EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEALSe recomienda:a) Antes de hacer algo, leer todo el examen.b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor.c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada.

Elegir uno de los dos siguientes problemas.PROBLEMA 1 (7 p)1. Representar la región del plano definida por el siguiente si stema de inecuaciones :

�x � y � 60

x � y � �40

11x � 3y � 40

2 Maximizar la función f�x, y� � 10x � y en la región obtenida .

3 Minimizar la función g�x, y� � x � 10y en la región obtenida .

PROBLEMA 2 (10 p)En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina . Para poder atender la demandase han de tener almacenados un mìnimo de 10 bidones de petròle o y 20 de gasolina . Siempredebe haber màs bidones de gasolina que de petróleo , siendo la capacidad del depósito de 200bidones . Por razones comerciales , deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones . El gastode almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 céntimos y el de u no de gasolina es de 30céntimos . Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenar se para que el gastode almacenaje sea mínimo .1. Exprésense la función objetivo y las restricciones del problema.2. Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la misma.3. Resuélvase el problema.

FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1

SOLUCIÓN

PROBLEMA 1 (7 p)1. Representar la región del plano definida por el siguiente si stema de inecuaciones :

�x � y � 60

x � y � �40

11x � 3y � 40

Hemos de representar1.1 �x � y � 60Pintamos la recta de ecuación y � x.� 60

Tenemos la tabla: x 10 0

y 70 60que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�0, 0� � 0 � 0 � 60 : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta y � x � 60incluída esta. 0.85 P1.2 x � y � �40Pintamos la recta de ecuación y � x.� �40

Tenemos la tabla: x -20 -30

y -20 -10que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�0, 0� � 0 � 0 � �40 : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la rectay � x � �40 incluída esta. 0.85 P1.3 11x � 3y � 40Pintamos la recta de ecuación 3y � 11x.� 40

Tenemos la tabla:x 0 40

11

y 403

0que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�0, 0� � 11 � 0 � 3 � 0 � 40 : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta3y � 11x � 40 incluída esta. 0.85 P

FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 2

-60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

1 PCalculamos los vértices de la región factible, pues en esos puntos se alcanzan los óptimos de lasfunciones objetivo.

� A ��x � y � 60

11x � 3y � 40

Aplicamos el método de sustitución:De la primera ecuación: y � 60 � xSustituimos este valor en la segunda ecuación:

11x � 3�60 � x� � 40 � 11x � 180 � 3x � 40 � 14x � �140 � x � �14014

� � 10

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente de y: y � 60 � 10 � 50Entonces A � ��10, 50� 0.55 P

� B ��x � y � 60

x � y � �40

Aplicamos el método de reducción, sumando en columna para obtener: 2y � 20 � y � 202

� 10

Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de x:�x � 10 � 60 � x � 10 � 60 � � 50Entonces B � ��50, 10� 0.55 P

� C �x � y � �40

11x � 3y � 40

Aplicamos el método de igualación:Despejamos en ambas ecuaciones la incógnita x:

x � y � �40

11x � 3y � 40�

x � �y � 40

11x � 40 � 3y�

x � �y � 40

x �40 � 3y

11Igualamos las dos expresiones en x para obtener una ecuación de primer grado en y:

�y � 40 �40 � 3y

11� ��y � 40�11 � 40 � 3y �� �11y � 440 � 40 � 3y � �440 � 40 � 11y � 3y � 8y � �480 �

� y � �4808

� � 60

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � ���60� � 40 � 20Entonces C � �20,�60� 0.55 P

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2 Maximizar la función f�x, y� � 10x � y� fA��10, 50� � 10 � ��10� � 50 � � 150 0.25 P� fB��50, 10� � 10 � ��50� � 10 � � 510 0.25 P� fC�20,�60� � 10 � 20 � ��60� � 260 0.25 P

El máximo se alcanza en el punto C 0.15 P

3 Minimizar la función g�x, y� � x � 10y� gA��10, 50� � �10 � 10 � 50 � � 510 0.25 P� gB��50, 10� � �50 � 10 � 10 � � 150 0.25 P� gC�20,�60� � 20 � 10 � ��60� � 620 0.25 P

El mínino se alcanza en el punto A 0.15 P

PROBLEMA 2 (10 p)En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina . Para poder atender la demandase han de tener almacenados un mìnimo de 10 bidones de petròle o y 20 de gasolina . Siempredebe haber màs bidones de gasolina que de petróleo , siendo la capacidad del depósito de 200bidones . Por razones comerciales , deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones . El gastode almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 céntimos y el de u no de gasolina es de 30céntimos . Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenar se para que el gastode almacenaje sea mínimo .1.

LLamamosx al número de bidones de petróleo

y al número de bidones de gasolina

Las restricciones son:

x � 10

y � 20

y � x

x � y � 200

50 � x � y

0.3x5 P

La función objetivo es z�x, y� � 20x � 30y.2.Hemos de representar:2.1 x � 10Pintamos la recta vertical de ecuación x � 10, y se trata de todo el semiplano que queda a la derecha deesta recta incluída ella. 0.425 P2.2 y � 20Pintamos la recta horizontal de ecuación y � 20, y se trata de todo el semiplano que queda por encimade esta recta incluída ella. 0.425 P2.3 y � xPintamos la recta de ecuación y � x.

Tenemos la tabla: x 10 20

y 10 20que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�1, 0� � 0 � 1 : falso. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta y � x sin incluira esta. 0.85 P2.4 x � y � 200Pintamos la recta de ecuación y � x.� 200

Tenemos la tabla: x 100 200

y 100 0que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.

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Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�0, 0� � 0 � 0 � 200 : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la rectay � x � 200 incluyendo a esta. 0.85 P2.5 50 � x � yPintamos la recta de ecuación y � x.� 50

Tenemos la tabla: x 25 50

y 25 0que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente

determinada cuando conocemos dos de sus puntos.Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:�0, 0� � 50 � 0 � 0 : falso. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta y � x � 50incluyendo a esta. 0.85 P

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

50

100

150

200

x

y

1 PClaramente hay una restricción redundante: y � 20Los vértices vienen dados por los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

� A �x � 10

x � y � 200� A � �10, 190� 0.55 P

� B �x � 10

x � y � 50� B � �10, 40� 0.55 P

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� C �x � y

x � y � 50� C � �25, 25� 0.55 P

� D �x � y

x � y � 200� D � �100, 10� 0.55 P

3.La función objetivo alcanza sus óptimos en los vértices de la región factible, por lo que hemos deevaluarla sobre dichos vértices:3.1 zA�10, 190� � 20 � 10 � 30 � 190 � 5900 céntimos 0.25 P3.2 zB�10, 40� � 20 � 10 � 30 � 40 � 1400 céntimos 0.25 P3.3 zC�25, 25� � 20 � 25 � 30 � 25 � 1250 céntimos 0.25 P3.4 zD�100, 100� � 20 � 100 � 30 � 100 � 5000 céntimos 0.25 PEl mínimo se alcanza en el punto C � �25, 25� 0.15 P

Por lo tanto se deben almacenar25 bidones de petróleo

25 bidones de gasolina

Pero no es vàlida, ya que tiene que haber más bidones de gasolina que de petróleo. Buscamos unasoluciónpróxima a esta en el punto (25, 26) en el que z�25, 26� � 20 � 25 � 30 � 26 � 1280 céntimos que sigue

siendo una solución mínima y que corresponde a25 bidones de petróleo

26 bidones de gasolina0.75 P

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