

0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005

1 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

2 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597

3 4.108 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838

4 5.385 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860

5 6.626 9.236 11.071 12.833 15.086 16.750

6 7.841 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548

7 9.037 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278

8 10.219 13.362 15507 17.535 20.090 21.955

9 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589

10 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188

11 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757

12 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.299

13 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819

14 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319

15 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801

16 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267

17 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718

18 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156

19 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582

20 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997

21 24.935 29.615 32.671 35.479 38.832 41.401

22 26.039 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796

23 27.141 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181

24 28.241 33.196 36.415 39.364 42.980 45.559

25 29.339 34.382 37.652 40.646 44.314 46928

26 30.435 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290

27 31.528 36.741 40.113 43.194 46.963 49.645

28 32.620 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993

29 33.711 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336

30 34.800 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672

31

1

Un administrador de marca está preocupado porque su producto puede estar mal distribuido a lo largo de todo el país. En una encuesta en que el país fue dividido en cuatro regiones geográficas, se investigó una muestra aleatoria de 100 consumidores de cada región, obteniéndose los siguientes resultados:

Región Noreste Noroeste Sureste Suroeste

Adquirieron la marca 40 55 45 50

No la adquirieron 60 45 55 50

Al nivel de significación 0.025, determina cuál es la conclusión a la que llegó el distribuidor de marca.

2

Un editor de periódicos, que trata de determinar con precisión las características de mercado de su periódico, se pregunta si la costumbre de la gente de la comunidad de leer diarios está relacionada con el nivel educativo de los lectores. Se aplica una encuesta a los adultos del área referente a su nivel educativo y la frecuencia con que leen periódico. Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

Frecuencia con que lee

Nivel educativo

Postgrado Licenciatura Bachillerato Otro

Nunca 10 17 11 21

Algunas veces 12 23 8 5

Mañana o tarde 35 38 16 7

Ambas ediciones 28 19 6 13

Al nivel de significación 0.025, ¿La frecuencia con que se lee el periódico depende del nivel educativo de los lectores?

3

En un estudio se compararon los efectos de cuatro promociones mensuales sobre las ventas de cierto producto. Presentamos las ventas unitarias de cinco tiendas que utilizaron las cuatro promociones en meses diferentes:

Tipo de promoción

Tienda

A B C D E

Muestra gratis 78 87 81 89 85

Regalo de un paquete 94 91 87 90 88

Descuento 73 78 69 83 76

Premio por sorteo 79 83 78 69 81

Al nivel de significación de 0.01, determina si las promociones producen diferentes efectos sobre las ventas.

4

Información acerca del tipo de fabricas instaladas en un estado de la república:

Norte Sur Este Oeste

Metalmecánica 7 4 11 7

Extractiva 13 5 9 2

Determine, al nivel de significación de 0.1, si las industrias están instaladas uniformemente.

5

En un estudio para determinar si existe una relación entre las costumbres de vestido de los empleados bancarios y su progreso profesional, una muestra aleatoria dio los siguientes resultados:

Velocidad de progreso

Lenta Promedio Alta

Elegantes 32 56 32

Bien vestidos 28 69 22

Mal vestidos 15 33 13

Pruebe al nivel de significación de 0.05 si existe una relación entre las costumbres de vestido y la velocidad del progreso personal en los empleados bancarios.

32

6

Datos de una encuesta diseñada para mostrar cómo se transportan los estudiantes de una universidad:

Ingeniería Informática Contaduría Derecho

Caminando 104 87 89 72

Automóvil 22 29 35 43

Bicicleta 46 34 37 32

Autobús 28 50 39 53

Use un nivel de significación de 0.05 para probar la afirmación de que las proporciones de alumnos de las carreras mencionadas que usan los diferentes medios de transporte son iguales.

7

Una fábrica de autos ha hecho una encuesta para identificar las características de seguridad más importantes deseables por compradores de autos, por edades:

Frenos de disco

Suspensión modificada

Bolsas de aire

Seguros automáticos

Control de crucero

Jóvenes 29 11 48 12 7

Adultos 11 9 22 38 23

Al nivel de significación de 0.025 ¿Son las mismas características las deseadas por jóvenes y adultos?

8

El administrador de una empresa estudia la relación entre el departamento a que pertenecen los empleados y su grado de entrega al trabajo, y obtuvo la siguiente información:

Grado entrega / Dpto. Administrativo Mercadotecnia Producción

Excelente 170 124 90

bueno 120 112 100

regular 130 90 88

¿Podemos concluir con un nivel de significancia de 0.05 que hay relación entre el departamento en que trabaja el empleado y su nivel de entrega al mismo?

9

Se aplica el mismo examen de Estadística a aspirantes a cursar carreras de tres áreas académicas diferentes. Dichos exámenes se aplican a 10 aspirantes de cada área, obteniéndose los siguientes resultados:

Área técnica Área Económica Área de Sociales

Aprobados 7 5 4

Reprobados 3 5 6

Determine al nivel de significación de 0.10 si influye el área a que pertenece el estudiante en la proporción de aprobados.

33

PRUEBAS DE HIPOTESIS DE REGRESION LINEAL

En la práctica, es frecuente encontrar que existan relaciones entre dos o más variables, y a veces es posible expresarlas en forma matemática, mediante una ecuación que conecte a dichas variables, de tal manera que podamos estimar (basados en los datos de una muestra) el valor de una de las variables en función del valor de la otra. Por ejemplo, parece ser obvio que entre los siguientes pares de variables si existe alguna relación que las conecta:

Promedio en Licenciatura...................................................................... Promedio en Maestría Inteligencia de padres.............................................................................. Inteligencia de hijos

Nivel socio – económico......................................................................... Incidencia en delitos Estatura …………………………………...................................................... Peso Producto Nacional Bruto…………………………………..…………..…….. Esperanza de vida Dosis de efedrina...................................................................................... Ritmo cardiaco Etc.

Sin embargo, no parece tan obvio, y requeriríamos del análisis de una o varias muestras estadísticas para establecer sí existe alguna relación de dependencia entre los siguientes pares de variables:

Tasa de crecimiento de los Ficus.................................................... Goles por temporada en la Liga Inglesa Gastos en publicidad de una empresa........................................... Cometas avistados por año

Canales nuevos de TV por año........................................................ Numero de rinocerontes cazados ilegalmente Edad ………………………………….................................................... Numero de pares de zapatos Incremento de la inflación …………………………….…………..……Temperatura de una ciudad Evolución de la resistencia de un pegamento............................... Tasa de mortandad de un país

Variables

Independiente: aquella que representa el dato conocido en un análisis de regresión.

Dependiente: es la que se trata de predecir en un análisis de regresión.

Diagramas de

dispersión

Grafica en un sistema de coordenadas, en la que en el eje horizontal (x) graduamos la variable independiente, y en el vertical (y) la variable dependiente.

Cada dato u observación de la muestra, es un punto de coordenadas (x,y) en el sistema.

La forma en que se distribuyen los puntos en el sistema, determina el tipo de relación que existe entre las dos variables (lineal o curvilínea).

Coeficiente de correlación de

Pearson

Expresa cuantitativamente el grado en que dos variables están relacionadas.

Su valor varía desde -1 hasta +1.

Si es positiva, ambas variables crecen. La tendencia en el Diagrama de Dispersión es creciente hacia la derecha.

Si es negativa, una variable crece y la otra decrece. La tendencia en el Diagrama de Dispersión es decreciente hacia la derecha.

Se calcula por medio de la siguiente fórmula: n

ZZr

YX

p

PRUEBAS DE HIPOTESIS DE REGRESIÓN LINEAL Planteo

Hipótesis nula.- Ho: No existe relación lineal entre las variables. Hipótesis alternativa.- H1: Si existe relación lineal entre las variables.

Análisis

Se calcula por medio de tablas el valor crítico para el Coeficiente de Regresión Lineal de Pearson (rc)

Se calcula el valor efectivo para el Coeficiente de Regresión Lineal de Pearson por medio de la siguiente fórmula:

n

ZZr

YX

e

Sí rc > re se reserva el juicio, en caso contrario se rechaza la hipótesis nula Ho.

Conclusión

Se hace una redacción en la que se expresa que se confía en un porcentaje de 100% menos el nivel de significación, en que si exista o no relación lineal entre las variables (según sea el caso).

34

ALGUNOS TIPOS DE DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN

TABLA DE VALORES CRÍTICOS

PARA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE

PEARSON (r)

N

Nivel de significación

de 0.05

Nivel de significación

de 0.01

Y O X

Correlación lineal positiva

Y O X

Correlación lineal negativa

4 0.950 0.999

5 0.878 0.959

6 0.811 0.917

7 0.754 0.875

8 0.707 0.834

9 0.666 0.798

10 0.632 0.765

11 0.602 0.735

12 0.576 0.708

13 0.553 0.684 Y O X

Correlación curvilínea positiva

Y O X Correlación curvilínea negativa

14 0.532 0.661

15 0.514 0.641

16 0.497 0.623

17 0.482 0.606

18 0.468 0.590

19 0.456 0.575

20 0.444 0.561

25 0.396 0.505

30 0.361 0.463

35 0.335 0.430 Y O X Recta positiva con menor grado de correlación que la de la grafica a).

Y O X No existe correlación entre las variables

40 0.312 0.402

45 0.294 0.378

50 0.279 0.361

60 0.254 0.330

70 0.236 0.305

80 0.220 0.286

90 0.207 0.269

Para niveles de significación comprendidos entre 0.01 y 0.05 se

pueden hacer interpolaciones.

35

1

El gerente de mercadotecnia de una cadena de tiendas de autoservicio desea determinar el efecto del espacio en las estanterías sobre las ventas de alimentos para animales domésticos. Se seleccionó una muestra aleatoria de ocho tiendas cuyos resultados se presentan en la tabla. Con un nivel de significación 0.01 determina si hay relación lineal entre las variables.

Tienda Alameda Buenavista Centro Bosque Estancia Américas Garden Poniente

Metros cuadrados de estantería

1

1

2

2

3

4

5

6

Ventas semanales en miles de pesos

16

18

30

25

50

65

75

90

2

Al inicio de un curso de Estadística, se somete a los estudiantes a un examen especial de Matemáticas. Se desea saber si hay o no una relación entre la calificación de este examen especial y la calificación final en Estadística. Se selecciona una muestra aleatoria de once estudiantes obteniéndose los siguientes resultados. Al nivel de significación 0.05 determina si hay relación lineal entre las variables.

Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Calificación examen especial 55 72 68 78 43 92 88 79 24 64 39

Calificación examen final 92 97 77 84 90 84 76 65 58 69 52

3

El administrador de una fábrica que produce cierto artículo de temporada desea estimar la función de costo total para la próxima temporada. Con tal objeto de los archivos toma una muestra aleatoria de las últimas cinco temporadas, obteniendo la siguiente información. Con un nivel de significación 0.02 determina si hay relación lineal entre las variables.

Temporada 1993 1994 1995 1996 1997

Costo total anual (En miles de pesos) 1000 2000 3000 2500 2700

Número de unidades producidas al año. 77 112 147 127 134

4

Los siguientes datos muestrales presentan la demanda de un producto (en miles de unidades) y su precio (en dólares) cobrado en seis áreas de mercado distintas. Con un nivel de significación 0.03 determina si hay relación lineal entre las variables.

Precio 18 10 14 11 16 13

Demanda 9 125 57 90 22 79

5

Dada la información de un grupo de estudiantes, al nivel de significación 0.04 determina si hay relación lineal entre las variables.

Anel Beto Cora Dino Emma Fito Gina Hugo

Horas de estudio 20 16 34 23 27 32 18 22

Calificación examen 64 61 84 70 88 92 72 77

6

El gerente de personal de una empresa considera que puede haber una relación entre el ausentismo al trabajo y la edad y desea usar la edad de un empleado para predecir el número de días de ausencia durante un año. Selecciona una muestra aleatoria de diez empleados, obteniéndose los siguientes resultados. Al nivel de significación 0.015 determina si hay relación lineal entre las variables.

Empleado Anel Beto Claudia Dionisio Eufrasio Guille Hilario Indalecio Javier Kent

Edad en años 27 61 37 23 46 58 29 36 64 40

Días ausente al año 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8

7

El director de un programa de capacitación para supervisores en una compañía desea estudiar la relación entre la calificación de un examen de aptitud efectuado al principio del programa y la calificación final otorgada al concluir el programa por un comité de ejecutivos. Una muestra de ocho participantes reveló los resultados que se dan en la siguiente tabla. Con un nivel de significación 0.025 determina si hay relación lineal entre las variables.

Supervisor Calificación examen de aptitud Calificación en el examen final

A 63 81

B 49 65

C 72 91

D 58 78

E 78 99

F 61 74

G 59 80

H 58 77

8

La tabla siguiente muestra en (miles de dólares) los valores estimados y los precios de venta de ocho casas, que constituyen una muestra aleatoria de todas las casas vendidas recientemente en un área suburbana. Con un nivel de significación 0.035 determina si hay relación lineal entre las variables.

Valor estimado 4.03 7.20 3.25 4.48 2.79 5.16 8.04 5.80

Precio de venta 163.4 218.3 155.2 174.0 148.8 181.1 223.2 192.5

36

9

Los siguientes datos muestran los gastos de publicidad (expresados como un porcentaje de los gastos totales) y los beneficios operativos netos (expresados como un porcentaje de las ventas totales) en una muestra aleatoria de 6 farmacias. Con un nivel de significación 0.045 determina si hay relación lineal entre las variables.

Gastos en publicidad 1.5 1.0 2.8 0.4 1.3 2.0

Beneficios operativos netos 3.6 2.8 5.4 1.9 2.9 4.3

10

La tabla siguiente presenta el número de horas que una corredora corrió durante cada una de ocho semanas consecutivas y los tiempos en minutos correspondientes en que corrió una milla al final de cada semana. Con un nivel de significación 0.012 determina si hay relación lineal entre las variables.

Horas 13 15 18 20 19 17 21 16

Milla 5.2 5.1 4.9 4.6 4.7 4.8 4.6 4.9

11

Para los datos de la siguiente tabla de una fabrica ensambladora de automóviles, con un nivel de significación 0.022 determina si hay relación lineal entre las variables.

Obrero A B C D E F G H I J K L

Meses de experiencia 7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8

Ensambles rechazados 26 20 28 16 23 18 24 26 38 22 32 25

12

En una universidad, se desea saber si existe alguna relación entre la calificación de los estudiantes en Matemáticas y su condición física. Se tomo una muestra de 7 alumnos, y los datos obtenidos son los siguientes. Con un nivel de significación 0.032 determina si hay relación lineal entre las variables.

Calificación de Matemáticas 7. 5 6. 7 9. 6 5. 6 8. 2 5. 2 4.4

Calificación en condición física 6. 4 7. 3 8. 3 5. 1 9. 7 6. 9 8.2

13

El coordinador de ventas de una empresa que ensambla y vende PC’s desea saber si existe alguna relación lineal entre la antigüedad de cada vendedor y el número de PC’s que vende a la semana. El coordinador dispone de la siguiente información. Con un nivel de significación 0.042 determina si hay relación lineal entre las variables.

Vendedor Ávila Bolio Cruz Díaz Elos Fritz Goya

Antigüedad en la empresa 4 9 1 8 3 6 6

PC’s vendidas a la semana 5 6 2 9 3 7 3

14

Registro de la antigüedad (en años) de algunos de los trabajadores de una fabrica, y su sueldo mensual (en miles de pesos). Con un nivel de significación 0.018 determina si hay relación lineal entre las variables.

Antigüedad 1 3 4 6 8 9 11 12 14 15

Sueldo 3 5 4 9 8 8 9 7 9 7

15

De una investigación para averiguar si existe alguna relación entre el sobrepeso en kilos de jóvenes y las horas que dedican a la semana a ver TV y/o estar en la PC, se obtuvo la siguiente información. Con un nivel de significación 0.028 determina si hay relación lineal entre las variables.

Nombre Alan Bety Caro Dany Ema Fito Gori Hugo Iris Juan

Kilos sobrepeso 2 6 9 3 7 10 5 9 12 5

Horas en TV/PC 15 20 32 18 30 30 18 24 31 22

16

El Depto. de Producción de NBD Electronics quiere ver la relación entre el número de empleados ensambladores y el número de unidades ensambladas. Se seleccionaron al azar varios turnos, y se obtuvieron los siguientes resultados. Con un nivel de significación 0.038 determina si hay relación lineal entre las variables.

Empleados ensambladores en el turno 2 4 5 1 3 2 4

Unidades ensambladas en el turno 15 25 30 10 30 12 32

17

La tabla muestra la Temperatura en grados centígrados en una ciudad, y el número de gaseosas que se venden en un expendio cada día. Con un nivel de significación 0.048 determina si hay relación lineal entre las variables.

Temperatura 24°C 28°C 32°C 36°C 40°C 26°C 30°C

Gaseosas 47 40 54 45 66 42 48

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