El presente trabajo aborda un tema de gran importancia La Etapa Numrica en Grados

Intermedios. Todo docente se pregunta Cmo hacer para que un nio de los grados

medios aprenda matemtica?, naturalmente, necesita jugar, tiene energas que hay

que canalizar mediante lo ldico. Tiene necesidad de investigar, l quiere descubrir.

Por tanto el contenido, comenzar por los conceptos conjuntistas, que lo

instrumentarn para transitar en el conjunto de nmeros naturales, en el conjunto de

nmeros racionales, en el conjunto de sistemas para medir y el conjunto de puntos. Por

lo cual llamaremos etapa Numrica, entendiendo que est compuesta por distintas

subetapas las cuales son El conjunto de nmeros naturales, el conjunto de nmero

racionales y El nmero como medida de la cantidad continua. Unidades

convencionales para medir; cada uno de estas subetapas se completan parcialmente

con los conceptos que se les va ensear a los nios de este ciclo as mismo las

consideraciones didcticas para su aprendizaje - enseanza.

2.1. EL CONJUNTO DE NMEROS NATURALES

Incorporemos los conceptos como asimilamos las reglas de un juego.

Imaginemos que tenemos delante un cajita. Abrimos la caja nos

encontramos con piezas y con un papel impreso que contiene

instrucciones. Le diremos que un sistema de numeracin es un conjunto

de signos y un conjunto de reglas que norman la funcin de esos signos

y permiten la representacin de los nmeros.

Aplicando esta regle del sistema dcimo, que determina tambin que

sea posicional, encontramos que la situacin de tener un atado formado

con diez fsforos la representamos por: 10.

0: Porque no quedaron unidades simples.

1: a la izquierda de 0, porque tenemos una unidad de decena.

Si los atados equivalen a unidades de primer orden o decenas y los

fsforos sueltos, a unidades simples, ubiquemos en los lugares

correspondientes

Unidades de Decenas Unidades Simples

23

Es necesario que los nios logren diferenciar que no es lo mismo, como

idea, tener una decena que 10 unidades. No nos referimos a que son

equivalentes, queremos analizar ms profundamente. El nio tendr la

idea de que 10 son 10 fsforos sueltos y de que una decena en 1 atado

y que si es uno es una unidad; pero le haremos diferenciar que no es lo

mismo 1 fsforo que un atado.

Entendemos por algoritmo la combinacin de operaciones

fundamentales realizadas con cifras cualesquiera que dan origen a un

nuevo nmero. As, en el algoritmo de la numeracin, vemos que la

combinacin de adiciones y multiplicaciones da origen a nuevos

nmeros y que al tratarse de la numeracin decimal esta notacin

depende de la divisin repetida por 10.

Ejemplo: 843 = 8.10 (2) + 4.10 (1) + 3.10 (0)

En la numeracin romana desde el punto de vista didctico, se

desprende la necesidad de ensear el sistema de numeracin romano

como ejemplo de sistema que difiere conceptualmente de los sistemas

cuya base es 10 o un nmero mayor que 1. Para escribir numerales de

varios dgitos, se los separa en grupos de tres, llamados perodos. Un

perodo es la reunin de tres rdenes comenzando por las unidades

simples.

Trabajar la adicin de nmero naturales cuando un nio lleva a la

escuela 5 figuritas, luego gana 3, y quiere saber cuntas figuritas tiene,

rene las figuritas de los dos conjuntos y obtiene un nuevo conjunto de

8 figuritas. Las figuritas que el nio trajo de su casa y las figuritas que

gan en la escuela no tiene elementos en comn, son conjuntos

disjuntos.

La prctica de la adicin tiene que estar acompaada por el baco que

ahora tendr clavos suficientes como para que cada uno de ellos

represente los distintos rdenes. El uso de la tabla de suma de los

primeros nueve nmeros y un correcto modo de usarla determinarn

que el nio tenga facilidad para resolver la adicin.

En la adicin tambin se incorpora una mayor cantidad de resolucin de

problemas que se presentarn al nio como situaciones problemticas

que emergen da dramatizaciones, de representaciones grficas

secuenciadas donde pueda deducirse el enunciado del problema, la

operacin que interviene y la respuesta correcta que la soluciona. Las

tiras grficas incompletas son suficiente motivacin para un nio se

sienta atrado para resolver un problema.

Para atender las diferencias individuales de los alumnos, es necesario

que el docente cuente con un nmero de tarjetas donde se plantean

problemas y un cuaderno donde estn las soluciones, de modo tal que

sea el mismo nio quien busque la respuesta, la coteje con la suya y

considere si tiene o no que resolver nuevamente. En el caso de que su

respuesta sea correcta, tomar otra tarjeta y resolver tantos problemas

como su tiempo lo permita.

Las respuestas son el resultado que el nio lograr descubrir.

847 + 653= 1500 T

1890+90+3000=4980 U

2000+483+1000=3483 P

5435+2000=7435 E

8600+1084=9684 R

9600+84=9684 R

5453+5453=10906 O

El tratamiento de la sustraccin se llevar a cabo teniendo en cuenta:

Primero: Sustracciones en que cada cifra del minuendo sea mayor que

su correspondiente del sustraendo.

Segundo: Sustracciones en que alguna cifra del minuendo sea menor

que su correspondiente del sustraendo.

Tercero: Sustracciones en que el minuendo termina en ceros

El Abaco o su graficacin tienen fundamental importancia para superar

gradualmente las sustracciones que presente dificultades

En los grados inferiores hemos anunciado que el producto cartesiano

permite definir el producto en el conjunto de nmero naturales.

Realizada una multiplicacin es posible comprobar si ha sido bien

lograda invirtiendo los factores. El producto de esta segunda

multiplicacin debe ser igual al de la primera

Tenemos 12 flores que repartimos entre nios (a,b y c) de modo que

resulte cada uno con la misma cantidad de flores. Del ramo de 12

flores, sacamos una. Que damos a otra que damos a b y otra ms, que

damos a c. Resulta que cada nio tiene una flor. Quedaron 12 3=9; 9

flores porque quitando 1 vez 3 a 12.

Es conveniente que el docente, en otras clases, vuelva aponer al nio

esta tarea con otras cifras para que visualice el rol del dividendo, el rol

del divisor, cul es el cociente, cul es el resto y qu visualice el rol del

dividendo, el rol del divisor, cules el cociente, cul es el resto y qu

significan como elementos que intervienen en la accin de dividir, o sea:

en qu consiste la divisin. El algoritmo de la divisin surgir como

traduccin de cado uno de esos pasos que intervienen en la accin de

dividir y el nio comprender el porqu de la disposicin de las cifras en

dicho algoritmo.

Empleamos la divisin cuando:

- El producto de los dos factores y uno de ellos se busca el otro factor.

- Se quiere obtener un nmero 2,3,4, etc. Veces menor que otro.

- Dado el valor de varias unidades y su nmero, se busca el valor de

una.

- Variar unidades de rdenes inferiores se quieren reducir a unidades

de orden superior.

En gados superiores cuando los nmeros que se trabajan son muy

grandes, el procedimiento mostrado para buscar el divisor comn mayor

resulta muy laborioso y largo. Existe otro procedimiento que consiste en

descomponer cada uno de los nmeros dados en sus factores primos;

luego se eligen los factores comunes considerados con su menos

exponente, el producto de estos ltimos constituye el mximo comn

divisor de los nmeros dados.

El tratamiento de la divisibilidad, como estudio y anlisis de las

divisiones exactas, comienza en cuarto grado, sigue en quinto grado y

culmina en sexto grado.

En cuarto y quinto grado los nios logran conceptos como:

- Mltiplo de un nmero

- Mltiplo comn y la interpretacin de los pasos a seguir para

determinar el menor de los mltiplos comunes no nulo entre dos o

ms nmeros.

- Submltiplo o divisor o factor de un nmero que ser manejado por

el nio indistintamente.

Representar por medio de los diagramas de Venn, de rectas numricas

de tablas, de cuadros de doble entrada, las relaciones es divisor de,

es mltiplo de que se aplicarn a conjuntos de nmeros. Hacer que

los nios investiguen que clase de relaciones son las mencionadas

anteriormente. Relacionar el concepto de mltiplo de un nmero con el

concepto de mltiplo de una unidad de medida. En ambos casos,

mltiplo es el que contiene un cierto nmero de veces.

2.2. EL CONJUNTO DE NMEROS RACIONALES

Vamos a convertir que trabajaremos con ejemplos donde el minuendo

es mayor o igual que el sustraendo. Resolvemos 3/4 2/3 con el

material de fracciones que tenemos. Comparamos lo tres cuartos con

los dos tercios y observemos que cada una parte sin cubrir Qu parte?

Buscamos superponiendo en las partes de nuestro material hasta que

encontremos con cual coincide.

Para comprender de a poco el significado de la escritura decimal como

otro modo de expresar las fracciones, lleg el momento de ir a buscar

nuestro baco. Entre dos clavos le pintamos un signo: la como decimal.

Su importante funcin es la de Separar la parte entera de la fraccin

decimal propia de un nmero.

A este nio imaginario, que est con nosotros escuchndonos, pedimos

que construya su material del siguiente modo:

- Marcamos y cortamos una de las hojas por la mitad.

- Dividimos otra de las hojas en tres partes.

- Marcamos y cortamos otra en cuatro partes congruentes.

Le haremos participar de actividades para comprender las operaciones

con expresiones decimales, del modo que est planteado. Este nio

establece las relaciones entre 1 decmetro y un metro; entre 1

centmetro y el metro; expresa qu significa un cuarto kilo, que parte

son 3 bolitas en un conjunto de 12 bolitas , comprende el significado de

la expresin tres cuartos de hora; resuelve la descomposicin de un

nmero en sus distintos rdenes. Comprende la funcin de la coma y la

representacin de cada cifra, etc. Lo orientamos para que, luego de

efectuar las experiencias, el nio exprese las definiciones y las reglas

que indicamos para ordenar.

2.3. EL NMERO COMO MEDIDA DE LA CANTIDAD CONTINUA.

UNIDADES CONVENCIONALES PARA MEDIR

Al comenzar a trabajar la etapa numrica, en el primer ciclo, que para

trabajar el concepto de nmero es necesario que el nio logre seriar y

clasificar, ahora queremos destacar que la nocin de medida se asienta

en las mismas bases. Antes de medir, el nio lograra la conservacin

de las cantidades especies y reconocer la transitividad que permite

generalizar.

La conservacin de la cantidad continua por parte del nio es la

condicin que junto con la clasificacin y con la seriacin de este mismo

tipo de cantidades, permite abordar el concepto de medida. No podra

ser de otra manera, enfatizamos en la etapa numrica del primer ciclo

qu estas son condiciones para el surgimiento de la idea del nmero, y

la medida nos es ms que el nmero de la cantidad contina.

El nio trabajo la longitud y la capacidad en el primer ciclo ordenando,

clasificando y encontrando la medida con cantidades arbitrarias. En

estos grados medios, el nio trabajar con las mismas magnitudes y

adems con tiempo y peso, y har las expresiones previas al concepto

de superficie.

3.1. EL NMERO NATURAL:

Hemos introducido el nmero como la propiedad comn de los conjuntos

equipotentes. Apliquemos en este conjunto de conjunto la relacin tiene el

mismo cardinal que, o lo que es lo mismo, la relacin tiene tantos

elementos como. Ejemplo:

3.2. SEMIRRECTA NUMRICA

Es el elemento geomtrico que nos permite representar al conjunto de

nmeros, en la semirrecta, a cada nmero natural le corresponde un

punto. As cada nmero natural tiene un rostro numeral o signo, un

nombre y un lugar. Ejemplo:

3.3. ACCIN DE CONTAR

Contar los elementos de un conjunto es hacer corresponder

ordenadamente cada uno de los elementos de ese conjunto con cada uno

de los nmeros de la sucesin fundamental de nmeros naturales a parir

de 1 hasta llegar al ltimo elemento del conjunto dado.

4

3.4. SISTEMA DE NUMERACIN

Como la sucesin fundamental de nmeros naturales es infinita, se

necesitarn infinitos signos para representar los nmeros. Ante esta

dificultad, el hombre, a travs del tiempo, ide un limitado nmero de

signos o cifras para que, segn algunas reglas de combinaciones, se

pudiera representar cualquier nmero natural. En conclusin es un

conjunto de signos y reglas que permiten escribir cualquier nmero natural

se lo llama de tal manera.

3.5. ADICIN:

Cuando dos conjuntos no tiene elementos en comn, son conjuntos

disjuntos. Cuando se unen estos dos conjuntos disjuntos, se establece

simultneamente una operacin numrica que llamamos Adicin y cuyo

resultado es la suma. Estas operaciones se llevan a cabo entre los

cardinales de los conjuntos disjuntos.

Ejemplo:

AUB

+ =

3.6. SUSTRACCIN

Es la operacin por media de la cual, dados dos nmeros naturales, se

quita el menor del mayor. El nmero mayor se llama minuendo y el

nmero menor se llama sustraendo.

6 2 8

3.7. DIVISIBILIDAD

Cuando multiplicamos un nmero natural por otro nmero natural, el

resultado que se obtiene es nmero natural que tiene la propiedad de ser

Mltiplo de los nmeros dados. Esta propiedad consiste en que el nmero

llamado mltiplo contiene exactamente a otra una o varias veces.

Ejemplo:

A= {mltiplos de 3}= {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,}

3.8. NMEROS PRIMOS

En el conjunto de nmero naturales reconocen tres subconjuntos disjuntos

uno de ellos es el conjunto de los nmero Primos (que son divisibles por s

mismos y por la unidad); otro es el conjunto de nmeros Compuestos

(tienen ms de dos divisores) y el tercero es el conjunto unitario, al cual

pertenece el 1.

3.9. FACTORIZACIN

Todo nmero compuesto puede expresarse como producto de factores

primos. A este proceso lo llamamos Factorizacin.

Ejemplo

Sea el nmero 100. Se observa que 100 es divisible por 2

Entonces, 100=2x50

A su vez 50=2x25 entonces 100 = 2x2x25

3.10. FRACCIN

Es un par ordenado de nmeros enteros

cuya segunda componente es distinta de

cero.

Ejemplo: (3; 4) su nombre es tres de

cuatro y lo expresamos as .

Encontramos dos tipos de fracciones las

fracciones propias: tienen el numerador

menor que el denominador, y su valor es

menor que la unidad e impropias: tienen el numerador mayor que el

denominador y el valor de cada fraccin es mayor que la unidad.

3.11. ESCRITURA DECIMAL

Hemos trabajado con las fracciones decimales y tambin conocemos los

nmeros enteros. El nmero mixto formado por un entero y una fraccin

decimal propia puede ser expresado mediante la escritura que llamamos

decimal.

Ejemplo: Parte entera 4 1/10 parte no entera

Es de gran importancia que el docente ponga en prctica cada una de

las consideraciones didctico matemticas que plantea Irma Pardo en su

libro, pues estos ayudan al mejor aprendizaje de los estudiantes y a una

buena enseanza por parte del docente. Esto permitir que el nio de

manera prctica pueda entender y comprender cada uno de estos

conceptos matemticos que se dan en estos grados que se encuentran.

Debemos dedicar tiempo al tratamiento de la teora conjuntista ser, en

cada grado, suficientemente amplio como para lograr el objetivo de su

enseanza. La importancia del desarrollo de este tema reside en que la

instrumentacin bsica, es el lenguaje unificador necesario para la

introduccin de los conceptos matemticos que se dan en esta etapa

Prenumrica de los grados intermedios.

Para la enseanza de los conceptos matemticos en esta Etapa

numrica se deber seguir un orden para que el nio a partir de un

concepto elabora, aprenda y conozca el concepto que continua ya que

cada uno de ellos se relacionen permitiendo as un aprendizaje

adecuando, siempre el docente deber tener en cuenta que cada uno de

los conceptos matemticos ser enseado con las consideraciones

didcticas eso permitir el aprendizaje enseanza de los nios

teniendo como prioridad un enfoque pedaggico didctico.

Pardo de de Sande, I.N. (1995). Didctica de la matemtica para la

escuela primaria. (4ta. Edic.). Buenos Aires: Editorial el Ateneo.