Laevaluacindecompetenciasmatemticas: unaapuestadeaprendizajedesde laeleccindesituaciones-problemas PhilippeR.Richard https://www.academia.edu/697616/La_evaluaci%C3%B3n_de_competencias_matem%C3%A1ticas_una_apuesta_de_aprendizaje_desde_la_elecci%C3%B3n_de_situaciones-problemasIntroduccin 1.Identidad de una situacin-problema 2.Evaluacion de competencias 3.Conclusion Anexo Bibliografa La mise au point dactivit et de matriel pdagogique est une activit quotidienne des en-seignants. Cependant, elle procde souvent de manire intuitive et artisanale, parant au plus pressetsansgrandeplanification:laproductionestefficacepourlelendemain,maisson usage reste local et temporaire. Ds lors, lorsque les enseignants souhaitent raliser une pro-ductionouuneinterventiondontlusageseraitpluslarge,ilsontbesoindunedmarche plus organise. Jean-Marie Van der Maren. 181Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales INTRODUCCINEn clase de matemticas, la preparacin de material didctico suele variar desde el diseo de situaciones de modelizacin muy abiertas, hasta la planificacin de secuencias de problemas a resolver de forma ms tradicional. Se supone que este material se destina al quehacer matemtico, pero hay quien lo elabora de manera que cada actividad es evaluable. Como si la docencia tuviera que organizarse ms para evaluar alosalumnosqueparaelpropiodesarrollodesuscompetenciasmatemticas.Lacitaqueproponemos enelepgrafeparececriticaraldocentepocoplanificadorquesueletrabajar,acortoplazo,conapresu-ramiento, pero en realidad hay otra lectura. De hecho, el extracto proviene de un tratado de metodologa encienciasdelaeducacinenlaquesecontrastandosnivelesdeexigencia:lasdelmundoeducativo, quetienequecomponereficazmenteadiarioconlascontradiccionesdelainstitucin;ylasdelmundo de la investigacin, que considera rigurosa y paulatinamente el fenmeno de enseanza-aprendizaje para ofrecerresultadosfueradelmbitoescolar.Entreestosdosnivelessepuedeinterpretarlaideadeune production ou une intervention dont lusage serait plus large en trminos de una eventual evaluacin, to-mando en cuenta aquello que est en juego al proponer una actividad y aceptando de antemano que ya se ver la respuesta de los alumnos. Dicho de otro modo, la evaluacin es una consecuencia del estmulo de las competencias matemticas provocadas por las situaciones-problemas. La independencia relativa en-tre la intencin que conllevan y la realizacin por los alumnos sita el proceso evaluativo en una dialctica clsicadeanlisisaprioriyaposteriori.As,enestaperspectiva,unproblemaesunaoportunidadde aprendizaje que crea un espacio de lo posible, segn las costumbre del contrato didctico y del cmo el docentehapodidodevolverelproblemaalalumno.Sideformageneraleseldocentequedetermina las condiciones de resolucin, ste no puede controlar cmo se desarrollarn las competencias matemticas de sus alumnos. Es la razn por la cual al docente le hace falta contrastar su intencin con la produccin 182Philippe R. Richard de su clase, es decir, con lo que los alumnos supieron hacer. Aunque pueda utilizar su intencin como sis-temadereferencia,eldocentetienequeenmarcarlaenunenfoquemsorganizado.Esprecisamente loqueproponemosacontinuacin,enbaseaestudiosrecientes,perodeformamodestaenuntexto corto.Aunas,setratadeunenfoquepragmticoquepusimosenprcticaestosltimosaosenclases deformacin. 1.IDENTIDADDEUNASITUACIN-PROBLEMA Elanlisisapriorisuponeque,alplantearunasituacin-problemaenclase,eldocentesesabeadelantar al tipo de solucin de sus alumnos. As, en torno a la pareja problema-solucin, se pueden reconocer varios elementosquelacaracterizan(Diagrama1),comosifueranvariablesdidcticasdecontrol,cadaunato-mando valores que resumimos en la tabla La cultura matemtica del Anexo I. Estos valores se inspiran esen-cialmentedetresfuentes,fcilmenteasequibles,quecreandefactounsistemadereferenciaapartirdel cual se evalan las competencias matemticas: Marco de evaluacin - Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemticas y Lectura del Programme forInternationalStudentAssessment(PISA,2006),disponibleenhttp://www.oecd.org/dataoecd/59/2/ 39732471.pdf; Niveaux de rfrence en mathmatiques 16 ans en Europe - Propositions de questions de rfrence, 2e partie de la Socit mathmatique europenne (SME, 2001), disponible en ; 183Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales Programme de formation de lcole qubcoise - Enseignement secondaire 1er et 2e cycle del Ministre de lducation, du Loisir et du Sport du Qubec (MLS, 2006, 2007), disponible en http://www.mels.gouv. qc.ca/DGFJ/dp/menusec.htm1. En lugar de emprender una descripcin de cada variable, como se puede encontrar en estos documentos, ilustramosnuestropropsitoconunproblematradicionaldehiptesisincompatibles,llamadoproblema de las bisectrices, que presentamos en versiones diferentes para contrastar dos intenciones. En particular resaltamosqueelgrupodecompetenciasambicionadoinfluyedirectamenteenelformatodelproblema (verDiagrama1).Sinembargo,lacaracterizacindelaparejaproblema-solucinseraincompletasino consideramosigualmenteunosheursticosderesolucindeproblemasparareflejarelejerciciodeantici-pacindeldocente.Estosheursticos,queresumimosenelAnexoIyquesonhabitualesenladocencia actual,seinspirandelasobrasdeGeorgePlyayMigueldeGuzmn.Aunas,elpoderdeanticipacin heurstica depende bastante de la experiencia del docente y de las costumbres vehiculadas en clase. Por lotanto,envezdesimularquheursticospodranintervenirconelproblema,presentaremosdossolu-cionesrealesdealumnos,comosielejerciciodeanticipacinprocedierayadelaexperienciadocente. Puesto que estas soluciones estn en francs, hemos dejado en versin original cada formulacin del pro-blema(ilustraciones2y3).Asimismo,paraenmarcarelprocesoevaluativoenunsistemainstitucionalin-tegramos las competencias matemticas y el contenido matemtico (conceptos y procesos) del programa de formacin quebequs, entendiendo que se podra sustituir por cualquier equivalente autonmico cons-tituidoporcompetencias. 1 Para encontrar directamente la parte que corresponde a las matemticas, el 1er cycle es la etapa 12-14 aos: http://www.mels.gouv.qc.ca/ DGFJ/dp/programme_de_formation/secondaire/pdf/prform2004/chapitre061v2.pdf; y el 2e cycle, la etapa 14-17 aos: http://www.mels.gouv. qc.ca/sections/programmeFormation/secondaire2/medias/6b-pfeq_math.pdf. 184Philippe R. Richard DIAGRAMA1.Elementos relativos a la pareja problema-solucin segn PISA (2006) Aunque las ideas matemticas claves, el modelo matemticohabitual,lasituacinylapoblacin aquiensedirigeelproblemadelasbisectrices seanprcticamentelasmismas(verTabla4),se aprecia a simple vista una diferencia en el forma-to del problema. Si bien cada versin plantea una preguntaabierta,conrespuestaconstruida,el hechodepedirest-cepossibleenA(Ilustra-cin2)indicadeantemanoalalumnoquehay quedudar.Encambio,laversinBesalgocap-ciosa (Ilustracin 3). Con un estilo que no sugiere que la informacin textual (la situation al prin-cipio) tenga preferencia sobre la informacin gr-fica (el dessin siguiente que se muestra posible), el alumno tiene que emprender su explicacin (pregunta B2, que empieza con on veut que vous expliquiez) a partir de una conjetura que proviene de su pri-mera intuicin (pregunta B1, que empieza con on veut dterminer). Adems, se pide al alumno que suexplicacinseaconvincenteparauncompaerodeclase,loqueleobligaasimularunprocesodeco-municacindurantelaredaccin.Portanto,estversinesbastantemsdifcilquelaversinAynohay que extraarse, segn el estudio del que proviene (Richard, 2004)2, que ms de las dos terceras partes de losalumnoseligierontrianglerectanglehzosele.Dichodeotromodo,elgrupodecompetenciasdesa -rrolladas alcanza el nivel de reflexin, mientras que en la primera versin se queda en conexiones. 2 Richard, P.R. (2004). Raisonnement et stratgies de preuve dans lenseignement des mathmatiques. Berne: Peter Lang. 185Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales Independientemente del grupo de competencias, puede sorprender en ambas versiones que el aba-nicodelascompetenciasdesarrolladasseaam-plio. Aunque hay pequeas diferencias que se re-copilanenlaTabla4,tantoporlatipologaPISA comoporladelMLS,prcticamentetodaslas competencias (o sus respectivos componentes) se ejercitanconesteproblema.Esporquetiene algo especial? En realidad, la mayora de los pro-blemasquevanmsalldelgruporeproduc-cincompartenunaamplitudsemejante,como sepuedeaveriguarindirectamenteconlassitua-ciones-problemasdenuestraponencia(vertexto Lageometradinmicacomoherramientapara desarrollarcompetenciasdemodelizacinenel Bachillerato)alproducirsuscarnsdeidentidad.Esdecir,consituacionesquenoselimitanalarepre-sentacindedefinicionesopropiedadesestndares,oenlosclculos,procedimientososolucionesde problemas rutinarios. Asimismo, la variedad del contenido matemtico involucrado, cuando no interviene nicamenteenlaaplicacindeunmtodoconocidopreviamenteporelalumno,yladiversidaddelos heursticosmovilizadosenelprocesoderesolucin,suelenacompaareldesarrollodegruposdecom-petenciasdenivelalto.Aunas,apuntarhacialariquezadelassituaciones-problemasnogarantizaque las competencias matemticas prosperen, de aqu la idea de apuesta de aprendizaje en el ttulo de nuestro texto. ILUSTRACIN2.Problema de la bisectrices, versin A (SME, 2001) 186Philippe R. Richard ILUSTRACIN3.Problema de la bisectrices, versin B (Richard, 2004) 187Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales CompetenciasPISAIdeasmatemticasclavesModelo matemticohabitual Pensamiento y razonamiento Argumentacin (A & B2) Comunicacin Construccin de modelos (A) Planteamiento y solucin de problemas Representacin Utilizacin de operaciones y lenguaje tcnico, formal y simblico Empleo de material y herramientas de apoyo Espacio y formaGeometra (sinttica) Grupos decompetenciasPoblacinSituaciones 2. Grupo de conexiones (A) 3. Grupo de reflexin (B) a. Todos (tronco comn, etapa 14-15 aos) Formato delproblema 2. Educativa, profesional (vida escolar) Tipodeuso Pregunta de eleccin mltiple simple (B1) Pregunta abierta con respuesta construida Contextos (A& B2) a. Trabajo individual (A) b. Trabajo colectivo (B) Intramatemtico (B) Extramatemtico virtual (A) Comunicar con el lenguaje matemtico CompetenciasycomponentesMLS Analizar una situacin de comunicacin de naturaleza matemtica (B) Interpretar o transmitir mensajes de naturaleza matemtica Producir mensajes de naturaleza matemtica Desplegar un razonamiento matemtico Hacer conjeturas Elaborar y aplicar redes de conceptos y procesos matemticos Realizar demostraciones o pruebas (explcito en B) Resolver una situacin-problema Descifrar los elementos que se prestan a tratamiento matemtico Desarrollar una solucin matemtica Compartir informacin sobre la solucin 188Philippe R. Richard Representar la situacin-problema con un modelo matemtico (A) Validar la solucin (explcito en B) Sentidoespacialyfigurasgeomtricas Conceptos(1er cycle) Figuras planas Tringulos Segmentos y rectas notables: bisectriz Medicin ngulo en grados (B) ngulos Complementarios, suplementarios Procesos(1er cycle) Construcciones geomtricas Transformaciones geomtricas Reflexin (B) Bsqueda de mediciones no establecidas ngulos Mediciones no establecidas en diferentes contextos Procesos(2e cycle) Anlisis de situaciones que invocan propiedades de la figuras Descripcin y construccin de objetos TABLA4.Carn de identidad del problema de la bisectrices, versin A y B Las soluciones de alumnos que presentamos en las Ilustraciones 4 y 5 responden a la pregunta de la versin B2. En el primer caso el alumno conjetur triangle rectangle hzosele y en el segundo caso avec ce qui est donn dans la situation il est impossible de construire un tel triangle. Sin entrar an en la cuestin de laevaluacindecompetencias(seccinsiguiente),subrayamosquelosheursticossemovilizanconjuntao sucesivamenteenfuncindelaestrategiaempleada.Delaresolucincomoprocesodedescubrimiento, hace falta distinguir la solucin como proceso de escritura y la prueba como proceso de validacin. Si com-paramos cada proceso con las competencias matemticas del MLS, asociamos fcilmente el descubrimiento alaresolucindeunasituacin-problema,laescrituraalacomunicacinconellenguajematemticoyla validacinaldesplieguedeunrazonamientomatemtico.Demodoqueresolverunproblemadedemos-189190Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales tracin, sobre todo cuando la conjetura no se precisa en el enunciado, es una situacin rica para el desarrollo de competencias matemticas. ILUSTRACIN5.Primera solucin al problema de la bisectrices (Richard, 2004) y reparto de los heursticos de resolucin Philippe R. Richard ILUSTRACIN6.Segunda solucin al problema de la bisectrices (Richard, 2004) y reparto de los heursticos de resolucin 2.EVALUACINDECOMPETENCIAS Laprcticaevaluativasefundamentaenunaparadoja:eldesarrollodelascompetenciasesuntrabajode largaduracin,mientrasquesuejercicioseproducediariamenteapinceladasyrectificaciones.Alhaber controlado,conelcarndeidentidad,loqueestenjuegoconlassituaciones-problemas,eldocenteya puede dar cuenta hasta qu punto su intencin se ha realizado. Para empezar, dispone del conjunto de las respuestasdesusalumnos,asqueconoceelespaciodeloposibleenlascondicionesrealesdeloque saben hacer sus alumnos. Dicho de otro modo, contrariamente a las tareas de evaluacin cuya finalidad es 191Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales sancionarelaprendizajeconunanotaounttulo,eldocentetieneelprivilegiodeplantearsituaciones nuevas o ms difciles que de lo habitual, distinguiendo el aprobar con los mnimos de los toques de calidad en funcin del talento de su clase: Lasignificationdunepreuvedonnediffreselonlaconceptionquelenseignantsefaitdelenseignement quil entend donner ce niveau, dans cette classe et en fonction du contrat dans lequel il envisage de tra-duire cette conception. Elle diffre aussi selon ltat de la ngociation au moment o lpreuve intervient. (Chevallard, 1986)3 Portanto,eldocentejuegacondossistemasdereferencia:unodemnimosparadeterminarquinesson los aprobados (en principio, al alcance de todos), y otro que resulta ser una palanca para la proyeccin de las competencias matemticas de sus alumnos. En la literatura clsica esta palanca se llama el contrato di-dctico. De modo que la evaluacin de competencias en clase consistira tanto en dar cuenta de una realidad a posteriori como en un medio para gobernar el desarrollo de las competencias: Lesnotesdistribuesenclassenedoiventpastreexagrmentbasses,cequimettraitenprillacrdibilit de lenseignement. Mais elles ne doivent pas davantage tre trop hautes, indice que la ngociation a t mene parlenseignantlabaisse,quecelui-ciacdauxsourdespressionsdeslves,ethypothqulefuturde son enseignement. (Dupin et Johsua, 1999)4 3 Chevallard,Y.(1986).Versuneanalysedidactiquedesfaitsdvaluation.InDeKetele,J.M.(d.).Lvaluation:approchedescriptiveou prescriptive?, 31-59. Bruxelles: De Boeck-Wesmael. 4 Dupin, J.-J. et johsua, S. (1999). Introduction la didactique des sciences et des mathmatiques. Paris: PUF. 192Philippe R. Richard Para apoyar al delicado papel de juez y parte del docente, los documentos oficiales suelen enmarcar, aguas arriba, el proceso de evaluacin. En Quebec por ejemplo, se dispone de: untextodeorientacingeneraltituladoLvaluationdesapprentissagesausecondaire:cadrederf-rence, disponible en http://www.mels.gouv.qc.ca/DGFJ/de/cadresec.htm; y un texto ms especfico a las competencias disciplinares titulado chelles des niveaux de comptence, disponible en http://www.mels.gouv.qc.ca/DGFJ/de/echellessec.htm. Sinentrareneldetalledeestostextos,podemossubrayarquecadacompetenciamatemticasecalifica tcnicamenteenunaescalaquintenaria,desdecompetenciamuypocodesarrollada(nivel1),pasando por poco desarrollada (2), aceptable (3), asegurada (4) y marcada (5). Estos niveles se trasladan fi-nalmenteenlosboletinesanuales5 ycclicos(1er y2e cycle)6,resumiendoaselconjuntodelprocesoeva-luativo. A pesar de la descripcin que se proporciona por cada nivel, es la competencia profesional del do-cente que regula, aguas abajo, la evaluacin. Terminamos est seccin con un ejemplo a partir de las soluciones al problema de las bisectrices. De forma general,eslegtimopensarquelaevaluacindelascompetenciasmatemticastienequeconsideraruna distanciaentrelaproduccindelosalumnosyunasolucinquepodemoscalificardeideal.Estoes,por cierto, la tcnica que utiliza esencialmente PISA para comparar el estado de los conocimientos y habilidades entre regiones del mundo. Sin embargo, no se puede aplicar como tal en situacin de clase porque no con-sidera los efectos del contrato didctico. As, la solucin de la Ilustracin 6 aparece como resultado idneo 5 Ejemplo disponible en http://www.mels.gouv.qc.ca/lancement/BulletinsExemples/BulletinJeremySec.pdf. 6 dem en http://www.mels.gouv.qc.ca/lancement/BulletinsExemples/BilanJeremySec.pdf. 193Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales dealtonivel,aunqueresulteserpocofrecuenteenelalumnado.Habraqueapartarelproblemadean-temano o, si no, ajustar la evaluacin en consecuencia, sabiendo que tiene mucho valor para el desarrollo delascompetenciasmatemticas?Puestoquenoessupapel,PISAnopuederesponderfavorablemente a nuestra ultima sugerencia. Por tanto, cmo evaluar a posteriori la solucin de la Ilustracin 5? Respondemosaestapreguntaapartirdeunaexperimentacinquerealizamosenuncursillodeformacin continuadadondepresentamoslaversinBdelproblema7.Empezamospordistribuiracadaasistenteuna copiadelaIlustracin5.Sindiferenciarentreevaluarycualificar,lespedimosponerunanotaenuna escala de A a E A representa una nota sobresaliente y E el suspenso, como si fuera necesario evaluarlasolucinparadevolverlaalalumno.Registramoselconjuntodelascalificacionesy,consorpresa, constatamos que los resultados obtenidos siguieron ms o menos una distribucin normal. A pesar de rea-lizarse sin contrato didctico, les pedimos explicaciones a cada uno. Los que pusieron notas bajas alegaron sobre todo la falsedad de la conjetura, mientras que los que pusieron notas elevadas destacaron la dificultad delasituacin-problema.Duranteundebatequeanimbamos,nonoscostrelativizarcualquiernotaen funcindeunsupuestocontratodidctico.As,yaquelaconjeturaesfalsa,sepuedefcilmentecondenar lasolucindelalumnoaunDoaunE.Perosiseconsideraquesurazonamientoestestructurado, quecomienzaapartirdelashiptesisdelasituacin,queconstruyelgicamentelaconjeturaelegidaen B1, que justifica explcitamente sus argumentos a partir de una propiedad descrita (la simetra en un tringulo issceles) o de una definicin alegada (la del tringulo rectngulo), que llega hasta el final de su razonamiento yquesuexpresinesespecialmenteclarayeficaz,entoncesselapodracalificarperfectamenteconuna 7 Procede de RICHARD, P.R. (2005). valuation des comptences en classe de mathmatique: une activit complexe. Actes du Colloque 2004 du Groupe de didactique des mathmatiques du Qubec (GDM 2004), pp.123-134. Longueuil. Disponible en http://turing.scedu.umontreal.ca/gdm/do-cuments/ActesGDM2004.pdf. 194Philippe R. Richard C o una B. Se podra poner una A, como si fuera una muestra del desarrollo marcado de competencias matemticas?Respectoalassolucionesdeloscompaerosdeclaseyenlaparticularidaddeuncontrato didcticodado,sepuedeconsiderartemporalmentequeestasolucinesexcelente,explicandoalalumno cules son los puntos que se deben mejorar y por qu toda calificacin posterior podra resultar menor. 3.CONCLUSIN La idea del carn de identidad no significa que haga falta producirlo en cada problema. A lo largo de su ca-rrera profesional el docente posee suficiente experiencia para anticipar aquello que est en juego al proponer sus situaciones-problemas. No obstante, el sistema de referencia que constituyen los carns de identidad le ayudanacontrolarsussecuenciasdeactividadesmsalldelosconocimientosmatemticosinvolucrados, y le permite contrastar a posteriori su intencin con la realizacin efectiva en su clase. La evaluacin de las competencias matemticas ya no se realiza exclusivamente en trminos absolutos, como en el estudio PISA, sino que se ajusta igualmente en funcin de dnde el docente quiere proyectar las competencias matemticas desusalumnos.Si,duranteuncursoescolar,seinstalaprogresivamenteunequilibriosutilentreelseryel devenirdelascompetenciasmatemticas,esporqueseentiendequenohayunacomprensininmediata del aprendizaje y que es necesario tratar constantemente con una incertidumbre que se nos escapa. Asimis-mo,esnecesarioadmitirqueelalumnocomponetambinconlaincertidumbreyquecuandoseequivoca hace falta cuestionar el conjunto de las relaciones didcticas (entre el docente, el alumno y las matemticas). En consecuencia, la mejor inversin que se puede hacer para evaluar las competencias matemticas consistira en cuidar la calidad de las actividades propuestas, tanto como prestar una gran atencin en reconocer la le-gitimidad matemtica de lo que saben hacer los alumnos. As que cuando se pide al docente que se adapte a sus alumnos es para que el desarrollo de las competencias matemticas alcance esta ciencia. 195Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales ANEXOI READELASMATEMTICAS, LACIENCIAYLATECNOLOGA(MLS) Competenciasycomponentes Comunicar con el lenguaje matemtico Analizar una situacin de comunicacin de naturaleza matemtica Interpretar o transmitir mensajes de naturaleza matemtica Producir mensajes de naturaleza matemtica Desplegar un razonamiento matemtico Hacer conjeturas Elaborar y aplicar redes de conceptos y procesos matemticos Realizar demostraciones o pruebas Resolver una situacin-problema Descifrar los elementos que se prestan a tratamiento matemtico Desarrollar una solucin matemtica Compartir informacin sobre la solucin Representar la situacin-problema con un modelo matemtico Validar la solucin HEURSTICOSDERESOLUCINDEPROBLEMAS(PLYA-DE-GZMANADAPTADO) Resolucin grficaDescomposicin del problemaBsqueda de un problema similar resuelto Ensayo-errorSimplificacin y bsqueda de regularidadesModificacin del enunciado Razonamiento inversoParticularizacin del problemaBsqueda de un contraejemplo Organizacin de la informacinExperimentacin con la posible solucinReduccin al absurdo 196 Philippe R. Richard LACULTURAMATEMTICA(PISA-SME-MLS) Pensamiento y razonamiento Argumentacin Comunicacin Construccin de modelos Planteamiento y solucin de problemas Representacin Utilizacin de operaciones y lenguaje tcnico, formal y simblico Empleo de material y herramientas de apoyo 1. Grupo de reproduccin 2.Grupo de conexiones 3. Grupo de reflexin Pregunta de eleccin mltiple simple o compleja Pregunta cerrada con respuesta construida Pregunta abierta con respuesta construida Competenciasmatemticas Grupos decompetencias Formato delproblema Cantidad Espacio y forma Cambio y relaciones Incertidumbre a. Todos (tronco comn) b.Secuenciacultura, sociedad y tecnologa c.Secuenciaciencias tcnicas d.Secuenciaciencias naturales a. Trabajo individual b. Trabajo colectivo Ideasmatemticasclaves Poblacin Tipodeuso lgebra Anlisis Aritmtica Estadstica Geometra Probabilidades 1.Personal (vida privada) 2. Educativa, profesional (vida escolar, trabajo, deportes y ocio) 3.Pblica (comunidad local y sociedad) 4.Cientfico (contextos cientficos) Contexto intra o extramatemtico Contexto real, virtual o artificial Modelomatemticohabitual Situaciones Contextos Nota.Lanumeracinconletrassignificaquesepuedehacerunaeleccinnicay,conlosnmeros,unaordenacinjerarquizada(nivelde exigencia en grupo de competencias, distancia relativa con la vida del alumno en situaciones). 197 Competencias matemticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales BIBLIOGRAFA CHEVALLARD, Y. (1986). Vers une analyse didactique des faits dvaluation. In De Ketele, J.M. (d.). Lvaluation: approche descriptive ou prescriptive?, 31-59. Bruxelles: De Boeck-Wesmael. DUPIN, J.-J. et JOHSUA, S. (1999).Introduction la didactique des sciences et des mathmatiques. Paris: PUF. RICHARD, P.R. (2004). Raisonnement et stratgies de preuve dans lenseignement des mathmatiques. Berne: Peter Lang. (2005).valuationdescomptencesenclassedemathmatique:uneactivitcomplexe.ActesduColloque 2004 du Groupe de didactique des mathmatiques du Qubec (GDM 2004), pp.123-134. Longueuil. Dis-ponible en: http://turing.scedu.umontreal.ca/gdm/documents/ActesGDM2004.pdf. 198