Diapositiva 1

CINEMATICA

CINEMATICA DE UNA PARTICULAEs parte de la mecnica que estudia los movimientos, independientemente de las causas que lo originan.

PARTICULA.-Se define como un objeto fsico idealizado, cuya extensin es depreciable. Tambin se denomina masa puntual (centro de gravedad)

TRAYECTORIA.- Es la lnea descrita por el mvil

DESPLAZAMIENTO.- Es la variacin entre dos vectores de posicin

MOVIL.-Es la partcula o cuerpo en movimientoR = R2 - R1R2R1R XYR2R1XYtrayectoriaMOVIMIENTOSe dice que una partcula esta en movimiento, cuando su vector posicin con respecto a un sistema de ejes determinados cambia con el tiempo

Clases de Movimiento A. Segn la Trayectoria: a1. Movimiento Rectilneos.- La trayectoria descrita por el mvil es una recta a2. Movimiento Curvilneo.- La trayectoria descrita por el mvil es una curva

B. Segn su Velocidad: b1. Movimiento Uniforme.-Cuando el mvil tiene la misma velocidad en todo los puntos de su trayectoria. O sea no varia su v

b2. Movimiento Variado.-Cuando el mvil tiene velocidades diferentes en cada punto de su trayectoria. O sea la velocidad cambia durante el movimiento b3. Movimiento Uniformemente Variado.- aceleracion constante

V1XYXYXYC. Segn la Orientacin de los Cuerpos en sus Movimiento: c1. Traslacin.- Cuando la partcula se desplaza manteniendo su orientacin inicial.

c2. Rotacin.-Cuando la partcula gira sobre su eje.

c3. traslacin y Rotacin.-Cuando la partcula se desplaza girando sobre su eje.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTOTodo movimiento esta compuesto de 3 elementos:

Espacio (e) : longitud de la trayectoriaTiempo (t) : duracin del movimiento3. Velocidad(v) : espacio recorrido en la unidad de tiempoConcepto de Posicin Velocidad y aceleracinb. CORDENADA DE POSICION

La posicin X del mvil en el instante t , sern positivas si el mvil est a la derecha del origen O y negativas si est a la izquierda del origen, definiendo as la posicin del mvil.a. POSICION.

Si en un instante t el mvil se encuentra en la posicin X, en el instante t el mvil se encontrar en la posicin x'. Entonces el mvil se ha desplazado Dx= x'-x en el intervalo de tiempo Dt =t'-t.

Por lo tanto:

La posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x = f(t); con el origen en el punto OXx'tt ODxDtxttt+Dt DtDx xx+Dx x = f(t) p PXttt+Dt f(t+Dt) x = f(t) pP tangentef(t) c. VELOCIDAD

c1. Velocidad Media(Vm).- Es el cociente entre el desplazamiento Dx y el intervalo Dt :

Vm = Dx / Dt c2. Velocidad Instantnea (V).- Es la derivada de la coordenada en la posicin X en el tiempo t.

V = Lim Dx / Dt = dx/dt Dt 0

La pendiente de la secante pp representa la velocidad media y la pendiente de la tangente, la velocidad instantnea, asimismo la pendiente de la tangente puede ser positivo negativo o nulo vttt+Dt DtDv vv+Dv v = f(t) p Pvttt+Dt f(t+Dt) v = f(t) pP tangentef(t) d. ACELERACION

d1. Aceleracin Media (am).- Es el cociente entre el desplazamiento Dv y el intervalo Dt :

am = Dv / Dt

d2. Aceleracin Instantnea (a).- Es la derivada de la velocidad v con respecto al tiempo t.

a = Lim Dv / Dt = dv/dt Dt 0 tambin: a = d(dx/dt)/dt = d2x /dt2

a = dv/dt= dv/(dx/v) = vdv/dx

La pendiente de la secante pp representa la aceleracin media y la pendiente de la tangente la aceleracin instantnea, asimismo la pendiente de la tangente puede ser positivo negativo o nulo vv'tt ODvDtMOVIMIENTO RECTILINEOEl mvil se desplaza dentro de una lnea de accin

Movimiento Rectilneo UniformeEs un movimiento de trayectoria rectilnea, con velocidad constante y aceleracin cero. Representacin Grafica dx = vdt

X - X0 = v (t - t0)

Si: X - X0 = e y t0 = 0 Cte

X = X0 + v t posicin e = V t espacioXtt0t X0 X Tg = vvtt0t K (X - X0)=e

2. Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado(acelerado) Es un movimiento rectilneo, cuya velocidad aumenta o disminuye una cantidad constante en cada unidad de tiempo, o sea con aceleracin constante y tangente a la recta.

Formula N1 : a= Cte y t0 = 0 Formula N 2: a= Cte y t0 = 0 remplazando formula N1 en 2

dv = a dt X = X0 + (v0 + at)dt

V - V0 = X = X0 + (v0t + at2/2) X = X0 + v0t + at2/2 Tambin de :

X = X0 + .. 2

v = v0 + at X = X0 + v0t + at2/2 e = v0t + at2/2Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado Formula N3 : considerando aceleracion constante y t0 = 0

Si Representacin Grfica

remplazando en tenemos

a dx = v dv Cuando la aceleracin es a (X - X0 ) = (V2 - V02 ) / 2 constante la velocidad media es igual a la semisuma de las haciendo (X - X0 ) = e velocidades: Vm = (V - V0) / 2 X = X0 + Vm t

2ae = ( V2 - V02 ) vtt0t v0 v Tg = aCAIDA LIBRE DE LOS CUERPOSDefinicin.-se denomina cada libre, cuando no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Este movimiento esta sujeto a dos leyes:

Ley N1.- todos los cuerpos caen con igual velocidad, la aceleracin de la gravedad (g = 9.80 m/s2 a nivel del mar y 45 de latitud) es la misma para todo los cuerpos.

Ley N2.- El movimiento es, rectilneo uniformemente acelerado y vertical

El movimiento de La cada libre es un movimiento uniformemente variable, por lo tanto las formulas son aplicable, cuando la aceleracin constante es la aceleracin de la gravedad (g):

Si el mvil parte del estado de reposo o sea v0 = 0

v = v0 + gt h = h0 + v0t + gt2/2 2ge = ( V2 - V02 ) v = gt h = gt2/2 2gh = V2 V = 2gh MOVIMIENTO CURVILINEO CON ACELERACION CONSTANTE

1.-Movimiento Curvilneo en el Plano.-La velocidad tangencial en la curva es el vector suma de las velocidades componentes en los ejes X e Y de igual manera la aceleracin tambin se determinara sumando los componente en los ejes X e Y.

Si la aceleracin a es constante entonces los componentes : ax y ay son constantes o sea tenemos movimientos rectilneos simultneos en dos ejes perpendiculares X e Y con aceleracin constante

Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilneo uniformemente con aceleracion constante para cada eje tenemos: Vx = (v0)x + ax t V y = (v0)y + ay t

Eje X x = (v0)x t + + ax t 2/2 Eje Y y = (v0)y t + + ay t 2/2

V2x = (v0)2x + 2ax x V2y = (v0)2y + 2ay y ayaxavyXaxayMOVIMIENTO DE LOS PROYECTILESEs un movimiento curvilneo bidimensional de una partcula, lanzada oblicuamente al aire, con aceleracin constante. Para el calculo no se va tener en cuenta la resistencia del aire.

Ecuaciones del movimiento Ecuacion de la trayectoria

1. Avance horizontal: X = (v0 cos ) t remplazando t de 1 en 2 2. Avance vertical : y = (v0 sen ) t - g t 2/2 y = X tg - g X2 / 2 (v0 cos )2

3. Velocidad horizontal: Vx = v0 cos

4. Velocidad vertical : Vy = v0 sen yXeh(v0)x (v0)yv0vx vyv0AP(x, y) v0 = velocidad inicial del proyectil = ngulo de tiro V = velocidad de la partcula en p(x,y) h = altura mxima alcanzada e = alcance horizontal mximo

En el eje X : es un MRU o sea ax = 0 En el eje Y : es un MRUV o sea ay = -gMOVIMIENTO DE LOS PROYECTILES

Tiempo de Vuelo (t) .- cuando el proyectil toca suelo (punto A) y = (v0 sen ) t - g t 2/2 Condicion : 0 = (v0 sen ) t - g t 2/2 y=0 t = 2 v0 sen /g

Alcance horizontal (e).- mxima distancia horizontal del proyectil. de la ecuacin de trayectoria y condicin: y =0 , X =e

y = X tg - g X2 / 2 (v0 cos )2 2 (v0 cos )2 tg /g = e

0 = e tg - g e2 / 2 (v0 cos )2 e = v02 Sen2 / g

3. Altura Mxima (h).- es la mxima altura que alcanza el proyectil Condicion: Vy =0 o sea la velocidad es tangecial y horizontal Vf y = v0 sen - g t remplazando t en: y = (v0 sen ) t - g t 2/2 0 = v0 sen - g t h = (v0 sen )/ (v0 sen/ g ) - g (v0 sen/ g )2/2 t = v0 sen/ g h = v02 sen/ 2g

II. MOVIMIENTO CURVILINEO CON ACELERACION VARIABLEEs un movimiento de trayectoria curvilnea, con velocidad variable

A. Vector Posicin en un instante t

Punto p : r ; tPunto p : r + r; t +tDesplazamiento : rIntervalo de tiempo : t r = rx i + ry j

r + rrrtr

V - V0 = dv = a dt

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA ACELERACIONComponentes Rectangulares.- El movimiento curvilneo resultante se obtiene por combinacin vectorial de los movimientos componentes respectivos en x, y ; donde los componentes x e y de la aceleracin estn determinadas independientemente.

Los vectores de Posicin, velocidad y aceleracin se pueden escribir en funcin a sus componentes x e y

Vector Posicin : r = x i + y j

Vector Velocidad: v = (dx/dt) i + (dy/dt) j = Vx i + Vy j

Vector Aceleracin : a = (d2x/dt2) i + (d2y/dt2) j = ax i + ay jYXiX y jVxVyVr trayectoriaVyVxaxaya hodografa

COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION

Componentes Normal y Tangencial.- Las componentes rectangularesde la aceleracin no tienen significado fsico, pero si lo tienen las Componentes tangenciales a la trayectoria y la normales a la misma.

Aceleracin Normal.- sirve para cambiar la direccin de la velocidad Aceleracin Tangencial.-Sirve para cambiar el modulo de la velocidad

La aceleracin en trayectorias curvilneas, no es tangente a latrayectoria; solamente en el movimiento rectilneo la aceleracin estangente a la trayectoriaa = aN + aT

XLa aceleracin tangencial y normal cuando r = cte

Vector posicin r de la partcula: r = xi + yj = r cosq i + r senq j Vector velocidad v :

Vector aceleracin a:

an = = v2/r aceleracin normal

at= = dv/dt aceleracin tangencial

18MOVIMIENTO CIRCULAR

Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia; con el centro de los ngulos en el origen O y coordenada de posicin S 1 radian = (360 / 2 ) = 57.3 sexagesimal S = 1 R 1 = S / R

En la figura se muestra que la partcula en un tiempo t1 gira un ngulo 1 en el tiempo t2 giro un ngulo 2

Velocidad Angular Media (w).-Se define como la relacin del desplazamiento ngulo en el tiempo t . = (2 - 1 )/ (t2 - t1) = / t

Velocidad Angular Instantnea (w).- Se define como la relacin del desplazamiento ngulo en el tiempo t , cuando t tiende a cero . = Lim / t = d / dt t 0

12Pt1Pt2Aceleracin Angular Media (a).-Se define como la variacin de la velocidad w en el intervalo de tiempo t . = (2 - 1 )/ (t2 - t1) = / t

Aceleracin Angular Instantnea (w).- Se define como la variacin de la velocidad w en el intervalo de tiempo t , cuando t tiende a cero .

= Lim / t = d / dt t 0

1Pt1Pt2aAceleracin Angular Media (a).-Se define como la variacin de la velocidad w en el intervalo de tiempo t . = (2 - 1 )/ (t2 - t1) = / t

Aceleracin Angular Instantnea (w).- Se define como la variacin de la velocidad w en el intervalo de tiempo t , cuando t tiende a cero .

= Lim / t = d / dt t 0

1Pt1Pt2aMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEEs aqul cuya velocidad angular w es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero. Asimismo la partcula se mueve en un circulo con rapidez constante, o sea cambia la direccin de su velocidad pero no su magnitud. Solo tiene aceleracin normal, la tangencial es cero.

= 0 = cte q = q0 + w tLas ecuaciones del movimiento circular uniforme son anlogas a las del movimiento rectilneo uniforme

Como = cte = 0 + t

V = velocidad tangencial r = radio del circulo = velocidad angular

Deduccin de la aceleracin normal aN con V cte(mediante derivadas en componentes rectangulares)Las componentes rectangulares del vector velocidad v son

Como v/r es constante, entonces:

ACLERACION TANGENCIAL (at )

VELOCIDAD TANGENCIAL (V)

S = r

Si es constante

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (aceleracin angular constante ).

Se puede expresar de 3 formas:

La aceleracin e funcin del tiempo : d = dt

2. La velocidad en funcin del tiempo . = d/dt d = dt remplazando

La aceleracin en funcin del ngulo

= d / dt = (dw/dt)(d/d) = w dw/d

= d/d d = d

MOVIMIENTO CIRCULAR CON ACELERACION VARIABLE (aceleracin angular variable ).

Se puede expresar de 3 formas:

La aceleracin e funcin del tiempo : = dw / dt dw = dt

2. La aceleracin en funcin de la velocidad . = dw / dt dw / = dt La aceleracin en funcin del ngulo

= dw / dt = (dw/dt)(d/d) = w dw/d

= w dw/d d = w dw

RESISTENCIA DEL AIRE ( R ) Es la fuerza de oposicin a la cada libre de los cuerpos y crece proporcional a la velocidad del cuerpo.

R = K S V2 K = coeficiente que depende de la forma de la rugosidad del cuerpo y de la densidad del aireS = Es la superficie aparente del cuerpo (rea de proyeccin del cuerpo)V = velocidad de desplazamiento del cuerpo.

VELOCIDAD LIMITE DE CAIDA EN EL AIRE (VL)

Es la velocidad vertical en la cual la resistencia del aire equilibra al peso; o sea, el peso del cuerpo (P) es igual a la resistencia del aire (R).

P = R , m g = KS V2L VL = mg / KS donde: P = peso del cuerpo R= resistencia del aire VELOCIDAD DE ESCAPE (Ve)Es la componente vertical de la velocidad inicial que debe ser dotado un cuerpo, para salir del campo gravitacional de la tierra (vencer la aceleracin de la gravedad).

Se puede calcular a partir de la energa mecnica de una partcula en un campo gravitatorio; que esta dada por la siguiente formula:

cuando:

Aqu Res la distancia de partida, queusualmente ser igual al radio del planetaVe = 11.2km/s en la superficie de la tierra

VELOCIDAD DE ORBITA (V)La velocidad de rbita circular, es posible determinar, relacionando la fuerza gravitacional, con la fuerza centrpeta.

La velocidad de rbita y lavelocidad de escape estnrelacionadas por por:

CuerpoVelocidad de escapeTierra11,2 km/sLuna2,4 km/sSol620 km/sgracias