Final Fsisca 2

7/24/2019 Final Fsisca 2

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FISICA II

UNIDAD I

SISTEMAS COORDENADOS Y CLCULO VECTORIAL

COORDENADAS CARTESIANAS

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo decoordenadas ortogonales usadas en espacios eucldeos, para la representacingrfica de una funcin, en geometra analtica, o del movimiento o posicin enfsica, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre s que secortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen as como la

distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cadauno de los ejes. La denominacin de 'cartesiano' se introdujo en onor de !en"#escartes, quien lo utiliz de manera formal por primera vez.$%&ierce, ()ct*++.

-on las coordenadas cartesianas sealas un punto en un grfico dando ladistancia de lado y acia arriba/

0l punto %+,1 est + unidades a la dereca y 1 arriba.

La direccin izquierda2dereca %orizontal se suele llamar 3, y arriba2abajo%vertical se suele llamar 4.

Las lneas de referencia %desde donde se miden distancias se llaman ejes.

5ay un eje 3 y un eje 4. 0l eje 3 pasa por cero orizontalmente, el eje 4 pasa porcero verticalmente.

DIRECCIONES

PEDRO CAMPOS CASTILLO 1


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FISICA II

-uando x$ la primera coordenada aumenta, el punto se mueve a la dereca.

6i x$ disminuye, el punto va a la izquierda.

-uando y$ aumenta, el punto se mueve arriba.

6i y$ disminuye, el punto va abajo.

ESCRIBIR COORDENADAS

Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden/ la direccin orizontalprimero, despu"s la vertical. 0sto se llama un 7par ordenado7. 4 normalmente los

n8meros se separan con una coma, y se rodean con par"ntesis.(4,9)significa 9 unidades a la dereca y : arriba

(0,5)significa * unidades a la dereca y 1 arriba.

CUADRANTES

;


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FISICA II

RERESENTACI/N R1ICA2

EL ORIEN

0l punto %*,* tiene el nombre especial de 7el origen7, y a veces se le llama con laletra 7)7. #imensiones/ +, , A y ms...

Enalizar este cuadro para comprender o formar un concepto de iniciacin de loque las dimensiones representan/

3 E #" #%" +% %ro--6#o -% *%+% ir " iz7*i%r+" o+%r%&h", "- 7*% &*"#7*i%r o-i&i6 -% i+i&" &o *

%ro8 Las coordenadas cartesianas indican direcciones izquierda2dereca y arriba2abajo, as cualquier posicin se indicacon dos n8meros

;-mo sealamos un punto en el mundo real %como la puntade tu nariz> Cecesitamos indicar izquierda2dereca, arriba2abajo y delante2detrs, eso son tres n8meros, ?o Adimensiones@

%Feisstein, *+1

4 se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en Adimensiones como en este ejemplo/

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/linea-numeros.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/linea-numeros.html


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FISICA II

%FiGipedia, *+1

COORDENADAS CIL:NDRICAS

Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para definir laposicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respectoa un eje y una altura en la direccin del eje.

0l sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en

que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o azimutal. 6e tratade una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometraanaltica plana.

Hn punto en coordenadas cilndricas se representa por %I, J,z, donde/

:-oordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bienla longitud de la proyeccin del radio vector sobre el plano

:-oordenada azimutal, definida como el ngulo que forma con el eje laproyeccin del radio vector sobre el plano.

z: -oordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo,desde el punto & al plano.



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FISICA II

La coordenada azimutal J se ace variar en ocasiones desde 2K a K. Lacoordenada radial es siempre positiva. 6i reduciendo el valor de I llega aalcanzarse el valor *, a partir de a, I vuelve a aumentar, pero J aumenta odisminuye en K radianes.

RELACI/N CON LAS COORDENADAS CARTESIANAS

-oordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionadosM teniendo en cuenta ladefinicin del ngulo J, obtenemos las siguientes relaciones entre lascoordenadas cilndricas y las cartesianas/



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FISICA II

Las lneas coordenadas son aqu"llas que se obtienen variando una de lascoordenadas y manteniendo fijas las otras dos. &ara las coordenadas cilndricas,"stas son/

Lneas coordenadas I/ 6emirrectas orizontales partiendo del eje.

Lneas coordenadas J/ -ircunferencias orizontales.

Lneas coordenadas/ !ectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamentecada una de las coordenadas de un punto. &ara este sistema son/

6uperficies INcte./ -ilindros rectos verticales.

6uperficies JNcte./ 6emiplanos verticales.6uperficies Ncte./ &lanos orizontales.

Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos ados en cada punto. &or ello, "ste es un sistema ortogonal.

E partir del sistema de coordenadas cilndricas se puede definir una basevectorialen cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneascoordenadas. 0sta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de lascoordenadas cartesianas mediante las relaciones/

0 inversamente/

https://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala


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FISICA II

%Lee Long2Oerrand P Ernaudies, +:QA.

COORDENADAS ES1;RICAS

0n el sistema de coordenadas esf"ricas se utilizan tambi"n tres coordenadas paranotar la posicin de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos deestas coordenadas son angulares y una de ellas es m"trica.

6e utiliza la longitud de un vector %! que une el origen de coordenadas con puntodado, el ngulo que este vector forma con el semieje z positivo % y el ngulo quesu proyeccin sobre el plano 34 forma con el semieje 3 positivo % . Los ngulos

y toman los nombres de ngulo polar y ngulo azimutal respectivamente.

0n este sistema de coordenadas al igual que en los anteriores, e=isten tresvectores directores que permiten indicar la direccin de un vector.

Hn vector en coordenadas esf"ricas queda definido por/

#onde AR es la proyeccin radial del vector con respecto al origen decoordenadas, A es la componente angular medida con respecto al semieje =

positivo proyectada sobre el plano 34 y A es la proyeccin en direccin deincremento del ngulo


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FISICA II

0n el sistema de coordenadas esf"ricas, los productos vectoriales de los vectoresdirectores tambi"n siguen una regla de rotacin, de acuerdo a las siguientespropuestas/

0l vector posicin de cualquier punto en coordenadas esf"ricas queda definidopor/

0n este sistema de coordenadas, la direccin de los tres vectores directores

cambia de acuerdo con las coordenadas y , por lo que no se pueden asumircomo constantes en operaciones de derivacin, integracin o transformacin decoordenadas que las involucren.

&ara estos casos conviene tambi"n usar una matriz de transformacin acoordenadas cartesianas

%Rosca P Ellen Sipler, **1



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FISICA II

TRANS1ORMACI/N DE COORDENADAS

0n la resolucin de problemas fsicos y matemticos es com8n la estrategia del

cambio de coordenadas. 0n esencia un cambio de coordenadas supone cambiarlas variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes enlas que el problema puede tener una forma equivalente pero ms simple, quepermite encontrar la solucin con mayor facilidad. Rs formalmente un cambio decoordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicacin directiva ydiferenciable.

0n fsica, es muy importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia,adecuado con objeto de simplificar al m=imo las ecuaciones y que el proceso deresolucin sea lo ms rpido posible. 0llo se realiza mediante una transformacin

de ejes coordenados cuyo proceso general se puede considerar reducido a dosmovimientos.

TRASLACIN DE EJES

6ean OXy OYlos ejes primitivos y OXy OY, paralelos respectivamente a losanteriores, los nuevos ejes. 6ean tambi"n %, G las coordenadas de )T conrespecto al sistema inicial.

6upongamos que %=, y son las coordenadas de un punto Pcon respecto a losejes primitivos, %=, y las coordenadas, del mismo punto, respecto de los nuevos.&ara determinar = e y en funcin dex, yM hykse tiene/

x= MP= MM+ MP= h+ x y=NP= NN+ NP= k + y %Reye, +:9:.

&or tanto, las ecuaciones de la traslacin de ejes son/


x =x - hx =x+ h

y =y+ h y =y - h


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FISICA II

ROTACIN DE EJES

6ean )3 y )4 los ejes primitivos y )U3U y )V4V los nuevos ejes, siendo ) el origencom8n de ambos sistemas. !epresentemos por el ngulo 3U)3 de la rotacin.6upongamos que (x, y)son las coordenadas de un punto Pdel plano con respectoa los ejes primitivos, y (x, y)las coordenadas del mismo punto, respecto de losnuevos ejes.

&ara determinarxe yen funcin de =T, yT,W, se tiene/

x=OM= ON MN N =T cos W yT sen W

y=MP= MM + MP= NN + MP = =T sen W yT cos W

&or lo tanto, las formulas de la rotacin de los ejes coordenados son/ %Reye,+:9:.

DE RECTANGULARES A CILNDRICAS

Las coordenadas cartesianas son sealadas en un punto diciendo la distancia delado%= y la distancia vertical %y, mientras que en las coordenadas polares semuestra un punto diciendo la distancia y el ngulo que se forma, con respecto aleje =.

6i se tiene un punto en coordenadas cartesianas %=,y y se quiere su equivalenciaen coordenadas polares %r,W, es necesario resolver un tringulo del que seconocen dos lados. %Reye, +:9:.


x=xcosysen

y=xsen+ycos

x=xcos+ysen

y=ycosxsen


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FISICA II

DE RECTANULARES ACIL:NDRICAS

DE CIL:NDRICAS ARECTANULARES

r = > (?8@ 8)? = r &o-( )

= !"3( ?) = r -%()

DE RECTANGULARES A ESFRICAS

#ado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el puntoorigen de r, se definen las coordenadas esf"ricas como los tres n8meros que seobtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de

interseccin de los planos perpendiculares. 6e usan las siguientes relaciones paradeterminar la equivalencia/

DE RECTANGULARES AESFR!CAS

DE ESFR!CAS ARECTANGULATRES



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FISICA II

(x , y , z )=x2+y2+z2 x ( , , )=cossen

(x , y , z )=tan1(x2+y2

z ) y (, , )= sen sen

(x , y , z )=tan1( yx) z ( , , )=cos

DE ESFR!CAS A C!L"NDR!CASr= sen

=

z= cos

(M%%, 3949)

DI1ERENCIALES DE LONITUD, AREA Y VOLUMEN EN LOS

DI1ERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS

La mayora de los autores matemticos para e=plicar el elemento diferencial de

volumen, rea y lnea parten de unas ecuaciones cartesianas. 0ntonces el

elemento de volumen es el producto de los tres diferenciales, el elemento de rea

el producto de dos diferenciales y el elemento de lnea el mdulo del diferencial

del vector de posicin.

#e esta forma se deducen las frmulas generales del elemento de volumen, rea

y arco por medio de los elementos anteriormente obtenidos, efectuando en ellos

un cambio de variable. 0ste cambio de variable lleva una demostracin laboriosa y

complicada. 0n el artculo se obtiene directamente las frmulas generales del

elemento de volumen, rea y lnea a partir de unas ecuaciones param"tricas y

como caso particular se determinar el elemento de volumen, rea y lnea cuando

las ecuaciones vienen dadas en forma cartesiana.



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FISICA II

ELEMENTO LONITUD

Hn desplazamiento infinitesimal, e=presado en coordenadas cilndricas, vienedado por/

ELEMENTO DEL AREA

La e=presin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es

complicada. 6in embargo, para el caso de que se trate de una superficie

coordenada, q3 = c!"el resultado es/

y e=presiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas. 0n el caso

particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son/

ELEMENTO DE VOLUMEN

0l volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del

jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. 0l

jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que/

que para coordenadas cilndricas da/

%5ibbeler, **9.



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FISICA II

OSTULADOS 1UNDAMENTALES DE CAMOSELECTROMANETICOS

LA CARA EL;CTRICA

0s una cualidad de la materia responsable de la interaccin electromagn"ticaentre distintas partculasM la cual posee las siguientes propiedades/

DUAL# e=isten dos tipos que se denominan positivo$ y negativo$,discernible por el comportamiento que las partculas cargadas con cada tipo

muestran en su interaccin con otras dadas, y por la propiedad deneutralizar de en cierta medida su efecto cuando se combinan.

CUANT!$ADA# se admite que e=iste una carga mnima que es la delelectrn para el tipo negativo y la del protn para el caso positivo, ambasiguales en valor absoluto. -ualquier estado de agregacin de la materiaposee una carga m8ltiplo del mismo valor.

SE CONSER%A LOCALMENTE#siempre que aparece o se destruye unacarga en un puntoM aparece o se destruye una carga opuesta en el mismo

punto.!N%AR!ANTE RELAT!%!STA#su medida da el mismo resultado en cualquiersistema de referencia, sea cual sea su velocidad.

La carga se simboliza abitualmente por la letra q M su medida y la adopcin de

la unidad debe proponerse asta que se describan la interaccin electromagn"ticay las condiciones adecuadas para ello. Xasta saber que la unidad en el sistemainternacional es el COULO#$IO %C&y que la carga del electrn es/

qe=1.6 (1019 ) C



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FISICA II

CORRIENTE EL;CTRICA

6e define como &''*& .//&' 01/& que atraviesa una superficiedada, S, en un sentido tambi"n especificado, como la carga neta que pasa en esesentido por unidad de tiempo.

I=dq

dt

Seniendo en cuenta la naturaleza discreta de los portadores de carga para calcularla intensidad abra que acer un recuento estadstico de portadores que en un

intervalo t atraviesan la superficie en uno y otro sentido, multiplicar por la

carga de cada uno y dividir por el intervalo temporal elegido, teniendo siempre encuenta los signos. 6eg8n esta definicin si tenemos un determinado medio dondee=isten portadores de cargas positivas y negativas, fijamos una superficieorizontal y elegimos como corriente positiva la que va de abajo acia arriba segeneran cuatro tipos de aportes/

C/2* 3.*&&4* 56 /4&*' *67&'.C/2* 3.*&&4* 56 /4&*' 78'.

C/2* '2&4* 56 /4&*' *67&'.C/2* '2&4* 56 /4&*' 78'.

La intensidad que atraviesa una superficie Squeda e=presada como/



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FISICA II

I=s

j

. d S

La unidad de intensidad de corriente en el 6.B. es el amperio simbolizado por A,

cuya definicin operativa corresponde con el paso a trav"s de la superficie dadade un COULOM9!Oen un segundo.

El igual que con las densidades de carga, en la prctica se utiliza tambi"n elconcepto de +%-i+"+ -*%ri&i"# +% &orri%!%que se simboliza con el vector

js . 0sta magnitud es 8til cuando e=iste una regin del espacio de espesor e

pequeo comparado con las dimensiones tpicas del sistema, en el cual estdefinida una corriente medible macroscpicamente.

LAS ECUACIONES DE MAXFELL

0l electromagnetismo postula que la presencia de cargas en una regin en el

espacio da lugar en general a la e=istencia de un campo el"ctrico E (r ) y un

campo magn"tico B (r ) que satisfacen las siguientes ecuaciones/

E=

0

XE= B

t

B=0

XE=0(j+0( E t))

#onde es la densidad volum"trica de la carga, j la densidad de la

corriente y 0 y 0 son la permisibilidad y la permeabilidad del vaco



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FISICA II

respectivamente, es decir, dos constantes universales cuyos valores en el sistemainternacional son/

o=8.851012

C2

s2/(kg.m3)

0=4 107

kg.m/C2

Las ecuaciones de Ra=Yell, en forma local permiten determinar de manerainequvoca los campos el"ctrico y magn"tico en todo punto del espacio, siempreque conozcamos las densidades de carga y de corriente.

DISCONTINUIDADES EN LOS CAMOS

La e=istencia de singularidades da lugar a discontinuidades en el valor de loscampos el"ctrico y magn"tico, en forma anloga a lo que sucede cuando una

funcin de una variable (x) sufre un salto en x=x0 y esto da lugar a una

singularidad de su derivada !=(x0) .

CAMO EL;CTRICO

-uando e=iste una distribucin superficial de carga, s (r ) definida en una

superficie Sel campo el"ctrico sufre un salto, entendido como la diferencia entresu valor a un lado y a otro de S: 0 60 * 3.*&70 /;&'/ ;&' 0*&26&' &'2/0#

%-eng, +::Q



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FISICA II

UNIDAD II

ELECTROSTTICA

CAMOS ELECTROSTTICOS EN EL VAC:O

CARA LA LEY DE COULOMB

Lleva su nombre en onor a -arles2Egustn de -oulomb, uno de susdescubridores y el primero en publicarlo. Co obstante, 5enry -avendis obtuvo lae=presin correcta de la ley, con mayor precisin que -oulomb, si bien esto no se

supo asta despu"s de su muerte.-oulomb estudi en detalle, las fuerzas de interaccin de las partculas con cargael"ctrica, aciendo uso de una balanza de torsin, anloga a la que utilizara-avendis +A aos despu"s para demostrar la interaccin gravitatoria, aciendoreferencia a cargas puntuales %aquellas cargas cuya magnitud es muy pequearespecto a la distancia que los separa.

0ste notorio fsico franc"s efectu mediciones muy cuidadosas de las fuerzase=istentes entre cargas puntuales utilizando una balanza de torsin similar a lausada por -avendis para evaluar la ley de la gravitacin universal. -oulomb

encontr que la fuerza el"ctrica es proporcional a + Z r es decir cuando seduplica la distancia r la fuerza disminuye a una cuarta parte del valor original yviceversa.

#icas mediciones permitieron determinar que



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FISICA II

La fuerza de interaccin entre dos cargas q+ y q duplica su magnitud sialguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargasaumenta su valor en un factor de tres, y as sucesivamente. -oncluyentonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las

cargas/F ' q ( y F ' q )

0n consecuencia F' q( q)

6i la distancia entre las cargas es r, al duplicarla, la fuerza de interaccindisminuye en un factor de 9M al triplicarla, disminuye en un factor de : y alcuadriplicar r, la fuerza entre cargas disminuye en un factor de +[. 0n

consecuencia, la fuerza de interaccin entre dos cargas puntuales, esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia/

F ' (*+) %\lvez, Lpez, Llopis, P !ubio, +::Q.

LEY DE COULOMB

0l enunciado que describe la ley de -oulomb es el siguiente/ La magnitud de cadauna de las fuerzas el"ctricas con que interact8an dos cargas puntuales es

directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia que las separa 0n t"rminos matemticos, la magnitudO de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q+ y q ejerce sobre laotra separadas por una distancia r se e=presa como/

#adas dos cargas puntuales q+ y q separadas una distancia r en el vaco, se

atraen o repelen entre s con una fuerza cuya magnitud est dada por/

La constante G es la constante de -oulomb y su valor es.

%-eng, +::Q



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FISICA II

DE1INICI/N DE CAMO EL;CTRICO

Santo la fuerza el"ctrica como la gravitacional son ejemplos de fuerza de accin adistancia que resultan e=tremadamente difciles de visualizar. E fin de resolver esteeco, los fsicos de antao postularon la e=istencia de un material invisiblellamado "ter, que se supona llenaba todo el espacio.

#e este modo ellos podan e=plicarse la fuerza de atraccin gravitacional, querodea todas las masas. Hn campo de este tipo puede decirse que e=iste encualquier regin del espacio donde una masa testigo o de prueba e=perimentaruna fuerza gravitacional. La intensidad del campo en cualquier punto seraproporcional a la fuerza que e=perimenta cierta masa dada en dico punto. &orejemplo, en cualquier punto cercano a la Sierra, el campo gravitacional podrarepresentarse cuantitativamente por/ , = F*- ./0.!/ , N aceleracin gravitacionaldebida a la fuerza de gravedad FN fuerza gravitacional y -N masa testigo o deprueba.

0l concepto de un campo tambi"n puede aplicarse a objetos cargadosel"ctricamente. 0l espacio que rodea un objeto cargado se altera por la presenciade un campo el"ctrico en ese espacio. 6e dice que un campo el"ctrico e=iste enuna regin del espacio en la que una carga el"ctrica e=perimente una fuerzael"ctrica.

0sta definicin suministra una prueba para la e=istencia de un campo el"ctrico.6implemente se coloca una carga en el punto en cuestin. 6i se observa una

fuerza el"ctrica, en ese punto e=iste un campo el"ctrico. #e la misma manera quela fuerza por unidad de masa proporciona una definicin cuantitativa de un campogravitacional, la intensidad de un campo el"ctrico puede representarse mediante lafuerza por unidad de carga.

6e define la intensidad del campo el"ctrico Een un punto en t"rminos de la fuerzaFe=perimentada por una carga positiva pequea 1qcuando se coloca en dicopunto. La magnitud de la intensidad del campo el"ctrico es dada por/ E = F qLneas de campo el"ctrico. Hna ayuda conveniente para visualizar los patrones delcampo el"ctrico es trazar lneas en la misma direccin que el vector de campo

el"ctrico en varios puntos. 0stas lneas se conocen como lneas del campoel"ctrico y estn relacionadas con el campo el"ctrico en alguna regin del espaciode la siguiente manera/

0l vector campo el"ctrico 0 es tangente a la lnea de campo el"ctrico en cadapunto. 0l n8mero de lneas por unidad de rea que pasan por una superficie



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FISICA II

perpendicular a las lneas de campo es proporcional a la magnitud del campoel"ctrico en esa regin.

0n consecuencia, Ees grande cuando las lneas estn muy pr=imas entre s, yes pequeo cuando estn separadas. 0stas propiedades se ven en la figura. Ladensidad de lneas a trav"s de la superficie E es mayor que la densidad de lneasa trav"s de la superficie X. &or lo tanto, el campo el"ctrico es ms intenso en lasuperficie E que en la superficie X. Edems, el campo que se observa en la figurano es uniforme ya que las lneas en ubicaciones diferentes apuntan aciadirecciones diferentes.

Oigura Lneas de campo el"ctrico que penetran dos superficies/

%\lvez, Lpez, Llopis, P !ubio, +::Q.

RINCIIO DE SUEROSICI/N

La influencia del campo producido por una carga aislada se puede generalizar al

caso de un sistema formado por ms de una carga y luego e=tenderse al estudiode un cuerpo cargado. 0=perimentalmente se verifica que las influencias de lascargas aisladas que constituyen un sistema son aditivas, o en otras palabras, sesuman o superponen vectorialmente. Es, la intensidad de campo 0 en un puntocualquiera del espacio que rodea a varias cargas ser la suma vectorial de lasintensidades de los campos debidos a cada una de las cargas individualmenteconsideradas. Ratemticamente se puede considerar la siguiente ecuacin/

#onde es la constante arbitrariaM 'es la cantidad de cargas tenidas en

cuentaM es la magnitud del vector distancia entre el punto donde se quiereallar el campo el"ctricototal y la carga &M y es el vector unitarioformado de lamisma manera. Rs adelante se trabajar mejor esta ecuacin.

!epresentacin grfica del campo el"ctrico

https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitario


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FISICA II

Hna forma muy 8til de esquematizar grficamente un campo es trazar lneas quevayan en la misma direccin que dico campo en varios puntos. 0sto se realiza atrav"s de las 0


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FISICA II

0l subndice 'indica que es normal a 0. &ara convertir estaproporcionalidad en ecuacin se elige como constante de proporcionalidad. Es,se espacian arbitrariamente las lneas de campo el"ctrico de modo que, encualquier punto, el n8mero de lneas por unidad de superficie y la intensidad del

campo el"ctrico est" ligado por la relacin/

-onsid"rense, aora, las lneas de campo el"ctrico que salen de una cargapuntual positiva q y una esfera de radio r arbitrario rodeando la carga y de modoque "sta se encuentre en el centro. La intensidad del campo el"ctrico en todos lospuntos de la superficie de esta esfera es/

0n consecuencia, el n8mero de lneas por unidad de superficie es el mismo entodos los puntos de la superficie y est dado por/

Las lneas de campo el"ctrico atraviesan la superficie perpendicularmente puesto

que 0 tiene una direccin radial. 0l rea de la esfera es ,lo que implica que el

n8mero de lneas que atraviesan la superficie es/

0sto demuestra que si el valor del e=ponente de r, en la ley de -oulomb, no fuera, el n8mero de lneas de campo el"ctrico no solo no estara dado por el valor deq, tambi"n sera inversamente proporcional a alguna potencia de r y por ello seraimposible dibujar un conjunto continuo de lneas que cumplan los requisitosindicados ms arriba.

&ara la construccin de lneas de campo el"ctrico se debe tener en cuenta losiguiente/

&or convencin, las lneas deben partir de cargas positivas y terminar encargas negativas y en ausencia de unas u otras deben partir o terminar enel infinito.



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FISICA II

!epresentacin de campos el"ctricos creados por cargas puntuales positiva ynegativa.

Hna carga puntual positiva dar lugar a un mapa de lneas de campo el"ctricoradiales, pues las fuerzas el"ctricas act8an siempre en la direccin de la lnea queune a las cargas interactuantes, y dirigidas acia fuera porque una carga deprueba positiva se desplazara en esa direccin. 0n el caso del campo debido auna carga puntual negativa el mapa de lneas de campo el"ctrico sera anlogo,pero dirigidas acia ella ya que "se sera la direccin en que se desplazara lacarga positiva de prueba. -omo consecuencia de lo anterior, en el caso de loscampos debidos a varias cargas, las lneas de campo el"ctrico nacen siempre delas cargas positivas y por ello son denominadas manantiales y mueren en lasnegativas por lo que se les llama sumideros.

Las lneas de campo el"ctrico jams pueden cruzarse.

Las lneas de campo el"ctrico o de campo salen de una carga positiva o entran auna negativa. #e lo anterior se desprende que de cada punto de la superficie deuna esfera, suponiendo forma esf"rica para una carga, puede salir o entrar solo

una lnea de fuerza, en consecuencia entre dos cargas que interact8an solo puederelacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, yello es a trav"s de una lnea, y esa lnea es la lnea de fuerza.

6i se admitiera que dos lneas de campo el"ctrico se intersequen, entonces sepodra e=tender la superficie de la otra carga acia el lugar donde se intersecanambas lneas y se podra concluir que dos lneas entran o salen de una superficiede una carga el"ctrica. -on esto se est contradiciendo lo postulado inicialmente.0n consecuencia, es imposible que dos lneas de campo el"ctrico se intersequen.

&or otra parte, si las lneas de campo el"ctrico se cortaran, significara que endico punto Eposeera dos direcciones distintas, lo que contradice la definicin deque a cada punto slo le corresponde un valor 8nico de intensidad de campo.

0l n8mero de lneas de campo el"ctrico que parten de una carga positiva ollegan a una carga negativa es proporcional a la cantidad de cargarespectiva.



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FISICA II

Las lneas de campo el"ctrico deben ser perpendiculares a las superficiesde los objetos en los lugares donde conectan con ellas.

0sto se debe a que en las superficies de cualquier objeto, sin importar la forma,

nunca se encuentran componentes de la fuerza el"ctrica que sean paralelas a lasuperficie del mismo. 6i fuera de otra manera, cualquier e=ceso de carga residenteen la superficie comenzara a acelerar. 0sto conducira a la aparicin de un flujode carga en el objeto, lo cual nunca se observa en la electricidad esttica.

!epresentacin del campo el"ctrico creado por dos cargas positivas de igualmagnitud y por un dipolo el"ctrico.

!epresentacin del campo el"ctrico creado por dos cargas de diferente magnitud

y signos opuestos.Las representaciones anteriores reflejan el principio de superposicin. 4a sea quelas cargas ostenten el mismo signo o signo opuesto, las lneas de campo el"ctricose vern distorsionadas respecto de la forma radial que tendran si las cargasestuvieran aisladas, de forma tal, que la distorsin es m=ima en la zona central, osea, en la regin ms cercana a ambas. 6i las cargas tienen la misma magnitud, larepresentacin resulta sim"trica respecto de la lnea media que las separa. 0n elcaso opuesto, predominar la influencia de una de ellas dando lugar a unadistribucin asim"trica de lneas de campo el"ctrico. %\lvez, Lpez, Llopis, P

!ubio, +::Q.

ECUACI/N DE LAS L:NEAS DE CAMO EL;CTRICO

6iendo el campo tangente a las lneas de campo el"ctrico, se cumple/

https://es.wikipedia.org/wiki/Dipolo_el%C3%A9ctricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Dipolo_el%C3%A9ctrico


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FISICA II

0jemplo. 6i tenemos una sola carga puntual, todas las lneas de campo son rectas

que parten radialmente de la carga en las tres direcciones del espacio. 6i noslimitamos a las lneas de campo contenidas en el plano cartesiano 34, el problema

se simplifica y nos queda la razn entre es , de modo que/

siendo - la constante de integracin. 0ste resultado se puede escribir como/


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FISICA II

0l campo el"ctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga,una propiedad local asociada al mismo. Hna vez conocido el campo en un puntono es necesario saber qu" lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otrapropiedad relacionada con "l.

Es, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio endonde est definido un campo el"ctrico, se observar la aparicin de atracciones ode repulsiones sobre ella. Hna forma de describir las propiedades de este camposera indicar la fuerza que se ejercera sobre una carga determinada si setrasladara de un punto a otro del espacio. El utilizar la misma carga de prueba esposible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en los distintospuntos del campo. La carga de referencia ms simple, a efectos de operaciones,es la carga unidad positiva. La fuerza el"ctrica que en un punto cualquiera delcampo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento decomparacin, recibe el nombre de intensidad del campo el"ctrico y se representapor la letra E. &or tratarse de una fuerza, la intensidad del campo el"ctrico es unamagnitud vectorial que viene definida por su mdulo Ey por su direccin y sentido.%-eng, +::Q

CAMO ELECTROSTTICO

Las cargas el"ctricas no precisan de ning8n medio material para influir entre ellasy por ello las fuerzas el"ctricas son consideradas fuerzas de accin a distancia. 0nvirtud de ello se recurre al concepto de campo electrosttico para facilitar ladescripcin, en t"rminos fsicos, de la influencia que una o ms cargas ejercensobre el espacio que las rodea. 0l concepto de campo. 0l concepto de camposurge ante la necesidad de e=plicar la forma de interaccin entre cuerpos enausencia de contacto fsico y sin medios de sustentacin para las posiblesinteracciones.

La accin a distancia se e=plica, entonces, mediante efectos provocados por laentidad causante de la interaccin, sobre el espacio mismo que la rodea,permitiendo asignar a dico espacio propiedades medibles. Es, ser posible acercorresponder a cada punto del espacio valores que dependern de la magnitud dela propiedad del cuerpo que provoca la interaccin y de la ubicacin del punto quese considera.



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FISICA II

0l campo el"ctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga,una propiedad local asociada al mismo. Hna vez conocido el campo en un puntono es necesario saber qu" lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otrapropiedad relacionada con "l. Es, si se coloca una carga de prueba en un puntocualquiera del espacio en donde est definido un campo el"ctrico, se observar laaparicin de atracciones o de repulsiones sobre ella. Hna forma de describir laspropiedades de este campo sera indicar la fuerza que se ejercera sobre unacarga determinada si se trasladara de un punto a otro del espacio.

El utilizar la misma carga de prueba es posible comparar la intensidad de lasatracciones o repulsiones en los distintos puntos del campo. La carga de

referencia ms simple, a efectos de operaciones, es la carga unidad positiva. Lafuerza el"ctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la cargaunidad positiva, tomada como elemento de comparacin, recibe el nombre deintensidad del campo el"ctrico y se representa por la letra 0. &or tratarse de unafuerza, la intensidad del campo el"ctrico es una magnitud vectorial que vienedefinida por su mdulo 0 y por su direccin y sentido.

Bnteracciones entre dos cargas

-onsid"rese una carga < fija en una determinada posicin.

6i se coloca otra carga q en un punto &+, a cierta distancia de


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FISICA II

campo el"ctrico es originado en los puntos &+, &, &A etc., por


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FISICA II

0l factor de proporcionalidad se denomina conductividad t"rmica del material. Losmateriales como el oro, la plata o el cobre tienen conductividades t"rmicaselevadas y conducen bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o elamianto tienen conductividades cientos e incluso miles de veces menoresM

conducen muy mal el calor, y se conocen como aislantes. 0n ingeniera resultanecesario conocer la velocidad de conduccin del calor a trav"s de un slido en elque e=iste una diferencia de temperatura conocida. &ara averiguarlo se requierent"cnicas matemticas muy complejas, sobre todo si el proceso vara con el tiempoMen este caso, se abla de conduccin t"rmica transitoria. -on la ayuda deordenadores %computadoras analgicos y digitales, estos problemas puedenresolverse en la actualidad incluso para cuerpos de geometra complicada.%Xellver -ebreros, !odrguez #anta, P \onzlez Oernndez, +:::

CONVECCI/N

6i e=iste una diferencia de temperatura en el interior de un lquido o un gas, escasi seguro que se producir un movimiento del fluido. 0ste movimiento transfierecalor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado conveccin. 0lmovimiento del fluido puede ser natural o forzado. 6i se calienta un lquido o ungas, su densidad %masa por unidad de volumen suele disminuir. 6i el lquido o gasse encuentra en el campo gravitatorio, el fluido ms caliente y menos densoasciende, mientras que el fluido ms fro y ms denso desciende. 0ste tipo de

movimiento, debido e=clusivamente a la no uniformidad de la temperatura delfluido, se denomina conveccin natural. La conveccin forzada se lograsometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se fuerza sumovimiento de acuerdo a las leyes de la mecnica de fluidos.

6upongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una cacerola llena deagua. 0l lquido ms pr=imo al fondo se calienta por el calor que se atransmitido por conduccin a trav"s de la cacerola. El e=pandirse, su densidaddisminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y parte del fluido

ms fro baja acia el fondo, con lo que se inicia un movimiento de circulacin. 0llquido ms fro vuelve a calentarse por conduccin, mientras que el lquido mscaliente situado arriba pierde parte de su calor por radiacin y lo cede al airesituado por encima. #e forma similar, en una cmara vertical llena de gas, como lacmara de aire situada entre los dos paneles de una ventana con doble vidrio, elaire situado junto al panel e=terior ^que est ms fro^ desciende, mientras que



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FISICA II

al aire cercano al panel interior ^ms caliente^ asciende, lo que produce unmovimiento de circulacin.

0l calentamiento de una abitacin mediante un radiador no depende tanto de laradiacin como de las corrientes naturales de conveccin, que acen que el airecaliente suba acia el teco y el aire fro del resto de la abitacin se dirija acia elradiador. #ebido a que el aire caliente tiende a subir y el aire fro a bajar, losradiadores deben colocarse cerca del suelo %y los aparatos de aire acondicionadocerca del teco para que la eficiencia sea m=ima. #e la misma forma, laconveccin natural es responsable de la ascensin del agua caliente y el vapor enlas calderas de conveccin natural, y del tiro de las cimeneas. La conveccintambi"n determina el movimiento de las grandes masas de aire sobre la superficieterrestre, la accin de los vientos, la formacin de nubes, las corrientes ocenicasy la transferencia de calor desde el interior del 6ol asta su superficie. %Rosca P

Ellen Sipler, **1

OLARIGACI/N EN DIELECTRICOS

La principal caracterstica entre un conductor y un diel"ctrico est en ladisponibilidad de electrones libres en la capa atmica e=terna para conducir unacorriente, las cargas que e=isten en un diel"ctrico no pueden moverse libremente,

estn ligadas por fuerzas finitas y se puede esperar un desplazamiento cuando seaplican fuerzas e=ternas.

Hn aislante en ciertos parmetros y bajo ciertas caractersticas se puede volver unconductor. %\lvez, Lpez, Llopis, P !ubio, +::Q.

DE1INICION DEL VECTOR OLARIGADO

Damos a estudiar cul es el efecto de un campo el"ctrico sobre un diel"ctrico,

comenzando por precisar que e=isten dos tipos de sustancias diel"ctricas una deellas caracterizada porque las cargas el"ctricas, en cada una de sus mol"culas, seencuentran distribuidas sim"tricamente, de forma tal que el centro de simetra delas cargas positivas coincide con el centro de las cargas el"ctricas negativas,llamndose estas mol"culas no polaresM mientras que el otro tipo estcaracterizado porque la distribucin de la electricidad en sus mol"culas no essim"trica, es decir, que el centro de simetra de las cargas el"ctrica positivas no



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FISICA II

coincide con el centro de simetra de las cargas el"ctricas negativas y, porconsiguiente cada mol"cula constituye un dipolo el"ctrico y recibe el nombre demol"cula polar.

6i suponemos que las mol"culas no son polares e imaginamos que el diel"ctricose encuentra entre dos placas metlicas cargadas respectivamente de electricidadpositiva y negativa, entonces la distribucin de la electricidad pierde su simetra entodas sus mol"culas, dirigi"ndose las cargas el"ctricas negativas acia la partesuperior y las cargas positivas acia la parte inferior, de tal forma que cadamol"cula se convierte en un dipolo el"ctrico. 0n estas condiciones decimos que eldiel"ctrico est polarizado. 0n el caso de tratarse de mol"culas polares, losdipolos el"ctricos, que e=isten en cada mol"cula, en el caso de que no seencuentren en un campo el"ctrico, estn distribuidos con orientaciones distintas.

6i aora suponemos que el diel"ctrico se encuentra en un campo el"ctricoentonces las fuerzas del mismo dan lugar a un cambio de orientacin de losdipolos que, sin embargo, no adquieren orientaciones paralelas, como ocurraanteriormente. Co obstante, las cargas el"ctricas negativas se encuentran siempreen la parte superior de los respectivos dipolos, mientras que las positivas seencuentran en la parte inferior. Luego, tanto en un caso como en otro, en la partepr=ima a la placa positiva la superficie del diel"ctrico se encuentra cargadanegativamente. &or otro lado, en el interior del diel"ctrico las cargas el"ctricaspositivas de los dipolos se neutralizan con las negativas de los inmediatos, demanera que, en definitiva, la presencia del campo el"ctrico da lugar a que en lasuperficie del diel"ctrico e=istan cargas el"ctricasM pero no vara la carga el"ctricatotal en el interior del mismo.

La polarizacin el"ctrica de un material en una magnitud vectorial definida como elmomento dipolar el"ctrico por unidad de volumen. &or tanto, si p$ es el momentodipolar inducido en cada tomo o mol"cula y n$ el n8mero de tomos o mol"culaspor unidad de volumen, la polarizacin es/

2 = 4 5 0

en general la polarizacin el"ctrica tiene la misma direccin que el campo el"ctricoaplicado. %-eng, +::Q



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FISICA II

CAMO CREADO OR UN DIEL;CTRICO OLARIGADOH DENSIDADESDE CARA SUER1ICIAL Y VOLMICA DE OLARIGACI/N VECTORDESLAGAMIENTO

Hn diel"ctrico polarizado tiene cargas sobre su superficie y, a menos que supolarizacin sea uniforme, tambi"n en su volumen. 0stas cargas de polarizacin,sin embargo, estas cargas estn ligadas a un tomo especfico o a mol"culas y notienen libertad de moverse por el diel"ctrico. -onsideremos un bloque de materialdiel"ctrico situado entre dos placas conductoras paralelas, que tienen las mismascargas libres pero de signo contrario.

La densidad de carga superficial en la placa de la izquierda es o libre y la de ladereca es 2o libre. 0stas cargas producen un campo el"ctrico que polariza elbloque de modo que aparecen cargas de polarizacin en cada una de sussuperficies. 0stas cargas de polarizacin tienen signo contrario a las de la placaque est a su lado. &or tanto, las cargas de polarizacin del diel"ctrico equilibranparcialmente a las cargas libres de las placas.

6i & es la polarizacin del bloque, la densidad de carga superficial en la cara

izquierda es o pol N 2 & , mientras en la dereca es o pol N &.

La densidad de carga superficial neta o efectiva es/

o N o libre o pol o N o libre 2 &

-on el resultado opuesto en el lado dereco. 0stas cargas netas superficiales danlugar a un campo el"ctrico uniforme que est dado por

E = / * E/ "

Es, usando el valor efectivo de la o , tenemos/

E = ( * E/ 5%/ 678+! 9 2& / 678+! = E/ 5 E 1 2



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FISICA II

0=presin que relaciona las cargas libres de la superficie de un conductor rodeadopor un diel"ctrico con el campo el"ctrico y la polarizacin de este. 0n el caso queestamos analizando 0 y & son vectores que tienen la misma direccin, pero engeneral sus direcciones pueden ser distintas. 0l resultado anterior sugiere la

introduccin de un nuevo campo vectorial, conocido como desplazamientoel"ctrico y definido como/

D = E/ 5 E 1 2

0n general el vector de polarizacin resultante & es proporcional al campoel"ctrico aplicado 0. #e aqu que se acostumbre escribir/

2 =E/ 5 E 5 ;

La magnitud 3 se conoce como susceptibilidad el"ctrica del material. Co tiene

dimensiones. &ara la mayora de las sustancias es una cantidad positiva. &ara loscasos en que la ecuacin anterior es vlida podemos escribir/

D = E/ 5 E 1 E/ 5 ; 5 E = %( 1 ;& 5 E/ 5 E = E 5 E

#onde el coeficiente/

E = %( 1 ;& 5 E/

6e conoce como permisividad el"ctrica del medio y se e=presa en las mismasunidades que 0o, es decir/

-


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FISICA II

El comparar esta ecuacin con la ley de \auss vemos que el efecto del diel"ctricoen el campo el"ctrico consiste en sustituir 0o por 0 , si slo se toman en cuentalas cargas libres. -omo usualmente 0 es mayor que 0o la presencia del diel"ctricoreduce la interaccin entre las cargas debido al efecto pantalla producido por la

polarizacin de las mol"culas del diel"ctrico.

La susceptibilidad el"ctrica, que describe la respuesta de un medio a la accin deun campo el"ctrico e=terno, est relacionada con las propiedades de los tomos ymol"culas del medio. &or esta razn la susceptibilidad el"ctrica es diferente paracampos el"ctricos estticos y oscilantes. #entro de la variedad decomportamientos de los diel"ctricos reduciremos nuestra descripcin a aquelloscuya polarizacin es apro=imadamente lineal, es decir, proporcional al campoelectroesttico, y en la misma direccin de "ste, lo cual significa que laproporcionalidad es la misma en todas las direcciones, o que el material esisotrpico.

Cormalmente se utilizan diel"ctricos omog"neos, aunque sean varios, pero cadauno de ellos con caractersticas iguales en todos sus puntos. #icascaractersticas se resumen en la susceptibilidad el"ctrica. %Xellver -ebreros,!odrguez #anta, P \onzlez Oernndez, +:::

DESCRICI/N MICROSC/ICA DEL COMORTAMIENTO DEDIEL;CTRICOS EN RESENCIA DE CAMOS ELECTROSTTICOSEXTERNOS

CAMO MOLECULAR EN UN DIEL;CTRICO

Rol"culas polaresM 6on aquellas en las que el centro de distribucin de cargaspositivas y el de las negativas no coincide. _stas bajo la accin de un campoel"ctrico e=perimentan un par de fuerzas que tienden a orientarlas en el sentidodel campo. Rol"culas no polaresM 6on aquellas en las que coincide el centro dedistribucin de las cargas positivas y negativas. Las mol"culas no polares, se



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FISICA II

acen polares en presencia de un campo el"ctrico, ya que las fuerzas sobre cadatipo de carga son iguales y de sentido contrario. %-eng, +::Q

CONTRIBUCI/N A LA OLARIGACI/N DE UN MATERIAL DIEL;CTRICO2OLARIGACI/N INDUCIDA, OLARIGACI/N DIOLAR Y OLARIGACI/NI/NICA

&olarizacin inducida/ Los procesos de polarizacin de tipo el"ctrico e inico son,en esencia, muy similares. La polarizacin electrnica se originase origina comoconsecuencia de la deformacin elstica de la nube electrnica que rodea a losn8cleos atmicos, mientras que la polarizacin inica se debe al desplazamiento

elstico de los iones que componen la mol"cula. 0n ambos casos se produce undipolo inducido al aplicar el campo el"ctrico, de donde resulta el nombre de/&)LE!B`E-BC BC#H-B#E.

Sratndose de cargas el"ctricas su desplazamiento bajo la accin del campo esprcticamente instantneo. &olarizacin electrnica/ _sta surge comoconsecuencia del desplazamiento de la nube de los tomos o iones respecto deln8cleo al aplicar un campo el"ctrico. 0ste eco ace que le centro de gravedadde la carga negativa se desplace respecto del centro de gravedad de la cargapositiva, originndose como consecuencia un momento dipolar inducido

%Hind.&olarizacin Bnica/ La polarizacin inica est asociada a la variacin delmomento dipolar permanente formado por las parejas de iones de signo opuestoque componen una mol"cula. 0n el caso ms general, esta variacin puedeconsistir en el cambio de la distancia de equilibrio. &olarizacin #ipolar/ 0nausencia de campo el"ctrico las mol"culas polares de un gas en equilibrio t"rmicoestn orientadas al azar. El aplicar el campo el"ctrico e=iste una orientacinpreferencial de los dipolos moleculares en la direccin del campo. E este tipo depolarizacin se le denomina polarizacin di polarizado. %Xellver -ebreros,!odrguez #anta, P \onzlez Oernndez, +:::

ROBLEMAS CON VALORES EN LA 1RONTERA ELECTROSTTICA

EL ROBLEMA DE VALORES DE 1RONTERA DE RIMER ORDEN



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FISICA II

N Dolumen cualquiera

FN 6uperficie perif"rica que encierra al volumen v libre de cargas, es decir +N *

La superficie perif"rica se encuentra al potencial

0l problema

#eterminar el potencial dentro del volumen 7v7 libre de cargas. 6i la superficie

perif"rica, se encuentra al potencial

0]0R&L) -E!E-S0!B6SB-) 0C HC D)LHR0C !0-SEC\HLE!

%C//+.!0@.@> c@+!>7@0@>&

Hn cilindro rectangular de base 3 N aM 4 N b y cualquier valor de `, tiene unpotencial aplicado.



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FISICA II

V(X, ") = Vo(X) = VJ-% (J ?")

6obre las dems superficie el potencial es cero %superficie conectadas a tierra.

6e desea determinar la distribucin de potencial D%=,y y la intensidad de campo 0%=,y dentro del cilindro.

0l cilindro est libre de cargas en el interior.

&roblema plano respecto a las coordenadas 7=y7 independiente de la coordenada7z7.

CONDICIONES DE FRONTERA:

%@B y&= %@B y& = %xB 8& =

%xB & = %x& = >!0 %(&

La solucin en cada superficie ` N constante es la misma. &or lo tanto el problema

es independiente de `, depende solo de 3 4. -omo el volumen est libre decargas entonces/

+ = C*-3



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FISICA II

6e debe solucionar la ecuacin de Laplace bidimensional.

= %xB y& D %xB y& = #eterminar las soluciones de la ecuacin de Laplace Xidimensional.

Eplicando un artificio matemtico del producto de Xernoulli para separacin devariables

-omo la primera parte de la ecuacin es p y la segunda 2p, se obtienen dosecuaciones diferenciales.

6oluciones de las ecuaciones diferenciales

&ara = 0



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FISICA II

&ara = 0

Las condiciones de frontera

-aso +/ -on la condicin de frontera

%By& =

con el artificio del producto %

-aso /



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FISICA II

-on las soluciones resultantes en las ecuaciones

&ara = N *

&ara = N a

3/ 3 > y ? >(@)



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FISICA II

0ntonces

.

#e

6e cumple si 7p7 es un n8mero imaginario con q real

&or lo tanto

Los valores 0B\0C del sistema

Ounciones 0B\0C del sistema



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FISICA II

Las soluciones

#epende de 7n7

%:.a

Sodos los valores 7p7 se convirtieron en 7n7. 0l artificio del potencial



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FISICA II

6ustituyendo las ecuaciones

-on las condiciones de frontera %1/ D%=,yN*

-omo ? *

%+



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FISICA II

6ustituyendo se simplifica el artificio del potencial

-omo lo que est entre llaves es igual a/

0ntonces/

%+A

-on la cuarta solucin de frontera

N+,,A,9



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FISICA II

Eplicada al potencial con yN*

LAS LINEAS DE CAMO (INTENSIDAD DEL CAMO EL;CTRICO)

6uponiendo una lnea de campo cualquiera en el espacio

-omo la lnea de campo tiene en todos sus puntos la intensidad 0, es 0 tangenciala la curva de campo.

E&*"&i6 +i%r%&i"# +% #"- #%"- +% &"o

6e define como/

0ste producto es nulo porque estas funciones vectoriales tienen la mismadireccin. 6abemos/



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FISICA II

0n un sistema ortogonal curvilneo se cumple lo siguiente

-omo los vectores unitarios son diferentes de cero, entonces

&ara el problema plano/

con



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FISICA II

0n coordenadas cartesianas/

-on

M

-on el potencial/

6ustituyendo en/



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FISICA II

6e integra/

Bntegral de la forma/

-N constante de integracin

6e obtiene la ecuacin generalizada de las lneas de campo el"ctrico/

6e analiza el problema/



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FISICA II

6uponiendo que las lneas de campo inician en el punto %=o, *. -on la ecuacin/

&ara cualquier =oen yN* es vlida la ecuacin de las lneas de campo siguiente/

0l punto %=o, *, se describe con flujo en direccin 7y7/

0l problema es plano



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FISICA II

0l flujo se simplifica

0n el punto %=o, * se describe con el flujo en direccin 7y7 porque no e=isteninguna dependencia con el eje 7z7.

6ustituyendo en/



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FISICA II

#eterminacin del flujo para = N a, y N */

La relacin se C)!RE respecto al flujo para = N a en/

La solucin de la ecuacin de las lneas de campo se obtiene al sustituir en , estasolucin se conoce como 7La 0cuacin del #ucto de Olujo7

0cuacin del #ucto de Olujo



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FISICA II

6+ y 6 se conocen como &untos 6ingulares, en estos puntos la intensidad delcampo el"ctrico es cero. %#avidovic Landau P RiGailovic Lifsi, +:Q+

UNIDAD III

CAMOS ELECTROSTTICOS

La diferencia esencial entre los campos magn"ticos y electrostticosM consiste enque los campos magn"ticos son variables en el tiempo, siempre tienen asociadoun campo el"ctrico, tambi"n variable, junto con el cual forman una ondaelectromagn"tica. La onda electromagn"tica es capaz de propagarse y transportarenerga en una direccin determinada.

Los campos magn"ticos estticos %o magnetostticos asociados a un imn

permanente no tienen asociado un campo el"ctrico y no son capaces de generarradiacin electromagn"tica. Las fuerzas magn"ticas generadas por estos camposdependen e=clusivamente de la posicinM son conservativas, y el trabajo realizadopor las mencionadas fuerzas en una trayectoria cerrada es nulo.

0n la prctica esto se traduce en que cualquier anlisis de la interaccin de unimn permanente con el paciente lleva rpidamente a la conclusin de que noe=iste ning8n mecanismo que permita transmitir energa neta al paciente. Laposible energa que pudiera entregar el campo cuando el paciente se acerque alimn, sera invariablemente recuperada cuando el paciente se aleje del mismo.

L% +% Bio!S"$"r!

&oco tiempo despu"s del descubrimiento de )ersted en +Q+:, donde laaguja de la br8jula se desviaba a causa de la presencia de un conductor portadorde corriente, ]ean Xaptiste Xiot y Oeli= 6avart informaron que un conductorde corriente estable produce fuerzas sobre un imn. #e sus resultadose=perimentales, Xiot y 6avart fueron capaces de llegar a una e=presin de la que



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FISICA II

se obtiene el campo magn"tico en un punto dado del espacio en t"rminos de lacorriente que produce el campo.

0nuncindolo de la siguiente manera/

0n el caso de las corrientes que circulan por circuitos filiformes %o cerrados, la

contribucin de un elemento infinitesimal de longitud del circuito recorrido poruna corriente crea una contribucin elemental de campo magn"tico, en el puntosituado en la posicin que apunta el vector a una distancia respecto de

, quien apunta en la direccin de la corriente B/

#onde es la permeabilidad magn"ticadel vaco, y es un vector unitario conla direccin del vector , es decir,

0n el caso de corrientes distribuidas en vol8menes, la contribucin de cada

elemento de volumen de la distribucin, viene dada por/

#onde es la densidad de corrienteen el elemento de volumen y es laposicin relativa del punto en el que se quiere calcular el campo, respecto delelemento de volumen en cuestin.

0n ambos casos, el campo final resulta de aplicar el principio de superposicinatrav"s de la e=presin/

https://es.wikipedia.org/wiki/Permeabilidad_magn%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_corrientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Permeabilidad_magn%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_corrientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3n


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FISICA II

0n la que la integral se e=tiende a todo el recinto que contiene las fuentes delcampo. %&lonus, +::9

LEY DE AMERE

La ley bsica que rige la produccin de un campo magn"tico es la ley de Empere/

L &/60&B' 6' ;3. ;2'1&. 0. 0/2. 6' 0


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FISICA II

de sustituir la definicin de campo, B N +* amperes. &or lo tanto, la unidadelectromagn"tica de corriente, abampere N +* amperes.

9.7&' 30' &/60/. La intensidad de campo en el centro de una bobina plana de

C espiras circulares %vueltas es/

9.7&' 0/2 (S.0'.&). Hn solenoide es una bobina de alambre bobinado

uniformemente en una "lice larga. La intensidad de campo en el centro de unabobina larga, o solenoide, de C espiras de alambre y de longitud + cm, quetransporta una corriente de B amperes, es/

0sta e=presin tambi"n da la intensidad de campo a lo largo del eje de una bobinatoroidal %anillo. %5ibbeler, **9.

DENSIDAD DE 1LUKO MAN;TICO

#ensidad de flujo magn"tico %0cuacin de Ra=Yell. 0l flujo magn"ticogeneralmente representado con la letra griega , es una medida de la

cantidad de magnetismo, a partir de la fuerza y la e=tensin de un campomagn"tico.

0l flujo % a trav"s de un rea perpendicular a la direccin del campo magn"tico,viene dado por el producto de la densidad de campo magn"tico o n8merode lneas de fuerza por unidad de superficie %X por la superficie %6.



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FISICA II

"=B x S

6i la superficie no es perpendicular a la direccin del campo sino que forma coneste un ngulo %J, la e=presin anterior se transforma en/

"=B x Scos

#e forma ms general, el flujo magn"tico elemental, cuando el campo noes uniforme, viene definido por/ de donde, es igual a/

d "=B x dS xcos

#onde es igual a/

S

B x d S x cos

La unidad de flujo magn"tico en el 6istema Bnternacional de Hnidades es el YeberOlujo magn"tico

0l flujo magn"tico est representado por lneas de fuerza magn"tica. 0l n8merototal de lneas de fuerza creadas por un campo magn"tico se llama flujo magn"tico

%representado por la letra griega " . La unidad de flujo magn"tico es una sola

lnea de fuerza, designada ma=Yell.

0n el sistema mGs, se usa una unidad mayor, el 7/M + Yeber N +**.***.*** o+*Q ma=Yells. 0l n8mero de lneas de fuerza que pasan perpendicularmente porun rea de + centmetro cuadrado se denomina densidad de flujo %X y se



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FISICA II

mide en gauss %+ gauss N + ma=YellZcm. La unidad de densidad de flujo en elsistema mGs es el YeberZm, el cual es equivalente a +*.*** gauss.

#e estas definiciones se deduce que/

FLUJO TOTAL= DENSIDAD DE FLUJO ; AREA DE LA SECCION

"=B# %&lonus, +::9

1UERGA EN MATERIALES Y AARATOS MANETICOS

1UERGAS DEBIDAS A CAMOS MANTICOS

6i una carga inmersa en un campo magn"tico e=perimenta una fuerza aldesplazarse dentro de "l, es de esperar que un conductor igualmente e=perimenteuna fuerza cuando un flujo de cargas circula por "l. La fuerza ejercida sobre lascargas se transmite al conductor cuando estas cocan con los tomos delconductor.

La fuerza debida a campos magn"ticos puede manifestarse en tres formas

bsicas/ 0n una partcula cargada en movimiento. 0n un elemento de corriente en un campo X e=terno. 0ntre dos conductores de corriente. Ouerza sobre una partcula cargada en movimiento.

La fuerza el"ctrica Oe sobre una carga el"ctrica q estacionaria o en movimiento enun campo el"ctrico est dada por la Ley de -oulomb y se relaciona con laintensidad de -ampo 0l"ctrico 0 de la manera siguiente/

F! = q"E

0n donde si q es positiva, Oe y 0 tendrn la misma direccin.

Hn -ampo Ragn"tico slo puede ejercer fuerza sobre una carga enmovimiento. 6e a comprobado e=perimentalmente que la fuerzamagn"tica OX e=perimentada por una carga q en movimiento con unavelocidad v en un -ampo Ragn"tico X es/



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FISICA II

F$ = q" ; $

E partir de las dos ecuaciones anteriores es posible comparar la fuerza Oe y fuerzaOX, de donde se aprecia que Oe es independiente de la velocidad de la carga ypuede realizar trabajo sobre est alterando su energa cin"tica. OX depende de lavelocidad y es perpendicular a ella, no puede realizar trabajo sobre la carga dadoque se encuentra en ngulo recto con relacin a la direccin de movimiento de lacarga, ni causar un incremento en la energa cin"tica de "sta. &or lo general, lamagnitud de OX d es generalmente reducida en comparacin con la de Oe,e=cepto a altas velocidades.

0n el caso de una carga q en movimiento en presencia de campos tanto 0l"ctricocomo Ragn"tico, la fuerza total sobre la carga es/

F = F! 1 F$

!eemplazando los dos t"rminos de la dereca por las ecuaciones anteriores, setiene/

F = q"%E 1 ; $&

0sta 8ltima ecuacin se denomina la ecuacin de fuerza de Lorentz, denominadaas en onor a 5endriG Lorentz %+Q1A +:Q. 0n esta ecuacin se relaciona lafuerza mecnica con la fuerza el"ctrica.

Ente la presencia de campo el"ctrico y magn"tico, la transferencia de energa slo

puede ocurrir por medio del campo el"ctrico. 0n la siguiente tabla se ofrece unresumen de la fuerza ejercida sobre una partcula cargada.

E-!"+o +% #""r!&*#"

C"o E C"o B C"o- E B&oi"+o-

E-!"&io"rio q.0 2 q.0M6$i# q.0 q.v 3 X q.%0 v 3 X

Ouerza sobre un elemento de corriente.

&ara determinar la fuerza sobre un conductor portador de corriente debida a un-ampo Ragn"tico X, se aplica la siguiente ecuacin/

F = 7 " %L ; $&



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FISICA II

#onde/

i N es la corriente que fluye a trav"s del conductor.

L N es la longitud del conductor considerado.

0l -ampo Ragn"tico producido por la corriente no ejerce fuerza sobre el propioconductor, de la misma manera que una carga puntual no ejerce fuerza sobre smisma. &or tanto, el -ampo X es e=terno al conductor de corriente.

Ouerza entre dos conductores de corriente.

-onsiderando dos conductores con longitudes L+ y L por los que circulan lascorrientes i+ e i+, producirn cada uno un campo magn"tico X+ yX respectivamente, por tanto, abr una fuerza O+ sobre el conductor L+ debidaal campo X y una fuerza O sobre el conductor L debido al campo X+, lo cualcumple la tercera Ley de CeYton, seg8n la cual la accin y la reaccin son igualesy opuestas.

La e=presin para calcular la fuerza entre estos dos conductores es/

F = " L

#nde/

L N longitud de los conductores considerados, en metros.d N distancia entre los conductores, en metros.

DIOLO MANTICO

6e suele llamar #ipolo Ragn"tico a una barra imantada o a una pequea espirade un filamento con corriente, esta 8ltima es una apro=imacin que se ace alcampo generado por un circuito cuando la distancia al circuito es muco mayor alas dimensiones del mismo

&ara el primer caso, se puede considerar la barra imantada permanentemente dela siguiente figura/



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FISICA II

&ara la figura as8mase que


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FISICA II

MATERIALES MANTICOS

Xsicamente e=isten tres grandes grupos de materiales con propiedadesmagn"ticas, as/

ARAMAN;TICOS/ estos materiales tienen la facilidad para establecermomentos magn"ticos permanentesM estos momentos interact8an d"bilmenteentre s y se orientan al azar si no ay un campo magn"tico e=terno. -uando sesomete a un campo magn"tico e=terno, sus momentos tiendes a alinearse con elcampoM sin embargo, el movimiento t"rmico es bastante notorio. 0stos materialescumplen la denominada Ley de -urie %en onor a &ierre -urie, +Q1:2+:*[, queestablece que la magnetizacin es/

2 #irectamente proporcional al campo %X aplicado.

2 Bnversamente proporcional a la temperatura absoluta %S.

1ERROMAN;TICOS2 son aquellos que tienen momentos magn"ticos quetienden a alinearse paralelos entre s incluso en un campo magn"tico e=ternod"bil, y una vez retirado el campo magn"tico, el material permanece

magnetizado.

DIAMAN;TICOS2se puede decir que las propiedades diamagn"ticas estnpresentes en todos los materiales, siendo sus efectos muco menores que los delparamagnetismo o el ferromagnetismo. 0l diamagnetismo se manifiesta cuandoun material se introduce en un campo magn"tico y se produce un d"bil momentomagn"tico en la direccin opuesta al campo aplicado. 0sto produce que algunosmateriales sean repelidos d"bilmente por un imn.

Los tres tipos de materiales anteriores, se pueden clasificar seg8n el siguienteesquema/



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FISICA II

0n la siguiente tabla se presenta un resumen de los tipos de materiales, desde elpunto de vista de sus propiedades magn"ticas.

Tio +% M"!%ri"# C"r"&!%r-!i&"-

No ".P!i&o Co facilita o permite el paso de las lneas de -ampomagn"tico.0jemplo/ el Daco.

Di"".P!i&o Raterial d"bilmente magn"tico. 6i se sit8a una barramagn"tica cerca de "l, esta lo repele.0jemplo/ Xismuto%Xi, &lata%Eg, &lomo%&b,Egua.

"r"".P!i&o &resenta un magnetismo significativo. Etrado por la barramagn"tica.0jemplo/Eire,Eluminio%El, &aladio%&d, RagnetoRolecular.

1%rro".P!i&o Ragn"tico por e=celencia o fuertemente magn"tico.Etrado por la barra magn"tica.&aramagn"tico por encima de la temperatura de -urie%La temperaturade -urie del ierro metlico esapro=imadamente unos ((* -.0jemplo/ 5ierro%Oe, -obalto%-o, Cquel%Ci,Ecero.

A!i %rro".P!i&o Co magn"tico a un bajo accin de un campo magn"tico

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FISICA II

inducido.0jemplo/ =ido de Ranganeso%Rn).

1%rro".P!i&o Renor grado magn"tico que los materialesferromagn"ticos.

0jemplo/ Oerrita de 5ierro.S*%r"r"".P!i&o Rateriales ferromagn"ticos suspendidos en una matriz

diel"ctrica.0jemplo/ Rateriales utilizados en cintas de audio y video.

1%rri!"- Oerrimagn"tico de baja conductividad el"ctrica.0jemplo/ Htilizado como n8cleo inductores paraaplicaciones de corriente alterna.

INDUCTORES E INDUCTANCIA

Hn circuito es una trayectoria conductora cerrada por la que circula unacorriente i que produce un campo magn"tico X, el cual genera un flujo, que pasapor cada vuelta del circuito como se muestra en la siguiente figura/

6i el circuito posee C vueltas id"nticas, se define el eslabonamiento de flujo como/

Edicionalmente, si el medio circundante al circuito es lineal, el eslabonamiento deflujo es proporcional a la corriente i, con lo cual/

I = L " 7

#onde L es una constante de proporcionalidad denominada inductancia delcircuito. 0sta inductancia L es una propiedad de la disposicin fsica delcircuito. Hn circuito, o parte de un circuito con inductancia, se denominainductor. #e las e=presiones anteriores, se puede plantear que/

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FISICA II

L N N

La unidad de inductancia es el 5enry %5, que equivale a M dado que es unaunidad muy grande, la inductancia suele e=presarse en milienrios %m5.

6i se tienen dos circuitos portadores de corriente i+ e i, como se ilustra en lasiguiente figura/

0=istir entre ellos una interaccin magn"tica de tal forma que se producen cuatroflujos componentes, as/

++/ es el flujo que pasa por el circuito + debido a la corriente +.

+/ es el flujo que pasa por el circuito + debido a la corriente .

+/ es el flujo que pasa por el circuito debido a la corriente +.

/ es el flujo que pasa por el circuito debido a la corriente .

-onsiderando el campo X debido a B, y E+ como el rea del circuito +, entonces/

+N X. E+

La inductancia mutua R+ es la razn del eslabonamiento de flujo +N C+. + en

el circuito + a la corriente i, con lo cual/

#() = =

#e igual manera, la inductancia mutua R+ se define como los eslabonamientosde flujo del circuito por unidad de corriente i+, es decir/



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FISICA II

#)( = =

6i el medio que rodea los circuitos es lineal, es decir en ausencia de material

ferromagn"tico, se cumple que/

#() = #)(

Bgualmente, la unidad de la inductancia mutua es el 5enry %5.

0n la tabla de la siguiente pgina se presentan algunas frmulas para calcular lainductancia de algunos elementos fundamentales de circuitos.

ENERQA MANTICA

La inductancia definida por esta 8ltima e=presin se denomina autoinductancia, yaque es el propio inductor el que produce los eslabonamientos. #e forma anlogaa la capacitancia, la inductancia puede considerarse una medida de la cantidad deenerga magn"tica almacenada en un inductor, la que se puede e=presar como/

Eerg$%&%gn't()% :1

2[* (2 ]

La energa se almacena en el campo magn"tico X del inductor, por tanto, estaenerga se puede e=presar en t"rminos de X 5, para lo cual/

Eerg$%&%gn't()% :1

2B (+)=1

2 +

2

CIRCUITOS MANTICOS

0l concepto de circuito magn"tico surge como un m"todo para la solucin deciertos problemas mediante la t"cnica del anlisis de circuitos. Los dispositivosmagn"ticos como tiroides, transformadores, motores, generadores y rel"s puedenconsiderarse como circuitos magn"ticos. 6u anlisis se simplifica si se aplica laanaloga entre los circuitos el"ctricos y los magn"ticos.



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FISICA II

E continuacin se presenta un resumen de la analoga entre los circuitosmagn"ticos y los el"ctricos, la que grficamente se puede describir as/

E#P&!ri&o M".P!i&oCo+*&!i$i+"+ - &ermeabilidad mI!%-i+"+ +% &"o E Bntensidad de campo 5Corri%!% i = K A Olujo magn"tico O N X . E

D%-i+"+ +% &orri%!% K = = - E #ensidad de flujo X N N m . 51*%rz" %#%&!roo!riz V Ouerza magnetomotriz OmmR%-i-!%&i" R !eluctancia h

Co+*&!"&i" = &ermeancia & N

L% +% Oh R = = Ley de )m h N NL%%- +% Jir&hho2

= 0

= 0

Leyes de ircoff/

N *

2 N *

#e la tabla anterior, un t"rmino un tanto nuevo, es el que corresponde a la fuerzamagnetomotriz %Omm se define como/

F-- = N " 7 = " L

0l origen de la fuerza magnetomotriz en circuitos magn"ticos suele ser una bobinaportadora de corriente como la que aparece en la figuraanterior. La reluctancia ! se define como/

R =



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FISICA II

#nde/

L N longitud media del n8cleo magn"tico.

E N rea de la seccin transversal del n8cleo magn"tico. %0nrquez 5arper, ***

UNIDAD IV TERMODINAMICA

LEY CERO DE LA TERMODINMICA (TEMERATURA)

0l ri&iio &%ro +% #" !%ro+ii&"es una ley fenomenolgica para sistemasque se encuentran en equilibrio t"rmico. Oue formulado por primera vez en +:A+por !alp 5. OoYler.-onstituye una gran importancia e=perimental pues permiteconstruir instrumentos que midan la temperaturade unsistemapero no lo es tantopara la propia estructura de la teora termodinmica.

0l principio establece que e=iste una determinada propiedad,denominada temperatura emprica , que es com8n para todos los estados deequilibrio que se encuentren en equilibrio mutuo con uno dado.

#el punto de vista istrico, los conceptos de calor y temperatura estn a la basede la Sermodinmica, pero aqu daremos una presentacin algo diferente. 0nnuestro tratamiento, el calor tiene un rol subordinado y es una magnitud que sederiva de otras debido a las dificultades lgicas que aparecen si intentamosdefinirlo a priori. La temperatura, en cambio, sigue jugando un rol primario. 0s unapropiedad esencial en nuestra materia Osica BB. 6u determinacin cuantitativa%medida se realiza con instrumentos llamados termmetros. La Ley -ero de la

https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_t%C3%A9rmicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ralph_H._Fowlerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ralph_H._Fowlerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura_emp%C3%ADricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_t%C3%A9rmicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ralph_H._Fowlerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistemahttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura_emp%C3%ADrica


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FISICA II

Sermodinmica postula que es posible medir la temperatura, es decir, que latemperatura es una propiedad.

0s un eco conocido que varias propiedades fsicas de los cuerpos cambian conla temperatura.

&or ejemplo, los gases, lquidos y slidos se e=panden y se contraen a medidaque su temperatura aumenta o disminuye, si la presin se mantiene constante.Las variaciones de temperatura producen tambi"n cambios de otras propiedades,tales como la resistividad el"ctrica de los materiales o la fuerza electromotriz entremateriales dismiles, etc. #icas propiedades, que se encuentran entre aquellasque se aprovecan para disear termmetros, se denominan propiedadestermom"tricas. %5iru, *+*

EUILIBRIO T;RMICO

La temperatura T es aquella propiedad que determina la capacidad de un sistemapara intercambiar calor. 6u unidad es el Gelvin %.

6uponemos dos subsistemas E y X cerrados de paredes adiabticas, definidosrespectivamente por sus variables de equilibrio =+E, y+E, =+X, y+X, ambosindependientes entre s.

6i se sustituye la pared adiabtica que los separa por otra diat"rmica se observae=perimentalmente que se rompe el equilibrio e=istente y cada sistema vara suestado asta alcanzar estados de un nuevo equilibrio, que llamaremos deequilibrio t"rmico. Los nuevos valores de las variables de estado que definen dicoequilibrio ya no son, como antes, independientes, sino que estn ligados por unarelacin llamada ecuacin del equilibrio t"rmico.

O %=E, yE, =X, yX N *

LEY CERO

-onsideramos aora tres subsistemas E, X y -, separados dos de ellos, E y X, poruna pared adiabtica, y - separado de E y X por paredes diat"rmicas. 6e observa



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FISICA II

e=perimentalmente que si, en virtud del equilibrio t"rmico, E2- y X2- estn enequilibrio t"rmico, tambi"n lo estn E2X, a pesar de no estar separados por unapared diat"rmica, esto bien podra comprobarse permutando el tipo de pared entrelos subsistemas E2X2- %ver Oigura. 0sto equivale a decir que la propiedad

7equilibrio t"rmico7 es +@0>77@, es decir/6i dos sistemas E y X estn en equilibrio t"rmico cada uno de ellos con un tercero-, los sistemas E y X estn en equilibrio t"rmico entre s.

0sto constituye el llamado &rincipio -ero de la Sermodinmica, por el cual lae=istencia del equilibrio t"rmico entre dos sistemas puede verificarse a trav"s deun sistema intermedio llamado termmetro, sin necesidad de que los dos sistemasest"n necesariamente en contacto a trav"s de una pared diat"rmica. %Learning,*++

TEMERATURA EM:RICA

Semperatura emprica es aquella propiedad cuyo valor es el mismo para todos lossistemas que estn en equilibrio t"rmico entre s.

La formulacin del &rincipio -ero es/

F %xAB yAB xCB yC& =

F %x$B y$B xCB yC& =

F %xAB yAB x$B y$& =

0s decir, el equilibrio t"rmico entre E y X puede establecerse a trav"s del equilibriot"rmico con un sistema intermediario - llamado !%r6%!ro.

#espejando de las formulas anteriores, tenemos

xC = HA%xAByAByC& = H$%x$By$ByC&



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FISICA II

6i, para ms simplicidad, tomamos como fija la variable y - del sistematermom"trico,


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%Q*-, ielo fundi"ndose %* -, agua irviendo %+** -, temperatura del cuerpoumano %A( -, nieve con sal %+Q -, etc.

La Ley -ero permite una definicin provisional de la temperatura %temperaturaemprica, asta que el 6egundo &rincipio nos permita formular una definicintermodinmica. %ttp/ZZtales.cica.esZrdZ!ecursosZrd::Zed::2*[12*9Zescalas.tmintro, *+*

ESCALA DE TEMERATURAS DEL AS IDEAL

&ara cuantificar el valor de la temperatura emprica es necesario establecer unaescala de temperaturas. La escala -elsius emplea dos puntos fijos %los puntos defusin y de ebullicin del agua pura, a + atm de presin, a los que da

arbitrariamente los valores num"ricos de * y +** -.6in embargo, cualquier magnitud fsica debe requerir de un solo punto fijo para sudefinicin. 0sto se consigue con el termmetro de gas a presin constante o avolumen constante. 0=plicaremos el de presin constante por su mayorsimplicidad.

0l termmetro se introduce en un sistema cuya temperatura se desea medir. 0n eltermmetro de gas a presin constante la propiedad termom"trica es el volumenocupado por el gas, manteniendo constante la presin de dico gas. \ay2Lussacrealiz medidas del volumen ocupado por el gas cuando el sistema analizado eraielo fundente %t N *-, y cuando el sistema era agua irviendo %t N +** -.-omprob que, con independencia de la cantidad de gas introducida, la relacinentre ambos vol8menes variaba poco seg8n qu" gas introdujera en el termmetro/

C/ D+**N +,A(9: D* Eire/ D+**N +,A(1 D* )/ D+**N +,A(9Q D* 5/ D+**N +,A(1 D*

\as cualquiera %media/ D+**N +,A(1 D*



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FISICA II

Sermmetro de gas a presin constante. La variable termom"trica %es decir, lapropiedad que vara con la temperatura es el volumen ocupado por el gas. Lapresin del gas %el peso del pistn ms la atmsfera se mantiene constante.

0s decir, el coeficiente de e=pansin t"rmica de los gases %incremento relativo devolumen por unidad de aumento de temperatura es/

6e comprob que la semejanza entre los gases era tanto mayor cuanto/

a el gas es ms permanente$M gas a una presin y temperatura muy alejadas de

su estado lquido.

b la presin del gas es menor.

#e este modo, se puede acer una abstraccin denominada gas ideal, que slonecesita un punto fijo de temperatura conocida %D* para la medida de cualquierotra temperatura/



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0l punto fijo que se toma no es el punto de fusin del agua, sino el punto triple delagua%*,*+ - y *,[++ G&a, en el que coe=isten en equilibrio ielo, agua lquida yvapor. 0n ese estado, el valor e=perimental ms e=acto por el momento es k N*,**A[[*: -+. 6i creamos una escala de temperaturas W N +Zk t, la medida delvolumen ser simplemente proporcional a la temperatura del sistema en esaescala/

La escala W es una medida independiente de la sustancia, directamenteproporcional a la medida del termmetro, y con un cero fsico. 0s la escala detemperaturas del gas idealM 0sta escala coincide con la temperatura absoluta%elvin. El punto de referencia %punto triple del agua se le da un valor de latemperatura de (A,+[, con unidades de elvin %.

0l termmetro es vlido solamente para gases a muy bajas presionesM sloentonces, el termmetro resulta ser independiente del gas contenido en el bulbo, ypor tanto vlido para establecer una escala universal %emprica de temperaturas.

Sambi"n puede medirse la temperatura emprica con un termmetro de gas avolumen constanteM se mide la presin del gas manteniendo constante el volumenque ocupa. 0l razonamiento es totalmente paralelo al del termmetro de gas apresin constante.

-on el material que emos discutido asta aora, estamos preparados paradescribir la Ley de -ero de la Sermodinmica. -omo las otras leyes de latermodinmica que veremos, la Ley de -ero se basa en la observacin y en sucomprobacin e=perimental.

ESCALAS DE TEMERATURA



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FISICA II

0n la actualidad se emplean diferentes escalas de temperaturaM entre ellas est laescala -elsius, la escala Oareneit, la escala elvin, la escala !anGine o laescala termodinmica internacional.

0n la escala -elsius, el punto de congelacin del agua equivale a * -, y supunto de ebullicin a +** -. 0sta escala se utiliza en todo el mundo, enparticular en el trabajo cientfico.

La escala Oareneit se emplea en los pases anglosajones para medidasno cientficas y en ella el punto de congelacin del agua se define como AO y su punto de ebullicin como + O.

0n la escala elvin, la escala termodinmica de temperaturas msempleada, el cero se define como el cero absoluto de temperatura, es decir,

2(A,+1 -. La magnitud de su unidad, llamada Gelvin y simbolizada por ,se define como igual a un grado -elsius.

)tra escala que emplea el cero absoluto como punto ms bajo es la escala!anGine, en la que cada grado de temperatura equivale a un grado en laescala Oareneit. 0n la escala !anGine, el punto de congelacin del aguaequivale a 9: !., y su punto de ebullicin a [( !.

0n +:AA, cientficos de treinta y una naciones adoptaron una nueva escala

internacional de temperaturas, con puntos fijos de temperatura adicionalesbasados en la escala elvin y en principios termodinmicos. La escalainternacional emplea como patrn un termmetro de resistencia de platino %cablede platino para temperaturas entre 2+:* - y [[* -. #esde los [[* - asta elpunto de fusin del oro %+.*[A - se emplea un termopar patrn. Rs all delpunto de fusin del oro las temperaturas se miden mediante el llamado pirmetroptico, que se basa en la intensidad de la luz de una frecuencia determinada queemite un cuerpo caliente.

0n +:19, un acuerdo internacional adopt el punto triple del agua es decir, el puntoen que las tres fases del agua %vapor, lquido y slido estn en equilibrio comoreferencia para la temperatura de (A,+[ . 0l punto triple puede determinarsecon mayor precisin que el punto de congelacin, por lo que supone un punto fijoms satisfactorio para la escala termodinmica. 0n criogenia, o investigacin debajas temperaturas, se an obtenido temperaturas de tan slo *,****+ mediante



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FISICA II

la des magnetizacin de sustancias paramagn"ticas. 0n las e=plosiones nuclearesse a

Final Fsisca 2

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