Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de Matematica

Certamen 1 Mate 4 - Pauta20 de abril, 2015

1. Calcule :

R

x[y+1]y[x+1] dA siendo R el triangulo de vertices (0, 0), (2, 0) y (0, 2) .

solucion:

Sean R1 el cuadrado [0, 1] [0, 1] ; R2 el triangulo con vertices en (0,1), (0,2) y en (1,1) yR3 el triangulo con vertices en (1,0), (2,0) y en (1,1) .

La integral sobre R1 queda:

R1

x[y+1]y[x+1] dA =

10

10

xy dy dx =

10

x dx

10

y dy

= 14

La integral sobre R2 queda:

R2

x[y+1]y[x+1] dA =

10

2x1

x2y dy dx =

10

x2(2 x)2

2dx =

4

15

La integral sobre R3 es igual a la integral sobre R2 . En efecto

R3

x[y+1]y[x+1] dA =

10

2y0

xy2 dx dy =4

15

Luego: R

x[y+1]y[x+1] dA =1

4+

4

15+ +

4

15=

47

60

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2. Calcule :

Q

z

xy(x2 + y2)dV , siendo

Q =

{(x, y, z) R3 : x > 0, y > 0, 0 < z < 1, 1

x2+

1

y2< 1

}

solucion:

Hacer el cambio u =1

x, v =

1

yy w = z .

El jacobiano de este cambio es J1(x, y, z) =1

x2y2. Sea Q = 1(Q) .

Q = { (u, v, w) R3 / u > 0 , v > 0 , 0 < w < 1 , u2 + v2 < 1 }La integral queda

Q

z

xy(x2 + y2)dV =

Q

uvw

(x2y2

x2y2(u2 + v2)

)du dv dw

=

Q

uvw

u2 + v2du dv dw

Pasando a coordenadas cilndricas queda:

=

pi/20

10

10

r2 cos() sen()

r2w r dw dr d

=

pi/20

sen() cos() d

10

r dr

10

w dw

=

(1

2

)(1

2

)(1

2

)=

1

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3. Un triangulo isosceles T tiene base 2r y altura h. La base del triangulo coincide con el diametrode un semidisco D, de radio r , como se ve en la figura. Determinar la relacion entre r y h paraque el centroide de T D se encuentre en el interior de T .

solucion:

Primero ubicar el origen en el centro de la semicircunferencia, de modo que el segmento de rectaque queda ubicado en el primer cuadrante es x+ y = 2 y la semicircunferencia corresponde ala grafica de la funcion y = r2 x2 .

Por otra parte debido a la simetria de la region x = 0 . Luego basta calcular la coordenada ydel centroide.

y =

Ry dA

RdA

La integral en el denominador calcula el area de la region, la cual es conocida, pues se trata delarea de un triangulo y una semicircunferencia.

R

dA =pir2

2+

(2r)h

2

Sea R1 la region interior al triangulo y R2 la region interior a la semicircunferencia. Se tiene

R1

y dA = 2

r0

hr(xr)0

y dy dx =

r0

h2

r2(x r)2 dx = h

2r

3

R2

y dA = 2

r0

0r2x2

y dy dx =

r0

(x2 r2) dx = 2r3

3

MAT024 3

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Luego se debe tener

y > 0 h2r3 2r3

3pir2

2+ 2rh

2

> 0 2(h2 2r2)

3(pir + 2h)> 0 h >

2 r

4. Sea una curva suave en R3 parametrizada por longitud de arco r (s) , y sea (s) la torsion.Se define la curva

: (s) =s

0

B (u) du

a) Pruebe que (s) es una parametrizacion por longitud de arco de .b) Pruebe: k(s) = (s) .

c) Pruebe: (s) = k(s) .

solucion:

Observar previamente que

(s) = B(s) (s) = B(s) = (s) N(s) (s) = (s)N(s) (s)N(s)

a) (s) = B(s) = 1 , pues B(s), corresponde al vector binormal de la curva .b) Curvatura de .

(s) (s) = B(s) B(s) = B(s) ((s) N(s))

= (s)(B(s) N(s)) = (s) T(s)

Por lo tanto la curvatura en

k(s) = (s) (s) (s)3 =

(s) T(s)1

= (s)

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c) Torsion en .

(s) (s) (s) = (s) T(s) ( (s)N(s) (s)N(s))

= ((s) (s))T(s) N(s) 2(s)T(s) N(s)

= 2(s) T(s) (k(s)T(s) + (s)B(s)) = k(s) 2(s)

Luego la torsion en queda

(s) = (s) (s) (s) (s) (s)2 =

k(s)2(s)

2(s)= k(s)

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