teoria5 calculo en varias variables

NOTAS DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO III

Marta Lagarrigue

( 2013)

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Universidad Nacional de Tucumán

Marta Lagarrigue Cálculo III ii

Notas de Cálculo en Varias Variables Estas son las notas de clases del curso de Cálculo en varias variables (Cálculo III) para los alumnos de todas las carreras de Ingeniería que se dictan en la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la Universidad Nacional de Tucumán. Los objetivos del curso son el conocimiento y manejo de las aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral en varias variables, de funciones reales y funciones vectoriales, con fundamentos teóricos de Análisis Matemático; para interpretar el comportamiento del mundo real con la simbología y procedimientos del Cálculo. En estas notas se desarrollan los conceptos básicos de: Continuidad y diferenciabilidad de funciones reales de varias variables y de campos vectoriales, extremos relativos, integrales múltiples, integrales curvilíneas de funciones reales y de campos vectoriales e integrales de superficie de funciones reales y de campos vectoriales. Los ejercicios y problemas que corresponden a estos contenidos, se proponen en la cartilla de trabajos prácticos para los alumnos, en las clases prácticas. La duración del curso es de un cuatrimestre, en el segundo año del plan de estudios de todas las carreras de ingeniería y se presupone que los alumnos conocen y manejan el cálculo diferencial e integral en una variable y los conceptos de geometría y de álgebra lineal de cursos previos.

Marta Lagarrigue. San Miguel de Tucumán, Julio de 2013

Marta Lagarrigue Cálculo III iii

CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

CONTENIDO Cálculo diferencial. Relaciones. Funciones. Conceptos topológicos...................... 1 Funciones continuas................................................................ 6 Límite. .................................................................................... 11 Curva. Recta tangente. ........................................................... 15 Derivadas parciales. Derivada direccional. ........................... 16 Funciones diferenciables. ...................................................... 23 Teorema del Valor Medio del Cálculo diferencial. ............... 35 Funciones compuestas. .......................................................... 37 Diferenciales de orden superior. Desarrollo de Taylor. ......... 41 Funciones inversas. Funciones implícitas. ............................. 43 Extremos relativos. Extremos absolutos. ............................... 49 Cálculo integral Integrales múltiples. ............................................................... 57 Teorema del Valor Medio del Cálculo integral. ..................... 63 Integrales paramétricas. ........................................................... 65 Cálculo de integrales múltiples mediante integrales simples... 67 Cambio de variables en integrales múltiples. .......................... 70 Integrales curvilíneas. Longitud de arco de curva. .................. 75 Integral curvilínea de una función real. ................................... 77 Integral curvilínea de un campo vectorial. ............................. 78 Teorema de Gauss-Green en el plano. .................................... 81 Superficie regular. Área de superficie regular. ....................... 91 Integrales de superficie de funciones reales. .......................... 94 Integrales de superficie de campos vectoriales. ....................... 95 Teorema de Gauss-Ostrogradski. (de la divergencia). ............. 97 Teorema de Stokes. (del rotor).................................................. 100

Bibliografía

1. Amázigo-Rubenfeld: Cálculo avanzado con aplicaciones a la Ingeniería y la Física.- Ed. Mc.Graw-Hill. 1980. 2. Williamson-Crowell-Trotter: Cálculo de Funciones Vectoriales.- Ed. Prentice Hall Internacional. 1973. Marta Lagarrigue, Julio de 2013.

MartaLagarrigue 1 Cálculo III

CÁLCULO III

RELACIONES:

Definición: Sean A y B conjuntos . Una relación RR de A en B es un subconjunto del producto cartesiano AB.

RR relación de A en B RR AB Sean a A , b B . Decimos que a está relacionado con b si y sólo si (a,b) RR , y escribimos : a RR b (a,b) RR .

Ejemplo 1: Sean a, b R : b > a

A = [a,b] = { x R | a x b } ; B = [0,1] ; RR = { (x,y)AB | 0 y 21

} .

y 1- a b x

Ejemplo 2: A = [a,b] ; B = [0,1] ; RR = { (x,y) AB | x = 2

ba } .

y a xo b x xo =

2ba

Definición :

Se llama dominio de RR al conjunto Dom(RR) = { x A | B y ),( yx RR } .

Se llama rango de RR al conjunto Rang(RR) = { y B | A x ),( yx RR } .

En el Ejemplo 1 Dom(RR) = [a,b] y Rang(RR) = [,21

] .

En el Ejemplo 2 Dom(RR) = {xo} y Rang(RR) = [,1]


FUNCIÓN :

Definición: Una función f de A en B es una relación f AB tal que :

1) Dom( f ) = A .

2) (x, y1) (x, y2) f y1 = y2

Esto dice: f AB función de A en B B !A yx : (x, y)f .

Si f es función de A en B y (x, y)f , como para cada x de A existe un único y de B, llamamos a y el transformado de x , o el valor de f en x , y escribimos y = f (x). Entonces: f AB función de A en B B ! A yx : y = f (x) .

La notación para funciones es la siguiente: f : A B x y = f (x) .

Observación: Si dos funciones tienen distinto dominio son distintas, aún cuando los transformados tengan la misma forma. Ejemplo: f : R R g : N R . ¡ Dibujar! x f (x) = x + 1 x g (x) = x + 1

Las funciones que vamos a estudiar en este curso serán del tipo f : Rn R y también f : Rn Rm . El conjunto Rn es Rn = RR ... R = {(x1,x2,...,xn)| in x1,2,...1, i R }.

A cada elemento de Rn le llamamos un punto de Rn y es una n-upla de números reales que denotamos x = (x1,x2,...,xn). Los números reales xi se llaman las coordenadas del punto x de Rn . En particular para los elementos de R2 y de R3 vamos a usar la notación clásica .

Así R2 = {(x,y) | x R , y R } y R3 = {(x,y,z) | x R , y R , z R } .

DISTANCIA EN Rn

La distancia usual entre puntos de Rn se define así: d (x,y) = [ n

ii yx1

2)( ] 2

1

Así la distancia en Rn es una función d : Rn Rn R . (x,y) d (x,y) El par (Rn, d ) formado por el conjunto Rn y la función d se llama espacio euclidiano de dimensión n . En = (Rn, d ). El espacio euclidiano de dimensión 1, E1, es la recta real con la distancia usual. d (x,y) = |x – y| .

Existe un único


. Po

0 .

El espacio euclidiano de dimensión 2 es el plano real con la distancia usual. d (P1,P2) = 2

212

21 )()( yyxx , donde P1 = (x1, y1) , P2 = (x2, y2) R2 .

CONCEPTOS TOPOLÓGICOS.

Sea Po Rn y sea R , > 0 .

Definición de Bola

Se llama bola de centro Po y radio , al subconjunto de Rn definido así: } P(P, | {P )oP( )o

nB dR .

En el espacio E1 (la recta real), una bola es un intervalo abierto. En efecto:

Si xo R , entonces:

B (xo) = {x R | |x-xo| < } = { x R | xoxxo} = (xoxo

( ) 0 - xo x

En E2 , el plano real, una bola es un círculo sin la circunferencia. Po = (xo,yo) R2, )oP(B = {(x,y) R2 | 2

o2

o )()( yyxx < }. y x

Definición de Conjunto Abierto

Sea A Rn . A es un cjto abierto si para todo pto. P de A existe una bola con centro en P, contenida en A.. A Rn es abierto en Rn A )P( : 0 B ε A P

Ejemplos: y A R2 y B R2 1. El cjto Rn es abierto. 2. Una bola en Rn es un cjto abierto. 3. A = {(x,y) R2 | |x| < 1 , |y| < 1 }. 4. B = {(x,y) R2 | |x| + |y| < 1 }. 1 x x

A y B son cjtos abiertos en R2.


y 5. C = {(x,y) R2 | |x| 2 , |y| <1 }.

P C no es abierto, C P tal que toda -2 0 2 x Bola con centro en P contiene ptos que no pertenecen a C.

Definición de Punto interior.

Sea A Rn y P A . P es pto interior del cjto A , si existe una bola con centro en P, contenida en A. P punto interior de A A)P( : 0 B ε

P P es pto interior de A. Q Q no es pto interior de A .

El conjunto de ptos interiores de A se llama el interior de A y se denota oA .

oA es un cjto abierto. De la definición de cjto abierto y de la de interior de un cjto, se sigue que un cjto es abierto si y sólo si coincide con su interior. Definición de Conjunto cerrado. Sea A Rn . A es cerrado cA es un cjto abierto.

cA se llama el complemento de A .Es el cjto de ptos de Rn que no pertenecen a A . cA = { P Rn | P A }.

Ejemplos : 1. El cjto y Rn son cjtos cerrados.

2. A = {(x,y) R2 | |x| a , |y| b } a, b R y A es un cjto cerrado en R2 porque cA es abierto. b cA = {(x,y) R2 | |x| > a , |y| > b } x a


Definición deFrontera :

Sea A Rn.

P Rn es un punto frontera de A ε > 0 )P(B cA )P(B A

Esto es: P es pto frontera de A sii toda bola con centro en P tiene ptos de A y ptos de cA. La frontera de A es el cjto de los ptos frontera de A y se denota Front(A) o también con el símbolo A. P es pto frontera de A. P La frontera de A es el borde. Se puede probar que un conjunto es cerrado sii contiene a su frontera.

Proposición: A cerrado AA .

Definición de Entorno de un punto: Sea PRn y N Rn.

Decimos que N es entorno del pto P, si N contiene una bola con centro P.

N entorno de P )P(B : )P(B N .

Observar que un cjto abierto es entorno de cada uno de sus ptos. Toda bola con centro P es entorno de P; pero no todo entorno de P es una bola. Definición de pto de acumulación:

Sea A Rn y PRn . P es pto de acumulación de A si y sólo si toda bola con centro P tiene ptos de A, distintos de P. Llamamos bola reducida a P)(B*

= )P(B {P} . Entonces :

P es p,ac de A 0 P)(B* A .

Un pto de acumulación de A puede o no, pertenecer a A.

Ejemplo en E2: B A = B{Q}

Q. .P P es pto de acumulación y P A R es pto de acumulación y R A R . Q no es pto de acumulación y Q A


FUNCIONES CONTINUAS.

I) Consideremos primero, el caso de funciones reales de una variable.

Sea f : A R , AR y xoA. x f (x)

Del curso de A.M.I. sabemos que ,por definición, f es continua en xo si

0 ( R) , 0 tal que: si xA y |x-xo| entonces | f (x) f (x0)| . y f(xo) + f(xo) f(x)

f(xo) - xoxo x xo+x

Observemos que: xA y |x-xo| , significa que x ( B (xo)A). y | f(x) f(x0)| significa que f(x) B( f(xo)) . Por lo tanto, podemos definir continuidad en un pto así:

Definición:

Sea f : A R , AR y xoA. x f (x)

f es continua en xo x( : 0,0, RR ( B (xo)A) f(x) B( f(xo)) ) .

Esto dice que una función f : A R es ctinua en xoAR si para todo intervalo abierto de centro f(xo)existe un intervalo abierto de centro xocuya imagen está contenida en el de centro f(xo). II) Nos interesa, ahora, definir continuidad para funciones de dos variables.

Sea f : D R , D R2 y PoD. P f (P)

Por definición, f es continua en Po si para todo nº real positivo existe una nº real positivo tal que para cada P ( B (Po)D) se cumple f (P) B( f(Po)) . En símbolos:

f es continua en Po P ( :0,0, RR ( B (Po)D) f(P) B( f(Po)) )


z f(Po) f(Po f(P) f f(Po) Qo .. Q y x Po

.. P D La función f del dibujo es continua en Po . Para cada intervalo real ( f(Po)-f(Po)+) se puede determinar un círculo de centro Po y radio de modo que si un punto P pertenece al círculo, su imagen f(P) pertenece al intervalo ( f(Po)-f(Po)+) . Definición:

f es continua sii es continua en cada punto de su dominio

Antes de dar un ejemplo de función continua, observemos lo siguiente:

Sea A = {(x,y) R2 | |y| || x }. A es el cjto de ptos del plano que pertenecen al cuadrado del dibujo: y

2

x

2

B (0,0) A. En efecto:

(x,y)

2

B (0,0) x2 y2 < 4

2

2

2

|y|

|x| |y| || x (x,y)A.

Esto dice que si un pto pertenece a la bola de centro en el origen y radio2

entonces

pertenece al cuadrado A, como se ve en dibujo.


En el caso en que A = {(x,y) R2 | |y-y| ||oo

x-x }, entonces 2

B (xo,yo) A

y Po . (x,y)

2

B (xo,yo) |y-y| ||oo

x-x

x Veamos ahora, un ejemplo que muestra cómo probar que una función es continua en un punto. Ejemplo1:

Probar que la función f es continua en el origen f : R2 R

(x,y) f (x,y) =

(0,0) y)(x, si

(0,0) y)(x, si

0

|y||x|

xy2x

Sea 0 . Debemos encontrar >0 tal que (x,y)B(0,0) | f(x,y) |< .

Si (x,y) (0,0), miremos | f(x,y) |.

| f(x,y) |= ||y||x|

xy2x

| ||

||.||

||

2

x

yx

x

x |x| + |y| . (1) y

Sabemos que los ptos (x,y) que verifican |x| + |y| están en el cuadrado x

Entonces basta elegir 2

para que: (x,y) B0,0)

|x| + |y|

Teniendo en cuenta (1), afirmamos:

(x,y) B0,0) , ( x 0) | f(x,y) | |x| + |y| .

(x,y) B0,0) , ( x=0) | f(x,y) |= |

Hemos probado 2

0 : (x,y) B0,0) | f(x,y) | .

Esto dice que f es continua en (0,0) , como queríamos probar. Veamos otro ejemplo.

si 0x


Ejemplo2: Probar que la función f : R2 R es continua. ),(),( yxfyx x2 + y2

Tenemos que probar que Po R2 f es continua en Po . Supongamos primero que Po = (0,0). Sea | f(x,y) – f(0,0)| = | x2 + y2 – 0 | = x2 + y2 .

Si elegimos tenemos: (x,y) B0,0) | f(x,y) |= x2 + y2

Por lo tanto f es continua en el origen.

Supongamos ahora, Po = (xo, yo) (0,0) .

Sea | f(x,y) – f(xo,yo)| = | x2 + y2 – (xo

2 + yo2) | | x2 – xo

2| + | y2 – yo2| (*)

Queremos determinar el radio de una bola de centro Po , Bxo,yo) , de manera que para los puntos (x,y) Bxo,yo) sea | x2 – xo

2| + | y2 – yo2| < .

Miremos ptos P tales que |x-xo|<1 |y-yo|<1 | x2 – xo

2| = | x2 – 2 xxo + xo

2 + 2 xxo – 2 xo

2 | | x – xo|2 + 2 |xo| | x – xo| (1+ 2| xo|). | x – xo|

| x2 – xo2| + | y2 – yo

2| (1+ 2| xo|). | x – xo| + (1+ 2| yo|).| y – yo| K ( | x – xo| + | y – yo| ) . (**)

Donde K = máx.{ (1+ 2| xo|), (1+ 2| yo|) }.

Si elegimos mín {1,K2 }(x,y) Bxo,yo) | x – xo| + | y – yo| <

K

entonces de (*) y (**) concluimos:

(x,y) Bxo,yo) | f(x,y) – f(xo,yo)| < KK . Y esto dice f ctinua en Po .

I II)_Consideremos funciones vectoriales. Sea f : DRn Rm PDRn P =(x1, x2,..., xn) y i =1,2,..., m. fi : DRnR )( P)(P P)(P),...,(

2P),(

1 mffff P)(P if

Las fciones fi se llaman fciones coordenadas. La fción f transforma ptos de Rn (que podemos identificar con vectores de Rn) en vectores de Rm. Para este tipo de fciones interesa representar, cuando es posible, la imagen del dominio. f(D) = { f(P) Rm | PD } Ejemplo3: f : R R2 los valores de f son ptos de R2 cuyas coordenadas t f(t) = (t+1, t) son fciones de la variable t .

(1)

ttyttx

)(1)( t R. f (R) = { (x,y)R2 | x-y =1 } .

x– y =1

|x-xo|<1


La representación gráfica de f (R) , es una recta en R2. y Las ecuaciones (1) se llaman las ecuaciones paramétricas de la recta. La ecuación vectorial de la recta es: (x, y ) = (1,0) + t (1,1) t R (1,0) x Ejemplo 4: f : R2 t f(t) = (cos t, sen t) x = cos t y y = sen t f(0)= (1,0) x2+y2 = 1 . f () = {(x,y)R2 | x2+y2 = 1} x La gráfica de f () es una circunferencia.

Ejemplo5:

f : R2 R3 (u,v) f(u,v) = (u+v, u-v, 1-u ) z

uzvuyvux

1 f (R2) = {(x,y,z,)R3 | x + y +2 z = 2 } . (0,0,1)

La gráfica de f (R2) es un plano que pasa por el pto (0,0,1) y tiene y normal n= (1,1,2) n La ecuación vectorial del plano es (1,1,2).(x, y, z-1) = 0 x

Ejemplo 6:

f : D R3 D = (u,v) f(u,v) = (cos u, sen u, v )

f (D) = {(x,y,z,)R3 | x2 + y2 = 1 , -1 z 1} . La gráfica de f (D) es una porción de cilindro. z z y x Definición: Sea f : DRn Rm PDRn P =(x1, x2,..., xn) y i =1,2,..., m. fi : DRnR )( P)(P P)(P),...,(

2P),(

1 mffff P)(P if

f es continua en PoDRn P ( : 00 ( B (Po)D) f(P)B( f(Po)) )

Se puede probar que f es continua en Po si y sólo si cada una de las funciones coorde nadas fi es continua en Po .


LÍMITE.

Sean f : D R , D R2 , Po D’. (D’conjunto de puntos de acumulación de D) P f (P) y sea L R.

Puede ocurrir que Po. D . Aún cdo la fción f no esté definida en Po, como Po es pto de acumulación del dominio, tiene sentido averiguar qué pasa con los valores f (P) para ptos P del dominio de f , '' próximos a Po'' , esto es, pertenecientes a una bola de centro Po y radio tan pequeño como se quiera. Si para estos ptos los valores de la fción son próximos al número real L, decimos que el límite de f (P) cuando P tiende a Po es L y escribimos lím f (P) = L. P Po Definición: lím f (P) = L P00 ( : (B

(Po)D) f(P) B(L) ) P Po Si f : DRn Rm , PoD’Rn , y L = (L1 , L2,..., L m ) Rm )( P)(P P)(P),...,(

2P),(

1 mffff vale la misma definición y se puede probar que lím f (P) = L sii i =1,...,m lím fi (P) = Li P Po P Po

Ejemplo: f : R R3

t (2

2,

2,

2ttt ) .

lím f(t) = ( lím 2t

, lím 2t

, lím 2

2t ) = (1, 1, 2)

t 2 t 2 t 2 t 2 De las definiciones de límite y continuidad en un pto, se sigue que si Po es un pto de acumulación de D que pertenece a D entonces vale la siguiente proposición: Proposición: f : D R , D R2 , Po D’D. P f (P) f es continua en Po lím f (P) = f (Po) P Po


Observación: Si Po no es pto de acumulación de un cjto se llama pto aislado. Si Po pertenece al dominio D de f y es un pto aislado de D, entonces f es continua en Po. Por lo tanto: Toda función es continua en un pto aislado de su dominio, aún cuando no tenga sentido el concepto de límite ya que Po no es pto de acumulación . Veamos un ejemplo de límite. Ejemplo 1: Sea f : D R , D =R2 {(0,0)}

(x,y) f (x,y) = 22

2

yx

y x

sen .

(0,0)D , luego f no puede ser continua en (0,0); pero (0,0) es pto de acumulación de D. Entonces veamos qué pasa con f (x,y) cuando (x,y) está en D y tiende a (0,0) . Límites repetidos Miremos puntos tales que 0y ; 0x y

22

2

0yyx

yx

senlím = 2

2

x

0.x = 0 . x

Nos aproximamos ahora al origen a lo largo del eje x. y

0x

lím

22

2

0yyx

yx

senlím=

0x lím 0 = 0 . x

Ahora vamos a aproximarnos al origen, calculando 0y

lím ( y)(x, 0x flím ).

0y

lím

22

2

0xyx

yx

senlím= 0y

lím2y0

y0.

sen = 0y lím 0 = 0 .

x

Los límites: 0

x xlím ( y)(x,

0yy flím

) y 0

yylím ( y)(x,

0xx flím

) se llaman “límites

repetidos”. En este ejemplo, ambos límites repetidos son iguales a cero. Esto dice que si existe límite L (también llamado límite doble) éste debe ser igual a cero.


Limites radiales: Vamos a aproximarnos al origen siguiendo otro camino. Miramos ptos próximos al origen, pertenecientes a una recta que pase por el origen y = mx . y

22

2

0xxx

xx m

msenlím

=

)21(2

2

0xx

xx m

msenlím

= 0 . x

Para cada m los límites : 0

x xlím f(x,mx) se llaman límites radiales.

En este ejemplo vemos que existen los límites repetidos y los límites radiales y todos son iguales a cero. Por lo tanto, si existe el límite doble, éste debe ser igual a cero. Probaremos que, en efecto, el límite doble L existe y vale cero. Sea 0. y (x,y) (0,0)

| f (x,y) – L | = | 22

2

yx

yx

sen | 2

|y| 2

x

x = |y| |x| + |y| .

Si elegimos 2

, (x,y) B0,0) ,( x 0) | f(x,y) | |x| + |y| .

(x,y) B0,0) ,( x=0) | f(x,y) |= |

Hemos probado 2

0 : (x,y) B0,0) | f(x,y) | .

Esto dice que y)(x,(0,0)y)(x,

flím

= 0 , como queríamos probar.

En el siguiente ejemplo veremos una función que no tiene límite en el origen. Ejemplo 2: Sea f : R2 R ,

(x,y) f (x,y) =

(0,0)y)(x, 0

(0,0)y)(x, yx

yx 22

si

si

Los límites repetidos existen y ambos son iguales a cero . Nos aproximemos al origen a lo largo de la recta y = x . Esto es, miremos el límite

radial x)(x,

0xflím

21

xx

x 22

2

0x

lím .

Como los límites repetidos son 0 y un límite radial es distinto de 0, no puede existir el límite doble.

¡Evidente!

En ptos próximos a (0,0), el valor de f(x,y) tiende a valores distintos según el camino que sigamos para aproximarnos al origen.


Por lo tanto f(x,y) no tiene límite cuando (x,y) tiende a (0,0). En consecuencia la función f no puede ser continua en el origen.

PROPIEDADES:

Proposición.

Sean: f : DRn R , g: D Rn R , PoD’ y L, MR tales que

LflímPP

(P)o

y MglímPP

(P)o

. Entonces valen : a) , b) y c).

a) MLgflímPP

(P)(P)o

.

b) MLgflímPP

(P)(P)o

.

c) ( M 0 P D g(P) 0 ) ML

gflím

PP (P)

(P)o

.

La demostración de la proposición , se deja como ejercicio.

Para las funciones continuas valen las mismas propiedades:

a) La suma de funciones continuas es una función continua.

b) El producto de funciones continuas es una función continua.

c) Si la fción del denominador no se anula en ningún pto, el cociente de fciones continuas es una función continua.

Cuando los sumandos tienen límite, el límite de la suma es la suma de los límites.

Cuando los factores tienen límite, el límite del producto es el producto de los límites.


DERIVADA .

CURVA. RECTA TANGENTE A UNA CURVA. Definición

Sea f : [a,b]Rn continua. Se llama curva C en Rn al subconjunto f ([a,b]) de Rn , t (x1(t),…,xn(t)) imagen por f de [a,b].

La función continua f se llama una parametrización de la curva C. Ejemplo: f : R2 y g: R2 t f(t) = (cos t, sen t) t g(t) = ( t, 21 t )

son dos parametrizaciones distintas de una curva C en el plano. y C

x = cos t f () = {(x,y)R2 | x2+y2 = 1 , y > 0} = C y = sen t f x

x2+ y2 = 1

0 x = t g () = {(x,y)R2 | x2+y2 = 1 , y > 0} y C y = 21 t g

x2+ y2 = 1 | x -1 1 Las parametrizaciones f y g describen la misma curva; pero al crecer el parámetro la recorren en distinto sentido. Después veremos que estas parametrizaciones no son equivalentes. Definición

Sea f : [a,b]Rn y to (a,b) . Se llama derivada de f en to al siguiente t (x1(t),…,xn(t))

límite, cuando existe. Y se denota f ’(to). 0hlím

htfhtf oo )()(

= f ’(to). Si h = t –

to también podemos escribir,cuando existe el límite:

f ’(to) = ott

lím

o

ott

tftf )()(

.


Por propiedades del límite se puede probar que f ’(to) = )(),...,(),( 21 onoo txtxtx .

En efecto. f ’(to) = ott

lím

o

ott

tftf )()( =

ottlím

o

tnttnt

ttxxxx

oo

),...(),...( )()()()(

11

=

otttntn

hott

tth

ooxxlímxxlím )()(

0)(1)(1

0 ,..., = )(),...,(),( 21 onoo txtxtx .

Si t(a,b) existe f ’(t) , la función

f ’ : (a,b)R2 tal que f ’(t) = )(),...,(),( 21 txtxtx n . se llama la derivada de f y se

denota f ’ o también tdfd .

Ejemplo : f : [a,b]R2 f’ : (a,b)R2 . t (t2, t3) t (2 t, 3t2 )

Interpretación geométrica

recta tangente Sea f : [a,b]R2 continua y f ‘(to). y P . f ’(t o) f(to+h) to to+h f (to) | | | 0 a b x

En el límite, el sentido del vector h

tfhtf oo )()( no depende del signo de h. ¿Por qué?

Si f ’(to) (0,0) se llama un vector tangente . La ecuación de la recta tangente a la curva C = f ([a,b]) en f (to) es : P = f (to) + f ’(to) . Donde R y P = (x,y) R2 es un pto genérico de la recta tangente a C en f (to).

Si f es una función continua de [a,b] en R3 , las coordenadas de P son (x,y,z). Y si se trata de una curva en Rn , las coordenadas del pto genérico de la recta tangente son(x1,...,xn).

Ejemplo: Determinar la recta tangente a la la curva f (t) = (t 2, t 3) en el pto (1,1). t2 = 1 t3 = 1 . Entonces to = 1. f ´(1) =(2,3) y la ecuación de la recta tangente a la curva

en (1,1) es: (x,y) = (1,1) + 2,3R ¿Cuál es la pendiente de esta recta en R2 ?


DERIVADAS PARCIALES :

Sea f : AR con AR2 y Po=(xo,yo) oA .

Vamos a definir el concepto de derivada parcial con respecto a x.

Como Po es pto interior del dominio, existe una bola B(Po)A.

Sea entonces P = (xo+h,yo)B(Po)A y h 0

Formemos el cociente h

fhf )y,x()y,(x oooo .

Definición:

Si existe el siguiente límite se llama derivada parcial de f con respecto a x en Po . y se denota fx(Po).

fx(Po) def

0hlím

hfhf )y,x()y,(x oooo .

Otras notaciones son: )(Px

of ,

oP xf , z x (Po) , D1 f (Po) ,

)y,(xx

oof .

De igual manera se define la derivada parcial con respecto a y. Sea k 0

fy(Po) def

0klím

kfkf )y,x()y,(x oooo .

Ejemplo: Calcular fx(Po) si f : R2 R . (x,y) 22 y x

0hlím

hfhf )y,x()y,(x oooo

= 0hlím

hh 2

o2o

2o

2o yxy)x(

= 0hlím

hhh 2

o2x = 2 xo .

f x (xo,yo) = 2 xo . Observemos que si en la función f tal que f (x,y) = x2 + y2 , consideramos y = yo constante y derivamos como si fuera función de la única variable x:

(x) = f (x,yo) = x2 + 2oy , obtenemos ’(xo) = f x (xo,yo) = 2 xo .


Interpretación geométrica:

Sea f : DR2R Po=(xo,yo) oD . Supongamos que existe f x(Po) y que la gráfica

(x,y) z = f (x,y) de f sea una superficie de ecuación z = f (x,y). z Llamemos C a la curva intersección de la C superficie con el plano de ecuación y = yo y Qo al punto de coordenadas (xo, yo, f (Po)) Qo . yo y D . x Po

C

)(

oyyfz x,y

La ecuación de la curva C en el plano de ecuación y = yo es z = f (x, yo) = (x). Como hemos supuesto que existe f x(Po), de acuerdo a la definición tenemos:

f x(Po) = 0hlím

hyxfyhxf ),(),( oooo

= 0hlím

hxhx )()( oo

= ´(xo) = tg

Hemos probado que f x(Po) es la pendiente de la recta tangente a la curva C en Qo , es decir la tangente trigonométrica del ángulo que forma esa recta tangente con la dirección positiva del eje x . z Qo . C* y xo Po

x

De igual manera se prueba que f y(Po) =tg

donde es el ángulo que forma la recta

tangente a la curva C* en Qo , con la dirección

positiva del eje y .

La demostración se deja como ejercicio.


En general, si f : RnR Po = ( on

o xx ,...,1 ) (x1,...,xn) f (x1,...,xn)

)(

i

ox

Pf = 0ih

lími

on

oi

ooni

oi

o

hxxxfxhxxf ) ,..., ,...,( ) ,..., ,...,( 11

.

Del curso de Análisis Matemático I sabemos que si una función real de una variable es derivable en xo, entonces la función es continua en xo. Esto es: la existencia de derivada en un punto asegura la continuidad en ese punto. En el siguiente ejemplo veremos que para funciones de varias variables, la existencia de las derivadas parciales en un punto no es condición suficiente para la continuidad en el punto. Ejemplo: f : R2R

(x, y)

0 si 0

0 si

y

yyx

f no es continua en el origen; pero existen las derivadas parciales en (0,0) y ambas valen 0.

En efecto, mmx

xxxlímmxxflím 1

00 ),(

. Esto dice que a pesar de existir los

límites radiales , son distintos, luego la función no puede ser continua el origen.

0000

)0,0()0,(0

hh

límh

fhfh

lím fx(0,0) = 0.

0000

)0,0(),0(0

kk

límk

fkfk

lím fy(0,0) = 0.

Ejercicio: Estudiar la existencia de las derivadas parciales de la función f . f : R2 R

(x, y) 22 yx . Si (xo,yo) )0,0(

hhlím

hff

hlím oooooooo

yxyhxyxyhx2222

00),(),(

222222

2

2222

2222

)()(

200

oo

o

oooo

o

oooo

oooo

yxyxyhxyxyhx

yx x

h

hhxh

lím

h

yhxh

lím

Si (xo,yo) )0,0( fx (xo, yo) = 22oo

o

yx

x

, y fy (xo, yo) =

22oo

o

yx

y


Veamos que no existen fx ni fy en (0,0).

hhlím

hh

hlím

hff

hlím hh

000?2? 0)0,0()0,(

no existe límite , pues:

10 hhlím h

; pero 10 hh

hlím .

DERIVADA DIRECCIONAL

El concepto de derivada direccional es una ampliación del de derivada parcial.

Sea f : DR2 R , PooD y sea u= (u1,u2) un vector unitario esto es: u = 1.

Se define )P(D ofu , la derivada direccional de f en Po en la dirección de u , así:

)P(D ofudef

tfutf

tlím )P()P(

0oo

cuando el límite existe.

La derivada direccional en la dirección de cualquier vector (0,0)v se define como

)P(D ovv f

.

La derivada direccional mide la rapidez de cambio de f (P) en la dirección dada u . Ejemplo: Dada f : R2 R , calcular la derivada direccional de f en la (x, y) 22 yx derección del vector unitario u = (u1,u2).

Consideremos 1ro el caso Po=(xo,yo) )0,0( .

t

yxutyutxt

lím oo222

2o2

1o0

=

2221

oo

oo

yx

uyux

.

Habíamos visto que si (xo,yo) )0,0( fx (xo, yo) = 22oo

o

yx

x

y fy (xo, yo) =

22oo

o

yx

y

.

Entonces, en este caso )P(D ofu = fx (xo, yo) u1 + fy (xo, yo) u2 = ( fx (xo, yo), fy (xo, yo)). u

Ahora si Po=(0,0) :

t

ututt

lím 00

22

21

= 22

21 uu = 1

Por lo tanto )P(D ofu = 1 Observemos que no existen las derivadas parciales en (0,0).


z Qo C y u Po

x

t

Interpretación geométrica de la derivada direccional Si en el plano vertical de ecuación P = Po+ t u , tR , fijamos un sistema de coordenadas con origen en Po y direcciones : la del eje z y la del vector u , la ecuación de la curva C es :

z = f (Po+ t u ) = (t) ; con t0 .

Como hemos supuesto que existe )P(D ofu , podemos escribir:

)P(D ofu = t

futft

lím )P()P(0

oo

=

tt

tlím )0()(

0

= ’(0) = tag

)P(D ofu = tag . Donde es el ángulo que forma la semirrecta tangente a la curva C en el punto Qo , con la semirrecta de origen Po y dirección u

En general, si f : RnR , Po Rn y u= (u1,...,un) vector unitario .

Se define )P(D ofu = t

futft

lím )P()P(0

oo

cuando existe el límite.

La derivada direccional mide la rapidez de cambio de la función en la dirección del vector u

Supongamos que exista )P(D ofu y que la gráfica de f sea la de una superficie de ecuación z = f (x,y).

La curva C ufz

t P P )P(

o t0

es la intersección de la superficie con el semiplano vertical que contiene a la semirrecta de origen Po y dirección u .


DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Si f : D R2 R admite derivadas parciales en oD quedan definidas las funciones:

fx : oD R2 R y fy : oD R2 R P)(P xf P)(P yf

Si fx tiene derivadas parciales en P oD , se denota :

2)(2)(

x

PfPx

f x

= )(Pxxf ;

xyPfP

yf x

)(2)()(Pyxf

Si fy tiene derivadas parciales en P oD , se denota :

yxPfP

xf y

)(2)()(Pxyf ;

2)(2)(

y

PfP

yf y

= yyf (P) .

Se puede probar que si fx , fy , fx y , fy x existen en una bola y fx y , fy x son continuas en Po , entonces fx y(Po) = fy x (Po) . Este resultado se conoce con el nombre de Teorema de inversión del orden de derivación y lo demostraremos más adelante.( La demostración no se da a los alumnos de Cálculo III ).


FUNCIONES DIFERENCIABLES Primero vamos a considerar funciones f : D R2R. Para funciones de una variable, la existencia de la derivada en un punto asegura la continuidad de la función en ese punto. Entonces, en el caso de funciones de más de una variable, podríamos preguntarnos si la existencia de las derivadas parciales en un punto asegura la continuidad en el mismo...La respuesta es negativa como se ve en el siguiente ejemplo. Ejemplo: f : R2R.

(x, y)0 si 0

0 si

y

yyx

Vamos a definir función diferenciable en un punto de manera que implique para la función mayores exigencias que la existencia de las derivadas parciales y garantice la continuidad de la función en el punto.

Definición:

Sea f : D R2R. Po= (xo, yo) oD ; z = )oP(f f (xo+h, yo+k) f (xo, yo). P )P(fz

f es diferenciable en Po )P(B : )P(B oo ),(P koho yxDdef

z = a h+b k+ (h,k).

Con a y b constantes y tal que 0),(22)0,0(),(

kh

khlímkh

Ejemplo: La función f : R2R. es diferenciable en (xo, yo)R2. (x, y) 22 yx . Dem.

)oP(f (xo+h)2 + (yo+k)2 (xo2 yo

2) = 2 xo h + 2 yo k + (h2 + k2) = a h+b k+ (h,k). Donde a = 2 xo ; b = 2 yo ; (h,k) = h2 +k2 .

22

),()0,0(),( kh

khlímkh

= 22

22

)0,0(),( kh

khlímkh

= 0 .

f es diferenciable en (xo, yo).

La función no es continua en el origen ; pero existen las derivadas parciales en el origen.

¡ Probar!


(h,k) (0,0)

(0,0)),( kh (0,0)),( kh (0,0)),( kh

Vamos a ver ahora, condiciones necesarias para que una función sea diferenciable; o sea propiedades de las funciones diferenciables.

Propiedades de las funciones diferenciables.

Sea f : D R2R. Po= (xo, yo) oD .

f diferenciable en Po

Demostración:

Primero probaremos: f diferenciable en Po f es continua en Po.

Supongamos que f sea diferenciable en Po. Tenemos que probar :

oPPo )P( P)(

fflím o lo que es lo mismo : oPP

o 0 )P( P)(

fflím .

oPP

o )P( P)(

fflím (0,0)),(

, )( ),((

kh

oyokoho xyx fflím

Como f es diferenciable en Po , podemos escribir: f (xo+h, yo+k) f (xo, yo) = a h+b k+ (h,k) ; y como : lím ah ; lím bk = 0 (h,k)(0,0) (h,k)(0,0)

22

22),(

),( . khkh

khkh

lím 22

)0,0(),( 22),(

)0,0(),(),( . khkh

límkh

khkh

límkh

= 0

Por lo tanto:

(0,0)),(

, 0),( )( ),(( .

kh

oyokoho khlímkblímhalímxyx fflím

Esto dice que f es continua en Po .

Podemos decir que si f no es continua en Po f no es diferenciable en Po, o sea que la continuidad es condición necesaria para la diferenciabilidad.

1) f es continua en Po .

2) Existen ambas derivadas parciales de f en Po . 3) Existen las derivadas direccionales de f en

cualquier dirección en Po .

= 0 = 0


Probemos ahora : f diferenciable en Po fx (Po) , fy(Po) . Sea f diferenciable en Po.

hf -f oooo yxyhx ) ,(

= h

hα h = a + hh )0,( .

22)0,0(),(

),(

hh

khlímkh

= 0 h

lím hh

)0,( 0

= 0.

hh )0,(

= hh )0,( .

hh

. 0hlím

hh )0,(

= 0hlím

hh )0,( .

hh

= 0 .

Por lo tanto:

hfflím yxyx

hh )((

0o,ooo ),

= 0hlím a + 0h

lím hh )0,( = a .

fx (Po) = a y de la misma forma se prueba fy (Po) = b . Podemos decir que si no existe alguna de las derivadas parciales en Po f no es

diferenciable en Po, o sea que la existencia de las derivadas parciales es condición

necesaria para la diferenciabilidad.

Por último probemos: f diferenciable en Po u (u1,u2) : u =1 )P( oD fu y )P( oD fu = )P( of

. u .

Sea f diferenciable en Po.

tf -f oooo yxutyutx ) ,( 21 =

tutbuta tutu ),( 2121

= a u1 + b u2 + ttutu ),( 21

22

),()0,0(),( kh

khlímkh

= 0 t

lím tutut

),( 21 0

= 0.

t

lím tutut

),( 21 0

= t

lím tutut

),( 21 0

= 0.

Porque un factor tiende a cero y el otro está acotado.

¿Porqué?


)()( oPD fu = )( oPD fu

Entonces:

ttlímublímualím

tf -flím tutu

ttyxutyutx

toooo ),(

000) ,(

0212121

= a u1 + b u2 . Como existe el límite, por definición de derivada direccional tenemos :

)P( oD fu = (a , b) . u = ( fx(Po), fy(Po)) . u

)P( oD fu = )P( of

. u .

Podemos decir que si para alguna dirección u no existe la derivada direccional de

f en Po , f no es diferenciable en Po, o sea que la existencia de las derivadas

direccionales en cualquier dirección es condición necesaria para la

diferenciabilidad.

Observemos que cuando f es diferenciable en Po . El siguiente ejemplo muestra que estas condiciones necesarias no son condiciones suficientes . Ejemplo: f : R2R.

(x, y)

)0,0(),(si 0

)0,0(),(si22

yx

yxyx

yx

Se deja como ejercicio la prueba de la continuidad.

fx (0,0) = 0 pues 000

0

00.

0

hhlím

hh

h

hlím y lo mismo para fy (0,0) = 0.

2122

21

2122

22

1

21

.0

0)()(

.

0uu

uutt

uutt

límt

tutu

utut

tlím

)0,0(fDu = 21.uu 0

Esto dice que f no es diferenciable en (0,0) pues )( 00,f

. u = 0 ; pero )0,0(fDu 0. Otra forma de ver que f no es diferenciable en el origen es usando la definición.

f (h, k) f (0,0 ) = 0 h+0 k+ (h,k) (h,k) = 22 kh

hk

y

22)0,0(),(kh

hklímkh

no existe

pues los límites repetidos valen cero; pero los radiales para k=mh dependen de m.

El vector ( fx(Po), fy(Po)) se llama el gradiente de f en Po y se denota )P( of

.

La función es continua en el origen, existen las derivadas parciales y todas las derivadas direccionales en el origen y sin embargo no es diferenciable en el origen.


Qo

t)

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES f : R2R. PLANO TANGENTE.

Vamos a ver que si f es diferenciable en Po , toda curva intersección de la gráfica de f con un plano vertical que pasa por Po tiene recta tangente en Qo =(xo, yo, f (Po)) . Las rectas tangentes se encuentran todas en un mismo plano que, por definición, es el plano tangente a f en Qo .

Sea f : D R2R diferenciable en Po= (xo, yo) D y ),( 21 uuu vector unitario.

(x, y) ),( yxfz z

y Po . x g(t) = ( xo+ t u1 , yo+ t u2 , f (Po+ tu ) ). g(0) = Qo Si existe ´(0), entonces )0(g = (u1 , u2 , ´(0) ). Veamos que existe ´(0).

Siendo t)f (Po+ tu ), será ´(0) =h

hh

lím )0()(0

si existe el límite.

El límite existe si existen los límites laterales y son iguales.

hh

hlím )0()(

0

= h

fuhfhlím )P()P(

0 oo

= )P( ofDu

hh

hlím )0()(

0

= h

fuhfhlím )P()P(

0 oo

. Si h = -s , 0h 0s .

= s

fusfslím

)P()P(0

oo

= s

fusfslím )P()(P(

0 oo

= )P( ofD u = )P( ofDu . Porque f es diferenciable en Po .

hh

hlím )0()(

0

= h

hhlím )0()(

0

= )P( ofDu ´(0) = )P( ofDu .

Entonces )0(g = (u1 , u2 , )P( ofDu ). Por lo tanto la curva Cu tiene recta tangente en el punto Qo y su ecuación es:

Q = Qo + (u1 , u2 , )P( ofDu ) (*) Con R y Q = (x,y,z) ; Qo =(xo, yo, f (Po)).

Supongamos que la representación gráfica de f sea una superficie de ecuación z = f(x,y). Llamemos Cu a la curva intersección de la superficie con un plano vertical que pasa por Po y contiene a la recta de dirección u .

Cu tut

fz oPP )P( R ; P = (x,y).

Una parametrización de Cu es :

Existe porque f es diferenciable en Po.


z- f (Po) = f x(Po) ( x – xo) f y(Po) ( y – yo)

Si u= (1,0) , )0(g = (1,0, f x(Po)).

Si u= (0,1) , )0(g = (0,1, f y(Po)). La ecuación del plano que contiene a estos dos vectores es n . (QQo) = 0, donde

n = (1,0, f x(Po))(0,1, f y(Po)) = (f x(Po), f y(Po), 1 ) es un vector normal al plano.

(f x(Po), f y(Po), 1). (x-xo, y-yo, z-f (Po)) = 0 (**) Para probar que este es el plano tangente, debemos mostrar que contiene a la recta (*) tangente en Qo a la curva Cu , cualquiera sea u .

Entonces, reemplazando Q Qo de (*) en (**) , obtenemos : (f x(Po), f y(Po), 1). (u1 , u2 , )P( ofDu ) = f x(Po) u1 f y(Po) u2 + )P( ofDu

= )P( ofDu + )P( ofDu ) = 0. Esto dice que el plano de ecuación (**) es el plano tangente a f en Qo.

La ecuación cartesiana de este plano es:

Ejemplo: La ecuación del plano tangente en (2,1,2) a la superficie de ecuación

229 yxz es :

En efecto : Llamando z = f(x,y) = 229 yx , f es diferenciable en Po .

Po= (2,1) f(Po) = 22 129 z = 2 .

2292

2- P)(

yx

xxf

1

1292

22.- 2,1)(

22

xf .

2292

2- P)(

yx

yyf

21

1292

1.2- 2,1)(

22

yf .

z2 = fx(Po) ( x – 2) f y(Po) ( y – 1) .

z2 = 1( x – 2) 21

( y – 1).

2 x + y + 2 z = 9 .

2 x + y + 2 z = 9


CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA DIFERENCIABILIDAD .

(Sin demostración para los alumnos de Cálculo III) Debido a la importancia que tienen las funciones diferenciables en el análisis matemático, resulta conveniente disponer de un criterio sencillo de diferenciabilidad. Esto es, establecer condiciones suficientes para que una función sea diferenciable en un punto. Teorema.

Sea f : D RR 2 , PoD tal que existen fx , fy en una bola B(Po) y ambas son

continuas en Po , entonces f es diferenciable en Po . Dem.

Como PoD existe B(Po) D . Sea P = (xo+h , yo+k) B(Po)

f (xo+h , yo+k ) – f (xo, yo) = f (xo+h , yo+k ) – f (xo , yo+k ) + f (xo , yo+k ) – f (xo, yo). y

B(Po) P)(1B

P . Po . x Entonces: f (xo+h , yo+k ) – f (xo, yo) = ( ( xo+ h ) ( xo) ) ( yo+ k ) ( yo) ). (*)

Como existe fx en B(Po) podemos afirmar que existe ’ en (xo-1, xo+h+1).

Por ser función de una variable es continua en ese intervalo, y al ser [ xo, xo+h] (xo-1, xo+h+1) resulta continua en [ xo, xo+h] y derivable en ( xo, xo+h). Con el mismo razonamiento resulta continua en [ yo, yo+k] y derivable en ( yo, yo+k).

El Teorema del valor medio para funciones de una variable dice:

( xo+ h ) ( xo) = h ’(xo+ h) . con 10 .

( yo+ k ) ( yo) = k ’( yo+ k) . con 10 .

Y como ’( x) = fx ( x , yo+ k) y ’( y) = fy ( xo , y) Reemplazando en (*) :

f (xo+h , yo+k ) – f (xo, yo) = h ’(xo+ h) + k ’( yo+ k)

= h fx (xo+ h , yo+ k) + k fy ( xo , yo+ k) . 10 , .

Por otra parte, como fx y fy son continuas en Po , vale:

Llamemos ( x) = f ( x, yo+ k) con x(xo-1, xo+h+1).

y ( y) = f (xo, y) con y( yo-1, yo+k+1)

( Sin pérdida de generalidad suponemos h y k positivos ) .


fx (xo+ h , yo+ k) = fx (xo, yo) + (h, k). Con )0,0(),(

0),(1

kh

khlím .

fy ( xo , yo+ k) = fy (xo, yo) + (h, k). Con )0,0(),(

2 0),(

kh

khlím .

f (xo+h , yo+k ) – f (xo, yo) = h [fx (xo, yo) + (h, k)] + k [ fy (xo, yo) + (h, k)]. Entonces:

2221

)0,0(),(o

)0,0(),(),(),(

22

)o(P)o(P )P((P)

kh

kkhhkhlímkh

ffh f f límkh

yxkh

k

22

21)0,0(),(

),(),(

kh

kkhhkhlímkh 22

2)0,0(),(221)0,0(),(

),( ),(

kh

kkhlímkh

hkhlímkhkh

.

= 0 porque en cada sumando un factor tiende a cero y el otro está acotado.

22

)o(P)o(P )P((P) o)0,0(),(

kh

ffh f f lím yxkh

k0

Esto dice que f es diferenciable en Po puesto que

f (xo+h , yo+k ) – f (xo, yo) = h fx (xo, yo) + k fy (xo, yo) + h (h, k) + k (h, k). (h , k)

y 022

),(

)0,0(),(

kh

khlímkh

.

Cabe señalar que estas condiciones suficientes para la diferenciabilidad no son condiciones necesarias. En efecto, el siguiente ejemplo muestra que la función puede ser diferenciable sin que ambas derivadas parciales sean continuas. Ejemplo: f :R2 R

),( yx 0 0

0 1 22

xsi

xsiyx

senx

Las funciones que tienen derivadas parciales continuas se llaman funciones continuamente diferenciables .

Esta función es diferenciable en (0,0) aunque fx no es continua en (0,0) porque fx (0,0) = 0 ; pero no existe el límite de fx (x, y) cuando (x, y) tiende a (0,0).


Sea P = (xo+h,, yo+k) B(Po) y llamemos:

( x) = f ( x, yo+ k) f ( x, yo) ; x(xo-1, xo+h+1).

( y) = f ( xo+h, y)f ( xo, y) ; y( yo-1, yo+k+1)

( Sin pérdida de generalidad suponemos h y k positivos ).

(1)

(2)

TEOREMA DE INVERSIÓN DEL ORDEN DE DERIVACIÓN

(Sin demostración para los alumnos de Cálculo III) Sea f : D RR 2 , Po

D tal que existen fx , fy , fx y , fy x en una bola B(Po) y ambas derivadas fx y , fy x son continuas en Po , entonces fx y(Po) = fy x(Po) . Demostración: y

B(Po) P)(1B

P . Po . x Entonces : ( xo+ h) ( xo) = f (xo+ h, yo+ k) f (xo+ h, yo) f ( xo, yo+ k) f ( xo, yo) .

( yo+ k) ( yo) = f (xo+ h, yo+ k) f ( xo, yo+ k) f (xo+ h, yo) f ( xo, yo) .

Así F( h, k ) = ( xo+ h) ( xo) = ( yo+ k) ( yo) (h,k) B(0,0) .

Como existe fx en B(Po) , existe ’ en (xo1, xo+h+1) , luego es continua en ese intervalo y al ser [ xo, xo+h] (xo1, xo+h+1) resulta continua en [ xo, xo+h] y derivable en ( xo, xo+h). Con el mismo razonamiento resulta continua en[ yo, yo+k] y derivable en ( yo,yo+k). Por el Teorema del valor medio, en (1), podemos escribir:

F(h,k) = h ’(xo+ h)

= h [ fx (xo+ h, yo+ k) fx (xo+ h, yo) ] . F(h,k) = h k fx y (xo+ h, yo+ k) . 10 1 , 0 2 1 . De la misma manera, usando el teorema del valor medio para la fción en (2) y luego nuevamente para la fción tal que (x) = fy ( x, yo+ 4 k) se obtiene:

10 1

Usando nuevamente el T.V.M. en [ yo, yo+k] para la función ( y ) = fx (xo+ h, y )

con y ( yo-1, yo+k+1). es derivable, por existir fx y, y por lo tanto continua en [ yo, yo+k] ( yo-1,yo+k+1). Resulta: [ fx (xo+ h, yo+ k) fx (xo+ h, yo) ] = ( yo+k )( yo ) = k ’( yo+ 2 k ) = = k fx y (xo+ h, yo+ k)


)0,0(),(

khlím

)0,0(),(

khlím

F(h,k) = k h fy x (xo+ h, yo+ k) . 10 3 , 0 4 1 .

fx y (xo+ h, yo+ k) = fy x (xo+ h, yo+ k) .

fx y (xo+ h, yo+ k) = fy x (xo+ h, yo+ k)

Y por la continuidad de fx y y de fy x en Po resulta fx y(Po) = fy x(Po) , como

queríamos probar.

El siguiente ejemplo muestra una función donde fx y(0,0) fy x(0,0) . Ejemplo: f : D RR 2

),( yx (0,0) ),( si 0

(0,0) ),( si 22

22

yx

yxyx

yxyx

Mostrar que fx y(0,0) fy x(0,0) . ¿ Qué hipótesis del teorema no se cumple ?


DIFERENCIALES

Hemos visto que las funciones diferenciables tienen la propiedad geométrica de poseer plano tangente. Con relación al plano tangente es interesante observar lo siguiente. Sabemos que f : D RR 2 es difble en Po

D si existe B(Po)D y existen ctes a y b tal que P = (xo+h,, yo+k) B(Po) z = f (P) f (Po) = a h+ b k + (h,k).

con tal que 0),( 22)0,0(),(

hh

khlímkh .

Si llamamos (h,k) = a h+ b k , resulta (h,k) = f (P) f (Po) (h,k).

Observemos que bkahkh

),(

2: R R es una transformación lineal.

Podemos decir entonces que f es diferenciable en Po si existe una transformación

lineal R R 2: tal que 0),()oP(P)(

22)0,0(),(

kh

khlím ffkh

(1)

La igualdad (1) se interpreta diciendo que f (Po) (h,k) es una buena aproximación de f (P) cerca de Po . La aplicación que transforma (h,k) en z , ),( kh z = f (Po) (h,k) tiene como representación gráfica un plano que es justamente el plano tangente a la gráfica de f en Qo = ( xo, yo, f(Po) ). En efecto: z = f (Po) (h,k) = f (Po) a h+b k ; pero a = fx (Po) , b = fy (Po) , h= x-xo y k = y-yo

entonces z f (Po) = fx (Po)( x-xo) + fy(Po)( y-yo). Que es la ecuación del plano tangente a f en Qo. z

y Po . P. x En el dibujo f (Po) = || PoQo|| = || PR|| f (P) = || PQ||

z = ||RQ|| variación de cota de la función. dz = ||RT|| variación de cota del plano tangente . Llamamos : dx = h = x-xo ; d y = k = y-yo y dz =

oPdf (h,k)

Probar

Qo

Q

T R

A la aplicación lineal se le llama “diferencial de f en Po ” y se denota

oPdf .

f (P) f (Po) = z es la variación de cota de la función cuando pasamos de Po a P . z –f(Po) = (h,k) = dz es la variación de cota del plano tangente cuando pasamos de Po a P .


vector nulo de nR

Entonces resulta: x = dx , y = dy y , si f es diferenciable, existe dz tal que z dz cuando PPo .

Si f : RR 2 es diferenciable en Po , oP

df : RR 2 es una transformación lineal

que, respecto de las bases canónicas de R y R2, tiene una matriz 21 llamada la

matriz jacobiana de f que denotamos f’(Po).

oPdf (h,k) = fx (Po) h + fy (Po) k= ( fx (Po) fy (Po))

kh

= f’(Po)

kh f’(Po) = ( fx (Po) fy (Po)).

Generalizamos ahora el concepto de diferenciabilidad para funciones vectoriales.

Sea f : mn RR Po nR ),...,(P 1 nxx P ),...( P)(,P)(1 mff Definición: f es diferenciable en Po sii existe una transformación lineal : mn RR )( )(),...(1 hh mh

tal que θ)()P(P)( o

hff

hhlím .

se llama diferencial de f en Po . La notación es

= oP

df . Respecto de las bases canónicas de Rn y Rm , la matriz jacobiana de f en Po,

que denotamos f’(Po) , es una matriz nm y se puede probar que

f’(Po) =

n

n

xm

xm

xx

ff

ff

)P()P(

)P(

1

)P(

o

1

o

o1o1

.

....

Ejercicio: Probar que f : mn RR , ),...,(P 1 nxx P ),...( P)(,P)(1 mff

es diferenciable en Po nR si y sólo si cada una de las funciones fi : RR n mi ,...1 , es diferenciable en Po . df = (df1,...,dfm)

vector nulo de mR


TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL. Sean: f : DR2 R diferenciable en D o y A, B D o tal que AB D o. Entonces existe un punto C AB , CA y CB tal que f(B) – f(A) = C)(f

. (B – A).

Demostración:

P AB P = A + t (B-A) , 10 t .Luego los valores z que toma la función en los ptos del segmento AB son : z = f (A + t (B-A) ) = (t) para 10 t .

Así f(B) = (1) y f(A)= (0) .

Queremos probar que la función es continua en [0,1] y derivable en (0,1) porque, si eso ocurre, podremos usar el Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial (para fciones de una variable). Sea ,entonces, t [0,1] (a,b). y miremos si existe '(t). Esto es:

hthtlím

h)()(

0

. ¿Existe?. Veamos: h

thtlímh

)()(0

y

hthtlím

h)()(

0

hthtlím

h)()(

0

=

hfflím -h

h)P( A))-(B(P

0

. Llamemos

AB

A-B

u

= h

fuflím -hh

)P( )(P0

||A-B||

. Llamemos s = h ||B-A||

= ||B-A|| .s

fuflím -ss

)P( )(P0

. y como existe uD f(P) ,

= ||B-A|| . uD f(P) . De igual manera, si s = -h ||B-A|| se puede probar :

hthtlím

h)()(

0

=||B-A|| .

sfuflím -s

s)P( )((P

0

.

= ||B-A|| .( uD f(P)) = ||B-A||. uD f(P)

Como A y B son ptos interiores de D podemos suponer que la función tiene dominio(a,b) que contiene a [0,1].

Como (t) = f (A + t (B-A) ) y P = A + t (B-A) )( ht = f (A + (t+h) (B-A) ) = f ([A +t(B-A)]+h(B-A) ) = f(P+h(B-A))

¿Por qué?

¿Por qué?


||AB||

)A()B(

ff=

||A-B||A)-(B(C).f

tgtg

Como h

thtlímh

)()(0

=

hthtlím

h)()(

0

se sigue que existe

’(t) = h

thtlímh

)()(0

= ||B-A||. uD f(P) = ||B-A|| )P(f

.AB

A-B

= P)(f

.(B – A).

Luego existe ’ en [0,1] y por lo tanto es continua en [0,1].

Por el T.V.M.C.D.(para fciones de una variable), existe un nº real (0,1) tal que:

01

)0()1(

= ’() , donde 0 < < 1. (1)

Como f (A + t (B-A) ) = (t), P = A + t(B-A) y ’(t) = P)(f

.(B – A).

Resulta ’(t) = A))-(B A ( tf

.(B – A).

si llamamos C = A + (B-A) y reemplazamos en (1), tenemos:

C AB y f(B) – f(A) = C)(f

.(B – A). Que es la tesis.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

||AB||

)A()B(

ff= tg

||A-B||A)-(B(C).f

uD f(C) = tg

C Por lo tanto el T.V.M. asegura la existencia de un pto C en el segmento AB, tal que en el pto C´ la curva intersección del plano con la superficie, tiene recta tangente paralela a la recta que pasa por A´ y B´ .

A

B’

A’

B .

C’


P.

(P).

FUNCIONES COMPUESTAS En la resolución de ciertos problemas es frecuente la necesidad de hacer un ``cambio de variables´´ para facilitar el cálculo. Vamos a definir lo que se entiende por función compuesta (o composición de funciones), aclarando que en la práctica hacer un``cambio de variables´´ significa descomponer una función compuesta. Definición:

Sean mnD RR : y pmDf RR : tales que (D) D . f , se llama la función `` compuesta con f ´´ , o también se llama ``la

composición de con f ´´ y se define así: pnDf RR : . )(P )(Pf Si llamamos F = f F(P) = ( f )(P) = ))P((f . f D*

D mR f (D* ) (D)

nR f((P)). pR F(D) = f ((D)) F = f Ejemplo 1: Sea F(x,y) = x22xy y2 9x2 y2 = (x – y)2 (3xy)2 .

Si hacemos el cambio de variables: u(x,y) x y ; v(x,y) x y. Y llamamos f (u,v) = u2v2. Obtenemos : f (u(x,y), v(x,y)) F(x,y). De acuerdo a la definición de composición de funciones, hemos descompuesto la función F= f donde (x,y) = (u(x,y), v(x,y)). F(x,y) = ( f )(x,y) = f (x,y)) f (u(x,y), v(x,y)) .

En este ejemplo : R2 R2 , f : R2 R , f : R2 R (x, y)(x-y, 3xy) (u, v)u2-v2 (x, y) (x-y)2 - (3xy)2 u v f((x,y))= f(x-y,3xy


fo es dfble en Po oP d fo

pn RR es una transformación lineal, que

en las bases canónicas de nR y pR , tiene asociada una matriz pn , la matriz Jacobiana de fo

Se puede probar: Proposición: La composición de funciones continuas es una función continua. En símbolos: continua en Po f continua en (Po) f continua en Po . También se puede probar: Teorema de Derivación de Funciones Compuestas.(Regla de la Cadena) diferenciable en Po , f diferenciable en (Po) f diferenciable en Po.

Y vale ( f )´(Po) = f ´ ((Po)) . ´(Po) . Regla de la cadena

( f )´(Po) es la matriz Jacobiana de f en Po . f ´ ((Po)) es la matriz Jacobiana de f en (Po) . ´(Po) es la matriz Jacobiana de en Po . ( f )´(Po) = f ´ ((Po)) . ´(Po) . pn ( pm) ( mn) Ejemplo2:

Sean )v,(uy)x,( y)(x,y)(x,

22:

RR y v)(u,v))u,(

2:f

f

RR diferenciables en Po = (xo, yo) y

(Po) = (uo,vo) respectivamente. Entonces si llamamos F = f , por la regla de cadena tenemos:

Po)( Po)(

yF

xF =

)ov,ou()ov,ou(

vf

uf

Po)(v

Po)(v

Po)(u

Po)(u

yx

yx


Efectuando el producto de matrices y obviando los ptos en donde se calculan las derivadas, tenemos la regla de la cadena escrita en la forma:

xF

= uf

.xu

vf

xv

yF

= uf

.yu

vf

yv

regla de la cadena

Que también podemos escribir así: Fx = fu . ux + fv . vx Fy = fu . uy + fv . vy En cálculo es práctico denotar una función con el mismo símbolo que un elemento de su imagen. Por ejemplo, si f (x,y) = z escribimos z = z(x,y) . Haciendo abuso de notación, podemos escribir : z(u(x,y), v(x,y)) = z(x,y) y entonces: zx = zu ux + zv vx . zy = zu uy + zv vy . Otros ejemplos: w(t) =w(x(t), y(t), z(t)). Si w es diferenciable, entonces: w'(t) = wx x´(t) + wy y´(t) + wz z´(t). F(s,t) = F(x(s,t), y(s,t), z(s,t)). F difble, entonces: Fs = Fx xs+ Fy ys + Fz zs . Ft = Fx xt+ Fy yt + Fz z t . Ejercicio: 1) Si z = f (xy, x + y) y existen las derivadas parciales segundas de f , calcular zxy

2) Si z = f (xy ) + g (

yx ) y existen f ´´ y g´´ 0x , y 0 , probar :

x2 zxx + x zx = y2 zyy + y zy .

En la demostración del Teorema de Derivación de Funciones Compuestas vamos a usar los siguientes resultados cuya demostración se deja como ejercicio. Proposición 1 :

Sea mnT R R : una transformación lineal. Probar que existe KR , K >0 tal que P nR es PKT P )( .

Proposición 2 :

Sea mnDf R R : diferenciable en PooD .

Probar que existen ,KR ; ,K >0 tal que oP-P oP-P)P()P( o Kff .


Observación : Sabemos que f es diferenciable en Po sii existe una transformación lineal tal que

θ)()P(P)( o

hff

hhlím . Esto es lo mismo que decir:

)P(P)( off = P-Po) + ZP-Po) PοP con θ PPo

o

)PP(

Zlím

TEOREMA DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS (Sin demostración para los alumnos de Cálculo III) Sean mnD RR : y pmDf RR : ; (D) D . Con Po

o*o

o )()(P y DD . diferenciable en Po , f diferenciable en (Po) f diferenciable en Po. Dem. Tenemos que probar que ,bajo las hipótesis dadas, existe una transformación lineal

pn RR tal que )P(P)( o ff = P-Po)+ZP-Po) PοP con θ PP

)oPP(

o

Zlím .

)P(P)( o ff = )()( )P(P)( o ff Como f es diferenciable en (Po) existe una transf. lineal : pm RR tal que

f(Q) )( )P( o f = Q -Po) + Z1Q -Po) )(P-Q o con θ )P(Qo

o

1 ))P(Q(

Zlím .

)()( )P(P)( o ff = P) -Po) +Z1P) -Po)P) -Po|| θ )P((P)o1

o

))P((P)(

Zlím

Al ser continua en Po, por ser diferenciable en Po, )P((P) o cuando oPP . || Z1P) -Po)|| 0 cuando oPP ,y también existe una t. l. : mn RR tal que

P) -Po) = P-Po) + Z2P-Po) PοP con ||Z2P-Po)|| 0 Pocuando oPP .

)()( )P(P)( o ff = (P-Po) + Z2P-Po) PοP ) +Z1P) -Po)P) -Po||

= (P-Po)) + ( ( Z2P-Po)) + Z1P) -Po)oPP

)o(P(P ||

) PοP

Por las proposiciones 1 y 2 existen K y K’ tal que: Z(P-Po)

|| Z(P-Po)||K || Z2(P-Po)|| + || Z1P) -Po)|| o

o

PP

PP'

K.

|| Z(P-Po)|| 0 cuando oPP . Entonces : )P(P)( o ff = ( P-Po) + Z(P-Po)) PοP con ZP-Po)

cuando oPP .

)P(P)( o ff = P-Po) + Z(P-Po)) PοP con ZP-Po)

cuando oPP .

Esto dice f diferenciable en Po ,como queríamos probar.

|| Z2(P-Po)|| 0 cuando oPP . || Z1P) -Po)|| 0 cuando oPP .

O sea : || Z(P-Po)|| 0 cuando oPP .


DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Si f : D R2R tiene derivadas parciales continuas hasta el orden n en D º, entonces o ),( P Dyx f es diferenciable en P y existe dP f : R2R tal que: dP f (h,k) = fx(P) h + fy(P) k .

Vamos a usar la siguiente notación: dP f (h,k) = (hx+k

y)f (P) .

Si n 2 , existen y son continuas las derivadas parciales de dP f (h,k) = fx(P) h + fy(P) k. Por lo tanto dP f (h,k) es diferenciable y existe dP(dP f (h,k)).

Llamamos 2Pd f (h,k) = dP(dP f (h,k)) = (h

x +k

y )((h

x +k

y

) f (P))

=(hx+k

y)( fx(P) h + fy(P) k)

= h( fx x(P) h + fy x(P) k) + k ( fx y(P) h + fy y(P) k).

= h2 fx x(P) + 2 hk fx y(P) + k2 fy y(P).

Con la notación anterior: 2Pd f (h,k) = (h

x+k

y

)2 f (P) .

Y se puede probar por inducción:

ndP f (h,k) = ini

niin

n

i xy

Pfin

)(

0kh ; que, de acuerdo a la notación antes usada, es :

ndP f (h,k) = (hx+k

y

)n f (P) .

Observación:

La forma diferencial de 1er orden no cambia para las funciones compuestas.

Si F(x,y) = f (u(x,y), v(x,y)). dF = Fx dx + Fy dy = ( fu ux + fv vx ) dx + ( fu uy + fv vy ) dy.

= fu (ux dx+ uy dy) + fv (vx dx+ vy dy) = fu du+ fv dv = df.

dF = Fx dx + Fy dy = fu du+ fv dv = df. dF = df Pero la forma diferencial de 2do orden sí cambia.

d2 F = Fxx dx2 + 2 Fx y dx dy+ Fyy dy2 =

=(( fuu ux + fuv vx )ux + fu uxx +( fvu ux + fvv vx )vx + fv vxx )dx2 +

+ 2(( fuu uy + fuv vy )ux + fu ux y + ( fvu uy + fvv vy )vx + fv vx y )dxdy +(( fuu uy + fuv vy )uy + fu uyy +( fvu uy + fvv vy )vy + fv vyy )dy2

d2 F = fuu du2 + 2 fu v du dv+ fvv dv2 + fu d2u + fv d2v .

d2 F = d2 f + fu d2u + fv d2v .

fy x(P) = fx y(P) ¿Por qué?


x y

DESARROLLO DE TAYLOR.

Para funciones de una variable f : RR, si f tiene derivada de orden n+1 continua en un entorno de xo , entonces en ese entorno existe un número tal que :

f (x) = f (xo) + )()(!1

1oo xxxf + 2

oo )()(!2

1 xxxf +.….+ nn

xxxf n )()(!

1oo

)( + Rn(x) .

Tn(x-xo)

donde Rn(x) = 1o

)1(

1)()(

!)(1

nn

xxf n .

El polinomio Tn(x-xo) se llama el polinomio de Taylor de f de grado n en (x-xo). Y Tn(x-xo) + Rn(x) se llama el desarrollo de Taylor de grado n de f alrededor de xo.

Vamos a generalizar el desarrollo de Taylor para funciones de dos variables.

Sea f : R2R con derivadas parciales continuas hasta el orden n en una bola )P( oB . Y sea ),( 21 uuu

, Po = (xo, yo) , P = (x, y) . Sea P = Po + t u . P –Po = (x–xo, y–yo) = (t u1,t u2)

Llamemos F(t) = f (Po + t u ) = f (xo+ t u1, yo+ t u2 ) . El polinomio de Taylor de grado n para F en t es :

F(0) + F’(0) t +!2

1 F’’(0) t 2 + …. +!

1n

F(n)(0) t n .

Usando la regla de la cadena calculemos las derivadas F’(t), F’’(t),..., F(n)(t): F’(t) = fx(x,y) u1 + fy(x,y) u2

F’(0) t = fx(Po) tu1+ fy(Po) tu2 = dPo f(tu1,tu2) = dPo f(P-Po) . F’’(t) = fx x(P) 2

1u + 2 u1 u2 fx y(P) + fy y(P) 22u .

F’’(0) t2 = fx x(P) t2 21u + 2 tu1 tu2 fx y(P) + fy y(P) t2 2

2u = 2Pod f (P-Po) .

Y así, por inducción, F(n)(0) tn = ndPo f (P-Po) . Por lo que el polinomio de Taylor de grado n en P-Po para f es :

Tn(P-Po) = f (Po) +!1

1 dPo f(P-Po) + !2

1 2Pod f (P-Po) + ........ +

!1n

ndPo f (P-Po) .

Damos el enunciado del teorema de Taylor para funciones de dos variables:

TEOREMA DE TAYLOR.

Sea f : D R2R una función con derivadas parciales continuas hasta el orden n en un entorno de Po y sea f (P) = Tn(P-Po) + Rn (P) el desarrollo de Taylor de grado n de f alrededor de Po .

Entonces : 0P-P

)P-P(TP)(PP

o

oo

nnflím y Tn(P-Po) es el único

polinomio de grado n con esta propiedad.


x1 x2 f ( x1) f ( x2)

xex xlnx

2xx

2xx

xx

FUNCIONES INVERSAS.

Si tenemos una función f : Rn Rn que transforma vectores x en vectores y , la imagen nnf RR )( Rn Rn

f . y

)( nf R

A partir de y )( nf R nos preguntamos :

1. ¿Qué vectores x Rn se transforman en y por la acción de f ? y

2. ¿ Existe una función nnff RR )(:1 que a cada y )( nf R le asigne un único x Rn tal que f (x) = y ? Si la función f es inyectiva existe nnff RR )(:1 tal que 1f ( y) = x , si y sólo si f (x) = y .

1f se llama la función inversa de f y x Rn vale : 1f º f (x) = x . Ejemplo 1 : f : R R 1f : R+ R

y y x x

Ejemplo 2: La función f : R R no es inyectiva, por lo tanto no tiene inversa.

y Pero si restringimos el dominio de f y consideramos esta otra función f1 : ,0[ ]R R , sí tiene inversa 1

1f : ,0[ ]R R

x Se sabe que si una función real de una variable f : R R tiene derivada continua en xo y f ’ (xo) 0 entonces existe un entorno N de xo donde f tiene inversa

nNff R )(:1 .

x .


. xo

x y y x

(x,y) (x +y2, x2 +y)

x = (x,y) y = (u,v)

f ’ (xo) 0 dice que la tangente no es horizontal existe un entorno de xo donde f es inyectiva. Si f ’ (xo) = 0 podría ocurrir y f no sería inyectiva.

Dada una función f : Rn Rn , si es diferenciable en un punto xo , sabemos que existe una función lineal tal que f (xo+ h) f (xo) + (h) cuando h . dxof y la matriz jacobiana de f , f ’(xo) = A es una matriz nn. (h) = A h = k . Sabemos que si det A 0 , A tiene inversa A , luego tiene inversa . también es lineal y su matriz en la base canónica de Rn es A. (k) = Ak = h sii A h = k . Cabe esperar que si f es diferenciable en un punto xo , en las proximidades de ese punto f se comportará como la función f (xo). Es decir que si tiene inversa f tendrá inversa en un entorno de xo. Eso es lo que afirma el teorema de la función inversa que enunciamos sin demostración. TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea f : Rn Rn una función continuamente diferenciable en un abierto que contiene a xo y det f ’(xo) 0.

Entonces existen un abierto U que contiene a xo y un abierto V que contiene a f (xo) tales que f : VU tiene inversa continua f : VU que es diferenciable y y V es [ f ]’( y) = [f ’(x) ] .

Ejemplo.

f : R2 R2 ¿ Dónde es det f’(x,y) 0 ?

f’(x,y) =

1 x2y 21 , det

1 x2y 21 = 1xy 0 (x,y) : xy

41 .

Por ejemplo si xo =(1,-1) , f (xo) = (2,0) existen )1,1( B y )0,2(*B tales que (u,v) )0,2(*B hay un único (x,y) )1,1( B que cumple (x+y2,x2+y) = (u,v).

f ’(1,-1) =

1 22-1 ; [ f ]’(2,0) = 12

21 = 51

52

52

51

.

Aún cuando no encontremos f la función afín que aproxima (u,v) = (2+h, 0+k) cuando (h,k) (0,0) es :

f (2,0) + 51

52

52

51

kh .

Si (h,k) = (0.01 , 0.02) f (2010.02 (1.01,-1)


FUNCIONES DEFINIDAS IMPLÍCITAMENTE.

Una función f : Rn Rm establece una relación entre vectores de Rn y de Rm. Es posible que los vectores estén relacionados por una fórmula que no exprese directamente a uno como función del otro.

Por ejemplo la fórmula 0ktvp expresa la relación entre la presión p y el

volumen y la temperatura (v,t) de un gas en un recipiente.

También , las ecuaciones: 0 1222

zyxzyx pueden interpretarse como

una relación entre las tres coordenadas (x, y, z) de un punto en una circunferencia de radio 1 con centro (0,0,0) en R3 . En estos ejemplos las ecuaciones no dan una fórmula explícita para una de las variables en función de las otras. Consideraremos la aplicación del cálculo a este tipo de relaciones. Definición. Dadas dos funciones F: R2 R y f : D R R , la ecuación F(x,y) = 0 define a f implícitamente , si F(x, f (x)) = 0 para todo x del dominio de f . Ejemplo: Sea F(x,y) = x2 + y2 1 . Entonces la ecuación F(x,y) = 0 define implícitamente, entre otras, a las siguientes funciones: f 1(x) = 2x1 si -1 1 x . y f1 y f2 y f3 f 2(x) = 2x1 si -1 1 x .

f 3(x) =

1 x 0 si 1 0 x 1- si 1

2

2

xx x x

x La ecuación x2 + y2 1 = 0 define implícitamente a la función f1 . En efecto:

[-1,1 x ] x2 + ( f 1(x) )2 1 = x2 + ( 2x1 )2 1

= x2 + ( 1 x2 ) 1 = 0. De igual manera se puede comprobar que la ecuación define implícitamente a f2 , a f3 y a infinitas funciones en [-1,1]. Observamos que no todas son continuas. Daremos ahora la definición de función implícita en el caso general: Definición. Sean F : Rn Rm Rm y f : D Rn Rm .Decimos que la ecuación F(x,y) = )yx,( F(x,y) x y = f (x)

define implícitamente a f , si x D es F(x, f (x)) = .


Ejemplo2:

El par de ecuaciones (*)

0 2- z2y x 0 1- z -y 2x define a dos de las variables

como funciones de la restante. Por ejemplo a z y a y como funciones de x. Esto es : z = z(x), y = y(x).

En efecto: x z

x-1 y es solución del sistema (*) pues

0 2-x x)-2(1 x 0 1- x - x)-1(2x .

Este es un ejemplo del caso F : R R2 R2 en el que la ecuación F(x,y,z) = es

2)-z2y x 1-z-y2x(z)y,(x, , 2)-z2y x 1-z-y2x( , = (0,0) y define implícitamente la función f :RR2 .

x)x,-1(z)(y,x

Ejemplo3: La ecuación x2 + y2 z + 1 = 0 implícitamente define a z como función de x y de y : z = z(x,y) = x2 + y2 + 1 en R2. Aquí F :R2R R , F(x,y,z) = x2 + y2 z + 1 .

Ejemplo4: La ecuación x2 + y2 z2 + 1 = 0 no define implícitamente ninguna función. Esto es: y)(x, R2 y z R x2 + y2 z2 + 1 0 . Como se ve en estos ejemplos, no siempre una ecuación F(x,y) = define implícita mente unas de las variables como función de las otras. Si la ecuación es trascendente , como la siguiente: z2 = ln( ex + ey – ez –1), o lo que es lo mismo z2 ln( ex + ey – ez –1) = 0 , no es evidente que implícitamente defina o no a z como función de x e y. (no podemos expresar, de manera explícita, z =z(x,y) tal que reemplazada en la ecuación la verifique.) El siguiente teorema establece condiciones suficientes para que una ecuación defina implícitamente una función.

El Teorema de la Función Implícita

Sea F : Rn Rm Rm continuamente diferenciable y sea Qo Rn+m tal que : (x1,...xn,y1,...,ym) F1(x,y),...., Fm(x,y)) x y

1) F(Qo) = 2) det M 0 donde M es la matriz mm M = . Entonces existe un abierto U Rm tal que la ecuación F(x,y) = define implícitamente una función diferenciable f : U RnRm . x y

Derivadas parciales de las funciones componentes, continuas.

)oQ()oQ(

)oQ(y

)oQ(y

y...

y

.....

.....

.....

...

1

1

1

1

m

m

mm FF

FF


I) En el caso F :R2RR , el T. de la función implícita afirma : Si Fx , Fy , Fz son continuas y existe Qo= (xo,yo,zo) tal que :

1) F (xo,yo,zo) = 0.

2) Fz (xo,yo,zo) 0 . Entonces F(x,y,z) = 0 define implícitamente a z =z(x,y) en un abierto que contiene a (xo,yo) , z es diferenciable.

Para determinar zx , zy , derivamos usando la regla de la cadena en F(x,y, z(x,y)) = 0 .

Fx(x,y,z) + Fz(x,y,z) zx(x,y) = 0 z x(x,y) = z)y,(x,z

z)y,(x,xFF

.

Fy(x,y,z) + Fz(x,y,z) zy(x,y) = 0 z y(x,y) = z)y,(x,z

z)y,(x,xFF

.

II) En el caso F :RR2R2 , el T. de la función implícita afirma : Si F1x , F1y , F1z , F2 x , F2 y , F2 z son continuas y existe Qo= (xo,yo,zo) tal que :

1) F1(xo,yo,zo) = 0 y F2(xo,yo,zo) = 0

2)

oQ

FF

FF

zy

zy22

11

0 .

y’ y z’ se determinan usando la regla de la cadena en F(x, y(x), z(x)) = (0,0).

x1

F

+ y1

F

y’(x) + z1

F

z’(x) = 0

x2

F

+ y2

F y’(x) +

z2

F

z’(x) = 0 Llamando

zy

zy22

11

,

,)J( 21

FF

FF

zy

FF,

obtenemos:

)J(

)J(- y'

z ,y 2,1

z ,x 2,1

(x) FF

FF

, )J(

)J(- z'

z ,y 2,1

y ,x 2,1

(x) FF

FF

.

III) En el caso F :R2R2R2 , el T. de la función implícita afirma : Si F1x ,F1y, F1u , F1v,F2 x ,F2 y ,F2 u, F2v son continuas y existe Qo= (xo,yo,uo,vo) tal que :

1) F1(xo,yo,uo,vo) = 0 y F2(xo,yo,uo,vo) = 0

2)

oQ

FF

FF

vu

vu22

11

0 .

ux, uy , vx, vy se obtienen usando la regla de la cadena en F(x, y, u(x,y), v(x,y)) = (0,0).

Entonces F(x,y,z) = (0,0) define implícitamente a y = y(x) y a z =z(x) en un abierto que contiene a xo. y(x) , z(x) son derivables.

Entonces F(x,y,u,v) = (0,0) define implícitamente a u = u(x,y) y a v =v(x,y) en un abierto que contiene a (xo,yo), y u(x,y) , v(x,y) son diferenciables.


t

sen2z

x1

F

+ xu

u1

F +

xv

v1

F = 0

x2

F

+ xu

u2

F

+xv

v2

F = 0

y1

F +

yu

u1

F +

yv

v1

F = 0

y2

F +

yu

u2

F +

yv

v2

F = 0

Los determinantes J se llaman Jacobianos. Veamos un ejemplo del caso I). Ejemplo: Determinar si la ecuación x2 + z – ln( yz) = 6 define implícitamente a z como función diferenciable de x e y. Busquemos un pto (xo , yo, zo) que verifique la ecuación.

1) 22 + 2 – ln 2) .21

( = 6

La función F(x, y, z ) = x2 + z – ln( yz) – 6 , en un entorno del punto (2, 2) ,21 que

verifica la ecuación, es continuamente diferenciable porque la derivadas:

Fx = 2 x , Fy = - y1 , Fz = 1 -

z1 son continuas. 2) Fz(2, 2) ,

21 = 1 -

21

0 .

El Teorema de la Función Implícita dice que en un entorno de (2, )21 , z es función

z(x,y) de x e y , diferenciable, por lo tanto existen zx y zy .

2 x + zx – z1 zx = 0

zxzzx

12

. zy -y1 -

z1 zy = 0

)1( zyzz y

.

Ejercicio1: La ecuación F(x+ y+ z, x y z) = 0 define implícitamente a z(x, y) como función diferenciable de x e y. Calcular zx . F( x+ y+ z, x y z) = 0 . Fu (1 + zx ) + Fv ( yz + x y zx ) = 0 u v zx ( Fu + x y Fv) + Fu + y z Fv = 0 zx

vu

vu

FyxFFzyF

.

Ejercicio2: La ecuación z + x (x y cos2z)= 0 define implícitamente a z(x, y) como función diferenciable de x e y. Calcular zx . zx + (t) + x ’(t)( ycos2z xy 2 cos z. sen z.zx ) = 0

zx )(21

)()(2

2

tzsenyxtzcosyxt

.

)J(

)J(- u

v,u , v,x

,

x21

21

y)(x, FF

FF

;

)J(

)J(- v

v,u , x,u

,

x21

21

y)(x, FF

FF

)J(

)J(- u

v,u , v,y

,

y21

21

y)(x, FF

FF

;

)J(

)J(- v

v,u ,y ,u

,

x21

21

y)(x, FF

FF


P .

P .

P*.

)P(P)P( oo : BB f (P) f (Po) (1)

)P(P)P( oo : BB f (P) f (Po) (2)

VALORES EXTREMOS. EXTREMOS RELATIVOS.

Consideremos una función f :D R2R .Puede ocurrir que en las proximidades de Po oD la gráfica de f sea de la forma que se indica en los siguientes casos: (1) (2)

z . z . . y y x .Po D x .Po D

Existe una bola )P( oB D tal que Existe una bola )P( oB D tal que P )P( oB es f (P) f (Po) P )P( oB es f (P) f (Po)

(3)

y

.Po. P̂ D

En el caso (1) decimos que f tiene en Po un máximo relativo f (Po). O que f (Po) es un máximo relativo de f . En el caso (2) decimos que f tiene en Po un mínimo relativo f (Po). O que f (Po) es un mínimo relativo de f . Si ocurre el caso (3) decimos que en Po f no tiene un extremo relativo. O que f (Po) no es un valor extremo relativo de f .

Definición. Sea f :D R2R , Po oD . El nº real f (Po) es un extremo relativo de f Si ocurre (1) el extremo relativo es un máximo. Si (2) el extremo relativo es un mínimo.

z x

Para toda bola )P( oB D existen puntos

P* y P̂ tales que: P* )P( oB f (P*) f (Po) . P̂ )P( oB f ( P̂ ) f (Po) .


Sea f :D R2R , PoD . Máximo absoluto. f (Po) es máximo absoluto de f si y sólo si P D es f (P) f (Po) . Mínimo absoluto. f (Po) es mínimo absoluto de f si y sólo si P D es f (P) f (Po) . Observaciones:

_Los extremos relativos, cuando existen, se presentan solamente en puntos interiores del dominio de f .

_El concepto de extremo relativo es un concepto local. Puede ocurrir que una función tenga un mínimo relativo que sea mayor que un máximo relativo.

_Los extremos absolutos pueden presentarse en puntos de la frontera de D y cuando existen son únicos. ¡ Probar !

_ Toda función f continua en D cerrado y acotado tiene máximo absoluto y mínimo absoluto. (Este resultado se conoce con el nombre de Teorema de Weierstrass.)

La siguiente proposición da una condición necesaria para la existencia de extremos relativos cuando existen las derivadas parciales. Proposición : f :D R2R , Po = (xo, yo)Dº. 1) )P(,)P( oo yx ff 2) f (Po) es extremo relativo Dem. Tenemos que probar que si valen 1) y 2) entonces 0)P( 0)P( oo y yx ff Para la demostración vamos a suponer que el extremo es un máximo relativo. Entonces:

)P(),( P)P( oo oo: BB kyhx es f (P) f (Po). Esto es lo mismo que decir :0

22 kh f (xo+h, yo+k) – f (xo, yo) 0 . En particular si k = 0 : h f (xo+h, yo) – f (xo, yo) 0 .

Si 0 < h < entonces

h

- f f yxyhx ) ,() ,(oooo 0 . (*)

Si < h < entonces

h- f f yxyhx ) ,() ,( oooo 0 . (**)

Por hipótesis existe )P( oxf .

)P( oxf = 0hlím

h- f f yxyhx ) ,() ,( oooo

=

. 0)P( o

f

P )P( oB 22 kh

0hlím

h- f f yxyhx ) ,() ,( oooo

0hlím

h

- f f yxyhx ) ,() ,( oooo


Como existen los límites laterales y ambos son iguales a )P( oxf , de (*) y (**) tenemos:

)P( oxf = 0hlím

h

- f f yxyhx ) ,() ,( oooo 0 .

)P( oxf = 0hlím

h

- f f yxyhx ) ,() ,( oooo 0 .

De 0 )P( oxf 0 se sigue )P( oxf = 0 como queríamos probar. La demostración de 0)P( o yf es similar y se deja como ejercicio. Los puntos para los cuales 0)P( o

f se llaman puntos críticos.

La condición de que se anulen las derivadas parciales es sólo condición necesaria para la existencia de extremo relativo. No es condición suficiente. Una función puede tener puntos críticos y sin embargo puede no tener extremos relativos en esos puntos. Ejemplo: Sea f tal que f (x, y) = y2 – x2 . fx (x, y) = 2 x = 0 x = 0 fy (x, y) = 2 y = 0 y = 0 Po = (0,0) es punto crítico y sin embargo f (0,0) = 0 no es extremo relativo porque toda bola con centro en Po tiene puntos (h,0) y (0,k) tales que f (h,0) < 0 y f (0,k) > 0 . z y x Si Po es un punto crítico donde no hay extremo relativo decimos que (xo, yo, f (Po)) es un punto silla. Si en un punto crítico hay extremo relativo, en las proximidades del punto la gráfica de f está sobre el plano tangente si el extremo relativo es un mínimo y debajo del plano tangente si es un máximo. Vamos a ver una condición suficiente para la existencia de extremo relativo en un punto crítico. Así como las funciones diferenciables tienen plano tangente y, en un entorno de ese punto, la cota de la función es próxima a la cota del plano tangente, si la función es continuamente diferenciable de orden dos tiene diferencial segunda. En ese caso la gráfica de la función es próxima a la gráfica de la diferencial segunda que por ser una forma cuadrática su gráfica es la de una cuádrica, un cilindro o el plano z = 0 . Si el punto es crítico y la cuádrica es un paraboloide elíptico hay extremo relativo; pero si es un paraboloide hiperbólico no hay extremo. Si es un cilindro o el plano, no se puede afirmar nada respecto de la existencia de extremo.

Como en Po= (0,0) no hay extremo relativo, el plano tangente atraviesa la gráfica de f .


(h,k) fxx(Po)h2 + 2 fxy(Po) h k + fyy(Po) k2

CONDICIÓN SUFICIENTE PARA QUE EXISTA EXTREMO RELATIVO. Si f es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas y Po es un punto crítico, condición suficiente para que f (Po) sea extremo relativo

es que el determinante Hessiano Hf (Po) = )P()P()P()P(

oooo

yyxyxyxx

ffff sea positivo. Si

)P( oxxf >0 el extremo es un mínimo relativo y si )P( oxxf <0 es un máximo relativo. Cuando el Hessiano es negativo no hay extremo relativo en Po , y si es cero puede o no, haber extremo en Po . Dem.

Por el Teorema de Taylor 0P -P

!21

)(P - (P)

PP 2o

)P-(P2P)P-(PPo

o

oooo

fd-fd-fflím .

Como Po es crítico , )P-(PP oo fd = 0 ¿ Por qué? . Entonces, siendo P - Po = (h,k)

0)(

)(!2

1 )(P - (P)

(0,0))( 2

2Po o

h,k

h,k

h,k

fd-fflím .

Esto dice que si P Po entonces f (P) – f (Po) )(!2

1 2Po

h,kfd .

Por lo tanto P Po , f (P) – f (Po) tiene el mismo signo que la forma diferencial 2da. SiP Po la diferencial segunda es siempre positiva, entonces P Po es f (P)> f (Po) luego f tiene un mínimo relativo en Po . SiP Po la diferencial segunda es siempre negativa, entonces P Po es f (P)< f (Po) luego f tiene un máximo relativo en Po .

Si por el contrario la diferencial segunda cambia de signo en toda bola de centro Po, esto es: P*Po tal que diferencial 2da en (P*-Po) es positiva y P̂ Po tal que diferencial 2da en ( P̂ -Po) es negativa, entonces:

P* Po : f (P*)> f (Po) y P̂ Po : f ( P̂ )< f (Po) luego f no tiene extremo relativo en Po . Debemos estudiar entonces la forma diferencial 2da.

fd 2Po

:R2R es una forma cuadrática

Si llamamos : fd 2Po

(h,k) = Q(h,k) , fxx(Po) = a , fxy(Po) = b , fyy(Po) = c . Tenemos: Q(h,k) = a h2 + 2 b hk + c k2 . Y completando cuadrado si a 0 :


Hf (Po)

Q(h,k) = a (h2 + 2 ab hk + 2

2

ab k2 2

2

ab k2 ) + c k2 .

= a ( h + ab k )2

ab2

k2 + c k2 .

= a1 (ah+ bk)2 +

akbac 22 )( .

= a1 [(ah+ bk)2 + 22 )( kbac ] .

Si )( 2bac > 0, Q(h,k) va a ser siempre positiva o siempre negativa según sea a o a .

Por eso cuando fxx(Po) fyy(Po) - fxy(Po)2 0, fd 2

Po(h,k) es siempre positiva si

fxx(Po) o siempre negativa si fxx(Po) , como queríamos probar. En cambio si )( 2bac < 0, es decir si Hf(Po)<0, habrá vectores (h,k) para los cuales Q(h,k)0 y vectores (h´,k´) para los cuales Q(h´, k´)0 por lo que fd 2

Po tomará

valores positivos y negativos y entonces no habrá extremos. La gráfica de Q(h,k) es la de un paraboloide elíptico si )( 2bac >0 y es un paraboloide hiperbólico si )( 2bac < 0 . Si Hf (Po) = 0 puede haber extremo como es el caso de f (x, y) = x2; pero puede ser que no haya extremo como en el caso f (x, y) = x3. Ejercicios: Estudiar los extremos relativos de :

a) z = x3 – xy + y2 – 5y . b) f (x, y) = x2 – ln(x+y) + y – 1 , definida en D = {(x, y)| x+y 0 } .

c) z = 2 sen2(x+y) – x2 + y2 y . d) z = 2 cos2(x+y) – x2 – xy .


EXTREMOS LIGADOS (o Condicionados). MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea f :R3R con la condición de vínculo g(x, y, z) = 0 (1) (x,y,z) w = f (x,y,z)

Si g es continuamente diferenciable y en Po = ( xo,yo,zo) es g(Po) = 0 y gz(Po) 0 , entonces la ecuación (1) define implícitamente a z(x,y) como función diferenciable de x e y . Decimos que la función f con la condición de vínculo (1) tiene en Po un extremo relativo ligado si xy) = f (x, y, z(x, y)) tiene en (xo, yo) un extremo relativo, donde zo = z(xo, yo). Queremos determinar condiciones necesarias para que f con la condición g(x,y,z) = 0 tenga en Po un extremo relativo. Supongamos f diferenciable y sea f (Po) un extremo relativo de f con la condición (1). Entonces tiene un extremo relativo en (xo, yo). Por lo tanto x (xo, yo) = 0 y y (xo, yo) = 0

f x(Po) + f z(Po) zx (xo, yo) = 0

f y(Po) + f z(Po) zy (xo, yo) = 0

Como la ecuación (1) define a z(x, y) diferenciable:

gx(Po) + g z(Po) zx (xo, yo) = 0 zx (xo, yo) = )P(

)P(

o

o

z

x

gg

g y(Po) + g z(Po) zy (xo, yo) = 0 zy (xo, yo) = )P(

)P(

o

o

z

y

gg

reemplazando en (*)

f x(Po) )P()P()(P

oo

oz x

zg

gf

= 0

f y(Po) )P()P()(P

oo

oz y

zg

gf

= 0 y también vale obviamente:

f z(Po) )P()P()(P

oo

oz z

zg

gf

= 0.

Si llamamos )P()(P

o

oz zg

f , podemos escribir :

Entonces f

(Po) = g

(Po). Por lo tanto:

(*)

f x(Po) )P( oxg

f y(Po) )P( oyg

f z(Po) )P( ozg


Condición necesaria para que la función f con la condición de vínculo g(x, y, z) = 0 tenga en Po un extremo ligado es que exista R tal que la función

L (x, y, z) = f (x, y, z) + g(x, y, z) tenga L

(Po) = 0

. Es decir que Po sea punto crítico de L .

La función L se llama función de Lagrange y se llama un multiplicador de Lagrange. Para determinar Po a partir de la función de Lagrange, tenemos que resolver el sistema :

L

(P) = 0

g(x, y, z) = 0 Ejemplo : Determinar los puntos críticos de f (x, y, z) = x + y + z con la condición de vínculo x2 + y2 + z2 = 1 .

Formemos la función de Lagrange: L (x, y, z) = (x + y + z ) + (x2 + y2 + z2 – 1 ).

Lx (x, y, z) = 1 + 2 x = 0 Ly (x, y, z) = 1 + 2 y = 0

Lz (x, y, z) = 1 + 2 z zyx 2

121

21

21zyx

De la condición de vínculo x2 + y2 + z2 1 = 0 : 3 1)21( 2

432

23 2

3 Con lo que obtenemos dos puntos críticos para f con la

condición de vínculo. P1= )

33,

33,

33( y P2 = )

33,

33,

33( .

Si hay dos condiciones de vínculo: g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) = 0 que definen implícitamente a y(x) y a z(x):

Para que, en el punto Po , f tenga un extremo ligado es condición necesaria que existan dos multiplicadores de Lagrange de manera que : L (x, y, z) = f (x, y, z) + g1(x, y, z) + g2(x, y, z) tenga gradiente L

(Po) = 0

.

Ejercicio: Determinar la distancia más corta del origen a la curva intersección del

paraboloide z = 22

47 xy y el plano x + y + z = 2 .

Como hay dos condiciones de vínculo la función de Lagrange es:

f x(P) )P(xg = 0 f y(P) )P(yg = 0 f z(P) )P(zg = 0 g(P) = 0

Sistema de cuatro ecuaciones en las incógnitas x, y, z,


De las condiciones de vínculo en P1 :

2x + 2y y´+ z´= 0. 1 + 2 y´+ z´= 0

1 + y´+ z´= 0. 1 + y´+ z´= 0.

Luego y´= 0 ; z´= -1

2 + 2(y´)2 + 2 y y´´+ z´´= 0 2 + 2 y´´+z´´ = 0

y´´+ z´´= 0 y´´+ z´´= 0

Luego y´´= -2 ; z´´ = 2

L (x, y, z) = f (x, y, z) + x2 + y2 + z 47 ) + (x + y + z – 2) .

La función f es la función distancia al origen. Por comodidad vamos a considerar el cuadrado de la distancia, teniendo en cuenta que si f tiene en Po un extremo que vale a , entonces f 2 también tiene, en Po , un extremo igual a a2.

L (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z 47 ) + (x + y + z – 2) .

Lx (x, y, z) = 2 x + 2 x + Ly (x, y, z) = 2 y + 2 y + Lz (x, y, z) = 2 z + + Obtenemos un sistema de cinco ecuaciones en las incógnitas x, y, z, , 2 x + 2 x +

2 y + 2 y + 2 z + +

x2 + y2 + z 47

= 0

x + y + z – 2 = 0 . 2(y-x) + 2 y-x) = 0 si xy Reemplazando en la 1ra ecuación : 2 x 2 x +

z 21

. Reemplazando z en las dos ecuaciones de vínculo :

x2 + y2 45 x + y =

23 (x + y)2 =

49 2 xy = 1 x2

23 x +

21 = 0 .

De donde x = 21 , y = 1 o x = 1 , y =

21 . Obtenemos así los puntos críticos:

P1 = (21 , 1,

21 ) y P2 = (1,

21 ,

21 ) . Si x = y se obtienen

P3 = (22

142

21

42

21 ,, ) y P4 = (

22

142

21

42

21 ,, ) . El extremo se produce en

P1 y P2 y vale 23 porque

23 d(P1,O) = d(P2,O) < d(P3,O) < d(P4,O).

f (x,y(x),z(x)) = x2 + y2(x) +z2(x) = (x).

´(x) = 2 x + 2 y y´+ 2 z z´. ´´(x) = 2 + 2(y´)2 + 2 y y´´+ 2(z´)2 + 2 z z´´

´´(21

) = 2 + 2(y´)2 + 2 (1)y´´+ 2(z´)2 + 2(21

) z´´

´´(21

) = 2 + 2(y´)2 + 2 y´´+ 2(z´)2 + z´´

= 2 Hay extremo en P1 y es un mínimo. Observación: Los multiplicadores de Lagrange se pueden usar para facilitar la resolución del sistema formado por L

(Po) = 0

y las condiciones de vínculo. Solamente sirven

para determinar puntos críticos. Después se debe analizar la existencia del extremo.


k

INTEGRALES MÚLTIPLES

Vamos a definir la integral doble de Riemann y, de manera natural, generalizaremos el concepto para obtener la definición de integral múltiple. Conjunto Acotado en R.

Sea AR , A . Un número real K se llama una cota superior de A, si x A , x K. A K Si A tiene una cota superior, el conjunto A se dice acotado superiormente. De la misma manera: Un número real k se llama una cota inferior de A, si x A , k x .

k

Si A tiene una cota inferior, el conjunto A se dice acotado inferiormente.

Definición: Un conjunto de números reales no vacío, es acotado si está acotado superiomente e inferiormente. Esto es : A es acotado si existen constantes a, b R , ba tales que bxax esA . Podemos decir, entonces, que : Un conjunto de números reales no vacío, es acotado si existe un intervalo real [a,b] tal que A [a,b] . Observemos que si K es una cota superior de A todo número a la derecha de K también es cota superior. Por lo tanto si un conjunto está acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores. K A

Lo mismo para la cota inferior. Si k es una cota inferior de A todo número a la izquierda de k también es cota inferior. Por lo tanto si un conjunto está acotado inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. A Conjunto acotado en Rn. Sea BRn , B .

B es acotado def { d(P,Q)R | P, Q B } R es acotado.

Esto es lo mismo que decir : B es acotado sii k 0 : P, Q B, kQ-P .


d

c

Paralelas a los ejes coordenados dividen a R en sub-rectángulos parciales. Si de esta manera dividimos a R en n rectángulos

d

c

Rectángulo coordenado en Rn. RRn es un rectángulo coordenado si R = {(x1,...,xi,...,xn)| i = 1,...,n ai<xi<bi} donde i = 1,..., n ai, bi R , bi ai . Esto es: R = [a1, b1] [a2, b2] ... [an, bn] . Un rectángulo coordenado en R es un segmento. Si n = 2, un rectángulo coordenado es un rectángulo en el plano, de lados paralelos a los ejes coordenados. y Con notación clásica R = {(x, y)| axb, cy d}. x z a b Si n = 3, un rectángulo coordenado es un paralelepípedo en el espacio, de caras paralelas a los planos coordenados. y x Para n = 1 se define la longitud de R = [a , b], l(R) = ba. Para n = 2 se define el área de R = [a , b] [c , d] , A(R) = (b - a)(d – c) . Y para n = 3 se define el volumen de R = [a , b] [c , d] [e , f] , V (R) = (b - a)(d – c)(f e). La siguiente proposición es una consecuencia de las definiciones y se deja como ejercicio para las clases prácticas: Proposición BRn , B . B es acotado RRn , rectángulo coordenado tal que BR. Función acotada. f : D R nR

f es acotada def { f(P)| PD }R es acotado .

Podemos decir que f es acotada sii kR, k 0 : P D | f (P)| k . Definición de integral doble .

Sean RR2 un rectángulo coordenado y f : R R2R una función acotada. No pedimos otras hipótesis para f . (como continuidad etc.)

Rk

a b


d

c ´

Definimos en R f *: R R2R P si 0

P si (P) PRR

f

Como f es acotada en R, resulta f * acotada en R.

n

coordenados R1, R2,.., Rk,..., Rn , decimos que hemos efectuado una partición del rectángulo R. Los rectángulo Rk se denominan sub-rectángulos de la partición .

y Rk Rki a b x Observación: Una partición’ más fina que se obtiene agregando nuevas paralelas a las que determinan . Vamos a definir ahora función integrable. Para ello damos la siguiente definición:

Sea f :R R2R una función acotada en R conjunto acotado Como R es acotado R , rectángulo coordenado en R2 tal que RR R2 . R

Sea una partición de R en n sub rectángulos parciales R1, R2,..., Rk,...,Rn . k = 1,...,n llamamos diámetro de Rk a dk= máximo de las distancias entre puntos de Rk . dk es la longitud de la diagonal del rectángulo Rk .

y definimos como norma de la partición al máximo de los diámetros dk . =máx{dk | k = 1,...,n } En cada sub rectángulo Rk elijamos un punto cualquiera Pk y formemos el producto f (Pk) A(Rk).

La suma

n

k 1 f *(Pk) A(Rk), se llama una suma de Riemann asociada a la partición

Observamos que cada suma de Riemann depende de la partición y del punto Pk elegido en cada sub rectángulo Rk . Definimos “límite de las sumas de Riemann” así : Si existe un número real I , al que se aproximan todas las sumas de Riemann asociadas a particiones de normas que tienden a cero cuandon crece, decimos que las sumas de Riemann tienen límite I. ( n es el número de subrectángulos Rk) Si las sumas de Riemann tienen límite I, escribimos :

lím

n

k 1 f *(Pk) A(Rk) = I .El significado preciso de este límite es el siguiente:

Efectuada la partición de R, diremos que otra partición ’ de R es más fina que , o que es posterior a , si cada sub-rectángulo de ’ está contenido en un sub-rectángulo de

R


n

ynoN tal que de norma cdo n no

y toda suma de Riemann

n

k 1 f *(Pk) A(Rk) asociada a es

n

k 1 f *(Pk) A(Rk) I .

n

lím

n

k 1f *(Pk)A(Rk) = I

Definición

Sean R conjunto acotado yf :R R2R , acotada. f es integrable en R si existe el límite I .

I = lím

n

k 1 f * (Pk) A(Rk). Si existe, I se llama la integral de f en R y se

denota : R

dAf P)( .

Otras notaciones son R

dAf , R

dydxf y)x,( .

Ejemplo Si f 1, y R es un rectángulo coordenado R = {(x, y)| axb, cyd }. f es integrable y vale: R

dA A(R) .

Observación: La integral doble se define solamente para funciones acotadas en conjuntos acotados y para que la función sea integrable debe, además, existir el límite de las sumas de Riemann . Aclaramos que no toda función acotada en un conjunto acotado es integrable.

Ejemplo.

En R = {(x, y)| 0x1, 0y1 } , sea f (x,y) = irracionalyoxsiracionalesyexsi

01 .

f no es integrable en R . Para probarlo hay que encontrar una partición cuya norma tienda a cero; pero que las sumas de Riemann no tiendan a un nº fijo. Es evidente que en los rectángulos genéricos de cualquier partición hay puntos con ambas coordenadas racionales y puntos con una coordenada racional y otra irracional, por lo tanto las sumas de Riemann no van a tener límite.


Todo lo dicho para integrales dobles sirve para definir integrales simples(de una variable), integrales triples y en general integrales de orden de orden n.

En R1 un rectángulo coordenado R es un intervalo real l= [a,b] , y una partición consiste en dividir [a,b] en n intervalos mediante puntos xo= a< x1<…< xi<…<xn=b.

Las funciones que se consideran son f : [a,b]RR acotadas y vale la misma definición de integral. El símbolo es

ba dxxf )( o

ba

dxf,

.

Y si f 1 es badx

,

= long(R) = (b a) .

En R3 un rectángulo coordenado R es un paralelepípedo y una partición de R se obtiene trazando planos paralelos a lo planos coordenados. La notación para integrales triples de funciones f : RR3R es : R

dVf

o R dzdydxf zyx ),,( . Y si f 1 , R dV = V(R).

Si R = {(x, y, z)R3| a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , 1 ≤ z ≤ 0 }, R dV = (b a) (d c) (1 0).

Observar que si R = {(x, y)R2 | a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d } R2,

R1 dA = R

dA = A (R) = (b a) (d c) = V(R).

Esto es: RdA es el área del rectángulo R R2 y también es el volumen

volumen de un paralelepípedo R R3 de base R y altura 1.

Definición: En este curso vamos a decir que un conjunto es conexo si es arco-conexo. Esto es: Decimos que un conjunto CRn es conexo si C QP, , una curva P Q C . Ejemplos

conexo no conexo conexo Definición: RRn es una región si es la unión de un abierto conexo con parte de su frontera. región no es región no es región

1

R R


R

o o

R R

R R R

R2 R1 R

Importante: Se puede probar que las funciones continuas en regiones cerradas y

acotadas son integrables.

Si R es una región cerrada y acotada y f acotada es continua en R , salvo en un

número finito de conjuntos contenidos en R , que pueden ser puntos o trozos de

curvas regulares, también se puede probar que f es integrable.

Interpretación geométrica de la integral doble.

Sea RR2 una región cerrada y acotada y f : R R2R continua y no negativa en R2 . Entonces f es integrable y el valor de la integral es, por definición, el volumen V del sólido en R3 limitado superiormente por la gráfica de f e inferiormente por la región plana R. f

dAf = V

R

Enunciamos propiedades de la integral múltiple. (No damos la demostración.)

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES.

1) Propiedad de linealidad.

Sean f : R R2R y g : R R2R integrables en , R región cerrada y acotada, y sean a,bR. Entonces af + bg es integrable y dAgbdAfadAbgaf .

2) Propiedad de monotonía

Si f y g son integrables en R entonces: P R f (P) ≥ g(P) dAgdAf .

3) Propiedad de sumabilidad respecto de la región de integración. Sean las regiones R1, R2, R R2 cerradas y acotadas, tales que R =R 1UR 2 con

R 1∩R 2 = . Y sea f integrable en R .Entonces: dAfdAfdAf .

z

x

y


R R

f y g son integrables por ser continuas en una región cerrada y acotada, además por la mono tonía y linealidad de la integral podemos escribir:

P R g(P) 0 R g(P)dA 0

R

R0A))

0A) )

(P

(P

dgb

dga

R

R

A)

A))

(P

(P(P

dg

dgf

R

R

A)

A))

(P

(P(P

dg

dgf

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL

Antes de enunciar el teorema, vamos a señalar las propiedades de las funciones continuas definidas en regiones cerradas y acotadas que tendremos en cuenta en la demostración del teorema.

1. Toda función continua f definida en un conjunto R cerrado y acotado alcanza el mínimo absoluto m y el máximo absoluto M. Esto es:

P~ R : P R f (P) P~(f ) = m y

P̂ R : P R f (P) )P̂(f = M.

2. Si R es una región (conexo con interior no vacío) cerrada y acotada, la función continua f toma todos los valores comprendidos entre m y M. Esto es:

Mm, , P*R : f (P*) = .

Teorema V.M.C.I. Sea R una región cerrada y acotada, f : R R2R y g: R R2R continuas y P R g(P) 0. Entonces existe un número real entre el mínimo absoluto m y el máximo absoluto M de f en R, tal que f(P)g(P) dA = g(P) dA.

Dem. Por la propiedad 1. existen m =mín{ f(P) | PR} y M = máx{ f(P) | PR} y vale: PR m f(P) M . Como por hipótesis g es no negativa en R, tenemos:

PR m g(P) f(P) g(P) M g(P).

Rm g(P)dA R f(P)g(P)dA RM g(P)dA .

mRg(P)dA R f(P)g(P)dA M Rg(P)dA. (1)

Si vale a) podemos dividir en (1) y obtenemos m M .

Si lamamos = obtenemos R

f(P)g(P) dA = Rg(P) dA , que es

la tesis. Si vale b), reemplazando en (1) tenemos:

0 R f(P)g(P)dA 0 R f(P)g(P)dA = 0


eligiendo como valor de a cualquier número entre m y M, obtenemos nuevamente la tesis. R f(P)g(P)dA = Rg(P) dA . Q.E.D.

0 Interpretación geométrica de un caso particular del T.V.M.C.I.

Sea f : R R2R continua y no negativa en R, región cerrada y acotada y g 1 en R .

El T.V.M.C.I dice que existeR tal que Rf(P) dA = RdA. Con m M

Como f es continua en R que es conexo por ser región, toma todos los valores comprendidos entre m y M . Hay entonces un punto en R donde f asume el valor . Esto es : P* R : = f (P*) . Por otra parte RdA = A(R) .

Luego podemos escribir : P* R tal que Rf(P) dA = f (P*). A(R) .

El 1er miembro de esta igualdad es Rf(P) dA. (volumen del sólido limitado

superiormente por la gráfica de f e inferiormente por la región plana R ) El segundo miembro es f (P*) A(R) . (volumen del cilindro de altura f (P*) y base R). z f (P*) y . R x P* V = f (P*) A(R) = A(R).

V = Rf(P) dA.


(xo, x))

F(xo) = A(R´ ).

En efecto, la curva C es C

oxxyxfz

),( y en el plano

vertical x = xo su ecuación es z = f(xo, y) = y) ; xo) y xo)

y

0h

0h 0h0h 0h

(xo, x))

INTEGRALES PARAMÉTRICAS

Sean y funciones continuas en [a, b] y f : R R continua, donde R es una región de R2 , cerrada y acotada tal que : R = {(x,y) R2 )()(,| xx ybxa } .

Se llama integral paramétrica a la función F : ba, R

x dyfxFx

xyx

)(

)(,)(

Interpretación Geométrica. z

Sea xo [a, b] f

)( oxF = dyx

xyxf

)(

)(,

o

oo = dyy

x

x

)(

)(o

o)( . C

R ´

a |

xo b | x

Por lo tanto F(xo) es el área A(R’) de la región R’ del plano vertical de ecuación x = xo , limitada superiormente por la curva C = ([(xo),(xo)]) e inferiormente por el segmento determinado por los puntos (xo, x)) y (xo, x)) . Se puede probar que la integral paramétrica es continua. No vamos a dar la demostración. Sólo veamos las consecuencias de la continuidad de la integral paramétrica. Si F es una función continua en [a, b], entonces x[a, b] se cumple:

lím F(x+h) = F(x) . Entonces:

lím dyhx

hxyhxf

)(

)(, = dy

x

xyxf

)(

)(, = dy

hxlím

hxlímyhxflím

)(

)(,

Observamos que la continuidad de la integral paramétrica se traduce en que se puede invertir el proceso “ límite” con el de “ integración”.

El siguiente teorema nos da una regla para obtener la derivada de la integral paramétrica. Se conoce con el nombre de regla de derivación bajo el signo integral o regla de Leibnitz.


h0 h0

h0 Por T.V.M.C.D. ( fciones de una

variable) h0

Es una integral paramétrica porque fx es ctinua y por la continuidad de la integral paramétrica se puede invertir el límite con la integral.

h0

Regla de Leibnitz Sea la integral paramétrica F : ba, R .

x dyxx

xyxfF

)(

)(,)( .

donde y, además de continuas en [a,b] son derivables en (a, b) ; f es continua en

R = {(x,y) R2 )()(,| xyxbxa } y existe fx continua en Ro.

Entonces x (a, b) existe F’(x) y vale :

F’(x) = dyx

x x yxf

)(

)(, f (x, x)). ’(x) f (x, x)). ’(x) .

Dem. Probaremos la fórmula, primero, para el caso en que y sean constantes.

Sea entonces dyfxF yx

,)( .

lím h

xFhxF )()( = lím h1 ( dyf yhx

, dyf yx

, )

= lím h1 dyff yxyhx ),(),(

.

= lím h1 dyh yhxxf

),( .

= dyyhxxflím

),( .

= dyyxxf

),( . Por la continuidad de fx .

Hemos probado que si y son constantes F’ existe y vale F’(x) = dyyxxf

),( .

Para probar la fórmula en el caso general, observemos que F es función de x, y dyfxF

x

xyx

)(

)(,)( = ( x, (x), (x)). Y por la regla de la cadena :

F’(x) = x + ’ + ’. (*)

x = x ( dyf

x

xyx

)(

)(, ) = dyyxxf

),( . Por lo que acabamos de probar (yctes ).

= ( dyf

x

xyx

)(

)(, ) =f (x, (x)) . Por Teorema Fundamental del Cálculo.

= ( dyf

x

xyx

)(

)(, ) =

( dyf

x

xyx

)(

)(, ) = f (x, (x)) .

Reemplazando en (*) obtenemos la fórmula de Leibnitz.

F’(x) = dyx

x x yxf

)(

)(, f (x, x)). ’(x) f (x, x)). ’(x) .


yj

a b

d c

CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DOBLE MEDIANTE DOS INTEGRALES SIMPLES SUCESIVAS. El cálculo directo (usando la definición) de una integral múltiple suele ser complicado. Bajo ciertas condiciones puede calcularse una integral múltiple mediante integrales simples sucesivas. Sea f : R R2R continua en R, región cerrada, acotada tal que : R = {(x,y) R2 )()(,| xβyxbxa } = {(x,y) R2 )()(,| yy xdyc }. Entonces f es integrable y vale:

dAfR )P( = dxdyyxba

x

xf )).((

)(

)(

= dydxyxdc

y

yf )).((

)(

)(

.

y y R R + + x x Vamos a hacer la demostración para el caso particular de una región rectangular. Si R = {(x,y) R2| a x b ; c x d }, probaremos

dAfR )P( = dxdyyxba

dc

f )).(( = dydxyxdc

ba

f )).(( .

Demostración.

dxdyyxba

dc

f )).(( = ba

dxxF )( , con F (x) = dyyxdc

f ),( integral paramétrica.

Sea una partición de R en n = p.q rectángulos R k obtenida trazando, sobre el lado ab, p+1 puntos de subdivisión y sobre el lado cd, q+1 puntos tales que:

a = xo x1 x i x p-1 x p = b . y

c = yo y1 yj y q-1 x q= d

yj-1-

xo xi-1 xi xp

yq

yo


dxdyyxba

dc

f )).(( = ba

dxxF )( =

p x

xdxxF

1i

i

1i)(

=

p

1i-iii ))(( 1xxF .

= )(),ξ( 1-iip

1ii

xxdyyfd

c

.

= )(),ξ( 1j

1-j-ii

p

1i

q

1ji

xxdyyfy

y

.

= )()(),ξ( 11 -iip

1i-jj

q

1jji

xxyyf

.

Llamando Rk al rectángulo parcial determinado por los puntos (x, y) tales que xi-1 x xi e yj -1 y yj ; y Pk = ( i , j ) , como xi-1 i xi e yj-1 j yj , resulta Pk Rk y A(Rk) = )( 1-ii xx . )( 1-jj yy . Entonces podemos decir que:

dxdyyxba

dc

f )).(( = )R()P( kk1

Afn

k

.

El 1er miembro es constante y las sumas de Riemann del 2do miembro tienen límite cuando n y () 0 porque f , al ser continua en un rectángulo es integrable. Entonces:

lím dxdyyxba

dc

f )).(( = lím )R()P( kk1

Afn

k

.

dxdyyxba

dc

f )).(( = dAfR )P( . Q.E.D.

La otra igualdad se prueba análogamente.

Ejemplo:

Calcular el área de la región plana limitada por las curvas y de ecuaciones : y = x + 2 ; y = x2 .

A(R) = R dA = dxxx

dy )(2

1

22

. y = x + 2 y = x2

= dxxx )(2

122 =

29 . x

Por T.V.M.C.I. i = 1,...,p. i : xi-1 i xi . y vale:

Nuevamente, por T.V.M.C.I. j = 1,...,q. j : yj-1 j yj . y vale:

() 0 n

() 0 n

+ -1

+ 2


-1

-4

Invirtiendo el orden de integración tendríamos: y x = y - 2

R2 x = y R1 x x = y Para integrales triples el resultado es:

I = dVzyxF ),,( =

ba

dzzyxFdydxx

x

yxg

yxf

)(

)(

),(

),(),,( .

z g f y y= x y =(x) x Cambiando el orden de integración, obtenemos:

dVzyxF ),,( = dc

xx

dzzyxFdxdyy

y

yxg

yxf

)(2)(1

),(

),(),,( =

kh

yy

dxzyxFdydzz

z

zy

zy

)(2)(1

),(

),(),,(

etc. Hay seis posibilidades. Se elige el orden de integración que convenga.

Ejercicio: Calcular dVy

31 . es la región espacial interior al paraboloide

z = ( x2 + y2 ) y al cilindro x2 + y2 = 1; y exterior a z = ( x2 + y2 ) dVy31 =

1

1

21

21

)(4

)(1

22

22 31x

x

yx

yxdzydydx =

1

1

21

213

31x

xdyydx

=

1

1 1

12

2

2

2dxy

x

x = 0

A(R) = 1RdA+ 2R

dA .

= 1

0

y

ydxdy +

4

1 2

y

ydxdy .

= dyy1

02 + dyyy )2([

4

1.

= 34 +

619 =

29 .

a_

b_


CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MÚLTIPLES. Puede ocurrir que el cálculo de una integral en coordenadas cartesianas sea demasiado complicado. En algunos casos, mediante un cambio de variables adecuado, puede simplificarse la resolución de la integral. La fórmula para el cambio de variables en integrales simples es:

b

adxxf )( =

´

´)´())((

b

aduugugf .

Donde g: [a, b] [a, b] derivable con derivada g continua; a = g(a) y b = g(b). u x = g(u) Enunciamos sin demostración, el teorema de cambio de variables para integrales dobles: Teorema. Sea g: D R2 (u,v) (x(u,v), y(u,v)) una transformación continuamente diferenciable, inyectiva en R y tal que det (g) 0 en R D R2 . Si R es un conjunto acotado cuya frontera está formada por un número finito de curvas regulares , R = g(R) y f : R R acotada y continua , entonces:

R dydxyxf ),( = Rdvdugvugf 'det),(( .

El resultado sigue siendo válido aún cuando g no sea inyectiva en una curva contenida en R y det (g) = 0 en los puntos de una curva contenida en R. Ejemplo 1. Si R es el paralelogramo de vértices (0,0) ; (2,0) ; (1,1) ; (3,1) , la integral

Rdydxyx )( puede transformarse en una integral sobre un rectángulo mediante la

transformación g(u,v) = (u+ v, v ). x u+ v y v det g’ 10

11 .

’

v g

D R R’

u

y

x

y

u

v

x


a

y

x a

o

a 0 2

Rdydxyx )(

R

dvduvu )2( 2

0

1

0)2( dvvudu .

2

02 1

0)( duvuv

2

0)1( duu ( uu

2

2)

2

0= 4 .

Ejemplo 2.

Coordenadas polares. g: D R2 D = R+ [0,2] (,) (x(,), y(,))

P . (x, y) = OP , es el ángulo que forma el semieje ox (eje polar) con el radio vector .

O

det g’

cossensencos

y = tgo x g R2 a D x2 + y2 = a2

o g(D) = R2

La aplicación g transforma: el segmento del plano en la

circunferencia de ecuación x2 + y2 = a2 del plano x y . y la semirrecta o en la semirrecta y = tgo x.Si R D es una región acotada , R = g(R) y f : R R2 continua, entonces

R dydxyxf ),( =

Rddgf ),(( .

La fórmula vale aún cuando g no es inyectiva en D porque transforma el segmento de Den el punto (0,0) de R2 y las semirrectas yde D en el semieje ox de R2

x

y

x cos

y sen 22 yx

tg = xy


3

6

Ejercicio Calcular el área de la región en el 1er cuadrante limitada por: las rectas 3 y = x, y = 3 x , y las circunferencias x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4 .

Las ecuaciónes de las rectas y de las circunferencias en coordenadas polares, son: 3 y = x 3 sencos tg =

31 =

6 .

y= 3 x = 3 .

x2 + y2 = 1 cos 2 + sen 2 x2 + y2 = 4 .

y

g x ı ı R está determinada por : 1 2

6

3

A(R) = 4

3

6

2

1

dddd

R .

Cambio de variables en integrales triples El teorema de cambio de variables en integrales triples se enuncia igual.

Sea g: D R3 R3 (u,v,w) (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) continuamente diferenciable, inyectiva y tal que det (g) 0 en D. Si D es un conjunto acotado cuya frontera está formada por un número finito de superficies regulares, = g() y f : R acotada y continua , entonces vale:

dzdydxzyxf ),,( = dwdvdugwvugf 'det),,(( .

El resultado sigue siendo válido aún cuando g no sea inyectiva o det (g) = 0 en los puntos de una curva o de una superficie contenida en .

3

6

1 2


V =

222

222

22

22yxa

yxa

a

a

xa

xadzdydx

.

det g' =

zzzyyyxxx

ρ

ρ

ρ= sen

Ejemplo: Calcular el volumen de una esfera de radio a, usando integrales triples. La ecuación de la esfera es x2 + y2 + z2 = a2 .

V = dzdydx . El cálculo en coordenadas

cartesianas es complicado pues: a

Para calcular la integral triple vamos a usar coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas

x =cosseny =sensen z = cos . g: D R3

R3 D = R+ [0,2

(,,) ),,( zyx g(D) = R3. D R3 x

y z La ecuación de la esfera de radio a, en coordenadas esféricas es a aax a

22 xa y 22 xa

222 yxa z 222 yxa

g transforma el rectángulo ’ D de ecuación = a en la esfera del espacio XYZ.

z = a y x

z • y x

’a


det g’ =zzz

zzzyyyxxx

ρ

ρ

ρ=

10000

cossensencos

=

V = dzdydx = dddsen2 =

dsendda

θ0

2

0 02 = 3

34 a .

Para calcular el volumen de un elipsoide se usan las coordenadas esféricas elípticas: x =a cossen y = b sensenz = c cos .

El determinante jacobiano de esta transformación es abc sen

Coordenadas cilíndricas

g: D R3 R3 D = R+

[0,2 R . g(D) = R3. (,, z) ),,( zyx z z = a

a y La ecuación del cilindro es a. x

Ejercicio : Calcular el volumen del sólido en el 1er octante, limitado por

1 z = x2 + y2 y por los planos x = y ; x = 0 ; z = 0 .

En coordenadas cilíndricas, las ecuaciones de los planos x = y, x = 0 , z = 0 son respectivamente:

4

, 2

, z = 0.

La ecuación del paraboloide es 1 z = .

V =

22

4

1

0

1

0 16dzdd .

z y x

Ecuación del cono en coordenadas esféricas

Ecuación del plano en coordenadas esféricas

x = cos y = sen z = z

4

z

y

x


' ' ' '

'

'

INTEGRALES CURVILÍNEAS.

LONGITUD DE ARCO DE CURVA. Sea la curva R3 parametrizada por f :[a, b] R3 continua; f ([a, b]). t f(t) = (x(t), y(t), z(t)) z f(b) = Pn a t b f(t) =P y f(a) = Po x Si f es inyectiva no se corta a si misma. Consideremos una partición de [a, b] mediante n-1 puntos de subdivisión: a = to < t1 < < tk-1 < tk << tn-1 < tn = b . (máxtk – tk -1k 1, ..., n }. Sobre la curva tenemos los correspondientes puntos: f (a)= Po, . . . , Pk-1, Pk , . . . , Pn= f (b) , que determinan una poligonal cuya longitud es

(P) =

n

kkk tftf

11 )()( . f(tk) = Pk

z Pn

' ' ' ' Po y x Si existe el límite de (P) cuando ( tiende a cero al tender n a infinito y es independiente de la particular poligonal, por definición, es la longitud de la curva .

() =

n

kkk

n

tftflím1

10)()()(

.

Cuando una curva tiene longitud se dice rectificable. Generalmente es difícil calcular, usando la definición, la longitud de una curva rectificable. El siguiente teorema proporciona una fórmula para calcular la longitud de cuando f ′ es continua en (a, b) .

Pk-1 ' 'Pk a tk-1 tk b


Teorema

Sea f ([a, b]) tal que f :[a, b] R3 es continua junto con f ′ en (a, b), t f(t) = (x(t), y(t), z(t)) y t (a, b) f ′(t) (0,0,0) .

Entonces es rectificable y () = b

a

dttf )( .

No damos en detalle la demostración del teorema, sólo daremos un argumento que justifica la validez del mismo.

Como f ′ es continua en (a, b) , f es diferenciable. Si es una partición de [a,b] , k = 1, . . . n es f (tk) f (tk -1) = f ′(tk-1) (tk tk-1) + (tk tk-1) .

con 0)(

1

1

1

kk

kk

kk tttt

ttlím

.

Por lo tanto , si (es suficientemente pequeña, k = 1, . . . n podemos

aproximar: )()( 1 kk tftf )()( 11 kttkktf y entonces

(P) =

n

kkk tftf

11)()(

n

kkk ktttf

11 )()( 1 .

n

kkk

n

tftflím1

10)(

)()( =

n

kkk

n

ktttflím1

10)(

)()( 1

y como f ′ es continua, ║ f ′║ también es continua por lo tanto integrable. Por lo

tanto existe el límit

n

kkk

n

ktttflím1

10)(

)()( 1 = b

a

dttf )( .

() = b

a

dttf )( Q.E.D.

Una curva se dice regular a trozos si f ′ es continua en un número finito de intervalos (a, b). Esto permite calcular la longitud de curvas cuyo vector tangente f ′ tiene un cambio brusco de dirección. Ejemplo

Calcular la longitud de la curva plana definida por f : [-1, 1] → R2 . ),( tttt


y Esta curva es regular a trozos f ´( t ) =

10)12(

01)12(

,

,

tsit

tsit su gráfica es:

x ║ f ′║ = 14 2 t .

() = tdttdt

1

020

12 1414 = 2 tdt

1

02 14 .

Si hacemos el cambio de variable : 2 t = senh u dt = 21 cosh u du . Entonces

14 2 t = cosh u () = duucoshln

)52(

02 = )52(

215 ln .

INTEGRAL CURVILÍNEA (de una función real) Las integrales curvilíneas son una generalización del concepto de integral simple sobre un intervalo real.

Sea una curva regular descripta por f :[a, b] R3 inyectiva. t f(t) = (x(t), y(t), z(t)). y supongamos que en = f ([a, b] ) R3 esté definida una función real F acotada F : R ),,(),,( zyxFzyx Si efectuamos una partición de [a,b] a = to < t1 < < tk-1 < tk << tn = b logramos, como antes, una partición en

Llamamos Pk = f (tk) y formamos la suma

n

sF1k

kk )P( donde s(t) = ta duuf )( .

∆sk =s(tk) s(tk-1) = k )(ta duuf 1-k )(

ta duuf = k

1-k)(

tt duuf .Si existe

n

kn

sFlím1

kk0)(

)P( , es por definición la integral curvilínea a lo largo de de la

función real F y se denota dsF zyx ),,( . Si la función F es continua, existe el límite

y se puede probar :

n

kn

sFlím1

kk0)(

)P( = b

attt dtfzyxF ),,( )()()( .

Entonces resulta: dsF zyx ),,( = b

attt dtfzyxF ),,( )()()( .

Si interpretamos a como un alambre y a F como la densidad por unidad de longitud, de una distribución de masa en , la masa del alambre es la integral curvilínea dsF zyx ),,( .

+ -1

+ 1

Podemos interpretar a como un alambre y a F como la densidad, por unidad de longitud, de una distribución de masa en


t ( t, t, t2 ) u )4

(2

,,22

uuu

INTEGRAL CURVILÍNEA (de un campo vectorial )

Supongamos ahora que la curva está contenida en DR3 y que en D está definida una función vectorial continua

33: RR DF

(x,y,z) ),,( zyxF = ),,(3),,,(2,),,(1 zyxFzyxFzyxF .

Si f

tt fv

)´(

)(

es el vector unitario, tangente a en f (t), se define la integral curvilínea

del campo F

a lo largo de a dsvF . .

dsvF . = bt

adttfF f )()( .)(

.

= b

ttztytxttztytxttztytxa

dtx zFyFF )()(),(,)()()(),(,)()()(),(,)( )()()( 321 .

Esta última integral puede ser abreviada así : dzFdyFdxF 321 .

Si F

es un campo de fuerzas la integral curvilínea dsvF . representa el trabajo

realizado para mover una partícula a lo largo de . Ejemplo Calcular el trabajo W efectuado al mover una partícula a lo largo de la curva

(x, y, z) = (t, t, t2) 0 t 2 ; bajo la influencia del campo F

(x, y, z) = (x+ y, y, y).

W = dtttttt 2

02.1.1).( = dttt

2

02 )23( =

334 .

PARAMETRIZACIONES EQUIVALENTES

La curva del ejemplo anterior está parametrizada por la función f f :[0, 2] R3 f ([0, 2]) . Observemos que g :[0, 4] R3 g ([0, 4]) es otra parametrización de . Tanto f como g describen la curva La diferencia está en la velocidad de recorrido, puesto que f´´(t) = (1, 1, 2 t ) y g´(u) = )

2,

21,

21( u . La dirección y el sentido

de los vectores tangentes son los mismos. Sólo difieren en el módulo. Esto significa que al crecer el parámetro, el sentido de recorrido de la curva en ambos casos es el mismo. Cuando ocurra esto diremos que las parametrizaciones son equivalentes.

Es la integral de la componente del campo en la dirección de la tangente a la curva


t (cos t, sen t ) t )1,( 2tt

)(́tf

)(´ tg

t

t

0 t 2 0 u 4

x = t y = t z = t2 y = x z =

21 (x2 + y2 ) z =

21 (x2 + y2) y

= {(x,y,z)R3 | 0 x 2 , y = x , z = 21 (x2 + y2) } xy = x

Consideremos ahora una curva descripta por las siguientes funciones f y g.

f :[0, ] R2 g :[-1, 1] R2

y y x x 0 -1 1 La curva es la mismaen ambos casos pues f ([0, ]) = g([-1, 1]) ; pero al crecer el parámetro t entre 0 y , f describe la curva en sentido contrario al de g cuando t crece desde -1 hasta 1. En este caso decimos que f y g no son parametrizaciones equivalentes. A continuación vamos a definir formalmente cuándo dos parametrizaciones de una curva son equivalentes. Definición f :[a, b] Rn y g :[ , ] Rn , funciones continuas son parametrizaciones equivalentes de una curva Rn si existe una transformación :[, ] [a, b] continuamente diferenciable tal que:u )(ut

a = , b = , ´(u) en (, ) y g = f .

Si dos parametrizaciones son equivalentes la función es creciente puesto que ´ es positiva en (, ). Luego, cuando crece el parámetro u, también crece el parámetro t y así f y g describen la curva en el mismo sentido. Hemos dicho que son

parametrizaciones equivalentes f(t) = ( t, t, t2) y g(u) = )4

(2

22,, uuu con

En efecto, en este caso la función es : t = (u) = 2u . y ´(u) =

21

Convenio: Cuando f y g describan la misma curva; pero no sean equivalentes, si llamamos a la curva descripta por f , llamaremos a la descripta por g, es decir a la misma curva pero recorrida en sentido contrario.

z


¡Probar!

t (cos t, sen t ) t )1,( 2tt

∮Cuando f (a) = f (b) diremos que la curva es cerrada. La integral curvilínea a lo largo de una curva cerrada se denota . Para una curva plana, se define sentido positivo de recorrido al sentido contrario al de las agujas del reloj. Si la curva está en R3 el sentido positivo de recorrido es el de un observador que deja la región encerrada a su izquierda.

Si f en [a, b] y g en [ , ] son parametrizaciones de y respectivamente, :[, ] [a, b] continuamente diferenciable tal que: a = , b = , u )(ut ´(u) en (, ) y g = f . PROPIEDADES (de las integrales curvilíneas de funciones reales) Para las integrales curvilíneas de funciones reales, además de las propiedades: de linealidad y monotonía del integrando y aditividad respecto de la curva (región de integración), vale la propiedad de invarianza respecto de la parametrización de la curva. Esto es :

Si f y g son dos parametrizaciones de una curva y F es una función real definida en entonces dsF no depende de la parametrización.

Esto es: dsF = dttftfFb

a )())(( = duugugF

)())(( .

En consecuencia dsF = dsF .

PROPIEDADES (de las integrales curvilíneas de funciones vectoriales) Las integrales curvilíneas de campos vectoriales tienen las propiedades: linealidad respecto del integrando, aditividad respecto de la curva e invarianza respecto de parametrizaciones equivalentes de la curva . Esto es:

Si f y g son parametrizaciones equivalentes dsvF . no depende de f y g.

Pero ¡¡ ATENCIÓN !!...

Si las parametrizaciones no son equivalentes entonces dsvF . = dsvF . .

Ejemplo: Si está parametrizada por f :[0, ] R2 y por g :[-1, 1] R2

dyxdxy = dttt

tt )1

1.1(2

1

12

=

1

1 21

1 dtt

= Arcsen t = .

dyxdxy = ).()([ .0

tcostcostsentsen

] dt =

0dt = .

¡Probar!

1 -1


TEOREMA DE GAUSS-GREEN. El teorema de Gauss-Green relaciona integrales dobles con integrales curvilíneas. Teorema de Gauss-Green: 1) Sea una región R R2 cerrada, acotada y simple (cualquier paralela a los ejes coordenados corta a la frontera de R en , a lo sumo, dos puntos o en los infinitos puntos de un segmento de recta).

2 )Sea la frontera de R , una curva cerrada regular a trozos parametrizada de tal modo que quede recorrida una sola vez, en sentido positivo (sentido contrario al de las agujas del reloj). 3) Sea F

un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto U

de R2, tal que R U R2 . 22: RR UF

(x,y) ),( yxF

= (F1(x,y),F2(x,y))

Entonces vale: U y R

dydxyF

xF

)( 12

R = F1(x,y) dx + F2(x,y) dy . x

Demostración:

Observemos que la integral doble existe porque ( x

F 2

yF 1 ) es una función continua

en la región cerrada y acotada. ¿Qué hipótesis garantiza la continuidad de las

derivadas parciales x

F 2 y

yF 1 ? Y la integral curvilínea existe porque F1 y F2 son

continuas a lo largo de ¿ Por qué ?

Vamos a probar:

R dydxyF1 = F1(x,y) dx y

dydxx

FR

2 F2(x,y) dy .

R

R dydx

yF1 = dy

yFdx yxb

a

x

x),()(

)(1

.

= b

axx dxxFxF ),(),( )()( 11 .

R dydxyF1 =

b

axx dxxFxF ),(),( )()( 11 . (1)

a b

y

x


MBN : dtcxty

t

)(

.

MAN : dtctxty

)( .

A. . B

. N

x

y d -

c - . M

MBN

MAN

NAM

MBN

Consideremos ahora la integral curvilínea. La curva es la unión de los arcos AMB y BNA . ; .

F1(x,y) dx = F1(x,y) dx + F1(x,y) dx .

= F1(x,y) dx F1(x,y) dx . =

b

at dttF ),( )(1

b

at dttF ),( )(1 .

F1(x,y) dx = b

att dttFtF ),(),( )()( 11 . (2)

De (1) y (2) :

R dydxyF1 = F1(x,y) dx . Q.E.D.

La otra igualdad se prueba de manera análoga considerando a la curva como la unión de los arcos MBN y NAM .

F2(x,y) dy = F2(x,y) dy + F2(x,y) dy .

= F2(x,y) dy F2(x,y) dy = d

cdttF t ),( )(2

d

ct dttF ),( )(2 .

F2(x,y) dy = d

ctt dttFtF ),(),( )(2)(2 .

Rdydx

xF2 = dx

xFdy yxd

c

y

y),()(

)(2

=

d

cyy dyyFyF ),(),( )()( 22 .

dydxx

FR

2 F2(x,y) dy . Q.E.D.

a b x

y

A. . B

. N

. M

AMB : btatytx

)(

ANB : btatytx

)(

AMB

BNA

AMB

ANB


A

B D

E F

C

G H

BG

GHAB

CF

FG

BC

GB

FC

CDEF

BG

GHAB

CF

FG

BC

BG

CF

CDEF

BC

CDEF

FG

GHAB

BCD

Veamos que el teorema sigue siendo válido aún cuando algunas paralelas a los ejes corten a la frontera de la región en más de dos puntos como en el caso de la región de la figura:

R Dividimos R en regiones parciales que cumplen las hipótesis del torema.

R

1R

2R 3R

.

R1 R2 R3 1R

1;

2R 2;

3R 3.

R

321

.

= BGHAB ; = BCFGB ; = CDEFC ; = BCDEFGHAB

321= + + + + + + + .

= + + + + + .

= + + +

= = . R . Q.E.D.

Definición: Una región R se dice simplemente conexa si toda curva cerrada C contenida en R puede reducirse a un punto sin dejar de pertenecer a R . región simplemente conexa. esta región no es simplemente conexa.

Para regiones que no son simplemente conexas, la tesis del teorema continúa subsistiendo siempre y cuando llamemos C al contorno total que se compone de C1 y C2 . C1

R C = 1C 2C

.

C2 R Observación Si la región no es simplemente conexa el sentido positivo de recorrido del contorno o frontera de la región es el sentido en que se debe desplazar un observador para tener continuamente la región a su izquierda.


. H

T M N S

.K R1 R2

Dividimos R en dos regiones simplemente conexas: A B R1 limitada por la curva cerrada AMTNBKA y

R 2 limitada por la curva cerrada AHBNSMA . Si llamamos: C1 = BKAHB ; C2 = NSMT ; C = C1 C2 .

R

1R 2R

.

1R= + + + .

2R= + + + .

R + + + + + + + .

R + + + .

R

1C 2C= C . Q.E.D.

Ejercicio. Expresar el área de una región plana usando integrales curvilíneas. A(R) = R dydx = dxydyx C2

1 .

En efecto ),( xyF

x

F 2 = 1 ;

yF 1 = 1

dydxyF

xF )( 12

R = 2 R dydx ; F1(x,y) dx + F2(x,y) dy = dyxdxy C

.

A(R) = R dydx = dxydyx C21 .

A continuación vamos a estudiar integrales curvilíneas que no dependen del camino de integración. Dada en el plano una región acotada R contenida en un abierto U donde está definido un campo vectorial continuo F

= (X(x, y),Y(x, y)) , diremos que la

integral curvilínea dyYdxXC

no depende en R del camino de integración si

para cada par de puntos A B , arbitrariamente elegidos en R , la integral curvilínea no depende de la curva que une A con B sino de los puntos que hayamos elegido.

NSM AHB BN MA

BKA MTN AM NB

BKA MTN AM NB NSM AHB BN MA

BKA MTN NSM AHB


R

Si no depende del camino de integración, la integral curvilínea de un campo a lo

largo de un camino cerrado vale cero. En efecto si A y B son dos puntos

del camino cerrado AMBNA y la integral no depende

del camino de integración =

= 0

= + = = 0 CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para que la integral curvilínea de un campo no dependa del camino de integración.

Sea F

un campo vectorial continuamente diferenciable en D región abierta y simplemente conexa de R2. D:F

R2 R2

(x,y) ),( yxF

= (X(x,y),Y(x,y)) Condición necesaria y suficiente para que la integral curvilínea del campo no dependa del camino de integración en D es : (x, y) D , ),(Y yx

x = ),(X yx

y .

Probamos primero que la condición es suficiente. Esto es: ),( yxF

= (X(x,y),Y(x,y))

continuamente diferenciable y

),(Y yxx

= ),(X yxy

en D .

Demostración: Sean C1 y C2 curvas contenidas en D que unen dos puntos A y B de D . Queremos probar dyYdxX

C

1

= dyYdxXC

2

Lamemos = C1 (C2 ) . Resulta entonces que es una curva cerrada, frontera de una región simplemente conexa R D . Por el teorema de Gauss-Green :

dydxyX

xY )( ∮X dx + Y dy

0 por hipótesis

la integral curvilínea del campo no depende del camino de integración en D .

A. . B

. N

. M

ANB

AMB

BNA

AMB

ANB

AMB

AMBNA


∮

(Po) (Po)

(Po) (Po) (Po) (Po)

(P) (P)

X dx + Y dy = 0 dyYdxXC

1

+ dyYdxXC

2

= dyYdxXC

1

- dyYdxXC

2

= 0

dyYdxXC

1

= dyYdxXC

2

. Q.E.D.

Veamos ahora que la condición es necesaria.

),( yxF

= (X(x,y),Y(x,y)) cont. diferenciable

en D y la integral curvilínea del campo

no depende del camino de integración en D . Demostración:

Razonando por el absurdo, supongamos Po D tal que x

Y ≠ y

X .

Entonces x

Y y

X 0 . Supongamos x

Y y

X 0

Como x

Y y y

X son funciones continuas, por el teorema de la permanencia del

signo, (Po) D : P(Po) x

Y y

X 0 .

)(PB o ) ( dydx

yX-

xY 0 . Entonces, por el teorema de Gauss-Green es :

X dx + Y dy ; esto es una contradicción porque la integral debería ser igual a cero ya que por hipótesis la integral no depende del camino de integración. Luego debe ser :

Ejercicio: Mostrar que en los siguientes casos: a) C circunferencia de radio 1 y centro (0,0), b) C circunferencia de radio 1 y centro (1,1), c) C circunferencia de radio 2 y centro (1,0),

la integral I = dyyx

xdxyx

y2222

, vale:

a) I = 2b) I = 0c) I = 2

),(Y yxx

= ),(X yxy

en D.

∮)oP(B

P D )P(Yx

= )P(Xy

Q.E.D.

∮ C


La integral del campo no depende del camino de integración en D .

FORMAS DIFERENCIALES EXACTAS

Veremos a continuación otra condición necesaria y suficiente para que la integral curvilínea de un campo no dependa del camino de integración. Definición: Se llama forma diferencial en dos variables x e y a una expresión como la siguiente: X(x, y) dx + Y(x, y) dy (1) La forma es continua si X e Y lo son. Diremos que la forma diferencial (1) es exacta sii en D R2 una función diferenciable U : D R llamada potencial , tal que

x = X(x,y)

y = Y(x,y).

Es decir : la forma diferencial es exacta exacta sii en D R2 una función diferenciable U :D R d , tal que dU X(x, y) dx + Y(x, y) dy. Cuando la forma diferencial es exacta el campo (X(x, y), Y(x, y)) se dice un campo de gradiente por ser el gradiente del potencial U. Esto es: U =(X(x, y), Y(x, y)). Vamos a probar la siguiente

Proposición Condición necesaria y suficiente para que la integral curvilínea de un campo continuamente diferenciable sea independiente del camino de integración es que el campo sea un campo de gradiente o lo que es lo mismo, que la forma diferencial sea exacta.Demostración Sea F

un campo vectorial continuamente diferenciable en D región abierta y

simplemente conexa de R2. D:F

R2 R2 (x,y) ),( yxF

= (X(x,y),Y(x,y))

Lo que tenemos que probar es: () Supongamos que la forma es exacta. Entonces existe un potencial tal que

x = X(x,y)

y = Y(x,y).

Como existen x

y

y son continuas ¿por qué?, resulta :

U(x,y) U(x,y)

La forma X(x, y) dx + Y(x, y) dy es exacta.

U(x,y) U(x,y)

Y(x,y) X(x,y)

U(x,y)


Sean : Po = (xo, yo) , P = (x, y) , Q = (x+h, y).

Llamemos U (x, y) = PPo

),(),( dYdX .

U (x+h, y) = QPo

dYdX .

t x t x+h

d dt d 0

d dt d

.P x d t y t y+k

yX

(x, y) =

xyx,y

)(2U =

yxx,y

)(2U =

xY

(x, y)

y =

x .

() Supongamos ahora que la integral no depende del camino de integración.

P. .Q

Po.

Entonces

U (x+h, y) U (x, y) =

QPo

dYdX PPo

dYdX .

Como la integral no depende del camino de integración: QPo

= PPo

+ PQ

.

U (x+h, y) U (x, y) = PQ

dYdX .

Parametrizamos el segmento PQ

U (x+h, y) U (x, y) = hx

xdtytX ),( . Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo

Integral, , : U (x+h, y) U (x, y) = h X(x+h, y).

),(),( -

yx0h0h

XyhxXiml

hyxyhxUiml

U por la continuidad de X(x.y).

x

= X(x,y) . De igual manera se prueba y

= Y(x,y) , considerando :

.Q Po. El segmento PQ : Y por lo tanto la forma diferencial X(x, y) dx + Y(x, y) dy es exacta, como queríamos probar. ¿Cómo se determina una función potencial cuando X dx + Y dy es exacta?

Por el teorema de inversión del orden de derivación

X(x,y) Y(x,y) Esto dice que la integral no depende del camino de integración como queríamos probar.

U(x,y) U(x,y)


Cuando la región lo permite elegimos un camino PoAP tal que PoA al eje oy y AP al eje ox .

Entonces la integral que define a U (x, y) = APPo,tiene

la forma siguiente: U (x, y) = APAoP

.

U (x, y) = y

y

x

x

dyYdyXdxYdxX0 0

),(),(),(),( 00 .

U (x, y) = y

y

x

x

dxYdyX00

),(),( 0 . U (x, y) = x

x

dyX0

),( ( y)

( y)

Si llamamos U1(x, y) = BP1

P, U y U1 difieren en una constante. En efecto:

U (x, y) = 1

CPCoP+ U1(x, y)

U (x, y) = 1

0

1

0

),(),( 10

y

y

x

x

dyXdxY + U1(x, y)

U (x, y) U1(x, y) = cte.

Ejemplo:

Sea la forma ( x2 – 2 x y) dx – ( x2 + y2 + 1) dy. Es exacta en todo el plano. X(x, y) Y(x, y)

U (x, y) = )()2( 2 ydy .

U (x, y) = 2

23

23 xyx + (y) +Cte. Como

yU = Y , tenemos:

A . B. . P C . P1. Po.


yU = x2 + ′(y) = – ( x2 + y2 + 1) ′(y) = y2 1

(y) = d)1( 2 = yy

3

3

+ C .

U (x, y) = 3

3x yxyy 2

3

3 + C .

FORMAS DIFERENCIALES EN 3 VARIABLES.

La forma diferencial X(x, y, z) dx + Y(x, y, z) dy + Z(x, y, z) dz es exacta si existe una función potencial U (x, y, z) que verifique:

x = X(x, y, z) ,

y = Y(x,y, z) ,

z = Z(x, y, z) .

Si suponemos que X, Y, Z junto con sus 1eras derivadas son continuas en una región D R3 simplemente conexa, entonces: condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial sea exacta es que en los ptos de la región se cumpla:

xY =

yX ,

yZ =

zY ,

zX =

xZ .

La demostración es similar a la del caso de dos variables. Cuando la forma es exacta la función potencial está dada por la integral :

U (x, y, z) = x

x

dzyX0

),,( ( y, z) . Esta U satisface :

yU =

x

x

dzyyX

0

),,( ),( zyy

= Y .

yU =

x

x

dzyY

0

),,(

),( zyy

=Y (x, y, z) Y(x, y, z) Y(xo, y, z) + ),( zyy

= Y(x, y, z) .

Así ),( zyy

= Y(xo, y, z) y de la misma manera ),( zyz

= Z(xo, y, z) .

Determinamos como hicimos para determinar U en el caso de 2 variables.

Por lo tanto (y, z) = z

z

y

y

dyxZdzxY00

),,(),,( 000 .

U (x, y, z) = x

x

dzyX0

),,( y

y

dzxY0

),,( 0 z

z

dyxZ0

),,( 00 .

U U U


(u,v) (u cos v, u sen v , u)

x = u cos v. y = u sen v z = u

x2 + y2 = z2

(u,v) (cos u, sen u , v) x = cos u. y = sen u z = v

x2 + y2 = 1

x = u+ v. y = u – v. z = u. x + y = 2 z

x = r sen v cos u y = r sen v sen u z = r cos v

x2 + y2 + z2 = r2

INTEGRALES DE SUPERFICIE.

Superficie regular (definida paramétricamente). Una superficie regular es un subconjunto S R3 definido paramétricamente por una función g: D R2 R3 continuamente diferenciable tal que (u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (u,v) Dº ),( vuug = (xu (u,v), yu(u,v), zu(u,v)) y ),( vuvg = (xv (u,v), yv(u,v), zv(u,v)) son linealmente independientes y S = g(D) . Ejemplo 1: ),( vuug = (1,1,1) , ),( vuvg = (1,-1,0) g:R2R3 g es continuamente diferenciable.

(u,v) (u+ v, u-v, u) {(1,1,1) , (1,-1,0)} es un conjunto de vectores linealmente independiente. S = {(x, y, z)R3 | x + y = 2 z } S es un plano que pasa por el origen. Ejemplo 2 : g: D R2 R3 D = [0, 2] R . ),( vuug = (-sen u,cos u,0) , ),( vuvg = (0, 0,1) g es continuamente diferenciable.

{(-sen u, cos u,0), (0,0,1)} es un conjunto de vectores linealmente independiente. S = {(x, y, z)R3 | x2 + y2 = 1 } . S es un cilindro.

Ejemplo 3 :

g: D R2 R3 D = {(u,v)| u0} . g es continuamente difble. ),( vuug = (cos v, senv,1) ; ),( vuvg = (-u sen v, u cos v, 0)

{ ),( vuug , ),( vuvg } es un conjunto de vectores linealmente independiente . . S = {(x, y, z)R3 | x2 + y2 = z2 ; (x,y,z)(0,0,0)}. S es un cono sin el vértice. Ejemplo 4 : Para la esfera usamos la siguiente parametrización:

g: D R2 R3 ; D = {(u,v)| 0 u 2 ; 0 v } . (u,v) (r sen v cos u , r sen v sen u , r cos v) Esfera sin los polos.


También podemos usar la siguiente parametrización para una semiesfera :

g: D R2 R3 ; D = {(x,y)| x2 + y2 r 2 }

(x, y) (x, y, 222 yx r ) . Área de Superficie.

Sea S una superficie regular parametrizada por : g: D R2 R3 (u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) .

Llamemos ug

(u,v)= (ux

(u,v), uy

(u,v) , uz

(u,v)) ;vg

(u,v)= (vx

(u,v), vy

(u,v) , vz

(u,v))

v vg

v

(uo,vo)

v = vo+ v z

v = vo

u ug

u

(uo,vo)

u = uo y x

La recta v = vo se transforma sobre S en la curva u g(u;vo) cuya dirección en el punto (u;vo) es la del vector

ug

(u,vo) , que podemos denotar gu (u,vo) .

Y la recta u= uo se transforma en la curva v g(uo;v) cuya dirección en el punto (uo;v) es la del vector

vg (uo,v) , que denotamos gv (uo,v) .

Una partición en D mediante rectas paralelas a los ejes coordenados, determina en S una partición mediante curvas u g(u;cte) , v g(cte;v) . El área de una región genérica en D es vu y en S, cuando la partición es

suficientemente fina, el área k de Sk ( región genérica correspondiente o

rectángulo curvilíneo) , es aproximadamente igual a vugg vu , que es el área

del paralelogramo de lados gu u , gv v en el plano tangente a S.

Este paralelogramo es la proyección de Sk sobre el plano tangente.

u = uo+ u


z y Rxy x

En resumen: Sk : rectángulo curvilíneo. Sk S

k : área de Sk . k nº real vugg vu : área del paralelogramo de lados vgug vu

,

nº real vectores del plano tangente a S

k vugg vu . Entonces, por definición AS , el área de S, que denotamos S

d es :

AS = dvduggd vuS

D .

¿cuáles? Observar que hemos definido el área de S como el límite de“sumas de Riemann”. Si la parametrización de S es : g: D R2 R3 A S tiene la forma : (x, y) (x, y, f (x,y))

AS = ydxdyfxfd yxyxS

),(),( 221 D .

En efecto :

xg

(x,y) = (1,0, fx (x,y)) ; yg

(x,y) = (0,1, fy (x,y)); xg

(x,y) yg

(x,y) =(fx (x,y) , fy (x,y),1)

xg

(x,y) yg

(x,y) = ),(),( 221 yxyx yfxf .

Ejemplo: hallar el área de la porción del cono x2 + y2 = ( z- 4)2 en el 1er octante, entre los planos z =1 , z = 3 , y = 3 x , y = 0 . S es tal que : 1 4 22 yx 3 y (x, y) (x, y, 4 22 yx )

AS = ydxdyx yxyx zz ),(),( 221 D .

2 ( z – 4) zx = 2 x zx =4z

x = 22 yx

x

2 ( z – 4) zx = 2 x zx =4z

x = 22 yx

x

21 22 yx zz .

AS = dydxxyR 2 = ddR2 .

AS =

30

3

1 2 dd =

3

24 .

Como en el caso de las integrales curvilíneas, también existen integrales de superficie de dos tipos: integrales de superficie de funciones reales e integrales de superficie de campos vectoriales.

Sk

R : 0 3

1 3


Integrales de Superficie de Funciones Reales. Sea S R3 una superficie de ecuación z = f (x,y) , (x, y) D R2 y sea F una función real continua definida en S. F : S R3R , continua . (x, y, z) F(x, y, z)

Se define la integral de superficie de la funcion real F, y se denota S

dF , así :

SdF = ydxdyxfyxF yxyxyx ff ),(),(),( 221),,( D

.

Si la parametrización de la superficie es g: D R2 R3 (u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) S

dF = vdudggzyxF vuvuvuvu D),,( ),(),(),( .

Observar que la integral de superficie de la función real F 1 es el área de la porción de superficie. Si interpretamos a S como la superficie de una lámina y a F como la densidad por unidad de superficie , de una distribución de masa en S, la masa total de la lámina es la integral de superficie de la función . m = S

dzyx ),,( .

Vamos a definir ahora otro tipo de integrales de superficie. Las integrales de superficie de campos vectoriales. Las superficies que se consideran para definir la integral de un campo son las superficies orientables también llamadas superficies biláteras porque se pueden distinguir dos caras o lados. Las superficies con una sola cara se llaman uniláteras. Definición: Una superficie S se dice orientable si puede definirse un campo normal a S, continuo y distinto del vector nulo en cada punto.

En una superficie orientable, en cada punto (x,y,z,) hay dos vectores normales a la superficie: n1 y n2 tales que n2= - n1. Si g es la parametrización de S y llamamos n1 a la normal que tiene la dirección de gugv , tenemos la orientación de una cara de la superficie y ese campo de normales es distinto de θ en cada punto. La otra cara de la superficie tiene la orientación determinada por la normal n2 que tiene la dirección de gvgu. y este campo también es distinto de θ en cada punto. Ejemplos de superficies que no son biláteras: la Cinta de biuseMo y la Botella de Klein

Cinta de biuseMo Botella de Klein


yg = (0, 1, zy(x, y))

cos si 2

cos si 0 2

El signo depende del ángulo

Integrales de Superficie de Campos vectoriales. Supongamos que S sea una superficie regular parametrizada por g: D R2 R3 y F

: U R3 R3 un campo continuo en

(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (x, y, z) (F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z))

un abierto U R3 tal que S U R3 .

Se define S dnF

. , la integral de superficie del campo F

, como:

S dnF

. = S (F1(x,y,z) cosF2(x,y,z) cosF3(x,y,z) cos) d.

Donde n es un vector unitario normal a la superficie en cada punto. n (x,y,z) = (cos(x,y,z)cos(x,y,z)cos(x,y,z)) . Sus componentes son los cosenos directores de n . Esto es, los cosenos de los ángulos directores que son los ángulos que forma n con la dirección positiva de los ejes coordenados.

vu

vu

ggggn

cos

vu

vuvu

ggyzzy

, cos

vu

vuvu

ggzxxz

, cos

vu

vuvu

ggxyyx

Como vuvu yzzy = ),(

),(

vu

zy

, vuvu zxxz = ),(

),(

vu

xz

, vxuvu yyx = ),(

),(

vu

yx

.

Podemos escribir:

S dnF

. = D (F1(g(u,v))),(

),(

vu

zy

+ F2(g(u,v))),(

),(

vu

xz

+ F3(g(u,v))),(

),(

vu

yx

) du dv .

Que se suele abreviar así: S dnF

. = dydxdxdzdzdyS

121 FFF .

O simplemente S dnF

. = dydxdxdzdzdyS 121 FFF , por lo siguiente:

S dnF

. = S (F1(x,y,z) cosF2(x,y,z) cosF3(x,y,z) cos) d.

= S (F1(x,y,z) cos d S F2(x,y,z) cos d S F3(x,y,z) cos ) d. Para S F3(x,y,z) cos d parametrizamos la superficie S así: g: Rxy R2R3 . La normal es (x,y) (x, y, z(x, y))

yx

yx

gggg

n

; xg = (1, 0, zx(x, y)) yx gg

= (-zx, -zy, 1 ) ; yx gg = 221 yx

zz

n (cos cos cos ) resulta cos = 221

1

yx zz .

Entonces

S F3(x,y,z) cos d yxR F3(x,y,z(x,y)) 221

1

yx zz

221 yx zz dx dy .

S F3(x,y,z) cos d = yxR F3(x,y,z(x,y)) ( 1) dxdy


Para S F2(x,y,z) cos d parametrizamos la superficie S así

g: Rx z R2R3 y para Para S F1(x,y,z) cos d, g: Ry z R2R3 (x,z) (x, y(x, z) , z) (y,z) (x(y, z), y, z) Ejemplo: Sea ),,( zyxF

un campo vectorial y S la cara exterior de la superficie de la

semiesfera de ecuación : x2 + y2 + z2 = 1 con z 0. ( Si S es la cara exterior, la normal apunta hacia afuera ) Calcular S dnF

. . Si parametrizamos la superficie así n = uv gg

00 ≤ u ≤ 2; 0 ≤ v ≤ 2π

gv(u, v) = (cos v cos u, cos v sen u, senv) . gu(u, v) = (sen v sen u, sen v cos u, 0). ¿por qué?

uv gg = ||(sen2 v cos u, sen2 v sen u, senv cos v)|| = vsen = sen v .

n = gv gu la normal apunta hacia fuera de la superficie - n = gu gv

S dnF

. =∫∫ (sen v cos u)( sen2v cos u)+( sen v sen u)(sen2 v sen u)+ cos v sen v cos v)du dv.

=∫∫ sen3 v ( cos2u + sen2u ) + sen v cos2v ] du dv.

=∫∫ sen v ( cos2v + sen2v ) du dv = ∫∫ sen v du dv = 2

0 0

2 dvduvsendu = 2 .

Otra forma de resolver el problema es calcular cada una de las integrales SF3(x,y,z)

cos d , SF2(x,y,z) cos d , S

F1(x,y,z) cos d, y sumarlas.

Veamos que SF2(x,y,z) cos d= 1S

F2 cos d+ 2SF2 cos d

32

R x z S2 : y = 221 zx

x = sen v cos u y = sen v sen u z = cos v

D

D D

D D

1SF2 cos d=

zxR221 zx (+1) dx dz

2SF2 cos d=

zxR221 zx (-1) dx dz

resolviendo en polares zxR 2 221 zx dx dz =

32

S1 : y = 221 zx

(u,v) ( , , )

Análogamente SF1(x,y,z) cos d=

32 y S

F3(x,y,z) cos d3

2 . S dnF

. = 2


El sólido T y la región Rxy están definidos por :

T = { (x, y, z) | a x b ; y1(x) y y2(x) ; z1(x, y) z z2(x, y) } .

Rxy = { (x, y) | a x b ; y1(x) y y2(x) }

TEOREMA DE GAUSS-OSTROGRADSKI. El teorema de Gauss-Ostrogradski, también llamado teorema de la divergencia, relaciona integrales de superficie con integrales triples. Teorema de Gauss-Ostrogradski: Sea T una región cerrada y acotada en R3 ( T es un sólido), cuya frontera es una superficie S regular a trozos tal que en cada punto el vector normal a S apunta hacia afuera de T ( orientación positiva de S). Sea :F

AR3 R3 un campo vectorial continuamente diferenciable

P (F1(P), F2(P), F3(P)) tal que A es abierto y T A. Entonces

SdnF

. = TdVFdiv

.

Demostración: Por las hipótesis hechas, la superficie S se compone de un casquete superior Ss , uno inferior iS , y la porción lateral de superficie S que en algunos casos se reduce a una curva. S = Ss iS S .

TdVFdiv

= dzdydx

zF

yF

xF

T)( 321

SdnF

. = S(F1(x,y,z) cosF2(x,y,z) cosF3(x,y,z) cos)d.

Vamos a probar dzdydxz

FT

3 = S

F3(x,y,z) cos d.

y con un razonamiento análogo se demuestran las otras dos igualdades:

dzdydxxF

T

1 = SF1(x,y,z) cos d.

dzdydxy

FT

2 = S

F2(x,y,z) cos d.

S

F3(x,y,z) cos d= sS F3(x,y,z) cos d+

iS F3(x,y,z) cos d+ S F3(x,y,z) cos d.

y

S

A. C . .D B ..

Ss

iS

a

b x

z

Rxy y1 y2


Para calcular SF3(x,y,z) cos d, parametricemos Ss y iS .

Ss : g: Rxy R2 R3 la ecuación de Ss es z = z2(x, y (x, y) (x, y, z2(x, y))

),,( cososccosn ; n

yx

yx

gggg

yx gg = ( 1, 0, xz

2 ) ( 0, 1, yz

2 ) = ( xz

2 , yz

2 , 1 )

cos yx gg

1 puescos 0 porque 0 2

sS F3(x,y,z) cos d= dydxzF ygxgygxg

yxxyR

yx

1),,( ),(23

sS F3(x,y,z) cos d= dydxzFxyR yxyx ),,( ),(3 2

Si : g: Rxy R2 R3 la ecuación de Si es z = z1(x, y) (x, y) (x, y, z1(x, y))

),,( cososccosn ; n

yx

yx

gggg

cos yx gg

1 pues cos 0 porque 2

iS F3(x,y,z) cos d= dydxzF

xyR yxyx ),,( ),(13

S F3(x,y,z) cos d= 0 pues cos porque

2Por lo tanto

SF3(x,y,z) cos d= dydxzF

xyR yxyx ),,( ),(3 2 dydxzFxyR yxyx ),,( ),(13 (1)

dzdydxz

FT

3 = zd

zFydxd

yxz

yxz

b

a

xy

xy

),(

),(

3)(

)(

2

1

2

1

= b

a

xy

xyyxzyxFxd

)(

)(),(3

2

1

2 ),,([ F3(x,y,z1(x,y))] dy .

= dydxzF

xyR yxyx ),,( ),(3 2 dydxzFxyR yxyx ),,( ),(13 .

dzdydxz

FT

3 = dydxzF

xyR yxyx ),,( ),(3 2 dydxzFxyR yxyx ),,( ),(13 (2)

De (1) y (2) se sigue dzdydxz

FT

3 = S

F3(x,y,z) cos dcomo queríamos probar.


D

Ejemplo. Sea ),,( zyxF

y S el sólido limitado superiormente por la semiesfera de

ecuación : x2 + y2 + z2 = 1 con z 0. e inferiormente por el plano z= 0. Calcular la integral de superficie S dnF

. .

S1 : x2 + y2 + z2 = 1 ; z 0. S2 : z = 0 z S1 y x S2 Como se cumplen las hipótesis del teorema de Gauss-Ostrogradski,

S

dnF . = T

dVFdiv

TdVFdiv

= T )111( dV = 3V(T) =

34.

21.3 = = 2 .

SdnF

. =2

Observar que S dnF

. . = 1

.S dnF +

2.S dnF

.

1.S dnF

= 2como se ha obtenido en el ejercicio de pág. 96 . Ahí, S era S1 )

2

.S dnF =

2S x cos d y cos dz cos d= 0 porque 2 ; y z = 0

Con respecto a la orientación de las caras de una superficie bilátera que no es la frontera de un sólido, observemos lo siguiente. Al elegir una cara de la superficie bilátera, en cada cada punto la normal n apunta en un sentido y en el mismo punto, en la cara opuesta, la normal es - n


C

Sea S es una superficie regular, parametrizada por g: D R2 R3 (u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), Al dividir S en un número finito de celdas (superficies parciales que provienen de una partición en D) se asigna, a los puntos de cada celda, un sentido positivo de la normal n determinando un sentido de rotación en los lados (el de un tornillo de mano derecha). Cuando la superficie es bilátera, en cada cara de la superficie, las celdas contiguas tienen en la parte común, sentidos opuestos, por lo que el borde de S es una curvaCcerrada recorrida en sentido positivo (el sentido en el que un observador caminando a lo largo de Cdejaa la superficie S a su izquierda) C El teorema de Stokes o teorema del rotor relaciona integrales de superficie con integrales curvilíneas. TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie bilátera y por lo tanto orientada, acotada cuyo borde es una curva C . Supongamos una de las 2 caras de S como positiva y orientemos C en el sentido positivo. Sea F

: UR3 R3 un campo continuamente diferenciable en U abierto tal que S U.

(x, y. z) (F1(x, y. z), F2(x, y. z), F3(x, y. z)) Entonces :

dwnS

Frot . = F1 dx + F2 dy + F3 dz .

Frot

= kji

)()()( 123123

yF

xF

xF

zF

zF

yF

. z

Demostración: Para la demostración vamos a suponer a S parametrizada por g, así: C y g: RxyR3 n = (cos , cos cos ) (x, y) (x, y, z(x,y)) x Rxy

Suponemos 0 2

C


C

C C

C C C C

C

C

n =

ygxg

ygxg

=

221

1

yz

xz

(-zx ,-zy , 1) . cosz-

cosz-

cosyx (1)

dwnFrotS

. = cos

zF

yF

S

)( 23[ + )( 31

xF

zF

cos + )( 12

yF

xF

cos ] dw =

= dwcosx

Fcos

yF

cosz

Fcosx

Fcos

yFcos

zF

S)]()()[( 332211

.

Vamos a probar:

dwcosy

Fcosz

FS

])[( 11

= F1 (x, y, z) dx (*)

Y de igual manera se prueba

dwcosz

Fcosx

FS

])[( 22

= F2 dy. y dwcos

xFcos

yF

S])[( 33

= F3 dz

F1(x, y, z) dx = F1(x, y, z(x, y)) dx = X(x, y) dx . donde F1(x, y, z(x, y)) = X(x, y)

Por el teorema de Gauss Green es :

X(x, y) dx = dydxyX

xy

R = dydxzzF

yF

yxy)( 11

R

dydxzzF

yF

yxy)( 11

R = dwcosyzzF

S yF

)( 11

= dwcosy

Fcosyzz

FS

]))([( 11

. De (1) cosyz )( = cos

cos

F1 (x, y, z) dx = dwcosy

Fcosz

FS

])[( 11

Que es (*) lo que queríamos probar.

La integral de superficie de un campo se llama el flujo del campo a través de la superficie en la dirección de la normal y la integral curvilínea de un campo a lo largo de una curva se llama la circulación del campo a lo largo de la curva.El teorema de Stokes dice que el flujo del campo rotor F a través de S en la dirección de la normal es igual a la circulación de F a lo largo de C en el sentido positivo.

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