UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA

DIVISION DE CIENCIAS BASICASDIVISION DE CIENCIAS BASICAS

SEMESTRE 2005-2SEMESTRE 2005-2

CALCULO IICALCULO II

INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

PROF: ING. ROCHA BELTRAN GUSTAVOPROF: ING. ROCHA BELTRAN GUSTAVO

ALUMNA: BLANCO COLIN CIRCEALUMNA: BLANCO COLIN CIRCE

FINANZASFINANZAS

INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

INTERES COMPUESTO

Si una persona cuenta con una cantidad de dinero y decide prestarlo con la condición de tener una

ganancia al recuperarlo en t cantidad de tiempo, esta ganancia es conocida como interés

El Interés es un monto adicional ganada por el trabajo de una cantidad de dinero dispuesta a trabajar con t

cantidad de tiempo; existen dos tipos de interés SIMPLE y COMPUESTO

El interés Simple es el monto ganado por una cantidad de dinero trabajada.

El interés compuesto es el monto ganado por una cantidad de dinero trabajada cada t intervalo de tiempo

• Por ejemplo:

• Si una persona presta una cantidad de dinero con intereses, el tipo de estos pueden ser de varias formas, ya sea que el cargo extra sea una vez año (interés simple) o el mismo cargo extra varias veces al año (interés compuesto)

•

• .

Los mas comunes y conocidos por cualquier persona que utilizan el Los mas comunes y conocidos por cualquier persona que utilizan el interés son los bancos interés son los bancos ( tanto para ganancia del banco como para ( tanto para ganancia del banco como para

ganancia del inversionista, aunque para el segundo sea mucho menor)ganancia del inversionista, aunque para el segundo sea mucho menor); ; los bancos ofrecen cuentas con tasas de intereses diferentes así como los bancos ofrecen cuentas con tasas de intereses diferentes así como

sus métodos para calcularlas, algunos ofrecen interés compuesto sus métodos para calcularlas, algunos ofrecen interés compuesto anualmente (lo que indica que su cobro es una vez al año), interés anualmente (lo que indica que su cobro es una vez al año), interés

compuesto trimestralmente( su cobro será cuatro veces al año), interés compuesto trimestralmente( su cobro será cuatro veces al año), interés compuesto diario y hasta interés compuesto continuocompuesto diario y hasta interés compuesto continuo

Por ejemploPor ejemplo::

Si una cuenta bancaria ofrece una tasa de interés compuesto al 8%Si la cuenta bancaria tienen dicha tasa de interés anualmente la expresión

“anualmente” significa que al final de cada año se sumara el 8% del saldo actual, lo que equivale a multiplicar el saldo actual por 1.08. Por lo tanto, si se depositan

$100, el saldo B será: B=100(1.08) AL FINAL DE UN AÑO

B=100(1.08)2 AL FINAL DE DOS AÑOS B=100(1.08)t AL FINAL DE T AÑOS

Si la cuenta bancaria ofrece una tasa de interés trimestral entonces se suma cuatro veces por año (cada tres meses), es decir 8/4=2% del saldo actual se

sumara cada tres meses, por lo tanto si se depositan los mismos $100, al final del año se sumaran los cuatro compuestos entonces:

B=100(1.02)4 AL FINAL DE UN AÑOB=100(1.02)8 ALFINAL DE DOS AÑOS

B=100(1.02)t AL FINAL T AÑOS

B =108.00 PARA EL INTERES COMPUESTO ANUAL B=108.24 PARA EL INTERES COMPUESTO TRIMESTRAL

Por lo tanto se gana mas con el interés compuesto trimestral que con el anual porque el interés genera interés al transcurrir el tiempo, entonces deducimos que cuanto mas frecuente se calcule el interés compuesto más ganancia genera (Aun cuando el incremento no sea tan grande). Todo esto nos lleva a que:Si el interés a una tasa anual r se compone n veces al año, entonces r/n veces el saldo actual se suma n veces al año. Por lo tanto, con un depósito inicial de $P, el saldo t años después es:

B= P (1+r/n)nt……………………(1)B= P (1+r/n)nt……………………(1)

B= SALDO AL FINAL DE T AÑOSP= SALDO INICIALr= TASA ANUAL NOMINALn= NUMERO VECES QUE SE SUMA EL INTERES EN EL AÑO

RENDIMIENTO EFECTIVO ANUAL

Es posible medir el efecto de calcular el interés compuesto al introducir la noción del rendimiento efectivo anual (APR). Del ejemplo anterior:

Como los $100 invertidos del ejemplo anterior con la misma tasa de interés compuesto trimestralmente al 8%, el cual obtuvimos que crecía al $108.24 al termino de un año, decimos que el rendimiento efectivo anual en este caso es

de 8.24%. APR=(1+r/n)nt(100%)

Si se hace el calculo del interés compuesto con gran frecuencia a pesar de que

las ganancias adquiridas por este son mayores, estas no son demasiado notorias; así también en el rendimiento anual son quizás todavía menos notorias de hecho tiende a un numero finito. El beneficio de aumentar la

frecuencia del cálculo del interés compuesto se hace despreciable si se rebasa un cierto punto.

Cuando el rendimiento efectivo esta en su limite superior decimos que el interés esta siendo compuesto continuamente ( La palabra

CONTINUAMENTE se utiliza porque el limite superior se aproxima al calcular el compuesto con frecuencia cada vez mayor).

EL NUMERO e

Resulta que el número e esta íntimamente relacionado con el cálculo compuesto continuo, entonces:(1+r/n)n= er(1+r/n)n= er………………. (2)

Si al interés de un depósito inicial de $P se compone continuamente a una tasa anual r, el saldo t años ahora también puede ser calculado con

la formula siguiente sustituyendo (2) en (1):

B= P ertB= P ert……………………(3)

e=2.71828182

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

El valor futuro $B de un pago $P es la cantidad a la que crecería si se deposita en una cuenta bancaria que rinda interés.

El valor presente $B de un pago futuro $P es la cantidad que tendría que depositarse hoy en una cuanta bancaria para producir exactamente $B en el

tiempo fijado en el futuro.

Muchos convenios comerciales requieren pagos a futuro lo que en la actualidad conocemos como compra a crédito o en pagos, si se acepta un

pago a futuro mediante un convenio, es obvio que se sabe cuanto se recibirá; si en un futuro recibe $100 pesos es peor que si los recibe ahora por muchas razones, como una inflación lo que devaluaría dichos $100 ya que puede ser que dicha inflación provoque una alza en los precios. Por lo tanto, aun sin inflación, si se acepta un pago en el fututo debe pedirse más para compensar esta perdida de utilidad potencial , para esto se considera lo que se perderá por no ganar intereses, y no así el efecto de la inflación.

Ejemplo:

Supóngase que se depositan $100 en una cuenta que paga el 7% de interés compuesto anualmente, de modo

que en un año se tendrán $107. Por lo tanto $100 de hoy valdrán lo mismo que $107 dentro de un año. Entonces se dice que los $107 son el valor del futuro y que los $100

es el valor del presente.

Como puede observarse y presenciarse en la actualidad el valor del presente siempre será menor que el valor del futuro

Como se vio antesComo se vio antes: :

Si el interés compuesto Si el interés compuesto n veces al año n veces al año durante durante t añost años a una a una razón rrazón r, y el , y el valor valor $B es el valor futuro$B es el valor futuro de $P después de t años, tomando de $P después de t años, tomando $P como el $P como el

valor presentevalor presente de $B entonces : de $B entonces :

B= P(1+r/n)nt despejando B= P(1+r/n)nt despejando

P= B/(1+r/n)ntP= B/(1+r/n)nt

Utilizando exponencial eUtilizando exponencial e

B= P ert despejandoB= P ert despejando

P= B/ ert = B e-rtP= B/ ert = B e-rt

CORRIENTE DE INGRESOSCORRIENTE DE INGRESOS

Cuando se consideran pagos hechos o recibidos se suele pensar en pagosCuando se consideran pagos hechos o recibidos se suele pensar en pagos discretosdiscretos, es decir hechos en momentos específicos en el tiempo. Sin , es decir hechos en momentos específicos en el tiempo. Sin

embargo los pagos realizados por una compañía se pueden considerar embargo los pagos realizados por una compañía se pueden considerar como continuos.como continuos.

Por ejemplo:Por ejemplo:

Los ingresos que percibe una gran empresa corporativa, en Los ingresos que percibe una gran empresa corporativa, en esencia se reciben siempre y por lo tanto pueden representarse esencia se reciben siempre y por lo tanto pueden representarse

como una corriente de ingresos continúacomo una corriente de ingresos continúa..

Como la razón a la que los ingresos se perciben pueden variar de un Como la razón a la que los ingresos se perciben pueden variar de un momento a otro la corriente de ingresos se describe por: momento a otro la corriente de ingresos se describe por:

P(t)P(t) ($/tiempo) ($/tiempo)

P(t) es la función o razón dependiente de t (tiempo)P(t) es la función o razón dependiente de t (tiempo)

En la misma forma en que se pueden encontrar valores presente y futuro de En la misma forma en que se pueden encontrar valores presente y futuro de un pago, se pueden encontrar estos valores en una corriente de pago.un pago, se pueden encontrar estos valores en una corriente de pago.Como se trabaja con una corriente continua de ingreso, se supondrá que el Como se trabaja con una corriente continua de ingreso, se supondrá que el interés esta compuesto continuamente; la razón para hacer esto es que los interés esta compuesto continuamente; la razón para hacer esto es que los cálculos aproximados que se harán cálculos aproximados que se harán (Mediante sumas por integrales) (Mediante sumas por integrales) son son mucho más sencillos si tanto los pagos como los intereses son continuos.mucho más sencillos si tanto los pagos como los intereses son continuos.

Supóngase que se desea calcular el valor presente de la corriente de ingreso Supóngase que se desea calcular el valor presente de la corriente de ingreso descrita por una tasa P(t)$ por año, y que nos interesa el periodo desde descrita por una tasa P(t)$ por año, y que nos interesa el periodo desde ahora hasta T años en el futuro.ahora hasta T años en el futuro.

Para usar lo que se sabe sobre depósitos simples para calcular los valores Para usar lo que se sabe sobre depósitos simples para calcular los valores presentes de una corriente de ingreso, primero se debe dividir la corriente en presentes de una corriente de ingreso, primero se debe dividir la corriente en muchos depósitos pequeños, cada uno de los cuales se hace muchos depósitos pequeños, cada uno de los cuales se hace aproximadamente en un instante. Se divide el intervalo aproximadamente en un instante. Se divide el intervalo o<= t <= To<= t <= T en en subintervalos, cada uno de longitudsubintervalos, cada uno de longitud .

Ejemplo: Ejemplo:

Hallar los valores presente y futuro de una corriente constante de ingreso Hallar los valores presente y futuro de una corriente constante de ingreso de $100 por año en un periodo de 20 años, si se supone una tasa de de $100 por año en un periodo de 20 años, si se supone una tasa de interés compuesto continuo del 10%.interés compuesto continuo del 10%.

Sol:

Valor presenteValor presente 66.864$e-110001.0

e- 100 100 2-

20

0

0.1t-20

0

1.0

dte t

Valor futuroValor futuro 20

0

20

0

1.02)20(1.0 100100 dteedte tt

06.389$110001.0

100 22

20

0

1.02

eee

et

=

=

=