ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 1

GRUPO:

100412_18

TUTOR:

ROBEIRO BELTRAN

DORALYS RICARDO VALERIO

BIBIANA LANDAZABAL MARULANDA

CÓD. 32.752.967

SANDRA VERÓNICA QUINTERO

CÓD. 30.946.380

REOMIR NEGRETE PADILLA

COD: 1.110.513.536

MARZO 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo, consta de una revisión de las temáticas a tratar durante elperiodo académico del curso Ecuaciones diferenciales, por medio del desarrollo deunos ejercicios, por temáticas.

Los ejercicios desarrollados en el presente documento, fueron escogidos por elestudiante de cada una de las temáticas propuestas en la guía de actividades.

TRABAJO COLABORATIVO

Temática: introducción a las ecuaciones diferencialesEstablezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

A.dydx

+sen ( y )=0

Por Bibiana Stella Landazábal: Teniendo en cuenta que una ecuación diferencial es la que incluye una o más derivadas o diferenciales. Se clasifican por su:

Tipo: ecuaciones ordinarias o en derivadas parciales.Orden: la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.dydx

+sen ( y )=0

Ecuación diferencial no lineal de primer orden.

B. y ' '+ y '+ y=0.

Por Doralys Ricardo Valerio

Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

C. d2 yd x2

+dydx

−5 y=ex

Por Reomir Negrete Padilla

Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden

D. (2 y+1 )dx+( y2 x− y−x )dy

Por Doralys Ricardo Valerio

Ecuación diferencial no linealde primer orden.

E. x y '− y=x2

Por: Sandra Quintero

En primer lugar, hay que recordar que las ecuaciones diferenciales lineales, sedeben caracterizar por:

La variable dependiente (y) y todas sus derivadas son de primer grado, es

decir, que la variable (y) debe estar siempre con potencia 1. Cada coeficiente depende solo de la variable independiente (x).

Podemos ver que la ecuación cumple con los requisitos, por lo que podemosdeterminar que si es una ecuación diferencial lineal. Ahora para determinar elorden, se debe observar el orden más alto de la derivada de la ecuación. En estecaso, la derivada mayor es de primer orden, por lo que la ecuación diferencial eslineal de primer orden.

Ahora si la resolvemos:

x y '− y=x2

Lo primero que se debe hacer es despejar y’, es decir, en este caso dividimos todala ecuación por x:

x y '− y=x2

x y '

x−yx=x2

x

y '−1xy=x

Ahora se debe hallar el factor integrante, el cual es hallado integrando elsegundo termino de la ecuación anterior:

∫−1xdx

¿e ln x−1

¿ x−1ó1x

Luego se multiplica toda la ecuación por el factor integrante:

x−1 ( y ' )−1x

(x−1 ) y=x( x−1)

x−1 ( y ' )− x−1

xy=x0

x−1 ( y ' )−x−2 y=1

Ahora se debe integrar el resultado:x−1 y '=∫1

x−1 y '=x+c

Ahora multiplicamos todo por x, para despejar y’(x∗x−1 ) y'=x2+xc

Dando como resultado:y '=x2+xc

Ecuación diferencial linealde primer orden.

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

Por Doralys Ricardo Valerio

dydx

+ y2+yx−1

x2=¿

y=1x

dydx

=−1

x2

Reemplazamos:

(−1x2 )+( 1x )2

+( 1x )x

−1x2

=0

−1

x2+1

x2+1

x2−1

x2=0

−2

x2+2

x2=0

0=0

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelvala siguienteecuacióndiferencial por el método de variables separables:

Por Sandra Verónica Quintero:

dydx

=−2xy

Solución

Para empezar, se debe separar las variables, es decir, se dejan a un ladolas “y” y al otro lado las “x”:dydx

=−2xy

y∗dy=−2x∗dx

Ahora se integra cada parte de la ecuación:

∫ y∗dy=∫−2x∗dx

y2

2=−x2+c

Ahora para la presentación, podemos multiplicar por dos a cada lado de laecuación, con el fin de despejar la y2

2( y2

2 )=2(−x2+c)y2=−2x2+2c

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

Por Doralys Ricardo Valerio

2xydydx

+ y2−2x=0

2xy dy+( y2−2x )dx=0

N (x , y )=2 xy

M ( x , y )= y2−2 x

dMdY2 y

dNdX

=2 y

Como dMdY

=dNdX la ecuación es exacta

M ( x , y )=( y2−2 x )dx

H (x , y )= y2 x−x2+H (Y )

dHdY

=2xy+h1 ( y )=2 xy

h1( y )=0

h ( y )=k

H (x , y )= y2 x−x2=k

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

Por Doralys Ricardo Valerio

(3 xy+ y2 )dx+( x2+ yx )dy=0

SOLUCION

M ( x , y )=3 x y+ y2

dMdY

=3x+2 y

N (x , y )=x2+ yx

dNdX

=2x+ y

dNdx

=dNdx , la ecuación no es exacta

Tenemos que

dMdY

−dNdy

¿3 x+2 y−2 x− y

¿ x+ y

μ(x)=exp (∫ |x+ y|x (x+ y )

dx)

μ(x)=exp (∫ dxx )

μ (x )=elnx=x

μ (x )=x→Factor Integrante

x (3 xy+ y2 )dx+x (x2+ yx )dy=0

(3 x2 y+xy2 )dx+ (x2+ y x2 )dy=0

M ( x , y )d=3x2 y+ x y2

dMdY

=3x2+2 yx

N (x , y ) X3+ y x2

dNdX

=3 x2+2 xy

Buscamos f=(x,y) las que

dfdx

=3 x2 y+x y2

f ( x , y )=x3 y+12x2 y2+H ( y )

dfdy

=x3+x2 y+h1( y)

Ahora x3+22 y+h1 ( y )=x3+ y x2

Entonces

h1 ( y )=0→h ( y )=k

Así

f ( x , y )=x3 y+12x2 y2+k

Es solución de la ecuación

D. Resuelva la ecuación diferencial

Por Bibiana Stella Landazábal

dydx

=yx+xy

Reemplazando a u = x/y

Donde du = (y – xdy)/ y2

du = xu (1 – udy)

du = xu (1 – udy)

du = xu –xu2dy

Tenemos a dy = (xu – du) / xu2

La ecuación nos queda

(xu – du) / xu2= u +1/u + 1

xu – du= xu3 + xu + xu2

du = -xu2 (1+u)

du/ u2 (1+u) = -x

Ahora se resuelve por variables separables

[ 1(1+u)

−(u−1)

u2 ] du = -xdx

Ln (1 +u) – ln u – u-1 + ln C = - x2

Ln {C (1 + u)/u = - x2c+ 1/u

C (1 + u)/u= e(1+u)

ex2

u/ (1 + u)* e (1+u ) = C* ex

2

reemplazando a u nos da:

x/(x + y)* e ( y /x ) = C* e ( x2 )

Por: Reomir Negrete

dydx

=yx+xy

dydx

=yx+( yx )

−1

dydx

=f ( yx ) ,yx=w , y=wx ,

dydx

=dwdxx+w

dwdx

x+w=w+w−1 ,dwdx

x=1w,dw∗wx=dx ,wdw=

dxx

∫wdw=∫ 1xdx ,

w2

2=ln|x|+C ,w2=2 ln|x|+2C ,w2

=ln x2+C

y2

x2=ln x2+C , y2=x2 ln x2+C x2

E. Resuelva la ecuación diferencial4√ yx+ y '=0

Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

PROBLEMA

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/sque vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga queel lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce lagráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en ellago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

DESARROLLO:

En primer lugar sacamos los datos y especificamos las variables:

X(t)=contaminantes en el rio

Y(t)=contaminantes en el lago

X(1)=3m3/s

Así que tenemos la siguiente ecuación diferencial:

Contaminantes que entran al rio:

dxdy

=−x

2m35

Contaminantes que salen del rio y entran al lago:

dxdt

=x

2m3/5−

y

2m3/5

Ahora desarrollamos la ecuación diferencial por el método de separación de variables:

dxx

=dt

2m35

lnx=−t

2m35

+e

e=lh2 y

x (t )=2e−t /2

Ahora se reemplaza en la ecuación:

dydt

+y2=e−t /2

y (t )=C e−t /2+t e−t /2

y (t )=t e−t2

Ahora se reemplazan los valores de la pregunta solicitados:

Para el dia:

T=1

y (1 )=(1)e−(1 )2

y (1 )=(1 ) (0,6065 )

y (1 )=0,606m3/s

Para el mes:

T=30

y (30 )=(30)e−(30)2

y (30 )=(30 )∗3,05E−07

y (30 )=9,17 E−06m3/s

Para el año:

T=360

y (30 )=(360)e−(360)2

y (30 )=(360 )∗6,714 E−79

y (30 )=2,417 E−76m3 /s

Grafica:

Para el desarrollo de la grafica es necesario hacer un cuadro de tabulaciones:

1 0,6062 0,7353 0,6694 0,5415 0,416 0,2987 0,2118 0,1469 0,099

10 0,06730 0,00000917

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

2

4

6

8

10

12

Problema propuesto para el desarrollo del trabajo colaborativo:

Una empresa licorera, decide lanzar al mercado un nuevo licor saborizado, paraello ha realizado una investigación de mercadeo, la cual arrojo que existen unmillón de compradores potenciales. Sin embargo se conoce que la velocidad conla que la población se entera del producto es proporcional al número de personasque aun ni lo conoce. Luego de un año, la mitad de la población ya conoce el licor.¿Al finalizar los dos años de lanzamiento del producto al mercado, cuantaspersonas conocerán del licor?

Desarrollo

En primer lugar vamos a identificar las variables del problema

P: clientes potenciales = 1.000.000

t= tiempo que han escuchado del producto= 1 año

(1-p)= las personas que aun ho han escuchado del producto

d pdt = corresponde a la velocidad con que las personas conocen el producto

Así, podemos definir la ecuación diferencia como:

d pdt

=C (1−p )

Ahora se procede a desarrollar la ecuación por el método de separación devariables:

1(1−p )

=c

Ahora se integra:

∫1

(1−p)dp=∫ cdt

−ln (1−p )=ct+k

Se puede multiplicar por (-1), para eliminar el menos del ln:

ln (1−p )=−ct+k

Ahora se multiplica por e, para eliminar el ln:

1−p=e−ct+k

Se despeja p:

−p=−1+e−ct+ k

Ahora se multiplica por (-1) para dejar la variable p positiva:

p=1−e−ctk

Tomamos a k como 1

p=1−e−ct

Reemplazamos los valores iníciales:

P=número de personas que conocen el producto después de 1 año=medio millón

P=0,5

Y por supuesto t=1, correspondiente al primer año

p=1−e−ct

0,5=1−e−c(1)

0,5−01=−e−c

Volvemos a multiplicar por e, para poder determinar c, mas fácil

0,5−01=−e−c

ln 0,5=−c

−0,693=−c

c=0,693

Reemplazamos este valor en la ecuación anterior:

p=1−e−ct

p=1−e−0,693 t

Ahora para poder hallar la cantidad que conocen el licor al cabo de dos años,reemplazamos t por 2:

p=1−e−0,693 t

p=1−e−0,693 (2 )

p=1−e−1,38

p=1−0,251

p=0,748

Como p, era igual a un millón, quiere decir que eso es igual a:

p=748.000

Lo que indica que al cabo de dos años, alrededor de 748.000 conocerán el licorsaborizdo.

CONCLUSIONES

El uso de las ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas en el área deproducción y demás áreas de la ingeniería industrial es muy amplio, pues como sedesarrollo en este trabajo, pudimos dar solución a dos problemas planteadospromedio de las ecuaciones diferenciales.