1

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

MATEMÁTICAS I 1º BACHARELATO CURSO 2 009 / 2 010

EXAME FINAL 10 / 06 / 10

1ª AVALIACIÓN

1.A) (1 pto) Acha a suma dos 1 000 primeiros termos dunha progresión aritmética na que a50 = 101 e a500 = 1 001. 1.B) (1,5 pto) Nunha sala de cinema, a cuarta fila de butacas dista da pantalla 114,8 dm e a novena 162,8 dm. En que fila estará unha persoa se a súa distancia á pantalla é de 230 dm? 2. (1,75 pto) Por o aluguer dunha casa se acorda pagar 500 € ao mes durante o primeiro ano, e cada ano se aumentará o aluguer un 6% mensual. Canto se pagará mensualmente despois de 12 anos? Cal será o montante total pagado tras os 12 anos?

3. (1 pto) Obtén razoadamente o termo xeral da sucesión: {an} = 3 4 5 6

2, , , , ,...4 9 16 25

− −

4. (2,25 pto) Dada a sucesión an = 2 1

2

n

n

−

− , contesta estas preguntas referidas á sucesión

1

na: a) É crecente? b) Está acotada? c) É converxente?

5. (3 pto) Calcula os seguintes límites:

a)

++−

n

nn 12lim b)

2

3

1

12

2

2

1

3lim

n

nn

n

nn −

+−

−

−−

6. (2,5 pto) Calcula os seguintes límites:

a) ( )2lim 4 2n n − − +

b) 22

2

1 4lim

4

n

n

n n

+ −

7. (3 pto) Obtén razoadamente o dominio das seguintes funcións:

a) f(x) = 3

2 6

x x

x x

−− −

b) g(x) = 2

3 2

2

2 2

x

x x x+ − − c) h(x) = log

2

x

x

−

8. (1,5 pto) Obtén a función recíproca de h(x) = 2 4

3 1

x

x

−+

9.A) (1 pto) Estuda a simetría da función j(x) = 2

2 2

x

x −

9.B) (2 pto) Indica se a función f(x) = (cos x)�(sen x) é par, impar ou non simétrica. 10. (1,75 pto) Calcula os seguintes límites:

a) 2

2

2 1lim

2 4

x

x

x

x→−∞

− −

b) 3 2

5 4 3 23

8 21 18lim

9 27 27x

x x x

x x x x→

− + −− + −

2

11. (2 pto) Calcula o valor de K para que a seguinte función sexa continua en todo R:

k(x) =

2 3 se 0

se 0

2 3 se 0

x x xx

K x

x x

+ <

= + >

2ª AVALIACIÓN

1.A) (1,5 pto) Estuda a continuidade das seguintes funcións, indicando, se existen, o tipo de discontinuidades que aparecen en cada caso:

a) f(x) = 2 3 si 0

3 2 si 0

x x

x x

+ <

− ≥ b) g(x) =

2

2si 3

33 si 3

xx

x x x

<−

+ ≥

1.B) (1,75 pto) Clasifica las discontinuidades y/o establece el valor de los límites significativos en las siguientes funciones: 2. (1 pto) Unha función presenta un punto crítico que non é extremo. Que condicións se deben cumprir para que esto aconteza? Pon un exemplo. 3. (1,5 pto) Calcula a derivada da función f(x) = (x + 3)2 en x0 = −1 aplicando a definición de derivada.

4. (2 pto) Estuda a monotonía e os extremos da función k(x) = 2 8 7

2

x x

x

+ ++

5. (1 pto) Obtén a ecuación da recta tanxente á función z(x) = 36 5

2

x x− en x0 = −2.

6. (3 pto) Calcula as derivadas das seguintes funcións:

a) f(x) = 2 cos

x

x x

e b) g(x) = ( ) ( )3 2sen cos 1 1x x x− + +

7.A) (1,5 pto) A altura desde o chan dun mísil ven dada pola seguinte expresión:

h(t) = 100 000 + 500t – 5t 2 (metros)

a b

d e f

g

h

i

j

c

3

Calcula: a) o instante en que acada a altura máxima; b) o tempo total de voo; c) o intervalo de tempo en que o mísil se atopa entre 88 000 e 120 000 m. 7.B) (2 pto) A producción de certa hortaliza nun invernadoiro depende da temperatura segundo a expresión:

Q(x) = (x + 1)2(32 – x)

onde x se mide en ºC e Q(x) en kg. a) Calcula razoadamente a temperatura óptima a manter no inernadoiro. b) Que producción de hortaliza se obterá? 8.A) (2,25 pto) Calcula as integrais seguintes:

a) 2 35 23

3x x dx

x

− + ∫ b) ( )22 xx x e dx−−∫ c) tan xdx−∫

8.B) (3 pto) Calcula as seguintes integrais:

a) 5 234

2x x

− ∫ b)

3

4

12 2

3 2

x

x x

−−∫ c) ( )2 3sen 4 2x x −∫

3ª AVALIACIÓN

1. Se α, β e γ son os tres ángulos dun triángulo, entón verifícase:

a) sen (α + β) – sen γ ≠ 0 b) cos (α + β) + cos γ = 0 c) tan (α + β) – tan γ = 0 2.A) Dúas torres, unha de 30 metros e outra de 40, están separadas 50 metros. Entre as dúas torres atópase unha fonte cara a que descenden dous paxaros que están nas ameas das torres. Indo con igual velocidade chegan ao mesmo tempo. A que distancia das torres se atopa a fonte? 2.B) Unha escaleira de bombeiros de 10 m de lonxitude fixouse a un punto da calzada. Se se apoia sobre unha das fachadas forma un ángulo co chan de 45º, e se se apoia sobre a outra fachada forma un ángulo de 30º. Acha a anchura da rúa e a altura que se acada con esa escaleira sobre cada unha das fachadas. 3. Resolve o triángulo cos datos: a = 8 m; B = 30º; C = 105º

4.A) Demostra a igualdade: a

aa

a

a

cos

sencos

2tan

sen2 2

−=

4.B) Demostra a seguinte identidade trigonométrica:

2 2 2 2sen sen cos cos2 2 2 2

α + β α −β α −β α + β − = −

5. Resolve o seguente sistema:

2 2

2 2

3sen cos

41

cos sen4

x y

x x

+ =

− =

6.A) Desde a popa dun barco de 250 m de eslora o capitán observa os extremos dun dique seco con ángulos de 25º e 31º respecto á cruxía (liña popa – proa); ó se trasladar á proa, ve

4

os mesmos puntos cos ángulos de 31º e 62º respecto á mesma liña. Poderá atracar o barco para entrar no dique (caberá)? 6.B) (3 pto) Deséxase medir a anchura dunha aeronave alieníxena aterrada doutro lado dun barranco. Para isto dispomos de dúas estacións de vixiancia separadas entre si 400 m. Desde unha estación, e en relación coa liña que une as dúas estacións, obsérvanse os extremos da nave baixo ángulos de 70º e 30º respectivamente; desde a outra, os mesmos puntos teñen visuais trazadas a 80º e 42º. Que lonxitude se espera calcular para a nave?

7.A) Calcula: i

ii

2

77 −−

7.B) Calcula o módulo e o argumento do número complexo ( )( )( )iiiz −++= 3131 .

8.A) Sexa iz 31010 −= . Calcula z 5 e 4 z .

8.B) Resolve a seguinte ecuación complexa: z 3 + 1 = 0 9. Un paralelogramo ABCD ten tres vértices consecutivos en A (1, 2), B (3, 4) e C (5, 6). É esto posible? Razoa a resposta. 10.A) Dados os vectores u

�

(1, 2), v�

(−2, 3), acha: a) o ángulo que forman; b) o vector

unitario na dirección de u�

+ v�

.

10.B) Calcula o valor de m e n para que os vectores jmiu��

�

+=2

1 e jniv

��

�

+=2

2 sexan:

a) unitarios. b) ortogonais. 11. Sen necesidade de facer ningún cálculo, di razoadamente cales dos seguintes pares de rectas son perpendiculares:

a) 2x + 3y – 4 = 0 ; 4x + 6y – 8 = 0 b) 2x + 3y – 4 = 0 ; 6x – 4y + 5 = 0

c) 3x – 2y + 7 = 0 ; 4x + 6y – 3 = 0 d) x + y – 8 = 0 ; 2x + 3y + 6 = 0 12. Dada a recta de ecuación 3x + 4y – 7 = 0, cales serán os cosenos dos ángulos que forma cos eixes?

MATERIA NON AVALIADA

1. Elixe razoadamente a resposta correcta: se se corta un cono mediante un plano paralelo ó seu eixe obténse: a) unha circunferencia; b) unha elipse; c) unha parábola; d) unha hipérbola. 2. Dados dous puntos do plano A e B, cal e o lugar xeométrico dos puntos P que equidistan deles? 3. A Terra, no seu movemento arredor do Sol, describe unha curva cónica. Sabendo que as distancias máxima e mínima da Terra ó Sol son, respectivamente, 147 e 152 millóns de kilómetros, calcula a excentricidade da órbita terrestre. 4. a) Obtén o centro e o raio da circunferencia de ecuación C ≡ 3x 2 + 3y 2 – 7x – 7y – 2 = 0.

5

b) Atopa os elementos principais da elipse de ecuación e ≡ 2 29

18 9

x y+ = . Canto vale a súa

excentricidade? INSTRUCCIÓNS:

o unha avaliación suspensa: realizaranse os exercicios correspondentes a esa avaliación MÁIS dous da Materia Non Avaliada, un dos cales terá que ser OBRIGATORIAMENTE o 4.

o dúas avaliacións suspensas: realizaranse os exercicios pares dunha delas e os impares da outra (a elixir) MÁIS dous da Materia Non Avaliada, un dos cales terá que ser OBRIGATORIAMENTE o 4.

o tres avaliacións suspensas: realizaranse catro exercicios non consecutivos das 1ª e 2ª Avaliacións e 5 exercicios non consecutivos da 3ª (a elixir) MÁIS dous da Materia Non Avaliada, un dos cales terá que ser OBRIGATORIAMENTE o 4.

6

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

MATEMÁTICAS I 1º BACHARELATO CURSO 2 009 / 2 010

EXAME FINAL 10 / 06 / 10

SUBIR NOTA

1(OB). (3 pto) Razoa as seguintes cuestións:

a) Pode ser un número real o produto de dous números complexos non reais? Cando? b) O cociente de dividir un número complexo polo seu conxugado, pode ser un número real? c) É posible que un triángulo teña lados que midan a = 15 m, b = 7 m e c = 5 m? d) Un paralelogramo ABCD ten tres vértices consecutivos en A (1, 2), B (3, 4) e C (5, 6). É isto posible? 2.A) (1,5 pto) Un esquiador comeza a pretempada facendo pesas nun ximnasio durante unha hora. Decide incrementar o entrenamento 10 minutos cada día. Canto tempo deberá entrenar logo de 15 días? Canto tempo en total adicou ao entrenamento logo de todo un mes de 30 días? 2.B) (1,75 pto) As seguintes fraccións, están en progresión aritmética?

1

1

x

y

++

, 2

x y

y

+,

2

2

x y

y y

++

3(OB). (1,5 pto) A unha corda de 700 m de lonxitude se lle dan dous cortes, de xeito que un dos trozos extremos ten unha lonxitude de 100 m. Sabendo que as lonxitudes dos trozos están en progresión xeométrica, determina a lonxitude de cada trozo.

4. (2,25 pto) Dada a sucesión an = ( )

11

1n

n

−

− ⋅ , a) é crecente?; b) está acotada?; c) é

converxente? 5(OB). (2,75 pto) Atopa os límites:

a) {dn} = ( )2 2 1

2 2 1n n n

n n n+ − +

+ − − b) 2

1 2 3 ...lim

n

n

+ + + +

6. (1,5 pto) Estuda a continuidade da función h(x) = x

x e indica razoadamente os tipos de

discontinuidade en caso necesario.

7(OB). (2,5 pto) Estuda a monotonía da función f(x) = ( )( )( )( )

1 3

2 2

x x

x x

− −

+ −.

8(OB). (1,75 pto) O custo de producción de x unidades diarias dun determinado produto é:

2135 25

4x x+ +

e o prezo de venda dun deles é 504

x −

€. Acha o número de unidades que se deben

vender diariamente para que o beneficio sexa máximo.

7

9(OB). (3 pto) Calcula as seguintes integrais: a) 3

4

12 2

3 2

x

x x

−−∫ b) ( )2 3sen 4 2x x −∫

10.A) (1,5 pto) Demostra a igualdade: sen 3a = sen a (3 cos 2

a – sen 2 a)

10.B) (2 pto) Resolve o seguinte sistema:

1sen sen

43

cos cos y4

x y

x

=

=

11(OB). (3 pto) Desde a popa dun barco de 250 m de eslora o capitán observa os extremos dun dique seco con ángulos de 25º e 31º respecto á cruxía (liña popa – proa); ao se trasladar á proa, ve os mesmos puntos con ángulos de 31º e 62º respecto á mesma liña. Poderá atracar o barco para entrar no dique (caberá)?

12(OB). (1,5 pto) Resolve a ecuación complexa: z 6 – 28z 3 + 27 = 0

13.A) (1 pto) Dados os vectores a�

e b�

tales que a�

= 10, b�

= 10 3 e a b+�

�

= 20, acha

o ángulo que forman a�

e b�

.

13.B) (1,25 pto) Calcula o ángulo que forman os vectores u�

(0, x) e v�

(y, 3), sabendo que v�

ten o mesmo módulo que o vector de orixe P(5, 3) e extremo Q(2, −1) e que v�

é ortogonal a (−3, −1). 14(OB). (2,5 pto) Sobre un pradaría chaira hai dous montóns de gran situados nos puntos A (3, 1) e B (7, 4). Desde un formigueiro próximo, as formigas marcaron sobre o chan cadanseu camiño rectilíneo formando un ángulo recto, dirixidos cara aos dous montóns de gran. En que punto se atopa o formigueiro se se sabe que está situado sobre a recta de ecuación x – y = 4? 15.A) (2 pto) Acha a ecuación da recta que pasa polo punto A (4, 5) e forma cos semiexes positivos un triángulo de área 40 unidades cadradas. 15.B) (2 pto) Sexa a recta r ≡ x + y – 2 = 0; acha as coordenadas do punto A’ simétrico de A (6, 1) respecto a dita recta. Acha o punto P sobre a recta r que define con A e A’ un triángulo equilátero. 16(OB). (2 pto) Determina a área do paralelogramo OABC e as ecuacións dos lados AB e BC sabendo que OA está sobre a recta x – 2y = 0, OC sobre 3x + y = 0 e as coordenadas de B son (3, 5). ESPECIAL.- Fulanito acha o punto B, simétrico de A (1, 3) respecto á bisectriz do primeiro cadrante; Menganita acha o punto C, simétrico de B respecto ó eixe de abscisas, e, a continuación, Perenganita acha D, simétrico de C respecto á bisectriz do cuarto cadrante. Citanito di que se pode pasar de A a D nunha soa simetría. Calcula a ecuación do eixe de dita simetría.

8

MATERIA NON AVALIADA

1. Elixe razoadamente a resposta correcta: se se corta un cono mediante un plano paralelo ó seu eixe obténse: a) unha circunferencia; b) unha elipse; c) unha parábola; d) unha hipérbola. 2. Dados dous puntos do plano A e B, cal e o lugar xeométrico dos puntos P que equidistan deles? 3. A Terra, no seu movemento arredor do Sol, describe unha curva cónica. Sabendo que as distancias máxima e mínima da Terra ó Sol son, respectivamente, 147 e 152 millóns de kilómetros, calcula a excentricidade da órbita terrestre. 4. a) Obtén o centro e o raio da circunferencia de ecuación C ≡ 3x 2 + 3y 2 – 7x – 7y – 2 = 0.

b) Atopa os elementos principais da elipse de ecuación e ≡ 2 29

18 9

x y+ = . Canto vale a súa

excentricidade? INSTRUCCIÓNS:

realizaranse os exercicios marcados con (OB) MÁIS tres da Materia Non Avaliada, un dos cales terá que ser OBRIGATORIAMENTE o 4. Ademais, todos os exercicios feitos a maiores que se queiran facer.