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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. 1

Estadística Inferencial básica

¿Cómo inferimos alguna conclusión de los posibles resultados de un

experimento aleatorio?

Por medio del estudio de una parte de los resultados posibles.


Población.Población. Consiste en la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados.

¿Qué significa el término población normal?

Que los valores posibles que puede tener una variable aleatoria de esta población sigue una distribución normal.

¿y población binomial?

Que los valores posibles que puede tener una variable aleatoria de esta población sigue una distribución binomial.


Inferencia estadística.Inferencia estadística. Llegar a conclusiones que tienen que ver con la población, cuando no es práctico observar toda la población.

Muestra.Muestra. Es un subconjunto de la población que puede estudiarse con el objetivo de inferir conclusiones respecto a una población.

La elección de la muestra es importante para que nuestra conclusiones tengan peso.

Muestra aleatoria evita que se sobreestime o subestime alguna característica de la población.


Se representan a la variable aleatoria

Como la i-ésima medición que puede observarse de la muestra.

Los valores que toma esta variable se representan como

Si las variables aleatorias son independientes, con la misma distribución de probabilidad , su distribución de probabilidad conjunta es

X i

x iX1 , X2 ,⋯, Xn

f ( x )

f ( x1 , x 2 ,⋯, xn )=f ( x1) f ( x2)⋯f (xn )


Estadístico.Estadístico. Cualquier función de las variables aleatorias que forman una muestra aleatoria se llama estadístico. Los estadísticos se utilizan para hacer inferencias (estimaciones o decisiones) con respecto a parámetros poblacionales desconocidos.

Cualquier estadístico es una variable aleatoria en sí.

Por lo tanto los estadísticos tienen distribuciones de probabilidad, llamado distribución muestral del estadístico.


Estadísticos importantes.Media de la muestraMedia de la muestra. Si representan una

muestra aleatoria de tamaño n, entonces la media de la muestra se define mediante el estadístico.

Nota. Es solo un valor posible del estadístico

X1 , X2 ,⋯, Xn

x̄

X̄=1n∑i=1

n

X i

X̄


Varianza de la muestra.Varianza de la muestra. Si representan una muestra aleatoria de tamaño n, entonces la varianza de la muestra se define con el estadístico

Nota. Es solo un valor posible del estadístico

X1 , X2 ,⋯, Xn

s2

S2=1

n−1∑i=1

n

(X i− X̄ )2

S2


Una inferencia que puede hacerse de los datos poblaciones a partir de los muestrales esta dado por

Teorema de límite central.Teorema de límite central. Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño nn, tomada de una población con media y varianza finita , entonces la forma límite de la distribución de

Conforme , es la distribución normal estandar N(z;0,1)N(z;0,1) .

Z=X̄−μσ√n

X̄

μ σ 2

n→∞


Distribuciones continuas adicionales.

Distribución Chi cuadrada. La variable aleatoria XX tiene una distribución chi cuadrada, con grados de libertad, si su función de densidad está dada por.

Donde es un número entero positivo llamado grados de libertad.

υ

f ( x ;υ )={1

2υ

2 Γ (υ 2)xυ

2−1

e−x

2 , x>0

0, en cualquier otro caso

υ


A la distribución chi cuadrada también se le denota como

Media y varianza.

χ υ2

μ=υ σ 2=2υ


f ( x ;υ )={1

2υ

2 Γ (υ 2)xυ

2−1e−x

2 , x>0

0, en cualquier otro caso

Para k grande la distribución se hace más simétrica, de hecho si

k=ν2

si k→∞ Obtenemos la distribución normal


Aplicaciones.

• Inferencia estadística.• Estimación de la media de una población normalmente

distribuida • Estimación de la pendiente de una recta de regresión

lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

• Participa en todos los problemas de análisis de varianza, por su papel en la distribución F, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias de distribución chi-cuadrado e independientes.

• La varianza muestral tiene una distribución chi cuadrada.


¿Qué son los grados de libertad?

Representa el número de datos independientes disponibles para calcular la varianza.

Si tenemos nn datos, el grado de libertad es (n-1)(n-1)


P { χυ2≥ χ α , υ

2 }=∫χα , υ

2

∞

f (u )du=α


Ejercicio 1. Para una distribución chi cuadrada encuentre.

Ejercicio 2. Para una distribución chi cuadrada encuentre

tal que

a ) χ0 . 0052 cuando υ=5

b ) χ0 . 052 cuando υ=19

c ) χ 0. 012 cuando υ=12

χ α2

a )P ( X2> χα2 )=0 . 01 cuando υ=21

b )P (X 2< χα2 )=0 . 95 cuando υ=6

Ejercicio

Si el número de horas diarias que duermen los adultos, dentro de cierto rango de edades, siguen una distribución ji-cuadrada con ocho grados de libertad, calcule:

a) El tiempo por debajo del cuál están 10% de los adultos que menos duermen.

b) El tiempo por encima del cuál se encuentran 10% de los adultos que más duermen. (dé los resultados en horas, minutos)



Teorema.Teorema. Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal que tiene la varianza , entonces el estadístico

Tiene una distribución chi cuadrada con grados de libertad.

Nota. Los valores de la variable aleatoria se calculan de cada muestra

mediante la fórmula

σ 2

υ=n−1

χ 2=(n−1 )S2

σ 2=∑

n=1

n (X i−X̄ )2

σ2

χ 2

χ 2=(n−1 ) s2

σ 2


EJERCICIO. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.


Distribución t. Sea ZZ una variable aleatoria normal estandar y VV una variable aleatoria

chi cuadrada con grados de libertad. Si ZZ y VV son independientes, entonces la distribución de la variable aleatoria TT, donde

Está dada por la función de densidad

Esta se conoce como la distribución tdistribución t con grados de libertad.

υ

T=Z

√V υ

f (t )=

Γ [ (υ+1 )

2]Γ (υ 2)√πυ

(1+t2

υ )−(υ+1 )

2 , −∞<t<∞

υ


Esta distribución fue propuesta por el científico inglés W. Gosset (1876-1937), quién escribía con el seudónimo STUDENT (el estudiante)

La distribución t (en cierto modo) distribución t (en cierto modo) es una versión generalizada de la distribución normal, la cual es precisamente una distribución t con ∞ grados de libertad

La distribución-tdistribución-t o distribución t de Studentdistribución t de Student surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Ésta es la base del popular test de la t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

La distribución tdistribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.


Media y varianza.

μ=0 σ 2=υ

(υ−2 )


f (t )=

Γ [ (υ+1 )

2]Γ (υ 2)√πυ

(1+t2

υ )−(υ+1 )

2 , −∞<t<∞


Se utiliza la distribución t en el cálculo de intervalos de confianza.

Es una base para hacer inferencias con respecto a la media y a la desviación estandar.

La gráfica de esta densidad de probabilidad es simétrica respecto a la media.


Uso de tablas.

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 40

2

4

6

8

10

12

Columna 1

Columna 2

Columna 3

P {t≥ tα }=∫tα

∞

f (u )du=α


¿Cómo se calcula la parte izquierda de la gráfica?

Dada la simetría.

La distribución T su utiliza para describir fenómenos que se comportan aproximadamente como una distribución normal.

Se desconoce la variabilidad.El tamaño de la muestra es pequeño <30.

La misma variable tiene una distribución t si la muestra es pequeña.

t1−α=−tα

t=X̄−μσ√n


Ejercicios.

a) Encuentre P(-t0.005<T<t0.01) parab) Encuentre el valor t para que el área a la derecha sea

0.01, si el número de grados de libertad es:i. 10ii. 25

c) Suponga que X es una vac. que tiene distribución t con 10 grados de libertad. Halle el valor de k, tal que:

i. P(X> k) =0.05ii. P(-k<X<k)=0.98iii. P(X<k)=0.20iv. P(X> k) =0.90

υ=20 .


Distribución F. Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen

distribuciones chi cuadrada con y grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la variable aleatoria

Está dada por la función de densidad

Esta se conoce como la distribución Fdistribución F con y grados de libertad.

υ1

F=

Uυ1

Vυ2

h ( f )={Γ [ (υ1+υ2)

2 ](υ1

υ2)υ1

2

Γ (υ1

2)Γ (υ2

2)f(υ1

2)−1

(1+υ1fυ2)

(υ1+υ

2 )2

, f >0

0 f <0

υ1

υ2

υ2


Uso de tablas.

P { f≥ f α }=∫fα

∞

f (u )du=α

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