Estadistica para la investigación (sesión5) version mejorable
44
Lenin H. Cari Mogrovejo [email protected]
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Lenin H. Cari Mogrovejo
¿Se puede elegir concebir un
niño o una niña?
Según el Dr. Landrum Shettles, la dieta y el
calendario influyen en el sexo de un bebé.
Existe la posibilidad de 85% y 95%.
Intr
od
ucció
n
Niño entre más cerca sea el acto sexual
del día de la ovulación y niña, si el acto
sexual se realiza a 2-3 días de la ovulación.
No importa el sexo,
lo que importa es que sea feliz
¿Puedo relacionar el peso y la
edad de una persona?
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN
Y REGRESIÓN LINEAL
CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES
CUANTITATIVAS
TIEMPO A
VE
LO
CID
AD
B
CORRELACIÓN Y
REGRESIÓN LINEAL (1)
Estudian la existencia de una relación lineal
entre dos variables de naturaleza
cuantitativa.
Sus objetivos, aunque complementarios,
son diferentes.
CORRELACIÓN Y
REGRESIÓN LINEAL (2)
El ACL estudia la relación lineal de intensidad y la dirección.
Existe una relación lineal entre el coeficiente intelectual de una persona y sus ingresos?
El ARL ayuda en la predicción de los valores de una variable cuantitativa (llamada dependiente) cuando se conoce el valor de otra variable cuantitativa (llamada independiente).
¿Cuál es el coeficiente intelectual de un niño con una buena nutrición?
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN (1)
El proceso para determinar el grado de relación
lineal se puede resumir en los siguientes pasos:
A. Elaboración del diagrama de dispersión.
B. Inspección del diagrama en busca de una relación
lineal.
C. Cálculo de la covarianza entre las dos variables
D. Cálculo de las desviaciones estándar
E. Cálculo del coeficiente de correlación
A.- DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Consiste en la representación en ejes
de coordenadas de los puntos
correspondientes a los pares de
valores de cada individuo.
Es indiferente qué variable representemos en
abscisas y qué variable en ordenadas. En el
análisis de correlación se da una simetría entre
las dos variables. No cabe hablar, por tanto, de
variable dependiente o independiente.
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la
posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Diagrama de Dispersión
FORMAS TÍPICAS DE LOS DIAGRAMAS DE
DISPERSIÓN ESTADÍSTICA
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN (2)
Diagrama de dispersión
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30
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VEN
TA
S
Diagrama de dispersión
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30
PUBLICIDAD
VEN
TA
S
b.-INSPECCIÓN DEL DIAGRAMA
La relación entre dos variables cuantitativas
puede ser de naturaleza no lineal, por ejemplo
cuadrática, cúbica, logarítmica, etcétera.
El análisis de correlación lineal sólo debe
aplicarse cuando de la inspección del diagrama
de dispersión se pueda deducir la existencia de
una relación lineal.
c.-CÁLCULO DE LA COVARIANZA
La covarianza es una medida del grado en
que dos variables cuantitativas
evolucionan paralelamente.
N
YXN
i
YiXi
XY
1
INTERPRETACIÓN DE LA COVARIANZA
Si Sxy > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir, a
grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
Si Sxy = 0 Una covarianza 0 se interpreta como la no
existencia de una relación lineal entre las dos variables
estudiadas.
Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir,
a grandes valores de x corresponden pequeños valores
de y. .
e.- EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Surge ante los problemas que plantea la
covarianza.
Se designa con la letra griega ( )
Ventajas:
Carece de unidades
Está acotado
11 YX
XY
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (2)
Si el coeficiente de correlación vale -1estamos ante una relación lineal perfecta e inversa entre las dos variables.
Diagrama de dispersión
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20
X
Y
¡Cuidado!: la pendiente
no es necesariamente -1
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (3)
Si el coeficiente de correlación vale +1
estamos ante una relación lineal perfecta y
directa entre las dos variables.
Diagrama de dispersión
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20
X
Y
¡Cuidado!: la pendiente
no es necesariamente +1
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (4)
Si el coeficiente de correlación vale 0 no
existe relación lineal entre las dos variables.
Diagrama de dispersión
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15
X
Y
Regresión lineal
23
REGRESIÓN LINEAL
Es la técnica matemático – estadística que
analiza la dependencia entre dos o más
variables.
Observa si las variaciones de una
característica provocan variaciones en la
magnitud de otra característica.
Es la función matemática que, para un valor
dado de una variable, da el valor esperado
de una característica, con la cual está ligada.
Y
X1
X2.
.
.
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede
ser que una variable sea afectada por el
comportamiento de otra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificar este tipo
de relación de manera que se pueda
predecir una variable en función de otra
En Regresión Lineal Simple es de
interés cuando una variable afecta el
comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X)Propósito de la R.L.S: Predicción
Regresión Lineal Simple
25
EJEMPLOS
El precio de venta (VD; Y) depende del precio de costo de unartículo (VI; X).
El costo total (VD; Y) depende de la producción total (VD; X).
El tiempo de servicios (VD; Y) de un trabajador depende desu edad (VD; X).
El consumo familiar (VD; Y) está en función del ingresofamiliar VD; X).
Donde:
VD; Y = variable dependiente, predictando, explicativa.
VI; X = variable independiente; predictor, explicativa.
Esta relación se expresa: Y = f(X), “Y depende de X”
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
El ARL es una herramienta que
persigue ayudar en la predicción
de los valores de una variable
cuantitativa supuestos conocidos
los valores de otra variable
cuantitativa con la que la primera
tiene una relación de tipo lineal.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Partimos del diagrama de dispersión (igual que en ACL), pero hemos de distinguir entre: Variable dependiente: la que queremos
predecir.
Variable independiente: la que nos va a servir para predecir.
Situaremos la variable dependiente en ordenadas (Y) y la independiente en abscisas (X).
RECTA DE REGRESIÓN
Diagrama de dispersión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15
X
Y
Diagrama de dispersión
y = 1,243x - 141,98
R2 = 0,8634
0
20
40
60
80
100
120
160 170 180 190 200
ALTURA
PES
O
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
A la proporción de variabilidad eliminada por
la recta de regresión se le llama coeficiente
de determinación (R2)
Como es una proporción, toma valores entre
0 y 1
2
2 1
2
1
ˆN
i
i
N
i
i
Y YVE
RVT
Y Y
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (2)
Coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación.
Cuando el coeficiente de correlación es +1 o -1, la
relación lineal es perfecta y la recta de regresión consigue
eliminar toda la variabilidad de la variable a estimar, en
consecuencia R2=1.
Cuando el coeficiente de correlación es 0, no existe
relación lineal entre las variables. En consecuencia, el
conocimiento de la variable independiente no ayuda a
estimar la variable dependiente y la recta de regresión no
consigue eliminar nada de la variación total. Así, R2=0
22 R
¿Cómo estimo sin la recta de regresión?
ALTURA PESO
175 69
184 85
192 93
165 68
174 72
182 87
191 102
¿Cuánto pesa un individuo ?
82,28 Kg. (el peso promedio del
conjunto de individuos)
¿Me equivoco?
Seguro, el riesgo en la predicción
es mayor cuanto mayor sea la
varianza del peso
¿Cómo estimo con la recta de regresión?
Diagrama de dispersión
y = 1,243x - 141,98
R2 = 0,8634
0
20
40
60
80
100
120
160 170 180 190 200
ALTURA
PES
O
¿Cuánto pesa un individuo
que mide 186 cm.?
1,243x186-141,98=89,218
¿Me equivoco?
Seguro, pero corres menos riesgo
que si no conocieras su altura.
De hecho, has reducido la
variabilidad del peso en un 86,34%
33
APLICACIÓN A continuación se muestran los datos observados correspondiente a la
función costo total (C = Yi) medida en millones de soles, con respecto a la
producción total (Q = Xi) medida en miles de soles.
PRODUCCIÓN (Xi) COSTO TOTAL (Yi)
10 30
20 36
30 40
40 48
50 54
60 58
70 66
80 68
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
REGRESIÓN LINEAL ENTRE LA PRODUCCIÓN
TOTAL Y EL COSTO TOTAL
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100
PRODUCCIÓN
COST
O T
OTA
L
34
PLANTEAR LA ECUACIÓN DE ESTIMACIÓN DE REGRESIÓN LINEAL
Ŷi = 24,5 + 0,5666667Xi
COSTO TOTAL ESTIMADO = 24,5 + 0,5666667 * PRODUCCIÓN TOTAL
INTERPRETAR b0.
Por cada mil unidades que se incremente la producción, el costo
total se incrementará en 566 666,67 soles.
ESTIMAR O PREDECIR CUÁNTO SERÁ EL COSTO TOTAL SI SE
QUIERE PRODUCIR 85 000 ARTÍCULOS.
Ŷi = 24,5 + 0,5666667 * 85
Ŷi = 72,66666667 * 1 000 000
Ŷi = 72 666 666,95 SOLES.
i 0 1 i= b + b XY
35
36
GRAFICAR LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL ESTIMADA
REGRESIÓN LINEAL ENTRE LA PRODUCCIÓN
TOTAL Y EL COSTO TOTAL
y = 0,5667x + 24,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100
PRODUCCIÓN
CO
ST
O T
OT
AL
Algunas consideraciones
38
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN O
NUBE DE PUNTOS
••
••
•
••
•
•
•• •
• •
• •
•
•
•
•
•• ••
•
••
•
•
••
•
••
• •••
•
• •
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
•• •
•• •
•• ••
••
••
••
••
(a) Lineal directa (b) Lineal inversa (c) Curvilínea directa
(d) Curvilínea inversa (e) Lineal inversacon más dispersión
(d) Ninguna relación
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Coeficiente de Pearson
El coeficiente de correlación (r) mide el grado de afinidad o asociación entre
dos variables.
Coeficiente de Pearson:
Coeficiente de Determinación: CD = r2 * 100
Propiedades de r: -1 ≤ r ≤ +1
a) Si r > 0, existe “correlación directa positiva”.
b) Si r < 0, existe una “correlación inversa negativa”.
c) Si r2 = 1, los datos forman una línea recta.
d) Si r = +1, entonce hay una correlación perfecta positiva.
e) Si r = -1, Existe una correlación perfecta negativa.
f) Si r = 0, las variables son independientes; no están correlacionadas.
2 2 2 2
n XY - X Yr =
[n X - ( X) ] [n Y - ( Y) ]
39
GRADO DE ASOCIACIÓN O INTERRELACIÓN
COEFICIENTE r GRADO DE ASOCIACIÓN
0,0 ± 0,2 NULA
± 0,2 ± 0,4 POCA SIGNIFICATIVA
±0,4 ± 0,7 SIGNIFICATIVA
± 0,7 ± 0,9BASTANTE
SIGNIFICATIVA
± 0,9 ± 1,0 MUY SIGNIFICATIVA
40
APLICACIÓN
Calcule el coeficiente de correlación y el coeficiente
de determinación del ejemplo anterior e interprete.
r = 0,9958246
Interpretación: Entre la producción total y el costo
total existe una correlación o grado de asociación
muy significativa, es decir se acepta que el costo
total esta influenciado por la producción total.
CD =99,17%
Interpretación: El 99,17% de la variación del costo es
explicada por la variación en la producción.
41
Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 3511 148 207 322 399 168 266 313 40
Conjunto de datos
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Inasis
ten
cia
Rango de Salario
Diagrama de Dispersión
