Fisica III Campos

7/23/2019 Fisica III Campos

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FISICA IIICAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA DE CARGA

UNIFORME


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CALCULO DEL CAMPO ELECTRICO


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El diferencial de carga es igual al producto dela densidad lineal de carga )por eldiferencial de longitud d!d" # dzEl valor de la distancia del diferencial de carga al

punto donde se encuentra la carga de prueba es r


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El $alor de r es la ra%! cuadrada de la su&adel $alor de ' al cuadrado &as el $alor de ! alcuadrador # '() !(*+,(En la ecuaci-n del diferencial de ca&podE # . d",r(se sustituir/n los $alores de d" '

de r


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El diferencial de ca&po el0ctrico en dic1opunto tiene dos co&ponentes dE'' dE!

La co&ponente en el e2e ! se anula por"ue siselecciona&os un diferencial de carga en laparte inferior de la l%nea a la &is&a altura seanula por si&etr%a la co&ponente en el e2e !

3nica&ente nos "ueda asi4 dE' # dE cos 5


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De la 6gura siguiente pode&os

o7tener "ue4


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!,' # tan 5 despe2ando ! 88888 ! # ' tan 59ustitu'endo en la ecuaci-n4

dE' # dE cos 5 # . dz/('() !(**cos 5Ele$ando al cuadrado ! nos "ueda asi4!(# '(tan(5: diferenciando ! tene&os4d! # ' sec(5 1aciendo estas sustituciones

trigono&0tricas en el diferencial de ca&poNos "ueda as%4


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dE' # . ' sec(5 d5/('(+ ) tan(5 ** cos 5: ade&/s recordando "ue + ) tan(5 * # sec(5

dE' # . /'* cos 5 d5Integrando el diferencial de ca&po llega&os a4E # . /'* ;cos 5 d5 # . /'* sen 5 e$aluando

entre los li&ites de < L,( 1asta ) L,( de acuerdo

a la 6gura=Luego 1ace&os la sustituci-n de sen 5Del triangulo o7tene&os "uesen 5 # !, '() !(*+,(


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La ecuaci-n "ueda as%4E # . /'* !, '() !(*+,(* e$aluando en los

li&ites de < L,( 1asta ) L,( "ueda as%4E # . /'* L,(, '() L(,>**+,()L,(, '() L(,>**+,(*E # . L/'* , '() L(,>**+,(

Donde . # +,>?@Otra &anera de eBpresar el ca&po el0ctrico

es la siguiente4


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Ca&po el0ctrico de una l%nea

cargada


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9i el $alor de ' tiende al in6nito entonces laecuaci-n del ca&po es

E # +,>?@*",'(

* se co&porta co&o unacarga puntual=Donde se 1a utili!ado la eBpresi-n " # LQue sucede cuando L es mucho mayor que y?

Entonces el campo elctrico es!E # ,(?@'


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Ca&po el0ctrico para un anillo

unifor&e


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El diferencial de carga para un anillo es elproducto de la densidad lineal de carga por eldiferencial de arco ds

"onde ds es igual a #d$

%ustituyendo en la ecuaci&n del diferencial de campo

dE

dE ' +,>?@*d",r(* # +,>?@*#d$,!()R(**El diferencial de ca&po electrico tiene dos

co&ponentes rectangulares una en el e2e ! 'otra en la direcci-n radial


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9i selecciona&os otro diferencial de carga enel di/&etro opuesto se puede o7ser$ar "ue laco&ponente en la direcci-n radial se anulacon la pri&era por ser si&0tricas una conrespecto a la otra=Entonces el ca&po "ueda nica&ente

deter&inado en el e2e !=E # ;dEcos 5 #De la figura se o7ser$a "ue cos 5 # !,!()R(*9ustitu'endo en el integral "ueda4


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E # #z,>?@* =+,!()R(*,(;d$

Los limites del integral es de a *

+or lo tanto el campo elctrico a lo largo del e,e z esde!

E ' #z,(@*= +,!()R(*,(

Otra for&a de eBpresar la ecuaci-n del ca&po

el0ctrico de un anillo de carga es la siguiente4


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Ca&po el0ctrico para un anillo de

carga


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La ecuaci-n anterior es $alida para ! positi$ao para ! negati$a=9i la carga del anillo es negati$a el ca&po

el0ctrico se dirige 1acia la carga en ladirecci-n negati$a del e2e !=9i ! es &uc1o &a'or "ue R entonces4

El ca&po el0ctrico se aproBi&a a una cargapuntualE # q,>?@!(

9i el ca&po se deter&ina en ! # entonces E

# en el centro del anillo


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Ca&po el0ctrico producido por un

disco cargado


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Para deter&inar el ca&po el0ctrico de undisco este lo pode&os di$idir en una serie dec%rculos conc0ntricos en los cuales eldiferencial de carga d" de cada uno de losanillos es igual a la densidad super6cial decarga por el diferencial de /rea dAd" # dA ' de acuerdo a la figura dA #

(?d9ustitu'endo en la ecuaciondE # +,>?@*d",r(* # +,>?@* (?d ,

!()(*


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Una co&ponente en la direcci-n del e2e ! 'otra co&ponente en la direcci-n radialLa co&ponente en la direcci-n radial se anula

por si&etr%a nica&ente "ueda laco&ponente en en e2e ! ' esta esdE!# +,>?@* (?d , !()(* cos 5

: cos 5 # !,H!()(*9ustitu'endo en la eBpresi-n anterior nos

"ueda4


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dE!# +,>?@*!(?d , !()(*,( *Para deter&inar el ca&po resultante en el e2e !

su&a&os todos los ca&pos producidos por losanillos ' esto e"ui$ale a integrar la ecuaci-nanterior desde 1asta R por"ue $aria de a R

E # (?!,>?@* ; d , !()(*,( *

aciendo u # !(

)(

*

por lo tanto du # (d 'sustitu'endo en la ecuaci-nE # (?!,>?@* ; u8,(du,( #

E #(?!,>?@* u8+,(,( 8+,(*


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9ustitu'endo uE# 8 !,(@*+, !()(*+,(* e$alu/ndolo de a

R9e llega a4E # ,(@*+ < !, !()R(*+,(*

Jue sucede si R es &uc1o &a'or "ue !La eBpresi-n anterior se reduce de7ido a "ue

el disco se $uel$e una 1o2a in6nita ' elsegundo ter&ino se llega a despreciar ' elca&po para una 1o2a in6nita es4E # ,(@

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